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HARVARD COLLEGE LIBRARY
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FARRAR FUND
THb' bequeat of Mrs. Elisa Farrar in memory ofker htubafid, John Farrar t HoUis ProfeMor qf MathemaHeSt Astronomy and Natural Pkilowphyt 1807-1836
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I. i'Uyslolof !s Mechanik: 0. Fischer in
*d. Spiel uui et: d. T. Walker in Simla
(Indien)
10. Dynamibvov Probleme .der Maschinen- technik: K. HeuiL in Karlsrahe.
ILL Behandlang beliebiger Systeme . von endlichem Freiheitsgrad in analytischer Allgemeinheit.
II. Entwiekelunff allgemeiner Methoden: P. 8t&ekcl in Hannover.
12. Spezialdiskassion dynamischerProbleme:
P. 8Ückel in Hannover. 18. Botaüon starrer Körper andYerwandtes :
P. IStSckel in Hannover.
n. Teil.
Inhaltaverzeichnis von Band IV, Teil II.
C. HeelmBifc der deformlorter^ii KBrper. .
I. Analytisch-geometrische HilfsmitteL
*14. Geometr. Grundbegriffe: H. Abraham in Göttingen.
*15.
*1S.
II. Hydrodynamik.
Physikalische Grundlegung: A» B. H. Iiore in Oxford.
Xheoxetisohe Aasfahrungen: A. E. H. Lore in Oxford.
ftt$* Bishe
[121 S.] 1901. n.JCSAO.
[156 S.] 1902. n.JC4: 60.
[156 S.] 1903. n.JLi.60.
Teil n Heft 2 (17. 18.).
Teü I Heft 1 (1)
- I - 2(2)
— I — 8(3)
*17. Aerodynamik- S. Flaiter'walder in
' München. *18. Ballisük : C. Craax in Berlin.
19. Unstetige Bewegungen in kontinnier- . liehen Medien : 9. Zeniplea in Budapest-
20. Hydraulik (Strömen von Wasser in Bohren U.Kanälen): Ph. Forchhelmer in Graz.
21. Theorie der hydraulischen Motoren n. Pumpen: M. 4iribler in Dresden.
in. Elastizität und Festigkeits- lehre.
22. Theoretische Behandlung der statischen Probleme : 0. Tedone in Genua.
23. Sehwingungen, insbesondere Akustik: H. Lamb in Manchester.
24. Die Statik der technischen Konstruk-, tionen : L. Pravdtl in Göttingen und N. N.
25. Theorie der auf elastischer Wirkung beruhenden Mefiapparate: Ph. Fart- wangler in Bonn.
26. Physikal. Grundlagen der £lattizit&ts- und Festigkeitslehre: A. Sonflierfeld in Aachen.
D. ■eohaalk ier aus sehr zahlreichen diskreten Teilen bestehenden Systeme.
27. Das Eingreifen der Wahrscheinlich- keitsrechnung: L. Boltsmann in Wien.
28. Schiffsbewegung: A. Krileff in Peters- burg.
r^'Orschien;
TeU I 2. Hälfte Heft 1 (7—9). [152 S.] 1004
n. J^4.40. — II Heft 1 (U— 16)[147S.] 1901. n. JK8.80. [129 S.] 1908. u. JC 3.80.
WüUixer, Geheimer Regierungsrat Dr. Adolph , Professor der Experi- mentalphysik an der Königl. Technischen Hochschule zu Aachen, Lehrbuch der Experimentalphysik. In 4 Bänden. 5. ver- besserte Aufl. Mit 1092 in den Text gedr. Abb. u. Fig. u. 4 litho- giaphierten Tafeln, gr. 8. 1895/99.
Sinzeln: I. Band. Allgemeine Phjrsik und Akustik. Mit 821 i. d. Text gedr. Abb. u. Fig. [X u. 1000 S.] 1895. n. JC 12.—, In Hfsbd. JC U.— Die Lehre von der Wärme. Mit ISl i. d. Text gedr. Abb. n. Fig. [XI u. 93(5 S.] 1896. n. JC 12.—, ia Hfzbd. JC U.— Die Lehre rom Magnetismus und von der Elektriaität mit einer Einleitung: Orundzüge der Lehre vom Potential. Mit 841 i. d. Text gedr. Abb. u. Fig. [XV u, 1415 S.] 18D7. n. *« IS.—, in Hfzbd. »^ 20.->
Die Lehre von der Strahlung. Mit 29!) i. d. Text gedr. Abb. u. Fig. u. 4 lithogr. Taf. [XII u. 1042 S.] 1899. n. JCH. -, in Hfzbd. JC16.—
Bei gleichseitigem B^ing aller 4 Bände liefert die Yerlagshandlnng das
Werk m dem erra&filgten Preise tob JC 28.— für das geheftete, ^84.— ffir dAS gebundene Exemplar. — Im Umtaaoch gegen frGhere Auflagen bei direkter EinsenduBg der Bande geheftet für JC 20.—
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IV.
Abraham^ Dr. M.^ Privatdozent in Göttingen und Dr. A. Föppl, Professor in München, Theorie der Elektrizität. I. Band: Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität. Mit einem einleitenden Abschnitte über das Rechnen mit Yektorgrößen in der Physik. Von Dr. A. Föppl. 2., umgearb. Aufl. von Dr. M. Abraham. Mit 11 Figuren im Text. [XVIII u. 443 S.] gr. 8. 1904, geb. n..^ 12.— II. Band: Elektromagnetische Theorie der Strahlung. Von Dr. M. Abraham. Mit ö Figuren im Text. [X u. 405 S.j gr. 8, 1906. geb. n. J^ 10.—
1
Auerbaoii. l)r. S*elix, t^ofessor an der Universität Jena, die Grund* begriffe der modernen Naturlehre. Mit 79 Figuren im Text, [n u. 156 S.] 8. 1902. geb. n. .;«; 1 . 25.
Bdmflteiii. Dr. R.^ und Dr. W. Marokwald, Professoren in Berlin, Sichtoare und unsichtbare Strahlen! Mit 82 Abbildungen inv Text. [VI u. 142 S.] 8. geh. JK 1.— , geb. JC 1.25.
Brfisoh^ Dr. Wilhelm, Oberlehrer in Lübeck, Leitfaden der Elek- trizität im Bergbau. Mit 411 Abbildungen im Text. [VIU u. 298 S.] gr. 8. 1901. geb. n. UK 6.—
BryaOy G. H., Professor in Bangor (Wales), Lehrbuch der Thermo- dynamik, gr. 8. [BTScheint im Frlihjahr 1906.] i
BuohercMT^ Dr. A.H.. Privatdozent an der Universität Bonn, Elemente der Vektoranalysis.^Mit Beispielen aus der theoretischen Physik. 2. Auflage. [Vm u. 103 S.] gr. 8. 1905. geb. n. .IC 2.40.
Mathematische Einführung in die Elektronen-
theorie. Mit 14 Figuren im Text, [il u. 148 S.] gr. 8. 1904. geb. n. JL 3.20.
BxurUiardty H.« Professor an der Universität Zürich, Entwicklungen nach oszillierenden Funktionen. 1. Lfg. [176 S.] gr. 8. 1901. geh. n. JCb.%0. 2. Lfg. [S. 177-^400.] gr. 8. 1902. geh. n. J^ 7.60. 3. Lfg. [S. 401—768.] gr. 8. 1908. geh, n. JC 12.40. 4. Lfg. [S. 769 bis 1072]. gr. 8. 1904. geh. n. JL 10.—
[Die 5. (Schlad-)Liefenuig erloheint im Horbst 1905.]
Daarwin. George Howard^ Prof. an der Universität Cambridge, Ebbe und Flut, sowie verwandte Erscheinungen im Sonnen- systera. Autorisierte deutsche Ausgabe nach der zweiten englischen Auflage von A. Pockels in Braunschweig. Mit einem Einführunjcrs- wort von Professor Dr. Georg von Neumayer, Wirklichem Ge- heimen Admiralitätsrat und Direktor der deutschen Seewarte zu Hamburg, und 43 Illustrationen im Text. [XXII u. 344 S.] gr. 8. 1902. geb. n. J^ 6.80.
SPestsohrift Adolph Wüllner gewidmet zum siebBigsten Gheburts- tage 18. Juni 1905 von der Königl. Technischen Hochschule zu Aachen, ihren früheren und jetzigen Mitgliedern. Mit dem Bildnis A. Wüllners in Heliogravüre, 8 Tafeln und 91 Figuren im Text. [Vm u. 264 S.] gr. 8. 1905. geh. n. M.%.—, ^eb. n. JC.^.—
Fischer^ Dr. Eaxl T., Privatdozent an der Eönigl. Technischen Hoch- schule zu München, Neuere Versuche zur Mechanik der festen und flüssigen Körper (mit einem kurzen Anhange über das sog. „absolute Maßsystem^^), ein Beitrag zur Methodik des physikalischen Unterrichts. [68 8.] gr. 8. 1902. kart n. UK 2.—
Der naturwissenschaftliche Unterricht in England,
insbesondere in Physik und Chemie. Mit einer Obersicht der eng- lischen Unterrichtsliteratur zur Physik und Chemie und 18 Ab- bildungen im Text und auf 3 Tafebi. [VHI u. 94 S.] gr. 8. 1902. In Leinw. geb. n. JC 3.60.
Fleming, J. A., Professor der Elektrotechnik am University College zu London, Elektrische Wellen-Telegraphie. 4 Vorlesungen. Autorisierte deutsche Ausgabe von Dr. E. Aschkinafi, Privatdozent an der Universität Berlin. Mit 53 Abbildungen, gr. 8.
1905. [Unter der PresRe]
[FortsetKung am Ende des Buches.]
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THEORIE DER ELEKTRIZITÄT.
ZWEITER BAND:
ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE
DER STRAHLUNG.
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ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE
DER STRAHLUNG.
VON
Db. M. ABRAHAM.
MIT 5 FIGUREN IM TEXT.
LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. Gt. TEUBNER
1905.
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ALLE BECHTB, EINSCHLIBSZLICH DES ÜBEBSETZÜNGSREOHTS, VOBBBHALTEN.
Vorwort zum zweiten Band.
Die Mazwellsche Theorie des elektromagnetischen Feldes, in welche der erste Band dieses Werkes einführt, bildet gewisser- maßen das erste Stockwerk der modernen Theorie der Elektrizität. Eamn hatten die Physiker sich hier eingerichtet, als eine Fülle neuer Erscheinungen auf sie einstürmte und eine WeiterfOhrung des Baues erheischte. Das zweite Stockwerk des Gebäudes der Elektrizitätslehre, die Elektronentheorie, nimmt diese meist als elektromagnetische Strahlung sich kundgebenden Erscheinungen auf. Auf Maxwellschen Vorstellungen bauend, betrachtet die Elektronen- theorie den Eaum als ein physikalisches Eontinuum, welches die elektromagnetischen Wirkungen überträgt. Ausgangsstellen und AngrifiBsstellen dieser Wirkungen liegen in der Elektrizität. Diese soll aus unteilbaren Elementarquanten, „Elektronen'^ genannt, zusammengesetzt sein. Jeder elektrische Strom wird als Eonyektions- strom bewegter Elektronen aufgefaßt. Die Eathodenstrahlen werden gedeutet als ein solcher Konvektionsstrom negativer Elektronen, die mit großer Geschwindigkeit einander parallel sich bewegen; dieser „Konvektionsstrahlung" tritt die „Wellenstrahlung" gegen- über, die durch Schwingungen eben dieser Teilchen erregt sein soll. Der Theorie beider Arten elektromagnetischer Strahlung ist der vorliegende zweite Band der „Theorie der Elektrizität" gewidmet.
Der erste Abschnitt beginnt mit der Darlegung der physi- kalischen und mathematischen Grundlagen der Elektronentheorie. Es werden die Tatsachen aufgeführt, welche die Annahme einer atomistischen Struktur der Elektrizität nahe legen. Aus den Grund* gleichungen der Elektronentheorie wird der Begriff der „elektro- magnetischen Bewegungsgröße" abgeleitet, welcher für die elektro-
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VI Vorwort.
magnetische Mechanik überhaupt, sowohl für die Mechanik der Elek- tronen, wie auch für die Theorie des Strahlungsdruckes, von fundamentaler Bedeutung ist. Es werden femer allgemeine Lösungen der Grundgleichungen gegeben, mit Hilfe der „elektromagnetischen Potentiale ^\ die als Verallgemeinerungen des skalaren Potentiales elektrostatischer Felder, bzw. des Vektorpotentiales stationärer magne- tischer Felder anzusehen sind; jene Lösungen, auf welche wir weiterhin oft zurückgreifen, können auch durch einen einzigen Vektor zusammengefaßt werden, der von uns als „Hertzscher Vektor ^^ be- zeichnet wird.
Sodann folgt im zweiten Kapitel die Theorie einer beliebig bewegten Punktladung. Das schwingende negative Elektron büdet das einfachste, durch das Zeemansche Phänomen in vielen Fällen als naturgetreu bestätigte Modell einer Lichtquelle; was die ent- sandte Wellenstrahlung anbelangt, kann das Elektron in den meisten Fällen durch eine Punktladung ersetzt werden. So sind denn die Entwickelungen dieses Kapitels auch für die Dynamik des Elektrons von Literesse ^ um so mehr, als sie unabhängig von jeder Hypothese über die Gestalt des Elektrons sind.
Um die Mechanik des Elektrons vollständig zu entwickeln, be- darf es allerdings einer besonderen Annahme über dessen Form. Ich habe an der Annahme eines starren kugelförmigen Elektrons festgehalten, die ich der rein elektromagnetischen Theorie der Kathoden- und Radiumstrahlen zugrunde gelegt hatte. Mir scheint nichts vorzuliegen, was dazu nötigen könnte, diese Gmndhypothese fallen zu lassen. Lnmerhin habe ich auch den abweichenden Auf- fassungen von H. A. Lorentz in diesem Buche Rechnung getragen. Die wertvollen aus dem Bereiche der beobachtbaren quasistatio- nären Bewegung herausführenden Untersuchungen von P. Hertz und A. Sonmierfeld, welche gleichfalls auf der Voraussetzung des starren kugelförmigen Elektrons fußen ^ sind in die hier gegebene Darstellung der Dynamik des Elektrons eingearbeitet worden.
Der zweite Abschnitt beschäftigt sich mit den elektromagne- tischen Vorgängen in wägbaren Körpern. Die Hauptgleichungen der Elektrodynamik, welche die beobachtbaren elektromagnetischen Vektoren miteinander verknüpfen, ergeben sich nach H. A. Lorentz
Vorwort. VII
dnrch Mittelwertsbildung ans den für die Felder der einzelnen Elektronen geltenden Gleichungen. Für ruhende Körper erhält man auf diese Weise die Hauptgleichungen der Maxwellschen Theorie; f&r bewegte Körper aber folgen die Lorentzschen Glei- chungen, welche von denen der Hertzschen Elektrodynamik bewegter Körper verschieden sind, und mit der Erfahrung in besserer Über- einstimmung sich befinden. Daß die elektromagnetischen und die optischen Eigenschaften dielektrischer Körper durch die Anwesenheit Ton „Polarisationselektronen^' beMedigend erklärt werden, wird insbesondere ftlr die magnetische Drehung der Polarisations- ebene und die Dispersion der Körper gezeigt. Die metallische Leitung wird mit P. Drude auf frei bewegliche „Leitungs- elektronen" zurückgeführt, die in regelloser Wärmebewegung be- griffen sind.
Ln zweiten Abschnitt sind auch einige Probleme behandelt worden, welche mit der atomistischen Hypothese nur lose zusammen- hängen. Man findet hier Sätze abgeleitet, welche die Strahlung bestünmen, die von hochfrequenten Strömen in linearen Leitern entsandt wird; insbesondere die Anwendung dieser Sätze auf Sende- antennen ist f&r die drahtlose Telegraphie von Interesse. Ich bin allerdings auf diese Probleme nicht so ausführlich eingegangen, wie ich ursprünglich beabsichtigte, sondern habe mich mit der Darlegung desjenigen begnügt, was zur Beurteilung der bei der drahtlosen Telegraphie stattfindenden Vorgänge unentbehrlich ist.
Auf den Gesetzen der Lichtfortpflanzung im Eaume und auf den fundamentalen Sätzen der elektromagnetischen Mechanik beruht die gegebene Lösung des Problems der Eeflexion des Lichtes durch einen bewegten Spiegel. Diese Lösung ist aufs engste verknüpft mit dem thermodynamischen Gesetze der strahlenden Wärme, das Ton so hervorragender praktischer und theoretischer Bedeutung geworden ist. Aus der experimentellen Bestätigung dieses Gesetzes dürfen wir schließen, daß die Prinzipien der elektro- magnetischen Mechanik, auf welche unser Beweis sich stützt, der Wirklichkeit entsprechen.
Schwierigkeiten erwachsen der Elektronentheorie durch das negative Ergebnis aller bisherigen Versuche, die auf eine Ent-
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Vm Vorwort.
decknng des Einflusses der Erdbewegung auf das Licht irdischer Lichtquellen hinzielen. Zu diesen Fragen nehmen wir in den letzten Paragraphen Stellung.
Herrn Dr. P. Hertz bin ich für seine Mitarbeit an dem Re- gister, welches beide Bände der „Theorie der Elektrizität^^ umfaßt, zu Dank verpflichtet, und nicht minder Herrn Dr. G. Bfimelin for seine Hilfe beim Lesen der Korrekturen des zweiten Bandes.
Die Theorie der Elektrizität scheint jetzt in das Stadium einer ruhigeren Entwickelung eingetreten zu sein. Es scheint der Zeitpunkt gekonmien, wo man Halt machen und auf das Erreichte zuruckschauen darfl Einem solchen Eückblick ist das vorliegende Werk gewidmet. Es will über die Grundlagen der Theorie Klar- heit verbreiten und so den weiteren Fortschritt vorbereiten. Mag es dies Ziel nicht verfehlen!
Wiesbaden, im März 1905.
M. Abraham.
MaltsYerzeiclmis.
Erster Abschnitt. Das Feld und die Bewegoxig der einaelnen Elektronen.
Erstes EapiteL
Die physikaligelieii und mathematiselieii Onrndlagen
der Elektronentheorie. g^i^
§ 1. Das elektrische ElementarqnantnQi 1
§ 2. Die Eathodenstrahlen 6
§ 3. Klassifikation der Strahlungen 12
§ 4. Die Grondgleichnngen der Elektronentheorie 17
§ 5. Die elektromagnetische Bewegongsgröße 23
§ 6. Die elektromagnetischen Potentiale 87
§ 7. Integration einer Hüfsgleichnng 42
§ 8. Die Fortpflanzong elektromagnetischer Störungen .... 47
Zweites Kapitel.
Die Wellenstralilniig einer bewegten Pnnküadnng.
§ 9. Elektromagnetisches Modell einer Lichtquelle 59
§ 10. Der Zeeman-Effekt 73
§11. Die elektromagnetischen Potentiale einer bewegten Punkt- ladung 80
§ 12. Das Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung .... 87
§ 13. Das Feld einer ungleichförmig bewegten Punktladung ... 92
§ 14. Theorie des bewegten leuchtenden Punktes 102
§ 16. Die Bückwirkung der Strahlung auf ein bewegtes Elektron . 121
Drittes Kapitel.
Die Mechanik der Elektronen.
§16. Die Grundhypothesen der Dynamik des Elektrons und das
elektromagnetische Weltbild 136
§17. Die Bewegungsgleichungen des Elektrons 147
§ 18. Gleichförmige Translation elektrischer Ladungen . . . 158
§ 19. Bewegungsgröße und Energie des gleichförmig bewegten
Elektrons 170
Abraham, Theorie der Elektrizität, ü. a*
X Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 20. Die elektromagnetische Masse 181
§ 21. Die Ablenkbarkeit der Kathodenstrahlen und der /?- Strahlen 194
§ 22. Das Lorentzsche Elektron 201
§ 23. Der Bereich der quasistationären Bewegung 208
§ 24. Das Feld eines beliebig bewegten Elektrons 215
§ 25. Unstetige Bewegung des Elektrons 222
§ 26. Die innere Kraft eines beliebig bewegten Elektrons .... 236
§ 27. Gleichförmige Bewegung mit Überlichtgeschwindigkeit . . 245
Zweiter Abschnitt.
Elektromagnetisclie Vorgänge in wägbaren Körpern.
Erstes Kapitel.
Bullende E5rper«
§ 28. Ableitung der Hauptgleichungen aus der Elektronentheorie . 250
§ 29. Dispersion der elektromagnetischen Wellen 267
§ 30. Magnetische Drehung der Polarisationsebene 276
§ 31. Magnetisierung 282
§ 32. Elektrische Leitung 283
§ 33. Das elektromagnetische Feld hochfrequenter Ströme in line- aren Leitern 286
§ 34. Die Strahlung von Sendedrähten 297
Zweites Kapitel.
Bewegte E5rper«
§ 35. Die erste Hauptgleichung 310
§ 36. Die zweite Hauptgleichung , 317
§ 37. Der Versuch von Fizeau 326
§ 38. Der Druck der Strahlung auf bewegte Flächen * 329
§ 39. Der relative Strahl 336
§ 40. Die Reflexion des Lichtes durch einen bewegten Spiegel . . 343
§ 41. Die Temperatur' der Strahlung 351
§ 42. Die Lichtzeit in einem gleichförmig bewegten System . . . 366
§ 43. Der Versuch von Michelson 373
§ 44. Die Lorentzsche und die Cohnsche Optik bewegter Körper . 379
Formelzusammenstellung . 392
Register 396
Berichtigungen 405
Erster Abschnitt.
Das Feld und die Bewegung der einzelnen Elektronen,
Erstes Kapitel.
Die physikalischen nnd mathematischen Onmdlagen
der Elektronentheorie.
§ 1. Das elektrische Elementarquaiittun«
Wir erwähnten bereits im ersten Bande dieses Werkes (S. 191), daß die bei der Elektrolyse stattfindenden Vorginge die EinftÜirang atomistiscber Vorstellungen in die Elektrizitäts- lehre nahelegen. Den von Faraday entdeckten Gesetzen ge- mäß scheidet ein gegebener Ström in verschiedenen Elektro- lyten chemisch äquivalente und der Stromstärke proportionale Mengen wl^barer Materie an den Elektroden ab. Schreibt man der Materie eine atomistische Eonstitation zu, so kann man nicht umhin, auch die Elektrizität aus unteilbaren positiven nnd negativen Elementarquanten zusammengesetzt zu denken. An jeder Valenz eines elektrolytischen Ions würde ein solches Elementarquantum haften. Die sogenanate Faradaysche Eon- stante — die von einem Gramm Wasserstoff transportierte Elektrizitätsmenge — gibt nach dieser Auffassung den Quoti- enten aus Ladung e und Masse m^ eines Wasserstoffions an. Messen wir e in absoluten elektrostatischen Einheiten, so er- halten wir (1) 1 9660 . 3 . 10i<>-2,90 • 10
14
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Diese auf unmittelbarer Messung beruhende Beziehung ver- hnfipft das elektrische Elementarquantum e mit dem Atom- gewichte ms des Wasserstoffes.
Abraham, Theorie der Elektrizität, n. 1
2 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Die Annahme Ton Atomen der Elektrizität wird notwendige sobald man die wägbare Materie als atomistisch konstituiert betrachtet. Wenn nun auch die Atomistik in der Physik der Materie als wertvolle Arbeitshypothese sich erwiesen hat, so steht doch mancher Forscher auch heute noch auf dem Stand- punkte, daß für die Materie die Atom- und Molekularhypothese nicht sicher genug begründet sei, um das Lehrgebäude der Chemie und Physik auf ihr aufzubauen. Ein solcher Forscher wird sich durch die Tatsachen der Elektrizitätsleitung in Elektro- lyten nicht gezwungen finden, die reale Existenz eines elek- trischen Elementarquantums zuzugeben.
Nun hat aber im letzten Jahrzehnt die atomistische Hypo- these auf dem Gebiete der Elektrizitätslehre eine neue Stütze erhalten durch die Forschungen, die über die Elektrizitäts- leitung der Gase angestellt worden sind. Während die Gase, im Gegensatz zu den Metallen und den Elektrolyten, in ihrem normalen Zustande Nichtleiter oder wenigstens sehr schlechte Leiter sind, kann ihnen durch äußere Einwirkungen — z. B. durch Eathodenstrahlen, durch Röntgenstrahlen oder durch die Strahlung der radioaktiven Körper — eine abnorme Leit- fähigkeit gegeben werden. Diese abnorme Leitfähigkeit fuhrt man darauf zurück, daß durch Einwirkung jener Strahlungen im OtBse elektrisch geladene Teilchen entstehen, welche nun im elektrischen Felde wandern. Diese positiven und negativen Teilchen bezeichnet man, unter Beibehaltung des in der Elektro- lyse gebräuchlichen Wortes, als Ionen. Indessen hat man es bei diesen Gasionen nicht, wie etwa bei einwertigen elektro- lytischen Ionen, mit Verbindungen des elektrischen Elementar- quantums mit Bestandteilen nur eines Moleküles zu tun; es scheinen sich vielmehr in einem Gase dem elektrischen Kerne neutrale Moleküle in wechselnder, von Temperatur und Druck des Gases abhängiger Anzahl anzulagern.
Der Mechanismus dieser Anlagerung wird verständlich, wenn man auf Grund der Vorstellungen der kinetischen Gas- theorie die Wechselwirkungen der elektrischen Kerne mit den neutralen Gkismolekülen betrachtet und das unter dem Ein-
Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 3
fluß dieser Wechselwirkungen sich herstellende kinetische Gleich- gewicht untersucht. Da ein ausführliches Eingehen auf diese Dinge uns Yon dem eigentlichen Gegenstande dieses Werkes zn weit abführen würde^ so sei der Leser auf die sehr lehr- reiche Abhandlung Ton P. Langevin^) hingewiesen; dieselbe enthält auch eine Übersicht über die Eigenschafben ionisierter Gase, deren Kenntnis man hauptsachlich den Forschungen der Cambridger Schule yerdanki
Die Existenz diskreter elektrischer Teilchen in einem Gtwe, welches der Durchstrahlung mit Röntgenstrahlen, mit Kathodenstrahlen oder Badiumstrahlen ausgesetzt war, wird nun durch eine bemerkenswerte Eigenschaft eines solchen Gases bewiesen: Wird ein solches Gas mit Wasserdampf ge- mischt und der letztere, etwa durch plötzliche Expansion, in den Zustand der Übersättigung gebracht, so findet eine Kondensation des Wasserdampfes statt, es bildet sich eine aus kleinen Tröpfchen bestehende Wolke; und zwar findet dieses bei einem Grade der Übersättigung statt, bei dem ohne vor- herige Durchstrahlung des Gases eine Kondensation des Wasser- dampfes nicht erfolgt wäre. Da die Eigenschaft, den Wasser- dampf zu kondensieren, der durch die Durchstrahlung erteilten abnormen Leitfähigkeit parallel geht, so liegt es nahe, den Gas- ionen die Bolle von Kondensationskernen zuzuschreiben. Trifft das zu, so macht die Bildung Ton Wassertröpfchen um die Gkhsionen ab Kerne die Ghusionen der immittelbaren Beobach- tung und der Abzahlung zu^Lnglich.
Auf der Beobachtung derartiger Wolken von Wasser- tröpfchen fußen die Bestimmungen der Ladung eiaes Gasions, die von J. S. Townsend*), J. J. Thomson') und H. A. Wilson*) ausgeführt worden sind. Die Masse des einzelnen Tröpfchens
1) P. Langevin. Annales de Chimie et Physique (7). 28. S. 289 bis 384, 483—580. 1903.
2) J. S. Townßend. Phil. Mag. 46, S. 126. 1898.
3) J.J.Thomson. Phü. Mag. 46, S. 628, 1898; 48, S.647, 1899; 5, S. 846, 1903.
4) H. A. Wilson. Phü. Mag. 6, S. 429, 1903.
1*
4 Erster Abschnitt. Das Feld xl die Bewegang der einzelnen Elektronen.
kann ans der FaUgeschwindigkeit der Wolke berechnet werden.
Nach 6. Ot, Stokes ist die Geschwindigkeit, mit der eine kleine
Kngel vom Radius a unter dem Einfluß der Schwerkraft fallt,
durch die Formel gegeben
2 a»
wo g die Beschleunigung der Schwere, ^ den Reibungs- koeffizienten des Gases vorstellt. Aus dieser Gleichung ist der Radius und somit die Masse m der Tröpfchen zu bestimmen. Die Geschwindigkeit eines jeden Tröpfchens ist proportional der auf dasselbe wirkenden Kraft; wirkt nur die Schwere, so betragt die Kraft mg. Wird aber ein elektrisches Feld (B erregt, so ist der Schwerkraft mg die Kraft ed hinzuzufügen, die das Feld auf das geladene Tröpfchen ausübt. Diese Kraft wirkt, wenn (B vertikal nach unten gerichtet ist, im Sinne der Schwer- kraft oder im entgegengesetzten, je nachdem es sich um die positiven oder um die negativen Tröpfchen handelt. Die Fall- geschwindigkeit wird dadurch verändert, im Verhältnis
v' tng±e\i&
V mg
Durch Beobachtung der Fallgeschwindigkeit, zuerst unter dem Einfluß der Schwerkraft allein, dann unter Mitwirkung eines vertikalen elektrischen Feldes, kann somit die Ladung e des einzelnen Tröpfchens ermittelt werden. Auf diesem Wege fand H. A. Wilson fär e als mittleren Wert 3,1 • 10-i<> elektro- statische Einheiten. Dieses Ergebnis ist in guter Überein- stimmung mit den letzten Resultaten J. J. Thomsons.
Enthalt nun ein Tröpfchen nur ein einziges Ion, so ist durch diese Zahl die Ladung eines Gasions gegeben. A priori wäre es allerdings denkbar, daß einzelne Tröpfchen mehrere Ionen enthielten, doch ist dieses angesichts der gleichen Be- schaffenheit aller Tröpfchen höchst unwahrscheinlich. Es be- trägt hiemach die Ladung eines Gasions rund
(2) 6 = 3. 10-1«
elektrostatische Einheiten.
Erstes EapiteL Die plijs. xi. matlu Grundlagen d. Elektronentheorie. 5
Durch sinnreiche Versuche, die J. S. Townsend^) über die Wanderungsgeschwindigkeit und die Diffusion der Gasionen angestellt hat^ ist femer bewiesen^ daß die Ladung der Gasionen in allen Fallen gleich der Ladung eines einwertigen elektro- lytischen Ions ist. Dieses Ergebnis macht es höchst wahr- scheinlich, daß die elektrische Ladung der Teilchen, deren Existenz jene Kondensationsphänomene enthüllen, mit dem elektrischen Elementarquantum identisch ist.
Setzen wir den Zahlwert (2), der nach Townsend gleich- zeitig die Ladung eines Wasserstofiions angibt, in (1) ein, so erhalten wir als Masse eines Wasserstoffatoms:
(2a) mj= 10-«* Gramm.
Ist N die sogenannte Loschmidtsche Zahl, d. h. die Zahl der Moleküle, die sich bei normaler Temperatur und normalem Druck in dem Kubikzentimeter eines Ghuses befinden, so ist 2mE'N gleich der Dichte des Wasserstoffes (0,8961.10-*). Man erhält demnach für die Loschmidtsche Zahl
(2b) JV=4,5.10^^
einen Zahlwert, der mit den besten Bestimmungen aus gas- theoretischen Daten gut übereinstimmt und wohl als die ge- naueste vorliegende Bestimmung dieser für die Molekulartheorie fundamentalen Zahl anzusehen ist.
Wir finden also, daß die yerschiedensten Eigenschaften der Materie und der Elektrizität zu denselben Werten der fundamentalen Konstanten der Atomistik führen. Es bestätigen sich in erfreulicher Weise die Grundyorstellungen der atomistischen Hypothese. Wir werden daher in dem vorliegenden zweiten Bande der „Theorie der Elektrizität^^ die Elektrizität als aus kleinsten elektrischen Elementarquanten bestehend annehmen.
§ 2. Die Eathodenstrahlen«
Schickt man den elektrischen Strom durch eine stark evakuierte Glasröhre, so zeigen die Wände der Röhre eine
1) J. S. Townsend. Phil. Trans. 193, S. 129. 1899.
6 Erster AbBchmtt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
eigentOmliche grüne Flnoreszenz. Die experimentelle unter- snchnng dieser Erscheinnng, die zuerst Ton J. Plücker^ W. Hittorf und E. Goldstein unternommen wurde^ hat zu der Erkenntnis geführt^ daß man es hier mit einer Art Ton Strahlen zu tun hat; die Yon der Kathode ausgehen; sie wurden demgemäß Yon dem letztgenannten Forscher als ^^Eathodenstrahlen'^ be- zeichnet. Über die Natur dieser Strahlen wurden zwei yer- schiedene Hypothesen angestellt, die man als ^^Emissions- hypothese^^ und ^^Undulationshypothese^^ unterscheiden kann. Die Emissionshypothese, die hauptsächlich in England, durch W. Grookes und A. Schuster, entwickelt wurde, be- trachtete die Eathodenstrahlen als negativ geladene Gfasmole- küle, die yon der Kathode abgestoßen und in die Bohre hinein geschleudert werden. Manche Tatsachen, insbesondere die magnetische Ablenkbarkeit der Strahlen, fügten sich un- gezwungen dieser Erklärung. In Deutschland yerhielt man sich dieser ErkUming gegenüber dennoch ablehnend; man hielt die Kathodenstrahlen für eine yiel feinere, dem Lichte ähnliche Erscheinung. Diesen Standpunkt vertrat auch Heinrich Hertz, der zuerst fcuid, daß die Kathodenstrahlen durch dünne Metall- blättchen hindurchdringen. Er sah die magnetische Ablenkung der Kathodenstrahlen als einen der magnetischen Drehung der Polarisationsebene des Lichtes analogen Vorgang an und hatte wohl ursprünglich eine XTndulationstheorie im Sinne, welche die Kathodenstrahlen als longitudinale elektromagnetische Wellen deutete; zeigten doch die theoretischen Untersuchungen von Helmholtz, daß die Pemwirkungstheorie der Elektro- dynamik solche longitudinalen Wellen zuließ. Nachdem aber durch Hertz selbst die Maxwellschen Vorstellungen zum Siege geführt waren, blieb für longitudinale Wellen kein Platz mehr. So hat denn die XJndulationstheorie der Kathodenstrahlen nie- mals eine greifbare Gestalt angenommen. .
Jene Entdeckung von Heinrich Hertz wurde der Aus- gangspunkt für die rasche Entwickelung, welche die Theorie der Kathodenstrahlen in neuerer Zeit erfahren hat. Auf ihr fußten die Arbeiten von PL Lenard, welcher die Fortpflanzung
£rstes Kapitel. Die phjs. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 7
der Eathodenstrahlen außerhalb der EnÜadongsrölire yerfolgte und höchst bemerkenswerte Beziehungen der Absorption der Strahlen zur Dichte der durchstrahlten Substanz feststellte. Die Untersuchungen Lenards wiederum gaben den Anstoß zur Ent- deckung W. G. Bontgens^ daß die Glaswand beim Auftreffen der Kathodenstrahlen eine neue, yon ihm als X-Strahlen be- zeichnete Strahlenart aussendet.
Durch die Böntgensche Entdeckung wurde eine Reihe Ton Physikern zur quantitativen Untersuchung der Eathodenstrahlen angeregt Insbesondere sind die Arbeiten Tön E. Wiechert^), W. Kaufinann*), W. Kaufmann xmd KAschkinass*), sowie die- jenigen Yon J. J. Thomson^) und Ph. Lenard^) bemerkenswert. Diese bestätigten die Emissionshypothese insofern, als sie übereinstimmend ergaben, daß die Erscheinungen sich wider- spruchsfrei erklaren lassen, wenn man negativ geladene, trage Teilchen in dem Kathodenstrahle bewegt annimmt. Sie recht- fertigten anderseits die von den Gegnern der Emissionstheorie geltend gemachten Bedenken insofern, als sie fär den Quotienten aus Ladung und träger Masse der Teilchen Zahlwerte ergaben, die den Quotienten e : m^ aus Ladung xmd Masse eines elektro- lytischen Wasserstoffions um das Zweitausend&che übertreffen. Auch ergab sich, daß die Eigenschaften der Kathodenstrahlen von der chemischen Natur des Gases und dem Elektroden- material unabhängig sind und nur von der Potentialdifferenz abhängen, durch die sie auf ihre Geschwindigkeit gebracht sind. In Anbetracht dieser Tatsache wäre die Annahme, daß die Träger der Strahlen Atome der wägbaren Materie sind, etwa Wasserstoffatome, geladen mit 2000 negativen Elementar- qnanten, höchst unwahrscheinlich. Vom atomistischen Stand-
1) E. Wiechert. Sitzüngsber. d. plijs.- Ökonom. Ges. zu Königs- berg i. Pr. Jan. 1897, S. 1. Nachrichten der Göttinger Ges. der Wissensch. 1898, S. 87 n. S. 260.
2) W. Kaufmann. Ann. d. Phys. 61, S. 644. 1897.
3) W. Kaufmann n. E. Aschkinass. Ann. d. Phys. 62, S. 588. 1897.
4) J. J. Thomson. Phil. Mag. 44, S. 293. 1897.
5) Ph. Lenard. Ann. d. Phys. 64, S. 279; 66, S. 604. 1898.
g Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
punkte ans ist es eher plausibel, daß die Ladung jedes Strahl^ teilchens ein elektrisches Elementarquantom^ daß aber die trage Masse nur ein Zweitausendstel der Masse des Wasserstoffions ist. Die weitere Entwickelung hat diese letztere, insbesondere yon E. Wiechert und J. J. Thomson ausgesprochene Vermutung mehr xmd mehr bestätigt: Es sind die Ton wägbarer Materie freien Atome der negativen Elektrizität^ die sich im Eathodenstrahle bewegen.
Wir wollen mit J. Stoney diese Atome negativer Elektri- zität als ;,Elektronen^^ bezeichnen. Wir schreiben ihnen die Ladung (— e) und die trage Masse m zu und leiten, allein auf Grund dieser Eigenschaften, die an Eathodenstrahlen fest- gestellten Gesetze ab. Die Erörterung der Frage, wieso die Elektronen, wenn sie unbelastet mit wägbarer Materie sich bewegen, überhaupt Trägheit besitzen, weisen wir einem späteren Abschnitte zu.
Da die Bewegung des Elektrons im leeren Baume statt" findet, so brauchen wir zwischen magnetischer Liduktion 8 xmd magnetischer Feldstärke $ nicht zu unterscheiden. Auf das bewegte Elektron, von der Ladung (—6), wirkt somit im elektromagnetischen Felde nach Bd. I, Gleichung 24:6 a, S. 412, die Kraft
(3) « = -eSf,
WO
(3a) 5? = « + 7[ö§]
die auf die Einheit der Ladung berechnete elektromagnetische Eraft darstellt.
Die Bewegungsgleichung des Elektrons lautet daher
(4) ^'^--^^'
Wir führen zur Abkürzung für den Quotienten
(4a) « = —
^ ^ 'cm
aus dem elektromagnetisch gemessenen Betrage der Ladung (—\
Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Gnmdlagen d. Elektronentheorie. 9
und der Masse (m) des Elektrons die Bezeichnung ^^spezi- fische Ladnng^^ ein; es wird die Bewegungsgieichong
(4b) ^^-Cfi% = -en(B-v[t>§].
Das zweite Glied der rechten Seite der Bewegungsgleichnng, die vom magnetischen Felde herrührende Kraft bzw. Be- Bchleiinigang^ steht stets senkrecht auf dem Geschwindigkeits- yektor H; das Vorhandensein eines äußeren magnetischen Feldes bedingt also niemals eine Arbeitsleitung.
Ist insbesondere das änßere elektrische Feld ein elektro- statisches und q> sein Potential; so ist
(5) . m . -jj = c . F(|p.
Die skalare Multiplikation mit H ergibt
5^(^m.ti«) = «»ti^ = e(ö.r9,) = e-^.5-^, und die Integration nach der Zeit f£lr das Intervall von t^ bis t (5a) _ ^ . n« _ ^ ^H^« „ e (y _ y J
Hier steht links der Zuwachs der lebendigen Erafb des Elektrons, rechts die Arbeit, die das elektrostatische Feld in dem betreffenden Zeitintervalle an dem Elektron geleistet hat; letztere ist proportional dem Anstiege des elektrostatischen Potentiales.
Bewegt sich etwa das Elektron von der auf dem Potential (p^ gehaltenen Kathode bis zu einem Punkte, dessen Potential be- kannt ist, so bestimmt (5a) die Geschwindigkeit |ll|, wenn die Geschw;indigkeit |llo| gegeben ist, mit der das Elektron die Kathode ver^t. Diese AnÜEmgsgeschwindigkeit ist freilich unbekannt. Man nimmt indessen mit gutem Grunde an, daß diese Anfangsgeschwindigkeit klein ist gegen die Geschwindig- keiten, die es beim Durchlaufen des starken in der Entladungs- röhre herrschenden elektrischen Feldes erhält. Man setzt daher Hq == 0 and findet
(6) H'|-l/^(9'-9'o)=l/2ci? (9-9)0).
10 Erster Absclinitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Wir wollen nnn den Fall behandeln ^ wo das Elektron mit der so erhaltenen Geschwindigkeit (6) in einen Baum eintritt, in welchem ein konstantes elektrostatisches Potential herrscht. Ist kein magnetisches Feld vorhanden, so wird es sich gerad- linig mit konstanter Geschwindigkeit weiter bewegen. Treten indessen magnetische Kräfte hinzu, so wird die Bahn sich krümmen. Wir woUen annehmen, daß das magnetische Feld homogen ist, und daß das Elektron in dieses Feld mit einer zu den Kraftlinien senkrechten Geschwindigkeit hineinfliegt. Der BeschleunigungsTektor ist dann nach (4b)
(6a) ^ n[pm-
Das Elektron bewegt sich, wie die Zerlegung des Be- schleunigungsvektors in eine zti H parallele und eine zu H senkrechte Komponente (I, Gl. 8, S. 9) ergibt, in einer zu $ senkrechten Ebene mit konstanter Geschwindigkeit. Es be- schreibt eine Kreisbahn, deren Radius B durch die Gleichung bestimmt ist
^ = ij-Hi|-|§|.
Die Bahnkrümmung
(7) -1=«.^
ist demnach um so größer, je starker das magnetische Feld und je kleiner die Geschwindigkeit des Elektrons ist.
Ist das homogene magnetische Feld nicht senkrecht zu der ursprünglichen Bewegung des Elektrons gerichtet, so zerlegen wir zweckmäßigerweise den Geschwindigkeitsvektor H in zwei Vektoren, ü^ und ti^, von denen der erste zu $ parallel, der zweite zu $ senkrecht ist. Der erste liefert keinen Beitrag zu dem Vektorprodukte aus ti und §. Projizieren wir die Bewegung einerseits auf eine zu $ parallele Gerade, anderseits auf eine zu $ senkrechte Ebene, so zerfällt (6a) in die beiden Gleichungen
0-) '-sr-'>''-sr--^Ml
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Ghrundlagen d. Elektronentheorie. H
Die zu 1^ parallele £ompoiieiite der Geschwindigkeit bleibt konstant. Anf eine zu $ senkrechte Ebene projiziert; stellt sich die Bewegung als Kreisbahn dar^ mit dem reziproken BAdius
In einem homogenen magnetischen Felde beschreibt das Elektron demnach eine Schraubenlinie. In dem speziellen Falle^ wo die Bewegung anfangs senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien erfolgte, artet die Bahn in eine Kreisbahn aus.
Wir betrachten wieder den letztgenannten Spezialfall und drücken die Geschwindigkeit |ti| auf Grund von (6) durch die durchlaufene Spannungsdifferenz (97 — g)^) aus. Alsdann ergibt Gleichung (7):
Die Krümmung des Kathodenstrahles im senkrechten Magnetfelde ist der Wurzel aus der durchlaufenen Spannungsdifferenz umgekehrt proportional. Die Ver- suche Ton W. Kaufmann^) haben dieses Gesetz ergeben und so das Zutreffen der zugrunde gelegten Bewegungsgleichung bestätigt.
Diese Messungen konnten gleichzeitig dazu dienen, die spezifische Ladung der Kathodenstrahlträger zu ermitteln. So erhielten W. Kaufmann^) und S. Simon*) den Wert
(9) ,»^ = 1,865.10',
für die spezifische Ladung des negativen Elektrons.
Eine jede der Gleichungen (6) oder (7) kann verwandt werden^ um die Geschwindigkeit zu berechnen^ die den !Blektro^en in der Entladungsröhre erteilt wird. Dieselbe liegt bei den üblichen Spannungsdifferenzen von Anode und Kathode
1) W. Kaufmann. Ann. d. Phys. 61, S. 644. 1897.
2) W. Kaufmann. Ann. d. Phys. 66, S. 481. 1898. 8) S. Simon. Ann. d. Phys, 69, S. 689. 1899.
12 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
zwischen 7io ^^^ Vs ^®^ Lichtgeschwindigkeit. Werte von der- selben Größenordnung sind von E. Wiechert^) durch direkte Messung der Geschwindigkeit gefunden worden. Da nach (9)
(9a) ^ ^ 5,60 . 10"
ist, 80 folgt durch Yergleichnng mit (1)
(9 b) ^ = 1930
als Quotient der trägen Massen von Wasserstoffatom und Elektron.
§ 3. Klassifikation der Strahlungen.
Die Maxwellsche Theorie versteht unter ;,Strahlung^' einen elektromagnetischen Energiestrom; diesen bestimmt sie durch den Poyntingschen Vektor (vgl. I § 77, S. 356). Sie lehrt, daß die LichtweUen elektromagnetische Energie mit- führen, mithin als Strahlungsvorgange anzusprechen sind. Die LichtweUen, wie überhaupt alle elektromagnetischen Wellen, pflanzen sich in dem leeren Baume mit einer ganz bestimmten Geschwindigkeit
c=3-10"^
sec
fort (vgL I § 69, S. 303). Die verschiedenen Arten elektro- magnetischer Wellen, welche wir kennen, sind nur der Wellen- lange, aber nicht der Fortpflanzungsgeschwindigkeit nach ver- schieden. Ordnen wir nach der Wellenlänge, so haben wir zuerst die ultravioletten Strahlen, dann das eigentliche sichtbare Licht; dann folgen die ultraroten, nur durch ihre thermische Wirkung sich kundgebenden Strahlen, deren langwelligste die Bubensschen Beststrahlen sind. Zwischen den längsten be- kannten Wärmestrahlen (X = 6 • 10~' cm) und den kürzesten Wellenlängen der vom elektrischen Funken ausgelösten Schwin-
1) E. Wiechert. Nachr. der Göttinger Ges. der Wiseenscli. 1898, S. 260. Ann. d. Phys. 69, S. 739. 1899.
Erstes Kapitel, Die phjs. n, math. Grrandlageii d. Elektronentheorie. 13
gongen (X » 0;6 cm) klafft noch eine betriLchtliche Lücke. Dann folgt eine kontinuierliche Reihe von Wellen, die wir auf rein elektrischem Wege herzustellen vermögen; sie er- streckt sich Yon den raschesten Hertzschen Schwingungen bis zu den langsamsten Wechselströmen der Technik«
Alle diese Strahlungen können wir durch die Benennung ,, Wellenstrahlung'' kennzeichnen. Darunter yerstehen wir nicht nur rein periodische Wellen, sondern auch Wellen be- liebiger Wellenform* Das für die Wellenstrahlung Charak- teristische ist die unabänderliche Fortpflanzungsgeschwindigkeit im leeren Baume.
Zu der so definierten Wellenstrahlung gehören nun die Eathodenstrahlen, von denen wir im vorigen Paragraphen be- richteten, nicht. Diesen Strahlen kommt hingegen eine Eigen- schaft zu, die den obengenannten Wellenstrahlungen fehlt: sie fahren nicht nur Energie, sondern auch Elektrizität mit, Wir wollen eine jede Strahlung, die Elektrizität mitfELhrt, als „Eonvektionsstrahlung'' bezeichnen. Die Eathodenstrahlen insbesondere stellen einen Strom negativer Elektronen dar. Da wir die Eigenschaften dieser Atome der negativen Elek- trizität ab unabänderliche ansehen, so bleibt als unterschei- dendes Merkmal verschiedener Eathodenstrahlen nur die Ge- schwindigkeit der Elektronen übrig.
Die Geschwindigkeit der in einer Entladungsröhre zu erzeugenden Eathodenstrahlen hängt, wie wir sahen, von der Spannxmgsdifferenz der Elektroden ab. Man kann jedoch diese Spannungsdifferenz nicht beliebig wählen, da bei geringen Spannungen die Entladung nicht stattfindet, und da beliebig hohe Spannungen nicht zur Yerftigung stehen.* Hierdurch ist das „ Spektrum ^^ der uach der Geschwindigkeit geordneten £[athodenstrahlen begrenzt. Doch hat Ph. Lenard gezeigt, daß bei Betrachtang eines Metalles mit ultraviolettem Lichte Strahlen ausgesandt werden, welche ähnliche Eigeuschafteu, nur geringere Geschwindigkeit der Strahlteilchen aufweisen, wie die eigentlichen Eathodenstrahlen. Anderseits hat sich ergeben, daß die Strahlung radioaktiver Eörper, und zwar der
14 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegnng der einzelnen Elektronen.
Bestandteil der Strahlung, den BuÜierford als /3-Strahlnng bezeichnet hat; magnetisch in demselben Sinne, nur etwas schwächer, ablenkbar ist, wie die Eathodenstrahlen. Es lag nahe, hier negative Elektronen von größerer Geschwindigkeit zu yermuten. In der Tat haben die Untersuchungen Yon W. KauftnaiiTi, auf die wir später ausftihrlicher zurückkommen, gezeigt, daß die Geschwindigkeiten der in den j3- Strahlen an- zunehmenden Elektronen ein kontinuierliches Spektrum dar- stellen, das sich von Ys der Lichtgeschwindigkeit bis nahe an die Lichtgeschwindigkeit selbst heran erstreckt. Noch klafft eine Lücke zwischen den raschesten der messend zu verfol- genden Kathodenstrahlen und den langsamsten j3- Strahlen. Wenn diese ausgefüllt sein wird, so wird man eine kontinuier- liche Reihe von negativen Konvektionsstrahlungen haben, die von beliebig kleinen Geschwindigkeiten bis nahe an die Licht- geschwindigkeit heranreicht.
Von positiver Eonvektionsstrahlung haben wir bisher nicht gesprochen. Man hat gefunden, daß die leicht absorbier- bare Strahlung radioaktiver Körper, die sogenannte a-Strah- lung, aus positiv geladenen Teilchen besteht. Auch gewisse, die elektrische Entladung in verdünnten Gasen begleitende Erscheinungen, die Kanalstrahlen E. Goldsteins, hat man auf bewegte positive Teilchen zurückfuhren zu können geglaubt. Es haben sich für den Quotienten aus Ladung und Masse in beiden Fällen Zahlwerte ergeben, die von der Größenordnung des bei Wasserstoffionen vorliegenden Wertes waren. Doch sind diese positiven Konvektionsstrahlungen noch nicht ge- nügend erforscht, um Schlüsse auf die Natur der positiven Elektrizität zu ' gestatten. Hat man es hier mit den freien positiven Elektronen zu tun, und ist diesen eine so viel größere Trägheit zuzuschreiben, als den negativen? Oder sind diese Strahlteilchen, wie die Gasionen (§ 1), durch Anlagerung wägbarer Materie an die Elektronen entstanden? Oder ist etwa die positive Elektrizität überhaupt von der Materie nicht zu trennen? Das sind Fragen, deren Erledigung der Zukunft vorbehalten bleiben muß.
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Gbrandlagen d. Elektronentheorie. 15
In diesem zweiten Bande der ,;Theorie der Elektrizität'^ soll nun die elektromagnetische Strahlung in umfassender Weise behandelt werden, sowohl die Wellenstrahlnng, wie die EonTektionsstrahlung. Die Grandlage für die Theorie der Strahlung gewinnen wir, indem wir die atomisti- sehen Vorstellungen über die Konstitution der Elek- trizität mit den Faraday-Mazwellschen Ideen über das elektromagnetische Feld vereinigen. Die Ver- einigung dieser beiden Vorstellungskreise ist es, die zur modernen Elektronentheorie führt. Man trifft bei manchen Autoren die AufEassung an, daß die atomistischen Ideen in einem gewissen Gegensatze zur Maxwellschen Theorie stünden, und daß die Elektronentheorie eigentlich zu den alten Vor- stellungen der Femwirkungshypothese zurückkehre. Diese Auffassung ist indessen durchaus unzutreffend. Allerdings ist die Hypothese einer atomistischen Struktur der Elektrizität wohl zuerst, insbesondere durch Wilhelm Weber, in einer Weise eingeführt worden, welche den Vorstellungen der Fem- wirkungstheorie entsprach. Dieser Forscher stellte ein Ele- mentargesetz ftir die Wechselwirkung zweier elektrischer Atome an die Spitze und suchte auf dieses die gesamte Elektro- dynamik zu begründen. Daß diese Bemühungen Webers und anderer Physiker scheiterten, lag gerade an der Verkoppelung der atomistischen Vorstellung mit der Femwirkungshypothese, welche die der Atomistik innewohnende Entwickelungsfahigkeit erstickte. Erst die Abwendung Ton der Femwirkungstheorie und die Verschmelzung mit der Faraday -Maxwellschen Lehre konnte die atomistischen Keime zur Blüte bringen und ftir die Elektrizitätslehre fruchtbare Ergebnisse zeitigen.
Die Maxwellsche Theorie, weit entfernt, die Frage nach der Struktur der Elektrizität als unberechtigt zurückzuweisen, ermöglicht yielmehr erst eine allseitige Untersuchung der für diese Frage bedeutungsToUen Erscheinungen. Indem sie das Licht als elektromi^etischen Vorgang betrachtet, lehrt sie, aus der Strahlung einer Lichtquelle Schlüsse auf die Eigen- schaften der elektrischen Teilchen zu ziehen, die in den licht-
16 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
aussendenden Molekülen schwingen. So hat das Zeemansche Phänomen im Jahre 1896 gezeigt; daß eine große Zahl von Spektrallinien in der Bewegung der negativen Elektronen ihren Ursprung hat. Eine magnetische Zerlegung der Spektrallinien, die auf die Schwingungen positiver Elektronen in der Licht- quelle zurückzuführen wäre^ hat sich nicht feststellen lassen; infolge der größeren, diesen Teilchen anhaftenden trägen Masse würde eine solche Zerlegung auch theoretisch unterhalb der Gfrenze der Beobachtbarkeit liegen. Hier tritt die enge, yon der elektromagnetischen Lichttheorie behauptete Beziehung zwischen dem Konvektionsstrome und der Lichtstrahlung deut- lich hervor. Li der Sprache der Elektronentheorie läßt sich diese Beziehung so formulieren: Die Konvektionsstrah- lung ist ein Strom freier Elektronen, die Wellen- strahlung nimmt ihren Ausgang von Geschwindig- keitsänderungen der Elektronen.
Wo die Eathodenstrahlen auf die Rohrenwand treffen, nehmen die Eöntgenstrahlen ihren Ursprung. Wir werden, mit G. G. Stokes und E. Wiechert, in diesen magnetisch nicht ablenkbaren Strahlen die elektromagnetischen Wellen sehen, welche von den gehemmten Elektronen ausgehen. Dabei scheint es sich nicht um periodische Wellenzüge, sondern um Einzel- impulse zu handeln, deren Lnpulsbreite weit kleiner ist als die Wellenlänge der kurzwelligsten xdtravioletten Strahlen. Aus den Beugungsversuchen von Haga und Wind hat sich ergeben, daß die Impulsbreite 10~~^ cm beträgt^ falls es sich überhaupt um Wellenimpulse handelt. Doch ist es, da die Röntgen- strahlen sich weder brechen noch spiegeln lassen, schwierig, ihre Wellennatur experimentell festzustellen.
Die dritte, nicht ablenkbare Klasse der Radiumstrahlen, die sogenannten 7/- Strahlen, weist Eigenschaften auf, welche denen besonders durchdringender Röntgenstrahlen gleichen. Es liegt nahe, sie als die Wellenimpulse anzusprechen, welche beim Fortschleudern der Elektronen durch die radioaktiven Atome erregt werden.
Erstes Kapitel. Die phys. n. inath. Grandlagen d. Elektronentheorie. 17
§ 4. Die Grundglelohimgeii der Blektronentheorie.
Um zu den Orandgleichnngen der Elektronentheorie zu gelangen, gehen wir yon den Hauptgleichnngen der Maxwell- schen Theorie aus (I, § 59, S. 235 ff.). Die erste Hauptgleichong lautet (I, GL 177)
curl 1^ = --^ . r,
wobei ( die Dichte des Gesamtstromes ist.
Die Elektronentheorie kennt nur zWei Bestandteile des Gesamtstromes, den Yerschiebungsstrom im Äther und den Konyektionsstrom bewegter Elektronen; die Dichte des Yer- schiebungsstromes im Äther ist gleich
1 a<
4« ar
die Dichte des elektrostatisch gemessenen Eonvektionsstromes ist gegeben durch
1 - 9 . H (vgl. I, Gl. 159, S. 190),
wo Q die räumliche Dichte, li die Geschwindigkeit der kon- yektlT bewegten Elektrizität bezeichnet. Wir wollen der ein- facheren Schreibweise wegen es vorziehen, den Eonvektions- ström elektromagnetisch zu messen. Alsdaim wird
(10) I =
p.O
c
}
und es ist die erste Ghrundgleichung zu schreiben
(I) cnrl»-i^ = 4«I.
In der zweiten Hauptgleichung (I, Gl. 178, S.238) streichen wir die eingeprägte elektrische Eraft. Im leeren Eaume, wo O s= ^ ist, nimmt die zweite Hauptgleichung die Form an:
(H) curl« + l^-0.
Diese beiden Grundgleichungen nehmen wir auch im Xnnem der Elektronen als gültig an.
Abraham, Theorie der ElektrizitftV IL 2
18 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegang der einzelnen Elektronen.
Die allgemeine Beziehung zwischen der Dichte der Elek- trizität nnd der Divergenz der elektrischen Yerschiebnng (vgl. I^ Gl. 137, S. 145) behält die Elektronentheorie bei; da sie all- gemein ® = j- tf setzt, so wird
(in) div«-4Ä(>.
Auch die allgemeine Bedingung der Quellenfreiheit des Vektors » (I, Gl. 178 a, S. 239) wird aus der MaxweUschen Theorie herübergenommen; da 8 mit $ identifiziert wird, so wird
(IV) div # == 0.
Für den Yon Materie und Ton Elektronen leeren Baum, wo Q und I verschwinden, stimmen diese Grundgleichungen mit den Hertz -Heavisideschen Feldgleichungen überein; sie führen, wie jene, zu dem Ergebnisse, daß hier ebene elektro- magnetische Wellen nach allen Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit c forteilen. Auf dasjenige Bezugssystem, in dem diese Isotropie der Wellenfortpflanzung wirklich statthat, sind die Bewegungen der Elektronen zu beziehen. Es wird gestattet sein, die so bestimmt gedachten Bewegungen der Elek- tronen und der wägbaren Eorper als „absolute Bewegungen^' zu bezeichnen (vgl. I, S. 430ff.). Die auf jenes Bezugssystem bezogene absolute Geschwindigkeit ü der Elektronen ist es, welche in den Ausdruck (10) für die Dichte des Konvektions- stromes eingeht. Neben dem kinematischen Vektor li enthält das System der Feldgleichungen (I) bis (IV) nur zwei Vektoren, den elektrischen Vektor d und den magnetischen Vektor $. Es ist anzusehen als die einfachste Erweiterung des für den Äther geltenden Systemes von Feldgleichungen, welche die ein- gelagerten Elektronen und ihre Bewegung berücksichtigt.
Zu diesen Feldgleichungen tritt endlich eine Aussage über die an den Volumelementen der Elektronen angreifende Ejrafb. Es wird, in Übereiustimmung mit Bd. I, Gl. 246 a, S. 412, für die auf die Einheit der Ladung wirkende Eraft der Ansatz gemacht
(V) 5 = « + ^[ti$}
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Gbrandlagen d. Elektronentheorie. 19
Wir können diesen Ansatz .um so elier akzeptieren, als wir ja im § 2 dieses Bandes uns davon überzeugt haben, daß er die Kraft, die in einem gegebenen äußeren Felde auf die Kathodenstrahlteilchen wirkt, in befriedigender Weise darstellt Der Vektor f^, die „elektromagnetische Kraft pro Ein- heit der Ladung^', ist durch die Grundgleichung (Y) auf die drei in den Feldgleichungen auftretenden Vektoren zurück- geführt.
Wir wollen uns davon überzeugen, daß der zugrunde gelegte Ansatz für die elektromagnetische Kraft mit dem Energieprinzipe übereinstimmt. Wir denken uns zu diesem Zwecke einen Bereich v, der yon der ruhenden Flache f be- grenzt ist. Auf die im Volumelemente dv enthaltene Elek- trizität übt das elektromagnetische Feld die Kraft %Qdv aus. Diese leistet pro Sekunde die Arbeit
Der Tom magnetischen Felde herrührende Anteil der Kraft, der stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektrizitöt weist, tragt zur Arbeit nichts bei. Durch Integration über den Bereich v erhalten wir mithin für die Arbeitsleistung der elektromagnetischen Kräfte
dA dt
-j{Q^,iS)dv.
Da nun, nach (10), der Vektor q^ die Dichte des Kon- yektionsstromes bestimmt, so folgt aus der ersten Grund- gleichung
dA
dt
cß, «) dv = ^fdv («, curl § ~ i ^)
Femer ist, nach einer allgemeinen Regel der Vektor- rechnung (I, Gl. 102a, S. 93),
Jdfl9i9]v ^Jdv § curl <E -fdv d curl 9, oder, mit Rücksicht auf die zweite Ghmndgleichung,
2*
20 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen«
fdv « ctirl § - - ^fdv P ^ -fdmmn
dabei stellt v die äußere Normale der Begrenznngsfiäche f vor. Es folgt also schließlich
(") w — Ä/is(«'+»'|-/'"'Ä[«»].-
Dieses ist nichts anderes als die Energiegleichang. Setzen wir^ in Übereinstimmung mit der Maxwellschen Theorie;
(12) ^=/S(«' + ^1
filr die elektromagnetische Energie des Banmes und
(13) « = iliM
für den elektromagnetischen Energiestrom^ so können wir (11) schreiben
dA , r,^Ä dW
Die Arbeit der elektromagnetischen EräftC; die in dem Bereiche v wirken^ yermehrt um den elektromi^etischen Energiestrom; der durch die Begrenzungsflache f hinausstromt, ist der Abnahme der elektromagnetischen Energie des Bereiches gleich; Arbeitsleistung der elektromagnetischen Eräfbe und Strahlung erfolgen beide auf Kosten der elektromagnetischen Energie TT; dabei sind für Energiedichte und Energiestrom die aus der Maxwellschen Theorie bekannten Ausdrücke bei- zubehalten. Gleichung (11) spricht das Energieprinzip für das elektromagnetische Feld bewegter Elektronen aus. Wie unser Beweis zeigt; folgt dasselbe aus den Ghnmdgleichungen (I) bis (V); es stellt keineswegs eine neuC; von den Grundglei- chungen unabhängige Aussage dar.
In den allgemeinen Grundgleichungen (I) bis (Y) der Elektronentheorie ist die Idee der atomistischen Konstitution der Elektrizität noch nicht zur Formulierung gelangt; diese Ghrundgleichungen würden es noch zulassen; daß die Elektrizii»t
Erstes Kapitel. Die pliys. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 21
kontinuierlich den Banm erfüllte. Die atomistische Hypothese nimmt indessen an^ daß die Elektrizitöt^ die positive und die negative, ans Elementarqnanten ± e besteht ^ die durch den Äther Yoneinander getrennt sind. Dabei genügt es bisweilen^ die Ladungen als Punktladungen au&ufassen^ insbesondere; wenn es sich um die vom Elektron entsandte Wellenstrahlung handelt. Doch bringt die Annahme punktförmiger Elektronen gewisse Schwierigkeiten mit sich. Es besitzt immlich das Feld; welches eine ruhende Ladung yon endlichem Betrage umgibt; eine elektrostatische Energie; die unendlich wird; wenn die Ladung sich auf einen Punkt zusammendrangt. Schon diese Erwägung deutet aU; und die eingehende Untersuchung bestätigt eS; daß die Elektronen; streng genommen; nicht als elektrische Punkte zu betrachten sind; da ja ihre Ladung und ihre Energie endlich sein soUen. Wir können nicht umhiU; der Dynamik der Elektronen neben den allgemeinen Ghrund- gleichungen (I) bis (Y) noch besondere Voraussetzungen über die Form und Bewegungsfreiheit dieser Teilchen zugrunde zu legen. Doch werden wir hierauf erst im dritten Kapitel dieses Abschnittes eingehen.
Wir haben die Ghrundgleichungen (I) bis (Y) erhalten, indem wir Ton den allgemeinen Gleichungen der Maxwellschen Theorie ausgingen und diese in gewisser Weise vereinfachten. Es braucht kaum ausdrücklich bemerkt zu werden; daß dieses Verfahren nur ein heuristisches ist und keine Beweiskraft besitzt. Müssen wir doch jedesmal; wenn wir eine auf einem gewissen Gebiete als richtig erkannte Theorie auf ein neues Erscheinungsgebiet anwenden woUeU; mit der Möglichkeit rechnen; daß sie diesen neuen Tatsachen gegenüber versagt. Für eine Theorie ist die Eroberung einer neuen Provinz stets ein unternehmen; das nur der Erfolg rechtfertigen kann.
Die Torgenommene Übertragimg der Mazwellsdum Glei- chungen auf die Felder der Elektronen ist insbesondere auch aus dem Grunde hypothetisch; weil diese Felder niemals einer direkten experimentellen Prüfang zugänglich werden können. Denn die Methode der Untersuchung des Feldes durch einen
22 Erfiter Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Probekörper ist wolil auf die Felder anzuwenden; Ton denen der erste Band dieses Werkes handelte, aber nicht anf die Felder der Elektronen selbst. Der kleinste denkbare Probe- körper ist nämlich; wenn anders die atomistische Yorstellnng zntrifit; das Elektron selbst. Das Feld nun, welches das ein- zelne Elektron nmgibt; wechselt natürlich nach Richtung und Sförke beträchtlich in Bereichen yon der Ghrößenordnung des Elektrons. Zu seiner Ausmessung würde ein Probekörper not- wendig seiu; dessen Dimensionen klein gegen diejenigen des Elektrons sind. Es ist also aus prinzipiellen Gründen, yon experimentellen Schwierigkeiten ganz abgesehen, das Feld, auf das unsere Ghiindgleichungen sich beziehen, der direkten Messung unzu^mglich. Die Bestätigung der Grundgleichungen muß in dem Zutreffen ziemlich entfernter Folgerungen gesucht werden. Zunächst ist die Übertragung der Grundgleichungen Yon den der Beobachtung zugänglichen Feldern auf die Felder der Elektrizil^tsatome eine durchaus hypothetische.
Eine jede atomistische Theorie muß indessen in ent- sprechender Weise verfahren. So kann die kinetische Gras- theorie nicht umhin, die Bewegung und den Stoß der Gas- moleküle nach Gesetzen zu behandeln, welche der Mechanik der greifbaren Körper entnommen sind. Es kann niemals direkt experimentell nachgewiesen werden, daß die Bewegungen der Moleküle wirklich diesen Gesetzen gehorchen. Die Be- rechtigung der gemachten Voraussetzungen kann erst nach- tnlglich dadurch geführt werden, daß man ihre Konsequenzen verfolgt und als zutreffend nachweist. Dabei liegt die Sache sogar in der Elektronentheorie insofern günstiger, wie in der Molekulartheorie der Materie, als die Eigenschaften der freien Elektronen selbst in den S^athodenstrahlen und verwandten Strahlungen dem Experimente zü^Lnglich werden, während die regellösen Bewegungen der unelektrischen Atome und Moleküle der direkten Beobachtung unzugänglich und nur in ihren über meßbare Bemche erstreckten Mittelwerten zu den mechanischen und thermischen Eigenschaften der Materie in Beziehung zu setzen sind.
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Grandlagen d. Elektronenthebrie. 23
Die Elektronentheorie beansprucht^ die elektrischen, magne- tischen und optischen Eigenschaften der Materie in ihrer Ge- samtheit darzustellen. Sie geht dabei Ton gewissen Voraus- setzungen über die Eigenschaften der Elektronen in leitenden, dielektrischen und magnetisierbaren Körpern aus und gelangt durch Mittelwertsbildung über Bereiche, die eine sehr große Zahl Ton Elektronen enthalten, zu den Ebiuptgleichungen der Maxwellschen Theorie für ruhende Körper; dabei werden die Beziehungen der elektrischen Verschiebung und der Leitungs- stromdichte zur elektrischen Feldstarke, sowie die Beziehung der magnetischen Feldstarke zur magnetischen Induktion an- schaulicher gedeutet und in mancher Hinsicht der Erfahrung besser angepaßt als in der rein phänomenologischen Maxwell- Hertzschen Darstellungsweise.
Der erste, der die GrundgediEmken der Elektronentheorie klar formuliert und in umfassender und folgerichtiger Weise insbesondere auf optische Fragen angewandt hat, ist -H. A. Lorentz gewesen. Er hat die elektromagnetische Theorie der Farbenzerstreuungi) und die Optik bewegter Körper«) von diesem Standpunkte aus entwickelt. Auch die Entdeckung Zeemans ist auf seine Anregung zurückzuführen. Wenn über- haupt die Elektronentheorie, an deren Erfolgen so viele experimentelle und theoretische Physiker Anteil haben, mit dem Namen eines einzelnen Forschers in Verbindung gebracht werden soll, so kann wohl nur der Name von H. A. Lorentz in Frage kommen.
§ 5. Die elektromagnetische Bewegnngsgröße.
• Wie wir bereits im ersten Bande dieses Werkes (§ 89) erwähnten, besteht hinsichtlich der Beziehung zum dritten Axiome der Newtonschen Mechanik ein gewisser Gegensatz
1) H. 4. Lorentz, Ann. d. PhyiB. 9, S.641, 1880.
2) H.A. Lorentz, La thdorie ^lectromagnätiqne de Maxwell et son application anx corps mouvants. Leide, E. J. Brill, 1892.
H.A. Lorentz, Yersnch einer Theorie der elektrischen nnd optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. Leiden, E.J. Brill, 1895.
24 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegtmg der einzelnen Elektronen.
zwischen der Maxwell -Hertzsclieii Theorie einerseits und der Lorentzschen Theorie anderseits. Jene nimmt an^ daß die auf einen Körper wirkenden elektroma^etischen Kräfte stets ans gewissen; über seine Oberflache verteilten Druck- und Zug- kräften resultieren, wobei zwar das Gesetz von Wirkung und Gegenwirkung erfüllt ist^ aber zuweilen Ejräfte auf die Yolum- elemente des Äthers auftreten. Der Lorentzschen Theorie sind solche Kräfte auf die yon Elektrizität leeren Yolumelemente des Baumes fremd. Sie läßt elektromagnetische Kräfte nur auf die Elektrizität wirken; die auf die Yolumeinheit berech- nete elektroma^etische Kraft (Y) der Lorentzschen Theorie
(14) ^5»9[« + i[|,^]j
verschwindet mit der elektrischen Dichte q.
Wir wollen nunmehr die Konsequenzen verfolgen, die sich aus dieser Auffassung hinsichtlich der Stellung der Elek- tronentheorie zum dritten Axiome Newtons ergeben.
Wir ziehen, ebenso wie in Bd. I, S. 414, die Identitäten heran
(14a) «.div«-[«curl«]^ = ^|(«,»-«/-«^') (14b) §.div§^[9cml§],^^^(9J^§,^-§/)
Mit Rücksicht auf die Grundgleichungen (I) und (III) geht
über in
(14c) 95 = 2.{«diT«-[$,curl$-l^]).
Anderseits folgt durch Addition Ton (14a) and (14b), auf Grund von (H) und (IV)
(15)
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 25 (14d) «. dir e + j[(B^l- [$ curl §1
wobei in einer in der Elastizitatstheorie gebräuchlichen Schreib- weise
4«Xy = «,(gy + §,.$y, 43rX, = «,«,+ §«$,
gesetzt ist. Durch Eombination von (14c) and (14d) er- halten wir
oder nach Einfahrong des Poyntingschen Strahlyektors
• = iliM (vgl GL 13)
dX dX dX 1 a« (16) 9»« = W + V + ^-o-W-
Entsprechende Gleichungen:
gelten fiir die beiden anderen Komponenten der elektromagne- tischen Kraft.
Wir überzeugen uns unschwer davon^ daß die drei ersten Glieder der rechten Seiten die Ton den Maxwellschen Span- nungen auf die Yolumeinheit des Baumes ausgeübte Kraft darstellen. In der Tat^ setzen wir in den Gleichungen (248) und (249) in § 89 des ersten Bandes^ welche bzw. die elek- trische und magnetische Flächenkraft darstellen^ « » ^ » 1, 8Q wird
(17) at-r + at"' = ^|2«.«. + 2$. $,-«(«»+$«));
26 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
dabei stellt n einen Einheitsvektor yot, der in Richtung der änßeren Normalen v der Flache weist^ über welche die Flachen- kraft % verteilt ist. Die parallel der a;-Achse genommene Komponente dieser von den Maxwellschen Spannungen auf die Flächeneinheit einer beliebig gestellten Fläche ausgeübten Eraft ist demnach
(17a) «. = ^ {2«,«. + 2#.#, - cos (vx) («« + 1^«)) •
Legt man nun die Normale v des betrachteten Flächen- elementes der Reihe nach parallel der a;-Achse; der y- Achse und der jsr- Achse; so erhält man für %x die durch (15) ein- geführten Ausdrücke Xxy Xy, X», Diese stellen demnach die parallel der :%;- Achse genommenen Komponenten der Flächen- kraft X vor, die auf die FUlcheneinheit dreier den Koordinaten- ebenen paralleler Flächenelemente wirkt; diese drei Ghrößen und die durch zyklische Yertauschung der Koordinaten ent- stehenden Größen sind mit dem Spannungssysteme identisch, welches Maxwell im elektromagnetischen Felde wirkend an- nahm; dasselbe ist durch 6 ;, Stresskomponenten''
charakterisiert. Den Lehren der Elastizitätsiheorie gemäß besitzt die von diesen Spannungen auf die Yolumeinheit aus- geübte Kraft die Komponenten
dx^ az„ dx^
"äS" + "ä/ + "äF Pa^a^el d^^ a;- Achse,
ar^ ar ar^
T^ + 'd^ + 'W P«^«^®1 ^®^ y- Achse,
az_ dZ^ dz,
aS" + lif + ä7 Pö^allöl der ^- Achse.
Nach Maxwell und Hertz sind dieses die auf die Yolumeinheit berechneten Komponenten der elektro- magnetischen Kraft. Nach Lorentz^) ist noch die Kraft
1) H. A. Lorentz, Die elektrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. 1895. S. 24 ff.
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. GrondlAgen d. Elektronentbeorie. 27
c« dt
pro Yolameinheit hinzuzufügen, um die gesamte elektromagnetische Kraft q*^ der Elektronentheorie zu erhalten. Diese Zusatzkraft hebt fOr die Yolumelemente des Yon Elektrizität leeren Raumes gerade die von den Max- wellschen Spannungen ausgeübte EJraft auf. Wir können dieses Zusatzglied der Anschauung naher bringen^ indem wir eine ^^elektromagnetische Bewegungsgröße^' über das Feld mit der Dichte (18) g = i..« = ^[«f]
verteilt denken.*) Dieselbe ist durch die Vektoren % § be- stimmt, für einen jeden Punkt des Feldes. Einer zeitlichen Änderung des Poyntingschen Vektors S entspricht eine Ände- rung der elektromagnetischen Bewegungsgröße, die eine Träg- heitskraft
c« dt
hervorruft. Durch diese TnLgheitskraft, im Verein mit der über die Oberfläche des betreffenden Bereiches verteilten Flächenkraft % (öl. 17) ist die durch die Glrundgleichung (V) definierte elektromagnetische Eraft vollständig zu ersetzen.
In der Tat, integrieren wir die Gleichung (16) über einen Bereich v, der von der ruhenden Fläche f umschlossen ist, so erhalten wir als o;- Komponente der resultierenden Kraft
= / df{Xx cos (vx) + Xy cos {vy) + X» cos {vz)] — ji j %» dv.
Nach (15) und (17 a) ist
Xa- COS {vx) + Xy COS (yy) + X, cos {vß)
=- ^ • 1 2«,«, -f 2#.#. - cos (i/rr) («« -h #•) ) = «.
1) M. Abraham, Prinzipien der Dynamik des Elektrons. Ann. d. Phys. 10 (1908). S. 105.
28 Irrster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegxmg der einzelnen Elektronen.
die a;- Komponente der Flachenkraft %. Gelien wir sogleich zur Vektorgleichung üher, so erhalten wir
(19) ft =fdv 9» ^fdft - ^, wohei
(20) ® *v/ ^^ 9 J^^ * f^
die gesamte^ in dem Bereiche v enthaltene elektromagnetische Bewegungsgröße ist.
Die EJraft, welche das elektromagnetische Feld auf einen beliebigen Körper ausübt^ ist nach der Lorentzschen Theorie gleich der resultierenden EJraft St auf die im Innern des Körpers befindlichen Elektronen. Es besagt daher Glei- chung (19): Die resultierende elektromagnetische Kraft auf einen beliebigen Körper ist gleich dem über seine Oberfläche erstreckten Integral der Flächen- kraft %, vermindert um die zeitliche Zunahme der gesamten im Innern des Körpers befindlichen elektro- magnetischen Bewegungsgröße.
Wir können die Gleichung (19) auch auf ein System von Körpern anwenden^ welche in den Äther eingelagert sind. Wir haben dann im Äther eine Fläche zu konstruieren^ welche das ganze System einschließt Auf dieser Fläche haben wir uns die fingierte Flächenkraft % angebracht zu denken; auch haben wir die elektromagnetische Bewegungsgröße sowohl im Innern der Körper^ als auch in dem Baume zwischen den Körpern in Eechnung zu ziehen.
Eine besonders einfache Form nimmt der Ausdruck (19) der elektromagnetischen Gesamtkraft an^ falls wir die Fläche f, die das Körpersystem umschließt^ uns so weit entfernt denken^ daß sie in dem ganzen Zeitintervalle, in dem der zu betrach- tende Vorgang sich abspielt, nicht von dem elektromt^e- tischen Felde erreicht wird. Dann verschwindet mlmlich auf der Fläche f der Vektor 3t, der ja durch die daselbst herr- schenden Feldstärken bestimmt ist. Es fällt das erste Glied
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 29
im Aasdrack (19) fort, und die elektromagnetische Gesamt- kraft wird
(21) « - - ^-
Die Gesamtkraft, welche das elektromagnetische Feld auf ein Eörpersystem ausübt, ist gleich der zeitlichen Abnahme der elektromagnetischen Be- wegungsgröße des gesamten Feldes.
Das System, welches aus den Körpern und dem gesamten elektromagnetischen Felde gebildet ist, können wir als ein in elektromagnetischer Hinsicht abgeschlossenes System bezeichnen. Für ein solches nimmt auch die Energiegleichung (11) eine yereinfachte Form an, da eine Ausstrahlung durch die Be- grenzungsflache / hindurch nicht in Betracht zu ziehen ist. Es wird die gesamte Arbeit der elektromi^etischen Kräfte
/99X dA dW
Diese Relation ist es, welche die Bezeichnung des durch (12) definierten Skalars W als „elektromagnetische Energie^' rechtfertigt. In entsprechender Weise rechtfertigt die Relation (21) die Bezeichnung des durch (20) definierten Vektors ® als „elektromagnetische BewegungsgröBe^' oder „elektro- magnetischer Impuls'^ des Feldes.
Ist E die gesamte Energie der wägbaren Körper des ab- geschlossenen System es, so ist der Zuwachs yon E der Arbeit der elektromagnetischen Kräfte gleich; es folgt demnach aus (22)
(22a) E + W-^ Constans.
Die Summe aus der Energie der wägbaren Körper und der elektromagnetischen Energie des Feldes ist für ein abgeschlossenes System konstant.
Dieser allgemeinen Fassung des Energieprinzipes können wir eine allgemeine Fassung des Impulssatzes gegenüberstellen. Nach den Lehren der Mechanik ist die zeitliche Zunahme des Gesamtimpulses S) der wägbaren Massen der Resultierenden der äußeren Kjäfte gleich. Da die mechanischen Wechselwirkungen
30 Erster Abscfanitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
dem Frinzipe Yon Wirkung und Gegenwirkung Genüge leisten^ 80 liefern sie zu der resultierenden Kraft keinen Beitrag. Es besagt daher der Impulssatz: Die zeitliche Änderung des mecha- nischen Impulses fß ist gleich der resultierenden elektro- magnetischen Erafb St:
dt ""■•^'
Setzen wir hier f&r St den in (21) erhaltenen Ausdruck ein und bringen 0 auf die andere Seite^ so erhalten wir
(23) ß + *0 » Gonstans.
Die Summe aus dem mechanischen Impulse der wägbaren Körper und dem elektromagnetischen Im- pulse des Feldes ist für ein abgeschlossenes System konstant.
Der so verallgemeinerte Impulssatz ist für das Folgende Yon fundamentaler Bedeutung. Der gegebene Beweis zeigt^ daß die Einführung des elektromagnetischen Impulses ebenso- wenig eine neue Hypothese darstellt^ wie die Einführung einer elektromagnetischen Energie. Es handelt sich hier wie dort nur um einen zweckmäßigen Ausdruck gewisser Folgerungen, die aus dem Ausdrucke der elektromagnetischen Kraft (Y) im Verein mit den Feldgleichungen (I) bis (IV) der Elektronen- theorie fließen. Wenn nun auch diese Ausdrucksweise der in der Mechanik gebräuchHchen nachgebüdet ist, so führt doch, wie schon am Schlüsse des ersten Bandes hervorgehoben wurde, die Elektronentheorie zu Folgerungen, welche den Axiomen der Newtonschen Mechanik widersprechen.
Die an den wägbaren Körpern angreifenden elektromagnetischen Kräfte der Lorentzschen Theorie befolgen nicht das dritte Axiom der Newtonschen Mechanik.
Wenn z. B. ein Körper Licht in einer bestimmten Rich- tung, etwa vermittelst eines Hohlspiegels, auszusenden beginnt, so erfahrt die elektromagnetische Bewegungsgröße des Baumes einen Zuwachs. Der Gleichung (21) gemäß wird das Licht
r
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Gnmdlageu d. Elektronentheorie. 31
auf den emittierenden Körper eine Kraft ausüben. Diese Wirkung wird erst dann durch eine Gegenwirkung kompensiert werden^ wenn das entsandte Licht von anderen Körpern ab« sorbiert wird, und das findet wegen der endlichen Fort- pflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes erst nach einer end- lichen Zeit statt. Bis dahin bleibt die Bewegungsgroße der Körper ebenso wie die Energie gewissermaßen latent, sie ist in elektromagnetische Bewegungsgröße verwandelt worden.
Daß der Satz von actio und reactio, in dem Sinne der Newtonschen Mechanik gefaßt, Yon den elektromagnetischen Kräften der Lorentzschen Theorie verletzt wird, ist von H. Poincar^ als Einwand gegen diese Theorie geltend gemacht worden.^) Lidessen wird man diesen Einwand nur dann als stichhaltig ansehen, wenn man die Axiome der alten Mechanik als a priori gültig betrachtet. Sieht man hingegen die Physik als eine Wissenschaft an, deren Prinzipien der fortschreitenden ErBeJirung anzupassen sind, so wird man sich durch jenen Einwand nicht beirren lassen. Man wird vielmehr die Mechanik des elektromagnetischen Feldes auf den erweiterten Impuls- satz (23) begründen und wird untersuchen, ob dieser Satz Folgerungen ergibt, die mit der Erfahrung übereinstimmen; ist dies der Fall, so sind nicht die Orundlagen der Elektronen- theorie, Bondem die Axiome der alten Mechanik zu revidieren.
Das ist der Weg, der in den folgenden Abschnitten be- schritten werden soll; wir werden zeigen, daß sowohl für die Theorie der Konvektionsstrahlung, wie für diejenige der Wellenstrahlung die Einführung der durch den Strahlvektor bestimmten elektromagnetischen Bewegungsgröße fruchtbar ist, und werden in der Bestätigung der so gewonnenen Ergebnisse durch das Experiment eine Rechtfertigung der Gh-undhypothesen • der Elektronentheorie erblicken dürfen.
Nach (18) ist die Dichte g der elektromagnetischen Bewegungsgröße dem durch das Quadrat der Lichtgeschwin- digkeit dividierten Strahlvektor S gleich zu setzen. Für eine
1) H. Poincar^, Arch. N^erland. (2) 6, S. 262. 1900.
32 Erster Abschnitt. Das Feld a. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
ebene Lichtwelle weist also der Vektor Q in Richtung der
Wellennormalen; da der Betrag S des Strahlyektors der Energie
gleich ist, die in der Sekunde auf die Flacheneinheit einer
senkrecht zum Strahle gestellten F^,che fallt (vgl. I; S. 311);
und da diese Energie einen Zylinder Yon der Hohe c erfüllt,
so ist
— . j^ . c =* — c' c
der Betrag der in der Sekunde auf eine ruhende Flache fallenden Bewegungsgröße. Die pro Sekunde auffallende Bewegungsgröße einer ebenen Lichtwelle ist also gleich der pro Sekunde auffallenden Energie, divi- diert durch die Lichtgeschwindigkeit, oder gleich der Energiedichte.
Fällt nun die Welle auf eine ruhende schwarze Flache, welche die elektromagnetische Energie der Welle in Wärme verwandelt, so wird auch die elektromagnetische Bewegungs* große vernichtet und in mechanische Bewegungsgröße ver- wandelt. Mit anderen Worten^ das Licht übt auf die absor- bierende Fläche einen Druck aus. Der Lichtdruck beträgt für eine senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung ge- stellte schwarze Fläche — ; er ist der Energiedichte
der Welle gleich. Er wirkt auf die absorbierende schwarze Fläche in Richtung des auffallenden Strahles.
Eine entsprechende, der Strahlrichtung entgegenweisende Druckkraft muß wirksam werden, wenn das Licht von der Lichtquelle in den Raum hinausgesandt und dadurch elektro- magnetische Bewegungsgröße erzeugt wird.
Wir haben hier die Ableitung des Lichtdruckes an den zweiten Term im Ausdrucke (19) der resultierenden elektro- magnetischen Kraft angeknüpft, welcher die Bewegungsgröße enthält. Den ersten Term beseitigten wir, indem wir die Begrenzungsfläche / des Feldes beliebig weit fortrücken ließen. Wir können nun auch anders verfahren. Wir können die Fläche so legen, daß sie sich unmittelbar an den Körper an- schmiegt, auf den die gesuchte elektromagnetische Kraft wirkt»
Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Gxxmdlagen d. Elektronentheorie. 33
Dann sind im allgemeinen beide Glieder zu berücksichtigen, sowohl die Yon den Maxwellscben Spannungen ausgeübte Kraft, als auch die Rückwirkung der elektromagnetischen Bewegungsgröße, die ins Innere des Körpers tritt. In manchen Fallen indessen fallt das zweite Glied fort. Haben wir es beispielsweise mit einem Körper zu tun, der mit einer schwarzen, das Licht vollkommen absorbierenden Hülle bedeckt ist, so tritt von außen her kein Licht und keine elektro^ magnetische Bewegungsgröße in den Körper. Es wird die Energie des Lichtes bereits an der Oberfläche in Wärme ver- wandelt. Hier erhalt man den vollständigen Wert der vom Lichte ausgeübten Kraft, indem man ausschließlich die Ober- flächenkraft % der Maxwellscben Spannungen in Rechnung zieht.
In einer ebenen Lichtwelle steht der elektrische Vektor senkrecht auf dem magnetischen; die elektrische Energiedichte ist der magnetischen gleich. Der Faradaj-MaxweUsche Längs- zug der elektrischen Kraftlinien bebt den ihm parallelen magnetischen Querdruck, der Längszug der magnetischen Kraftlinien den entsprechenden elektrischen Querdruck auf; denn diese Druck- bzw. Zugspannungen sind (vgl I, S. 416) der elektrischen bzw. der magnetischen Energiedichte gleich. Parallel der Strahlrichtung hingegen, die sowohl auf (St wie auf ^ senkrecht steht, verstärken sich die beiden Querdrucke und ergeben einen Druck auf eine senkrecht gestellte schwarze Fläche, der gleich der elektromagnetischen Energiedichte ist. Das Resultat dieser Betrachtung führt zu demselben Werte des Lichtdruckes, wie die obige Ableitung aus der elektro- mf^etischen Bewegungsgröße.
Maxwell selbst war es, der aus seinem Spannungssjsteme zuerst den Lichtdruck ableitete. In den letzten Jahren ist es den Bemühungen geschickter Experimentatoren, nämlich P. Lebedew^), sowie E. F. Nichols und G. F. Hüll*) gelungen,
1) P. Lebedew, Ann. d. Phys. 6, S. 488. 1901.
2) E. P. Nichols tmd G. P. Hüll, Ann. d. Phys. 12, S. 226. 1908.
Abraham, Theorie der Blektruitftt. n. 3
34 Snter Abschnitt. Das Feld u. die Beweg^ung der einzelnen Elektronen.
experimentell den Lichtdruck ab Yorhanden nachzuweisen. Auf die Beziehungen des Strahlungsdruckes zur Theorie der Wärmestrahlung kommen wir weiter unten zurück.
Wir wollen schließlich noch zeigen, daß der zweite Impulssatz (vgl. I, § 12) sich in entsprechender Weise verall- gemeinem laßt, wie der erste. Wir berechnen das resul- tierende Moment der elektromagnetischen Kräfte, die auf einen gegebenen Bereich v wirken:
(24) «=/<?»[», 9»]-
Wir yerstehen unter r den Badiusyektor, der Ton einem im Räume festen Punkte aus zu konstruieren ist. Auf diesen festen Momentenpunkt ist das Moment der elektromagnetischen Kräfte bezogen.
Durch Einführung der Ausdrücke (16) ergibt sich bei- spielsweise für die a;-Komponente des Vektors 9t
9tx ^J dv[y ' Q%, — 0 ' Q%y)
/' f /dZ^ dZ^ dZ\ /dT^ dY„ dY\]
-/^"{yw-'-Ft}'
Das erste, Yon den Maxwellschen Spannungen herrührende Yolumintegral formen wir auf Grund des Ghiußschen Satzes um, wobei wir die aus (15) folgende Beziehung beachten
AlaHftTiTi ergibt sich das über die Begrenzungsfläche f er- streckte Integral
/ df {yi^x cos (vx) + Zy cos iyy) -f- Z» cos {yz)\
— i?f FxCos(vaj) -}-FyCos(vy) -}-r",coB(vjef)j|-
Erstes Kapitel. Die phys. u. matk. Grmndlagen d. Elektronentheorie. 35
Die Ausdrücke; mit denen hier z nnd y multipliziert er- scheinen; sind; wie aus (15) folgt, nichts anderes ab die y- bzw. js;- Komponente des durch (17) bestimmten Vektors Z:
2y « ^ { 2%«. + 2^y^. - cos iyy) («« + §»)),
2, = ^{2«,«. + 2§,§. - co8(i^^) (ß* + r)}- Der erste Term im Ausdruck Ton 9tx ist daher
/■
df\y%.-z%^^,
d. h. er stellt die a;-Komponente des statischen Momentes der an der Begrenzxmgsfläche angreifenden Flachenkrafb Z dar. Das zweite Integral im Ausdruck von 9t« hingegen hangt mit der a;-Eomponente des statischen Momentes der über das Feld mit der Dichte g verteilten elektromagnetischen Bewegungs- größe zusammen. Dieses Moment ist
(25) % -fdv{t%l
Wir können eS; nach Analogie des Impulsmomentes tt wägbarer Massen (ygL I, S. 32) als ^^elektromagnetisches Impulsmoment^' bezeichnen; wir beziehen eS; ebenso wie das Ejraftmoment 91, auf einen absolut festen Bewegungspunkt; so daß r von der Zeit unabhängig wird. Alsdann gilt
Wir erhalten daher schließlich
(26) X ^fdfltZ] - 4f .
Diese Relation entspricht vollkommen der Rela- tion (19). Sie stellt das resultierende Eraftmoment 9t dar als Yektorsumme zweier Glieder: des resultie- renden Momentes der an der Oberfläche des Bereiches angreifenden Flächenkraft Z der Maxwellschen Span- nungen und der zeitlichen Abnahme des elektro- magnetischen Impulsmomentes.
3*
i
36 Sinter Abschnitt. Das Feld ti. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Rücken wir wieder die Begrenznngsflache f des Feldes so weit ab, daß auf ihr die Feldstarken gleich Null sind, so wird
(268) « = - I?.
Das resultierende Eräftepaar, welches das elektro- magnetische Feld auf ein Körpersjstem ausübt, ist gleich der zeitlichen Abnahme des elektromagneti- schen Impulsmomentes des gesamten Feldes.
Da die Kräftepaare, welche die Körper infolge ihrer mechanischen Wechselwirkung aufeinander ausüben, dem Prinzipe von Wirkung und Gegenwirkung allgemein Genüge leisten, so ist die zeitliche Änderung des gesamten Impuls- momentes tt der wägbaren Massen dem resultierenden Momente der elektromagnetischen Krilfte gleich zu setzen. Aus
folgt aber nach (26 a) sofort
(27) U + © = Constans.
Die Summe aus dem mechanischen Impuls- momente der wägbaren Körper und dem elektro- magnetischen Impulsmomente de« Feldes ist für ein abgeschlossenes System konstant.
Damit haben wir auch den verallgemeinerten zweiten Impulssatz aus den Grnndgleichungen der Elektronentheörie hergeleitet. Aus ihm folgt für die Kräftepaare dasselbe, was aus (23) für die elektromagnetischen Wechselwirkungen der Körper bezüglich der Knlfte folgte: Die Kräftepaare, welche die Körper infolge ihrer elektromagnetischen Wechselwirkung aufeinander ausüben, widersprechen im allgemeinen dem Prinzipe von Wirkung und Gegen- wirkung.
Die verallgemeinerten Impulssätze (23) und (27) und die verallgemeinerte Energiegleichung (22 a) sind die Grundlagen, auf denen die Mechanik des elektromagnetischen Feldes sich aufbaut.
Erstes Kapitel. Die phjs. u. math. Grandlagen d. Elöktroneixtheörie. 37
§ 6. Die elektromagnetischen Potentiale,
Das Grnndproblem der Elektrouentheorie können wir folgendermaßen formulieren: Gegeben sei der Anfangs- zustand des Feldes zur Zeit ^ = 0; und außerdem, für t> 0, die Lage und die Bewegung der Elektrizität. Welches ist das elektromagnetische Feld? Es handelt sich ako um die Integration der Feldgleichungen (I) bis (IV); bei gegebener anfänglicher Verteilung der Felder 9 und ^, wenn q und f fOr ^ > 0 als Funktionen von Ort und Zeit gegeben sind. Ist das elektromagnetische Feld bekannt, so ist durch (V) die elektromagnetische Kraft bestimmt, welche das Feld auf die Elektronen ausübt; durch (12) und (13) be- stimmen sich femer Energie und Energiestrom; der für den letzteren maßgebende Poyntingsche Vektor ist durch (20) mit der elektromagnetischen Bewegungsgröße verknüpft.
Für stationäre Zustände, wo die Differentialquotienten Ton (S und ^ nach der Zeit in (I) und (II) fortfallen, verein- facht sich die Bestimmung des Feldes. Es wird das elektrische Feld von dem magnetischen unabhängig; das wirbelfreie elek- trische Feld ist durch die Quellenverteilung q, das quellenfreie magnetische Feld durch die Wirbelverteilung f bestimmt. Die Integration der Gleichungen, die einerseits (& mit q, anderseits ^ mit f verknüpfen, läßt sich in diesem Falle auf Gfrund der allgemeinen Theorie der Vektorfelder lösen, die im ersten Ab- schnitte des ersten Bandes dargelegt wurde. Das konstante elektrische Feld wird aus dem elektrostatischen Potentiale, das mf^etische Feld des stationären elektrischen Stromes aus dem Vektorpotentiale abgeleitet. Durch Einführung dieser Hilfsgrößen läßt sich die Integration der Feldgleichungen in übersichtlicher Weise durchführen, wie wir im ersten Bande gesehen haben.
Es liegt der Versuch nahe, das allgemeine Integrations- problem, das jetzt vorliegt, durch Einführung ähnlicher Hilfs- größen zu vereinfachen. Die vierte örundgleiohung lehrt, daß ^ stets quellenfrei ist; wir genügen ihr, indem wir allgemein
38 ^^ter Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
(28) # = curl«
setzen. Von diesem allgemeineren Yektorpotential dürfen wir freilich nicht verlangen^ daß seine Divergenz^ wie diejenige des Yektorpotentiales des stationären Feldes (I^ § 26), allgemein gleich Nnll isi
Die Einführung von (28) in die zweite Gnmdgleichung ergibt
Es muß demnach « + - ^ als negaÜTer Gradient eines Skalars $ sich darstellen lassen; daraus folgt für (& der Ausdruck
(29) «»_r*-i^.
Für konstante Felder fallt der Differentialquotient von K nach der Zeit fort und 9 reduziert sich auf das elektrostatische Potential.
Den Grundgleichungen (11) und (IV) haben wir genügt, indem wir ^ und (B durch (28) und (29) darstellten. Es handelt sich nun darum, den Skalar 9 und den Yektpr tl so zu bestimmen, daß auch die Grundgleichungen (I) und (III) erfüllt sind. Wir erhalten als allgemeinste Bedingung hierfür die beiden Differentialgleichungen
curlcurl« + -.^ + r--^ = 4Äf,
— div r^ TT- div Ä = 4jr o.
cd ^
Ziehen wir die Rechnungsregeln (|) und (q) unserer Formelzusammenstellung am Ende von Band I (S. 438) heran, so können wir die zweite dieser Gleichungen schreiben
-r«*~i^div«l = 4Ä9, und die erste
Erstes Kapitel. Die phys. n. niath. Grundlagen d. Elektronentheorie« 39
Wir erfüllen beide öleicliimgen, indem wir für $ und tl die partiellen Differentialgleichungen Torschreiben:
(30) i^+diy«»0,
(30a) i^_r»«=4«p,
(30b) i,^_F««=4„|.
Für ein stationäres Feld werden $ und tl unabhängig voneinander; $ geht in das skalare Potential des elektro- statischen Feldes^ tl in das Yektorpotential des magnetischen Feldes über. Die allgemeinen, durch die Differentialgleichungen (30, 30a, 30b) definierten Potentiale bezeichnen wir als „elektromagnetische Potentiale^', und zwar nennen wir 9 das „skalare elektromagnetische Potential^ tl das „elektromagnetische Yektorpotential'^ Durch diese Be- nennung bringen wir zum Ausdruck, daß die allgemeineren Potentiale zur Verwendung gelangen, wenn es sich um einen zeitlich yeränderlichen elektromagnetischen Vorgang handelt^ bei welchem elektrisches und magnetisches Feld durch die Grundgleichungen miteinander yerkettet sind.
Wir werden uns zunächst mit der Integration der Diffe- rentialgleichungen (30a, b) beschäftigen, in denen $ und tl getrennt auftreten. Wir werden uns dann davon überzeugen, daß die erhaltene Losung von (30 a, b) auch (30) befriedigt. Wir sehen jetzt schon ohne weiteres ein, daß die rechten Seiten von (30a, b) nicht unabhängig voneinander sind; in der Tat, aus (I) und QU) folgt
Diese Gleichung sagt aus, daß die pro Zeiteinheit in ein Volumelement eintretende Menge von Elektrizität dem Zuwachs der elektrischen Dichte entspricht, d. h. daß Elektrizität nicht neugeschaffen oder vernichtet werden kann. Diese „Eon- tinuitätsbedingung der Elektrizität^^ ist es, die q und t miteinander verknüpft. Die Abhängigkeit der rechten Seiten
40 ürster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegimg der einzelnen Elektronen.
von (30a) und (30b) bringt es, wie wir weiter unten sehen werden, mit sich, daß die elektromagnetischen Potentiale der einschenkenden Bedingung (30) allgemein Genüge leisten.
Wir gehen jetzt dazu über, die Differentialgleichung des skalaren elektromagnetischen Potentiales zu integrieren. Es ist zweckmäßig, eine neue Variable
einzuführen; diese ist nichts anderes, ab der in der Zeit t von einer Lichtwelle zurückgelegte Weg. Dann schreibt sich (30 a)
(31) ^*-F«® = 4«p.
Wir denken uns, zur Zeit ^ = 0, <P und -^ als Funktionen des Ortes gegeben, also etwa
(31a) * = f{x,y,z) für Z = 0,
(31b) ^-^^g{x,y,d)&ocl^(i.
Außerdem ist natürlich, für Z > 0, (» als Funktion von Zeit und Ort gegeben.
Es ist unser Ziel, für positive Zeiten 9 als Funktion von Ort und Zeit zu ermitteln; dieses Ziel haben wir erreicht, wenn es uns gelingt, für einen beliebigen Au^unkt $ als Funktion von l zu berechnen. Wir greifen einen Aufpunkt P heraus und konstruieren um P als Mittelpunkt eine Schar von Kugeln mit dem veränderlichen Badius r. Wir verstehen unter d(o den körperlichen Winkel, unter dem das Flächenelement r'^dfo einer solchen Kugel vom Mittelpunkte P aus gesehen wird. Die Funktion $, welche der partiellen Differentialgleichung (31) genügen soll, ist eine Funktion von vier Yariabeln: r, l und zwei Winkeln; die letzteren beiden Yariabeln gehen in den Aus- druck von d(o ein. Die nunmehr einzuführende Hilfsfunktion
(32) Ä = ^J^
d(o
hängt mithin nur von den Yariabeln r und l ab; sie ergibt, durch r dividiert, den für eine Kugel vom Badius r berech-
t
J
Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 41
neten Mittelwert von 0, Wir wollen die Gleichung (31) in eine partielle Differentialgleichung fOr Sl umformen.
Wir wenden zu diesem Zwecke den Ghiußschen Satz auf eine jener Kugeln an. Das über ihr Inneres erstreckte Inte- gral von r^O = div F0 ist diesem Satze zufolge gleich dem über die Oberfläche erstreckten Integral der Normalkom- ponente g— des Vektors ^*; demnach gilt
r
I drr^ j r^^dm^r^ j -^dfo = ^^ / *öfo.
0
Durch Differentiation nach r folgt
r oder
'/r«0d«, = i-,r'§-j0da> = 2rlf9do + r'^J^da,,
rfr*0da> = 2^ J®de, + r^.f^da» = ^.»/fPde,.
Wir erhalten also
(32a) {-Jf^^i--'^-
Dividieren wir nun (31) durch ^nr und integrieren über eine Eugelfläche vom Radius r, so folgt
wo abkürzungsweise
(33a) - %(rjl)^rj QdiB
gesetzt ist. Da p als Funktion von Zeit und Ort gegeben istyr so ist % für Z ^ 0 und r ^ 0 als bekannt anzusehen. Ferner sind auf Ghrund von (31 a^ b)
(33b) Ä = {^Jf {X, y, g) dai = F(r)
(33c) f^'={-Jg{x,y,z)da,^G{r) gegeben.
für
Z=0
r>0
42 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Ist es gelungen, die Hilfsgleichnng (33) zn losen, so ist der gesuchte Wert Yon $ im Mittelpunkte P der Engelschar unschwer zu ermitteln. Er ist nach (32)
(34) ' 9(0,1) = lim(\
Das Problem, 0 für einen beliebigen Au^unkt zu be- rechnen, ist somit auf die Aufgabe zurückgeführt, die Hilfs- gleichung (33) unter den angegebenen Bedingungen zu inte- grieren.
§ 7. Integration einer Hilfsgleichung.
Die Funktionen % (^; 0; -^W ^^^ ^ W ^^^ durch (33 a, b, c) zwar für positive Werte von r definiert, aber nicht für nega- tive; für r == 0 verschwinden sie. Es steht uns somit frei, die Definition dieser Funktionen folgendermaßen auf negative Werte von r auszudehnen:
(35) xi-r,l) x(+r,l),
(35a) F{-r) ^-F(+r),
(35b) G{-r) a(+r).
Auf Grand dieser Daten soll nun die Aufgabe behandelt werden, die Differentialgleichung
(36) ji»--^ = x(r,t)
zu integrieren, d. h. Sl (r, T) für l> 0 und für beliebige posi- tive und negative Werte von r zu berechnen, wenn
(36a) Sl = F{r)\
(36b) ^ = Gir)
für ? = 0
dl . gegeben sind.
Wir erledigen die gestellte Aufgabe, indem wir das
Biemannsche Integrationsverfahren auf die nichthomogene
partielle Differentialgleichung (36) anwenden.*)
1) Vgl. hierzu Eiemann -Weber, Die partiellen Differentialgleicliiuigen der mathematischen Physik. Brannschweig 1901. Bd. II, §90, S. 224 ff. A. Sommerfeld, Enzyklopädie der mathem.Wissensch. Art. IIA. 7c. Nr. 13.
Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Grandlagen d. Elektronentheorie. 43
Wir denken uns die unabhängigen Yeninderlichen r und l als Abszisse und Ordinate aufgetragen. Die Anwendung des Stokesscben Satzes auf ein beliebiges Flächenstück der (r^ Z)- Ebene ergibt
//
'"'«r^-^)-/''»*-
Dabei stellt 3 einen zunächst beliebigen Vektor dar. Das Integral zur Linken ist über das betreffende Flächenstück^ das Integral zur Rechten über die Begrenzungskurve zu erstrecken^ derart^ daß der ümlaufssinn einer positiven Drehung um die dritte^ der r- und 2 -Achse sich zuordnende Achse eines rechts- händigen Eoordinatensystemes entsprechen würde. Wir setzen nun
8r =
und erhalten
&==
(87) //...4^_^)=/.«{^.|r
+
dr ds
I
Wir wenden diese Formel auf ein gleichschenkliges Dreieck ABC an,
dessen GIrundlinie l
JlB auf der r- Achse liegt, wäh- rend die Spitze C auf der Seite der positiven l gelegen ist (vgl. Abb. 1). !Es seien a, & die
Abszissen der Punkte J., JB. Die Winkel der Schen- kel ACy BC mit der Grundlinie seien gleich einem halben Rechten, so daß
r — 1 = a die Gleichung der Geraden AC^
r + l--^l ,y „ „ „ BG
(37 a)
44 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung, der einzelnen Elektronen.
ist. Alfldann ist längs AC
dr^ dl ds ds
hingegen längs BC
ds ds
Anf AB aber ist
ds'^^' äl "" ^' ™*^' ^^^ (^^^)' TT "" ^('*)- Es ist daher
B b
A a
C C
/' \dadr . dSldl\ Cjj dSl ^ ^
^'[dTd-s'^dVdl] Jds^^^SlB-Slo,
B B
A A
Sciji — Sic*
r t/o
C C
Folglich wird die rechte Seite von (37)
A A
/' fdSldr , dSldl\ , r^ ^fi o H'dTrs + dFrsf-+J^'-di-^^
j G(r) dr + SlA + SlB- 2Äe.
a
Verstehen wir jetzt unter r, l die Koordinaten des Punktes (7,
so ist
£lc=-£l(r,l) die gesuchte Funktion.
Der Punkt A hat nach (37 a) die Koordinaten
a = r — Z, 0; der Punkt B hingegen die Koordinaten
6 = r + Z, 0. Aus (36 a) folgt daher
Ha ^a{r-l, 0) = F{r-l),
SlB = Sl{r + l,0)^F{r + T),
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Grandlagen d. Elektronentheorie. 45 und es ist die rechte Seite von (37) zu schreiben
r-hJ
(a{f)dT + JP(r-Z) + F(r + Z) - 2Ä(r, ?).
Die linke Seite aber wandelt sich^ dnrch Einführung der partiellen Differentialgleichung (36) ^ in das über das Dreieck ABC erstreckte Flächenintegral der Funktion — % (r, X) um. Es wird also schließlich
(38) 2Sl(r,J)^F(r---l) + I{r+l)+jG{r)dr+ffxir,T)dr
r—l ABC
Damit ist die Integration der Hilfsgleichung (36) in all- gemeinster Weise durchgeführt.
Die Funktionen F(r), G(r), ;f(r, l) waren zunächst nur für positive Werte von r gegeben« Für negative Werte dieser Yariabeln wurde ihre Definition durch die Gleichungen (35^ 35 a, b) gegeben. Wir können daher schreiben
r-f J r+l I— r /4-r
Ja{r)dr ^jG(r)dr - / G{r)dr ==jG(r)dr.
r—l 0 0 I— r
Was aber das über das Dreieck ABC der Abb. 1 erstreckte F^chenintegral anbelangt^ so ist dasselbe nach (35 b)
ffzir, l)drdl =ffz(r, l)drdl -ffx(r, T)drdl.
ABC OBOD OED
Dabei ist OED das Dreieck, welches dem auf der Seite der negativen r gelegenen Teile OAD des Dreieckes ABC spiegelbildlich (in bezug auf die Z- Achse) entspricht. Es bleibt abo schließlich nur das über den Streifen BGBE erstreckte Integral von % (r, T) übrig:
ffx(r,l)drdl^ffx{r,l)drdl.
ABC BCDJS
46 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Demnacli erhalten wir
(38a) ^^ = lMll^^:i:zJl + l.fa(r)är
BCDE
Der Limes ^ dem dieser Ausdruck mit yerschwindendem r zustrebt, bestimmt nach (34) den gesuchten Wert des skalaren Potentiales im Aufpunkte.
Der Ghrenzwert der beiden ersten Glieder läßt sich sofort angeben; es ist
(38b) )^jp±^^l^-J>]^F'{l),
(38c) lim i . CG{r) dr = GQ).
Was aber das dritte Glied anbelangt, so ist zu beachten, daß r die Abszisse des Punktes C in Abb. 1 ist. Dem Ghrenz- übergang zu yerschwindendem r entspricht ein Hereinrücken des Punktes G in die Z-Achse, wobei OB = l wird. Ist X die Abszisse eines Punktes der Geraden CBy so ist in der Grenz- lage seine Ordinate gleich (2 — Jt). Folglich gilt in der Grenz- lage des Dreieckes für die Punkte der Geraden CB
Auf einen dieser Geraden anliegenden schmalen Streifen von der Breite CD = r • )/2 geht mit yerschwindendem r das Gebiel BCDE über, über welches das Flächenintegral in (38 a) zu erstrecken war. Wir erhalten demnach
B
lim ^ /yi(n ddrdl = ^ • yi (X,l--X)ds;
BCDE C
dabei stellt ds ein Element der Geraden CB vor, die unter 45^ gegen die Abszissenachse geneigt ist; die Variable X aber war die Abszisse der Punkte von CB. Demnach ist
Erstes Kapitel. Die phjB. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 47
and es wird
(38 d) hm^rß(r,l)drdl^rdXx(.l,l-l):
BCDE
Die (jrenzwerte (38 b, c, d) der drei Glieder in (38 a) zu- sammenfassend, erhalten wir
lim {-^ j - F' (?) + GQ) +fdlx (^ ^ - ^)-
0
Der Wert der gesuchten Funktion * in dem Aufpunkte P wird daher, mit Bücksicht auf (33a) und (34),
i
(39) 9 (0, l) = F' (0 + GQ) + fxdxfd<D q(X,1- X).
0
Nunmehr haben wir die Integration der für das skalare elektromagnetische Potential geltenden partiellen Differential- gleichung (31) durchgeführt.*) Die Fimktionen F und G be- stimmen sich, gemäß (33b, c), aus den gegebenen Anfangs-
P JE
werten (31a, b) von 9 und -gj- Die beiden ersten Glieder
von (39) formulieren demnach den Einfluß des Anfangszustandes, während das dritte Glied ausgewertet werden kann, 'wenn die Elektrizitätsverteilung in ihrer Abhängigkeit von Zeit und Ort gegeben ist.
§ 8. Die Fortpflanzung elektromagnetischer Störungen.
Die Formel (39) löst die partielle Differentialgleichung (30 a); sie bestimmt das skalare elektromagnetische Potential ^,
wenn die Anfangswerte von 0 und -^ bekannt sind, und wenn weiterhin die Elektrizitätsverteilung q als Funktion der
1) Die gegebene Ableitung schließt sich an die von H. Weber für den FaU p = 0 angewandte Methode an. Vgl. Riemann -Weber I.e. Bd. II, § 120, S. 302 ff. und M. Abraham. Aco. dei Lincei (5) U\ S. 7. 1905.
48 S^rster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Zeit gegeben ist. Die Differentialgleicliaiig (30b) für das elektromi^etisclie Yektorpotential K stimmt mit (30 a) formal überein. Wir könnten sie mithin in ganz entsprechender Weise
lösen^ wenn die Anfangswerte von K und -g-r bekannt wären,
und wenn weiterhin die Verteilung des Konvektionsstromes t als Funktion der Zeit gegeben wäre. Es bliebe, um die so erhaltene Lösung f&r das im Eingange des § 6 aufgestellte Problem nutzbar zu machen, nur noch übrig, anzugeben, wie der Anfangszustand des Feldes mit den Anfangswerten der elektromagnetischen Potentiale und ihrer zeitlichen Änderungen verknüpft ist.
Wir wollen indessen, um uns nicht in Allgemeinheiten zu verlieren, über den Anfangszustand des Feldes eine ganz bestimmte Voraussetzung machen. Wir wollen annehmen, daß zur Zeit ^=0 im ganzen Baume das Feld ein elektrostatisches ist. Das elektrostatische Feld ist durch die Verteilung der ruhenden Elektrizität bestimmt. ' Es kann daher die zu lösende Aufgabe jetzt folgendermaßen ausgesprochen werden: Gegeben sei die anfängliche Verteilung der ruhenden Elek- trizität, und weiterhin die Verteilung der Elektrizität und des Konvektionsstromes. Welches ist der Verlauf der elektromagnetischen Störung?
Für das anfangs herrschende elektrostatische Feld geht das skalare elektromagnetische Potential 0 in das elektro- statische Potential (p über. Wir wollen sehen, was die Formel (39) far den Fall ergibt, daß das zur Zeit < = 0 bestehende elektro- statische Feld auch weiterhin bestehen bleibt. Alsdann ist
d ^ d(p ^
und es ist, nach (31b) und (33c), die Funktion G(r) identisch gleich Null Die Funktion \F(r) aber wird, nach (31a) und (33b), in diesem Falle gleich dem über die Kugel mit dem Eadius r erstreckten Integrale
^W = Ä/''9^^
(D
Erstes EapiteL Die phjs. u. math» Grandlagea d. Elektroneatheorie. 49 demnach wird
"«-r./
P(r)-^ i^-^d«.
Endlich ist die elektrisclie Dichte q von der Zeit un- abhängige und daher ist q{X,1 — X) = q (A, 0) zu setzen.
Die Formel (39) zeigt nun^ wie man den Wert des skalaren Potentiales^ zur Zeit ty in irgendeinem Aufpunkte P zu be- rechnen hat: man konstruiere um P eine Kugel mit dem Kadius l==^ct Man setze in F\r) und G(r) an Stelle von r jetzt Ij ä. h. man berechne den Wert dieser Integrale für die Eugel vom Radius l. Endlich füge man das über das Innere der Kugel zu erstreckende Integral hinzu, zu dem die mit Elektrizität erfüllten Yolumelemente Beiträge liefern. Für das elektrostatische Potential ergibt sich auf diese Weise
(40) q>{0,T)^-^Jda,(^~^^f)^^+ßdxfd<o9(l,0).
0
Da das elektrostatische Potential von der Zeit unabhängig ist, so muß die rechte Seite der Gleichung denselben Wert ergeben, welches auch der Radius l der Kugel sein mag. Wir können die Gleichung (40), nach Einführung des Flachenelementes df= r^d(o und des Volumelementes dv = X^dldo = r^drd(o, schreiben
(40.) ,(O,0-i/<iA|r. + i|ll+/^-
Sie drückt den Wert des elektrostatischen Potentiales im Mittel- punkte einer beliebigen Kugel aus als Summe eines über ihre Oberfläche und eines über ihr Inneres erstreckten Integrales. Wir wollen noch zeigen, daß diese Formel mit den auf ganz anderem Wege in der allgemeinen Theorie des wirbel- freien Vektorfeldes erhaltenen Beziehungen übereinstimmt. Wir knüpfen dabei an die in Bd. I, S. 66 ff. angewandte Methode an, welche sich auf den Greenschen Satz (L, GL 76) stützt. Es
wurde daselbst ^ = — gesetzt; und der Greensche Satz alsdann
auf ein Gebiet angewandt, das einerseits von einer kleinen,
Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 4
50 Brster Abschnitt. Das Feld tl die Bewegung der einseinen Elektronen.
den Aufymikt P einschließenden Engel f^, anderseits von einer beliebigen Fläche / begrenzt war. Es folgte fdr dieses Gtebiet:
Als Ghrenzwert des ersten Gliedes bei verschwindendem Radius der Kugel /J, ergab sich — 43rg)Q, während das Volumintegral gleich
war. Wir erhalten mithin
(401.) ^.-±y;A|i|f-4|+/¥-
Indem die Begrenzungsfläche /"ins unendliche gerückt wurde^ folgte die Formel I^ 61. 83^ S. 68. Lassen wir sie indessen mit einer Kugel um P zusammenfallen^ so ist Differentiation nach V äquivalent mit Differentiation nach r; es geht daher (40 b) in (40 a) über. Damit haben wir die Formel (40 a), die sich hier durch Spezialisierung der allgemeinen, für das elektro- magnetische Potential 9 geltenden Formel (39) ergab, auf einem unabhängigen Wege hergeleitet.
Die Formel (40) stellt nun das elektrostatische Feld dar,
welches zur Zeit t=^0 herrscht. Ein mi^etisches Feld soll
zur Zeit ^ » 0 nicht vorhanden sein. Es ist demnach zur
Zeit t = 0:
$ « y^ « = 0.
Was aber die Anfangswerte der Ableitungen von 9 und f[ nach der Zeit anbelangt, so folgt aus (29), da ja zur Zeit ^ =» 0
sein soll, daß für
t = 0 — =0
ist.
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Grandlagen d. Elektronentfaeorie. 51
Der Anfongsweii tou ^ aber ist 80 za wählen , daß zur Zeit t = 0 die Relation (30) erf&llt ist. Dies ergibt
Auf Gmnd der Anfangsbedingungen
(41) * « = 9>, |?-0 fflr i = c<-0
ergibt die Grundformel (39):
(42) 0(P,r)=^f^-^)d<o+ßdxfda,(>{X,l-X)
0
als Wert des skalaren elektromagnetischen Potentiales. Das erste^ vom Anfangszustand allein abhängige Olied ist identisch mit dem im Ausdrucke (40) des elektrostatischen Potentiales auftretenden; das erklärt sich daraus^ daß die Anfangsbedingungen (41) mit denen des elektrostatischen Feldes übereinstimmen. Der Unterschied gegen (40) liegt in dem von der Elektrizitatsverteilung abhängigen Yolumintegral. Dort war auf der Oberfläche der Eugel vom Radius X die durch Q (X, 0) gekennzeichnete anfängliche Dichte der Elek- trizitatsverteilung in Rechnung zu ziehen^ die ja weiterhin nicht abgeändert wurde. Wir könnten dort^ in (40), mit dem- selben Rechte an Stelle von q(X, 0) die gleichzeitige, zur Zeit t im Abstände X vom Au^unkt herrschende räumliche Dichte Q {Xf l) verstehen, oder auch die räumliche Dichte in irgend- einem, dem Zeitintervalle von ^ = 0 bis t ^ ~ angehörenden
Zeitpunkte; denn in diesem Zeitintervalle sollte die anfangliche Dichte Q (A, 0) bestehen bleiben. Hier, in (42), hingegen handelt es sich um eine zeitlich veränderliche Elektrizitats- verteilung; es ist, auf der Oberfläche der Eugel vom Radius X, die durch p (Jt, Z — X) gekennzeichnete Dichte in Rechnung zu
ziehen, d. h. diejenige, welche zur Zeit ^t auf jener
Kugelfläche herrschte. Es kommt für das Feld, welches im Au^nnkte P zur Zeit t erregt wird, nicht die gleichzeitige Elektrizitätsverteilung im ganzen Räume in Betracht, sondern
4*
52 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen«
für jede der Engeln die elektrische Dichte ^ die daselbst zu einer nm
(42a) t = A
zurückliegenden Zeit bestanden hat. Der zur Zeit t-'t ent- sandte Beitrag trifft znr Zeit t im Aufpunkte ein. Wir können r als ^;Latenszeit^', X als ^^Latensweg^' bezeichnen. Es folgt das wichtige Ergebnis: Die durch Abänderung der elek- trischen Dichte erregte elektromagnetische Störung pflanzt sich nach allen Seiten mit der Geschwindig- keit c im Baume fort.
Wir erhalten das skalare elektromagnetische Potential des durch Abänderung der Elektrizitatsverteilung erregten Feldes, indem wir das elektrostatische Potential (40) des anfänglichen Feldes von dem skalaren Potentiale (42) des abgeänderten Feldes subtrahieren:
(43) «(0, l)-fp{0, l) ^Jxdxjdfo [q{X,1-X)-q{X, 0)}-
Was aber das elektromagnetische Yektorpotential anbelangt, so entsprechen, wie wir oben gesehen haben, dem angenommenen Anfangszustande die Anfangsbedingungen
« = 0, lf-0 für l^ct^Q.
Da nun die Differentialgleichung (30b) formal der Gleichung (30 a) durchaus entspricht, so erhält man die Komponenten des Yektorpotentiales K, indem man in (39) q durch die Kom- ponenten des Konyektionsstromes ( ersetzt und, bei der Aus- wertung von F und G gemäß (33b, c), f{xyz) und g(xyz)
durch die Anfangswerte der Komponenten von K und ^^ ersetzt.
Unter den obigen spezieUen AnfimgBbedingungen nnn yer- schwinden die so berechneten Funktionen F und G identisch, und es wird
(44) « (0, 0 =JXdlfd<ot(l, l - X),
Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 53
Aas den elektromagnetischen Potentialen (43) und
(44) ist; gemäß (28) und (29)^ das elektromagnetische Feld zu berechnen^ welches durch die Abänderung der ElektrizitätsTcrteilung und durch den diese Abände- rung begleitenden Konvektionsstrom erregt wird.
um den Beweis^ daß die erhaltenen Lösungen der par- tiellen Differentialgleichungen (30 a^ b) Integrale der Feld- gleichungen I bis lY ergeben^ zu Ende zu führen, bedarf es nur noch des Nachweises , daß die Gleichung (30), die $ und K miteinander verknüpft, wirklich besteht. Das ist in der Tat der Fall, falls stets und überall die Eontinuitäts- bedingung der Elektrizität (30 c):
(45) |f + div! = 0
erfüllt ist.
Wir differenzieren zunächst (43) nach {*, da ^(0, {) das elektrostatische Potential ist, so ist
dl ~^'
Die rechte Seite von (43) hängt in zwiefacher Weise von l ab; erstens insofern, als l die obere Grenze des nach X ge- nommenen Integrales ist, zweitens dadurch, daß, für einen bestimmten Punkt des Raumes, q von l abhängt. Die Differen- tiation nach der oberen Grenze ergibt:
lJd(O{Q(l,0)^QQ,0)]^0.
Es bleibt also nur der durch Differentiation des q entstehende Ausdruck übrig
(46.) ■ '^ - fMß.[pl _^- .
0 '
Bei der Differentiation nach l war der Auj^unkt P fest- zuhalten. Bei der Differentiation nach den Koordinaten ist der Aufpunkt, und mit ihm das ganze Kugelsystem, zu ver- schieben. Bei Berechnung des Beitrages, den ein in dem Kugelsystem fest zu denkendes Yolumelement zum Werte von
54 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Wx im Anfpunkte liefert, ist der Wert von tx in Bechnung zu ziehen, der in dem Mittelpunkte des jeweils gedeckten Yolum-
elementes des Raumes zur Zeit — - herrschte. Wird nun P
c
um dx parallel der o; -Achse verschoben; so ist das ganze Kugel- system mit zu verschieben. Das im Eugelsystem feste Yolum- element deckt jetzt ein anderes Yolumelement des Raumes, und es ist der Wert von tx in dessen Mittelpunkte zur Zeit
7 — 1 ^f
in Rechnung zu ziehen, d. h. ein um -^-dx größerer
Wert als vorhin. So ergibt sich
.(45b) div « =fxdxjd(a {div i}i,,-x-
0
Addieren wir die durch (45a, b) gegebenen Werte von -^ und div K im Aufpunkte P, so erhalten wir
(45c) If + div «=/m/l«,{|f + divl)^,_^.
0
Die Relation
(46) ||+div« = 0
erweist sich demnach zur Zeit t als erfüllt, falls die bewegte Elektrizität bis zur Zeit t überall der Eon- tinuitätsbedingung (45) Genüge geleistet hat.
Aus den Entwickelungen des § 6 folgt nun ohne weiteres, daß die aus den elektromagnetischen Potentialen $, II gemäß (28) und (29) abzuleitenden Vektoren «, § wirklich den Feld- gleichungen I bis lY Grenüge leisten. Die Grleichungen (43) und (44) lösen das Problem, welches uns jetzt beschäftigt. Sie bestimmen die Störung des ursprünglichen elektfostatischen Feldes, wenn die anfangliche Yerteilung der ruhenden Elek- trizität, und weiterhin ihre Bewegung gegeben ist.
Wir können die Lösung noch auf eine andere Form bringen, indem wir den Hilfsvektor einfahren
(47) ^ = fm = e(tdt.
-Jidl = c ß
Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Grandlagen d. Elektronentheorie. 55
Wir tragen der Eontinuitatsbedingoiig (45) Rechnung, indem wir schreiben:
i i
div ^^jdixUl^-j^^^dl {p,-po}-
0 0
Es gibt also der Vektor i| durch seine negativ genommene Divergenz (47a) -div i|==(»,-^o
den Überschuß der jeweiligen elektrischen Dichte über die anfangliche Dichte an, während seine Ableitung nach l
die Dichte des Eonvektionsstromes darstellt. Diese beiden Größen waren es, welche in (43) und (44) auftraten.
Bestimmen wir jetzt einen neuen Vektor 8 folgendermaßen:
(48) 8 (0, T) ^JxdxJd(o^ (X,l- X),
0
so gelangen wir durch Bildung der negativen Divergenz bzw. der zeitlichen Ableitung zu (43) und (44) zurück. In der Tat, differenzieren wir nach l, so erhalten wir zwei Glieder
das erste Glied ist gleich Null, weil, nach (47), i| für 2 » 0 verschwindet. Nach (44) und (47 b) folgt demnach
(48a) «1 = ^.
Bildet man anderseits die Divergenz von 8 gemäß den bei der Ableitung an (45b) angegebenen Regeln, so folgt, mit Rücksicht auf (43) und (47 a),
(48 b) ^-tp div 8.
Der Vektor 8 stellt ein den elektromagnetischen Potentialen 0, K übergeordnetes Potential dar. Die Beziehungen (48 a, b)
56 Erster Absclinitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
lassen sofort erkennen^ daß die Relation (46) allgemein erfüllt ist: Wir wollen 8 den „Hertzschen Vektor^' nennen; wie wir im nächsten Paragraphen sehen werden^ erhalten wir näm- lich durch Spezialisierung des durch (48) definierten Vektors die sogenannte ,,Hertzsche Funktion'^, durch deren Ableitungen zweiter Ordnung nach der Zeit und nach den Koordinaten das elektromagnetische Feld eines Dipols sich darstellen läßt. Wir werden diese Darstellung ableiten aus den Vektorgleichungen, die aus (48a, b) in Verbindung mit (28) und (29) resultieren:
(48c) § = curl||,
(48d) g-.e^=Fdiv8-^.
Hier stellt @o das ursprüngliche elektrostatische Feld vor. Die Formeln (48c, d) stellen den Verlauf einer be- liebigen elektromagnetischen Störung mit Hilfe eines einzigen Vektors dar.
Wir haben bisher immer die anfängliche Verteilung der ruhenden Elektrizität als gegeben angenommen. Man wird, um sicher zu sein, daß die Energie und der Impuls des elektro- magnetischen Feldes endlich sind, meist von einem elektro- statischen Anfangszustande ausgehen. Unter Umständen kann es indessen vorkommen, daß dieser Anfangszustand bereits sehr weit zurückliegt und daß seine Kenntnis daher für das Feld in endlichen Entfernungen von dem Elektronensystem nicht von Belang ist. In diesem Falle wird man wünschen, die Formeln von dem elektrostatischen Potentiale (p zu befreien.
Liegt der Anfangszustand so weit zurück, daß die Kugel, die um den Aufpunkt P mit dem Badius 1 = et geschlagen ist, die gesamte Elektrizität des ursprünglichen elektro- statischen Feldes einschließt, so ist das elektrostatische Potential im Au^unkte
i
(49) (p (0, l) =^fxdxfd(OQ (A, 0) .
Erstes Kapitel. Die pfays. n, math. Gmndlagen d. Elektronentheorie. 57
In der Tat^ da außerhalb der Engel l in dem elektro- statischen Felde sich keine Elektrizität befindet^ so ist diese Formel dem Sinne nach völlig identisch mit
00
(49a) 9(0, l) ^JXdXjdc3Q{X, 0),
0
was wieder nnr eine andere Form des in Bd. I (Gl. 83, S. 68) für das elektrostatische Potential erhaltenen Ausdrucks
(49b) ,, =/^
ist.
Soll das Feld zur Zeit < = 0 wirklich durchweg ein elektro- statisches sein, so darf yor diesem Zeitpunkte die Elektrizität sich nicht bewegt haben. Es ist dann zu setzen
Q(r,l)^Q (r, 0) f ar l<0 und daher
^(A,Z-A) = (»(A,0) für X>L
Es kann demnach in (43) ohne weiteres als obere Grenze ;L = oo statt l gesetzt werden, ohne den Wert der rechten Seite zu ändern.
Mit Rücksicht auf (49 a) folgt
(50) 0 = A dXjdc3 q(X,1- X),
0
Anderseits ist, da zu negativen Zeiten die Elektrizität sich nicht bewegt hat,
l(r,?) = 0 für KO und daher
l(X,l-X)=^0 für X>L
Es kann somit auch in (44) die Integration ohne weiteres bis zur oberen Grenze A = oo ausgedehnt werden, so daß man erhält
00
(51) « '^fx d ijdo t(l,l- 1).
0
58 Erster Absclinitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Diese Formeln für die elektromagnetisclien Potentiale ent- halten keine Beziehung znr anfanglichen Verteilung der Elek- trizität. Sie gestatten folgende anschauliche Deutung.
Man denke sich um den Au^unkt eine Kugel mit dem veränderlichen Radius X geschlagen. Diese Engel soll sich mit Lichtgeschwindigkeit kontrahieren^ derart^ daß sie zur Zeit t im Aufpnnkte eintrifft. Zur Zeit t — t ist ihr Radius ct = X. Diese Kugel fegt nun gewissermaßen das Feld ah. Wo sie Elektrizität und Konyektionsstrom antrifft, da föngt sie die Beiträge ah
(50a) d9^XdXJd(DQ{X,l-'X),
(51a) d% = XdXJd(ol{X,l-'X),
welche nach Durchlaufung des Latensweges X im Aufpunkte eintreffen. Es ist demnach für jedes Yolumelement des Raumes die Elektrizität und der Konyektionsstrom in Rechnung zu setzen, welche die Kugel auf ihrem Wege antrifft; die Division durch den Kugelradius ergibt den Beitrag zum skalaren und zum Yektorpotentiale. Diese Beiträge eilen mit Lichtgeschwin- digkeit fort. Die Zusammensetzung aller Beiträge, d. h. die Litegration nach JL, ergibt gemäß (50, 51) die Werte der Poten- tiale im Au^unkte.
Wir können diese Formeln auch schreiben
(60b) *-/^W__/
6
(61b) «-/^{.) ,.
c
Dabei sind die Integrationen über den gesamten Raum auszudehnen, ebenso wie in der Formel (49b) für das elektro- statische Potential. Der unterschied liegt nur darin, daß nicht die jeweilige Dichte der Elektrizität und des Konvektions- stromes in Rechnung zu setzen ist, sondern, wie der Index
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Panktladnng. 59 t anzeigt; diejenige Dichte, welche zu einem nm die
V -
Latenszeit r =» — früheren Zeitpunkte in dem betreffenden
Volomelemente herrschte.
Die Potentiale (50 b) und (51b) sind von H. Poincare, E. Beltrami; V. Volterra, H. A. Lorentz, T. Levi-Civitä und anderen Forschem angewandt worden. Meist werden sie dem elektrostatischen Potentiale (49b) als ^^retardierte Poten- tial e% d. h. verspätete oder verzögerte Potentiale gegenüber- gestellt.
Die in (50, 51) gegebene Darstellung der elektro- magnetischen Potentiale durch einfache Integrale über den Latensweg, auf die wir hier unmittelbar geführt wurden, wird sich für die Ermittelung des Feldes bewegter Elektronen als besonders geeignet erweisen.
Die Formel (48) für den Hertzschen Vektor können wir gleichfalls unschwer auf die Form bringen
oo
(51 c) 8 ^JXdXjdo ^(X,l- 1)
0
und können sie, ähnlich wie (50) und (51), durch Betrachtung der auf den Aufpunkt hin mit Lichtgeschwindigkeit sich kon- trahierenden Kugel anschaulich deuten.
Zweites Kapitel.
Die Wellenstrahlnng einer bewegten Pnnktladung.
§ 9. ElektromagnetiBChes Modell einer Lichtquelle.
Die Entwickelungen des letzten Paragraphen haben uns gezeigt, daß der Baum die elektromagnetischen Wellen zwar fortpflanzt; daß aber in dem leeren Baume elektrische Störungen nicht entstehen können. Die Quellen der elektromagnetischen Störungen liegen in der Elektrizität. Da wir nun das Licht
60 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
als elektromagnetische Wellenstrahlnng zu betrachten gelernt haben, so werden wir zu dem Schiasse geführt, daß im Innern der lichtemittierenden Moleküle die ElektriziiHt in Bewegung hegrifiPen ist. Das einfachste denkbare elektromagnetische Modell einer Lichtquelle erhalten wir, wenn wir ein einziges Elektron um seine Gleichgewichtslage schwingend annehmen. Auf Grund der allgemeinen Ansätze des vorigen Para- graphen können wir das elektromagnetische Feld eines beliebig bewegten Elektrons bestimmen. Wir wollen indessen das vor- liegende Problem zunächst imter gewissen Einschränkungen behandeln, Einschränkungen, die wir dann in den folgenden Paragraphen wieder beseitigen werden. Wir wollen in Betracht ziehen, daß die Bewegung des lichtaussendenden Elektrons nur auf molekulare Bereiche sich erstreckt, daß also seine Ent- fernung aus der Gleichgewichtslage klein ist gegen diejenigen Entfernungen, in denen man das entsandte Licht wahrnimmt. Femer soll die Geschwindigkeit des Elektrons als klein gegen die Lichtgeschwindigkeit angenommen werden. Die Glei- chung (48) des vorigen Abschnittes führt uns in diesem Falle ohne weiteres zum Ausdrucke des Hertzschen Vektors. Die sich kontrahierende Kugel fängt beim Hinwegstreichen über das Elektron einen Beitrag ab. Da die Geschwindigkeit des Elektrons klein gegen die Geschwindigkeit c angenommen wird, mit welcher die Kugel sich kontrahiert, so kann man die Litegration über das Elektron so ausführen, als wenn es in seiner augenblicklichen Lage ruhte. Nach (10) imd (47) ist mithin i i * t
j XdX I d(D^{X,l-X) = 1 XdX I d(DQ j tdt
i-x
e T
/•
tdt
\i—x
dabei stellt e die gesamte Ladung des Elektrons vor, X seine Entfernung vom Aufpimkte, die infolge der gemachten An- nahmen durch die Entfernung r des Au^imktes von der Gleichgewichtslage des Elektrons zu ersetzen ist. Endlich ist
)^
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Ponktladung. gl
t
t^dt
die jeweilige Entfernung des Elektrons aus seiner Gleichgewichts- lage; für den Wert des Hertzschen Vektors im Aufpunkte kommt die Elongation des Elektrons zur Zeit
c c
in Betracht. Setzen wir abkürzungsweise
(52) 6- Jud^^^iG),
0
indem wir uns den Vektor ^i, statt von der Zeit t, von dem Lichtwege et abhängig denken^ so wird der Hertzsche Vektor (48)
(52a) 3 = *-^-
Wir wollen voraussetzen^ daß zur Zeit ^ » 0 das Elektron in seiner Gleichgewichtslage sich befindet ^ und daß dann das Molekül kein elektrostatisches Feld erregt. Alsdann ist in (48 b) das anföngliche elektrostatische Potential q) gleich Null zu setzen, und es wird das skalare elektromagnetische Potential
(52b) * = _diyj«^).
Bei der Berechnung der Divergenz des Produktes aus dem Skalar — und dem Vektor fi ist die Formel (v) der Zusammen- stellung in Bd. I, S. 437 heranzuziehen, und es ist zu beachten, daß das Argument von fi die Entfernung r enthält; es wird
(52c) 9 = -(p(l-r), A^i.) + i(^(?_r),^y),
WO
dp{T) eH
m=
dl c
die elektromagnetisch gemessene Stromstärke des Strom- elementes ist, welches das bewegte Elektron darstellt. Dieselbe
62 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
geht auch in den aus (48 a) folgenden Ausdruck des elektro- magnetischen Vektorpotentiales ein:
(52d) « = fc!L).
Das erste Glied in (52 c) ist ganz analog gebaut^ wie der Ausdruck für das Potential einer Doppelquelle (Bd. I, GL 81, S. 63), vom Momente p(l — r). Dieses Glied kommt in der Nähe des Erregungszentrums ausschließlich in Betracht; das sieht man sofort ein, wenn man
(52e) ^ar = x„ ^i = -i,.r.
setzt und unter r^ einen Einheitsvektor versteht, welcher der
Richtung nach mit dem vom Erregungszentrum nach dem
Aufpunkte hin gezogenen Radiusvektor t übereinstimmt; dann
wird
(52f) $ = i,(r,, „(?_^)) + i(,^, ^(l-r)).
Es entsteht nun weiter die Aufgabe, aus den elektro- magnetischen Potentialen die Vektoren (B, ^ abzuleiten. Wir ziehen es vor, statt diese durch Yektorkalkül zu berechnen, eine Komponentenzerlegung vorzunehmen, erstens, weil so die Grrößenordnung der verschiedenen Glieder sich besser über- sehen läßt, und zweitens, weil dabei die Beziehung unserer Entwickelungen zu der grundlegenden Arbeit von Heinrich Hertz ^) deutlicher hervortritt. Wir berechnen den Beitrag, den die ^-Komponente des Vektors fi zum Felde liefert; führt das Elektron Schwingungen parallel der ;8^- Achse aus, so stellen die betreffenden Anteile der Feldstörken bereits vollständig das Feld dar. Der Hertzsche Vektor geht in die Funktion
(63) , 8.-^
über, die Hertz mit J7 bezeichnet hat und die von manchen Autoren die „Hertzsche Funktion^' genannt wird. Aus ihr
1) H.Hertz, Die Kräfte elektrischer Schwingangen, behandelt nach der MaxweUschen Theorie. Ann. d. Phys. 86, S. 1, 1888. Ges. Werke H, S. 147.
Zweites Kapitel. Die WeUenstrftbliuig einer bewegen Fanktladiiiig. 63
sind die Eomponeaten der Feldsiarken gemäß (48 c, d) ab- zuleiten. Es ist
(53a)
(53b) «
TTif
Die AasfQbrong der Differentiationen ergibt
(53 e)
e.
hxz
y
-p>
Sxe
XB
r" 9ye
-4- + P»' TT y
X Ä sy^ I u y«
¥» • -\;6 r p» -4 h IIa
.. ;?»-r>
.8 )
(53d)
(§x == ^ I». • ^, ~ *,,.
0? . •• X
0
Dabei sind es selbstverständlich die Werte von p,, -^
und -jf^ für den Argnmentwert {l — r), die för das Feld im
AnJ^xinkte in Betracht kommen. Dieses Argument brancht jetzt, als selbstverständlich^ nicht mehr in den Formeln zum Ausdruck gebracht zu werden.
Führt das Elektron in der Lichtquelle einfach harmonische Schwingungen aus^ so daß etwa in (53c, d)
|l, = 6sin-^(? — r)
zu setzen ist, so verhalten sich die Amplituden der drei Glieder z. B. im Ausdrucke der Komponenten von S wie
Es ist demnach, wenn die Entfernung vom lichtanssendenden Molekül klein gegen die Wellenlange des entsandten Lichtes
64 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen,
ist, nur das erste Glied zu berücksichtigen. Dort^ wo man die Lichtstrahlung beobachtet, ist im Gegenteil r groß gegen 2%X\ hier hängt % — und dasselbe gilt Yon dem mt^etischen Vektor § — nur von iji ab; die Feldstarken nehmen hier, wenn die Welle sich immer weiter ausbreitet, umgekehrt pro- portional der Entfernung vom Wellenzentrum ab. Das Gebiet^ in dem dieses stattfindet, wird die „Wellenzone^^ genannt. Wir wollen die Ausdrücke der Feldstarken in der Wellen- zone sogleich in vektorieller Schreibweise angeben. Wir über- sehen leicht, daß wir *die zu {i proportionalen Glieder in (53c,d) und die aus ihnen durch zyklische Yertauschung von Xyy^z entstehenden, welche Schwingungen parallel der x- bzw. der j/- Achse entsprechen, folgendermaßen in Yektorgleichungen zusammenfassen können:
(54)
Dabei ist nach (52)
(54a) Ü = S = .4§
der Beschleunigung des Elektrons proportional.
Denken wir uns nun die vom schwingenden Elektron entsandten Wellen von einem beliebigen Aufyunkte aus be- obachtet, so hängen die Feldstärken nur von dem Vektor
ab. Es kommt für den Beobachter allein die Pro- jektion der Schwingung auf eine zur Blickrichtung senkrechte Ebene in Betracht. Das äußere Produkt aus dem Einheitsvektor x^ und fi liegt in dieser Ebene; es ist dem Betrage nach gleich, der Richtung nach senkrecht zu der Projektion von ji; ihm parallel ist nach (54) der magnetische Vektor der entsandten Wellen, der die Polarisationsebene des Lichtes bestimmt. Der Beobachter wird demnach geradlinig polarisiertes Licht wahrnehmen, wenn die Projektion der Elek- tronenbewegung auf die zur Blickrichtung senkrechte Ebene eine
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Punktladung. 65
geradlinige Schwingung ist; nnd zwar wird die Schwingongs- richtung in jener Ebene senkrecht auf der Polarisationsebene des entsandten Lichtes sein. Ist hingegen die Projektion der Bewegung des Elektrons auf jene Ebene eine Ereisschwingnng^ so wird der Beobachter zirkulär polarisiertes Licht wahr- nehmen, und zwar rechts- oder linkszirkulares, je nachdem die Ej-eisschwingung rechts hemm oder links herum (im Sinne des Uhrzeigers oder im entgegengesetzten) um die Blickrichtung statt- findet; denn bei einer Kreisbewegung rotieren Fahrstrahl^ Ge- schwindigkeits- undBeschleunigungsvektor in dem gleichen Sinne.
Nach (54) bilden (B, ^ und r^ ein System von drei auf- einander senkrechten Vektoren^ und zwar folgen ti, — ^ und d, oder (Bj ^, ti aufeinander^ wie die Achsen eines rechtshändigen Eoordinatensystemes. Es liegt mithin S in der Wellenebene senkrecht zu ^^ also parallel der Projektion des Vektors p (oder des Beschleunigungsvektors) auf die zur Blickrichtung senkrechte Ebene. Der Betrag von <S ist demjenigen Yon ^ gleich. Es liegen demnach hier in der Wellenzone dieselben Ver- hältnisse vor, wie bei ebenen elektromagnetischen WeUen (ygl. Bd. I, § 69). Nur ändern sich bei ebenen Wellen die Ampli- tuden wahrend der Fortpflanzung nicht, während hier, bei den Kugelwellen, die Amplituden der Feldsillrken mit wachsender Entfernung r Yom Zentrum wie 1 : r abnehmen.
D^ Strahlvektor S ist nach Gleichung (13) durch das äußere Produkt yon S und ^ gegeben. Er weist also parallel dem Badiusyektor, was der Beobachtung entspricht. Da <S, ^, S ein System wechselseitig aufeinander senkrechter Richtungen bilden und die Betrage von Qi und ^ einander gleich sind, so ist der Betrag yon S:
(54b) _Ä = i;-|«|-|§l = i^-^' = ,-|-,.[t.üJ-
Bezeichnen wir mit d' den Winkel der Vektoren ti und |i, so wird (54c) ^ = 4^«ii'8"^'^
die Strahlung, die in der Sekunde durch die Flächeneinheit einer Kugel yom Badius r hindurchtritt; sie hängt gemäß (54a)
Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 5
i_
66 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
von der Ladung e und yon der Beschleunigung des Elektrons ab^ und zwar selbstversiandlich yon derjenigen Beschleunigung^ die stattfand^ als die Welle entsandt wurde. Die Strahlung verschwindet fßr '©• = 0 und d' ==x, d. h. für die Richtung des Beschleunigungsvektors und für die entgegengesetzte Rieh-
tung; sie ist am größten für «d* =» y' ^ ^* senkrecht zur Beschleunigungsrichtung. Die Integration über die ganze Kugel ergibt als Gesamtstrahlung
0 -1
Der Radius der Kugel ist herausgefaUen; es tritt also durch alle von der Welle durchsetzten konzentrischen Kugeln der Wellenzone die gleiche Energiemenge hindurch. Diese Energie hat sich von dem schwingenden Elektron losgelöst und durcheilt in Form von Wellenstrahlung den Raum^ wo sie je nach der Frequenz der Schwingungen als ultraviolettes^ sichtbares oder ultrarotes Licht wahrgenommen wird. Diese in Wellenstrahlung verwandelte Energiemenge wird der Lichtquelle entzogen; die pro Sekunde entzogene Energie ist nach (54a)
(55) __ = _o<|. = __.(_).
Ist die Schwingung eine einfach harmonische und ist X ihre Wellenlänge im Raume^ so ist ^
daher wird der Energieverlust durch Strahlung
Die pro Zeiteinheit durch Strahlung verlorene Energie ist um so größer^ je kleiner bei gegebener Schwingungsamplitude die Wellenlänge ist. Sie steigt bei abnehmender Wellenlänge umgekehrt proportional der vierten Potenz der Wellenlänge an. Die Schwin- gungen erfahren mithin eine Dämpfung durch Strahlung.
Zweites Kapitel. Die Wellenatrahlung einer bewegten Pnnktladung. 67
Eine solche Dämpfang ist zuerst yon H. Hertz in der oben zitierten Arbeit theoretisch abgeleitet worden.
Wir wollen jetzt die Frage erörtern^ inwieweit dieses ein- fachste elektromagnetische Modell einer Lichtquelle geeignet ist; yon dem Vorgänge der Lichtemission ein naturgetreues Bild zu geben. Wir wollen zunächst^ das Resultat der ünter- Buchui^en Zeemans (vgl. § 10) yorwegnehmend, yoraussetzen, daß das negatiye Elektron es ist^ welches in der Lichtquelle schwingt; und wollen dem negatiyen Elektron diejenigen Eigenschaften zuschreiben^ die wir in § 2 bei Besprechung der Eathodenstrahlen kennen *gelemt haben. Wir haben der mathe- matischen Behandlung den Fall zugrunde gelegt^ daß yor Beginn des Schwingungsyorganges das Molekül nach außen hin un- elektrisch ist. Die einfachste dementsprechende Hypothese würde die sein^ daß das Molekül aus einem positiyen und einem negatiyen Elektron besteht, deren Mittelpunkte anfangs zusammenfallen. Wird nun das negatiye Elektron yerschoben, während das positiye in Ruhe bleib t^ so entsteht ein elek- trischer DipoL Unter dem Momente eines solchen Dipols wird man entsprechend dem Momente einer Doppelquelle (Bd. I, S. 63) einen Vektor zu yerstehen haben^ der yon der negatiyen Ladung zur positiyen weist und dessen Betrag gleich dem Produkte aus dem Abstand der Mittelpunkte beider Elek- tronen und der Ladung des positiyen ist. Das ist aber nichts anderes^ als der durch (52) definierte Vektor fi; demi es ist zwar
t
ft^dt
0
der yon der ruhenden positiyen zur bewegten negatiyen Ladung weisende Fahrstrahly aber derselbe ist mit der negatiyen Ladung des bewegten Elektrons zu multiplizieren. Das Feld eines der ^r- Achse parallelen Dipols bringen die Formeln (53 C; d) zur Darstellung. Wollen wir nun erklären, wieso etwa das Licht des Quecksilberdampfes aus einzelnen feinen Spektrallinien besteht, so müssen wir den in den Molekülen bewegten Elektronen gewisse Eigenschwingungen zuschreiben. Um die Existenz
5*
68 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegang der einzelnen Elektronen.
dieser Eigenschwingongen zu yerstehen, nimmt die Elektronen- theorie an^ daß auf die Elektronen gewisse quasielastische Kräfte wirken, d. h. Kräfte, welche der jeweiligen Entfernung aus der Gleichgewichtslage proportional sind. Da die Elektronen Trägheit besitzen, so würde hierdurch die Möglichkeit von Eigenschwingungen bestimmter Frequenz gegeben sein. Freilich ist so nur ein Rätsel auf ein anderes zurückgeführt. Denn es entsteht nun die Frage, welcher Art jene quasielastische Kraft ist, ob sie ihrerseits elektrischen Ursprunges ist, etwa von der positiven Elektrizität herrührend, oder ob sie von der wägbaren Materie auf die Elektronen ausgeübt wird, Auch die große Zahl der Spektrallinien jedes einzelnen chemischen Elementes bereitet der Erklärung Schwierigkeiten. Soll man annehmen^ daß jedes Molekül des Quecksilberdampfes alle die Spektral- linien aussendet, oder strahlt das eine Molekül diese, das andere jene Linie aus? Im ersteren Falle wäre dem Molekül eine große Zahl elektrischer Eigenschwingungen zuzuschreiben, und das einfache Modell des elektrischen Dipols würde dann nicht zur Darstellung des Feldes ausreichen. Im zweiten Fall jedoch würde die Existenz der merkwürdigen Gesetzmäßigkeiten^ welche die Spektrallinien mancher Körper aufweisen, schwer verständlich sein. Die Fragen der molekularen Struktur, die mit dem Probleme der Spektrallinien zusammenhängen, sind leider noch wenig aufgeklärt. Wir müssen uns damit begnügen, an unserem einfachsten elektromagnetischen Modell festhaltend, jede Spektrallinie einem anderen Dipol zuzuschreiben und die Eigenschwingungen formal durch Einführung quasielastischer Kräfte zur Darstellung zu bringen. Wir gelangen so zu einem Ansatz, der als Arbeitshypothese gute Dienste leistet.
Wir setzen die Schwingungsgleichung des elektrischen Dipols in der Form an:
(56) 0 + **<» - 0;
nach (52) können wir schreiben
(56a) m^ = -^*'*.»^P^
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Ponktladnng. 69
Hier steht rechts die quasielastische Krafb^ welche das mit der trägen Masse m behaftete Elektron in die Gleichgewichts- lage zurückzieht. Der Schwingungsyorgang wird von den AnfEuigsbedingungen abhangen; wir können uns etwa vorstellen^ daß durch den Zusammenstoß mit einem anderen Molekül die Schwingungen des Elektrons angeregt werden. Wie dem auch sei, jedenfalls wird während der Schwingung das Zeitmittel der kinetischen Energie dem Zeitmittel der potentiellen gleich sein. Die gesamte Energie des schwingenden Dipols ist kon- stant; sie beträgt
(56b) Tr=«»?=5(gy,
wobei die horizontalen Striche die Bildung des zeitlichen Mittelwertes andeuten.
Wir haben oben gesehen^ daß der schwingende Dipol fort- gesetzt Energie ausstrahlt. Diese Ausstrahlung wird nun zu einer Dämpfung der Schwingungen Veranlassung geben müssen. Wir wollen den Betrag dieser Dämpfung berechnen. Aus (55) folgt _
(56c) -'J-jr
für die Abnahme der Schwingungsenergie; berechnet auf den Lichtweg l==l cm, d. h. die Abnahme während der Zeit
c 3
Während dieser Zeit hat das Elektron eine große Zahl von Schwingungen ausgeführt — 2 • 10* für A = 5 • 10""^ cm — , so daß die Mittelwertsbildung über sehr viele Schwingungen gerechtfertigt ist. Anderseits können wir (56 b) nach Ein- führung der spezifischen Ladung des Elektrons (Gleichung 9) schreiben: (56d) ^ = ^^'-
Da die Punkte in p, ff Differentiation nach l andeuten, so irilt
70 Birster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Wir erhalten daher
dlnW 2 rjc/2«\8
_ 2 rie /2%Y "" ¥ T VT/
dl
Es nimmt die Schwingnngsenergie nach dem Gesetze ab: (56e) W^W^e-y^
wo der Abklingnngskoeffizient
zu setzen ist. Dasselbe Exponentialgesetz gilt für die Abnahme der Intensität der entsandten Strahlung; dem Lichtwege 1 cm entspricht ein Herabsinken der Lichtintensitat auf den Bruch- teil e-y.
Nun läßt sich aber aus Interferenzyersuchen eine obere Grenze für die Abnahme der Strahlimgsintensitöt gewinnen. Für manche Spektrallinien^ z. B. für die grüne Quecksilberlinie^ haben sich nämlich Interferenzen bei sehr hohen Gangunter- schieden herstellen lassen. Die Verfeinerung der Technik solcher Interferenzversuche, um die sich A. Michelson, 0. Lummer und andere Experimentatoren verdient gemacht haben, hat zu sicht- baren Interferenzen noch bei Gangunterschieden von 50 cm geführt. Wäre nun die Abklingungkonstante y so groß, daß sich auf einem Lichtwege von 40 cm ein Herabsinken der Intensität des Lichtes auf ein Hundertstel ihres Wertes oder einen noch geringeren Bruchteil ergäbe, so könnte die Theorie von diesen Interferenzversuchen nicht Rechen- schaft geben. Wir wollen sehen, welcher Wert von y sich aus (56 f) ergibt.
Wir setzen für e und r^ die in (2) und (9) angegebenen Werte ein, nehmen A = 5 • 10~"^ an und finden
_ 8?g' 1,86610^»310-^Q_ Q ^^_8 ^"~~S~* 3. 10*0.26. 10-^« — ^-lU .
Daraus ergibt sich für einen Lichtweg von 50 cm ein Herabsinken der Lichtintensität auf den Bruchteil
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahliing einer bewegten Ponktladung. 71
es würde hiemacli bei einem Crangnnterschied von 50 cm noch sehr wohl eine Interferenz bemerkbar sein. Man könnte sich eher darüber wnndem, daß nicht bei noch höheren Ganganter- schieden Interferenzen sich herstellen lassen. Allein anßer der Dämpfung durch Strahlung dürften noch andere Ursachen mit- spielen^ die den regelmäßigen Verlauf des Schwingungsvorganges beeinträchtigen. So dürfte z. B. beim Stoße zweier Moleküle des Dampfes der ursprüncrliche Schwinrnrnfirsvorcranfic crestört und eine neue, mit eLr anderen PhasHSeetz^e Schwingung eingeleitet werden.
In der Schwingungsgleichung (56) bzw. (56 a) ist der Dämpfung durch Strahlung nicht Rechnung getragen worden. Wir wollen jetzt nachträglich die Schwingungsgleichung so modifizieren, daß der durch (55) in aUgemeinster Weise an- gegebene Energieyerlust zum Ausdrucke gelangt. Wir fOhren in (56a) eine ^^dissipative Kraft V^ ein, indem wir schreiben
(57) ^|»=_?Ä»<. + «'.
Diese dissipative Kraft ft^ stellt die Rückwirkung der Strahlung auf das bewegte Elektron dar. Ihre Arbeits- leistung muß mit dem Energieverluste (55) durch die Relation verknüpft sein:
(57a) /(«',») d< =.- I i;/(^)'rf<;
dabei bezeichnen t^, ^ zwei, etwa durch eine ganze Schwingung getrennte Zeitpunkte, zu denen die Beschleunigung des Elek- trons gleich Null ist. Während des Zeitintervalles von t^ bis ^ wird eine bestimmte Energiemenge entsandt; dieser muß die gesamte, in der gleichen Zeit von der rückwirkenden Kraft St* geleistete Arbeit entgegengesetzt gleich sein. Würde etwa zur Zeit t^ die ungleichförmige Bewegung des Elektrons beginnen und zur Zeit ^ endigen, so würde die gesamte Arbeit von St* und die gesamte Energie der entsandten Wellenstrahlimg in den Ausdrücken (57 a) enthalten sein.
72 Erster Absclinitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elekixonen.
Wir koimen nun die rechte Seite von (57 a) durch partielle Integration umformen; da die Beschlennigong an den Grenzen des Integrationsintervalles yerschwindet, so wird
>ft')^^=-i:-;/(»',S)^<.
Wir erfüllen also die Energiegleichung, indem wir setzen
d.h. indem wir die Reaktionskraft der Strahlung dem zweiten Differentialquotienten des Geschwindigkeits- yektors nach der Zeit proportional annehmen. Diese dissipatiye E^raft wirkt mithin nach einem anderen Gesetze^ als die Beibungskraft der gewöhnlichen Mechanik , welche man der Geschwindigkeit proportional zu setzen pflegt. Man sieht sofort, daß man, durch Annahme einer Proportionalität mit
H, ^) oder auch mit ^ oder irgendeinem höheren DifiFeren-
tialquotienten, oder auch einem Aggregate derartiger Glieder nicht den richtigen Wert (57 a) der Arbeitsleistung erhalten könnte. Wir wollen an dieser Stelle auf etwaige Bedenken, die der obigen Ableitung Yon St entgegengestellt . werden könnten, nicht eingehen, da wir weiter unten (in § 15) von einem all- gemeineren Standpunkte aus die Behandlung der Frage wieder aufnehmen werden.^)
Durch Einführung des Ausdruckes (58) von Ä* in (57) erhalten wir (58a) ^_»__Ä»^, + ___.
diese allgemeine Schwingungsgleichung tritt nunmehr an Stelle von (56 a). Gemäß (52) kann hierfür geschrieben werden
1) H. A. Lorentz (Enzykl. d. mathem. Wissensch. V. Art. 14 Nr. 20) gibt eine direktere Ableitung von (68).
Zweites Kapitel* Die Wellenstrahlnng einer bewegten Punktladung. 73
Die Schwingungsgleichung des elektrischen Di- poles wird also bei Berücksichtigung der Strahlungs- dämpfnng eine Differentialgleichung dritter Ord- nung.^)
§ 10. Der Zeeman-Effekt.
Daß das elektromagnetische Modell eines lichtemittierenden MoleküleS; welches wir soeben kennen lernten^ in manchen Fällen der Wirklichkeit entspricht^ dafDr ist der experimentelle Be- weis durch die Entdeckung P. Zeemans^) erbracht worden. Dieser Forscher hat gezeigt^ daß die Spektrallinien in starken magnetischen Feldern gewisse Veränderungen erfahren; diese Veränderungen haben sich in den meisten Fällen ohne weiteres auf Ghrund der Lorentzschen Theorie deuten lassen. Wir dürfen nicht versäumen^ den Zeeman- Effekt aus der im vorigen Para- graphen entwickelten Theorie abzuleiten.
Führen wir, der Orundgleichimg V gemäß, die von dem äußeren Magnetfelde auf das Elektron ausgeübte Kraft in die Bewegungsgleichung (56 a) ein, so lautet diese
"•S--"*'»+IM'
oder, wenn wir überall, nach (52), die Geschwindigkeit tl des Elektrons durch das elektrische Moment p des Dipols ersetzen
und die spezifische Ladung tj = -^-^ = — des negativen Elektrons einfuhren:
(59) 0 + ,.^,==_4^§].
Dabei haben wir das Dämpfongsglied wiederum fort- gelassen, weil der äußerst geringe Betrag der Dämpfung für die Frequenzen der Eigenschwingungen nicht wesentlich in Betracht kommt.
Wir legen der Integration der Schwii^ungsgleichung (59) sofort ein geeignetes Koordinatensystem zugrunde. Die ;8^ -Achse
1) M. Planck, Ann. d. Phys. 60, S. 677. 1897.
2) P. Zeeman. Phil. Mag. 48, S.226 n.44, S.256. 1897.
74 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
mag in Bichtong der magnetischen Kraftlinien weisen, während die (a;y) -Ebene auf diesen senkrecht steht; dann ergibt die Eomponentenzerlegong
(59a) g^+Ä»,,= -i,l#|§^,
(59b) ^ + t«^,^= + ,|§l^,
(59c) ^ + k'p, = 0.
Die Schwingungskomponente parallel den magnetischen Kraftlinien wird demnach Yon dem magnetischen Felde nicht beeinflußt. Setzen wir
so ist die Frequenz v ^Jc die gleiche, welche allen drei Schwingungskomponenten außerhalb des magnetischen Feldes zukommt.
Was aber die Schwingungen in der (a?y)-Ebene anbelangt, so sind die Komponenten pxf pp durch das magnetische Feld miteinander verkoppelt, wie die Gleichungen (59 a, b) anzeigen. Das läßt vermuten, daß wir hier zwei voneinander und von der ursprünglichen Frequenz Je abweichende Frequenzen v' und 1/" erhalten werden. Wir versuchen die Differentialgleichungen (59 a, b) durch den Ansatz
(60) ^I;,= a6»''^ ^iy=6e»''*
zu befriedigen, wo a imd b zwei komplexe, für Amplitude und Phase der beiden Komponenten maßgebende Konstanten sind.
Wir finden
a (Jk* -— 1/') = — iy 1^1 bi V,
<
6(Ä*— v^) ^ + ri\^\aiv.
Durch Elimination von a und b wird für i/* die quadra- tische Gleichimg erhalten
Bezeichnen wir mit i/' die kleinere, mit i/" die größere der beiden Frequenzen, so erhalten wir
(60a)
Zweites Kapitel. Die Wellengtrahltmg einer bewegten Ponktladmig. 75
oder, weil nar positiTe Werte von i/, v" zuUissig sind:
(60c)
Es werden also von den zu den Magnetkraftlinien senkrechten Schwingungskpmponenten des Dipols zwei Spektrallinien entsandt^ derenFrequenzen voneinander nnd von der ursprünglichen Frequenz Je abweichen.
Der Abstand der beiden Spektrallinien^ in der Skala der Frequenzen gemessen^ beträgt (60d) ^'_v'«^|§|,
er ist gleich dem Produkte aus der spezifischen Ladung der schwingenden Elektronen und der magnetischen Feldstärke.
Die ursprüngliche Frequenz k entspricht nach (60 c) nicht genau der Mitte der beiden abgeänderten Frequenzen i/, v\ Doch ergibt sich das Produkt 17 \^\ für alle herstellbaren Felder so gering — nur mit intensiven Feldern gelingt über- haupt die Trennung der Linien — , daß das Quadrat dieses Produktes in (60 c) zu yemachlässigen ist^ und daß mit ge- nügender Annäherung gesetzt werden darf:
(60e) ^^k.
um nun den Charakter der stattfindenden Schwingungen zu erkennen^ müssen wir das Verhältnis der Eonstanten a, b aus einer der Gleichungen (60 a) ermitteln. Für die langsamere der beiden Schwingungen^ von der Frequenz v\ folgt aus (60a, b)
(60f) ^ = ^^! = + ^
für die schnellere der beiden Schwingungen, von der Frequenz v'',
76 Barster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegnng der einzelnen Elektronen.
Es sind also^ sowohl far die langsamere^ wie för die schnellere Schwingung; die Amplituden der beiden Kompo- nenten ^x, ^y die gleichen; die Phasen jedoch weichen um
— voneinander ab. Beides sind demnach zirkuläre Schwin-
gungen. Bei der langsamen Schwingung ist, nach (60 f);
die 2^-Eomponente der a;-Eomponente um .-^ an Phase voran,
d. h. die Kreisbewegung führt, nach einer Viertelschwingung, von der «/-Achse zur o; -Achse, sie stellt also eine negative Drehung um die mit der je -Achse zusammenfallende Richtung des magnetischen Feldes dar. Einem auf der Seite der posi- tiven jsr-Achse befindlichen Beobachter erscheint die Kreis- schwingung als Drehung im Sinne des Uhrzeigers, oder als rechts -zirkuläre Schwingung. Bei der schnelleren Schwingung hingegen ist nach (60 g) die a; -Komponente der y -Komponente
um — an Phase voran, diese Bewegung entspricht einer posi-
tiven Umkreisung der j?-Achse und erscheint einem auf der Seite der positiven jgr -Achse befindlichen Beobachter ab links- zirkulare, dem Uhrzeigersinne entgegengesetzte Schwingung.
Wir denken uns jetzt die Flamme zwischen den Polen des Magneten; auf derjenigen Seite, nach der das magnetische Feld gerichtet ist, mag der Magnet durchbohrt sein. Was wird ein durch das Loch hindurchblickender Beobachter wahr- nehmen?
Für diesen Beobachter kommen nur die Schwingungen in der (a;t/)-Ebene in Betracht; denn wir haben im vorigen Para- graphen gesehen, daß nur die zur Blickrichtung senkrechten Komponenten der Elektronenbewegung für die ausgestrahlten Wellen maßgebend sind. Die der ;s^-Achse parallele Kom- ponente sendet daher den Magnetkraftlinien parallel kein Licht aus. Der Beobachter wird also bei spektraler Zerlegung des Lichtes die ursprünglich einfache Spektrallinie verdoppelt finden. Dieses Duplet von Linien ist zirkularpolari- siert, und zwar erscheint dem Beobachter, welcher den Kraftlinien des magnetischen Feldes entgegen- blickt, die im Spektrum auf der roten Seite liegende
Zweites Kapitel. Die Wellenßtrahliing einer bewegten Pnnktladting. 77
Linie rechtszirkular^ die anf der Tioletten Seite liegende linkezirkular polarisiert Die Beobachtung des ;^longitndinalen Zeeman-Effektes^' hat in der Tat ein derartiges Duplet ergeben^ wenigstens für die Mehrzahl der untersuchten Spektrallinien. Hieraus ist zu schließen, daß das negative Elektron es ist, welches die Spek- trallinien ausstrahlt. In der Tat haben wir, bei der Auf- stellung der Ghnndgleichung (59), die negative Ladung des Elektrons bereits berücksichtigend
^ cm cm
gesetzt. Für die positiven Elektronen wäre in (59) das Vor- zeichen von 1} umzukehren, mithin auch in (60a); so würde sich für die beiden Ereisschwingongen das entgegengesetzte Verhalten ergeben, indem die rechts -zirkuläre die schnellere, die links -zirkuläre die langsamere sein müßte. Der Zeeman- Effekt zeigt also, daß die im vorigen Paragraphen gegebene Spezialisierung des elektromagnetischen Modelles einer Licht- quelle, welche den periodischen Wechsel des Dipoles auf die Schwingungen des negativen Elektrons zurückführt, für die betreffenden Spektrallinien zutreffende Folgerungen ergibt. Die Messung des Abstandes der beiden Linien des Duplets ge- stattet es, wenn die magnetische Feldstärke bekannt ist, auf Grrund von (60d) die spezifische Ladung 17 zu bestimmen. Der von C. Bunge und F. Paschen gefundene Wert
(61) ij = l,68 10'
stimmt mit dem bei Eathodenstrahlen erhaltenen (vgl. § 2, Gl. 9) so gut überein, als es bei der Schwierigkeit dieser Messungen zu erwarten ist.
Übrigens hat sich auch die Forderung der Theorie, daß der Abstand der Komponenten des Duplets, in der Skala der Frequenzen gemessen, für alle Linien bei gegebenem magne- tischen Felde der gleiche, und der magnetischen Feldstärke proportional ist, in den Fällen bestätigt, wo überhaupt die einfache Zerlegung in ein Duplet gefunden wurde.
78 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegang der einzelnen Elektronen.
Was wird nun ein Beobachter wahrnehmen^ der das senk* recht zu den Magnetkraftlinien ausgestrahlte Licht spektral zerlegt? Er wird nach § 9 die Projektion der Schwingung auf eine zur Blickrichtung senkrechte, also den magnetischen Kraftlinien des Feldes parallele Ebene beobachten. In der Projektion ergeben aber die beiden zirkulären Schwingungen geradlinige Schwingungen von den Frequenzen i/' und v", senkrecht zu den Kraftlinien. Hierzu tritt nun noch die Schwingung if, parallel den Kraftlinien, deren Frequenz die- jenige der ursprünglichen Spektrallinie ist. Der Beobachter wird also ein Triplet von Linien wahrnehmen; in den beiden äußeren Linien finden die elektrischen Schwingungen senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien des äußeren Feldes statt; diese sind also geradlinig parallel den Kraftlinien polarisiert. Die innere Linie hingegen ist senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien polarisiert; in ihr finden die Schwin- gungen des elektrischen Vektors parallel den Kraft- linien des Hagnetfeldes statt, in dem sich die Flamme befindet. Auch diese Beschreibung des „transversalen Zeeman-Effektes^^ entspricht, bei den meisten Spektral- linien, der Beobachtung.
Diese einfache Form weist die Veränderung der Spektral- linien im magnetischen Felde jedoch keineswegs in allen Fällen auf. Manche Spektrallinien, z. B. die gelben Natriumlinien 2>^ und D2, teilen sich, anstatt in drei, in vier oder in sechs Linien; gewisse Linien des Quecksilberspektrums weisen, bei Beobachtung senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien, sogar eine Teilung in neun Linien auf. Wie die sorgfältigen Unter- suchungen von C. Bunge und F. Paschen^) ergeben haben, sind es gerade die Serienlinien, die solche anomalen Zeeman-Effekte zeigen. Diese Untersuchungen haben sehr bemerkenswerte Gesetz- mäßigkeiten festgestellt. Alle Linien einer und derselben Serie weisen die gleiche Zerlegung im magnetischen Felde auf, sowohl
1) C. Eunge u. F. Paschen. Sitzimgsber. d. Berl. Ges. d. Wißsensch. 1902, S. 380 u. 720. Vgl. den Artikel von C. Runge in H. Kaysers Hand- buch der Spektroskopie Bd. II.
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung. 79
was die Zahl^ als auch was den in der Skala der Frequenzen gemessenen Abstand der getrennten Linien anbelangt. Ja sogar die Linien yerscbiedener Elemente^ die einer und derselben Omppe des MendelejelBEschen Systemes angehören^ besitzen meist den gleichen Zeeman- Effekt^ wenn sie entsprechenden Serien angehören. Der Zeeman- Effekt ist ein charakteristisches Merk- mal für die betreffende Serie; er hat es in einigen Fallen er- möglicht; bis dahin noch nicht in Serien eingeordneten Linien ihren richtigen Platz anzuweisen.
Das in den beiden letzten Paragraphen entwickelte ein- fache Modell eines leuchtenden Moleküles erweist sich; wie wir sehen, gerade für die Serienlinien als unzulänglich^ da diese Linien anomale Zeeman -Effekte zeigen. Li der Tat konnten wir das Bild eines einzelnen, unter dem Einflüsse einer quasi- elastischen Kraft um eine stabile Oleichgewichtslage schwingen- den Elektrons nur als eine provisorische Arbeitshypothese be- trachten. Es ist merkwürdig genug, daß dieses Bild wenigstens für die isolierten Linien von der Beobachtung bestätigt wird. Es ist bisher noch nicht gelungen, die anomalen Zeeman-Effekte vom Standpunkte der Elektronentheorie aus in befriedigender Weise zu deuten. Die von G. Bunge und F. Paschen entdeckten Gesetzmäßigkeiten lassen vermuten, daß eine befriedigende Er- klärung nur in Verbindung mit der Theorie der Spektralserien möglich sein wird. Jenes einfache elektrische Modell eines Moleküles oder Atomes wird dabei zweifellos durch ein kompli- zierteres zu ersetzen sein. Da unsere Kenntnisse der elektrischen Struktur der Atome und Moleküle der Materie nur gering sind, so ist dabei der Hypothesenbildung ziemlich freies Spiel gelassen. Anderseits sind die von Bahner, Kayser und Bunge, Bydberg und Ritz für die Wellenlängen der Spektralserien aufgestellten Formeln so genau gültig, daß sie ein recht scharfes Kriterium für die Zulässigkeit einer derartigen Hypothese bilden. Die Deutung jener Spektralformeln, welche gleichzeitig die Theorie der anomalen Zeeman-Effekte der Serienlinien ergeben müßte, ist wohl die wichtigste und die schwierigste Aufgabe der elektro- magnetischen Lichttheorie. Daß die Elektronentheorie nicht ganz
80 £2rster Abschnitt, Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen,
auf der falschen Fährte ist; zeigt der Umstand; daß hinsichtlich der Polarisation die anomalen Zeeman-EjBTekte den normalen ähnlich sind. So weisen z. B. von den neun Linien, in welche gewisse Linien des Quecksilbers im magnetischen Felde sich spalten; die drei inneren dieselbe Polarisation auf; wie die innere Linie des einfachen TripletS; während die äußeren Linien eben- so polarisiert sind; wie die äußeren Linien des Triplets bzw, DupletS; nämlich bei Strahlung senkrecht zum magnetischen Felde geradlinig parallel den Kraftlinien; bei Strahlung parallel dem magnetischen Felde zirkulär. Auch ist die Ghrößenordnung der Linienabsi^dC; und der Sinn der Zirkularpolarisation; derselbe; wie bei dem einfachen Duplet und Triplet. Das läßt vermuten; daß auch hier die negativen Elektronen in Bewegung begriffen sind; freilich unter weniger einfachen Be- dingungen.
Bei der Strahlung der Bandenspektren ist es bisher nicht gelungen; einen Zeeman-Effekt des magnetischen Feldes nach- zuweisen. Man kann im Zweifel sein, ob dieses Licht von Elektronen ausgesandt wird; die mit Atomen der wägbaren Materie verkoppelt sind; oder ob es den Schwingungen der positiven Elektronen seinen Ursprung verdankt. Es ist viel- leicht nicht ganz ausgeschlossen; daß es mit Hilfe einer ver- feinerten optischen Technik einst gelingen wird; über diese Frage Auskunft zu erhalten.
§ 11. Die elektromagnetischen Potentiale einer bewegten
Funktladung.
In § 9 haben wir bei der Berechnung des Hertzschen Vektors für eine schwingende Punktladung uns gewisse Ver- nachlässigungen gestattet Wir haben angenommen; daß die Bewegung der Ladung auf einen Bereich sich erstreckt; dessen Abmessungen klein gegen die Entfernung der Punktladung vom Aufpunkte sind. Sodann haben wir die Geschwindigkeit der bewegten Ladung als klein gegen die Lichtgeschwindigkeit angesehen. Diese Voraussetzungen wollen wir jetzt fallen lassen. Wir betrachten ein Elektron; welches sich
J
Zweites EapiteL Die Wellenstrahlxmg einer bewegten Ponktladung. 81
beliebig im Banme bewegen kann; seine Geschwin* digkeit soll znnächst beliebig groß angenommen werden. Wir lassen indessen anch jetzt noch die Ghrdße und Gestalt des Elektrons onberücksichtigt^ indem wir dasselbe wie eine Ponktladung behandeln. Wie wir bereits früher er- wähnten^ ist es vom Standpunkte der Nahewirkungstheorie aus undenkbar^ daß eine endliche Elektrizitatsmenge auf einen mathematischen Punkt zusammex^edrangt wird, da dieses einen unendlichen Wert der Feldenergie ergeben würde. Wir werden diese Bemerkung später bestätigt finden und werden der Dynamik des Elektrons bestimmte Annahmen über seine Form und Bewegungsfreiheit zugrunde legen. Immerhin werden sich die Abmessungen des Elektrons so gering — von der Ord* nuiig 10~^ cm — ergeben, daß es für manche Zwecke aus reichend ist, das Elektron als Punktladung zu betrachten. Das wird selbstrersföndlich nur für solche Aufyunkte erlaubt sein, deren Abstand vom Elektron groß gegen dessen Abmessungen ist. Dieser Bedingung genügen jedenfalls die in der Wellenzone gelegenen Aufyunkte. Daher werden wir die Formeln dieses Paragraphen insbesondere zur Ermittelung der von einem rasch bewegten Elektron entsandten Wellenstrahlung verwerten können. Wir werden so der in § 9 entwickelten Theorie der ruhenden Lichtquelle eine Theorie der bewegten Licht- quelle an die Seite stellen und werden anderseits gewisse Konsequenzen der Stokes-Wiechertschen Hypothese entwickeln, welche die Röntgenstrahlen als die beim Aui^rall der Kathodenstrahlen auf die Antikathode entsandte Wellenstrahlung anspricht. Diese Folgerungen sind gerade dadurch bemerkens- wert, daß sie sich auf den GhrenzfEdl eines Elektrons Ton ver- schwindenden Abmessungen beziehen. Welche Voraussetzungen man auch über die Gestalt des Elektrons machen möge, beim Grenzübergang zu verschwindend kleinen Abmessungen muß sich stets dasselbe Resultat ergeben. Freilich ist dieser Grenz- übergang, wie wir sehen werden, nicht immer erlaubt. In allen Fällen jedoch, in denen er erlaubt ist, sind die Ergebnisse als Folgerungen der Grundhypothesen der Elektronentheorie
Abraham, Theorie der Blektrizitftt. n. 6
82 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
allein anzasehen^ die in den Grundgleichnngen (I) bis (Y) formuliert sind.
Wir bestimmen die elektromagnetischen Potentiale der Ponktladang anf Orund der allgemeinen Formeln (50^ 51). Wir denken uns eine Elektrizitätsmenge e, die einen ge- wissen endlichen Bereich erfüllt Die Entfernung des Anf- punktes P soll groß sein gegen die Abmessungen jenes Bereiches. Wir erinnern uns der Deutung mit Hilfe der auf den Auf punkt hin sich mit Lichtgeschwindigkeit kontrahierenden Eugel; durch die wir die Formeln (50 a) und (51a) erläuterten. Für unseren Aui^unkt P ist der Badius A der Eugel groß gegen die Abmessungen der Flächenstücke f, in denen sie das bewegte Elektron schneidet; es sind mithin diese Flächenstücke mit genügender Annäherung als eben zu betrachten; durch diese Ebenen wird das Elektron in dünne Scheiben von der Höhe dh zerschnitten; die einzelne Scheibe enthält die Elek- trizitätsmenge f(f dh =» de.
Nun bezieht sich die Integration in (50) nicht auf die Yolumelemente des bewegten Elektrons, sondern auf die jeweils von Elektrizität erfüllten Yolumelemente des Baumes. Will man den Beitrag
XdXdcDQ ^ dfQ-j-
berechnen, den die Elektrizitätsmenge de der einzelnen Scheibe zu dem Werte von 0 im Aufpunkte beisteuert, so muß man den Abstand dX der beiden Lagen der sich kontrahierenden Kugel berechnen, wo diese in die elektrizitätserfüllte Scheibe eintritt bzw. aus dieser austritt; dieser Abstand ist im Baume, nicht im bewegten Elektron gemessen zu denken. Es ist aber nicht schwer, dX zu berechnen. Setzen wir
dX = c dxy
so ist dx die Zeit, während deren die mit der Geschwindig- keit c durch den Baum eilende Fläche über die Scheibe von der Höhe dh hinwegstreicht. Diese Zeit berechnet sich als Quotient aus der Höhe dh und der dieser Höhe parallelen Komponente der Belativgeschwindigkeit der bewegten Fläche
J
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Fimktladnng. 83
und der bewegten Scheibe. Die Engel bewegt sich mit Licht- geschwindigkeit (c) senkrecht zu der Grundfläche der Scheibe^ während die Geschwindigkeit der Scheibe durch die Geschwin- digkeit li des Elektrons sich bestimmt; und zwar ist die Komponente von li in Richtung nach dem Mittelpunkte der Eugel; d. h. in Richtung des vom Elektron nach dem Auf- punkte hin gezogenen Radiusvektor r zu nehmen. Folglich ist die entsprechende Komponente der Relatiygeschwindigkeit von Kugel und Scheibe gleich c — t^r» Es ist also die Zeit dt, während deren die Kugel die Scheibe überstreicht:
, dh
r
und daher
(62) dX = cdT = -^-
1 — ?: c
Wir haben soeben stillschweigend ai^enommen, daß c > Kr ist, d. h. daß das Elektron Ton der sich kontrahierenden Kugel überholt wird. Bewegt sich hingegen das Elektron mit XJber- lichtgeschwindigkeit; so kann der Fall eintreten, daß es, die kontrahierende Kugel überholend, von außen nach innen durch dieselbe hindurchtritt. In diesem Falle ist die Relatiy- geschwindigkeit ör — Cf und es ist
(62a) dA = -^
c zu setzen. Allgemein ist zu schreiben
(62b) dX = ^*
K
Doch wollen wir zunächst | ti | < c annehmen und an (62) die weitere Betrachtung anknüpfen.
Wir erhalten als Beitrag unserer Scheibe zum skalaren elektromagnetischen Potential im Aufpunkte /nci \ jr ^^ dfgdh 1 de
(62c) dfQ j '-f-
('-» '('4
84 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Es bleibt nur die Integration über die einzelnen Scheiben übrig. Da der Abstand r des Aoi^unktes als groß gegen die Abmessungen des Elektrons angesehen wurde^ so ist er bei der Int^ration konstant zu halten. Die Integration ist daher ohne weiteres auszuführen^ falls es auch erlaubt ist, li als konstant anzusehen für diejenige Zeit, wahrend deren die Engel über das Elektron hinwegstreicht. Sie ergibt in diesem Falle
(63) * =
(-4)
als Wert des skalaren elektromagnetischen Potentiales für Bewegung mit Unterlichtgeschwindigkeit.
In dem Ghrenzfalle einer Punktladung ist es natürlich
ohne weiteres gestattet, f 1 -y ebenso wie r, bei der Inte- gration über das Elektron als konstant anzusehen. Da wir indessen diesen Grenzfall nicht als streng verwirklicht be- trachten, so bedeutet die Eonstantsetzung dieser Größen eine gewisse Einschränkung des Gültigkeitsb^eiches der Formel (63). Erstens ist diese Formel, wie schon erwähnt, nur auf solche Aufpunkte anzuwenden, deren Abstand vom Elektron groß ^egen die Abmessungen des Elektrons ist. Schließen wir das Elektron in eine Engel vom Radius a ein, so muß
(63 a) T groß gegen a
K
sein. Zweitens aber muß, damit die Veränderung von — in der Zeit __ ; wahrend deren die Engel über das Elektron
r
hinwegstreicht, für keinen der Aafpunkte in Betracht kommt.
(63t>) ^Jji^ klein gegen 1
sein (6 stellt den Beschleunigungsvektor dar).
Nur dann, wenn die Abmessungen des Elektrons 80 klein, die Beschleunigung so gering und die Geschwindigkeit von der Lichtgeschwindigkeit so entfernt ist, daß die Bedingungen (63a) und (63b)
Zweites Kapitel. Die WellenstrahlniLg einer bewegten Ponktlftdnng. g5
erfüllt sind^ ist es gestattet; das Elektron durch eine Panktladnng zu ersetzen.
Sind diese Bedingungen erfOllt^ so laßt sich die Berech- nung des Yektorpotentiales nach der Formel (51) in ent- sprechender Weise durchführen. Es tritt nur an die Stelle
ii
des Skalars q der durch (10) bestimmte Vektor q — Schließen
wir Rotationen des Elektrons aus, so ist der Beitrag jeder einzelnen Scheibe zum Yektorpotential
de — c
i'-i)
Ist nun die Bedingung (63 b) erfOllt, so ist auch die
** ii
Änderung; welche — beim Hinwegstreichen der mit Licht-
geschwindigkeit bewegten Kugel über das Elektron erfahrt, zu yemachlassigen; und es führt die Integration über die einzelnen Scheiben ohne weiteres zu dem Ausdruck
(64) « = - '^
rc
(■4)
des elektromagnetischen Yektorpotentiales.
Die Formeln (63) und (64) f&r die elektromagnetischen Potentiale einer bewegten Punktladung sind von A. Li^nard^) und E. Wiechert') abgeleitet worden. Infolge der geringen Abmessungen des Elektrons erweisen sie sich auch für ziemlich betrachtliche Beschleunigungen und bis unmittelbar an die Lichtgeschwindigkeit heran als gültig. Der Fall unstetiger Bewegung des Elektrons hingegen sowie der Fall einer be- schleunigten Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit liegen nicht in ihrem Gültigkeitsbereiche, weil hier die Bedingung (63 b) nicht mehr erfüllt ist. Auch ungleichförmige Bewegungen mit Über- lichtgeschwindigkeit dürfen nicht auf Grund dieser Formeln be- handelt werden, weil es bei solchen Bewegungen immer Auf-
1) A. Lidnard, L'äolairage ^lectrique 16. 1898. S. 5, 53, 106.
2) E.Wiechert, Arch.n^erland. (2) 5. S. 649. 1900. Ann. d. Phya. 4. 8.667. 1901.
86 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
punkte gibt, wo c — lir = c — |ti| cos(li,r) gleich Null wird; auf solche Aufpunkte hin eilt die kontrahierende Kugel mit derselben Geschwindigkeit wie das Elektron, so daß H bei der Integration über das Elektron nicht als konstant angesehen werden darf. Auch die Anwendung auf gleichförmige Be- wegung mit Überlichtgeschwindigkeit gibt sich dadurch als unzulässig kund, daß es Aui^unkte gibt, für welche der Nenner in (63) bzw. (64) verschwindet; diese Punkte liegen auf einem
Eegel, der mit der Bewegungsrichtung den Winkel arc sin (tzt)
einschließt. In solchen Aufpunkten drängen sich, da die kontrahierende Eugel stets die mit Überlichtgeschwindigkeit bewegte Punktladung durchschneidet, die zu allen voran- gegangenen Zeiten entsandten Beiträge zusammen; daher rührt das ünendlichwerden der Ausdrücke (63) imd (64). Dasselbe fallt fort, wenn man die Elektrizität des Elektrons auf ein Volum von endlichen, wenn auch geringen, Abmessungen ver- teilt annimmt. Es ist demnach für den Fall der Licht- geschwindigkeit und der Überlichtgeschwindigkeit der Grenzübergang zur Punktladung unzulässig. Die Anwendung der Formeln (63) und (64) zur Ermittelung des Feldes eines bewegten Elektrons ist auf Bewegungen mit Unterlichtgeschwindigkeit einzuschränken.
Aus der Ableitung dieser Formeln geht hervor, daß t bzw. H Radiusvektor vom Elektron nach dem Aufpunkt und Geschwindigkeit des Elektrons zu der Zeit t* bedeuten, als die mit Lichtgeschwindigkeit c sich kontrahierende Kugel über das Elektron fortstrich. Diese Zeit
(64a) t' = t-i
bestimmt sich für einen jeden Aufpunkt, wenn die Bewegung des Elektrons gegeben ist; denn r ist dadurch als Funktion von t' gegeben. Falls, wie weiterhin angenommen wird, die Geschwindigkeit des Elektrons kleiner als c ist, so kann die Kugel das Elektron immer nur ein einziges Mal schneiden. Es ordnet sich mithin für einen gegebenen Aufpunkt P der
J
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung. 87
Zeit t des Eintreffeus der Störung die Zeit t' des Entsendens in eindeutiger Weise zu. Da offenbar
(64b)
ist; SO folgt aus (64a)
oder (64c)
)4a) |
dr dt' " |
~tl. |
dt dt' "" |
d(t' + dt' |
d |
1 |
dt' |
dt
Man kann daher die Formeln (63) und (64) auch fol- gendermaßen schreiben:
e dt'
(65)
r dt
et dt[ rc dt
Aus den elektromagnetischen Potentialen folgt nach (28) und (29) das elektromagnetische Feld der bewegten Punktladung.
§ 12. Das Feld einer gleichförmig bewegten Funktladong.
Wir betrachten eine Punktladung, die sich gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Es mag JE' (Abb. 2)
Abb. 8.
ihre Lage zur Zeit t^ gewesen sein, als sie die Beiträge (63) und (64) zu den elektromagnetischen Potentialen entsandte, die zur Zeit t im Aufpunkte P eintreffen; E hingegen sei der Punkt, in dem die Ladung sich zu der Zeit t befindet. Es ist daher
88 E!nter Absohnitt. Das Feld a. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
und die Projektion von E'E auf E'Pi Folglich ist
Wir können anderseits FP durch den von der gleich- zeitigen Lage E des Elektrons nach dem Aofpnnkte P hin gezogenen Radiusvektor tt ausdrücken. Es ist
FP- Ucosx ^ BT/l-sin*x. Da nun aus elementargeometrischen Gründen gilt
sinx : sin^ = F'jE; : i;'P = |b| - : r = ^
c c
so folgt
(66) r (l - ^) = Byi-/J«sin**,
wobei abkürzungsweise gesetzt ist
(66a) /' = ^<1-
Da die Geschwindigkeit der Punktladung kleiner ist^ als die Lichtgeschwindigkeit; so ist ß ein echter Bruch. Die Formeln (63) und (64) ergeben jetzt
(66b) * :
Äl/1-/J«sin»ip
(66 c) « = ^
als die elektromagnetischen Potentiale der gleich- förmig bewegten Punktladung. Wie man sieht^ hängt ihr Wert zur Zeit t nur ab von der Lage des Aufyunktes^ bezogen auf die gleichzeitige Lage des Elektrons und auf die Bewegungsrichtung. Führen wir Koordinaten X, T, Z ein, mit E als Eoordinatenursprung und der Bewegungsrichtung als X-Achse, so gilt
Zweites EapiteL Die Wellenstrahlnng einer bewegten Pnnktladmig. 89
(67) «=-4, %, = 4> «,=-«.-0,
» " «
wenn
(67a) s = Byi-/S«8in»* = l/Z« + (l-/J«)(r« + Z«)
gesetzt wird.
Bezogen anf ein mit dem Elektron mitbewegtes Bezugs- system; sind die elektromagnetischen Potentiale^ und mithin die Felder des elektrischen und des magnetischen Vektors^ von der Zeit unabhängig.
Indem wir das mit dem Elektron translatorisch bewegte Bezugssystem zugrunde legen, können wir das elektromagnetische Feld aus (28), (29) ohne weiteres ableiten. Wir haben nur zu beachten^ daß die vom bewegten Bezugssystem aus beurteilte zeitUche Änderung des Vektors « (vgl. Bd. I, Gl. 116, S. 113)
^ = ^ + (bF)«»0 ist. Daraus folgt
'cTt Päx"
Es ergibt daher (29)
Ky ai-' W. 3^5
nach AnsfÜhning der Differentiationen folgt .
(67c) «. = (l-^«)5^, «^=(1-^»)^, «,= (l_^«)if;
oder, in vektorieller Schreibweise
(67 d) « = (i_|j»)^.
Der elektrische Vektor weist parallel dem von der jeweiligen Lage des Elektrons aus konstruierten Radiusvektor tt.
Anderseits ergibt sich aus (28) für die Komponenten des magnetischen Vektors:
90 Erster Abschnitt. Das Feld u, die Bewegung der einzelnen Elektronen.
(67 e)
^y- Tz- Pdz P*"
oder vektoriell geschrieben
(67f) ^ = i[tt«] = ü^«[ö«].
Der magnetische Vektor steht senkrecht auf der Bewegungsrichtung des Elektrons und auf dem Radius- vektor 8t. Das durch (67d, f) bestimmte Feld führt die Punktladung bei ihrer Bewegung mit.
Das elektromagnetische Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung ist zuerst von 0. Heaviside^) angegeben worden. Es entspricht dem Felde eines gleichförmig bewegten Elektrons in Entfernungen, die groß gegen die Abmessungen des Elek- trons sind.
Wir berechnen noch den durch die Grundgleichung (V) bestimmten Vektor
5 = « + i[|,§];
derselbe gibt die elektromagnetische Eraft an^ welche auf die Einheit der mitbewegten Ladung wirkt. Es ist nach (67 b, e)
15x = «« =_(l_/3i>)||,
ff. = %-^#.= -(l-^0
dX
oder vektoriell geschrieben
(68) ^ = -rw, ^=(l-ß^)l.
Die elektromagnetische Kraft auf die mitbewegte Einheit der Ladung stellt sich als negativer Gradient
1) 0. Heaviside, Electrical papers. IL S. 495.
I
Zweites Kapitel. Die Wellenatrahlimg einer bewegten Punktladong. 91
eines Skalars ^P* dar. Dieser wird das „Konvektions- potentiaP' genannt.
Wir wollen die Fläclien konstanten Eonyektionspotentiales konstruieren. Diese Flächen
(68a) 5^ = Z» + (1 - ß^) (r» + Z^) = Constans
sind abgeplattete Rotationsellipsoide; ihr Mittelpunkt fällt in die Punktladung, ihre Rotationsachse in die Bewegungsrichtung; ihr Achsenyerhältnis ist
(68 b) yT^:l.
Diese Ellipsoide werden Heaviside-Ellipsoide genannt; ihre Abplattung wächst mit wachsender Geschwindigkeit der Ladung.
Setzt man ß ^0, so geht das Feld des Vektors % in das elektrostatische Feld, das Eonvektionspotential ^ in das elektro- statische Potential über; die Schar der einander ähnlichen Heaviside -Ellipsoide geht in eine Schar konzentrischer Kugeln über. In der Theorie der Konyektionsstrahlung spielt das Eonyektionspotential eine ähnliche Rolle, wie das elektro- statische Potential in der Elektrostatik. Die Äquipotential- flächen eines ruhenden, geladenen Körpers sind, in großer EntfemuDg von dem Körper, stets konzentrische Kugeln. Dem- entsprechend nehmen die Flächen konstanten Konvektions- potentiales in dem von einem gleichförmig bewggten Elektron erregten Felde, in großen Entfernungen vom Elektron stets die Form von Heaviside-Ellipsoiden an; senkrecht zu diesen Flächen ist die Kraft gerichtet, welche das Elektron auf eine mit gleicher Geschwindigkeit ihm parallel bewegte Ladung ausübt.
Die Feldstärken (67d, f) nehmen, mit wachsender Ent- fernung von der erregenden Ladung, umgekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung ab. Bei gleichförmiger Bewegung des Elektrons bildet sich demnach keine Wellenzone aus, es findet keine Energieabgabe durch Strahlung statt, sondern es wird die Energie vom Elektron konvektiv mitgeführt. Das
92 Erster Abschnitt« Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
gleichförmig bewegte Elektron stellt eine reine Eon- yektionsstrahlung dar. Eine Wellenstrahlung wird nur dann entsandt^ wenn die Geschwindigkeit der bewegten Ladnng sich dem Betrage oder der Bichtang nach ändert.
§ 13. Das Feld einer ungleichförmig bewegten Panktladung.
Die allgemeinen Formeln^ welche wir in § 11 für die elektromagnetischen Potentiale einer PunkÜadnng gewonnen haben^ gestatten es^ das Feld einer beliebig bewegten Punkt* ladung zu ermitteln. Beschränken wir uns auf den Fall der Unterlichtgeschwindigkeit, auf Beschleunigungen; welche der Bedingung (63b), und auf Entfernungen, welche der Be- dingung (63a) genügen, so stellen die so zu erhaltenden Formeln das Feld eines ungleichförmig bewegten Elektrons dar. Sie sind insbesondere darum von Interesse^ weil sie die Wellenstrahlung eines beschleunigten Elektrons enthalten.
Wir schreiben die Ausdrücke (63, 64) der elektro- magnetischen Potentiale folgendermaßen:
(69) * = f « = fj,
wobei wir abkürzungsweise
(69a) s = r(l-'^) = r-^(tx)
setzen.
Dabei bedeutet t den Badiusvektor, der von der bewegten Punktladung nach dem festen Aufpunkte P gezogen ist. Wir nehmen die Bewegung der Punktladung als gegeben an, und betrachten demnach t als bekannte Funktion von t\ Die Ge- schwindigkeit des Elektrons zur Zeit t^ ist
(69b) » = - S'
deren Komponente parallel dem nach dem Au^unkte hin- gezogenen Badiusyektor:
(69c) tr g.
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Pnnktladnng. 93
Femer ist die Beschleunigangy die das Elektron zur Zeit t' erfahrt: (69d) »=§5.
Der zur Zeit t* Yon der PunkÜadung entsandte Beitrag trifft nun nach Durchlaufung des Latensweges r im Aufpunkte P ein, also zur Zeit
(70) t = t'+^.
Ist anderseits der Aufpunkt P gegeben, und die Zeit t des Eintreffens der Störung in P, so ist, durch Gleichung (70), die Zeit t' des Entsendens in eindeutiger Weise bestimmt. Es ist diejenige Zeit, zu der die auf den Au^unkt hin sich mit Lichi^ geschwindigkeit kontrahierende Kugel die Punktladung trifft. Für den hier behandelten Fall der Unterlichtgeschwindigkeit ist Zeit und Ort des Treffens eindeutig bestimmt, wenn die Bewegung der Ladung gegeben ist.
Bei gegebenem Aufpunkt ordnet sich, gemäß (70), einer jeden Zeit i des Eintreffens eine Zeit t' des Entsendens zu. Dem Übergang zur Zeit t + dt des Eintreffens entspricht, bei festgehaltenem Aui^unkt, ein Übergang zur Zeit f + dt' des Entsendens; dabei ist, nach (70),
^~ dt |
+1 |
dr dif |
dt |
||||
oder, |
nach |
(69 c |
und |
a), |
|||
(70a) |
dt |
1 Kr |
• |
r 8 |
Diese Relation ist dem Sinne nach durchaus mit der Gleichung (64 c) identisch. Sie unterscheidet sich von ihr nur der Form nach, indem wir dort totale, hier partielle Diffe- rentiationszeichen gebrauchen. Das geschieht darum, weil wir den Aufpunkt P nicht ein für allemal festhalten, sondern es uns Yorbehalten, bei festgehaltener Zeit, den Au^unkt P zu verrücken. Einer solchen Verrückung des Aufpunktes würde eine Änderung der Zeit t' des Entsendens entsprechen, die wir in kartesischer Schreibweise durch die partiellen Differential-
94 Erster Absclinitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
quotienten nach den Koordinaten des Aui^anktes auszudrücken hätten. In vektorieller Schreibweise wird die Veränderung Yon t' bei Verschiebung des Aufpunktes durch den Gradienten rf sich ausdrücken. Nach (70) ist
c
Bei der Berechnung des Gh*adienten von r ist nun mit Vorsicht zu verfahren. Würde nur der Aufpunkt verschoben und der Ort der Punktladung festgehalten^ so würde der Gradient des Abstahdes r mit dem vom Elektron zum Auf- punkte hinweisenden Einheitsvektor t^ identisch sein. Nun entspricht aber der abgeänderten Zeit t' des Entsendens eine Verrückung der Punktladung; die zu einer Abstandsänderung
Veranlassung gibt.
Es wird demnach
Hieraus folgt, mit Rücksicht auf (70 a)
(70b) ^<'=-?S'-
Daneben ergibt sich
(70c) ^r=t/^.
Würde man anderseits, bei festgehaltenem Aui^unkte, r partiell nach der Zeit t differentiieren, so würde nur der Zuwachs des Abstandes infolge der Abänderung der Zeit t' des Entsendens und der hierdurch bedingten Verrückung der Punkt- ladung in Frage kommen; es wird
(70d) __.==^__=_|,^_.
Durch partielle Differentiation nach der Zeit und nach dem Orte des Aufpunktes sind aus den elektromagnetischen Potentialeii (69) die Feldstärken, gemäß (28) und (29), ab-
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlmig einer bewegten Ponktladnng. 95
zuleiten. Um diese Differentiationen durchführen zu können^
müssen wir noch angeben, wie s und H nach Zeit und Ort zu
differentiieren sind. Was zunächst s anbelangt, so ist dasselbe,
nach (69 a), bei gegebenem Aufpunkte nur von f abhängig.
Man hat daher
ds ds dt'
dl "dp ä*' und, nach (69 a bis d):
Der Gh*adient Ton s hingegen ist
Fs = Fr--iF(|it).
c ^ ^
Wie bei der Berechnnng des Gradienten von r, so. ist auch bei der Berechnung des Gradienten des skalaren Produktes
zu beachten, daß nicht nur der Aufpunkt verschoben wird, sondern daß dem verschobenen Aufpunkte sich, gemäß (70), ein anderer Ort der Punktladung zuordnet. Die a;-Komponente des bei festgehaltener Punktladung genommenen Gradienten von (Ht) ist
"äS — ^^-
Es ist demnach der erste Bestandteil des Gradienten gleich H. Der zweite, infolge der Yerrückung der Punktladung hinzu- tretende Bestandteil ist
Es wird demnach, gemäß (70b)
dt'
F(l,t) = ||-^{(it)-ll
dt
Mit Rücksicht auf (70c) folgt endlich als Gradient von s:
(71a) r, = ,,{l+^(i,)_»;)^'
C
96 f^rster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Was die partiellen Differentialquotienten von H nach^, x, y, z anbelangt; so gilt, da H nur von V abhängt, nach (69 d)
In entsprechender Weise gilt z. B.
^y *^y^ de ^^^dz' Daher ist die rr-Eomponente Ton curl ü
dy dz -ir^' ^>-
Entsprechende Ausdrücke gelten für die übrigen Kompo- nenten; wir fassen sie, Gleichung (70b) berücksichtigend, zu der Yektorgleichung zusammen:
(71c) * c«rlli=i[»r,]^.
Wir haben jetzt die Mittel gewonnen, um auf Grund der Formehl (28, 29):
^ ^ ® c dt
§ = curl V aus (69) das elektromagnetische Feld abzuleiten. Wir erhalten
Nach (71a) ist hier zu setzen
Femer folgt aus (71) und (70a)
mithin
Mit Bücksicht auf (71b) und (70a) wird demnach der folgende Ausdruck des elektrischen Vektors erhalten:
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlong einer bewegten Pnnktladung. 97
dabei ist, abkürzungsweise,
gesetzt worden.
Der magnetische Vektor hingegen wird, nach Regel (x) in I, S. 438
§„|cnrl{|)=^carlt.+^^[t.,P4
Hierin sind die Ausdrücke (71c) und (71a) einzutragen^
und es ist wieder, nach (70 a), s durch r und ( ^] auszudrücken. Dann folgt^ als Ausdruck des magnetischen Vektors,
(TS) 6 -4,[».J(^)'+ .-^.[».]-{l - ?•+!,<•')]&
Die Formeln (72) und (73) stellen das elektro- magnetische Feld einer beliebig bewegten Punkt- ladung dar.^) Die elektrische Feldstarke setzt sich aus zwei Vektoren zusammen. Der erste Vektor ist der Beschleunigung der Punktladung zur Zeit t* entgegei^erichtet. Der zweite Vektor ist parallel zu
(73a) « = r{r,-|}=r-lif
um diesen Vektor geometrisch zu interpretieren, gehen wir auf die Abbildung (2) des vorletzten Paragraphen zurück. Wir haben es hier allerdings nicht, wie dort, mit gleich- formiirer, sondern mit unirleichformiirer Bewe&ninir zu tun. Betrachten wir indessen, stett der wirklichen B^Tgung, eine solche, die gleichförmig mit der Geschwindigkeit H erfolgt, welche die Punktladung gerade zur Zeit t* des Entsendens
1) Ich habe diese Formeln ohne Angabe des Beweises in den Vor- lesTingen vorgetragen, die ich im Wintersemester 1901/02 an der Uni- versität Göttingen über die Theorie der elektromagnetischen Strahlung gehalten habe. Einen Beweis veröffentlichte K. Schwarzschild, Göttinger Nachrichten 1908, S. 132.
Abraham, Theorie der Elektiixität. IL 7
98 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
(im Punkte JE?') besaß ^ so wird sie während der Latenszeit —
die Strecket' JE? = H • — beschareiben. W wird dann derVektor J5P
c
der Figur 2, der von dem gleichzeitigen Orte des Elektrons nach dem Au^nnkte hin gezogen ist. Diesem Radiusvektor parallel weist der zweite Bestandteil des elektrischen Vektors. Bei einer wirklich gleichförmigen Bewegung geht er in (67 d) über.
Den magnetischen Vektor können wir in der Form schreiben:
(73b) ^ = [t, «]5
derselbe steht mithin senkrecht auf dem vom Orte des Ent* sendens E' nach dem Aufpunkte hin gezogenen Radiusvektor, und auf dem elektrischen Vektor.
Wir sind nunmehr in der Lage, den allgemeinen Aus- druck der elektromagnetischen Kraft anzugeben, welche die PunkÜadui^ e auf eine zweite, zur Zeit t den Aufpunkt P mit der Geschwindigkeit H' passierende Punktladung e' ausübt. Diese Exaft ist, der Gh*undgleichung V gemäß,
e'|f = c'{« + |[ti'#])
Durch Einführung von (73 b) erhalten wir
''S = «'{«+![»«' [t,«]])
und erkennen, daß die Kraft in der Ebene der Vektoren t^ und (S liegt. Nach Regel {S) in Bd. I, S. 437 können wir auch schreiben
(73c) ^lf = e'{«(l-'^) + ^(t.'«))-
Wir können diese Kraft mit K. Schwarzschild^) als ;;ele- mentare elektrodynamische Kraft'^ bezeichnen. Dieselbe hängt ab von Geschwindigkeit und Beschleunigung der Ladung e zur Zeit des Entsendens, und von der Geschwindigkeit der
1) K. Schwarzscliild, Gott. Nachr. 1903, S.1S2.
J
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Pnnktladung. 99
Ladung d^ auf welche die Kraft wirkt^ zur Zeit des Ein- treffens der Erregung.
In der Femwirkungstheorie der Elektrodynamik stellte man ein Elementargesetz für die Wechselwirkung zweier elek- trischer Ladungen an die Spitze und suchte auf dieses die ganze Theorie zu begründen. Wir haben, den Vorstellungen der Maxwellschen Theorie gemäß, die einfache und exakte Grund- lage der Elektrodynamik in den Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes gesehen. Als entfernte Folgerung jener Grundgleichungen hat sich nunmehr ein Elementargesetz für die Wechselwirkimg zweier Elektronen ergeben; dasselbe ist indessen weder einfach, noch in Strenge gültig. Wissen wir doch, daß das wirkende Elektron nur dann als Punkt- ladung betrachtet werden darf, wenn die Bedingungen (63 a) und (63 b) erfüllt sind. Nur in dem durch diese Bedingungen eingeschränkten Gültigkeitsbereiche wird man mit dem Ele- mentargesetze (73 c) operieren dürfen. Innerhalb dieses Be- reiches kann man, wenn die Bewegung des ersten Elektrons vorgegeben ist, aus Gleichung (70) für jeden Ort des zweiten Elektrons die zugehörige Zeit V des Entsendens, und aus (73 c) die zur Zeit i auf das zweite Elektron ausgeübte Exaft er- mitteln. Um aber die Rückwirkung auf das erste Elektron berechnen zu können, muß man die Beschleunigung kennen, welche diese Exaft dem zweiten Elektron erteilt; hierfür reichen jedoch die bisherigen Entwickelungen keineswegs aus. Viel- mehr werden wir zur Berechnung der Bewegung eines Elek- trons bei gegebener Kraft erst im nächsten Kapitel die Hilfs- mittel gewinnen. Dort werden wir auf die Grundgleichungen I bis y zurückgehen, und in einfachen Fallen näherungs weise gültige Lösungen derselben ermitteln. Solange ims die Lösung des „Einelektronproblemes^^ noch unbekannt ist, kann uns das Gesetz der elementaren elektrodynamischen Kraft nur von ge- ringem Nutzen sein. Es bestimmt zwar die Kraft, aber nicht die Bewegung, welche sich die beiden Elektronen gegenseitig mitteilen; es führt nicht einmal zur Aufstellung der Differential- gleichungen des „Zweielektronenproblemes^^
100 Erster AbBchnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Wir kehren zurück zu den Formeln für das elektro- magnetische Feld. Nach (73 b) ist
[#tl] = - [tl [tl«]] = « - tl («!«)•
Da nun, nach (72), sich ergibt
(..<»)— •^Q'+i.(i-^)('-^'+4?l(IT.
SO folgt, mit Bücksicht auf (70a):
(n«) - ,^ (1 - « Q",
und somit
(73d) « = [§,j+Sl(i_^«)(|^)*,
eine Formel, die der Formel (73b) als Gegenstück gegenübertritt. In der Wellenzone, wo die Feldstarken umgekehrt pro- portional der Entfernung r abnehmen, vereinfachen sich die Ausdrücke (72, 73) der Vektoren % §. Es wird
« F?U)+f^(">)l''-7)(ä?)-
Berücksichtigen wir, daß nach (70 a)
und daß daher ist, so erhalten wir
«-^(wr|('.-!i(»'.)-»('..'.-")'
oder, nach Regel S in Bd. I, S. 437
C^) e-;?Q'[''^-"'*]
Dabei ist (74a) t,-l>-^,
WO W den durch (73a) definierten und oben geometrisch ge- deuteten Vektor vorstellt. In der Wellenzone steht, nach
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Pnnktladting. IQl
(74), der elektrische Vektor senkrecht auf dem Radius- vektor t, der Yon dem Orte des Entsendens aus kon- struiert ist. Er liegt in der Ebene der Vektoren W und D. Die Formel (73 d) geht in der Wellenzone über in
(74b) (g = [#tj;
da anderseits allgemein (73b) gilt^ so folgt: in der Wellen- zone stellen 9, $ und t^ ein System dreier wechsel- seitig aufeinander senkrechter Richtungen dar; der elektrische Vektor ist dem Betrage nach dem magne- tischen gleich. Der Strahlvektor
(74c) ® =^[«^] = ^[« [t, «]] = t,^r
weist parallel dem von der Punktladung aus ge- zogenen Radiusvektor.
Es liegen demnach hier durchaus dieselben Verhältnisse vor, wie in der Wellenzone eines ruhenden Dipoles (vgl. § 9). Die jetzt erhaltenen Formeln müssen natürlich, wenn man zu langsamer Bewegung des Elektrons übergeht, in die damals aufgestellten Formeln (54) übergehen. Das trifiFfc in der Tat zu; denn nehmen wir |ii| klein gegen c an, und setzen dem-
gemäß "öT^l^ so ergibt (74) denselben Ausdruck von Qt,
welcher dort aus (54) und (54 a) folgte. Die nunmehr ge- wonnenen allgemeinen Formeln für die Feldstärken der ent- sandten Wellen unterliegen nicht den Einschränkungen, unter denen wir dort das Problem der Lichtstrahlung behandelten. Die hier abgeleiteten Relationen bestimmen die Wellenstrahlung, die von einem beschleunigten Elek- tron ausgesandt wird, auch dann, wenn die Ge- schwindigkeit des Elektrons von der Ordnung der Lichtgeschwindigkeit wird. Nur die Überlichtgeschwindig- keit, die unmittelbare Nachbarschaft; der Lichtgeschwindigkeit, sowie der Fall einer außerordentlich raschen, stoßartigen Ge- schwindigkeitsänderung sind durch die Bedingung (63 b), die allen unseren Entwickelui^en zugrunde liegt, ausgeschlossen. Li den beiden nächsten Paragraphen werden wir weitere Folge-
L
102 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegnng der einzelnen Elektronen.
rungen aus unseren Resultaten ableiten. Wir werden die ge- samte Energie und Bewegungsgröße bereclmen, die von einer rasch bewegten Punktladung ausgestrahlt wird; und werden alsdann die Bückwirkung der Strahlung auf die bewegte Ladung, in allgemeinerer Weise als im § 9, bestimmen.
§ 14. Theorie des bewegten leuchtenden Punktes.
Die Kenntnis der Energie und der Bewegungsgröße, die ein beliebig rasch bewegtes Elektron bei einer Geschwindigkeits- änderung ausstrahlt, ist, entsprechend der Maonigfaltigkeit der von der Elektronentheorie umfaßten Vor^uige, in mehrfacher Hinsicht von Wichtigkeit. Erstens kann man auf Ghrund dieser Kenntnis sich ein Urteil darüber bilden, inwieweit es gestattet ist, bei einer ungleichförmigen Elektronenbewegung die Energie und die Bewegungsgröße als vom bewegten Elektron mit- geführt anzusehen. Bei einer stationären geradlinigen Be- wegung ist das stets gestattet; diese stellt eine reine Konvek- tionsstrahlung dar. Die ungleichförmige Bewegung ist keine reine Konvektionsstrahlung, ein Teil der Energie und Be- wegungsgröße wird dabei in Wellenstrahlung verwandelt. Bei wenig beschleunigten „quasistationären« Bewegungen kommt jedoch die ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße gegen- über der mitgeführten kaum in Betracht, sie kann bei manchen Aufgaben, z. B. bei der Ermittelung der Beschleunigung und Ablenkung der Elektronen durch äußere Felder, ganz vernach- lässigt werden. Wann diese Vernachlässigung gestattet ist, und wann nicht, das kann man dann beurteilen, wenn man die ausgestrahlten Anteile der Energie und der Bewegungs- größe kennt.
Treffen die im Kathodenstrahle bewegten Elektronen auf die Antikathode, so werden sie vermutlich, in das Innere eindringend, von den Molekülen der wägbaren Materie wieder- holt aus ihrer Bahn abgelenkt. Hier wird die entsandte Wellenstrahlung von Bedeutung; nach der Stokes-Wiechertschen Hypothese ist sie mit der von der Antikathode ausgehenden Röntgenstrahlung identisch (vgl. § 3). Die Beziehung zur
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung. 103
Theorie der Böntgenstrahleu verleiht den Entwickelungen dieses Paragraphen ebenfalls ein gewisses Interesse.
Drittens aber ist die Kenntnis der allgemeinen Gesetze der Wellenstrahlung einer beschleunigten Punktladung für die Optik bewegter Körper von Bedeutung. Wir haben in § 9 ein elektromagnetisches Modell des ruhenden licht- entsendenden Moleküles kennen gelernt; wir nahmen an^ daß es aus einem ruhenden positiven und einem schwingenden negativen Elektron besteht^ und zeigten (§ 10)^ daß die normale Form des Zeeman- Effektes durch dieses denkbar einfachste elektromagnetische Modell erklärt wird. Hat man es nun mit einem bewegten Molekül zu tun^ so wird man in konsequenter Verfolgung jener Vorstellung ein positives und ein negatives Elektron sich denken müssen; die Bewegung des positiven ist durch die Bewegung des Moleküles bestimmt, während das negative Elektron um das bewegte positive schwingt. Ein solcher bewegter und gleichzeitig schwingender elek- trischer Dipol stellt das einfachste Modell des be- wegten leuchtenden Punktes dar. Vorzugsweise mit Bücksicht auf das Problem des bewegten leuchtenden Punktes werden wir in diesem Paragraphen unsere Ansätze verfolgen.
Bevor wir dazu übergehen; wollen wir unsere Theorie zu einigen allgemeineren Prinzipien in Beziehung setzen , die für die Optik bewegter Körper von fundamentaler Wichtigkeit sind. Wir denken uns wieder den ruhenden Aufpunkt P und den bewegten Dipol, der jetzt mit dem bewegten leuchtenden Punkte identifiziert wird; wir verstehen unter t^ die Zeit, zu der das Licht von dem bewegten Punkte ausgesandt wird, unter t die Zeit, zu der es den ruhenden Punkt P erreicht. Diese beiden Zeitpunkte sind durch die Belation (64 a) ver- knüpft; aus ihr leiteten wir die Beziehung (64c) ab; wir wollen dieselbe schreiben
indem wir mit ß das Verhältnis der Oeschwindigkeit |ti{ des leuchtenden Punktes zur Lichtgeschwindigkeit bezeichnen, und
104 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
mit (p den Winkel, den zur Zeit (f) des Entsendens der Ge- schwindigkeitsyektor H mit dem nach dem Aufpnnkte hin gezogenen Badiusvektor t einschloß. Das in dem Zeit- elemente df von dem bewegten leuchtenden Punkte entsandte Licht passiert den ruhenden Punkt P in dem durch (75) bestimmten Zeitelement dt.
Die Gleichung (75) stellt die allgemeine Fassung des so- genannten „Dopplerschen Prinzipes" für eine bewegte Lichtquelle dar. Wir gelangen zu der gewöhnlichen Fassung dieses Prinzipes, indem wir die Gleichung auf den Fall perio- discher Schwingungen des lichtentsendenden Dipols anwenden; wir bezeichnen mit r\ v' Schwingungsdauer und Frequenz der Schwingungen des Dipols; mit r, v hingegen diejenige Schwin- gungsdauer und Frequenz, welche der ruhende Beobachter in P wahrnimmt. Erfolgt die translatorische Bewegung des leuchtenden Punktes während einer Schwingung merklich gleichförmig und geradlinig, so gilt die Beziehung (75), welche die Zeitelemente des Entsendens mit denen des Auffangens verknüpft, auch für die gesamte Dauer der in der Lichtquelle bzw. in dem ruhenden Aufpunkte P stattfindenden Schwin- gangen; es wird
(75a)
t' V
v' 1 — /? cos 9
und das ist eben die gewöhnliche Fassung des Dopplerschen Prinzipes: Die Schwingungsdauer t der wahrgenom- menen Schwingungen wird verkleinert, wenn der leuchtende Punkt dem Beobachter sich nähert (9 ein spitzer Winkel), sie wird vergrößert, wenn der leuch- tende Punkt sich vom Beobachter entfernt (g> ein stumpfer Winkel). Bei Annäherung der bewegten Lichtquelle werden demnach alle Spektrallinien nach der violetten, bei Entfemiing nach der roten Seite des Spektrums verschoben. Das gilt, wenn der Beobachter ruht. Bewegt er sich dagegen mit der Geschwindigkeit H^, so braucht die Welle, die in der Zeit dt den ruhenden Punkt P passiert, die Zeit
J
0
Zweites Kapitel. Die Welleiustraliliing einer bewegten Punktladong. 105
(75b) d,* = _1^ = __|L_,
j^*=m, y*=,^,,tt*j
am über den bewegten Punkt hinwegzastreichen. Es gilt
folglicli
x„f^ X dt* 1 — |?cos9
^^^^ W 1-^*0089*'
Dieses ist die allgemeinste Fassung. des Doppler- schen Prinzipes. Sie fußt im Grunde nur auf der Rela- tion (64a); diese aber sagt nichts anderes aus, als daß die Lichtfortpflanznng im Räume nach aUen Seiten hin mit der gleichen Geschwindigkeit (c) erfolgt und daß das Licht seine Geschwindigkeit weder infolge der Bewegung der Lichtquelle, noch infolge der Bewegung des Beobachters ändert. Nur diese Grundvoraussetzung der elektromagnetischen Lichttheorie kommt bei der Ableitung des Dopplerschen Prinzipes ins Spiel. Es sind demnach nur die Feldgleichungen f&r den Äther, nicht die sonstigen Voraussetzungen der Elektronentheorie, die dem Dopplerschen Prinzipe zugrunde liegen.
Für periodische Lichtschwingungen bestimmen sich die Schwingungsdauer r* und die Frequenz v*, welche der be- wegte Beobachter wahrnimmt, folgendermaßen:
(75d) -, = -* = ^P^-
Bewegen sich Lichtquelle und Beobachter einander parallel mit einer nach Richtung und Betrag konstanten Geschwin- digkeit, so ist
/?*==/?, 9* = 9;
es folgt demnach aus (75 c, d)
(75e) 1^ = 1, r* = t', v* = v'.
Bei gemeinsamer Translationsbewegung der Licht- quelle und des Beobachters fällt die Dopplersche Korrektion fort. Der bewegte Punkt P wird in der gleichen
106 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Zeit dt^ Ton der Welle überstriclien; in der die Welle von der bewegten Lichtquelle entsandt wurde; eine Farbenänderung infolge der Bewegung findet nicht statt. Wie wir wissen (I, S. 433), befindet sich die Erde in einer „absoluten" Be- wegung; irdische Lichtquellen und irdische Beobachter führen im Baume eine gemeinsame Translationsbewegung aus. Der obige Satz lehrt nun, daß die Periode des wahrgenommenen Lichtes mit der Periode der in der irdischen Lichtquelle statt- findenden Schwingungen identisch ist.
Die zur Zeit t' vom leuchtenden Punkte ausgehende Störung wird, zur Zeit t, eine Eugelfläche Tom Badius r ^ c^t — f) einnehmen. Wir wählen die Zeit t so groß, daß die Eugel sich bereits bis zur WeUenzone ausgedehnt hat. Hier sind die Feldstarken diejenigen, die wir am Schlüsse des Torigen Paragraphen kennen lernten. Da die Beträge der Feldstärken einander gleich sind, so ist die elektrische Energie- dichte der magnetischen gleich; die gesamte Energiedichte ist
l{^'+^'\-h^''
Wir bezeichnen mit d(o den körperlichen Winkel, unter dem ein Flächenelement der Kugel Tom Mittelpunkte aus ge- sehen wird. Die Breite der in der Zeit df entsandten Welle beträgt cdt, da die mit Lichtgeschwindigkeit forteilende WeUe in der Zeit dt über den ruhenden Aufpunkt forteilt; dabei ist dt durch dt' gemäß dem Dopplerschen Prinzip zu be- stimmen (Gleichung 75). Die Energie der im Zeitelemente dt' entsandten WeUe beträgt demnach
l^fd(o &dt= dt' jlJd(o %
g dt dt'
Dieselbe ist zwischen zwei exzentrischen Eugelflächen ent- halten; die Kugelflächen expandieren sich mit Lichtgeschwin- digkeit; dabei nimmt & umgekehrt proportional zu r^ ab, so daß die gesamte Energie des Wellenimpulses bei der Aus- breitung im Baume sich nicht ändert. Diese Energie ist in der Zeit dt' von der bewegten Lichtquelle in den Baum ent-
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Ponktladung. 107
sandt worden. Die pro Zeiteinheit ausgestrahlte Energie beträgt
Wir können die Strahlung djes leuchtenden Punktes auch auf einem anderen Wege berechnen^ nämlich auf Grund des Poyntingschen Satzes. Der Poyntingsche Vektor weist, nach Gleichung (74c), parallel dem Kugelradius, es wird mithin seine in Richtung des Radius genommene Komponente mit seinem Betrage identisch:
C76a) ®, = S = j^«».
Der Poyntingsche Satz bestimmt nun (vgl. § 4) den Energie- strom, der in der Zeiteinheit durch die Flächeneinheit einer ruhenden Fläche hindurchtritt. Dieser „absolute Enel-gie- strom" ist gleich der Normalkomponente des Vektors S. Um mit Hilfe des Poyntingschen Satzes die ausgestrahlte Energie zu bestimmen, müssen wir den leuchtenden Punkt durch eine ruhende Fläche einschließen; wir wählen zweck- mäßigerweise eine Kugel, welche zur Zeit i gerade mit der zur Zeit i^ entsandten Kugel koinzidiert. Dabei dürfen wir aber nicht übersehen, daß die Zeit, während deren die in der Zeit dt^ Yon dem bewegten leuchtenden Punkte entsandte Welle durch die Kugel tritt, nicht an allen Punkten der Kugel die gleiche ist. Sie bestimmt sich, gemäß dem Dopplerschen Prinzip, für die verschiedenen Punkte der Kugel in verschie- dener Weise; es ist eben die Zeit, die wir oben (in Glei- chung 75) mit di bezeichneten. Will man mit Hilfe des Poyntingschen Satzes die Energie bestimmen, die von einem bewegten leuchten^den Punkte entsandt wird, so hat man die Zeit, während deren die Welle durch die Elemente der ruhenden Fläche tritt, dem Dopplerschen Prinzipe gemäß zu berechnen. Die in der Zeit di^ entsandte Strahlung wird dann, nach (76a),
dt
^fd(oSdt=-dt^''^~fd(o(&'
r^ . V.W — . -... . , w«,^ ^^,
108 Srster Abflclinitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Man sieht sofort^ daß für die seknndliclie Strahlung der bewegten Lichtquelle ein Ausdruck folgt, der mit (76) genau übereinstimmt.
Man kann nun aber auch statt der ruhenden Fläche eine dem leuchtenden Punkte parallel mitbewegte Flache zugrunde legen. Für eine solche fallt; wie wir oben zeigten, die Dopplersche Korrektion fort. Die in der Zeit df entsandte WeUe tritt in dem gleichen ZeitintervaU df durch die gleich- formig mitbewegte Fläche. Auf eine bewegte Fläche ist aber der Poyntingsche Satz nicht ohne weiteres an- zuwenden. Es ist vielmehr zu berücksichtigen, daß zu dem absoluten elektromagnetischen Energiestrom, der nach der Poyntingschen Theorie im Baume stattfindet, derjenige Energie- strom tritt, der allein eine Folge der Bewegung der Fläche ist. Der letztere beträgt pro Flächeneinheit
"'Al^^+^'l
wenn üy die parallel der äußeren Normalen genommene Kom- ponente der Geschwindigkeit der bewegten Fläche ist; denn die Energie, die infolge der Bewegung der Fläche in der Zeit- einheit durch die Flächeneinheit tritt, ist gleich H^, multi- pliziert mit der Energiedichte; sie tritt bei der Bewegung Ton außen nach innen; @y, die Normalkomponente des Poynting- schen Vektors, gibt dagegen den durch die Veranderung des Feldes allein bedingten, von innen nach außen tretenden Energiestrom an. Die Differenz
(76b) @,_^j««+§2J
stellt den Energiestrom durch die bewegte Fläche, oder, wie wir sagen woUen, den „relatiyen Energiestrom" dar.
Die Anwendung auf unsere, den gleichförmig bewegten leuchtenden Punkt einschließende mitbewegte Kugel ergibt, da die Geschwindigkeit der Kugel mit ihrer Normalen den Winkel y einschließt, und da in der WeUenzone 6^ = §* ist, gemäß (76 a)
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlting einer bewegten Fanktladnng. 109 -ji- e» (c - 1 ö I cos 9) = j^ «« (1 - /J cos 9).
4« ^ ' ' ^^ 4«
als Wert des relatiyen Euergiestromes. Die in der Zeit- einheit durch die ganze Eugel hindurchtretende Energie wird demnach
d(o(i^(l —/Scosy);
dieser Ausdruck stimmt, nach (75), wiederum genau mit dem in (76) erhaltenen Werte für die in der Sekunde ausgestrahlte Energie überein.
Die sinngemäße Anwendung des Poyntingschen Satzes ergibt demnach in jedem Falle den richtigen Wert für die Strahlung, die Ton der bewegten Lichtquelle entsandt wird. Dabei kann man eine ruhende oder eine mitbewegte Fläche der Anwendung des Poyntingschen Satzes zugrunde legen. Im ersteren Falle ist die Dopplersche Korrektion zu berück- sichtigen; im letzteren Falle tSüt zwar die Dopplersche Korrektion fort, es ist jedoch der Poyntingsche Satz mit Bücksicht auf die Bewegung der Fläche zu korrigieren.
Das Dopplersche Prinzip und der Poyntingsche Satz sind die Grundpfeiler der Strahlungstheorie. Derjenige, der sich mit ihnen nicht gründlich yertraut gemacht hat, ist den Pro- blemen der Optik bewegter Körper nicht gewachsen. Denn es wird ihm nicht gelingen, zwischen der Skylla des Doppler- schen Prinzipes und der Gharybdis des Poyntingschen Satzes unversehrt hindurchzusteuem.
Neben der ausgesandten Energie ist für die Mechanik des bewegten leuchtenden Punktes die ausgesandte Bewegungs- größe von Wichtigkeit. Wie wir in § 5 allgemein gezeigt haben, ist die Dichte der elektromagnetischen Bewegungsgröße dem durch c^ dividierten Strahlvektor gleich. In der Wellen- zone des leuchtenden Punktes ist mithin, nach (74c), die Dichte der Bewegungsgröße
1 10 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Dieser Vektor ist an Stelle der Energiedichte —6* in
die Formel (76) einzusetzen^ um die in der Zeiteinheit von dem bewegten leuchtenden Punkte entsandte Bewegungsgröße zu erhalten:
In (76) und (77) ist unter ü die Feldstärke der Tom bewegten leuchtenden Punkte entsandten Wellen zu verstehen. Handelt es sich um eine gleichförmige geradlinige Bewegung des leuchtenden Punktes, so ist nach' der Vorstellung, die wir uns Yon dem Vorgange in der Lichtquelle machten, das posi- tive Elektron in gleichförmiger, geradliniger Bewegung be- griffen, während das negative Elektron kleine Schwingungen um das positive ausführt. Wir wollen voraussetzen, daß die Geschwindigkeit der Schwii^ungsbewegung klein ist gegen diejenige der gemeinsamen Translation. Alsdami ist nnter t. in (74) der konstante Geschwindigkeitsvektor der bewegten Licht- quelle zu verstehen. Der daselbst auftretende Vektor (vgl. 73 a)
(77a) « = r(rj-|-)=r-lij
gewinnt in diesem Falle eine vereinfachte Bedeutung. Es ist (vgl. Abb. 2 in § 12) der Badiusvektor, der nach dem Auf- punkte von dem gleichzeitigen Orte des Elektrons aus ge- zogen ist.
Das gleichförmig bewegte positive Elektron tragt nichts zur Strahlung bei; denn die Feldstärken des von ihm erregten Feldes nehmen mit dem Quadrate des Abstandes ab und ver- schwinden in der Wellenzone gegen diejenigen des schwin- genden negativen Elektrons. Wir können mithin für d den
Ausdruck (74) einführen. Dabei ist -^ dasselbe (vgl 70a),
was wir jetzt als Dopplersche Korrektion bezeichnet und, auf
haben. Nach (75) wird daher
("^) «°.o'(i-;cos,)»['i^-r»]]-
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Punktladung, m
Unter H ist dabei die konstante Geschwindigkeit des leuchtenden Punktes zu verstehen, unter i die Beschleunigung des schwingenden negativen* Elektrons. Es ist zu betonen^ daß die obigen Einschränkungen sich nur auf die Anwendung beziehen, die wir von unseren Formeln machen. Handelt es sich um die Energie und Bewegungsgröße; die von einem einzelnen beschleunigten Elektron ausgesandt werden, so sind unsere Formeln in dem Bereiche gültig, den wir bereits in § 11 umgrenzten; ü und li steUen dann die Geschwindigkeit und die Beschleunigung dar, welche dem Elektron zur Zeit t' des Entsendens erteilt wurden. Nur die Anwendung auf die Theorie des bewegten schwingenden Dipols gründet sich auf die erwähnte vereinfachende Annahme, daß der periodische Teil von ü klein ist gegen den konstanten, die Translations- geschwindigkeit des Dipols darstellenden Teil.
Nach Regel d in Bd. I, S. 437 ist
Berücksichtigt man nun, daß
(77c) (t,-'^y=^=l + ß'-2ßcos,p,
SO erhält man
+ J(<«»)(«'ri)(l-^cos9))),
wobei übrigens, nach (74c); dnrch (&* zugleich der Strahl- rektor bestimmt ist:
(77e) « = 'iii«*-
Wir ziehen zunächst zwei spezielle Fälle in Betracht, nämlich erstens den Fall, daß die Schwingungen des negativen Elektrons parallel, und zweitens den, daß sie senkrecht zur Bewegungsrichtung der Lichtquelle erfolgen.
112 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
I. Longitudinal schwingender Dipol. Hier gilt
(ö x^y = ä! cos* 9,
-(öli)(6ti) = 6*/Scos9).
Es wird daher aus (77d) nach einigen Umformungen
£ il sm OD C'^^) * ""r*c* (1-/5 cos 9)«'
Die Einfahrung in (76) und (77) ergibt, bei Berück- sichtigung von (75),
^ '^^^ "" "S?" ~ i^cV (1-1? cos 9)^
für die ausgestrahlte Energie, und
/-r^iv d9i e*i* I dötisin'qp
^'^">' "" "5?"""4«cV (l-|?cos9)*
für die ausgestrahlte Bewegungsgröße.
n. Transversal schwingender Dipol.
Hier gilt
(llii) = 0 und (6 ti)* = 6« sin« 9 cos« g,
wenn g den Winkel der Ebenen der Vektoren (H, 6) und (H, tj) anzeigt, 9, g demnach Polarkoordinaten der Einheitskugel sind. Es wird
Die EinfQhnmg in (76) tmd (77) ei^bt
für die bei transversalen Schwingungen stattfindende Strahlung von Energie und von Bewegungsgröße.
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahltmg einer bewegten Punktladung. 113
Was die ausgestrahlte Bewegongsgröße anbelieaigt, «o er- kennt man ohne weiteres, daß nui: die der Bewegnngsrichtnng parallele Komponente von Null verschieden sein kann. In der Tat, betrachten wir zwei Punkte der Einheitskugel, die sich in bezug auf die Bewegungsrichtung spiegelbildlich entsprechen, d. h. dasselbe q> und ein um ISO® verschiedenes ^ besitzen, so sind die den beiden Punkten zugehörigen Uinheitsvektoren t^ in (78b) mit demselben Ausdruck multipliziert, . und ebenso in (79b). Es zerstören sich abo die Beiträge der betreffenden Elemente der Einheitskugel hinsichtlich der zu ü senkrechten Komponenten, und es bleibt nur die zu ü parallele Komponente übrig. Führen wir die neue Integrationsvariable
M = — cos (p '
ein, wodurch
da> == du di
wird, so ergibt die Integration nach g:
(1 + Pm)»'
("c) -^-^ß
— 1
+ 1
\^^^^ dt' ^c'pj o-+ßuy
— 1
/TQpN _dW,_e^\ r du i-p» f^c
^^^^^ dt' "" 2cM ^ (1 + /S«*)' 2 J '
+ 1 +1
(l + ßu) — 1 —1
r\y
v'^^>' dt' ""^2c^/s J {1+ßuy 2 J ■
+ 1 +1
du{-u) {i-u^
(1 + ßuy
— 1 -rl
Zur Auswertung der Integrale schreitend, setzen wir ab- kürzungsweise
(80) 7c'=^l^ß\
Abrfthftm, Theorie der Elektrizität. IL g
1 14 Erster Abschnitt Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Es gilt
+ 1
/du 2^
daher
rf^aa\ rdu(r-u) J.^ r du 2£
(ÖVA) J (1 + ^^).== 2 dßj (1 + /JW)« X*
— 1 —i
Femer findet man leicht
4-1
— 1 und folglich
-f 1 +1
/' duu^ 1_ d^ r du ^ 2(1+5/?»)
— 1 —1
da außerdem
du 2(l+/J»)
— 1
ist^ so wird schließlich
-f 1
— 1 Anderseits ergibt sich aus (80 a):
/* duu^ ^^ d fdu(-u) 2(1+3/?«) (l+/Ji*)*-~ 3 dßj (1 + ^1*)«"" 3x« ' — 1 —1
und mit Bücksicht auf die leicht abzuleitende Beziehung:
-fi
/du ^2(3 + |g«) {i+ßuy^ 3x« '
— 1
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten PanJctladong. 115
/
+ 1 dw(l-u*)
(1 + ßuy 8 X* ' — 1
woraus endlicli folgt:
^ ^ J {1 + ß^r " 4.dßJ (l+ßuy ^Sn^'
— 1 —1
Nach (79C; d) und (80 c, d) wird die Ton longitudi- ualen Schwingungen des Dipoles ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße:
r«n dW^_2e*i*
(81a) -w-=^c»».
Aus (79 e, f) hingegen, in Verbindung mit (80a bis d), folgt die Yon transversalen Schwingungen des Dipoles ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße:
Es ergibt sich also, bemerkenswerterweise, die Strahlung bei transversalen Schwingungen im Ver- hältnis x' = 1 — /S' kleiner, als bei longitudinalen Schwingungen. Bei langsamer Bewegung, wenn ß* gegen 1 zu vernachlässigen ist, kommt natürlich dieser Unterschied nicht in Betracht. Alsdann gehen die Formehi (81) imd (81b) in die Hertzsche Formel (55) für die Strahlung eines ruhenden Dipoles über.
Die Formebi (81a, c) zeigen an, daß der bewegte leuchtende Punkt fortgesetzt elektromagnetische Bewegungsgröße in den Baum hinaussendet, und zwar überwiegt die der Bewegungs- richtnng parallele Komponente. Da nun die Summe der im ganzen Räume enthaltenen Bewegnngsgröße, elektromagnetische
8*
116 Erster Absclinitt. Das Feld xi. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
und mecIiaiLische zusammen^ den Ergebnissen des § 5 zufolge konstant sein muß, falls eine äußere Kraft an der Lichtquelle nicht angreift, so nimmt die Bewegungsgröße der LichtqueUe selbst pro Sekunde um den entsprechenden Betrag ab; d. h, es übt die ausgesandte Strahlung eine Beaktionskraft auf den leuchtenden Punkt aus, welche der Bewegung entgegenwirkt. Dieselbe betragt:
(81d) Ä! = -- IJ «^-g-e ^r longitudinale Schwingungen,
O C7 X
(81e) 1*8 = — l>T"r~4 ^ transTersale Schwingungen.
Dabei sind natürlich Mittelwerte über eine Schwingung zu nehmen. Um die Geschwindigkeit konstant zu halten, muß jene Exaft durch eine andere, äußere Kraft äquilibriert werden.
Wir gehen jetzt zu dem allgemeinen Falle über, wo das negative Elektron in der LichtqueUe ganz beUebige Schwin- gungen aufführt, so daß b mit ü einen ganz beUebigen, und auch im Verlaufe der Schwingungen periodisch wechselnden Winkel einschließt. Wir können dann setzen
wo Ol zu ü parallel, b^ zu H senkrecht ist. Führt man dieses in (77d) ein, so treten erstens Glieder auf, die zu ij' bzw. zu O2' proportional sind; diese führen zu den soeben berechneten Werten der von der longitudinalen Komponente bzw. von der transversalen Komponente ausgesandten Strahlung. Zweitens aber treten noch Glieder auf, die dem Produkte | Äi | • ] lüg | Pro- portional sind, nämlich
-2 (i^ti) (ijti) (1 -/J*) 2 cos 9 sin q> cosg |lii|.|6j| (1~A
und
-(iiü) (62 ti) (1--/J cos 9) = 2/Jsiny cos g(l — /Jcos q>) \ii\'\i^\
{ g ist der Winkel, den die Ebenen der Vektoren (b^ H) und (r, H) einschließen^ so daß % t Polarkoordinaten der Einheits- kugel sind}.
Zweites EapiteL Die Wellenstrahlxing einer bewegten Ponktladung. 117
Diese beiden Glieder ergeben zn & den Beitrag |t;,|.|t;,|.e'sinycosg. _ ,
Die entsprechenden Anteile der Ausdrücke (76) und (77), d. h. der Strahlung Ton Energie und Bewegungsgröße, sind
2c und
26
^tJHJd P"»^. 7 "^ ''°;^ (^ - cos y). 4äc* ^ (1 — /3 cos qp)*^ ^'^ ^^
Setzt man hier wieder w «= — cos g>^d(D =^ dudi, so yer- schwindet der erste Ausdruck ohne weiteres bei der Integration nach g.
Die Komponenten des im zweiten Gliede angegebenen Vektors sind gesondert zu behandeln. Es sind die Kompo- nenten von Xii
parallel zu ü gleich cos q>, parallel zu b^ gleich sin (p cos i, senkrecht zu H und b^ gleich sin (p - sin S. Die erste und dritte Komponente der ausgestrahlten Be- wegungsgröße verschwindet ohne weiteres, wie die Integration nach ^ ergibt. Die zweite Komponente wird nach Ausführung dieser Integration zmmcbst:
+1
2c* J
— 1
Gemäß (80c, d) hat auch dieses Integral den Wert Null. Wir haben also bewiesen: Es superponieren sich die Energie- und Impulsstrahlungen der longitudinalen und der transversalen Schwingungskomponenten des bewegten Dipoles, was die Gesamtstrahlung an- belangt. Ist 71 der Winkel der Vektoren ü und b, so wird, nach (81) und (81b), die pro Sekunde ausgestrahlte Energie:
118 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
(82)
dTT __ 2 c* . 2 1 cos* ri sin* ij 1
wofür man, mit Rücksicht auf die Bedeutung (80) von x% auch schreiben kann:
(82a) ^_«^_._jl-./J«sm^j=3^-^e(»^--^.["?|'
oder auch
r89M ^^_2e«>,|l p'cos^l 2eMti« (lii)«l
Ebenso kann nach (81a, c) für die ausgestrahlte Be- wegungsgröße geschrieben werden:
_d9 2^
dt' "^ 3
(83)
Bezüglich ihrer mechanischen Rückwirkung auf die be- wegte Lichtquelle kann die Strahlung durch die Kraft ersetzt werden
(83 a)
Ä« 2 c* f i*
+
c*x«
;
welche im Mittel dieselbe Abnahme der Bewegungsgröße der Lichtquelle bedingt. Dieser Kraft muß durch eine in die Be- wegungsrichtung der Lichtquelle fallende äußere Kraft — H* das Gleichgewicht gehalten werden, wenn anders die Ge- schwindigkeit konstant bleiben soll. Die Arbeit der äußeren Kraft wird in elektromagnetische Energie der entsandten Wellenstrahlung yerwandelt; sie betragt pro Sekunde
(83b)
^(p^'^^ + l^^^ß^
H» (HH)*
c*x«
Dieser Anteil der ausgestrahlten Energie ent- stammt also nicht der thermischen und chemischen Energie der Lichtquelle, sondern eben der mecha- nischen Arbeit der Kraft — Ä*, welche der Rück- wirkung der Strahlung das Gleichgewicht hält. Der Rest der pro Sekunde in Wellenstrahlung ver- wandelten Energie:
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlxing einer bewegten Punktladnng. HQ
(83c) -.^+(,,r) = |J-:
0« ■ (tin)«
mnS durch den Wärmeinhalt oder die chemische Energie der Lichtquelle gedeckt werden.
Die Formel (82) bestimmt die Energie der von einem be- schleunigten Elektron ausgesandten Wellenstrahlung in allen den Fällen^ in welchen dasselbe als Punktladung betrachtet werden darf. Ich habe dieselbe zuerst in einer Vorlesung im Winter- semester 1901/02 vorgetragen. Im Druck veröflFentlicht wurde sie, und ebenso die Formel (83), in meiner Arbeit über die Prinzipien der Dynamik des Elektrons^), und unabhängig davon, von 0. Heaviside, in der Nature.') Später habe ich die Bedeutung dieser Entwickelungen für die Theorie des leuchtenden Punktes erörtert, und den Beweis der Formeln, im wesentlichen in der hier wiedergegebenen Fassung, geführt.*) An dem letztgenannten Orte habe ich auch den allgemeinen Ausdruck fQr die Bückwirkung der Strahlung auf den be- wegten schwingenden Dipol abgeleitet. Setzt man die Gesamt- strahlung der Lichtquelle gleich E, so folgt aus (82 b) und (83 a)
(83d) St'^--,'E.
c
Dieser Ausdruck für die Beaktionskraft wurde unabhängig von H. A. Lorentz*) angegeben; es bezieht sich die Lorentzsche Ableitung auf einen allgemeineren Fall, insofern als über die Vorgänge in der Lichtquelle keine besondere Annahme gemacht wird, und doch wieder auf einen spezielleren Fall, da die Ge- schwindigkeit der Lichtquelle als klein gegen die Licht- geschwindigkeit betrachtet wird. Wenngleich die Reaktions- kraft der Strahlung meist außerordentlich gering ist, so ist
1) M. Abraham. Ann. d. Phjs. 10 S. 105, 1908. (Eingesandt am 28. Oktober 1902.)
2) 0. Heaviside. Natura 67, p. 6. Vom 6. November 1902. 8) M. Abraham. Ann. d. Phys. 14, S. 278—287, 1904.
4) H. A. Lorentz. Enzykl. der mathem. Wissensch. Bd.Y, Art. 14 S. 270.
120 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
ihre Existenz doch von prinzipieller Bedeutung. Diese Eraft^ welche der schwingende Dipol auf sich selbst ausübt^ ist ein typisches Beispiel fdr den Gegensatz zum dritten Axiome der Newtonschen Mechanik^ auf den wir in § 5 hinwiesen, und der so eng mit den Grundannahmen der Elektronentheorie verknüpft ist.
Nach der in § 3 erwähnten Hypothese sind die Röntgen- strahlen nichts anderes, als die Wellenstrahlung, welche beim Auftreffen der KaÜhodenstrahlen auf die Antikathode entsteht. Ist das Elektron bei seiner Hemmung oder Reflexion an der Antikathode immerhin so wenig beschleunigt, daß die Be- dingung (63 b) erfüllt ist, so kann die Energie der entsandten Röntgenstrahlen aus unserer Formel (82) berechnet werden. tn>er den Betrag der Bescmennigung geben die in § 3 er- wähnten Beugungsversuche von Hiäga und .Wind Auskunft, welche eine Breite des Wellenimpulses von 10""® cm ergeben haben.^) Hiemäch würde der Bereich, in welchem das Elektron eine Geschwindigkeitsanderang erTahrt, von der Größenordnung des Radius . der molekularen Wirkungssphäre sein. Nehmen
wir nun an, das Elektron habe die Geschwindigkeit |li
und es werde auf einem Wege von 10~* cm, d. h. in der Zeit
- . 10-« Sekunde, seine Bewegungsrichtung umgekehrt, so ist
■c 2
die mittlere Beschleunigung gleich -^c*-10«. Der Nenner
in (63b) ist c (c — | ti |) =» -g c*, und a, der Radius des Elektrons,
wird sich unten von der Größenordnung 10""^* ergeben. Der Bruch, der klein gegen 1 sein soll, ist hiemach auf 2 »lO— ^ zu schätzen. Hieraus folgt, daß bei der Emission von Röntgen- strahlen der Impulsbreite 10 ~~« cm das Elektron noch als Punktladung betrachtet werden darf, und daß (82) die Ene^e
1
1) H. Haga u. C. H. Wind. Akad. v. Wetenschapen te Amsterdam 7, 1899, S. 887 u. 600 u. 11, 1902, S. 860. Ami. d. Phys. 68, S. 884, 1899. — Vergleiche aucli die von A. Sommerfeld auf Ghnmd einer strengeren Theorie der Beugung von Wellenimpulsen gegebene Bestimmung der Impulsbreite. Phys. Zeitschr. 1, S. 106; 2, S. 66, 1900. Zeitschr. f. Mathem. u. Phys. 46, S. 11, 1901.
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Ponktladnng. 121
der Tom einzelnen Elektron entsandten BöntgenstraMung be- stimmt^ wofern die Röntgenstrahlen wirklich nichts anderes sind^ als elektromagnetische Wellen.
Leider läßt die allzu geringe Kenntnis der Röntgenstrahlen eine weitere Verfolgung unserer Ansätze nicht zu. Würden uns experimentelle Bestimmungen der Energie der Röntgen- strahlen zur Verfügung stehen^ die von Kaihodenstrahlen be- kannter Geschwindigkeit und Energie erzeugt werden^ so könnten wir daran denken^ die Zahl der Zusammenstöße der Elektronen mit den Molektflen der Antikathode auf Grund der obigen Formeln abzuschätzen^ und unsere Vorstellungen über die Kräfte^ welche von der wägbaren Materie auf die Elektronen ausgeübt werden^ an der Hand derartiger Abschätzungen zu prüfen. Bei dem gegenwärtigen Stande der Forschung indessen müssen wir uns mit den obigen Andeutungen begnügen.
Es ist auch nicht ausgeschlossen, daß Fälle Yorkommen, wo das Elektron, entsprechend einer Annahme von J. J. Thomson^), plötzlich gehemmt wird. Alsdann ist die Impulsbreite von der Ordnung des Elektronendurchmessers, also kleiner als 10 ~" ^^ cm. Die dabei entsandte Wellenstrahlung ist natürlich einer Beugung nicht fähig. Wir kommen auf die Theorie dieses Falles,, die aus dem Rahmen der auf der Annahme einer Punktladung beruhenden Entwickelungen dieses Kapitels hcfrausfällt, weiter unten zurück (vgl. § 25).
Bei den 7/ -Strahlen des Radiums, deren Eigenschaften diejenigen besonders stark durchdringender Röntgenstrahlen sind, ist die Impulsbreite wohl geringer als 10 "~® cm; die Ge- schwindigkeitsänderungen der Elektronen, denen die 7/ -Strahlen ihren Ursprung verdanken, erfolgen dann noch plötzlicher, als diejenigen, die bei der Emission der Röntgenstrahlen stattfinden.
§ 15. Die Rückwirkung der Strahlung auf ein bewegtes
Elektron. Wir stellen uns in diesem Paragraphen die Aufgabe, die Rückwirkung, welche die entsandte Wellenstrahlung auf das
1) J. J. Thomson. Phil. Mag. 45, S. 172, 1898,
122 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
entsendende Elektron ausübt; in allgemeiner Weise zu er- mitteln. Wir betrachten dabei eine Bewegung des Elektrons^ deren Geschwindigkeit bis zur Zeit ^' gleichförmig und gerad- linig war; sodann im Zeitintervalle von t^ bis ^' nach Betrag und Richtung in beliebiger ^ aber stets in den Gültigkeits- bereich der Bedingung (63b) fallender Weise abgeändert wurdC; und sodann, von ^' an, wieder gleichförmig und gerad- linig ist. In dem Zeitintervalle t^ <V < t^ wird das Elektron eine gewisse Energie und Bewegungsgröße in den Baum hinausgesandt haben. Die entsandte Energie ist, nach (82b)
1 1
in die entsandte Bewegungsgroße nach (83)
1 1
Dies ist die zeitliche Abnahme der Energie und Be- wegungsgrößc; welche das Elektron selbst, bzw. das von ihm mitgeführte elektromagnetische Feld, infolge der Strahlung, erfahren hat; die yerlorene Energie und Bewegungsgroße findet sich in den entsandten Wellen wieder.
Will man nun die Bückwirkung der Strahlung auf das Elektron durch eine Ejraft St' zum Ausdruck bringen, so muß man diese Kraft so bestimmen, daß
a
St'dt'=-eti und a
(84)
a
ß
1
(ti«*)dr = ^TFi
ist, d. h. daß ihr Zeitintegral der ausgestrahlten Bewegungs- größe, ihr Wegintegral der ausgestrahlten Energie entgegen- gesetzt gleich ist. Die Beaktionskraft der Strahlung hat demnach die Gleichungen zu erfüllen
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Punktladung. 123
(84a) ■ /,M<'— |g^.{i:+a^),
1
8
(84b) /(»«•) dt'^ -Viß*' {t-; + ?^' •
1 1
Das mnß selbstverstandlicli auch dann gelten^ wenn irgend- welche änßeren Kräfte die Bewegang des Elektrons beeinflussen; auch dann muß der Impuls der Kraft 9t* der gesamten Be- wegungsgröße ^ die Arbeit dieser Kraft der gesamten Energie der entsandten Wellen entgegengesetzt gleich sein. Es wird dann die Änderung der Bewegungsgroße und Enei^e des Elektrons durch die Reaktionskraft der Strahlung, im Verein mit den sonst noch voihandenen Kräften^ bestimmt. In welcher Weise; das wird das nächste Kiapitel lehren (ygl. § 23).
Es kann auf den ersten Blick zweifelhaft erscheinen , ob es überhaupt möglich ist, beiden Gleichungen (84a; b) durch einen und denselben Ausdruck der Beaktionskraft ft' zu ge- nügen. Um diesen Zweifel zu beseitigen^ geben wir sofort einen Ausdruck an, von dem wir zeigen, daß er, unter den zugrunde gelegten Annahmen, den Gleichungen (84a, b) Genüge leistet Wir setzen
Berücksichtigen wir, daß, nach (80), gilt
(86.) ^_l(i=S_ _•(..),
SO ergibt die partielle Integration der beiden ersten Glieder: 8 a
/'"'f-(f);->4?^'
1
8
J c«x* *" 1 c«x* Ji J ^^ \c»x*"^ c«x* "^ c*x« J
124 I^nter Absclinitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elekiaronen.
Berücksichtigen wir, daß^ bis zur Zeit t^, und- von der Zeit t^ an, der Beschleunigungsvektor ft gleich Null sein soll, so erhalten wir
1 1
Integriert man nun den Ausdruck (85) von 9t* nach der Zeit, wie es (84 a) verlangt, und formt die ersten beiden Glieder in dieser Weise um, so ergibt die Vereinigung mit den letzten beiden Gliedern nichts anderes, als die rechte Seite Yon (84a). Es ist also diese Gleichung in der Tat erfüllt.
Für die sekundliche Arbeit der Kraft 9t' folgt aus (85)
(860) („O.iJj-yl+lM!).
Da nun die partielle Integration liefert
1 1
und da II an den Grenzen des Integrationsinteryalles ver- schwindet, so ergibt das Zeitintegral der Arbeit in der Tat den in (84b) rechts stehenden Ausdruck. Die in (85) an- gegebene Kraft Ä' erfüllt alle Bedingungen, welche der Reaktionskraft, der Strahlung vorgeschrieben sind.
Es fragt sich indessen, ob durch die, angegebenen Be- dingungen (84a, b) die Reaktionskraffc der Strahlung überhaupt eindeutig bestimmt ist. Das ist sie in der Tat. Um dies ein- zusehen, muß man sich die physikalische Bedeutung dieser Kraft klar machen. Es ist eine Ejraft, welche das vom be- wegten Elektron erregte elektromagnetische Feld auf das Elektron selbst ausübt. Diese Kraft ist durch die Grund- gleichung (V) bestimmt, wobei die Vektoren <& und § sich aus den Beiträgen zusammensetzen, welche die Volumelemente des Elektrons vorher ausgesandt haben. Diese Beiträge werden
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung. 125
von der mit Lichtgeschwindigkeit sich kontrahierenden Kugel dem Aufpnnkte zugeführt. Bewegt sich nun das Elektron mit einer Geschwindigkeit, die kleiner ist, als die Lichtgeschwin- digkeit c, so kommen, welches auch die Form des Elektrons sei, nur Beiträge in Betracht, welche in einem endlichen Zeit- intervalle ausgesandt worden sind und welche durch die Ge- schwindigkeit und Beschleunigung bestimmt sind, die in diesem Zeitinteryalle geherrscht hat. Ist die Bewegung überhaupt stetig, so muß diese Kraft sich durch die jeweils herrschende Ge« schwindigkeit ti und deren Ableitungen nach der Zeit b, B, li usf. ausdrücken lassen. Da es sich hier nur um Bewegungen handeln kann, welche der Bedingung (63b) genügen, so sind die Voraussetzungen der Stetigkeit und Unterlichtgeschwindig- keit stets erftillt. Da die gesuchte Kraft femer bei gleich- formiger Bewegung verschwindet, so ist der allgemeinste Ansatz für die vom Elektron auf sich selbst ausgeübte Kraft folgender: Ein Aggregat von polaren Vektoren, deren jeder eine ganze rationale Vektorfunktion von ti, 6, i, 5 usf. ist, wobei jeder Vektor noch mit einem von
ii ß == -^— ^ abhängigen Skalar multipliziert sein kann.
Die Beaktionskraft der Strahlung insbesondere, welche den oben entwickelten Bedingungen zu genügen hat, ist da- durch noch weiter in ihrer Form beschränkt, daß sie bei den betrachteten, der Bedingung (63b) gehorchenden Bewegungen von der Form des Elektrons unabhängig ist. Wurde doch bei der Berechnung der ausgestrahlten Energie und Bewegungs- größe das Elektron als Punktladung betrachtet; in Ausdruck der gesuchten Kraft können daher irgendwelche von den Ab- messungen des Elektrons abhängige Größen nicht eingehen, sondern ausschließlich die Vektoren ti, Ö, B usf, femer c und die Ladung e des Elektrons; und zwar muß die gesuchte Kraft, als Rückwirkung der Punktladung auf sich selbst, zu e^ pro-
portional sein. Nehmen wir nun -^ als Faktor vorweg, so
muß der gesuchte Ausdruck die Dimension einer Kraft divi-
diert durch die Dimension von -^; besitzen. Entnimmt man
c
12ß Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
der Dimensionstabelle in Bd. I, S. 252 die Dimension yon ^^ so findet man als Dimension des gesuchten Ausdruckes
Wir haben also Ausdrücke dieser Dimension zu suchen, welche ganze rationale Funktionen von ti, ti, ii usf. sind, wobei eventuell noch die Lichtgeschwindigkeit c eingehen kann.
Nennen wir nun v^y v^, v^ die ganzen^ aber nicht nega- tiven Zahlen^ welche die eingehende Potenz von H, b/ö usf. anzeigen; und i/^ die (positive oder negative) Zahl, welche die eingehende Potenz von c angibt, so soll die eingehende Potenz der Längendimension sein
^0 + ^1 + ^2 + ^3 H =1;
dagegen die eingehende Zeitdimension
— ^0 — Vi — 21/3 — Si/j H = — 3.
Hieraus folgt
(86) i;g + 21/3 + 31;/+...= 2.
Da negative Werte von v^yV^j v^ ausgeschlossen sind, so ist
V4 == 1/5 ==•..== 0.
, Es können ü und noch höhere Ableitungen der Geschwin- digkeit nicht auftreten. Die höchste eingehende Ableitung ist b', und zwar folgt aus (86), daß, wenn S überhaupt eingeht,
(I) V,= l, V8 = 0
die einzigen möglichen Potenzen von ii und ii sind; in diesem Falle ergeben die Ausgangsgleichungen
'»'0 + ^1 = 0,
d. h. es tritt c so oft in den Nenner, wie ti im Zahler steht. Neben diesem Lösungssystem läßt nun (86) noch ein von ii freies zu:
(II) 1/3 = 0, i/g = 2, 1/0 + ^1 = - 1-
Hier geht d quadratisch ein, und c steht einmal öfter im Nenner, als ti im Zähler.
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktiadnng. 127
Jeder Lösung dieser Dimensionsgleichungen kann selbst- verständlich eine beliebige Funktion der dimensionslosen Größe ß als Faktor zugesellt werden.
Es fragt sich nun^ welche ganze rationale Funktionen der Vektoren b, ii; H unter das Schema (I) bzw. (II) fallen. Um die hier möglichen Verbindungen dieser Vektoren zu neuen polaren Vektoren in allgemeinster Weise zu ermitteln^ gehen wir aus von einem Satze von EL Burkhardt.^) Diesem Satze zufolge wird die allgemeinste ganze rationale Vektorfunktion erhalten, indem man die uraprüngUchen Vektoren zu Vektor- produkten vereinigt und indem man die ursprünglichen und die so gebildeten Vektoren mit den skalaren Produkten aus je zweien der ursprünglichen Vektoren multipliziert. Nun müssen wir die Vektorprodukte von je zweien der Vektoren 0,6,8 von vornherein ausschließen, da diese Vektorprodukte axiale Vektoren sind (vgl. I, S. 23). Es bleiben also nur die ursprüng- lichen drei Vektoren übrig, die mit den inneren Produkten aus je zweien und selbstverständlich mit irgendeiner Funktion der dimensionslosen Größe ß multipliziert sein können.
Wir haben als Lösungen, die unter das Schema (I) fallen:
(86a) b./iW nnd t^^^-f,(ß),
während m das Schema (U) folgende Vektoren sich einordnen:
(86b) i . 1^1 . /i(^), tt-^r-AW, »•^•/•bW-
Andere Ausdrücke der richtigen Dimension, welche polare
Vektoren darstellen, gibt es nach dem Satze von Burkhardt
überhaupt nicht. Der aUgemeinste Ausdruck von «' muß sich
2 e
also aus solchen Gliedern . multipliziert mit ^ -, ; zusammen-
setzen lassen. Der Ausdruck (85) stellt sich in der Tat in dieser Form dar.
Es handelt sich nunmehr um den Nachweis, daß der all- gemeinste Ausdruck von ft', d. h. das allgemeinste Aggregat von
1) H. Burkliardt, Math, Ann. 48 (1898), S. 197. Vgl. auch Enzykl. d. math. Wissensch. Bd. lY. Art 14. Nr. 11.
128 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
fünf Gliedeni der Form (86 a, b) (jedes multipliziert mit — -^ ,
sich auf (85) reduziert, wenn gefordert wird, daß sein Zeit- integral für eine beliebige Bewegung mit der rechten Seite von (84a), sein Wegintegral mit der rechten Seite von (84b) identisch ist. Das wird bewiesen sein, wenn wir gezeigt haben, daß jedes Aggregat der Form
(87) (l = ihiß) + t>'^^m)
identisch verschwindet, wenn für eine beliebige, im Zeit- intervall ^' < ^' < ^' beschleunigte Bewegung das Zeitintegral und das Wegintegral von ® verschwinden. Wir schreiten jetzt zum Beweise dieses Satzes. Wir formen die beiden ersten Glieder von 6 durch partielle Integration um, wobei wir be* achten, daß i an den Integrationsgrenzen verschwindet und daß
5^r(^) = A (/J)ä77 = -^ -^^ - -^ ^r (^).
Wir erhalten
2 2 ^
1 1
Demgemäß wird das Zeitintegral des Vektors ©:
2 2
(87a) fdt' a =fdt' ^ [f,(ß) - f,(ß) - ^A'iß)}
1 2
+
1
fdt' "^ {f,(ß) - W)]
1
2
fdf'J^\A(ß)^^f,'{ß)]
2 /
Zweites Kapitel. Die Wellenstralilnng einer bewegten Punktladung. 129
Dieses Zeitintegral soll nun verschwinden^ welches auch immer die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Elektrons in dem betrachteten Zeitinterralle sein mag.
Wir betrachten zuerst eine nur transyersal beschleunigte Bewegung, die mit konstanter Geschwindigkeit vor sich geht. Hier ist (ti i) » 0^ es verschwindet das erste und dritte der Integrale. Das zweite hingegen ist von Null verschieden, es sei denn, daß
(87b) . m)-Aiß) = o
ist. Wäre diese Größe von Null verschieden, so könnte man die Bewegung im Zeitintervalle von t^^ bis ^' so wählen, daß 'das zweite Integral einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Man könnte z. B. das Elektron einen Kreisbogen von einem Winkel kleiner als 2^ beschreiben lassen, wobei das Integral einen nicht verschwindenden Vektor bestimmen würde. Es muß mithin (87 b) für beliebige Werte von ß erfüllt sein.
Wir betrachten zweitens eine nur longitudinal beschleunigte Bewegung, deren Geschwindigkeit also in dem Zeitintervalle
von t^ bis 4' dauernd wächst. Hier sind i(pi) und iftlöj
beides der Bewegungsrichtung parallele Vektoren vom Betrage
|tl|** bzw. ß^\t^\i^.
Da nun (87 b) allgemein gilt, so kann das Zeitintegral von S für eine solche Bewegung nur dann allgemein ver- schwinden, wenn
(87c) [fM - Uß) - i/iX«) + ß'[Uß)-jf.\ß)}-0
für jeden Wert von ß erfüllt ist.
Bei der zuletzt betrachteten Bewegung war i parallel zu ti; wir können nun diese Bewegung etwas abändern, indem wir eine transversale Beschleunigung hinzufügen. Dann besitzt im ersten Integral in (87 a) der Integrand eine Komponente senkrecht zur Bewegungsrichtung, die nach dem Krümmungs- mittelpunkte der Bahn weist. Ist die Änderung der Bewegungs- richtung nur gering, so können sich die Beiträge der einzelnen
Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 9
130 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Elemente der Bahn nicht zerstören, sie können sich auch nicht gegen die Bestandteile des* dritten Integrales aufheben^ da letztere parallel der Bewegnngsrichtang weisen. Wir erhalten also als Bedingung dafOr^ daß die zu H senkrechte Komponente des Zeitintegrales von S för eine solche Bewegung stets ver- schwindet:
(87d) f,(ß)-m)-jfx'(ß) = 0,
was weiter im Verein mit (87 c) ergibt:
(87 e) Uß)-jf,'(ß)-0.
Nun sollte aber nicht nur das Zeitintegral^ sondern auch das Wegintegral von S:
allgemein yerschwinden. Formt man die beiden ersten Glieder dieses Integrales durch partielle Integration um und berück- sichtigt das Bestehen der Gleichungen (87 b; c); so erhalt man
8 8
(87f) fdt'(iS,t>) fdt'{i'f,(ß) + ^r,03))-
1 1
Für eine nur transversal beschleunigte Bewegung ist das Integral nur dann stets gleich Null; weun allgemein
(87 g) fi(ß)-0
erfüUt ist; fär eine longitudinal bescUeimigte Bewegung tritt die Bedingung
(87h) ^,(^) = 0
hinzu. Aus (87 b, d, e) folgt nunmehr
(87 i) fM-fM-f,(.ß)-0.
Wir haben also bewiesen: Der allgemeinste zulässige Ausdruck für die Reaktionskraft der Strahlung ver- schwindet identisch, wenn sowohl sein Zeitintegral,
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Fnnktladung. 131
wie sein Wegintegral für eine beliebige, in einem gewissen Zeitintervalle beschleunigte Bewegung gleich Null sind. Es ist also nicht möglich, den Ausdruck (85) der Beaktionskraft so abzuändern, daß die Gleichungen (84a, b) für eine jede Bewegung erfOUt bleiben. Der ge- fundene Ausdruck (85) für die Bückwirkung der Strahlung auf die bewegte Punktladung ist demnach der einzige, welcher den oben angegebenen Voraus- setzungen entspricht.^)
Wir betrachten einige spezielle Fälle.
a) Gleichförmige Bewegung längs eines Kreises. Es ist (tili)=>0; der Beschleunigungsyektor hat den Betrag
Ihl Ihl '^1
wenn i2 der Badius des Ejreises ist. Seine Bichtung dreht
sich, wie diejenige des Geschwindigkeitsvektors, mit der Winkel-
I ii I geschwindigkeit -^* Man sieht ohne weiteres ein, daß fi ein
zu b senkrechter Vektor vom Betrage
•..i=i«i-4=it.i.i;
ist; er weist in die entgegengesetzte Bichtung, wie ti, so daß man hat:
» — 1..^.
Demnach ergibt (85)
(88) . «'-^\%^&^ x« = l-^».
Die Beaktionskraft ist der Bewegung entgegen- gerichtet; sie ist dem Quadrate des Kreisradius um- gekehrt proportional und steigt mit wachsender Ge- schwindigkeit an, wie
1) Diesen Ausdruck hat der Verfasser auf der Tagung der British Association in Camhridge (1904) angegeben. Der obige Eindeutigkeits- beweis wurde dort nur skizziert.
9*
132 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegxing der einzelnen Elektronen. Für die Arbeit der Beaktionskraft erhält man
2 8 2
fdt' (». «0 = - h: ßt' ,4. = - ii; -fät' jj, 1 1 1
was selbstrerständlich mit (84b) übereinstimmt. Die Überein- stimmong mit (84a) ist nicht ohne weiteres ersichtüch. Sie wurde ja auch nur postuUert för eine Bewegung, die mit dem Werte Null von ti beginnt und endigt^ während dazwischen sich b stetig ändert. Es ist also, bevor das Elektron die Kreis- bewegung begimit mid nachdem es dieselbe beendigt hat, je ein Intervall anzunehmen, in welchem ii von Null in stetiger Weise zu seinem, der Kreisbewegung entsprechenden Werte übergeht und wieder zum Werte Null zurückkehrt. Für den Kreisbogen, zusammen mit diesen beiden Intervallen, ist, wie aus dem gegebenen Beweise folgt, das Zeitintegral der Reak- tionskraft durch (84a) bestimmt.
Betrachten wir übrigens zwei Bewegungen, die um einen ganzen Umlauf voneinander verschieden sind, bei denen aber die tJberführung in die Kreisbahn und die Zurückführung in die gleichförmige Bewegung längs genau derselben Bahn geschah, so folgt aus der Gültigkeit von (84a, b) für die beiden be- trachteten Bahnen: Für einen ganzen Umlauf müssen die Relationen (84a) und (84b) erfüllt sein. Das gilt übrigens ganz allgemein für periodische Bewegungen. Denkt man den oben gegebenen Beweis noch einmal durch, so sieht man ein, daß die von den Integrationsgrenzen herrührenden Terme sich auch dann fortheben, wenn zu den Zeiten ^' und t^' die Vektoren ti und i die gleichen sind. Ist der Bewegungs- zustand an den Grenzen des Integrationsintervalles derselbe, wie z.B. bei einer periodischen Bewegung zu zwei durch eine Periode getrennten Zeiten, so gelten die Relationen (84a, b) ohne weiteres für die durch (85) gegebene Kraft. Bei der soeben behandelten Kreisbewegung z. B. ergibt das Zeitintegral von (88) für einen ganzen Umlauf den Wert Null, was mit (84 a) übereinstimmt.
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Fanktladung. 133
b) Gleichförmige Bewegung längs einer Kreisschraube.
Wir setzen
ti = tii + Hg,'
indem wir unter H^ den konstanten Vektor verstehen, welcher die Projektion von H auf die Achse der Schraube darstellt; unter H^ hingegen die Projektion von H auf eine zur Schrauben- achse senkrechte Ebene. Der Beschleunigungsvektor i liegt in dieser Ebene; er ist senkrecht zu H^ und H,, mithin auch zu H gerichtet, so daß (ti i) auch hier gleich Null ist. Femer gilt
|, = tl, = -~tl2^.;
WO B^ der Radius der durch ti^ dargestellten Kreisbewegung ist. Wir erhalten also aus (85)
oder, indem wir tl = Uj + tl2 einführen und
daher
setzen:
(89) A _^__jt,^.__ + ti2._____j.
Die Reaktionskraft der Strahlung ist die Resul- tante zweier Kräfte, von denen die erste der Be- wegung längs der Schraubenachse, die zweite der Kreisbewegung in der zur Achse senkrechten Ebene entgegen wirkt. Sind die Abmessungen der Schraube solche, daß Hl und ti2 von derselben Ghrößenordnung werden, so über- wiegt bei langsamer Bewegung die zweite, der Kreisbewegung entgegen wirkende Komponente. Bei raschen Bewegungen von der Ordnung der Lichtgeschwindigkeit jedoch kommt auch die erste Komponente in Betracht; es wird daher ein im homogenen magnetischen Felde sich sehr rasch bewegendes Elektron nicht nur in der Kreisbewegung um die magnetischen Kraftlinien,
134 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
sondern auch in der translatorischen Bewegung längs der Kraftlinien gehemmt werden, falls die Rückwirkung der Strah- lung in Betracht kommt.
Nach der Formel (7 b) des § 2 ist bei der Schrauben- bewegung im homogenen magnetischen Felde
wo 71 die spezifische Ladung des Elektrons ist (rj nimmt, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, mit wachsendem ß ab). Es wird demnach (89)
(89a) ff = -^'^^tßl^t>J,' + t,{l-ß,')],
was bei Ejreisbewegung senkrecht zu den magnetischen Kraft- linien übergeht in
c89b) «•=-»i?'=;f-
Übrigens ist anzumerken, daß bei der Anwendung dieser Formeln auf die Kathodenstrahlen Vorsicht geboten ist. Es handelt sich bei den Kathodenstrahlen nicht um ein einzelnes Elektron, sondern um eine ganze Schar von Elektronen, die parallele Bahnen beschreiben. Da die ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße durch den Poyntingschen Vektor bestimmt wird und dieser das äußere Produkt der beiden Feldstärken ist, so superponieren sich im allgemeinen zwar die Felder der einzelnen Elektronen, aber nicht die ausgestrahlten Beträge der Energie und der Bewegungsgroße. Denkt man sich z. B. eine Anzahl von Elektronen auf einem Kreise in gleichen Abständen angeordnet und mit der gleichen Geschwindigkeit längs des Kreises bewegt, so wird die Ausstrahlung um so geringer, je größer die Zahl der Elektronen ist. Im Ghrenz- falle sehr vieler Elektronen strahlt diese Elektrizitätsbewegung wie ein stationärer Strom, d. h. sie strahlt überhaupt nicht Hieraus folgt, daß auch die Rückwirkung der Strahlung auf das einzelne Elektron eine andere ist, wenn noch andere in der gleichen Weise bewegte Elektronen zugegen sind. Man
Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladnng. 135
muß dann bei der Behandlung der Strahlung und der Strah- lungsknlfte den Elektronenschwarm als Ganzes behandeln.
Anders liegen die Verhältnisse bei der Lichtemission. Nehmen wir an^ daß in jedem lichtentsendenden Molekül nur ein einziges Elektron schwingt^ so sind die Schwingungen der einzelnen Elektronen unabhängig voneinander. Die Phasen- differenz zweier Elektronenschwingungen ist eine ganz beliebige, und daher tritt bei der Superposition der entsandten Wellen ebensooft eine Schwächung wie eine Verstärkung der Strah- lung durch Interferenz ein. Bei der Mittelwertsbildung über eine große Zahl von Molekülen und über eine große Zahl von Schwingungen ergibt sich eine Strahlung^ die gleich der Summe der Strahlungen der einzelnen Moleküle ist. Hier ist also das Ergebnis dasselbe^ als wenn jedes Molekül für sich allein die Schwingungen ausgeführt und die Strahlung ent- sandt hätte; man kann in diesem Falle auch die JElückwirkung der Strahlung auf die Schwingungen angeben^ ohne auf die Wechselwirkungen der Moleküle Rücksicht zu nehmen. Hat man es mit kleinen Schwingungen zu tun, deren Geschwin- digkeit klein ist gegen die Lichtgeschwindigkeit, so ergibt (85)
als Beaktionskraft der Strahlxmg. Das war der Ansatz, den wir in § 9 (Gleichung 58) gemacht hatten. Dort konnten wir die Annahme dieses Wertes nur dadurch rechtfertigen, daß wir daraus den richtigen Wert für die ausgestrahlte Energie erhielten; das dort entwickelte elektromagnetische Bild des leuchtenden Punktes ergab keine Ausstrahlung von Bewegungsgröße, wie ja auch ö, über eine Schwingung inte- griert, den Wert NuU liefert. Wir haben nxmmehr von einem allgemeineren Standpunkte aus, unter Berücksichtigung der bei strenger Durchführung der Rechnung sich ergebenden Ausstrahlung von Bewegungsgröße, diesen Ausdruck fQr die Bückwirkung der Strahlung auf die Schwingungen eines ruhenden Dipols als richtig dargetan und damit auch die
136 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Differentialgleichung (58 b) für die kleinen Schwingungen eines Dipols begründet.
Für den bewegten leuchtenden Punkt führt die Integration über eine Schwingung von (85) zu (84 a; b) zurück , und es ergibt sich die der Bewegung entgegen wirkende Kraft; welche wir im vorigen Paragraphen kennen gelernt haben (Glei- chung 83 a; d).
Übrigens liegt den Entwickelungen dieses Paragraphen; wie denen der vorangehenden; die Annahme einer Punktladung zugrunde. Dadurch ist die Lichtgeschwindigkeit und deren Nachbarschaft sowie selbstverständlich die Überlichtgeschwin- digkeit ausgeschlossen. Es wäre durchaus unzulässig; wenn wir etwa aus dem ünendlichwerden der Beaktionskraft für /3 » 1 schließen würden; daß ein Strahlung aussendendes Elektron nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegt werden kann. Auf eine beschleunigte Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit sind unsere Formeln nicht mehr anzuwenden; denn das Elektron ist nicht als Punktladung anzusehen, sondern es besitzt; wie wir im nächsten Kapitel zeigen werden, endliche Abmessungen. In der unmittelbaren Nahe der Lichtgeschwindigkeit versagen demnach unsere durch die Bedingung (63 b) in ihrer Gültigkeit eingeschränkten Formeln. Die Frage nach der Erreichung und Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit kann nur auf Grund bestimmter Voraussetzungen über die Form und die Ladungs- verteilung des Elektrons in Angriff genommen werden.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen.
§ 16. Die G-nmdhypotliesen der Dynamik des Elektrons und das elektromagnetisohe Weltbild.
Im vorigen Kapitel, wo wir die von einem beschleunigten Elektron entsandte Wellenstrahlung behandelten, kam nur das Feld in großen Entfernungen vom Elektron in Betracht. Nun
(
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 137
ist aber für die Rückwirkung anf das bewegte Elektron haupt- sächlich die Energie und die Bewegungsgröße des Feldes, welches das Elektron unmittelbar umgibt, von Bedeutung. Man gewinnt eine YorsteUung von der Art des Einflusses, welchen das mitgeführte Feld auf die Bewegung des Elektrons auBÜbt, indem man an die Analogie des eleWrischön Leitnngs- Stromes anknüpft (vgl. Bd. I, § 63).
Ein Leitxmgsstrom ist von einem magnetischen Felde umgeben, dessen Energie dem Quadrate der Stromstärke pro- portional ist. So erklärt es sich, daß dem Anwachsen der Stromstärke eine „elektromotorische Kraft der Selbstinduktion^' entgegen wirkt, welche der zeitlichen Änderung der Strom- stärke proportional ist. Der Konvektionsstrom, den das be- wegte Elektron darstellt, wird gleichfalls von magnetischen Kraftlinien umschlungen; die magnetische Energie ist, bei langsamer Bewegung wenigstens, auch hier dem Quadrate der Stromstärke proportional. Da nun die Stromstärke in diesem FaUe der Geschwindigkeit des Elektrons proportional ist, so wird der elektromotorischen Kraft der Selbstinduktion hier eine Kraft entsprechen, welche der Beschleunigung des Elektrons proportional und ihr entgegen gerichtet ist. Der Gedanke Maxwellli, welcher die „elektrokinetische^^ Energie des elek- trischen Stromes mit der kinetischen Energie bewegter träger Massen verglich (Bd. I, § 64), nimmt hier eine noch greif- barere Form an, als beim Leitungsstrome. Jene vom magne- tischen Felde herrührende, einer Beschleunigung des Elektrons entgegen wirkende Kraft entspricht in der Tat durchaus der Trägheitskraft der gewöhnlichen Mechanik; es wird mithin ein bewegtes elektrisches Teilchen infolge des mitgeführten elektro- magnetischen Feldes eine träge Masjse besitzen, welche man, zum Unterschiede von der trägen Masse wägbarer Teilchen, als „scheinbare^' oder besser als „elektromagnetische'' Masse bezeichnen kann. Bei den unmittelbar an Marwell anknüpfenden englischen Forschem J. J. Thomson^) und
1) J. J. Thomson, Phil. Mag. (6) 11, S. 229. 1881.
138 Sinter Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
0. Heaviside^) findet sich zuerst die Vorstellung einer solchen ;; scheinbaren Masse ^^ der konvektiv bewegten Elektrizität.
Der Begriff der elektromagnetischen Trägheit gewann eine aktuelle Bedeutung^ als man in den Kathodenstrahlen (vgl. § 2) rasch bewegte elektrische Teilchen kennen lernte. Wenn anders der Konvektionsstrom überhaupt ein magne- tisches Feld erregt — und die Versuche von H. A. Bowland (vgL Bd.. I^ S. 425) konnten hieran kaum zweifeln lassen — , so mußten die im Eathodenstrahle bewegten Elektronen eine elektromagnetische Masse besitzen. Die aUgemeinste zulässige Annahme war die^ daß diese negativen Elektronen sowohl elektromagnetische Masse^ als auch ^^materieUe'^ Masse besitzen. Dabei ist unter ^^materieller Masse '^ diejenige zu verstehen^ welche der wägbaren Materie zukommt und welche z. B. den elektrochemischen Ionen anhaftet. Wir haben indessen bereits in § 2 auf die Schwierigkeiten hingewiesen, welche vom atomistischen Standpxmkte aus der Auffassxmg der Masse des negativen Elektrons als einer materiellen Masse entgegenstehen. Man wäre vor die Alternative gestellt; entweder den Kathoden- Strahlteilchen an Stelle eines einzigen 2000 elektrische Elementar- quanten zuzuschreiben, oder aber die Atome der wägbaren Materie nicht als unteilbar zu betrachten. Diese Schwierig- keiten werden keineswegs gehoben, wenn man die Trägheit der Elektronen zum Teil als materielle, zum Teil als elektro- magnetische betrachtet. Sie verschwinden jedoch sofort, wenn man die Masse des negativen Elektrons als rein elektro- magnetische Masse betrachtet. Auf die * Möglichkeit einer solchen, alle überlieferten Anschauxmgen umwälzenden Lösung wurde von verschiedenen Seiten hingewiesen, und es wurde bemerkt, daß die Entscheidung der Frage von den Trägheits- erscheinungen abhängt, welche die Elektronen zeigen, wenn sie mit noch größeren Geschwindigkeiten, als in den Eathoden- strahlen, sich bewegen. In der Tat, die materielle Masse wäg- barer Teilchen muß, wenn anders die Axiome der gewöhn-
1) 0. Heaviside, Phil, Mag. (6) 27, S. 824. 1889.
4
s
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 139
liehen Mechanik richtig 8ind^ eine Eonstante sein; sie muß unabhängig von der Geschwindigkeit sein^ mit der die Bewegung erfolgt. Die elektromagnetische Masse hingegen, die von dem elektromagnetischen Felde herrührt, wird, wie das Feld selbst, von der Geschwindigkeit abhängen, mit welcher das Elektron den Äther durchfliegt.
Gerade als die Erörterung der Frage bis zu diesem Punkte gelangt war, lernte man in den /J- Strahlen des Radiums negative Elektronen kennen, die noch rascher als die Eathoden- strahlteilchen sich bewegen. Es zeigte nämlich W. Kaufmann^), daß die Geschwindigkeit för verschiedene Teilchen eine ver- schiedene ist und daß das „Spektrum^' von Y, der Licht- geschwindigkeit bis dicht an die Lichtgeschwindigkeit heran sich erstreckt. Auch stellten bereits die ersten Versuche Kaufmanns es außer Zweifel, daß die Tragheit dieser Teilchen mit wachsender Geschwindigkeit ansteigt. Hieran anknüpfend hat der Verfasser dieses Werkes es unternommen*), eine Dynamik des Elektrons auszuarbeiten, welche geeignet war, die Ver- suche Kaufmanns auf rein elektromagnetischer Grundlage zu deuten. Die erhaltenen Ergebnisse wurden durch W. Kaufmanns weitere Untersuchxmgen besiatigt*), so daß bereits auf der Karls- bader Naturforscherversammlung (1902) ausgesprochen werden konnte^): Die Masse des Elektrons ist rein elektro- magnetischer Art.
In diesem Paragraphen sollen die Grundhypothesen dar- gelegt werden, auf denen die Dynamik des Elektrons beruht.
Zu diesen Grundhypothesen gehören selbstverständlich die in § 4 entwickelten allgemeinen Feldgleichungen der Elektronen- theorie (I bis IV), sowie der Lorentzsche Ansatz (V) für die elektromagnetische Kraft. Zu ihnen tritt die für die atomi- stische Theorie der Elektrizität fundamentiJe Vorstellung, daß die Gesamtladung e, die wir als elektrisches Elementarquantum
1) W.Kanfinann, Gott. Nachr. 1901, S. 148.
2) M.Abraham, Gott. Nachr. 1902,8.20. Ann, d.Phya. 10,8.106. 1903.
3) W. Kaufmann, G«tt. Nachr. 1902, 8.291; 1908, 8. 90.
4) W. Kaufmann n. M. Abraham, Phys. Zeitschr. 4, 8. 64 n. 67. 1902.
r
!
140 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. s.
bezeichnet haben (§ 1)^ über einen gewissen Bereich verteilt ist. Diesen Bereich nebst seiner Ladung nennen wir das ^jElektron^^ Er kann als Ganzes im Räume bei^^^ aber nicht geteilt werden. An der Elektrizität^ die mit der Dichte q über das Yolum des Elektrons verteilt ist^ greift nun die durch die Gh*und^eichung (Y) definierte elektromagnetische Kraft an. Dieselbe setzt sich aus zwei Teilen zusammen^ erstens der elektromagnetischen Kraft des äußeren Feldes, die wir %^ schreiben, und zweitens der vom Elektron auf sich selbst ausgeübten „inneren elektromagnetischen Kraft'^ Es ist für das Folgende bequem, diese letztere einfach % zu schreiben. Daß man die „innere^' und die „ äußere ^^ Kraft trennen kann, rührt von dem in der linearen Form der Feld- gleichungen analytisch zum Ausdruck gebrachten Super- )r positionsprinzipe her; diesem Prinzipe zufolge überlagern sich
die Felder <S, ^ und <S^, ^^, welche einerseits von dem be- trachteten Elektron selbst, anderseits von den übrigen Elek- tronen erregt werden. Durch diese Felder aber bestimmen sich die auf die Einheit der Ladung berechneten inneren und äußeren elektromagnetischen Ejilfte folgendermaßen:
»"-=«" + 7 W'
Da wir nun die Dynamik des Elektrons rein elektro- magnetisch zu begründen beabsichtigen, so dürfen wir andere, als elektromagnetische Kräfte, überhaupt nicht einführen. Wir postulieren vielmehr: Es soll die resultierende Kraft und das resultierende Kraftmoment der an den Yolum- elementen des Elektrons angreifenden elektrömagne- ' tischen Kräfte verschwinden:
(VI) JdvQ[% + r]-0,
(Via) /dt;9[t,fj + r] = 0.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 141
Diese zu den allgemeinen Grmndgleichungen (I bis V) der Elektronentheorie tretenden besonderen Gnmdgleichungen der Dynamik des Elektrons habe ich als die ^^dynamischen Grundgleichungen^^ bezeichnet. Sie sagen aus^ daß die inneren und die äußeren elektromagnetischen S[nLffce sich an dem Elektron im Sinne der Mechanik starrer Körper das Gleichgewicht halten. Auf ihnen muß eine jede elektro- magnetische Begründung der Dynamik des Elektrons fußen. Sobald man zuläßt; daß neben den elektromagnetischen Kräften noch andere vorhanden sind; die eine Translation oder Rota- tion hervorzurufen streben^ kann von einer elektromagnetischen Begründung überhaupt keine Bede mehr sein.
Wir müssen dem Elektron eine endliche Ausdehnung deshalb zuschreiben; weil für eine Punktladung die Feldstärken des von der Ladung selbst erregten Feldes und daher auch die innere elektromagnetisl^he Kraft am Orte der Punktladung selbst dem Betrage nach unendlich und der Richtung nach unbestimmt wird. Dieser Umstand verbietet unS; in den dynamischen Grundgleichungen zur Grenze der Punktladung überzugehen. In der Tat wird, wie wir sehen werden, bei diesem Grenzübergang die elektromagnetische Energie sowohl wie die elektromagnetische Bewegungsgröße unendlich. Schreiben wir nun dem Elektron eine zwar kleine, aber doch endliche Ausdehnung zu, so können wir nicht umhin, das Elektron als einer Rotation fähig zu betrachten. Ein Gegenstück des aus- dehnungslosen ;pnateriellen Punktes^' der analytischen Mechanik existiert in der elektromi^etischen Mechanik nicht. Die ein- fachste Annahme, die man über die Bewegungsfreiheit des Elektrons machen kann, ist die folgende: Das Elektron ist nur einer Translation und einer Rotation fähig. Die allgemeinste Bewegung des Elektrons wird dieser Annahme gemäß durch die „kinematische Grundgleichung'^
(VII) t> =- t»o + [^t]
dargestellt, welche der in der Eanematik des starren Körpers (Bd. I, § 9) gültigen Gleichung (Gl. 35, S. 25) voUkommen
142 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
entspriclit. Diese unsere kinematische Grundgleichung sagt aus^ daß die Elektrizität an den Yolumelementen des Elektrons haftet^ wie die wägbare Materie an den Yolumelementen des starren Korpers. Es stellt in (YII) Hg die Geschwindigkeit eines im Innern des Elektrons ge- wählten Bezugspunktes dar^ x den von ihm aus konstruierten Radiusvektor und u die Drehgeschwindigkeit des Elektrons um den Bezugspunkt. Den sechs durch die kinematische Ghnind- gleichung zugelassenen Freiheitsgraden stehen sechs aus den dynamischen Grundgleichungen fließende Beziehungen gegen- über; ganz wie in der Mechanik starrer Körper.
Wenn wir die Kinematik des Elektrons der Kinematik des starren Körpers nachbüden, erreichen wir für die Dynamik, des Elektrons ähnliche Yorteile^ wie sie die analytische Mechanik durch Annahme starrer Yerbindungen erzielt. Indem nämlich die analytische Mechanik der Kinematik der Massen- systeme solche Bedingungsgleichungen zugrunde legt, zu deren Aufrechterhaltung keine Arbeitsleistung (weder eine positive, noch eine negative) erforderlich ist, braucht sie Kräfte, welche die verkoppelten Massen aufeinander ausüben, nicht einzuführen. Sie kann diese KnLfte auffassen als Folge der angenommenen Bedingungsgleichungen; es ist aber überflüssig, von diesen Kräfben zu reden, da dieselben niemals Arbeit leisten, weder bei der wirklichen Bewegung, noch bei virtuellen Bewegungen. Daher kann die analytische Mechanik bei der Behandlung starrer Massensysteme davon absehen, eine innere „potentielle Energie^' der Körper heranzuziehen. Aus den Bedingungsgleichungen der bewegten Massen und ihrer kinetischen Energie ergeben sich ohne weiteres die Bewegungsgleichungen des Systemes. Dieser Grrundgedanke der analytischen Mechanik Lagranges ist bekanntiich von Heinrich Hertz in seiner DarsteUung der Prinzipien der Mechanik am konsequentesten durchgeführt worden. H. Hertz wünscht den Begriff der potentiellen Energie aus den Grundlagen der Mechanik zu verbannen. Er postuliert die Zurückführung der potentiellen Energie auf die lebendige Krafb verborgener Systeme träger Massen; diese Massen sollen
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 143
durch ^; starre^' Yerbindungen miteinander verkoppelt sein; alle Eräfbe, auch anscheinende ^^Femkräfte^', sollen in Wirklich- keit durch Mechanismen verborgener Massen übertragen sein^ welche auch die anscheinend getrennten materieUen Körper miteinander verkoppeln. Nun sind jedoch die Verbindungen^ welchen wir in der wirklichen Körperwelt begegnen, keines- wegs ,, starr '^ Auch die festen Körper besitzen die Eigenschaft der Elastizität; Reibung usf. Daher reichen ftir eine er- schöpfende Darstellung der Bewegungsvorgange die Ansätze der analytischen Mechanik nicht aus, man muß vielmehr die thermischen Yor^nge berücksichtigen, welche die Bewegungen begleiten.
Dieser Einsicht verschließt sich Hertz keineswegs. Da er aber alle physikalischen Yor^Lnge, auch die thermischen, als Bewegungsvorgänge aufzufassen wünscht, so kann er nicht umhin, anzunehmen, daß in der Welt der Atome die starren Yerbindungen seiner Mechanik verwirklicht sind. In der Tat, wäre die Bewegung der Atome mit Beibimgs- und Form- änderungsarbeit verbunden, so wäre es logisch unmöglich, die Wärme der Körper als eine Art von Bewegung aufzufassen. Win man das mechanische Weltbild in folgerichtiger Weise zeichnen und dabei die potentielle Energie aus den Grundlagen der Mechanik verbannen, so muß man fordern, daß die kine- matischen Zusammenhänge der kleinsten Teilchen „ starr ^' im Sinne der Hertzschen Mechanik sind.
Wir haben die Bedeutung dieses mechanischen Weltbildes für die Elektrodynamik im ersten Bande dieses Werkes (§ 64) erörtert, als wir die Maxwellsche Ableitung der Induktions- gesetze aus den Lagrangeschen GUeichxmgen vortrugen. Wir erwähnten dort bereits, daß diese Maxwellsche Analogie der Selbstinduktion zur Massenträgheit nicht unbedingt zugunsten des mechanischen Weltbildes gedeutet zu werden braucht, sondern daß man mit demselben Rechte umgekehrt versuchen kann, die Massenträgheit aus den Gesetzen der Elektrodynamik abzuleiten und so die Mechanik elektromagnetisch zu begreifen. Wir sind jetzt zu dem Punkte gekommen, wo das „elektro-
144 ^i^ster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
magnetische Weltbild^' auf seine Richtigkeit zn prüfen ist. Die elektromagnetische Masse des Elektrons ist nichts anderes^ als die Selbstinduktion des Konvektionsstromes. Ist die Dynamik des Elektrons rein elektromagnetisch begründet und die Trägheit der Elektronen auf ihre Selbsidnduktion^ d. h. auf die Rückwirkung ihres Feldes^ zurückgeführt^ so haben wir den Stützpunkt gewonnen, von dem aus wir die mechanische Naturanschauung in ihren Grundlagen erschüttern können. Wir können dann wagen, die kinetische und die potentielle Energie der Mechanik, und alle Energieformen überhaupt, als magnetische und elektrische Energie zu deuten und so ein elektromagnetisches Weltbild an die Stelle des mechanischen zu setzen.
Obwohl wir eine Tendenz verfolgen, welche derjenigen der Hertzschen Mechanik diametral entgegengesetzt ist, soll uns doch hinsichtlich der Folgerichtigkeit der Durchführung dieser Tendenz die Hertzsche Mechanik vorbildlich sein. Wollen wir an SteUe der kinetischen und der potentiellen Energie der Mechanik die elektromagnetische Energie setzen, so müssen wir der Dynamik der elektrischen Atome kinematische Ver- bindungen zugrunde legen, deren Aufrechterhaltung weder einen Energieverlust, noch einen Energiegewinn mit sich bringt; sonst ist die gesamte elektromagnetische Energie des Feldes nicht konstant, und es wird die Einführung einer nicht elektromagnetischen Energieform doch wieder notwendig. Das elektromagnetische Weltbild kann nicht umhin, der Kinematik der Elektronen Bedingungsgleichungen zugrunde zu legen, welche den „starren^^ Verbin- dungen der Hertzschen Mechanik entsprechen. Nur auf solchen kinematischen Grundgleichungen fußend, ist die Dynamik des Elektrons ohne logische Widersprüche elektro- magnetisch zu begründen. Nur die Übereinstimmung der Ergebnisse einer so begründeten Dynamik des Elektrons mit dem Experimente kann zur weiteren Verfolgung des elektro- magnetischen Weltbildes ermutigen. Die einfachste aller in den Rahmen der analytischen Mechanik fallenden Bedingungs-
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 145
gleichungeu war es^ die wir als kinematische Gh*undhypothese wählten. Auch über die Form des Elektrons werden wir meist die einfachste denkbare Annahme machen. Wir werden das Elektron als Engel betrachten^ mit einer in kon- zentrischen Schichten homogenen Verteilung der Ladung; ins- besondere werden wir zwei Grenzfölle, nämlich die homogene Yolumladung und die homogene Flächenladung^ bevor- zugen. Beide fuhren hinsichtlich der elektromagnetischen Masse zu demselben, mit den Versuchen Kaufmanns überein- stimmenden Ergebnisse. Erst dann, wenn künftige Experimente mit diesen speziellen Annahmen sich als unverträglich erweisen sollten, würde man zu komplizierteren Annahmen über die Form und die Ladungsverteilung des Elektrons überzugehen geneigt sein. Man würde auch daran denken, dem Elektron mehr als sechs Grade der Freiheit zu geben; aber stets wären die kinematischen Verbindungen so zu wählen, daß sie als „starre ^^ Verbindungen im Sinne der Hertzschen Mechanik zu bezeichnen wären. Vorläufig allerdings erscheint der Übergang zu kompli- zierteren kinematischen Grundgleichungen unzweckmäßig.
Halten wir an der kinematischen Grundgleichung (VII) fest, so brauchen wir von „EiMten'^, welche die Volumelemente des Elektrons aufeinander ausüben, überhaupt nicht zu reden. Die einzigen „ Kräfte *', die in Frage kommen, sind die elektro- magnetischen Kräfte, welche durch die Vektoren $ und f^^ bestimmt sind; diese Vektoren sind nur Hilfsgrößen, die defi- niert sind durch die elektromagnetischen Grundvektoren (S, § und durch den Geschwindigkeitsvektor H. Die resultierenden Ki^e und Kraftmomente des äußeren xmd inneren Feldes allein sind es, die in die dynamischen Grundgleichungen (VI und Via) eingehen. Von „ Kräften ^^ aber, welche das Elektron zu deformieren bestrebt sind, spricht unsere Dynamik des Elektrons überhaupt nicht. Die kinematische Ghrundgleichung bedingt es, daß solche Kräfte niemals Arbeit leisten können; von unserem Standpunkte aus ist die Einführung solcher Ki^te überflüssig.
Anders liegt hingegen die Sache, wenn man die kine- matische Grundgleichung (VE) fallen läßt und eine Form- Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 10
146 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
änderang des Elektrons als möglich ansieht. Dann müssen nicht nnr die resultierenden KnLfte und Kraftmomente am Elektron im ganzen sich das Gleichgewicht halten^ sondern es muß an jedem Yolumelemente des Elektrons Gleichgewicht bestehen, da ja eine am Yolumelemente haftende ;, materiellem^ Masse nicht angenommen werden soll. Dann muß man schon für das ruhende Elektron annehmen, daß neben den elek- trischen noch innere elastische Kräfte wirken, welche es ver- hindern, daß die Yolumelemente ihrer gegenseitigen Abstoßung Folge leisten. Diese Kräfte müssen ganz enorme sein; denn die elektrischen Kräfte, welche an der Oberfläche des Elektrons angreifen, übertreffen, weil die Abmessungen des Elektrons so außerordentlich klein sind, die experimentell herstellbaren elektrischen Kräfte um das billionenfache. Bewegt sich nun das Elektron als Ganzes translatorisch oder rotatorisch, so werden die elektromagnetischen Kräfte abgeändert werden, und mit ihnen die elastischen, derart, daß an jedem Yolumelemente die elektrischen und die elastischen KJrafte sich das Gleichgewicht halten. Die Abänderung der elasti- schen Kräfte wird von einer Formänderung begleitet sein. Der Translationsbewegung und der Rotationsbewegung wird sich demnach eine innere Formänderungsbewegung überlagern, die ihrerseits das innere Feld beeinflußt. Man hat, präzis gesprochen, neben den Gleichgewichtsbedingungen für die Yolumelemente noch die Feldgleichungen (I bis lY) zu erfüllen und hat zu zeigen, daß die hinsichtlich der elastischen Kräfte gemachten Annahmen zu keinen Widersprüchen führen. Eine solche, nachgewiesenermaßen widerspruchsfreie Theorie eines deformierbaren Elektrons existiert bisher nicht. Sollte sie sich durchführen lassen und dem Experimente gegenüber sich gleichfalls bewähren, so wäre sie unserer Theorie gegenüber noch insofern im Nachteile, als sie gezwungen wäre, außer der elektromagnetischen Energie noch eine innere potentielle Energie von der Art der inneren Energie elastischer Körper einzuführen, deren Abnahme die von den elastischen Kräften geleistete Arbeit kompensiert. Man würde dann die Trägheits-
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 147
kräfte verbannt^ aber dafür die weniger gut verstandenen elastischen Kräfte aus der Mechanik übernommen haben. Man würde die kinetische Energie der Elektronen auf die elektro- magnetische Feldenergie und eine innere potentielle Energie zurückgeführt haben. Die Übereinstimmung einer solchen Dynamik des Elektrons mit dem Experimente wäre gewiß nicht als eine Bestätigung des elektromagnetischen Weltbildes aufzufassen.
Wir werden in diesem Werke an der Hypothese des 9^ starren'^ Elektrons festhalten; auf Grund dieser Hypothese werden wir die Frage zur Entscheidung zu bringen suchen, ob die Dynamik des Elektrons rein elektromagnetisch be- gründet und so die Konvektionsstrahlung freier Elektronen als rein elektrischer Vorgang aufgefaßt werden kann. Ein weiterer Schritt auf dem Wege der elektromagnetischen Weltanschauung wäre die Deutung der EnLfte, welche die Materie auf die Elektronen ausübt, z. B. der quasielastischen EjiiLfte (vgl. § 9), auf rein elektromagnetischer Basis. Der letzte Schritt endlich wäre die Auffassung der wägbaren Atome und Moleküle als Aggregate von Elektronen, eine Auffassung, welche die TnLg- heit der Materie ohne weiteres erklären würde, von der man aber auch fordern müßte, daß sie von den MölekularknLften und von den Gh-avitationskräften in befriedigender Weise Rechenschaft gäbe. Die Welt würde dann allein aus den positiven und negativen Elektronen, und aus dein von ihnen im Baume erzeugten elektromagnetischen Felde bestehen, und alle Naturvor^Lnge wären als Konvektionsstrahlung der Elektronen oder als von ihnen entsandte Wellenstrahlung zu betrachten. Dieses elektromagnetische Weltbild ist bisher nur ein Programm; hoffen wir, daß die Arbeit der im Dienste dieses Programmes tätigen Forscher von weiteren Erfolgen gekrönt werden möge.
§ 17. Die Bewegungsgleioliungen des Elektrons.
Ist das „äußere Feld'' gegeben, und die jeweilige Lage, Geschwindigkeit und Drehgeschwindigkeit des Elektrons, so sind die resultierende äußere Kraft
10*
148 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
(90) r -^fdv Q r -fdv 9 { r + i [ö r ] ) ' und die resaltierende äußere Drehkraft
(90a) r^fdv Q [r »T ='fdv q [t, r + ^ [»rl]
gleichfalls bestimmt. Für das kugelförmige Elektron wird man als Momentenpunkt den Mittelpunkt desselben wählen^ und von diesem aus den Radiusvektor t konstruieren. In der kine- matischen Gbrundgleichung gibt dann Hg die Geschwindigkeit dieses Mittelpunktes ^ u die Drehgeschwindigkeit des Elektrons um seinen Mittelpunkt an.
Nimmt man die Ladirngsverteilung im Elektron nicht als allseitig symmetrisch an^ so wird man als Momentenpunkt den durch die Gleichung '
(90b) fdvQX^O
definierten Punkt wählen^ der dem ,, Massenmittelpunkte^^ der Mechanik entspricht^ und der in diesem Falle schlechtweg als ^^Mittelpunkt des Elektrons'^ bezeichnet werden mag.
Bei reiner Translationsbewegung (it » 0) ist die [äußere Kraft
(91) «? ==fdvQ(Br+ i [%JdvQ§^] .
Ist das äußere Feld innerhalb des vom Elektron ein- genommenen Bereiches merklich homogen, so reduziert sich der Translationsbestandteil der äußeren Kraft auf
(91a) «?-c(r+^[l.or])-
Die experimentell herstellbaren konstanten elektrischen und magnetischen Felder sind stets als homogen anzusehen auf Strecken von der Größenordnung eines Elektrondurchmessers; die von ihnen ausgeübte Kraft wird daher stets mit genügender Annäherung durch (91a) angegeben.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 149
Die äußere Drehkraft ist bei reiner Translation
(91 b) «; ^Jdv Q [x r ] + -Jdv Q [x [no r]] •
Dieser Ausdruck verschwindet fär ein homogenes äußeres Feld, da hier sowohl <8*, wie [HoS*] vor das Integralzeichen zu ziehen sind, gemäß (90b). Im homogenen Felde ist der Translationsbestandteil der äußeren Drehkraft gleich Null.
Dreht sich indessen das Elektron um seinen Mittelpunkt, so kommt im magnetischen Felde der Rotationsbestandteil der äußeren Kraft hinzu:
m=-^fdv(f\\nt\,%r],
welcher gemäß den Regeln (ß) und (d) in Bd. I, S. 437 zu schreiben ist ^
(91c) Ä;-|ydt)(»{-tt(r§'0 + r(«r)}-
Der Rotationsbestandteil der äußeren Kraft ver- schwindet gleichfalls im homogenen magnetischen Felde.
Der Rotationsbestandteil der äußeren Drehkraft jedoch
(91d) 9li-^fdvQ\yix\{x%')^\[n,JdvQx{t§'')]
ist auch im homogenen magnetischen Felde im all- gemeinen von Null verschieden.
Bei um den Mittelpunkt symmetrischer Verteüung der Elektrizität ist er dem äußeren Produkte aus der Dreh- geschwindigkeit u und der Feldstärke %/* proportional.
(91 e) «2 = l[tt§^.
Der Koeffizient | findet sich nach einer einfachen Rechnung
I = *^ für Volumladung, I = -r— für Flächenladung;
AC
wenn a der Radius des kugelförmigen Elektrons ist.
(91f)
150 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Führen wir die niinmelir als bekannt anzusehenden Vektoren Ä" und 9(* in die dynamischen Grundgleichungen (VI, Via) ein, so lauten diese:
(92) r+JdvQ% ^ 0,
(92a) 9e+CdvQ [t^] = 0.
Es handelt sich nun darum, den Vektor f^, d. h. die elektromagnetische E!raft des yom Elektron selbst erregten Feldes, zu ermitteln.
Wir haben bereits im ersten Kapitel (§ 8) in allgemeinster Weise die Fortpflanzung einer elektromagnetischen Störung be- handelt. Wir haben gesehen, daß das Feld, welches zur Zeit t in irgendeinem Aufpunkte herrscht, sich zusammensetzt aus Beitragen, welche eine mit Lichtgeschwindigkeit sich kontra- hierende Kugel dem Aufpunkte zufuhrt. Und zwar hängen die elektromagnetischen Potentiale von der elektrischen Dichte und von der Dichte des Konvektionsstromes ab, welche die Kugel antrifft; die Feldstärken werden mithin von der Dichte, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Elektrizität abhängen, über welche die Kugel hinweggestrichen ist. Das vom Elektron erregte Feld wird sich demnach durch ein Zeitintegral über die Latenszeit t oder den Latensweg X darstellen lassen. Auf diese allgemeine Darstellung des Feldes kommen wir weiter unten (§ 24) zurück.
In die Ausdrücke der inneren Kraft und Drehkraft gehen nun die Feldstärken ein^ welche in dem gerade vom Elektron eingenommenen Bereiche herrschen, und die vom Elektron selbst erregt sind. Um sie direkt zu bestimmen, müßte man für jeden Punkt des Elektrons das Feld ermitteln, und sodann die elektromagnetischen Kräfte, welche auf die einzelnen Volum- elemente wirken, nach den Regeln der Mechanik starrer Körper zusammensetzen. Hat sich nun das Elektron vorher mit Unter- lichtgeschwindigkeit bewegt, so wird für jeden zur Zeit t in sein Inneres fallenden Aufpunkt das Feld abhängen von der Bewegung, welche das Elektron in einem endlichen, der Zeit t
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 151
Yorangegangenen Zeitinteryalle ausgeführt hat, nämlich in dem Zeitintervalle^ während dessen die mit Lichtgeschwindigkeit sich kontrahierende Engel über das Elektron hinweggestrichen ist. Auch bei Bewegung mit Überlichtgeschwindigkeit wird das gleiche gelten; die Abweichung liegt darin^ daß hier das Elektron von außen in die sich kontrahierende Engel hinein- tritt. Nur wenn die Geschwindigkeit des Elektrons der Licht- geschwindigkeit gleich ist^ oder um diese oszilliert^ liegt ein Ausnahmefall vor. Im allgemeinen wird die elektromagnetische Eraft im Tnnem des Elektrons abhängen von der Geschwindig- keit und Beschleunigung, die das Elektron in einem endlichen, vorangegangenen Zeitintervalle erfahren hat. Das gleiche wird von der resultierenden inneren Eraft und Drehkraft gelten. Wir kommen hierauf weiter unten (§ 26) zurück.
Aus diesen allgemeinen Überlegungen gewinnen wir eine Einsicht in den Sinn unserer dynamischen Gbrundgleichungen. Wir erkennen^ daß diese Gleichungen im Grunde etwas ganz anderes aussagen, als die Prinzipien der gewöhnlichen Mechanik. Während die Mechanik starrer materieller Eörper die zeitliche Änderung der jeweiligen Geschwindigkeit und Drehgeschwindig- keit durch die äußere Eraft und Drehkraft bestimmt, wenn die Gestalt und die Massenverteilung des Eörpers gegeben ist, ist die Aussage der Grrundgleichungen der Dynamik des Elektrons eine weit verwickeltere. Dieselben sind, streng genommen, Funktionalgleichungen, welche die Lage, sowie die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Translation und Ro- tation, die in einem ganzen Zeitintervalle herrschen, zueinander in eine äußerst verwickelte Beziehung setzen. Man darf daher nicht hoffen, Bewegungsgleichungen zu erhalten, welche gleich- zeitig ili Strenge gültig sind, und, ähnlich wie die Bewegungs- gleichungen des starren Eörpers, die Beschleunigung der Trans- lation und Rotation allein durch die jeweils herrschenden äußeren Eräfte bestimmen. Nur indem man spezielle Fälle herausgreift, und sie passend idealisiert, kann man erwarten, zu übersichtlichen, für die DarsteUung der beobachtbaren Be- wegungen geeigneten Ergebnissen zu gehmgen.
152 f^rster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Dieses war das Ziel, welches ich bei meinen Unter- suchungen über die Dynamik des Elektrons verfolgt habe. Ich habe nachgewiesen; daß die in den Eathodenstrahlen und den Becquerelstrahlen stattfindenden Elektronenbewegungen so wenig beschleunigt sind; daß sie als ;; quasistationär ^ gelten können^ d. h. daß das Feld des Elektrons merklich dem bei gleich- formiger Bewegung mitgeführten Feld entspricht (vgl. § 23). Für solche quasistationäre Translationsbewegungen bin ich zu Bewegungsgleichungen gelangt; welche von den in der Mechanik geltenden nicht so sehr verschieden sind. Hier läßt sich das Verhalten des Elektrons auch bei Geschwindigkeiten; die von der Ordnung der Lichtgeschwindigkeit; aber immerhin kleiner als diese selbst sind; durch eine von der jeweiligen Ge- schwindigkeit abhängige ;;elektromagnetische Masse^^ charakterisieren. Dabei ist jedoch eine andere träge Masse in Rechnung zu setzen, wenn es sich um Beschleunigung parallel der Bewegungsrichtung; oder senkrecht zu ihr handelt. Beide Massen; die ;;longitudinale^^ sowohl, als auch die ;;trans- versale^^; lassen sich mit Hilfe des elektromagnetischen Im- pulses (§ 5) in übersichtlicher Weise darstellen. In ent- sprechender Weise läßt sich aus dem elektromagnetischen Impulsmomente für quasistationäre Drehbewegungen ein ;;elektromagnetisches Trägheitsmoment'^ ableiten.
Wir gewinnen die Grundlage für die Theorie der quasi- stationären Bewegungen des Elektrons, indem wir die elektro- magnetische Bewegungsgröße des vom Elektron erregten Feldes einführen. Deren Dichte ist nach Gleichung (18):
(93) 8-f.«=ii-J«^].
Der gesamte Impuls des Feldes beträgt
(93a) 9=fdvi,
und der Drehimpuls
(93b) 1»=fdv[ri\.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 153
Die Umfonnimgen; die zu den Ausdrücken (21) und (26a) für die resultierende Kraft und die resultierende Drehkraft eines beliebigen elektromagnetischen Feldes führten^ gelten natürlich auch für das Feld eines einzelnen Elektrons; denn dieses Feld erfüllt eben die Grundgleichungen (I bis lY)^ auf denen jene Umformungen beruhten. Wir erhalten demnach als resultierende innere Kraft
(93c) St^JdvQ%^
dt
Bei der Berechnung des resultierenden Momentes des vom Elektron erregten Feldes ist zu beachten^ daß als Momenten- punkt nicht ^ wie in § 5^ ein im Baume fester Punkt ^ sondern der mit der Geschwindigkeit Hq bewegte Mittelpunkt des Elek- trons gewählt wurde. Auf diesen Momentenpunkt soll auch das elektromagnetische Impulsmoment ^ bezogen werden. Wir können ; da das Integral in (93 b) über den ganzen Baum zu erstrecken ist^ unter t den Badiusvektor verstehen; der vom Mittelpunkt des Elektrons aus nach einem im Baume festen Punkte gezogen ist; dann gilt:
Hieraus folgt als zeitliche Änderung des Impulsniomentes
|=^,/^nt9] = -[i..«]+/e^4t|f]-
Das zweite Glied der rechten Seite war es, auf welches sich die Umformungen des § 5 bezogen, die zu den Gleichungen (26) und (26a) führten; denn dieses Glied stellt die zeitliche Änderung des auf einen im Baume festen Momentenpunkt be- zogenen Impulsmomentes dar.
Wir haben daher hier zu schreiben
«-A« [''!?]•
Zwischen dem auf den bewegten Mittelpunkt des Elektrons bezogenen elektromagnetischen Impuls-
154 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegnng der einzelnen Elektronen.
momente ^ und dem resultierenden Momente der inneren elektromagnetischen Kräfte besteht demnach die Beziehung
(93d) «=/dfp[r5] = [l»o®]+^-
Fuhren wir die Ausdrücke (93 c, d) in die dynamischen Grundgleichimgen (92^ 92a) ein, so nehmen diese die Form an
(94) ^ = ft^
(94a) ^ + [II.®] = r.
Diese Form der dynamischen Grundgleichungen entspricht durchaus den Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, wenn Kraft und Impulsmoment auf einen mit der Geschwindig- keit Hq bewegten Momentenpunkt bezogen sind. Sie sind in der Tat formal identisch mit den Bewegungsgleichungen (46) und (48) des starren Körpers, die wir im ersten Bande (§ 12) kennen lernten. Sie beruhen ja auf den Impulssätzen, die für die Bewegungsgröße des elektromagnetischen Feldes ebenso gelten, wie für die an den wägbaren Körpern haftende Be- wegungsgröße. Freilich läßt sich für die wägbaren Körper ohne weiteres der Impuls als Funktion der Geschwindig- keit, und der Drehimpuls als Funktion der Drehgeschwindig- keit angeben. In der Dynamik des Elektrons hingegen gewinnt man die Beziehungen, welche den Impuls und das Impuls- moment mit der Geschwindigkeit und der Drehgeschwindigkeit verknüpfen, erst durch Integration der Feldgleichungen; erst nachdem das Feld der betreffenden Bewegung ermittelt ist, lassen sich die durch (93, 93 a, b) definierten Integrale über den ganzen Baum auswerten, wodurch dann die Bewegungs- gleichungen eine explizite, zur Bestimmung des Verlaufes der Bewegung geeignete Form annehmen.
Neben den Impulsgleichungen ist die Energiegleichung für die Dynamik des Elektrons von Bedeutung. Wir hatten dieselbe bereits in § 4 in allgemeiner Weise aus den Grund-
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 155
gleichimgen der Elektronentheorie hergeleitet. W, die ge- samte Energie des vom Elektron erregten Feldes^ ist stets eine endliche^ wenn wir bei der Verfolgung der Bewegung Yon einem anfangs mhenden Elektron ausgehen^ und immer nur endliche äußere Kräfte auf das Elektron wirken lassen. Sie berechnet sich in diesem Falle aus den Feldstärken des vom Elektron erregten Feldes durch die Integration über den unendlichen Baum:
(95) TT«/^ {«*+§»).
Infolge der über den Anfangszustand gemachten Annahme können wir in der Energiegleichung^ ebenso wie wir es bereits in § 5 in den Impulsgleichungen taten^ die Oberflächen- integrale streichen. Rücken wir nämlich die Begrenzungs- fläche so weit fort; daß sie während des ganzen betrachteten Vorganges nicht von dem Felde erreicht wird, so flndet eine Strahlung durch die Begrenzungsfläche hindurch nicht statt, und es wird (vgl. § 4)
dÄ Hier bezeichnet -jt die Arbeitsleistung der „inneren"
elektromagnetischen E!räfte f^, die vom Felde des Elektrons selbst herrühren; es gilt
^ =fdvQ (öfj) = (ttoJ'dvQ^) + {n,fdvQ [r^]),
wie aus der kinematischen Gfrundgleichung (VII) im Verein mit der Regel (y) der Formelzusammenstellung in Bd. I, S. 437, folgt. Mit Rücksicht auf die dynamischen Grundgleichungen (92 a, b) ergibt dieses
(95b) ^=._(ö^«»)_(„r).
Es ist demnach die Arbeit der inneren elektro- magnetischen Kräfte entgegengesetzt gleich der Arbeit
156 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
der äußeren elektromagnetischen Kräfte. Diese aus den Crrundgleichungen unserer Dynamik des Elektrons folgende Be- ziehung würde nicht mehr erfüllt sein^ wenn noch andere innere Kräfte^ außer den elektromagnetischen^ mitwirkten. Durch die Wahl der Grundhypothesen haben wir eben aus- geschlossen; daß solche Kräfte jemals Arbeit leisten. Die Relation (95 b) und die aus ihr und (95 a) sofort sich er- gebende Energiegleichung
(96) ^_ (ft„«-) + („«-),
sind fär unsere rein elektromagnetisch begründete Dynamik des Elektrons wesentlich.
Kombinieren wir nun die Energiegleichung (96) mit den Impulsgleichungen (94) und (94a); indem wir die aus den letzteren sich ergebenden Werte der äußeren Kraft und Dreh- kraft in die letztere einführen^ so erhalten wir
w ^=(«.^+("^)+(«fj)-
Diese aus der Energiegleichung und den Impuls- gleichungen abgeleitete Beziehung ist von großer Wichtigkeit für die Dynamik des starren Elektrons; denn sie verknüpft in einer allgemeinen; Yon den Werten der äußeren Kräfte unabhängigen Weise den ImpulS; den Drehimpuls und die Energie des Elek- trons.
Wir wollen, ehe wir zur Behandlung spezieller Bewegungen übergehen; noch eine andere; allgemeine Beziehung ableiten, welche sich gleichfalls weiterhin als wertvoll erweisen wird. Dieselbe bezieht sich auf die Differenz der magnetischen Energie T und der elektrischen Energie TJ des Feldes. Diese Differenz soll die ;;Lagrangesche Funktion'^ genannt werden.
«
(98) L==T--Ü.
Wir wollen bei der Berechnung der beiden Energiearten die Relationen (28) und (29) heranziehen; welche die elektro-
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 157
magnetischen Vektoren durch die elektromagnetischen Potentiale ausdrücken. Dann wird
(98.) T_ygg._yg(s,o„ri,),
Die erhaltenen Ausdrücke sollen durch partielle Integration umgeformt werden^ wobei die über die Begrenzungsfläche er- streckten Integrale ein für allemal gestrichen werden sollen. Es liegt diesem Verfahren immer die stillschweigende Voraus- setzung zugrunde, daß die Grenzfläche nicht von der Störung erreicht worden ist; auf dieser Fläche herrscht dann noch der elektrostatische Anfangszustand, der zu einer früheren Zeit einmal im ganzen Räume geherrscht hat; dieses elektrostatische Feld liefert keine Beiträge zu den Oberflächenintegralen.
Aus Regel (v) der FormelzusammensteUung in I, S. 438 folgt
und, nach Einführung der Feldgleichung (H),
(98c) T^ifä.m+f^x^,'-^).
Anderseits ergibt die Regel (t) auf S. 437
div ®« = ® div (& + «F®, woraus auf Qrund des Gaußschen Satzes (Regel 6) folgt
I dvdF^ = — / dt?® div tt = — 43t /(Zt?p®. Demgemäß wird die elektrische Energie
(98d) r-i/<i.,*-/^.((i^).
158 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Wir wollen, zur Abkürzang, den Skalar
(99) ^=0-i(li«)
einfuhren und das über das Volum der Elektronen erstreckte Integral
(99a) V==\ I dv^W
die „Kräftefunktion'' nennen. Nach Gleichung (10) können wir auch schreiben:
(99b) Y^\ jdvQ^-\ jdv (!«).
Es folgt daher durch Subtraktion von (98 c, d)
(100) L = -V+i-Jl^^{i&%).
Diese wichtige Beziehung zwischen der Lagrange- schen Funktion und der Kräftefunktion gilt für ein beliebiges elektromagnetisches Feld.
§ 18. Gleichförmige Translation elektrisclier Ladungen.
Wir wollen die Entwickelungen dieses Paragraphen etwas allgemeiner halten^ als es für die Theorie des translatorisch bewegten Elektrons unbedingt erforderlich wäre. Wir wollen uns ein beliebiges System elektrischer Ladungen in gleich- förmiger translatorischer Bewegung begriffen denken. Das System soll bereits seit so langer Zeit in dieser Bewegung begriffen sein^ daß in allen betrachteten Aufpunkten die frühere^ der gleichförmigen Bewegung vorangegangene Bewegung ohne Einfluß geworden ist; die Bedingungen^ unter denen dieses der Fall ist, lassen sich auf Gnmd der allgemeinen Sätze über die Fortpflanzung der elektromagnetischen Störungen (§ 8) ohne Schwierigkeit angeben. Diese Sätze führen ebenso ; wie in dem speziellen Falle der Punktladung (§ 12)^ auch in dem jetzt vorliegenden allgemeinen Falle zur Lösimg der gestellten Aufgabe; es wäre nicht schwer^ die Bestimmung der elektromagne-
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. I59
tischen Potentiale auf Grund der Formeln (50) und (51) durch- zuführen. Man sieht ohne weiteres ein^ daß das gleichförmig bewegte System elektrischer Ladungen sein Feld einfach mit- führt. In der Tat^ denken wir uns ein mit den Ladungen gleichförmig mitbewegtes Bezugssystem und in diesem einen festen Punkt P, so werden die Werte der elektromagnetischen Potentiale ^ und H in einem solchen Punkte von der Zeit unabhängig sein; denn welche Zeit t man auch wählte die Bewegung, nach rückwärts verfolgt, ist stets die gleiche, und die auf den betreffenden, zur Zeit t mit P koinzidierenden Aufpunkt hin sich kontrahierende Kugel führt stets die gleichen Beiträge mit. Es ist demnach das elektromagnetische Feld des gleichförmig bewegten Systemes elektrischer Ladungen stationär, wenn es von einem mitbewegten Bezugssysteme aus beurteilt wird. Freilich gilt das nur für solche Aufpunkte, welche nicht von denjenigen elektro- magnetischen Wellen erreicht werden, die vor Eintritt des stationären Bewegungszustandes entsandt wurden. Je größer die Zeit ist, welche seit dem Beginn der gleichförmigen Be- wegung verstrichen ist, desto weiter wird die Wellenzone sich von den bewegten Ladungen entfernt haben, wofern nicht deren Geschwindigkeit gerade der Lichtgeschwindigkeit gleich ist. Diesen Fall schließen wir aus; wir betrachten hier aus- schließlich Bewegungen mit Unterlichtgeschwindigkeit. Hier wird die mit Lichtgeschwindigkeit forteilende WeUenzone das stationäre Feld einschließen; lassen wir die Zeit, die seit Beginn der gleichförmigen Bewegung verflossen ist, beliebig wachsen, so dehnt sich das stationäre Feld mehr und mehr aus; seine Feldstärken nehmen mit dem Quadrate der Ent- fernung von den bewegten Ladungen ab. Seine Energie und Bewegungsgröße können daher von einer gewissen Zeit an den (im Falle der Unterlichtgeschwindigkeit endlichen) Werten der Energie und Bewegungsgröße gleichgesetzt werden, welche sich ergeben, wenn man das stationäre Feld als im ganzen Räume herrschend annimmt. Die so berechneten Werte sind allerdings nicht mit der gesamten Energie und Bewegungs-
/
I
160 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
große des Feldes identisch; um diese zu erhalten^ müßten wir noch die Energie und Bewegungsgröße der Wellenzone hinzu- fügen.
Bei der Berechnung der elektromagnetischen Potentiale des stationären Feldes werden wir nicht die Formeln (50) und (51) als Ausgangspunkt wählen; es ist hier bequemer, auf die Differentialgleichungen (30a, b) zurückzugehen, die sich hier erheblich vereinfachen. Da nämlich die elektromagnetischen Potentiale stationär sind in bezug auf ein mit der Geschwin- digkeit ti bewegtes System, so ist nach Gleichung (116) des ersten Bandes (S. 113)
Legen wir die o;- Achse der Bewegungsrichtung parallel und setzen
^ = 1-1.
so wird
X
C
und es nehmen die Differentialgleichungen (30 a, b) der elektro- magnetischen Potentiale die Form an:
(101) (l-^«)|^ + p + |^==-4«p,
d*% d^% d*%
(lOla) (1 _ ^«)^ + ^ + ^ - - 4«p^.
Die zur Bewegungsrichtung senkrechten Komponenten des elektromagnetischen Yektorpotentiales sind nach (51) gleich NuU, weil
war; da aber
ist, so wird
(101b) %. = ß0, «,-«,-0.
1
I
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. XQ1
Hieraas ergeben sich für die Komponenten der Feldstärken Beziehungen^ die den in § 12 (Gleichung 67 b, e) für eine gleichförmig bewegte Punktladung abgeleiteten vollkommen entsprechen. Es wird
(101c) «.— H+^S^-d-^^)!!'
(101 d) «y--
(101 e) #.= 0,
(101 f)
Auch folgt für den Vektor f^; welcher die elektromagne- tische Kraft auf die mitbewegte Einheit der Ladung bestimmt, die der Gleichung (68) entsprechende Beziehung
(102) 5«-F^, W^{l-ß^0.
Dabei ist V, das ^^Konyektionspotential^', identisch mit dem allgemein in Gleichung (99) des Yorigen Paragraphen definierten Skalar. In dem yorliegenden Falle der gleich- formigen Bewegung hat er der partiellen Differentialgleichung
zu genügen:
d*V d*V d*W^ (102a) *'"ä^ + -^ + -äP" 4^9*^
wobei abkürzungsweise gesetzt ist
(102b) X = yT=^.
Da /3 < 1 angenommen wird, so ist x eine reelle positive Zahlgroße.
Die einfachste^ einer gleichförmig bewegten Punktladung entsprechende Losung der Differentialgleichung (102 a) haben wir bereits in § 12 kennen gelernt.
Für die der Bew^pingsrichtung parallele Komponente des Vektors
Abraham, Theorie der Elektrixltftt. n. H
162 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegang der einzelnen Elektronen.
welcher nach Gleichung (18) die Dichte der elektromagnetischen Bewegungsgröße bestimmt^ erhalten wir aus (101 f)
Dabei ist nach (101 e) die magnetische Energiedichte gleich
, Integrieren wir über das ganze Feld, so erhalten wir
(103) 2r-|ti|«^ = (li«).
Die doppelte magnetische Energie des gleich- förmig bewegten Systemes elektrischer Ladungen ist gleich dem skalaren Produkte aus der Geschwindig- keit und der elektromagnetischen Bewegungsgröße.
Die durch Gleichung- (99a) definierte ^,Kräftefunktion^^ der bewegten Ladungen
(104) r^^fdvgW
ist von großer Wichtigkeit für die Theorie der konvektiv be- wegten Elektrizität. Es spielt ja das Konvektionspotential W hier dieselbe RoUe^ welche das elektrostatische Potential fp in der Theorie der ruhenden Elektrizität spielt. Wie der negative Gradient von q> die Kraft angibt^ die auf die ruhende Einheit der Ladung wirkt, so wird in unserem gleichförmig bewegten Systeme die Kraft auf die mitbewegte Einheit der Ladimg durch den negativen Gradienten von W angezeigt (Gleichung 102). Wie die Abnahme der elektrostatischen Energie
(104a) [7-y r^vp?)
die Arbeit angibt, die bei einer Konfigurations'anderung ruhender Ladungen gewonnen wird, so wird die Abnahme der Eiafte- funktion V die Arbeit angeben, die bei einer Änderung der Konfiguration in unserem gleichförmig bewegten Systeme elek-
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 163
trischer Ladungen zu gewinnen ist. Diese Eonfigurations-
änderung ist selbstverständlich unendlich langsam vorgenommen
zu denken^ so daß unser System in jedem Momente als ein
mit der Geschwindigkeit H gleichförmig bewegtes gelten kann.
Die für unser stationäres Feld aus (100) und (98) folgende
Beziehung
(104b) V L^U-T
gestattet folgende Deutung: Zu der elektrischen Energie U des Ladungssystemes tritt das elektrodynamische Potential — Tder Konvektionsströme^ welches, ebenso wie bei geschlossenen Leitungsströmen (Bd. I, § 64), der negativen magnetischen Energie gleich ist. Die so erhaltene Kräftefunktion gibt die Arbeit an, welche bei einer Konfigurationsänderung der be- wegten Ladungen gewonnen wird. Es folgt übrigens aus (101 e,f)
Hieraus ergibt sich für die Knlftefunktion der Ausdruck
(104c) r L =/|^{«x» + x»(«/ + «.»))•
Für die wirkliche Berechnung eignet sich allerdings besser die Formel (104), welche die Kräftefanktion durch ein über die elektrischen Ladungen erstrecktes Integral darstellt; dieses Integral läßt sich auswerten, sobald das Konvektionspotential W^ bekannt ist. Wir gehen jetzt dazu über, durch Integration der partiellen DifiTerentialgleichung (102 a) das Konvektions- potential zu bestimmen.
Man sieht sofort ein^ daß diese Differentialgleichung in die Poissonsche Gleichung übergeht, wenn man durch die Substitution
(105) x^XqX, y = yo; ^ = ^o
neue unabhängige Variable einführt. Wir wollen gleichzeitig setzen (105a) 9- f.
11*
164 Eniter AbBchnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Dann ist die Differentialgleichnng des Konvektionspoten- tiales zu schreiben
(105 b) F^^W 43rpoX.
Wir wollen unser gleichförmig bewegtes System H ver- gleichen mit einem ruhenden Systeme H^ von elektrischen Ladungen. Es sollen x^j y^, 0^, Qq Baumkoordinaten und elek- trische Dichte in 2^ Bein, d. h. es soll 2]^ aus 2 durch eine Dilatation parallel der Bewegungsrichtung hervorgehen^ durch welche alle der o;- Achse parallelen Strecken im Verhältnis
x-^^Ci-zs»)"^
verlängert werden; die Dichte der Elektrizität soll gemäß (105a) im Verhältnis x bei dieser Dehnung verkleinert werden^ so daß entsprechende Volumelemente in 2 und 2]^ dieselbe Ladung enthalten. Das elektrostatische Potential q)^ in 2q wird der Poissonschen Grleichung zu genügen haben
(105 c) ^*9o^-4^Po;
welche durch
de^
n
(105d) <p, =/^ =/
allgemein integriert wird. Vergleichen wir nun (105 b) und (105 c) und bemerken^ daß die Ladungen entsprechender Volum- elemente in 2q und 2 die gleichen sind^ so erhalten wir
(106) W^xq>,^ xj^^ = xf
dVQ
wo
(106a) r, = ]/(«o - lo) * + (y« - %)* + (^o - Ü*
die Entfernung der Punkte {x^y^si^ und (lo%So) ^s*; welche in dem ruhenden Systeme 2^ dem Aufpunkte (xyz) und dem Quellpunkte (|i}S) ^^ bewegten Systemes 2 entsprechen. Hierdurch ist allgemein die Bestimmung des Kon-
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 165
yektionspotentiales in 2J zarückgeführt auf die Be- stimmung des elektrostatischen Potentiales in U^.
Das Konvektionspotential einer im Eoordinatenanfange befindlichen Pnnktladnng e wird hiemach
X»<5
(106b) ?P«-=
was vollkommen mit den Gleichungen (68) und (68 a) des § 12 übereinstimmt In Entfernungen von dem bewegten Ladungs- systeme, in welchen dasselbe wie eine Pnnktladung wirkt; ist die Formel (106 b) für das Eonvektionspotential zu verwenden; hier sind die Flachen konstanten Eonvektionspotentiales in U Heaviside-Ellipsoide, welche aus den kugelförmigen Äqui- potentialflachen einer ruhenden Punktladung in JSq durch die Transformation (105) entstehen.
Vergleichen wir die Komponenten der elektrostatischen Kraft
mit denen der elektromagnetischen Kraft
§ = -Fy in U, so erhalten wir gemäß (105) und (106)
(106c)
. Es greifen demnach in zwei einander ent- sprechenden Ladungen des bewegten Systemes Z und des ruhenden Systemes 2^ Kräfte an, die bezüglich der Komponenten parallel der Bewegungsrichtung einander gleich sind^ während die zur Bewegungs- richtung senkrechten Komponenten in 2 im Ver- hältnis )^ = "j/l — j3* kleiner sind, als in 2^.
166 Erster Abschxiitt. Das Feld n. die Bewegving der einzelnen Elektronen.
Hat man für ein ruhendes System 27^ das elektrostatische Problem gelöst^ d. h. die Gleichgewichtsyerteilnng der Elek- trizität auf einem Leitersystem ermittelt, so kann sofort aus dieser Losung die Gleichgewichtsyerteilung der Elektrizität in dem gleichförmig bewegten Systeme U angegeben werden, welches aus 2^ durch eine Kontraktion paraUel der Bewegungs- richtung im Verhältnis x entsteht. Im Innern der Leiter in U^ ist das elektrostatische Potential konstant, die Feldstärke @q gleich NuU; dementsprechend ist in U das Konvektionspotential konstant und die elektromagnetische Ejraft f^ gleich Null. Wie die Gleichgewichtsverteilung in 2^, dem Satze von W. Thomson gemäß (vgl. I, § 44), durch ein Minimum der elektrostatischen Energie Uq ausgezeichnet ist, so besitzt die Verteilung der Elektrizität auf den Leitern des bewegten Sytemes 27 die Eigenschaft, die Eräfte- funktion
(106d) F= ^fdvQW^ \Jdv^Q,%fp^ ^ xU,
zu einem Minimum zu machen.
Wir denken uns in 21^ die Ladung e mit gleichförmiger räumlicher Dichte verteilt über eine von zwei konzentrischen, ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsoiden begrenzte Schicht. Das elektrostatische Potential nimmt in dem Grenzfalle einer sehr dünnen Schicht im Innern des Ellipsoides den konstanten Wert an^):
(107) y„=|ey|«,
0
wo abkürzungsweise
(107 a) D = y («o' + s) (b,' + s) (V + s)
gesetzt ist. Die entsprechende, im Grenzfalle flächenhafte Ver- teilung der Elektrizität ist, eben weil sie im Innern des Ellipsoides ein konstantes elektrostatisches Potential ergibt,
1) Vgl. Biemann -Weber, Die partiellen Differentialgleichnngen der math. Phyaik. I, § 108, S. 259.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 167
diejenige, welche sich auf einem leitenden mhenden EUipsoide von den Halbachsen a^y b^, Cq wirklich herstellt
Durch gleichförmige Eontraktion im Verhältnis x parallel irgendeiner Geraden entsteht nnn aus diesem EUipsoide wiederum ein Ellipsoid von den Halbachsen a, b, c. Wird dieses parallel jener Geraden gleichförmig bewegt mit einer dem Werte von x entsprechenden Geschwindigkeit, so ordnet es sich eben dem ruhenden EUipsoide ^(^o^^o^^o) ^ bewegtes Z(a,bfC) zu; auf ihm ist das Eonyektionspotential W^xfp^^ konstant. Da nun die GleichgewichtsverteUung der Elektrizität auf einem bewegten Leiter dadurch gekennzeichnet ist, daß im Innern des Leiters der Vektor f^ verschwindet, d. h. das Eonyektions- potential konstant ist, so erhalten wir durch Eontraktion des ruhenden leitenden EUipsoides 2^ ein bewegtes leitendes EUipsoid 27, auf dem das konvektive Gleichgewicht der Elek- trizität sich hergesteUt hat. Beachten wir nun, daß die Elek- trizitatsverteilung in Sq sich als GrenzfaU einer räumUchen gleichförmigen VerteUung zwischen zwei konzentrischen, ahn- Heben und ähnlich liegenden Ellipsoiden auffassen läßt imd daß durch die vorgenommene Eontraktion diese EUipsoide wieder in ähnliche, konzentrische und ähnlich Hegende EUipsoide übergehen, so erkennen wir folgendes: Die erhaltene Elek- trizitätsverteUung auf dem EUipsoide 2](a,byC) wäre auch dann im Gleichgewichte, wenn das EUipsoid ruhte. Die Elektrizitätsverteilung auf einem leitenden EUipsoide wird durch gleichförmige Bewegung desselben nicht beeinflußt^)
Auf unserem kugelförmigen Elektron wurde die Flächen- ladung als gleichförmige angesehen, und es wurde angenommen, daß die Ladung fest an der Fläche haftet. Obgleich dieser FaU physikalisch wesentlich verschieden ist von demjenigen des geladenen Eonduktors, so zeigt doch der obige Satz, daß beide FäUe in ihren Eonsequenzen übereinstimmen, wenigstens für stationäre und quasistationäre Bewegungen; denn es bleibt ja auch auf
1) W.B.Morton, Phil. Mag. 41, S.488. 1896.
168 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegnng der einzelnen Elektronen.
dem bewegten leitenden Ellipsoide die ElektrizitÄtsyerteilung, obwohl sie einer Änderung fähig wäre, im Falle des konvek- tiven Gleichgewichtes die gleiche, wie auf dem ruhenden. So erklärt es sich, daß die Untersuchungen von W. B. Morton und G. F. G. Searle^) über das Feld und die Feldenergie gleich- förmig bewegter ellipsoidischer Leiter fiir die Dynamik des Elektrons sich haben verwerten lassen, obwohl sie von wesent- lich anderen Grundhypothesen ausgehen.
Durch (107) und (106) ist das Konvektionspotential einer bewegten ellipsoidischen Flächenladung bestimmt. Wie die Bewegungsrichtung auch gegen die Hauptachsen (2a, 2b, 2c) orientiert sein mag, die Streckung (105) ergibt stets wiederum ein EUipsoid, durch dessen Hauptachsen (2ao, 2&o, 2^^) sich das elektrostatische Potential q)^ gemäß (107) berechnet. Die elektrostatische Energie dieses flächenhaft geladenen Ellipsoides ist «
(107b) ^o^YVoe-'^f^;
0
aus ihr bestimmt sich nach (106 d) die Eräftefunktion des bewegten Ellipsoides.
Wir wollen dem Falle der Flächenladung den Fall gleich- förmiger Yolumladung eines bewegten Ellipsoides gegenüber- stellen. Sind die Halbachsen a, h, c dieses Ellipsoides die- selben, wie die des soeben betrachteten, und ist die Orien- tierung der Achsen gegen die Bewegungsrichtung dieselbe, so sind auch die Halbachsen a^, &q, Cq des beim Übergang zum gestreckten Systeme Uq entstehenden Ellipsoides die gleichen wie dort. Es wird hier das elektrostatische Potential in 2q für das Innere des Ellipsoides^)
00
(107c) g^^^^ef^^il ^-rlV t-V
0
1) G. F. C. Searle, Phil. Trans. A. 187 (1896), S. 676. Phil. Mag. 44, S. 329. 1897.
2) Biemann -Weber, Die partiellen Differentialgleichungen d. math. Physik. I, § 107, S. 266.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 169
und somit die elektrostatische Energie der Yolumladnng
00
0
Die Integrationen .über das Yolomen des Ellipsoides lassen sich leicht ausführen. Man findet
0
Wir wollen die elektrostatische Energie (107 d) des gleich- förmig über sein Volumen geladenen Ellipsoides vergleichen mit derjenigen d^s flächenhaft geladenen (107 b). Wir können die letztere auffassen als Funktion der Größen a^^, b^^ Cq% und
zwar als homogene Funktion vom Grade (— ö^)- In der Tat,
erinnern wir uns der Bedeutung der Größe D, die in (107 a) angegeben war, und setzen statt a^^ b^^, c^ die a-fachen Werte, so geht durch die Substitution s = äa die rechte Seite von (107 b) über in ein ganz gleiches, nach s' genommenes Integral
zwischen denselben Grenzen, multipliziert mit a ^. l^ach einem bekannten Satze von Euler ist demnach
(107e) V§ + V^+V0 = -iOo.
Was nun die elektrostatische Energie der Yolumladung (107 d) betrifft; so können wir schreiben
was nach (107 e) ergibt
(107f) üo* = I U,.
Von der elektrostatischen Energie in 211) auf Grund von (106d) sogleich zur EriLffcefunktion in 2 übergehend, erhalten wir
(108) V*^\V.
1 70 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Es verhalten sich die Kräftefunktionen zweier Ellipsoide derselben Form^ Ladung, Bewegungs- richtung und Geschwindigkeit, von denen das erste über sein Volumen gleichförmig geladen ist, während im zweiten die Ladungsverteilung der Flächenladung des leitenden Ellipsoides entspricht (d.h. als Grenzfall einer gleichförmigen räumlichen Verteilung in einer, von zwei ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsoiden begrenzten Schicht anzusehen ist), wie 6:5. Dieser Satz führt den Fall der Volumladung auf denjenigen der Flächenladung zurück, so daß wir uns weiterhin nur mit dem letzteren zu beschäftigen brauchen.
§ 19. Bewegungsgröße und Energie des gleioMörmig
bewegten iSlektrons.
Wir betrachten ein ellipsoidisches Elektron in gleich- förmiger geradliniger Bewegung; ist genügend lange Zeit seit dem Eintritt dieser Bewegung verflossen, und ist die Ge- schwindigkeit der Translation kleiner als die Lichtgeschwindig- keit, so wird die gesamte Energie und Bewegungsgröße des Feldes konstant sein. Sie wird sich zusammensetzen aus der Energie und Bewegungsgröße der vor Eintritt der gleich- förmigen Bewegung entsandten Wellen und der vom Elektron mitgeführten Energie und Bewegungsgröße. Die weitere Ben wegung des Elektrons ist ausschließlich durch die mitgeführte Bewegungsgröße und Energie bestimmt.
Da der gesamte elektromagnetische Impuls und der auf den Mittelpunkt des Elektrons bezogene Drehimpuls des mit- geführten Feldes konstant sind, so ergeben die Impulssätze (94, 94a):
(109) r = 0,
(109a) «"-[Ho®].
Es bedarf demnach keiner äußeren Kraft, um die gleichförmige Bewegung des ellipsoidischen Elektrons aufrechtzuerhalten, wohl aber im allgemeinen einer
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 171
äußeren Drehkraft. Eine äußere Drehkraft ist stets erforderlich, wenn der Impulsvektor ® nicht der Be- wegungsrichtung parallel weist. Man überzeugt sich leicht davon, daß dieses eine Konsequenz der aUgemeinen Im- pulssätze des § 5 ist. Es war ja die elektromagnetische Be- wegungsgroße über den Äther verteilt zu denken und dem- entsprechend das Impulsmoment auf einen im Räume festen Punkt zu beziehen. Eine äußere Drehkraft ist dann erforder- lich, wenn das auf den absolut ruhenden Momentenpunkt be- zogene Moment der elektromagnetischen Bewegungsgröße sich ändert; das ist aber hier def Fall; denn es führt das gleich- formig bewegte Elektron sein Feld und die über dieses Feld verteilte Bewegungsgroße einfach mit sich, es ändert sich also der von dem ruhenden Bezugspunkte aus gezogene Hebelarm, an dem das betreffende Quantum von Bewegungsgröße an- zubringen ist, und zwar für das ganze Feld mit derselben Ge- schwindigkeit H » Hq. Die zeitliche Änderung des gesamten auf den ruhenden Momentenpunkt bezogenen Impulsmomentes ist demnach gleich dem äußeren Produkte aus H und dem ge- samten Impulse des mitgeführten Feldes, wie Gleichung (109a) behauptet. Was aber die Bewegungsgröße der entsandten Wellen anbelangt, so ist diese, wie wir gezeigt haben, der Strahlrichtung, d. h. dem vom Orte des Entsendens aus ge- zogenen Badiusvektor paraUel. Ihr Moment in bezug auf diesen im Baume festen Punkt ist dauernd gleich Null, so daß die Bewegungsgröße der Wellen in (109 a) nicht eingeht.
Es ist aus Symmetriegründen ersichtlich und wird durch genauere Überlegung bestätigt, daß der Impuls ® des mit- geführten Feldes paraUel der Bewegungsrichtung weist, wenn ein ellipsoidisches Elektron einer der drei Hauptachsen parallel bewegt wir^. Geschieht hingegen die Bewegung des Ellipsoides in einer anderen Richtung, so bedarf es einer äußeren Dreh- kraa, um die gleichförmige, rotationslose Bewegung aufrecht- zuerhalten. Eine Translation des ellipsoidischen Elek- trons in einer zu den Hauptachsen schiefen Richtung erfüllt also nicht das erste Axiom der Newtonschen
172 Erster Absclinitt« Das Feld n. die Bewegong der einzelnen Elektronen.
Mechanik; sie kann nicht ohne Einwirkung äußerer Kräfte vor sich gehen. Was aber die Bewegung parallel den Hauptachsen anbelangt^ so sind stabile und labile Be- wegungen zu unterscheiden. Eine iranslatorische Bewegung wird als stabil zu bezeichnen sein, wenn beim Herausdrehen der Hauptachse aus der Bewegungsrichtung eine innere Dreh- kraft erweckt wird^ welche die Hauptachse wieder in die Be- wegungsrichtung einzustellen strebt, d. h. wenn die durch (109 a) angegebene äußere Drehkraft K^, welche jener inneren Drehkraft das Gleichgewicht hält, das Ellipsoid aus der Be- wegungsrichtung herauszudrehen sucht. Ist hingegen eine äußere Drehkrafb erforderlich, welche die betreffende Haupt- achse in die Bewegungsrichtung einzustellen sucht, d. h. streben die durch eine kleine Drehung erweckten inneren Drehki^e den Winkel zwischen der Achse und der Bewegungsrichtung zu yergrößem, so wird die betreffende Bewegung eine labile zu nennen sein. Wie wir im vorigen Paragraphen gesehen haben, gibt die Eräftefunktion V des Elektrons durch ihre Abnahme die bei konstant gehaltener Geschwindigkeit bei einer Konfigurationsänderung zu gewinnende Arbeit an. Dem- entsprechend werden sich die stabilen und labilen Translations- bewegungen dadurch unterscheiden lassen, daß erstere einem Minimum, letztere einem Maximum der Eräftefunktion V bei gegebener Geschwindigkeit entsprechen, gerade so, wie in der Mechanik die stabilen und labilen Gleichgewichte durch ein Minimum bzw. ein Maximum der potentiellen Energie sich auszeichnen (vgl. I § 11). Die genauere Untersuchung hat dieses bestätigt^); sie hat femer ergeben, daß die Bewegung des Ellipsoides parallel der größten der drei Achsen einem Minimum der Kräftefunktion V (oder nach (104 b) einem Maximum der Lagrangeschen Funktion) entspricht und dem- nach stabil ist. Die Bewegung parallel der kleinsten der drei Achsen hingegen, welche einem Maximum von V entspricht, ist instabil. Wir können also nicht annehmen.
1) M. Abraham 1. c. Ann. d. Phys. 10. S. 174. 1903.
Drittes EapiteL Die Mechanik der Elektronen. 173
daß die in den Eathodenstrahlen und in den Badiumstrahlen bewegten Elektronen etwa abgeplattete Rotationsellipsoide sind; welche sich parallel der Rotationsachse bewegen^ wenigstens dann nicht, wenn wir die Ladung starr an dem Volumen oder an der Oberfläche des EUipsoides haften lassen; der kleinste Anstoß würde genügen, um ein solches Ellipsoid zum Um- schli^en zu bringen. Was schließlich die Bewegung parallel der mittleren Achse des dreiachsigen EUipsoides anbelangt, so ist dieselbe offenbar stabil gegenüber solchen Drehungen, welche die kleinste Hauptachse, aber labil gegenüber solchen, welche die größte Hauptachse der Bewegungsrichtung parallel zu stellen suchen. ^ Auch eine Bewegung parallel dieser mitt- leren Achse wird labil zu nennen sein. Wenn man unsere einfachste Voraussetzung, nämlich die eines kugelförmigen Elektrons, aufzugeben und zu der komplizierteren Annahme einer ellipsoidischen Form überzugehen wünscht, so wird man in den Kathodenstrahlen und in den Radiumstrahlen diese ellipsoidischen Elektronen nur ihrer größten Achse parallel bewegt annehmen dürfen, wofern man an den Grundhypothesen (VI, Via und YU) festhält.
unser kugelförmiges Elektron ist offenbar bezüglich einer Drehung in indifferentem Gleichgewicht. Der Impuls weist stets parallel der Bewegungsrichtung und es ist keine äußere Dreh- kraft erforderlich, um die gleichförmige Translation aufrecht- zuerhalten. Die gleichförmige Translationsbewegung unseres kugelförmigen Elektrons mit Unterlicht- geschwindigkeit ist demnach eine kräftefreie Be- wegung. Es gilt für ein solches Elektron, sei es, daß die Ladung gleichförmig über die Oberfläche oder gleichförmig über das Volumen verteilt ist, das erste Axiom der Newtonschen Mechanik.
Wir gehen nunmehr zur Berechnung der elektromagne- tischen Bewegungsgröße und Energie über, welche das Elek- tron bei seiner gleichförmigen Translation mit sich führt. Die Bestimmung der EnLffcefanktion V bzw. der Lagrangeschen Funktion L ist ja durch (106 d) zurückgeführt auf die Be-
1 74 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelneu Elektronen.
Stimmung der elektrostatischen Energie Uq des im Verhältnis x""^ seiner Bewegungsrichtung parallel gestreckten Elektrons:
(110) F=-L = xC/o.
Aus der Lagrangeschen Funktion leiten wir nun sowohl die Bewegungsgroße wie die Energie unseres kugelförmigen Elektrons ab. Wir gehen dabei aus von der Formel (104c):
(llOa) L ^Jg{«,»+(l_^»)(V + «,0)-
Dieselbe nach ß differenzierend^ erhalten wir
(llOb) g-^/g {«,.+ «..)
Wir betrachten zuerst das zweite der hier auftretenden Integrale; die partielle Differentiation nach ß bezieht sich auf das Feld^ welches in einem gegebenen Punkte des stationären Yom Elektron mitgefiihrten Feldes herrscht, d. h. es sind die Koordinaten (x, y, z) im bewegten Systeme bei der Differen- tiation nach ß konstant zu halten. Nach (lOIc, d) und (102) können wir dasselbe schreiben
/S(»f)=-/S(^''>l|)-
Nach der Regel (i) der Formelzusammenstellui^ in Bd. I, S.437 ist
-(||,r5r)=5rdiv^-diT'p||. Der Satz von Gauß ergibt demgemäß
wenn man beachtet, daß das Oberflächenintegral von ^-ja
über die Begrenzungsfläche des stationären Feldes zu yemach- lässigen ist, da W mit der (~ 1)*«^, S mit der (- 2)*«'^ Potenz der Entfernung vom Elektron abnehmen; hat, wie wir voraus-
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 175
setzen^ das stationäre Feld sich bis zu Entfernungen aus- gedehnt, die groß sind gegen den Radius des Elektrons, so ist > dieses Oberflächenintegral in der Tat zu streichen; das geschieht mit demselben Rechte, mit dem wir die Energie und die Bewegungsgröße des mitgefOhrten Feldes so berechnen, als ob im ganzen Räume das stationäre Feld herrschte.
Die partielle Differentiation nach ß bezieht sich auf einen Punkt, der eine feste Lage in einem mit dem Elektron be- wegten Bezugssysteme hat. Haftet nun, wie angenommen wurde, die Elektrizität starr an den Yolumelementen des Elektrons, so ist die Ladungsverteilung von der Geschwindig- keit unabhängig, und es wird
dg dß und daher auch
Wir erhalten demnach aus (110 b) mit Rücksicht auf (101 f)
Es wird die der Bewegungsrichtung parallele Impulskomponente erhalten, indem man die La- grangesche Funktion nach dem Betrage {li|»cj3 der Geschwindigkeit differenziert. Speziell far unser kugel- förmiges Elektron, dessen Impuls stets seiner Bewegungs- richtung parallel ist, wird
(111) 1®! = !^-
= 0,
Die Gültigkeit dieser bedeutungsvollen Beziehung fußt wesentlich auf der kinematischen Grundhypo- these (YU), welche aussagt, daß die Elektrizität an den Yolumelementen des starren Elektrons haftet. Würden wir hin&eiren eine Formänderunir des *Elekirons zu- U^ ^ .„Jl., dt „a „eh«.!» G-oh^digkeit die Form des Elektrons, d. h. die Ladungsverteilung im be-
176 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
wegten Systeme sich änderte^ so wäre q als Fnnktion von ß anzusehen; alsdann würde die Relation (110c) nicht mehr gelten^ es würde das zweite Glied auf der rechten Seite von (110b) nicht mehr fortfallen. Es beruht miihin die Gleichung (llOd) auf unserer kinematischen Grundhypoihese (VII); diese Gleichung geht in (111) über^ wenn der Impuls der Bewegungs- richtung parallel weist, d. h. wenn keine äußere Drehkraft zur Aufrechterhaltung der gleichförmigen Translation erforderlich ist. Für unser kugelförmiges Elektron ist diese Bedingung, wie wir gesehen haben, erfüllt.
Die Lagrangesche Funktion ist definiert als Differenz der magnetischen Energie T und der elektrischen Energie ü. Es ist mithin die gesamte elektromagnetische Energie des Elektrons
Führen wir hier für 2T den allgemeinen, im vorigen Paragraphen erhaltenen Ausdruck (103) ein, so erhalten wir
oder, mit Bücksicht auf (llOd) (lila) W^\t,\^.-L.
Es drückt sich demnach auch die Energie eines der kinematischen Grundgleichung (VII) gehorchenden Elektrons allgemein durch die Lagrangesche Funk- tion aus. Wir merken noch die aus (111) und (lila) fol- gende Beziehung an
deren Bedeutung wir im nächsten Paragraphen erläutern werden. Die Entwickelungen des vorigen Paragraphen gestatten es nun ohne weiteres, das Feld und die Lagrangesche Funktion eines kugelförmigen Elektrons zu ermitteln, sowohl fUr den Fall der gleichförmigen Flächenladung, als auch für den Fall der gleichförmigen Volumladung.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 177
Dnrch die Transformation (105) wird die bewegte Engel vom RadinB a abgebildet anf ein ruhendes Ellipsoid Ton den Halbachsen
(112) % = Ji 6o == ^0 =- «5
das ist ein gestrecktes Rotationsellipsoid, dessen Botationsachse der Bewegongsrichtung des Elektrons entspricht. Das elektro- statische Potential dieses Ellipsoides würde sich fclr den Fall der Flächenladung aus (107), für den Fall der Yolumladung aus (107 c) durch Einführung der Halbachsen (112) auswerten lassen. Durch (106) wäre dann das Eonvektionspotential des bewegten Elektrons bestimmt als
(112a) "P^^Vo,
und durch (102) bzw. (101b) die elektromagnetischen Potentiale
(112b) « = x-«!F=x-iyo
und
(112c) « = i*=Ay,.
Anstatt (Pq aus (107) bzw. (107 c) zu berechnen, ziehen wir es vor, zumLchst den Fall der Flächenladung zu er- ledigen, indem wir uns auf die im ersten Bande dieses Werkes (§ 36) gegebene Ableitung des elektrostatischen Poten- tiales eines gestrecken Eotationsellipsoides beziehen. Die Ver- teilung der Ladung auf dem leitenden EUipsoide ist ja als Ghrenzfall einer gleichförmigen riLumhchen Verteilung zwischen zwei ähnUchen und ahnUch Hegenden Ellipsoiden anzusehen, wie wir im Yorigen Paragraphen bemerkten. Diese Verteilung ist gerade die hier in Betracht kommende, nämlich diejenige, die durch Streckung des mit einer gleichförmigen Flächen- belegung versehenen Elektrons entsteht. Das elektrostatische Potential des leitenden Ellipsoides ist in Bd. I Gleichung (132) auf S. 136 angegeben; dort war die Botationsachse der jgf-Achse parallel; es bezeichnete c den halben Abstand der Brennpunkte, der hier gleich
Abraham, Theorie der Elektrizität. U. 12
178 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzeihen Elektronen.
|/v-v=«l/^*=«|
zu setzen ist; es stellten femer r^ und r^ die Abstände eines Au^unktes von den Brennpunkten dar^ die in der jetzigen Schreibweise sind
Demgemäß wird (112d) <Po = ^ln ^
im äußeren Felde das elektrostatische Potential des gestreckten BiOtationsellipsoides. Zum bewegten Elektron zurückkehrend^ erhalten wir aus (112b, c) die elektromagnetischen Poten- tiale des mitgeführten äußeren Feldes
cm,) ._^bjj±^l,
(1120 «-5jl;ta|Sf±^l.
wobei nach (105)
^ ^^ Ixr, = y{x - aßy + x\y^ + z")
zu setzen ist. Aus diesen Werten der elektromagnetischen Potentiale ist das äußere Feld des Elektrons nach den Formeln (lOlc^d^e^f) abzuleiten. Das Eönvektionspotential, dessen negativer Ghradient die auf die Einheit der mitbewegten Ladung ausgeübte Kraft bestimmt, ist außerhalb des Elektrons, nach (112 a, d) (112h) ^=.|^ln(*+^^|.
Die Äquipotentialflächen des ruhenden, gestreckten Bota- tionsellipsoides sind konfokale Ellipsoide, die sich mit wachsen- der Entfernung mehr und mehr der Kugelgestalt imhem. Im
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 179
änßeren Felde des bewegten Elektrons sind die Flächen kon- stanten Eonvektionspotentiales eine Schar Ton Ellipsoiden^ welche aus jenen durch eine Eontraktion parallel der a;-Achse entetehen; mit wachsender Entfernung vom Elektron nähern sie sich asymptotisch Heaviside-Ellipsoiden.
Wie die Oberfläche des leitenden Rotationsellipsoides eine Äquipotentialfläche ist; so ist die Oberfläche des Elektrons eine Fläche konstanten Eonvektionspotentiales. Nach Formel (132 b) in Bd. I (S. 137) ist das elektrostatische Potential des leitenden Ellipsoides
(112i) yo°^7-^.In(''°+^y^-
Nach (112, 112a) wird demnach der an der Oberfläche des Elektrons herrschende Wert des Eonvektions- potentiales
(im) ^=^-,.(l±i)_ii=i-ta(l±-^.
Im Innern des flächenhaft geladenen Elektrons sind sowohl das Eonyektionspotential wie die elektromagnetischen Potentiale konstant; demgemäß besteht im Innern des gleichförmig be- wegten Elektrons, in dem hier behandelten Falle der F^.chen- ladung, überhaupt kein elektromagnetisches Feld.
Aus (104) bzw. (104b) folgt jetzt ohne weiteres der Wert der Eräftefunktion bzw. der Lagrangeschen Funktion des Elektrons
(m) r— x-i.^-'lii^M(l±D
für den Fäll der Flächenladung.
Aus (111) folgt als Betrag des Impulses
(US.) |«|-«-5iLj(!ii-)L.('±<)_lj, und aus (lila) die Energie des Elektrons
(im) ,r-|,||i^-i-|lj-b.(l±^-i).
12*
180 Erster AbBclinitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Da die Ejraftefaiiktion gleich der Differenz der elektrischen Energie U und der magnetischen T ist, so erhalten wir durch Addition und Subtraktion von (113 b) und (113)
(U8e) p_i{,r+P)-fl|(?if)ln(l±D-lj,
(iisd) r_i(,r-F)-il((4i)i.(l±-J)-i).
Die letztere Formel hätte natürlich auch aus (113a) ab- geleitet werden können, da ja nach (103) die doppelte magne- tische Energie dem Produkte aus Geschwindigkeit und Impuls gleich ist. Entwickelt man die beiden letzten Ausdrücke in BeiheU; die nach Potenzen von j3' fortschreiten, und yemach- lassigt Ghroßen der Ordnung j3^, so wird
(113e) J7=?7o = |i,
(113f) ^- £•/»'•
Für Bewegungen des Elektrons, deren Geschwindigkeit klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist, ist die elektrische Energie von der Geschwindigkeit unabhängig, wahrend die magnetische Energie dem Quadrate der Geschwindigkeit pro- portional ist. Erstere ist mithin der potentiellen, letztere der kinetischen Energie der gewöhnUchen Mechanik zu vergleichen. Diese Analogieistnichtauf geringe Geschwindigkeitenbeschränkt; die Ableitung der Gesamtenergie und des Impulses aus der als Differenz der beiden Energiearten definierten Lagrangeschen Funktion, die für beliebige Geschwindigkeit galt, erinnert an Beziehungen, die aus der analytischen Mechanik bekannt sind; wir kommen hierauf im nächsten Paragraphen zurück.
Haben wir es nicht mit dem Falle der Flächenladung, sondern mit dem Falle der Yolumladung des kugelförmigen Elektrons zu tun, so können wir die Lagrangesche Funktion, die Energie und den Impuls sofort angeben, auf Grund des Satzes, den wir am Schlüsse des vorigen Paragraphen bewiesen haben (Gleichung 108). Im Falle der Volumladung werden die Werte der Kräftefunktion, und demnach
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. Igl
auch diejenigen der Energie nnd des Impulses^ aus den im Falle der Flächenladnng geltenden einfach durch Multiplikation mit dem Zahlenfaktor 6 : 5 ab- geleitet. Mit diesem Faktor sind also die rechten Seiten der Gleichungen (113) bis (113f) beim Übergange zur Volum- ladung zu multiplizieren.
Aus dem am Eingange dieses Paragraphen und in dem des vorigen Gesagten geht ohne weiteres herror, daß diese Formeln nur far den Fall der Unterlichtgeschwindigkeit die Energie und die Bewegungsgröße des mitgefiihrten Feldes bestimmen.
Die magnetische Energie einer langsam bewegten, flächen- haft geladenen Kugel wurde zuerst von 0. Heayiside richtig angegeben (1889). Die Gesamtenergie der leitenden Kugel wurde von G. F. C. Searle ermittelt (1897). Die Bewegungs- größe des kugelförmigen Elektrons und die Beziehungen zwischen Lagrangescher Funktion, Energie und Bewegungs- größe wurden vom Verfasser dieses Werkes gefanden (1902), der auch den Fall der Volumladung in der hier wiedergegebenen Weise erledigte.
§ 20. Die elektromagnetisohe Masse.
Wir haben im letzten Paragraphen bewiesen; daß das Elektron, wenn äußere Kräfte nicht wirken, in seiner gleich- förmigen rein translatorischen Bewegung verharrt, wofern seine Geschwindigkeit kleiner ist, als die Lichtgeschwindigkeit. Diese Folgerung aus den angenommenen Grundhypothesen ist in Übereinstimmung mit den bei Kathodenstrahlen und Badiumstrahlen gewonnenen experimentellen Ergebnissen; werden die Strahlen durch kein äußeres Feld beeinflußt, so erfolgt ihre Fortpflanzung geradlinig mit konstanter Ge- schwindigkeit.
Wie das erste, so hat auch das zweite Axiom der Mechanik Newtons sich experimentell in gewissem Sinne bestätigt. Die trage Masse der Strahlteilchen ist zwar nicht eine unabänder- liche, wie die Masse der gewöhnlichen Mechanik. Sie ist nur
182 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen,
bei langsamer Bewegung konstant; bei den j3- Strahlen des Radiums hangt sie von der Geschwindigkeit der Elektronen ab. Immerhin hat sich in dem Bereiche, auf welches sich die Experimente beziehen, die Masse insofern als konstant erwiesen, als sich der Betrag der transYersalen Beschleunigang bei ge- gebener Geschwindigkeit dem Betrage der transyersalen äußeren Kraft proportional ergab. Der Dynamik des Elektrons erwächst die Aufgabe, von diesem Verhalten Rechenschaft zu geben, und, der experimentellen Forschung voranleuchtend, den Be- griff der elektromagnetischen Masse präzise zu formulieren.
um das in dem angegebenen Sinne erweiterte zweite Axiom Newtons aus den Grundgleichungen unserer Theorie zu deduzieren, müssen wir offenbar ausgehen Yon solchen Be- wegungen, welche dem ersten Axiome Genüge lisisten; diese Bedingung erfiQlen die soeben behandelten rotationslosen Be- wegungen des allseitig symmetrischen Elektrons. Nur dann, wenn die knlfkefreie Bewegung geradlinig und gleichförmig ist, können wir erwarten, die erteilte Beschleunigung der äußeren Kraft proportional zu finden. Auch für ein kugelförmiges Elektron ist dieses Verhalten nur unter gewissen einschränkenden Voraussetzungen über den Betrag der Beschleunigung und der Geschwindigkeit möglich.
Wie nämlich in § 17 dargelegt wurde, ist die Aussage der dynamischen Grundgleichungen eine äußerst yerwickelte. Auch bei rein translatorischen Bewegungen hängt die innere Erafb, welche das Elektron auf sich selbst ausübt, von der Ge- schwindigkeit und Yon der Beschleunigung ab, welche das Elektron während eines gewissen, dem betreffenden Zeitpunkte vorangegangenen Zeitintervalles erfahren hat. Eine Proportio- nalität der Kraft zur jeweiligen Beschleunigung, und eine Ab- hängigkeit der Masse von der jeweiligen Geschwindigkeit allein, kann daher in Strenge nicht stattfinden. Nur wenn die Be- schleunigung hinreichend gering ist, wenn also die Geschwindig- keit nach Richtung und Betrag sich nur langsam ändert, wird das Verhalten des Elektrons durch eine „elektromagnetische Masse ^' zu charakterisieren sein.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 183
Wir deuteten bereits im Eingänge dieses Eiapitels die Analogie an, die zwischen der elektromagnetischen Masse der konvektiy bewegten Elektrizität und der Selbstinduktion eines Leitungsstromes besteht. Wie die Selbstinduktion mit der magnetischen Energie des Leitungsstromes zusammenhängt (ygl. I; § 64), so ist die elektromagnetische Masse mit der Bewegnngsgroße und der Energie des mitgeföhrten Feldes ver- knüpft. Nun war aber der Gültigkeitsbereich des Begriffes der Selbstinduktion auf langsam yeranderliche, oder, wie wir sagten, „ quasistationäre '^ Ströme beschiunkt. Ein Strom wurde quasistationär genannt (vgl. I, S. 257), wenn seine Stromsi&rke sich nur relativ wenig änderte in der Zeit, welche die elektro- magnetischen Störungen gebrauchen, um den Abstand zwischen den beiden entferntesten Punkten des Stromsystemes zu durch- messen. Nur unter dieser Bedingung konnte die magnetische Energie so berechnet werden, als ob das Feld, wie beim stationären Strome, der jeweiligen Stromstärke augenblicklich folgte. Auf solche quasistationäre Ströme allein ist die ge- bräuchliche Theorie des Wechselstromes anzuwenden, die im ersten Bande dieses Werkes (Abschnitt ÜI, Kap. 2) vorgetragen wurde. Dementsprechend wird der Begriff der elektromagne- tischen Masse nur auf „quasistationäre Bewegungen^' des Elektrons angewendet werden dürfen; es wird eine Bewegung dann quasistationär zu nennen sein, wenn ihre Geschwindigkeit sich nur wenig ändert in der Zeit, welche das Licht gebraucht, um über das Elektron hinwegzustreichen. Für quasistatioiuire Bewegungen werden wir die Bewegungsgröße und die Energie so berechnen, als ob das mitgeführte Feld der jeweiligen Ge- schwindigkeit entspräche, d. h. wir werden diejenigen Werte des Impulses und der Energie verwenden, die wir im vorigen Paragraphen für gleichförmige Bewegungen abgeleitet haben. Die Gültigkeitsgrenzen der Theorie der quasistationaren Be- wegung werden wir in einem späteren Paragraphen abstecken; wir werden sehen, daß diese Theorie alle beobachtbaren Ab- lenkungen und Beschleunigungen mit Unterlichtgeschwindigkeit bewegter Elektronen umfaßt.
184 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Beweg^ong der einzelnen Elektronen.
Dem Impulssätze (94) zufolge ist die zeitliche Andenmg des Impnlsyektors ® des Elektrons der äußeren elektromagne- tischen Ejraft St^ gleich:
(114) ^-r.
Bei quasistationärer Bewegung wird, wie bei gleichförmiger Bewegung, der Betrag des Impulses als Funktion des Betrages der Geschwindigkeit allein betrachtet, und die Richtung des Impulses, wie bei einer jeden dem ersten A^ome gehorchenden Bewegung, der Bewegongsrichtong parallel vorausgesetzt. Es liegt mithin der Vektor, welcher die zeitUche Änderung des Impulses angibt, stets in der Oskulationsebene der Bahn. Es ist zweckmäßig, ihn in zwei Vektoren zu zerlegen, Ton denen der erste der Bewegungsrichtung paraUel ist, wahrend der zweite nach dem Krümmungsmittelpunkte der Bahn weist; die Bichtungen, nach denen zerlegt wird, sollen durch zwei Einheitsvektoren t^ und tt^ gekennzeichnet werden, welche der Tangente bzw. der Hauptnormale der Bahn parallel sind. Nach diesen Bichtungen hatten wir in Bd. I, S. 9 den Beschleunigungs- yektor zerlegt Wir können die Gleichung (8) daselbst schreiben
(114a) ö-tx^+Äx 5
Femer lautet Oleichung (6) daselbst
wobei ds das Wegelement der Bahnkurve vorstellt.
In ganz entsprechender Weise, wie wir dort den Oe- schwindigkeitsvektor differenzierten, können wir jetzt den Vektor (114c) © = ti|©|
nach der Zeit differenzieren.
Es wird, mit Rücksicht auf (114b):
__^_lj-^^^ Ä dt und da man hat:
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 185
da ,^, d\9\ d\9\d\li
dt ' '' dt d\t^\ dt' 80 wird
(114d) Ä=.t,Ml^ + ^|©||,
Diese Formel gilt für jeden Vektor, dessen Bichtnng zu H parallel; und dessen Betrag durch den Betrag yon H bestimmt ist. Speziell fär die zeitliche Änderung von ü selbst geht sie über in die Gleichung (114a).
Anderseits lautet die Bewegungsgleichung (114)
(114e) d = ti «?+«!«;',
hier sind unter St» und Str die Komponenten der äußeren Kraft zu verstehen, welche parallel bzw. senkrecht zur Bewegungs- richtung wirken; die Ebene der Geschwindigkeit ü und der äußeren Kraft St^ bestimmt die Oskulationsebene der Bahn, wie in der Mechanik des materiellen Punktes.
Wir schreiben jetzt (114d) und (114a)
und erhalten (114g)
(114h)
Die Quotienten aus longitudinaler Kraftkompo- nente und longitudinaler Beschleunigungskompo- nente, sowie aus transversaler Kraftkomponente und Beschleunigungskomponente, sind für quasistationäre Bewegungen beide nur Funktionen der Geschwindig- keit.
In diesem Sinne erweist sich das zweite Axiom Newtons in der Dynamik des Elektrons als gültig. Wir erhalten jetzt für die ,,longitudinale elektromagnetische Masse'', d. h.
• |
d 9 |
|
» |
• |
9 II |
186 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
für den Quotienten der parallel der BewegTingBrichtung ge- nommenen Komponenten von äußerer Kraft und Beschleuni- gung:
d\9\
d\n
(115) m.
Für die ^^transversale elektromagnetische Masse'^ hingegen^ d. h. für den Quotienten der zur Bewegungsrichtung senkrechten Komponenten von äußerer Kraft und Beschleuni- gung folgt
(115a) m, ,j|
Im allgemeinen ist die longitudinale Masse Yon der transversalen verschieden. Nur im Grenzfalle lang- samer Bewegung, wo der Impuls des Elektrons seiner Ge- schwindigkeit proportional ist; stimmen die rechten Seiten von (115) und (115a) überein; wir wollen diesen gemeinsamen Grenzwert der longitudinalen und der transversalen Masse mit mQ bezeichnen; für langsame Kathodenstrahlen ist es erlaubt; mit ihm so zu rechnen, wie es in § 2 geschah.
Diese Formeln; welche die Masse des Elektrons mit seiner Bewegungsgröße verknüpfen, und die vom Verfasser dieses Werkes zuerst angegeben wurden ; sind unabhängig von jeder Annahme über die Form und die Ladungsverteilung des Elek- trons. Sie gelten immer danU; wenn der Impulsvektor der Bewegungsrichtung parallel weist; und sein Betrag eine beliebige Funktion des Betrages der Geschwindigkeit ist. Wünscht man die Dynamik des Elektrons rein elektromagnetisch zu begründen; so hat man für |®| den Betrag der elektromagnetischen Be- wegungsgröße einzusetzen.
Man kann die elektromagnetische Masse auch mit der elektromagnetischen Energie des Elektrons in Verbindung bringen; die Energiegleichung (96) ergibt für rein trans- latorische Bewegungen
^=(t,r) = n>i«:.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 187
Für quasistationäre Bewegungen wird die Energie des Elektrons als Funktion des Betrages der Geschwindigkeit be- trachtet; es wird daher
dW (2111
d\h\ dt
= ltl
a
Hieraus ergibt sich die ^^longitudinale Masse^^^ die als Quotient der longitudinalen Beschleunigung und Kraft definiert wurde,
Diese Formel verknüpft die longitudinale Masse des Elektrons mit seiner Energie. Die transversale Masse wird selbstverständlich durch die Energiegleichung nicht be- stimmt, da ja eine transversale Eraft keine Arbeit leistet.
Die aus der Energiegleichung abgeleitete Formel (115 b) ist, ebenso wie die aus dem Impulssatze gewonnenen Formeln (115) und (115a), unabhängig von jeder Annahme über die Form und die Ladungsverteilung des Elektrons. Sie fußt ebenso, wie jene allein auf den Grundgleichungen (I bis Y) der Elektronentheorie, aus denen ja die Energiegleichung und die Impuisgleichung als Folgerungen sich ergaben. Man konnte diese Formel, ebenso wie jene, auch dann verwenden, wenn man annähme, daß wägbare Materie mit dem Elektron ver- koppelt sei; alsdann wäre in TT die Energie, in ® die Bewegungs- größe der wägbaren Materie mit in Rechnung zu ziehen.
Dem von uns vertretenen Standpunkte getreu, werden wir indessen unter ® stets den elektromagnetischen Impuls, unter W die elektromagnetische Energie verstehen. Von einer rein elektromagnetisch begründeten Dynamik des Elek- trons werden wir unter allen Umständen verlangen müssen, daß die beiden Formeln (115) und (115b) für die longitudinale Masse des Elektrons zu demselben Ergebnisse führen. Würde die Formel (ll5b) unter An- nahme rein elektromagnetischer Energie, zu einem anderen Wert von m, ergeben, als die Formel (115) unter Annahme einer rein elektromagnetischen Bewegungsgröße, so würde ein
188 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegnng der einzelnen Elektronen.
innerer Widersprach unseres Hypothesensystemes zutage treten. Man könnte diesen Widerspruch durch Einführung einer inneren, nicht elektromagnetischen Energie des Elektrons heben; dann würde man aber das Ziel einer rein elektromagnetischen Be- gründung der Mechanik der Elektronen nicht erreichen.
In unserer, auf den Ghrundgleichungen (YT) und (VII) fußenden Dynamik des Elektrons entsteht nun der besagte Widerspruch nicht. In der Tat, wir hatten im vorigen Para- graphen bewiesen, daß unter Voraussetzung einer unveränder- lichen Verteilung der Ladung im Elektron, Impuls und Energie durch die Formeln (111) und (lila) mit der Lagrangeschen Funktion verknüpft sind. Hieraus hatten wir die Beziehung (111b) abgeleitet; diese Beziehung
d\9\ 1 dW d*L
d\t^\ .\1^\d\n\ d\n\* besagt nichts anderes, als daß die Ausdrücke (115) und (115b) beide den gleichen Wert der longitudinalen Masse ergeben. Wir sehen also: Unter Annahme einer von der Ge- schwindigkeit unabhängigen Gestalt und Ladungs- verteilung des Elektrons ergeben Impulssatz und Energiesatz den gleichen Wert der longitudinalen elektromagnetischen Masse. Hier tritt der Zusammen- hang zwischen unserer kinematischen Grundhypothese (VE) und dem Gedanken einer rein elektromagnetischen Begründung der Dynamik des Elektrons, der bereits in § 16 erörtert wurde, deutlich hervor. Lassen wir diese Grundhypothese fallen und nehmen an, daß die Form des Elektrons sich mit der Geschwindigkeit ändert, so ergibt die Energiegleichung einen anderen Wert der longitudinalen elektromagnetischen Masse, als die Impulsgleichung; in diesem Falle — ein Beispiel werden wir im § 22 kennen lernen — kami von einer elektro- magnetischen Begründung keine Bede mehr sein.
Jene kinematische Grundhypothese war den kinematischen Bedingungsgleichungen der analytischen Mechanik nachgebildet. Wir sind jetzt in der Lage, zu zeigen, daß unsere Grund- gleichungen für die Dynamik quasistatiomirer Bewegungen zu
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 189
Ergebnissen fähren^ welche formal mit denen der Mechanik Lagranges übereinstimmen. Führen wir in die Gleichung
d
a
dt ^•
die Belstion (111) ein, so erhalten wir
{Wir schreiben hier partielle Differentiationszeichen, weil wir weiter unten L noch yon anderen OröBeU; als nur yon |ti|; abhängen lassen.}
Diese Bewegungsgleichung entspricht den Lagrangeschen Gleichungen eines Systemes bewegter Massen. Wir hatten diese Gleichungen in § 15 des ersten Bandes entwickelt. Wir hatten für die Kraft; die infolge der Trägheit des verkoppelten Massensystemes an irgendeinem Antriebspunkte angreift^ den Ausdruck gefunden:
Dabei wurde T, die kinetische Energie der bewegten Massen^ als homogene Funktion zweiten Grades der Ge- schwindigkeiten qx der Antriebspunkte betrachtet; die Eoefü- zienten dieser Funktion konnten von den Parametern px ab- hängen, welche die Lage der Antriebspunkte bestimmen, und deren Differentialquotienten nach der Zeit die qx sind. Nehmen wir außer der kinetischen Energie noch eine potentielle Energie U an, so ist eine innere; an dem Antriebspunkte an- greifende Kraft
hinzuzufügen; so daß das Gleichgewicht der inneren Kräfte und der äußeren Ejräfte Px in der Gleichung
seinen Ansdrack findet Setzen wir jetzt
190 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
and berücksichtigen, daB die potentielle Energie U von den Geschwindigkeiten px unabhängig ist, so finden wir
Aus einer solchen Lagrangeschen Gleichung läßt sich nun formal unsere Bewegungsgleichung (116) ableiten. Wahlen wir als ^^Antriebspunkt'^ etwa den Mittelpunkt des Elektrons, so ist px mit dem durchlaufenen Wege $ zu identifizieren,
qx mit 2-f9 d. h. mit |ti|, während Px die äußere, der Bewegungs- richtung parallele Ejraftkomponente Af ist. Da nun in dem Yorliegenden Falle die Lagrangesche Funktion von dem durch- laufenen Wege s unabhängig ist, so geht in der Tat die Lagrangesche Gleichung (116a) in (116) über.
Wählen wir anderseits für px einen Parameter, welcher die Konfiguration eines gleichförmig bewegten Systemes elek- trischer Ladungen bestimmt, so ergibt (116a)
(116b) || + p, = 0.
Auch diese Beziehung stimmt mit unserer Theorie überein. Denn wir hatten in § 18 gezeigt, daß die inneren Enlfte, die in einem gleichförmig bewegten Systeme von Ladungen wirken, sich aus einer Kräftefunktion V ableiten lassen; diese Kräfte- fimktion, deren Abnahme der Arbeit der inneren Kräfte gleich ist, war, nach (104b), entgegengesetzt gleich der Lagrangeschen Funktion L. Es stellt also auch in unserer Theorie (116 b) die Bedingung des Gleichgewichtes der inneren und der äußeren Kräfte in einem gleichförmig bewegten Systeme elektrischer Ladungen dar.
Sucht man, mit Maxwell und Hertz, die Gesetze der Elektrodynamik aus den Prinzipien der Mechanik abzuleiten, so muß man im elektromagnetischen Felde verborgene Be- wegungen träger Massen annehmen. Identifiziert man die magnetische Energie mit der kinetischen, die elektrische mit der potentiellen Energie dieser Massen, so gelangt man auf Grund der Lagrangeschen Gleichungen in der Tat zu Ergeb-
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. IQ\
nissen^ welche der Form nach mit denen tmserer Theorie durchaus übereinstimmen. Es ist indessen zu bemerken, daß in der analytischen Mechanik die kinetische Energie T als Funktion zweiten Ghrades der Geschwindigkeiten der Antriebs- punkte angenommen; die potentielle Energie ü als unabhängig von der Geschwindigkeit betrachtet wird. In dem vorliegenden Falle hingegen sind T und U Funktionen der Geschwindigkeit des Elektrons, T aber keineswegs eine Funktion zweiten Gh*ades. Wir befinden uns demnach keineswegs auf dem Boden der Annahmen, von denen die analytische Mechanik ausgeht. Dennoch haben wir, von den Grundgleichungen (I bis VII) der Mechanik der Elektronen ausgehend, wenigstens für stationäre und quasistationäre Bewegungen, die Lagrangeschen Gleichui^en als gültig erwiesen. Wir haben gezeigt, daß in unserer rein elektromagnetischen Dynamik des Elektrons die Lagrangeschen Gleichungen gelten. Dadurch haben wir den Gültigkeitsbereich der Lagrangeschen Mechanik wesentlich erweitert, indem wir ihn von langsamen Bewegungen, bei denen T eine quadratische Funktion der Ge- schwindigkeit ist, auf beliebig rasche Bewegungen (mit Unterlicht- geschwindigkeit) ausgedehnt haben. Wir haben femer in der Dynamik des einzelnen Elektrons den Grundgedanken des elektromagnetischen Weltbildes (§ 16) zur Durchführung ge- bracht, welcher fordert, nicht die elektrische und magnetische Energie auf die potentielle und kinetische Energie der Mechanik, sondern umgekehrt die kinetische und die potentielle Energie auf die magnetische und elektrische Energie zurückzuführen. Wir kehren nunmehr zum speziellen Falle des kugel- förmigen Elektrons zurück. Wir setzen für den Betrag des Impulses den in (113 a) erhaltenen Wert ein und berechnen auf Grund der Formeln (115) und (115 a) die longitudinale und die transversale Masse. Wir finden
(.17.) ^_^,J,j(Ui)^.(l±D-.).
192 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Für Geschwindigkeiten.; die so klein sind gegen die Licht* gescbwindigkeit^ daß ß^ gegen 1 zu yemachlä^sigen ist, ergibt sich als gemeinsamer Grrenzwert der longitadinalen und der transversalen Masse
(117b) «»0 - I *'
8 ac^
Die Formeln (117, 117a, b) gelten im Falle der Flächenladung.
Im Falle der Yolumladung, wo die Bewegungsgröße im Verhältnis 6 : 5 vermehrt ist, sind alle drei Ausdrücke mit diesem Faktor zu multiplizieren. Es wird z. B.
Wir fassen beide Fälle, den der Flächenladang and den der Yolumladung des kagelförmigen Elek- trons, zusammen, indem wir schreiben
(117d)
z(^) = ^{-il" (^9 + 1^1
(117e)
»»r = »»o — ^(j8),
*w=plC-^'"(^S)-M
Für m^ ist hier im Falle der Flächenladung der Wert
(117 b), im Falle der Volumladung der Wert (117 c) zu setzen.
Für die spezifische Ladung langsamer Kathodenstrahlen folgt
im ersteren Falle
e 3 ac
woraus sich für den Badius des Elektrons ergibt
2 6
Wir führen hier den in Gleichung (2) angegebenen Wert des elektrischen Elementarquantums und den unten in Glei- chung (123) angegebenen Wert der spezifischen Ladung ein:
{-»lO-*», %-l,75.m
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 193
Wir erhalten dann (118) a = 1,2 . 10""^' cm (Flächenladimg).
Im Falle der Yolnmladnng ist dieser Wert mit 6 : 5 zu mnltiplizieren; es wird
(118a) a == 1,4 • 10 cm (Volumladung).
Diese Zahlen sind natürlich mit denselben Fehlem be- haftet, wie die Bestimmungen von e und ri^. Immerhin kann man wohl behaupten: Der Radius des Elektrons ist, wenn man die Masse als rein elektromagnetisch an- nimmt, in die Grenzen
10""^* < a < 2 . 10"^'
einzuschließen. An Stelle der Formeln (117d, e) kann man auch die Beihenentwickelungen setzen
(118b) w, = mo(l+ |/J«+ y i8^+ yi3« + ...),
(118c) ^,= m,[l + ^^« + ^^4 + ^^e + ...j.-
Für Unterlichtgeschwindigkeit — » und nur hier gelten die Formeln (117d, e) überhaupt — sind diese Reihen kon- vergent. Man sieht, daß bei rascher Bewegung die longitudinale Masse stets größer ist, als die transversale. Wirkt eine Kraft schief zur Bewegungsrichtung, so ist die Be- schleunigung keineswegs der Kraft parallel; der Beschleunigungsvektor schließt vielmehr, da die longitudinale Trägheit die transversale überwiegt, mit der Bahntangente im allgemeinen einen größeren Winkel ein, als der Ejraftvektor. Nur wenn die Kraft parallel oder senkrecht zur Bewegungs- richtung wirkt, stimmen Kjraft und Beschleunigung der Rich- tung nach überein. Die Masse ist eben in der Dynamik des Elektrons kein Skalar, wie in der gewöhnlichen Mechanik. Die Kraft ist hier eine lineare Yektorfunktion (vgl. I, § 14) der Beschleunigung von allgemeinerer Art. Die „elektro-
Abraham, Theorie der Elektrizitftt. IL 13
X94 Erster Absclmitt. Das Feld tu die Beweg^ong der einzelnen Elektronen.
magnetische Masse ^^ ist das Eoeffizieutensystem der Oleichungen, welche die Eraftkomponenten durch die Beschleunigungs- komponenten ausdrücken. Das System der elektromagne- tischen Massen ist ein Tensortripel von rotatorischer Symmetrie nm die Bewegungsrichtnng des Elektrons; es ist etwa zn vergleichen dem Systeme der Trägheitsmomente eines Rotationskörpers^ welches gleichfalls dn{ch zwei Grroßen, das Moment nm die Rotationsachse und um eine zu ihr senk- rechte Achse, erst bestimmt wird;' es ist in entsprechender Weise geometrisch darzustellen.
§ 21. Die Ablenkbtiurkeit der Zathodenetralileii
und der /J-Strahlen«
Bei schnellen Eiathodenstrahlen und bei der sogenannten /}- Strahlung radioaktiver Körper hat man es mit negativen Elektronen zu tun, deren Geschwindigkeit keineswegs klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist; hier kommt die Unter- scheidung der longitudinalen und der transversalen Masse in Betracht. Für die Ablenkbarkeit der Strahlen ist selbst-
9
verstandlich die transversale Masse mr und die entsprechende ^transversale spezifische Ladung^^
(119) nr "
cm.
r
maßgebend. Dabei ist e der elektrostatisch gemessene Betrag der Ladung.
Werden die /}- Strahlen durch ein zur ursprünglichen Strahlrichtung senkrechtes magnetisches Feld abgelenkt^ so ist die Bahnkrümmung gemäß Oleichung (7)
(119a) i—lr-^^'
Die Oeschwindigkeit bleibt bei der Bewegung im mito- tischen Felde konstant, da die im magnetischen Felde auf die Elektronen wirkende Eraft stets senkrecht zur Bewegungs- richtung gerichtet ist; der einzige Unterschied gegenüber
Drittes EapiteL Die Mechanik der Elektronen. 195
langsamen Eathodenstrahlen liegt hier darin^ daS fjr eine Funktion der Geschwindigkeit ist. Es ist nach (117 e)
Bei der Bewegung im elektrischen Felde liegt die Sache komplizierter. Zunächst ist der Zuwachs der Energie auf einem gewissen Wege der Arbeit der elektrischen Kraft gleich. Die Geschwindigkeitsänderung des negativen Elektrons auf einem gewissen Wege ist demgemäß im! elektrostatischen Felde be- stimmt durch
(120) TT- TT, = 6(9,-^0),
wo gemäß (113 b) und (117 b) zu setzen ist
(120a) Tr-Tro-i«»oO'{^ln(^^-iln(Ü&)).
Ist die ursprüngliche Geschwindigkeit cß^ bekannt und die durchlaufene Spannungsdifferenz'; so ist die Endgeschwin- digkeit cß aus der transzendenten Gleichung zu berechnen
Für kleine Werte von ß^ und ß gilt naherungsweise (120c) /j» + A/}*...= /j,« + i^,*+... + B^(y_y,);
yemachlässigt man hier ß*" gegen ß^^ ß^^ gegen ß^^ so gelangt man zur Gleichung (5 a) zurück. Aber auch bei Eathoden- strahlen wird maU; wenn es sich um genaue Messungen handelt^ gut tuU; die Gleichung (120c) an Stelle von (5a) zu setzen« Liegt etwa der in § 2 erörterte Fall yor^ daß den Eathoden- strahlen durch ein elektrostatisches Feld ihre ganze Geschwin- digkeit erteilt worden ist, so ist in (120 c) ß^ gleich Null zu setzen. Tritt der Eathodenstrahl nun in ein magnetisches Feld ein, so bestimmt sich die Bahnkrümmung aus (119 a), wobei derjenige Wert Ton rir in Bechnung zu ziehen ist,
13*
X96 Irrster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
welcher dem ans (120 c) zu ermittelnden Werte yon ß nach (119 b) entspricht.
Bei geradliniger Bewegung im longitudinalen elektro- statischen Felde reicht die aus der Energiegleichung abgeleitete Relation (120b) aus. Besitzt indessen das elektrische Feld auch eine transversale Komponente^ so bestimmt die Energie- gleichung nicht vollständig die Bewegung; es ist die Impuls- gleichung heranzuziehen. Diese ergibt, für die Ladung - e:
t
(121) e - ®o' — ^f^'' ^i-
Handelt es sich um ein homogenes äußeres elektrisches Feld, wie es sich zwischen zwei Kondensatorplatten herstellt, so ist
(121a) ® - ®^ « - ar (^ - g
die Änderung des Impulses des negativen Elektrons. Die Be- wegungsrichtung des Elektrons ist stets seinem Impulse parallel;, daher folgt aus (115a) und (117 e)
so daß (121a) zu schreiben ist
(121b) t.^(^) - t,,i>{ß,) = - ici?or (<-o.
Kennt man die anföngliche Geschwindigkeit IIq und di& Zeit, während deren das negative Elektron das homogene Feld durcheilt, so ist aus dieser Beziehung die Endgeschwindigkeit ii der Gfroße und der Richtung nach bestimmt.
Auch ein zur ursprünglichen Bewegungsrichtung senk- rechtes elektrisches Feld ändert, im Gegensatz zu dem magne- tischen Felde, den Betrag der Geschwindigkeit, weil im Verlaufe der Bewegung ii eine zu S" parallele Komponente erhalt. Ist in- dessen die Ablenkung des Strahles durch das transversale elek- trische Feld nur gering, so kann man die Änderung des Betrages der Geschwindigkeit vernachlässigen und an Stelle^ von (121b) die vereinfachte Beziehung setzen
Drittel Kapitel Die Mechanik der Elektronen. 197
(121c) (l«-l«o)^OJ) = -|<'%«"(<-<o), •
indem man ß als konstant ansieht. Ist etwa die o;- Achse der ursprünglichen Bewegnngsrichtong parallel, so gilt in diesem GfrenzfaUe nnendlich geringer Ablenkung femer
xmi, wenn (B^ parallel der negativen y-Achse weist,
Es folgt daher als gesamte, beim Durchlaufen des elek- trischen Feldes stattfindende Ablenkung parallel der j^-Achse
(121 d) y - cvr ir I ^^ = Cfjr I r I ^^=i^'-
Die unendlich kleine elektrische Ablenkung ist bei langsamen Eathodenstrahlen dem Quadrate der Geschwindigkeit umgekehrt proportional, die magne- tische der Geschwindigkeit. Letzteres folgt aus (119a), da eine unendlich kleine Ablenkung im magnetischen Felde dem Krümmungsradius R umgekehrt proportional ist. Bei den Badiumstrahlen hingegen nehmen beide Ablen- kungen stärker mit wachsender Geschwindigkeit der Strahlen ab; denn es nimmt die transyersale spezi- fische Ladung rir, nach (119b), mit wachsender Ge- schwindigkeit ab.
Durch Kombination von (119 a) und (121 d) folgt
(122) -7- - /» = Tgönp • —2— • ^
(122a) fir = Vos:;^^ = j^ 2 ^•
Es kann also durch Kombination der magne- tischen und der elektrischen Ablenkung sowohl die Geschwindigkeit, als auch die transversale spezifische Ladung ermittelt und so die von der Theorie gefor- derte Beziehung zwischen diesen beiden Größen experimentell geprüft werden.
198 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Beweg^ong der einzelnen Elektronen*
Dieses ,Ziel war es^ welches W. Eaufmann bei seinen Untersuchnngen^) verfolgte. Läßt man die von einem Eömchen Radiumbromid ausgehende Strahlong durch eine kleine Öffiinng treten^ so bildet sich die Öffiiong auf einer senkrecht zur Strahlrichtung gestellten photographischen Platte ab Punkt ab. Bei elektrischer Ablenkung wird; infolge der yerschiedenen Geschwindigkeiten der Elektronen^ das von den /}- Strahlen herrührende Bild in einen der Richtung des elektrischen Feldes parallelen geraden Strich ausgezogen; bei magnetischer Ablenkung er^bt aich ein zur magnetischen Peldrichtnng senkrechter Strich. Die ^^Inhomogenitat^^ der Strahlung macht es unmöglich; auf diese Weise die Ablenkung der einzelnen Strahlteilchen zu bestimmen. Es gelang indessen Kaufmann, gerade die Inhomogenität der Strahlung zur Losung der Aufgabe zu benutzen, indem er gleichzeitig elektrisch und senkrecht dazu magnetisch ablenkte. Bei dieser, der Eundt- schen Methode der Dispersionsmessung durch gekreuzte Spektren entsprechenden Anordnung wurde auf der photo- graphischen Platte eine Kurve erhalten; die Koordinaten eines jeden Punktes der Kurve zeigten direkt die elektrische bzw. die magnetische Ablenkung des betreffenden Strahl- teilchens an. Indem Kaufmann die Strahlen zwischen den Platten eines Kondensators hindurchtreten ließ, welche nur um 1,6 mm voneinander entfernt und auf einer Potentialdifferenz von 7000 Yolt gehalten waren, indem er femer parallel dem elek- trischen Felde gleichzeitig ein magnetisches Feld erregte, er- hielt er photographische Kurven, welche direkt die elektrische Ablenkung eines homogenen /{-Strahles ab Funktion der magnetischen Ablenkung darstellten. Dabei ist zwar, da es sich nicht um unendlich kleine Ablenkungen handelt, die elektrische Ablenkung nicht genau proportional dem in (121 d) berechneten y zu setzen, und die magnetische Ablenkung nicht genau umgekehrt proportional dem in (119a) angegebenen Ej*ümmungsradius Jß. Immerhin lassen sich den auf der photo-
1) W. Kaufmann, Gott. Nachr. 1901, S. 148; 1902, S. 891; 1908, S. 90.
Drittes EapiteL Die Mechanik der Elektronen. 199
graphischen Platte direkt beobachteten Ablenkungen zwei nur wenig von ihnen yerschiedene Gfrößen j/' und Si\ die ^^redu- zierte elektrische Ablenkung^ und die ^^reduzierte magnetische Ablenkung^' zuordnen^ welche den in (122) und (122a) ein- gehenden Gfroßen y und ^ proportional sind; jene beiden Ton der Theorie geforderten Beziehungen lassen sich schreiben
(122b) ^-*i-f'
(122c) ^(/}) ~\'^,-
Die Konstanten \y \ hängen noch Ton den Abmessungen der Apparate, den Feldstärken, femer von ri^ und c ab.
Die Prüfung der Theorie an der Hand der Beobachtungs- ergebnisse wurde schließlich so durchgefOhrt, daß zunächst versucht wurde, durch passende Wahl der Eonstanten \ und \ die gemessenen reduzierten Ablenkungen durch die Formel (117 e) darzustellen. Dieses erwies sich nun in der Tat für jede einzelne der photographischen Kurven als möglich; die maximale Abweichung (1,7 7o) ^^ innerhalb der Fehlergrenze der Versuche. Aus den Werten von i^, \ und der magne* tischen Feldstärke Sonnte sodann die spezifische Ladung i/^ langsam bewegter Elektronen extrapoliert werden. Die im folgenden gegebene Tabelle bezieht sich auf die Platte Nr. 19, welche das klarste und fehlerfreieste Bild lieferte.
Die ersten beiden Zeilen enthalten die gemessenen redu- zierten Ablenkungen z* und y\ Die dritte und vierte Zeile geben die auf Grund der Formeln (122 b, c) von G. Bunge ^) nach der Methode der kleinsten Quadrate berechneten Werte von xjf und /} an. Die Abweichung der beobachteten Werte von j/ von den auf Grund der Formeln (122b, c) ausgeglichenen Werten, welche in der fünften Zeile aufgeführt sind, gestatten ein Urteil über die Genauigkeit, mit welcher die theoretische Formel (117 e) für die transversale Masse gültig ist. Diese Übereinstimmimg ist in Anbetracht des großen Bereiches von
1) C. Bimge, Gott. Nachr. 1903, S. 826.
200 Sniter Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Oeschwindigkeiten — ^{ß) wächst in diesem Bereiche Ton 1;75 bis 4^3 — eine befriedigende zu nennen.
z' |
y' beob. |
y' ber. |
ß |
||
0,1495 |
0,04045 |
0,0388 |
0,990 |
+ 0,0016 |
|
0,199 |
0,0529 |
0,0527 |
0,969 |
+ |
2 |
0,247 |
0,0678 |
0,0675 |
0,939 |
+ |
3 |
0,296 |
0,0834 |
0,0842 |
0,902 |
— |
8 |
0,3435 |
0,1019 |
0,1022 |
0,862 |
3 |
|
0,391 |
0,1219 |
0,1222 |
0,822 |
3 |
|
0,437 |
0,1429 |
0,1434 |
0,782 |
— |
6 |
0,4825 |
0,1660 |
0,1665 |
0,744 |
— |
5 |
0,5265 |
0,1916 |
0,1906 |
0,709 |
+ |
10 |
Der auf Ghrund dieser Tabelle extrapolierte Wert der spezifischen Ladung langsam bewegter Elektronen ist
(123) i?o = 1,765 . 101
Diese Zahl liegt zwischen der direkt durch Beobach- tungen an Kathodenstrahlen erhaltenen (Grleichung 9) und der aus der elementaren Theorie des Zeeman -Effektes abgeleiteten (Gleichung 61). Man darf daher amiehmen^ daß dieselben Teilchen bei diesen drei Vorgängen in Bewegung begriffen sind.
Es wäre von großem Interesse^ die Eluft^ welche noch die raschesten Kathodenstrahlen Ton den langsamsten /}- Strahlen trennt, zu überbrücken. Einen Versuch in dieser Richtung hat H. Starke unternommen.^) Er wandte größere EnÜadungs* Potentiale als üblich zur Erzeuiruncr der Kathodenstrahlen an:
von 36 000 Volt, d. h. bis zu einer Geschwindigkeit von wenig mehr als einem Drittel der Lichtgeschwindigkeit. Es ergab sich ein merkUches Ansteigen der transversalen Masse mit wachsender Geschwindigkeit, entsprechend der Forderung der Theorie. Da indessen die Funktion ^(/3), welche nach unserer
1) H. Starke, Yerh. d. deutsch, physikal. Ges. 1908, S. 241.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 201
Theorie dieses Anwachsen der Masse darstellt ^ in dem Inter- valle Ton /J = 0 bis ß=^Y ^^^ ^°^ ^ ^/o ®^^^ ändert und die Messungen mit einem Fehler von 2% behaftet sind, so ist diese Übereinstimmung kaum als beweisend anzusehen. Immerhin ermutigen diese Versuche dazu^ durch künstliche Beschleunigung der Eathodenstrahlen oder Yerlangsamung der
1 2
/}- Strahlen das Intervall von /J = y bis /J^y auszufüllen
und so den Anschluß an die Messungen Kaufmanns zu er- reichen.
§ 22. Das LorentBBdhe Elektron.
Gewisse Schwierigkeiten^ welche in der Optik bewegter Körper auftreten (vgl. § 44)^ haben H. A. Lorentz veranlaßt^); xmserer auf der kinematischen Grundhypothese (VIL) fußenden Dynamik des Elektrons eine andere gegenüber zu stellen^ welche diese Grundhypothese aufgibt. H. A. Lorentz behalt nicht nur die allgemeinen Grundgleichungen (I bis Y) bei, sondern auch die dynamische Ghrundgleichung (YTjy welche verlangt ^ daß die resultierenden elektromagnetischen Kräfte des äußeren und des vom Elektron selbst erregten Feldes einander im Sinne der Mechanik starrer Körper das Gleichgewicht halten. Er nimmt indessen das Elektron nicht als ,, starr ^ an, sondern Ulßt eine Formänderung desselben zu. Im Ruhezustände soll das Elek- tron eine Kugel vom Eadius a sein; bei der Bewegung aber soll es sich parallel der Bewegungsrichtung im Verhältnis
kontrahieren. Das gleichförmig translatorisch bewegte Elektron soll demnach ein Heaviside-Ellipsoid sein. Wir wollen die Lagrangesche Funktion^ sowie die elektro- magnetische Energie und Bewegungsgröße eines solchen Lorentzschen Elektrons berechnen. Das elektromagnetische Feld bestimmt sich aus den Ansätzen des § 18; die Anwendung
1) H. A. Lorentz. E. Akad. van Wetensch. te Amsterdam, 12, S. 986, 1904; vgl. auch M. Abraham. Physik. Zeitschr. (6), S.676, 1904.
202 Irrster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen«
der dort gegebenen Transformation (105) gestaltet sich hier besonders einfach. Das bewegte System U ist ein Heaviside- Ellipsoid; geht man durch Streckimg parallel der Bewegnngs- richtung im Verhältnis x~^ zum ruhenden System 2^ über, so erhält man eine Eugel vom Radius a. Die Energie dieser Kugel ist, im Falle der Flachenladung,
(124) J7o»/^«S==f,.
Die Lagrangesche Funktion, welche nach (104b) im Falle gleichförmiger Bewegung der Sjraftefnnktion entgegengesetzt gleich ist, wird, gemäß (106 d),
(124a) |
L= xD-o- Xg^- |
Femer folgt aus (102) und (106) |
|
(124b) *=^9>o, |
|
und daher ans (101 d) und (105) |
|
(124c) |
• ^ a« 1 a?», 1 ^ *"" ay "•"xayo"«^"' « a* 1 ^9>o_ iffi *' dz — xdz^ ic^'- |
Hieraus und aus (101 f) bestimmt sich die a;-Eomponente des Vektors g, welcher die Dichte der elektromagnetischen Bewegungsgroße anzeigt:
Durch Integration über das Feld des Systemes U, dessen Volumelemente denen des ruhenden Systemes 2^ durch (105) zugeordnet, und daher im Verhältnis
dvidvQ^x verkleinert sind, folgt
(124d) e.~fdvi,==-J^-fdv,m,+ (&U
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 203
Beachtet man femerji daß in 2^ das Feld dasjenige einer ruhenden Kngel ist^ daß mithin aus Symmetriegründen
gilt^ so erhalt man
/SK+«.l-i/g<^
fOi.
Der Betrag des der Bewegungsrichtong des Heaviside- Ellipsoides parallelen Vektors ® wird demnach
(124e) l®l=|Ä?^o = |^.^' {x^yi^}.
Aus der so bestimmten elektromagnetischen Bewegungs- größe folgt, auf Grrund der allgemeinen Beziehung (103), die doppelte magnetische Energie
(124f) 2T=|^V
Hieraus und aus (124a) erhält man, für die gesamte elektromagnetische Energie des Heaviside-Ellipsoides, den Ausdruck
(124g) Tr=2T-L = ^(l + f).
H. A. Lorentz nimmt nun an, daß die träge Masse des Elektrons rein elektromagnetischer Art ist; demgemäß zieht er, neben der elektromagnetischen Bewegungsgröße (124e), eine materielle Bewegungsgröße nicht in Bechnung. Er erhalt auf Grrund der Pormehi (115) und (115a), für die longi- tudinale und transversale Masse
2
(125) m, - mo- x-» = m^^ (1 - /J^)
1.
(125a) mr = mo-x-^ = mo-(l-/JO *;
m^ stellt dabei den gemeinsamen Grenzwert beider Massen bei langsamer Bewegung Tor, der im Falle der Flächenladung durch (117b), im Falle der Volumladung durch (117c) ge-
204 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
geben wird. Nach dem in § 18 bewiesenen Satze geht der Wert Ton Üq im Falle der Yolumladnng ans dem im Falle der Flächenladnng gültigen Werte durch Multiplikation mit % herror; mit demselben Faktor sind demnach die Ausdrücke der Lagrangeschen Funktion (124a)^ der Bewegungsgröße (124e) und der elektromagnetischen Energie (124 g) beim Übergang zur Volumladung zu multipKzieren.
Versucht man^ die longitudinale elektromagnetische Masse des Lorentzschen Elektrons auf Grrund der Formeln (llöb) und (124g) zu berechnen^ indem man annimmt; daß die Energie des Elektrons rein elektromagnetischer Natur ist^ so gelangt man zu einem Ergebnis ^ welches zu (125) in Widerspruch steht. Das kann nicht wundernehmen; haben wir doch in § 19 gesehen^ daß die Belation (111b); welche die Identität der aus der elektromagnetischen Energie und aus der elektro- magnetischen Bewegungsgröße abgeleiteten Werte der Masse ausspricht; auf der Annahme einer unveränderlichen Ladungs- yerteilung beruht. Für das Lorentzsche Elektron^ welches der Ghrundhypothese (VII) nicht gehorcht, gilt diese Relation ebenso- wenig, wie die Gleichungen (111) und (lila), welche Impuls und Energie mit der Lagrangeschen Funktion yerknüpfen. In der Tat, nach (124a) ist
,^^ß. dL e* ß e« IUI 3
während nach (124e) und (125a)
ist.
Während für das „ starre ^^ Elektron die Differenz dieser beiden Grrößen yerschwindet, hat sie für das deformierbare Elektron den von Null yerschiedenen Wert
(126a) ^-l©| = _i^„.lll = _|«,.|tt|.
Da nun allgemein gilt:
Tr-2T~Z«|ii|.|®l-i,
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 205
80 folgt
1 äW d\%
Hieraus ersieht man, daß (115) und (115 b) nicht zu dem- selben Werte der longitudinalen Masse f&hren können. Be- stimmt man die Masse durch die elektromagnetische Bewegungs- größe, so ist, fQr das Lorentzsche Elektron, (115 b) zu ersetzen durch
Da die longitudinale Masse des Lorentzschen Elektrons sich nicht aus der elektromagnetischen Energie allein ableiten läßt, so müssen wir, um das Energieprinzip aufrechtzuerhalten, diesem Elektron eine innere Energie £ nicht elektromagnetischer Art zuschreiben. In der Tat, es soll sich ja das Elektron bei einer Zunahme der Greschwindigkeit abplatten; dabei wird gegen die elektrodynamischen Ejräfte, mit denen sich dieYolum- elemente abstoßen, Arbeit geleistet. Während für das starre Elektron die Zunahme der elektromagnetischen Energie gleich der Ton der äußeren Ejraft 9t geleisteten Arbeit ist, findet das hier nicht mehr statt. Die Zunahme der elektromagnetischen Energie bei einer Beschleunigung ist, für das Lorentzsche Elektron, größer, als die Arbeit der äußeren Kräfte.
Die innere Energie J?, durch deren Annahme man das Energieprinzip aufrechterhalten kann, darf nicht als kinetische Energie im Sinne der gewöhnlichen Mechanik betrachtet werden; denn in diesem Falle würde jede Berechtigung dafür wegfallen, daß Bewegungsgröße im Sinne der gewöhnlichen Mechanik nicht angenommen wird. Immerhin kann E von der Geschwindigkeit abhängen, da ja diese die Form des Elektrona bestimmt. Die Energiegleichung verlangt
(127) ^^^'-(fr),
und der Impulssatz
(127a) ^ = «-
206 JSrster Absohnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Durch Eombination dieser beiden Sätze erbalt man
d{W+E} / d9\
dt ^V dt)' oder
(127b) (©|>) = ^ ((!,«) -TT-^j.
Für gleichförmige Bewegung ist nun
(p(S)^W^2T-W^T^U^L.
Für quasistationare Bewegungen wird diese Beziehung als gültig angesehen; und es wird L, wie E, als Funktion der jeweiligen Geschwindigkeit betrachtet. Es wird mithin
cm«) '-^-%f^-'-^-
Da ferner^ bei stationärer und quasistationarer Bewegung^ für das Lorentzsche Elektron aus Symmetriegründen der Impuls parallel der Bewegungsrichtung ist^ so gilt
(127d) (®i^) = l®
dt
Nach (127b) sollen nun die Ausdrücke (127c) und (127 d) einander gleich seiu; und zwar für beliebige Werte der Be- schleunigung; hieraus folgt die Relation
(128) |®|_^(^-^.
(flu
Dieselbe ist als Verallgemeinerung der Relation (111) an- zusehen; sie geht in jene über, wenn man eine Energie E nicht elektromagnetischer Art ausschließt
Hier tritt der bereits in § 16 erörterte Zusammenhang der kinematischen Grrundgleichung (VII) mit dem Grund- gedanken des elektromagnetischen Weltbildes deutlich herror. Für das starre Elektron gilt (111) allgemein^ es folgt daher
aus (128)
dE
d. h. eine etwa angenommene Energie nicht elektromagnetischer Art würde bei einer Änderung der Geschwindigkeit sich nicht
DritteB Kapitel« Die Mechanik der Elektiroiieii. 207
Sndem. Etwa angenommene innere Kräfte nicht elektro- magnetischer Natnr würden dabei keine Arbeit leisten. Unsere auf der Grondgleichnng (Vli) fiißende Dynamik des Elek- trons braucht daher solche Enlfte und eine solche Energie nicht einzuführen; eine ^^potentielle'' Energie ebensowenig^ wie eine kinetische. Die Lorentzsche Dynamik des Elektrons sieht gleichfedls die träge Masse als rein elektromagnetische an, und schließt daher eine kinetische Energie im Sinne der gewöhn- lichen Mechanik aus. Sie muß indessen eine ^^potentielle'' innere Energie des Elektrons einführen. Aus (128), im Verein mit (126a) und (126), folgt:
/ioo \ dE 1 IUI 1 dL
und, durch Integration,
(128b) E = E,-^(L-L,y,
hier sind Eq, L^ die Werte, welche E und L für das ruhende Elektron besitzen. Aus (124a) folgt
(128c) i;-^o-|l(l-x).
Diese Formel gibt an, wie die „potentielle" Energie des Lorentzschen Elektrons mit wachsender Geschwindigkeit ab- nimmt. Für Lichtgeschwindigkeit, wo dasselbe in eine Ereis- Scheibe übergeht, wird x gleich Null, mithin die potentielle Energie
(128d) F.,^^-^a
Wir können daher auch schreiben
««X
(129) ^--^1+6«
Diese potentielle Energie nicht elektromagne- tischer Art muß man dem Lorentzschen Elektron zu- schreiben, wenn man das Energieprinzip aufrecht- zuerhalten wünscht.
Bei diesem Ergebnis wird man sich kaum beruhigen; man wird yielmehr weiter fragen, nach welchem Gesetz die
208 SSrster Abschnitt. Das Feld o. die Bewegung der einzeliien Elektronen.
iimeredi Kräfte wirken sollen^ die sich ans einer solchen potentiellen Energie herleiten. Nur indem man hierüber be- stimmte Annahmen macht, wird man über das Verhalten des Lorentzschen Elektrons bei allgemeineren Bewegungen (nicht qnasistationaren oder nicht rein translatorischen) etwas Be- stimmtes aussagen können. Man kann daran denken, elastische Ejrafte zwischen den benachbarten Yolumelementen des Elek- trons anzunehmen, und eine Theorie des deformierbaren Elektrons Ton der in § 16 angedeuteten Art zu entwickeln. Eine solche Theorie würde die Trägheit des Elektrons erklaren, aber nicht rein elektromagnetisch; sie würde die kinetische Energie zurückfahren auf die weniger gut yer- standene potentielle Energie und auf die elektromi^etische Energie. Auf einer solchen Dynamik des Elektrons laßt sich kein elektromagnetisches System der Physik aufbauen. Wenn man in die Dynamik des Elektrons elastische Kräfte ein- führt, so ist es logisch unmöglich, die Elastizität der Materie durch Zurückf&hrung auf die Mechanik der Elektronen rein elektromagnetisch zu deuten.
H. A. Lorentz hat gezeigt, daß die Formel (125 a) fär die transyersale Masse die Versuche Kaufmanns nicht wesent> lieh schlechter darstellt, als unsere Formel (117 a). Es ist zu hoffen, daß weitere experimentelle Untersuchungen darüber entscheiden, welche yon den beiden Theorien in dieser Hinsicht den Vorzug verdient. Sollte die Entscheidung zugunsten des Lorentzschen Elektrons fallen, so würde dieses Ergebnis gegen die Möglichkeit eines rein elektromagnetischen Weltbildes Zeug- nis ablegen. Die HofiGaung, in den Elektronen die kleinsten Bausteine des Weltgebäudes gefunden zu haben, würde dann als. fehlgeschlagen zu betrachten sein.
§ 23. Der Bereich der quasistationSren Bewegung.
Im ersten Bande dieses Werkes wurde gegen die Theorie des quasistationaren Stromes ein Einwand gemacht; es wurde mehrfach betont, daß diese Theorie von dem Energieyerlust
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 209
durch Strahlung keine Rechenschaft gibt. Derselbe Einwand ist gegen die in den yorangegangenen Paragraphen dargelegte Theorie der qnasistationaren Elektronenbewegung zu erheben. Diese Theorie bestimmt die Energie nnd den Impuls des vom Elektron erregten Feldes so, als ob sie der jeweiligen Geschwindigkeit des Elektrons entsprächen. Bei periodischen Bewegungen fuhrt diese Behandlungsweise zu der Konsequenz^ daß nach dem Ablauf einer Periode die Energie und die Be- wegungsgröße des Feldes zu den Anfangswerten zurückgekehrt seien^ daß also das Wegintegral und das Zeitintegral der äußeren Ejrafk für eine ganze Schwingung gleich l^uU sei. Das ist nun, wie im zweiten Kapitel dieses Bandes dargelegt wurde, keineswegs der Fall; auch bei periodischen Bewegungen ist das Wegintegral und im allgemeinen auch das Zeitintegral der äußeren Kjraft von Null verschieden. Die Arbeitsleistung und der Impuls der äußeren Kraft findet sich in der Energie und der Be- wegungsgröße der entsandten Wellen wieder. Die entsandte Wellenstrahlung ist es eben^ die man vernachlässigt, wenn man die beschleunigte Bewegung des Elektrons als quasistationär betrachtet.
Die Entwickelungen des vorigen Kapitels gestatten es uns, diese Lücke unserer Theorie sogleich auszufüllen. Haben wir doch in Gleichung (85) des § 15 den allgemeinen Ausdruck für die Bückwirkung der Strahlung angegeben. Wir setzen jetzt für die gesamte, vom Elektron auf sich selbst ausgeübte Kraft
(130) « = «'+«",
indem wir unter
(130a) JF ^
die nach den Ansätzen der vorigen Paragraphen berechnete Kjraft verstehen, unter
(130b) «"-«•
aber die in (85) angegebene Reaktionskraft der Strahlung. Dabei ist zu bemerken, daß ®, der Impuls des vom Elektron mii^eführten Feldes, von den über die Form des Elektrons
Abraham, Tlieorie der Elektrizität. IL 14
210 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegnng der einzelnen Elektronen.
gemachten Annahmen abhangt, wahrend die Rückwirkung der Strahlung sich ohne solche Annahmen angeben ließ, wenigstens dann, wenn es gestattet war, das Elektron hinsichtlich der entsandten Wellenstrahlnng als einer PonkÜadnng äquivalent zu betrachten. Alsdann erfüllt der Ansatz (130) für die innere Kraft allgemein die Energiegleichung und die Impulsgleichung; denn die Arbeitsleistung der Zusatzkraft S^ ist, wie aus den Entwickelungen des § 15 hervorgeht, für ein Intervall beschleunigter Bewegung entgegengesetzt gleich der in diesem Intervalle ausgestrahlten Energie, das Zeit- integral von St' entgegengesetzt gleich der ausgestrahlten Be- wegungsgröße. Bestimmen wir die Bewegung des Elektrons aus der korrigierten Bewegungsgleichung
(130c) r = - « » ^ - «',
so sind wir von vornherein sicher, in keinen Widerspruch mit dem Energieprinzip oder dem Impulssatze zu geraten. Wir fassen eine Bewegung ins Auge, die zuerst gleichförmig mit der Geschwindigkeit ü^ verlauft, dann in beliebiger Weise be- schleunigt wird, und weiterhin wieder stationär mit der Ge- schwindigkeit ^ vor sich geht. Wir warten so knge, bis die entsandten Wellen sich hinreichend weit von dem (mit Unter- lichtgeschwindigkeit bewegten) Elektron entfernt haben. Inner- halb des von der Wellenzone eingerahmten Raumes besteht dann das Feld, welches der Geschwindigkeit ü, entspricht und dessen Energie und Impuls W^ bzw. iS^ sind. Die Energie und die Bewegungsgröße des außerhalb der WeUenzone liegenden Feldes kommen nicht in Betracht. Werden für die Energie W^^ ^^^ ^^^ Impuls O^, der WeUenzone die im vorigen Kapitel gefundenen Werte eingesetzt, so gilt allgemein
(130 d) f/t'^dt = ©3- ©1+ ©13,
1
8
(130e) fi^ft'') dt «TTj-TFi+Fia,
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 211
wenigstens für unser starres Elektron. Beim Lorentzschen Elektron ist^ wie wir soeben gesehen haben^ noch die Ände- rong der ^^inneren potentiellen Energie'^ in Rechnung zu setzen.
Wir sind jetzt in der Lage, den Gültigkeitsbereich der quasistationaren Bewegung anzugeben: Wir dürfen die Be- wegung als quasistationäre behandeln, wenn gegen die so berechnete innere Kraft St' die Beaktions- kraft St" der Strahlung verschwindet.
Betrachten wir etwa eine ELreisbewegung, wie sie die Elektronen der Radium -Strahlung in einem zur ursprünglichen Strahlrichtung senkrechten magnetischen Felde ausführen. Hier ist der Betrag der Trägheitskrafk der quasistationaren Bewegung für das starre kugelförmige Elektron nach (117e)
(131) |«'| = ^,i-^ = ^„|l^^(^).
Die Reaktionskrafk der Strahlung aber ist nach Glei- chung (88)
so daß man erhalt
(131a) l«"l-JoW'' »*-l-^».
Setzt man fQr mg den im Falle der «Flachenladting gültigen Wert (117b), so folgt
(131b) irhKfHll-^.
Für Bewegungen; die der Lichtgeschwindigkeit nicht gar zu nahe kommen^ ist die eingehende Funktion von ß keine große Zahl. Hier verschwindet der Betrag von ft" gegen den von Sfj falls der Krümmungsradius 12 der Bahn groß gegen den Radius des Elektrons ist. Wir sehen also: Die Ab- lenkbarkeit der in den Kathodenstrahlen und in den ^-Strahlen des Radiums bewegten Elektronen darf in allen praktischen Fällen auf Grund der Ansätze der Theorie der quasistationären Bewegung berechnet werden.
14*
212 Si^ster Abschnitt. Das Feld a. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
um zu zeigen^ daß dieses auch f&r die raschesten der Elektronen gilt^ deren Ablenkung man hat beobachten können, ziehen wir die Tabelle des § 21 heran. Für die raschesten der von Kaufmann untersuchten Strahlteilchen war
iJ- 0,990; 1-/3 = 0,01; wir erhalten daher
X* =. (1 - /S«)« = 4 . 10~S t(ß) = 4,3.
Man sieht, daß die Fuxiktion von ß, welche das Ansteigen des Quotienten { II'' | : | II' | bei Annäherung an die Licht- geschwindigkeit bedingt, hier bereits von Bedeutung wird; ihr Wert ist hier
A ^ = 7 7 . 10*
Dafür ist aber der Radius des Elektrons sehr klein gegen den Krümmungsradius der Bahn. Letzterer berechnet sich aus der reduzierten magnetischen Ablenkung
z' - 0,1495 und der von Kaufmann angegebenen Beziehung^)
^, _4^ zu JR = 28cm.
Setzt man endlich für a den unter Annahme von Flachen- ladung berechneten Wert (Gleichung 118) ein, so findet sich
|ft»|:|ftr|,V10'-y-^0-",3-10-"
Die magnetische Feldstarke war hier gleich 200 absoluten Einheiten. Nimmt man nun auch ein 300 mal stärkeres magne- tisches Feld an, so beträgt der bei Annahme quasistationärer Bewegung begangene relative Fehler immer noch weniger als 10~ . Auch die Bewegung der raschesten beobachtbaren /3- Strahlteilchen in experimentell hersteU))aren magnetischen Feldern ist demnach als quasistationär zu betrachten.
1) W. Kaufmann, 1. c. Gott. Nachr. 190S, Gl. 6. S. 96.
Drittes Kapitel. Die Meclianik der Elektronen. 213
Übrigens ist der Ausdruck für die Beaktionskraft der Strahlung^ welcher in § 15 angegeben wurde^ nicht streing gültig; er gilt nur angenähert, und zwar dann, wenn es ge- stattet ist, das Elektron bei der Berechnung der entsandten Wellen einer Punktladung äquivalent zu setzen. Die Bedingung (63 b), unter der dieses gestattet war, lautet
J^i^ß) klein gegen 1.
Für rein transversale Beschleunigung ergibt dies
(132) ^1^ ^®"^ Segen 1.
unter Berücksichtigung der obigen Zahlwerte erhalten wir für diesen Bruch den Wert
21,210"" .^-12
— - — zTä- = 10 ca.
28- 10
Einen so geringen Fehler begeht man, wenn man für die raschesten der von Kaufmann beobachteten Elektronen die infolge der transverälden Beschleunigung stattfindende Strahlung und deren Rückwirkung aus den Ansätzen des vorigen Kapitels berechnet; diese Rückwirkung verschwindet wiederum geg^i die Tmgheitskraft des mitgeführten Feldes.
Je mehr man sich indessen der Lichtgeschwindigkeit nähert, desto größer werden die Zahlwerte der Brüche (131b) und (132); denn dieselben enthalten im Nenner (1 — ßy bzw. (1 — ß). Allerdings wird, wenn man durch eine gegebene äußere Kraft ablenkt, die Bahnkrümmung 1 : B umgekehrt proportional zu ^(/3) bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit abnehmen; aber il^{ß) wird für ^ « 1 nur logarithmisch un- endlich, so daß dieser Umstand nicht so wesentlich ist. Man wird also bei weiterer Annäherung an die Lichtgeschwindig- keit zu einem Punkte kommen, wo die Beaktionskraft der Strahlung nicht mehr gegen die Trägheitskraft des mitgeführten Feldes verschwindet und wo es auch nicht mehr gestattet ist, die Beaktionskraft so zu berechnen, als ob das Elektron ausdehnungslos wäre.
214 Erster Absclinitt. Das Feld n.die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Jene beiden EnLfte sind im Grande nichts anderes^ als die beiden ersten Terme einer Beihenentwickelnng
(133) ^ «-«' + «" + «'" + . • .,
die nach aufsteigenden Potenzen des Eadius a des Elektrons fortschreitet. Der erste Temi; die elektromagnetische Trägheits- kraft/enthält a im Nenner; der zweite enthält a überhaupt nicht; wie er ja von den speziellen ^ über Form und Ladungs- verteilung gemachten Annahmen unabhängig ist. Der dritte Term wird wieder von der Form und Ladungsverteilung ab- hängen und für unser kugelförmiges Elektron a im Zähler enthalten. Da die innere Kraft St durch die Geschwindigkeit und durch die Beschleunigung bestimmt ist^ welche in einem endlichen; dem betreffenden Zeitpunkte vorangegangenen Inter- valle geherrscht haben (vgl. § 17); so ist eine solche Reihenentwicke- lung immer dann möglich; wenn die Bewegung stetig ist und ihre Geschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist. Je weiter man die Beihenentwickelnng führt; desto höhere Diffe- rentialquotienten von ü und desto höhere Potenzen dieser Differentialquotienten werden zu berücksichtigen sein.^) Die Reihe wird um so schlechter konvergieren; je mehr sich die Bewegung einer unstetigen und die Geschwindigkeit der Licht- geschwindigkeit nähert. Ln Falle des oben durchgerechneten Beispieles konvergiert die Reihe noch außerordentlich gut. Für unstetige Bewegungen und für Bewegungen mit Licht- geschwindigkeit oder gar Überlichtgeschwindigkeit versagt sie völlig. Hier müssen zur Berechnung der inneren Ejraft andere Methoden herangezogen werden.
1) Die in den Differentialqnotienten von ll linearen Glieder sind für den Fall der Volmnladnng von G. Herglotz (Gott. Nachr. 1903, S. 367) allgemein berechnet worden. Es ergibt sich die Möglichkeit kleiner, ge- dämpfter Eigenschwingungen des Elektrons auch bei Abwesenheit quasi- elastischer Kräfte. Doch ist die Wellenlänge der langsamsten Eigen- schwingung von der Größenordnung des Radius des Elektrons, so daß eine elektromagnetische Erklärung der Spektrallinien hieraus nicht zu gewinnen ist.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 216
§ 24. Das Feld eines beliebig bewegten Elektrons.
Während wir bisher bei der Integration der Feldgleichungen uns auf gewisse Spezialfälle beschrankt hatten^ nämlich auf den Fall der gleichförmigen Bewegung beliebiger Ladungen und auf den Fall beliebiger Bewegung einer Punktladung, woUen wir jetzt dazu übergehen, das Feld eines beliebig be- wegten Elektrons unter Berücksichtigung der räumlichen Aus- dehnung des Elektrons zu bestimmen. Die allgemeinen Formeln, durch die wir in § 8 die elektromagnetischen Potentiale dar- stellten, werden uns zur Losung dieser Aufgabe führen. Die Formeln (50 a) und (51a) daselbst lauten
(134) d^^X dXjda> q(X,1- A),
(134a) d9L - XdlJd<ot{l, l-X).
Diese Formeln sind noch von jeder Voraussetzung über
die Form und die Ladungsverteilung des Elektrons unabhängig.
Wir wenden sie an auf unser kugelförmiges Elektron vom
Radius a mit gleichförmig verteilter Flächenladung oder Yolum-
ladung.
A. Flächenladung.
Wir verstehen unter R die Entfernung des betreffenden Au^unktes P von dem Mittelpunkte M des Elektrons in
irgendeiner früheren Lage des letzteren*, ^ =» — ist die Zeit, zu
c
X
der das Feld im Aufpunkte bestimmt werden soll, t == — die
Latenszeit. Ist die translatorische Bewegung des Elektrons gegeben, so ist JR als Funktion von X^ et bekannt. Das
Elektron wird nun in seiner zur Zeit < — r = eingenom- menen Lage zum Felde im Aufpunkte nur dann etwas bei- steuern können, wenn die um den Aufjpunkt mit dem Badius X geschlagene Eugel es schneidet. Das ist dann und nur dann der Fall, wenn aus den drei Strecken 12, X und a ein Dreieck gebildet werden kann. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so gibt es keinen Punkt des Elektrons, von dem aus ein Beitrag,
216 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
zur Zeit t entsandt^ nach Darchlanfung des Latensweges X
im Au^unkte zur Zeit t eintrifft. Diese Bedingung
(135) Aus B, X, a ist Dreiecksbildung möglich
ergibt für einen äußeren Punkt die Ungleichung
(135a) B-a£X£B + a,
für einen inneren Punkt hingegen
(135b) a-B£X£a + B.
Dabei ist im Auge zu behalten^ daß es sich um einen im Räume festen Au^unkt handelt, dagegen um ein bewegtes Elektron; es kann daher für die Bestimmung des Feldes zur Zeit t ein und derselbe Aufyunkt bald als äußerer, bald als innerer Punkt gelten, je nach der früheren Lage des Elektrons, welche der betreffenden Latenszeit zuzuordnen ist.
Wir betrachten jetzt das Dreieck aus den Strecken B, X, a (Abb. 3). Es gut
(135c) 2aJRcos«' = i?* + a*-Al
Schreitet man längs der Oberfläche des Elektrons fort, so ändern sich &• und X, während a und 12 konstant bleiben. Man hat demnach
aBsia^d^ » XdX.
Zwei mit den Badien X und X + dX um P geschlagene Kugeln schneiden aus der Oberfläche des Elektrons einen Streifen aus Yon dem Flächeninhalte
Abb. 8.
2:jca^Hin^d^ ^27C^'XdX.
Da die Elektrizität mit der Dichte - — « über die Ober-
fläche verteilt ist, so befindet sich auf jenem Streifen die Elektrizitätsmenge
2ai2
XdX,
Drittes Kapitel Die Mechanik der Elekiaronen. 217
Diese Elektrizitatsmenge, die Yon den beiden benachbarten Engeln l^ X + dX eingeschlossen wird, drückt sich in der Schreibweise der Formel (134) aus durch
X*dlfd(OQ{l,l-l),
Jene Formel besagt; daß der Beitrag zum skalaren Poten- tiale erhalten wird; indem man durch l dividiert. Der Beitrag wird daher
(136) d^ = ^ . f.
um für eine gegebene Bewegung des Elektrons das skalare Potential im Aufpunkte zu bestimmen^ ist nur eine einmalige Integration nach dem Latens- wege A auszuführen; dabei ist für jeden Aufpunkt R als Funktion von X zu betrachten; und es ist die Integration zwischen den durch (135 a, b) bestimmten Grenzen zu nehmen.
Wie die jeweilige Ladungsverteilung; so ist auch der Beitn^ zum skalaren Potential für das allseitig symmetrische Elektron Ton der Rotationsbewegung unabhängig. Was jedoch das elektromagnetische Yektorpotential anbelangt; so sind die Beitrage der elektrizitatserfüllten Yolumelemente hier; statt durch Q, durch
bestimmt; gemäß unserer kinematischen Grundgleichung (VII).
Dementsprechend geht der Translationsbestandteil K^ des
Yektorpotentiales aus dem skalaren Potentiale hervor; indem
ii
die Beiträge aller Yolumelemente mit dem gleichen Faktor -^ multipliziert werden; dabei ist natürlich unter ü^ die Geschwin- digkeit zur Zeit t zu verstehen. Wir erhalten demnach
als Beitrag des von den Kugeln X, X + dX aus dem Elektron herausgeschnittenen Streifens zum Translationsbestandteil des Yektorpotentiales
(136a) d«, = ^^.i^.
218 Elfter Absclmitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Die Bestimmung des Botationsbestandteiles des Yektor- potentiales ist nicht ganz so einfach. Man hat zu berück- sichtigeu; daß der Vektor [ui], der hier an die Stelle von ü^ tritt^ ftir die verschiedenen Punkte des Streifens ein yerschie- dener ist; denn es ist zwar tt, der Vektor der jeweiligen Dreh- geschwindigkeity bei der Integration über den Streifen als fester Vektor zu betrachten^ nicht aber t, der vom Mittel- punkte nach dem betreffenden Punkte der Oberfläche gezogene Badiusvektor. Letzterer kann geschrieben werden
»a cos 9" , . . ^
• — ^ h tj-asm-d-,
wobei unter tt der vom Mittelpunkte M des Elektrons nach dem Aufpunkte P gezogene Fahrstrahl^ unter t^ aber ein zu tt senkrechter Einheitsvektor zu verstehen ist. Es folgt
[ttt] = [tt«] . ^^ + [tttj] . a sin &.
Bei der Integration über den Streifen ist nun der erste Term als konstant zu betrachten; der zweite Term aber fallt bei der Integration heraus^ denn es hat für je zwei Punkte Q und Q^ des Streifens^ die in derselben durch tt gelegten Ebene sich befinden (vgl. Abb. 3); t^ und daher auch [ttt^] die ent- gegengesetzte Bichtung. Es geht demnach der Eotations- bestandteil des Vektorpotentiales aus dem Translationsbestand- teil (136 a) dadurch hervor^ daß
cos 6*
["«]-
an Stelle Ton ttg tritt. Es wird mit Bücksicht auf (135c)
(136b) <i«s-2^4[««]{
2E''
der Beitrag zum Botationsbestandteile des Vektor- potentiales. Um die Integration nach dem Latenswege X aus- zufohreU; müssen natürlich die Vektoren tt und tt in ihrer Ab- hängigkeit von l gegeben sein. Bei der Integration sind nur solche Werte von X in Betracht zu ziehen, welche der Be- dingung (135) genügen.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 219
B. Yolumladung.
Hier sind drei Falle zu unterscheiden, a) Punkt im Innern. Dreiecksbildungen aus B, X, a unmöglich.
Die Kugel X Kegt in diesem Falle ganz im Innern des Elektrons. Von zwei benachbarten Kugeln X und X + dX um P wird die Ladung eingeschlossen
Die Division durch X ergibt als Beitrag zum skalaren Potentiale
(137) d^ = ^XdX.
Il
Durch Multiplikation mit — entsteht der Beitrag zum Translationsbestandteile des Yektorpotentiales
(137a) d%^ = ^XdX\.
Der Beitrag zum Botationsbestandteile des Yektorpoten- tiales ist
d% = —^ 'Q I d(o [ttt]-
t; der Yom Mittelpunkte M des Elektrons nach der Ober- fläche der Kugel X gezogene Fahrstrahl, kann in zwei Yektoren
zerlegt werden, wo tt, der Yektor Jf P, vom Mittelpunkte des Elektrons nach dem Mittelpunkte der Kugel X weist, a aber Yom Mittelpunkte der Kugel X nach dem betreffenden Punkte der Oberfläche. Bei der Integration über die Oberfläche fällt der von a herrührende Anteil von \ni] fort, weil für zwei einander diametral gegenüberliegende Punkte der Kugel a und mithin auch [ua] den entgegengesetzten Wert hat. tt aber ist, ebenso wie tt, bei der Integration über die Kugel konstant zu halten. Es folgt
V
fr
220 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
(137b) dll, = ^^di.[tt«]
als Beitrag zum Botationsbestandteil des Yektor- potentiales.
b) Punkt außerhalb oder innerhalb des Elektrons. Dreiecksbildung aus TL^ l, a möglich. Alsdann gilt
B-a\<l<It + a,
Das ist der Fall, der bei Piachenladung ausschheßHch in Betracht kam und auf den Abb. 3 sich bezieht. Es gilt
Dabei ist
a> == 23r(l--cosi2)
der körperliche Winkel, unter dem das im Innern des Elektrons gelegene Segment (QQ^) der Engel l vom Mittelpunkte P derselben gesehen wird. Es folgt aus dem Dreieck der Abb. 3
2JRAcosi? = ü«+;L*-a*, daher
® = ^^' — 2m —
und
(188) ,»_^.,,.j5!=^l.
Dementsprechend wird (138a) <^«X = ^,'^^-{^^^^§^TV
Was den Botationsbestandteil von K anbelangt, der durch den Vektor [ttt] bestimmt ist, so ist es hier notwendig, den von M nach einem Punkte des Segmentes QQ^ gezogenen Badiusyektor t in einen zum Fahrstrahl 9t parallelen und einen zu ihm senkrechten Vektor zu zerlegen. Der von dem letzteren herrührende Anteil des Vektorpotentiales fallt bei der Inte- gration über das Segment heraus; man erhält demnach
d«3 == IdX^ -J"^^^ • t**]-
^
Drittes Kapitel. Die Meclianik der Elektronen. 221
Ist g der Winkel; den der nach dem betreffenden Punkte
des Segmentes von P aus gezogene Fahrstrahl mit PM ein-
schließt; so ist
(t«)-JR(ii-Xcosg), daher
0
= 2äJR|JR(1-cosi2)-|(1-cos«i2))- Mit Rücksicht auf den oben gegebenen Wert von cos 17:
wird
Nach einigen Umformungen ergibt dies
Jd<a(t«)-^V«,
wobei abkürzungsweise gesetzt ist
Q-
412« 4a*i2«
Nunmehr ist der Beitrag zum Botationsbestandteil des Yektorpotentiales zu schreiben
(138b) d«, = ^|,2.[««].
c) Punkt außerhalb des Elektrons. Dreiecks- bildung aus R, Xy a unmöglich.
In diesem Falle schneidet die um den Au:^unkt mit dem Badius X geschlagene Eugel das Elektron nicht; sondern sie
222 Irrster Abschnitt. Das Feld n, die Bewegung der einzelnen Elektronen.
schließt es ein. Ein Beitrag zu den Potentialen im Ani^nnkt wird nicht beigesteuert.
Es sind demnach bei der Berechnung der elektromagne- tischen Potentiale nur die Falle (a) und (b) heranzuziehen. Die Integration nach X ist auszuführen^ wenn dif Bewegung des Elektrons bekannt ist^ somit tt und Üq, und — was aller- dings nur für den Botationsbestandteil des Vektorpotentiales in Betracht kommt — 11 als Funktion von X gegeben sind.
Die in diesem Paragraphen abgeleiteten Formeln fflr das Feld eines beliebig bewegten Elektrons sind in allgemeiner Weise zuerst von A. Sommerfeld^) aufgestellt worden. Die auf die Translationsbewegung bezüglichen Formeln sind un- abhängig von P. Hertz^) gefunden worden^ auf einem Wege, der im wesentlichen dem hier eingeschlagenen entspricht.
§ 25. Unstetige Bewegung des Elektrons.
Wir gehen jetzt zur Behandlung des Problemes über, welches den Gegenstand der Dissertation von P. Hertz bildete: Ein Elektron bewege sich bis zur Zeit t^O gleichförmig mit der Geschwindigkeit ü^; zu dieser Zeit soll seine Geschwindig- keit plötzlich auf ü, springen und weiterhin wieder nach Rieh- tung und Betrag konstant bleiben. Welches ist das Feld des Elektrons und insbesondere die entsandte Wellenstrahlung? Diese Frage laßt sich vollständig beantworten, wenn man t^^ parallel ü^ und beide Geschwindigkeiten kleiner als c annimmt.
Wir legen den Anfangspunkt des Koordinatensystemes in den Punkt des Raumes, der sich zur Zeit ^ » 0 mit dem Mittelpunkte des Elektrons deckt; die Geschwindigkeiten ü^ und II2 sollen beide der o^-Achse parallel sein. Die im vorigen Paragraphen eingeführte Größe
(139) B ^ y(a^-S)^ + y^ + ^*
1) A. Sommerfeld. Qött. Nachr. 1904. S. 99. Siehe auch Eon. Akad. V. Wetensch. te Amsterdam. 1904. 8. 346.
2) P. Hertz. Inauguraldissertation: Untersuchnngen über unstetige Bewegungen eines Elektrons. Qöttingen 1904.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 22S
ist die Entfernung eines beliebigen Aufpunktes von demjenigen
Punkte; der zur Zeit t den Mittelpunkt des Elektrons
bildete. Es ist
n^ßi(l-l) für Kl,
(139a) 1 = 0 „ l^X,
Dabei stellen cß^ und cß^ die ^^alte^^ und die ^^neue^^ Ge- schwindigkeit Tor; ihr Yorzeicben gibt an^ ob die Bewegung parallel der positiven oder der negativen o;- Achse erfolgt. Durch (139; 139a) wird B als Funktion von x, y, z, ct^l und dem Latenswege X dargestellt.
Wir fassen einen Au^unkt ius Auge^ der zur Zeit t außer- halb des Elektrons liegt. Dieser Punkt liegt dann auch zur
Zeit t außerhalb des Elektrons, wo X^ den kleinsten in
Betracht kommenden Latensweg bezeichnet; in der Tat, ver- folgen wir die Bewegung des Elektrons rückwärts , indem wir gleichzeitig die Eugel vom Au^unkt aus mit Lichtgeschwin- digkeit sich dilatieren lassen^ so findet zwischen Elektron und Kugel zuerst äußere Berülurung statt. Die Eugel überstreicht nun das Elektron, welches sich mit Unterlichtgeschwindigkeit
bewegt, nur einmal; zur Zeit t tritt sie aus dem Elektron
aus; X" ist dabei der größte in Betracht kommende Latensweg. Das skalare Potential im Aufpunkt ist nach (136)
1'/
(140) * = ^J ^ ^«i Flächenladong.
Die Integrationsgrenzen sind nach (135a, b) (140a) A' = i?'-ö, A" = B"+a.
X'
Denn zur Zeit t lag, wie wir sahen, der Aufyunkt
außerhalb des Elektrons; für die Bestimmung der oberen Integrationsgrenze }!^ ist es gleichgültig, ob er außerhalb oder innerhalb des Elektrons liegt. Die Integrationsgrenzen sind die gleichen, wenn es sich um Yolumladung handelt; es liegt
f
224 Erster Absclinitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
dann der Fall (b) des Yorigen Paragraphen vor. Nach Glei- chung (138) ist
(140b) * - ^, f% j a« - (JR - A)« j bei Volumladung.
r
Es sind nun drei Fälle zu unterscheiden.
(A) l<7i< r.
Hier ist im ganzen Integrationsbereiche X größer als Z; es ist in (139) für | der erste der Werte (139 a) zu setzen^ mithin
(141) B = B, « y(^-i8,Z + i8iA)«+y«+;8rl ,
Das skalare Potential und das Yektorpotential berechnen sich in diesem Falle sO; als ob das Elektron seine alte Ge- schwindigkeit Üi dauernd behielte.
(B) l>'^'> 7i.
Hier ist im ganzen Integrationsintervalle X kleiner als 2; fÖr % ist der letzte der Werte (139a) zu setzen, und daher jfür U
(141a) B=s^^ y(^- A «+ A iy+y'+^'^
Die elektromagnetischen Potentiale entsprechen in diesem Falle der neuen Geschwindigkeit tig.
(C) X' < Z < X".
Hier hat man das IntegrationsintervaU in zwei Teü- interyalle zu zerlegen; im ersten, wo X' < A < Z ist, liegt der dritte, im zweiten, wo Z < il < X" ist, der erste der in (139 a) zusammengestellten Fälle vor. Demnuich ist
(141 b) *_,_L/|+^y|
das skalare Potential bei Flächenladung, und das Yektorpotential
i"
(141c) ««»^/Al + i^/ftf
X' l
1
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 225
Bei Yolnmladung ist entsprecliend zu yerfahren. Es liegt nahe, eine neue Variable
(142) h^X-B
einzuführen. Es ist gemäß (140 a)
Ä = -.a für A = A', Ä = + a für ;L = T.
Für A = ?, wo g = 0, und nach (139) wird, ist Ä = Z — r. Setzen wir noch
' so wird demgemäß
(142a) . ^-ä^y^f imPaUe(A),
■a
(142b) 0 = 2^y| im PaUe (B),
a
(142c) a^ = Ay| + _iy| imFaUe(C).
— a l — r
Das gilt für Flächenladung. Bei Volumladung folgt aus (140 b)
(i42d) $ = ^y'^*(^ + ^,y'£^^^(^
— a l — r
Es ist noch 8 zu bestimmen. Aus (139, 139 a) und (142) erhalten wir
E dl ^ ^ dl ^ E
Es ist demnach (143) S ^ B - ß(x- ßl + ßX) ^ B - ^[m)
m
eine Größe, welche der in Gleichung (69 a) eingeführten Größe s entspricht. Je nachdem man H gleich H^ oder H^ setzt und 8t gleich Vti oder Wg, geht S in 5^ oder 8^ über.
Abraham, Theorie der Elektrizität. IL 15
226 Erster Absclmitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Aus (142) und (143) folgt * (143a) S^Xx^-h "ßix-ßl), x« = 1 - ß\
Zur Auswertung der obigen Integrale ist es erforderlich, S durch X, y, sf, l und h auszudrücken; wir haben zu diesem Zwecke noch l als Funktion jener fünf Größen zu berechnen.
Dies geschieht mit Hilfe der aus (142) sich ergebenden quadratischen Gleichui^
{x--hy^B'^(x-ßi+ßiy + y^ + 0^
aus der man für den Ausdruck (143 a) erhält
(143b) S = y{x-ßl + ßhy + X« (y^+is'y,
wir haben die positive Wurzel genommen, weil aus (143) folgt, daß bei Bewegung mit Unterlichtgeschwindigkeit S stets eine positive Größe ist.
Die Integrale (142% b) lassen sich nunmehr auswerten. Wir erhalten im Falle (A) für Flächenladung
/144N ^ e ^[a;-ftHfta+T/(^~ftHfta)H(i-fe')(y'+ö]
Man überzeugt sich leicht davon, daß dieser Ausdruck für das skalare Potential eines gleichförmig bewegten Elektrons mit dem auf ganz anderem Wege in (112e, g) erhaltenen übereinstimmt; es steht hier x — ß^l, statt wie dort x, weil hier ein im Räume festes, dort ein mit dem Elektron mit- bewegtes Bezugssystem zugrunde gelegt wird. Seiner Ab- leitung gemäß gilt der Ausdruck (144) für das skalare Potential im Falle (A) außerhalb des flächenhafk geladenen Elektrons. Im Falle (B) tritt nur ß^ an die Stelle von ß^ Herrscht im Falle (A) das „alte*^, der Geschwindigkeit H^ ent- sprechende Feld, so herrscht im Falle (B) das „neue^^ Feld, welches einer gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindig- keit Hg entspricht.
Die beiden Gebiete, in denen das Feld sich durch die stationäre Bewegung des Elektrons vor oder nach der un- stetigen Änderung seiner Geschwindigkeit bestimmt, werden
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 227
offenbar durch eine Wellenzone voneinander getrennt sein, welche durch den Geschwindigkeitsspmng hervorgerufen worden ist. Das Gebiet der Welle ist eben dasjenige, in dem der FaU (G) statthat. Es ist hier
X' < Z < X", daher
— a<l — r < + a]
denn es waren — a, l — r, + a die Werte von h, welche sich den Werten X', Z, X" von X zuordneten, und es ändern sich, da ja 8 und B stets positiv sind, X und h stets in demselben Siime. Bei Z — r = + ö, wo (142 c) in (142b) übergeht, liegt die Grenze der Wellenzone gegen das neue Feld; bei Z — r = — a, wo (142 c) in (142 a) übergeht, geht die Wellenzone in das alte Feld über. Man hat demnach
für r>l + a das alte Feld,
für l + a> r>l — a die Wellenzone,
für r <.l — a das neue Feld.
Die beim Geschwindigkeitssprunge erregte Welle besitzt eine Breite, welche dem Durchmesser 2a des Elektrons gleich ist. Sie pflanzt sich von der Sprung- stelle des Elektrons aus mit Lichtgeschwindigkeit fort; außerhalb des äußeren Bandes der Wellenzone herrscht das alte, innerhalb des inneren Bandes das neue Feld.
unsere Entwickelungen beziehen sich auf einen Aufpunkt, welcher außerhalb des Elektrons liegt. Wenn wir zur Be- stimmung des in der Wellenzone herrschenden Feldes die Ausdrücke (142 c, d) heranziehen, so setzen wir dabei still- schweigend voraus, daß die Wellenzone über das Elektron bereits hinweggestrichen ist. Da die größte Entfernung eines dem Elektron angehörenden Punktes vom Eoordinatenursprung gleich
ist, so muß
16*
228 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
\ß2\l + a <l — a
sein, damit das Elektron sich ganz im neuen Felde befinde. Es muß also sein:
(145)
2a
Dann hat die Wellenzone sich vom Elektron losgelöst und das elektromagnetische Feld der Welle wird durch (142 c) im Falle der Flächenladung, durch (142 d) im Falle der Volum- ladung gegeben.
Wir wollen die Feldstärken der Wellenzone unter der Annahme bestimmen , daß die Entfernung derselben von der Sprungstelle des Elektrons bereits groß gegen den Radius des Elektrons geworden ist. Alsdann braucht man bei der Diffe- rentiation der Potentialausdrücke (142 c, d) nach der Zeit xmd nach den Koordinaten nur diejenigen Terme zu berücksichtigen, welche durch die Differentiation der Integralgrenze (l — r) entstehen; die übrigen Terme verschwinden gegen diese in dem Maße, wie die Entfernung vom Koordinatenursprung zu- nimmt. Es wird
(146) (146 a)
dl
dl
dr dr
2a «2
2a 8^
bei Flachen- ladung.
2a s^ 2a s^
Hier sind unter s^, s^ die Werte zu verstehen, welche die Größen 8^ und 82 annehmen, wenn Ä = Z — r gesetzt wirdj wir wissen nun, daß diesem Werte von h der Wert l von 1 und der Wert r von B sich zuordnet; es ist nach (143)
(146b) Si=r(l—ßi cos 9?), s^^r {1^ ß^ cos 9),
wo ff den Winkel anzeigt, den der vom Koordinatenursprung aus gezogene Fahrstrahl t mit der a; -Achse einschließt. Wir erhalten demnach
d^ d^ e (jgg— ßi) cos qp
(146 c) (146 d)
dl
d%x
dl
dr 2ar {1 — ß^ cos qp) • (1 — ft cos qp)
d_^^ e (fe- fe)
dr 2ar {1 — ß^ cos qp) • (1 — ß^ cos qp) )
bei Flachen- ladung.
1
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 229
Die beiden anderen Komponenten des Yektorpotentiales^ sowie die DifiFerentialqnotienten von 0 nnd fix nach Richtungen^ welche zum Radiusvektor r senkrecht sind^ verschwinden.
Man überzeugt sich demgemäß leicht davon^ daß die durch (28) und (29) bestimmten Vektoren
g_--F$-^, § = curl«
beide senkrecht zum Radiusvektor t gerichtet sind; der elek- trische Vektor liegt in der durch die o; -Achse gelegten Ebene, der magnetische weist senkrecht zu dieser Ebene. Die Beträge der beiden Vektoren sind, bei Flächenladung^
rUßfi^i liS^I — Ißl e|fe~ft|siny
Viwe; 1^1 — \y\ — 2ar (1-ft cos 9) • (1- ft cos^))
Das flächenhaft geladene Elektron erzeugt bei dem Geschwindigkeitssprunge eine Welle, längs deren Breite (2a) die Feldstärken konstant sind; an den Rändern sind die Feldstärken unstetig.
Im FaUe der Volumladung ist die Betrachtung in ganz entsprechender Weise durchzufuhren. Aus (142 d) folgt
^ ^ dl dr 4a* s, 4a' s^
und es werden die Beträge der Feldsförken
ni7n^ l»l = lfil~.ll |fe-ft|siny{a'-(Z~r)»} V±*iii; 1^1 \y\ ~4a»*r(l-ftcos(p). (l-ftcos^))'
Das gleichförmig über sein Volum geladene Elek- tron erzeugt bei seinem Geschwindigkeitssprunge eine Welle, in der von der Mitte (l = r) die Feld- stärken stetig gegen die Ränder (Z — r = ±a) hin ab- nehmen. An den Rändern sind die Feldstärken null, sie gehen demnach stetig in die Feldstärken der stationären Felder über, die in den betrachteten Entfernungen vom Elektron gleichfalls verschwinden.
Vertauscht man die Reihenfolge der beiden Geschwindig- keiten H^ und Hg, indem man jetzt annimmt, daß die Ge- schwindigkeit, statt von li^ auf H^, von H^ auf H^ springt, so kehren die Differentialquotienten (146, 146a, 147) der elektro-
f
230 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegrmg der einzelnen Elektronen.
magnetischen Potentiale das Zeichen um. Es wechseln mithin die Feldstarken die Richtung^ ohne jedoch ihren Betn^ zu ändern. Die Dichten der Energie und der Bewegungsgröße in der Wellenzone bleiben bei dieser Yertauschung der Ge- schwindigkeiten li^ und Hg ungeändert. Hieraus folgt das von P. Hertz aufgestellte „Vertauschungsgesetz*: Vertauscht man die Reihenfolge der bei dem Geschwindigkeits- sprunge in Betracht kommenden Geschwindigkeiten H^ und II3; so bleibt die ausgestrahlte Energie und der ausgestrahlte Impuls ungeändert.
Wir könnten die Energie TT^g ^^^ ^^^ Impuls %^^ der bei dem Geschwindigkeitssprunge ausgestrahlt wird^ durch Integration über die ganze Wellenzone auf Grund der Formeln (146 e) und (147 a) berechnen. Indessen läßt sich gerade auf das Yertauschungsgesetz eine einfachere Methode der Be- rechnung gründen.^)
Wir denken uns zunächst ein Elektron^ das vorher mit der Geschwindigkeit H^ gleichförmig bewegt war, plötzlich gehemmt. Es wird dann eine Welle von der Breite 2a in den Raum hinaussenden; nach der Auffassung J. J. Thomsons (vgl. § 14 Schluß) würde dieses die Art sein, wie beim Auf- prall der Eathodenstrahlen auf die Antikathode die Röntgen- strahlen entstehen. Es sei nun W^ die Energie des gleich- formig bewegten Elektrons. Nach der plötzlichen Hemmung kann sich die gesamte Energie des Feldes nicht ändern, da ja die elektromagnetische Kraft an dem ruhenden Elektron keine Arbeit leistet. Wartet man so lange, bis die Entfernung der Wellenzone vom Elektron groß gegen den Radius des Elektrons geworden ist, so ist die Feldenergie gleich der Summe aus der elektrostatischen Energie W^ des Elektrons und der in der Wellenzone enthaltenen Energie TTk,. Es ist
(148) Pr,o=TF,-TFo,
d. h. die ausgestrahlte Energie ist gleich dem Über- schusse der Energie des bewegten Elektrons über
1) P. Hertz. Physik. Zeitschr. 4, S. 848, 1903. Dissertation S. 68, 1904.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 231
diejenige des ruhenden. Im Falle der Flächenladnng folgt aus (113 b)
(148a) Tr,o = £{^?n(l±f)-2),
ein Ausdruck, der im FaUe der Volumladung mit «/g zu multi- plizieren ist.
Betrachten wir jetzt den umgekehrten Fall, daß das Elek- tron plötzlich in Bewegung gesetzt wird. Es ist das ein Vor- gang, der möglicherweise bei der Emission der Kadiumstrahlen angenähert realisiert ist. Dieser Fall geht durch Vertauschung der Geschwindigkeiten 0 und H^ aus dem soeben erledigten hervor. Es folgt denmach aus dem Vertauschungsgesetz
(148b) Tro,= Wi-TFo=£{l?n(l±&)-2)
far die Energie der ausgesandten WeUenstraUmig. Wir sehen also: Wird ein Elektron plötzlich in Bewegung ge- setzt, so ist die Energie der entsandten Wellen- Strahlung gleich dem Überschusse der vom Elektron mitgeführten Energie über seine elektrostatische Energie.
Wir wenden uns jetzt dem allgemeinen Falle zu, indem wir von der für unser starres Elektron allgemein gültigen Relation (97) ausgehen. Da Rotationen hier nicht angenommen
werden, so ist
dW _ (^ä@\
dt — V dt)
die Aussage jener aus dem Energiesatz und dem Impulssatz abgeleiteten Beziehung. Wir integrieren von der Zeit ^ = 0 des Sprunges bis zu einer Zeit t, zu der die Welle sich bereits weit von dem Elektron entfernt hat. Es wird, da ja in diesem Zeitintervall die Geschwindigkeit konstant gleich II3 sein soll.
ß''i-''ß<
d@ dt
f
232 f^rster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Zur Zeit 0 waren W^y ®i Energie und Impuls des Feldes^ zur Zeit t sind die Gesamtwerte Yon Energie und Impuls
TTa+TTig und ®8+®i2.
Es ist somit
(149) TFi^+TTa-Fi« ti^- {®i2+ ®2~ ®i}-
Nach dem YertauscliungsgQsetz ist nun für den um- gekehrten FaU eines Sprunges von Hg auf H^
1^21== 1^12. ®21=®12.
Es folgt also durch Yertauschung von \ und Hg aus (149) (149a) TFi2+Tri-TF8=lii.{®i2+®i-®2}-
In dem Falle, wo li^ und Hg parallel sind, kann man aus (149) und (149 a) die ausgestrahlte Energie und die ausgestrahlte Bewegungsgröße berechnen. Nach Symmetrie sind hier die Vektoren ®i2, ®i, ®2 den genannten Vektoren parallel; wir verstehen unter G^^y G^, G^ ihre Beträge, mit positivem oder negativem Vorzeichen versehen, je nachdem die Vektoren in Richtung der o;- Achse oder in die entgegengesetzte Richtung weisen.
Aus den Gleichungen
W^^+W^-W^=-cß^{G^^+G,-G^] W^^+W,^W^^cß^[G^^+G^-G^] ^- folgt durch Elimination von W^^ oder G^^
Es bestimmen sich also die Energie und Be- wegungsgröße, welche bei einem ohne Richtungs- änderung stattfindenden Geschwindigkeitssprunge ausgestrahlt werden, aus den in (113a, b) angegebenen Werten für die Energie und die Bewegungsgröße eines gleichförmig bewegten Elektrons.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 233
Durch Einführung dieser Werte folgt für die aus- gestrahlte Energie der allgemein gültige Ausdruck:
Derselbe geht, für ft« 0, in (148 b) über. Aus (149b) folgt als Wert der ausgestrahlten Bewegungsgröße bei plötzlicher Hemmung oder plötzlicher Fortschleude- rung:
Da nun, nach (103),
ist, und
so wird (vgL 113 c)
Im Falle der Volumladung sind die Ausdrücke (149 d, e), wie die für TF^, W^, G^, G^ geltenden, mit dem Faktor 6/5 zu multiplizieren.
Bei instantaner Reflexion, wo
A= - ßu Gi- - (^u W,=^W, zu setzen ist, erhält man ans (149 c)
(149f) Tr,j=2c/3i6?i=4Ti
nnd aus (149 b)
(149 g) G,,= 0.
Im Falle instantaner Reflexion ist der aus- gestrahlte Impuls gleich Null. Die ausgestrahlte Energie ist gleich der vierfachen magnetischen Energie des gleichförmig bewegten Elektrons.
Man kann von vornherein zweifeln, ob ein plötzlicher Geschwindigkeitssprung überhaupt durch endliche Kräfte zu verwirklichen ist. Auch diese Frage ist von P. Hertz in Unter-
234 ^Srster Absclinitt. Das Feld u. die Bewegimg der einzelnen Elektronen.
sucliuiig^) gezogen worden; es hat sich ergeben^ daß die resultierende äußere Kraft St^, welche erforderlich ist; um das Elektron^ von der Ruhe ans^ plötzlich auf die Geschwindig- keit H^ zu bringen und in dieser zu halten, fiir |lli| <,c in jedem Momente eine endliche ist. Diese Kraft ist nicht, wie die Stoßkraft der gewöhnlichen Mechanik, eine unendliche Kraft, welche nur im Augenblick des Stoßes wirkt, sondern sie verteilt sich über das Zeitintervall 0^^^^*, wo t^ der Zeitpunkt ist, wo das Elektron gerade aus der Wellenzone heraustritt. Diesen Zeitpunkt haben wir in (145) berechnet; er ist (150) t* = ^,
wenn
11 = Hl für t>0.
Daß die über jenes Intervall erstreckten Zeitintegrale der
Kraft St^ und der Arbeitsleistung t^$t^ endlich sind, folgt ohne
weiteres aus den obigen Resultaten. Von der Zeit <* an ist
das Elektron von dem stationären, der gleichförmigen Bewegung
entsprechenden Felde umgeben, so daß zur Aufrechterhaltung
der Bewegung keine Ejraft mehr erforderlich ist. Von jetzt
an sind Energie und Bewegungsgröße des Feldes konstant; sie
haben die Werte
TTi+TToi l>zw. ®i+®oi,
welche sich nach einiger Zeit in dem Felde des gleichförmig
bewegten Elektrons und in der entsandten Welle vorfinden.
Es folgt demnach, mit Rücksicht auf (148 b),
t*
(150a) f(t^St)dt = WQ^+W^'-Wo
= 2(Tr,~Tro)=^'j^Zn(l±A)_2).
Die gesamte Arbeit bei plötzlicher Fortschleu- derung ist doppelt so groß, als wenn die Geschwindig- keit Hl auf quasistationäre Weise erreicht worden wäre.
Da in dem Zeitintervalle 0<t<t* die Geschwindigkeit H konstant gleich H^ ist, so ist das Zeitintegral der äußeren Kraft
1) P. Hertz. Physik. Zeitschrift (6), 1904, S. 109. Diss. S. 60.
Drittes EapiteL Die Mechanik der Elektronen. 235
dem Betrage nach gleich dem durch die Q^eschwindigkeit ge- teilten Zeitintegral der Arbeit:
0
mithin
t*
(150b) /rd^ = ö,.^.{^?n(i±&)_2).
0
Der Impuls und die Arbeit der äußeren Eraft haben beide einen endlichen Wert, wofern die Geschwindigkeit, die hervor- gerufen wird, kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist.
Geht man nun zur Grenze der Lichtgeschwindigkeit über, so werden allerdings, den Gleichungen (150a, b) zufolge, die Zeitintegrale der Kraft imd der Arbeit beide unendlich. Es ist aber zu beachten, daß dabei nach (150) die obere Grenze der Integrale, d. h. die Zeit, zu der die Welle das Elek- tron überstrichen hat, ins Unendliche wächst. Und hierdurch allein wird das Unendlichwerden der Zeitintegrale bedingt, wie P. Hertz gezeigt hat. Zu jeder endlichen Zeit nach dem Stoße bleiben auch bei Erreichung der Licht- geschwindigkeit die Kraft, der Impuls und die Energie endlich.
Unsere Dynamik des Elektrons schließt also keineswegs die Möglichkeit aus, daß in der Natur mit Lichtgeschwindig- keit bewegte Elektronen vorkommen, sei es, daß wir die An- nahme der Flächenladung, oder diejenige der Yolumladung be- vorzugen. Freilich liegen in diesem singulären Falle sehr ver- wickelte Verhältnisse vor. Da das Elektron sich mit derselben Geschwindigkeit bewegt, wie die Wellen, die es bei Erreichung seiner Geschwindigkeit entsandt hat, so kann man hier die WeUenstrahlung von der Konvektionsstrahlung nicht sondern. Man muß beide gemeinsam betrachten, und die Energie und die Bewegungsgröße des gesamten Feldes in Rechnung ziehen. — Auf den Fall der Überlichtgeschwindigkeit kommen wir weiter unten in § 27 zurück.
236 Erster Abschnitt. Das Feld tl die Bewegung der einzelnen Elektronen.
§ 26. Die innere Ejraft eines beliebig bewegten Elektrons.
Wir haben in § 24 die elektromagnetisclieu Potentiale eines beliebig bewegten kugelförmigen Elektrons dnrch Integrale nach dem Latenswege dargestellt. Der direkteste Weg znr Berechnung der inneren Kräfte wäre der^ aus jenen Formeln das Feld und den Vektor ^ zu bestimmen, und durch Inte- gration über das Volumen des Elektrons die innere Kraft und Drehkraft zu ermitteln. Es ist A. Sommerfeld^) gelungen, die Schwierigkeiten, die sich der Beschreitung dieses Weges ent- gegenstellen, zu überwinden.
Die Verknüpfung des durch die Grundgleichung V ge- gebenen Vektors $^, der elektromagnetischen Kraft pro Einheit der Ladung, mit den elektromagnetischen Potentialen ist leicht zu finden. Nach (28) und (29) ist
»-=e + 7[tl§] = -^«-{^ + ^[tlcurl«].
Führen wir ein Bezugssystem ein, welches die trans- latorische Bewegung des Elektrons mitmacht, so ist nach Bd. I, Gleichung 116
die von diesem Bezugssystem aus beurteilte zeitliche Änderung des Vektors W. Da H^, die Geschwindigkeit des Mittelpunktes des Elektrons, vom Orte überhaupt nicht abhängt, so folgt aus Regel (v) der Formelzusammenstellung in Bd. I, S. 438
Es ist demnach
Führen wir dieses in den Ausdruck des Vektors ^ ein und setzen an Stelle von t wieder die Variable 1 = et, so er-
1) A. Sommerfeld. Grött. Nachr. 1904, S. 363 — 439. Akad. van Wetensch. te Amsterdam, 1904. S. 346 der englischen Ausgabe.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 237
halten wir unter Beachtung der kinematischen Grund- gleichung (VII):
(151) 5 = _F3r_!^ + i[[tt,]curI«].
Der hier anftretende Skalar (151a) 3»'=*-i(tIo«)
geht bei gleichförmiger Translationsbewegung in das Kon- vektionspotential über, als dessen negativer Gradient sich bei einer solchen Bewegung der Vektor ^ darstellt.
Wir wollen uns mit einer beliebigen rotationslosen Be- wegung des Elektrons beschäftigen. Hier ergibt (151)
(151b) g = -F3^-^.
Im Falle gleichförmiger Volumladung bestimmt sich hieraus die innere Eraft
folgendermaßen :
(152a) _«=^yi«{F5r + g).
Im Falle der Flächenladung muß man bei der Berechnung der inneren Kraft vorsichtiger zu Werke gehen; es sind nämlich die räumlichen und zeitlichen Differentialquotienten der Poten- tiale an der geladenen Fläche nicht stetig. Man berechnet daher zunächst die Ejraft, welche das Elektron auf eine ge- ladene Kugel vom Radius h^a ausübt, und geht erst nach Auswertung dieser Kraft zur Größe 6 = a über. Diese Ab- leitung der inneren Kraft eines flächenhaft geladenen Elektrons
(152 b) ft = Lim^,ßdf
führt zu dem Ausdrucke
(152c) - « = L^m -^Jdf [P^^ + '-^]-
238 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegrmg der einzelnen Elektronen.
Wie wir wissen (ygl. § 24)^ lassen sich die elektro- magnetischen Potentiale des Elektrons durch einfache, nach dem Latenswege genommene Integrale darstellen« Wir wollen schreiben
OD
(163) 0^efxdL
0
Dann wird, bei reiner Translationsbewegong;
OD
(153a) n-^^fxüi-ndX,
0
und, gemäß (151a);
oo
(153b) w=^efx[l-'^^]dL
0
Diese Ausdrücke sollen nun in (152a; c) eingeführt werden, und es soll die Integration über das Volumen v, bzw. die Fläche f vorgenommen werden. Es seien Xi ^zw. x^ die Wertö, welche der in (153) auftretenden Größe x ^ Falle der Flächen- ladung bzw. der Volumladung zuzuschreiben sind. Wir setzen dann
(153c) j^^-L^^Jj^^df
(153 d) ^2 = 4^y^2^^-
Diese Mittelwerte von x ^^ (152 a c) einführend, erhalten wir im Falle der Flächenladung
oo ^ QO
(154)-i..« = Lim/i^ll-^!i^}ryZi+Liml^/d^li,_Ji,
0 0
hingegen im Falle der Volumladung
OD OO
(154a) -l^.ft^fdx[\-''-^]F,l, + \l-^JdXM,_J,.
0 0
Hierbei verstehen wir unter % den Fahrstrahl, der von irgendeinem im Räume festen Punkte nach dem Mittelpunkte
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 239
des Elektrons in seiner zur Zeit t^=— eingenommenen Lage
gezogen ist. Den in (154) und (154 a) eingehenden Gradienten von X erhält man^ indem man die durch Fr angedeutete Yer- rückung des Mittelpunktes vornimmt und dabei l und X kon- stant hält.
Um diese Ausdrücke der resultierenden inneren Erafk aus- zuwerten ^ ist die in (153) eingehende Funktion % von l nach den Angaben des § 24 zu berechnen, und es sind die durch (153 C; d) angedeuteten Integrationen über die Ausdehnung des Elektrons auszuführen. Es kommen dabei nur solche Werte von X in Betracht, für welche die um den betreffenden Auf- punkt gelegte Eugel vom Radius X das Elektron in seiner zur
Zeit eingenommenen Lage schneidet. Ln Falle der Flachen-
ladung ist die Bedingung hierfür die in (135) angegebene: Es muß eine Dreiecksbildung aus den drei Strecken B^ X, a möglich sein. Nach (136) ist dann die in (153) eingeführte Große %
gleich ö~r5 ®i® ^s* gleich Null, wenn keine Dreiecksbildung aus jenen drei Strecken möglich ist. Nun kann ein und derselbe Aufpunkt für die vorgegangenen Lagen des Elektrons bald ein innerer und bald ein äußerer sein, so daß die Grenzen, inner- halb deren % von Null verschieden ist, durch (135b) bzw. durch (135 a) gegeben werden. Auch sind alle zur Zeit t vom Elektron bedeckten Aufpunkte in Betracht zu ziehen. Hiemach wären zur Bestimmung von % bereits bei Flächenladung sehr umständliche Fallunterscheidungen notwendig; unter Annahme von Yolumladung wären dieselben noch zahlreicher.
Diese Fallunterscheidungen vermeidet nun Sommerfeld durch einen Kunstgriff; er stellt die verschiedenen Werte- möglichkeiten von X durch einen einheitlichen analytischen Ausdruck dar, nach Art des Dirichletschen diskontinuierlichen Faktors. Bekanntlich^) ist
00
I sinsa;-^= ±|- fQr x^O,
1) Vgl. Riemann-Weber. Die part. Diffgl. d. math. Phye. I, § 18, S. 29.
240 Erfiter Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
Betrachten wir jetzt das Produkt
4 sin^a • sin $12 - sin sX =^ sin. s {a + R — X) + sin (a — R + X)
— sin s (a + 12 + A) — sin 5 (a — 12 — A).
Von den vier Größen
a+R — X, a—R+Xj -- a —R — X, —a+12 + ^
sind drei positiv und nur eine ist negativ, falls Dreiecks- bildung aus den drei Strecken a, R, X möglich ist; ist hin- gegen die Dreiecksbildung nicht möglich, weil eine der drei Strecken größer ist als die Summe der beiden anderen, so sind von den vier Größen zwei positiv und zwei negativ. Das Integral
/
00
sin sa • sin sl2 • sin s >L
ist mithin gleich ^ oder gleich Null, je nachdem eine Dreiecks- bildung möglich ist oder nicht. Wir können daher im Falle der Flächenladung die Größe % durch dieses Integral aus- drücken:
sin sB ds
(155) Xi= — I sin sa ' sin sX
E 8
0
so daß das skalare Potential (153) wird
oo 00
sin sB ds
(155a) 0 « — I dX I sinsa sinsA-
E s
0 0
Was den Fall der Yolumladung anbelangt, so können wir ihn leicht auf denjenigen der Flächenladung zurückfahren, indem wir die Kugel vom Radius a in Kugelschichten zer- legen, vom Badius r, von der Dicke dr und der Ladung
3 6
AxQT^dr == -jT^dr, Schreiben wir in (155a) statt a jetzt r,
3 e statt e jetzt -j r^ dr, so entsteht durch Integration nach r das
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 241
ekalare Potential des gleichförmig über sein Volumen ge* ladenen Elektrons:
- 6e i ,^ i . - ßiD. sMds C • j
Q = — j I aXI BinsX — ^ I r birst dr,
0 0 0
Da nun gilt
0
n sinsa — 8a cos^a sm ST dr =
so wird im Falle der Volumladung
00 00
/^cc^.^ ^ 6^ CntC* - sin SÄ [ sin «a — sa COS «al <is
(155b) o = -JdXJ^msX^\ ^, )-.
0 0
In diesem Falle ist der Größe % der Wert zuzuschreiben
00
/-cc X ^ C' - sin« J? f sin aa — «a cos aal (2s
(155c) x,= ^j 8"! sA-^-( (JSP |t-
0
In den drei in § 24 unterschiedenen Lagen des Auf- punktes muß ex^dX die Werte (137), (138) und Null an- nehmen. Die gefundenen einheitlichen analytischen Ausdrücke gestatten es^ ohne weiteres die zur Berechnung der Mittel- werte %^y %^ erforderlichen Integrationen über die Oberfläche bzw. über das Volumen des Elektrons auszuführen.
Wir verstehen unter N (Abb. 4) den Ort des Mittel- punktes des Elektrons zur Zeit ty unter M seinen Ort zur Zeit
t Um N schlagen wir eine Kugel mit dem Radius 6.
Über diese Eugel ist %^ zu integrieren, um den durch (153 c) definierten Mittelwert zu berechnen. Es sollte S der von einem beliebig gewählten, aber dann festgehaltenen Baum- punkte aus nach N gezogene Fahrstrahl sein. Wir wählen M als diesen festen Punkt, so daß T, der Betrag von 2, durch die Strecke MN vorgestellt wird. II bezeichnet nach wie vor den Radiusvektor, der von M aus nach dem Punkte gezogen ist, für welchen 9 bzw. % berechnet werden soll; das ist hier
Abraham, Theorie der Elektrizität, n. 16
242 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
ein Punkt P auf der Oberfläche der Engel vom Radius b. Ist
endlich g der Winkel^ welcher in dem Dreieck aus den Strecken R, T, h, der Seite R gegenüber- liegt; so gilt
2hTcost^T^+b^-R\
Schreitet man längs der Eugelfläche fort, so sind T und b
Abb. 4.
konstant zu halten; es folgt
6Tsingdg = JBdB.
Demnach ist der Flächeninhalt eines von zwei Breiten- kreisen g und i + di begrenzten Streifens
df^ 2^V sin gd? = ^
Da nun längs eines solchen Streifen nach (155) die Grröße x^ konstant ist; so können wir fär den Mittelwert (153c) schreiben:
(156) Xi^^'fxiüdR.
\T-b\
Diese Grrenzbestimmung gilt sowohl dann^ wenn M inner- halb; wie auch dann^ wenn M außerhalb der Kugel vom Radius b liegt. Aus (155) und (156) folgt jetzt
oo
y. = — ^-T- • I it sin 5 a sin s A — j
wenn abkürzungsweise gesetzt wird
II = /dB sin sR «ylcos 5 (T- b) - cos s (T+ b)h
T-b
es findet sich
[1=— ' sinsT ' sin 56,
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 243
80 daß mau schließlich erhält
GO
ZI Kfi \ - 2 r . . , sin «r . ^ds
(löoa) ;ui= — T I svasasuiso — ^ — sins>l-^-
0
Für unser kugelförmiges Elektron läßt sich auch im Falle der Yolumladung die durch (153 d) postulierte Mittelwerts- büdimg ohne Schwierigkeit durchfahren. ^^In dem Ausdruck
(155 c) von Xi ist es nur der Faktor — ^ — des Integranden^
der für die yerschiedenen Punkte des Elektrons einen ver- schiedenen Wert hat. Der Mittelwert dieses Faktors berechnet sich nun für das Volumen der Kugel in ganz ahnlicher Weise, wie oben für die Kugelfläche. Es ist
0 r— r
3 sinsT
a
/^ 3 sinsT ( BiD. sa — sa coa 8a\ ;m5r.rdr = -.-^5^.( j^, )
a» sT
0
Demnach erhalten wir
00
/i cöT-\ — 18 / . ^ sin sT (sin «a — sa cos sal^ds
(156b) ^ = —,Jsmsl-^[ ^^, ) ^.
0
Indem wir die so erhaltenen Mittelwerte (156 a, b) von % in die allgemeinen Ansätze (154) und (154a) für die innere Kraft einfOhren, gelangen wir zu den Sommerfeldschen Formeln
(157) -ff.-«
= Lmiyix{l-^}|y^^8insasinsfe8in«X^(?^
0 0
00 GO
sinsT
jim rz Ol I dXt^i^x 1 —^ sinsa sin 56 sin sX
0 0
16*
244 Si^ster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. /jT-ili t^iti — x\X f ds l Bin 8a — $a eoQ 8a\^ . ^ d /sin 8T\
= /dA{l — ?-)y/ -fI ^t /'"""M-T^)
0 0
oo 00
. 1 ^ #7^^ / ds (sin sa—«a COS sal^ . - sin «T
0 0
Diese Formeln stellen die vom kugelförmigen^ rein translatorisch bewegten Elektron auf sich selbst aus- geübte Kraft im Falle homogener Flächenladung und homogener Yolumladung in allgemeinster Weise dar.
In seiner Mitteilung in den Göttinger Nachrichten hat Sommerfeld die Integrationen nach s ausgeführt; dabei gelangt der in § 17 erwähnte umstand zur analytischen Formulierung^ daß die innere Krafb durch die Bewegung des Elektrons in einem endlichen^ dem betrachteten Zeitpunkte unmittelbar vorangegangenen Intervalle bestimmt ist; wenigstens dann^ wenn die Bewegung dauernd mit Unterlichtgeschwindigkeit oder mit Überlichtgeschwindigkeit erfolgt ist Ausnahmefälle treten dann ein, wenn das Elektron sich zuerst mit Überlicht- geschwindigkeit und dann mit Unterlichtgeschwindigkeit be- wegt; oder gar die Richtung umkehrt; dann können offenbar Wellen, die vom Elektron selbst in einer längst vergangenen Epoche entsandt worden sind, eine Eraft auf dasselbe aus- üben. Alle denkbaren Fälle werden durch die obigen Formeln in einen einheitlichen analytischen Ausdruck zusammengefaßt, so daß die Ermittelung der inneren Kraft far eine gegebene Bewegung nur noch eine Sache der Rechnung ist.
Sommerfeld hat auch die Drehkraft und die Rotations- bewegung in entsprechender Weise behandelt. Von größerem Interesse ist jedoch die Anwendung auf translatorische Be- wegung mit Überlichtgeschwindigkeit^), der wir uns jetzt zu- wenden wollen.
1) A. Sommerfeld. Akad, v. Wetensch. te Amsterdam. 13. S. 431.
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 245
V
§ 27. Gleichförmige Bewegung mit ÜbeTlichtgescliwindigkeit. Bei gleichförmiger geradliniger Bewegung wird
In den Ausdrücken (157) und (157 a) für die innere E^raft fallen die Differentialquotienten nach l fort. Die Differentiationen nach T können durch solche nach X ersetzt werden^ so daß nach Umkehr der Integrationsordnnng für die der Bewegung parallel gerechnete innere Kraft bei Flächenladung folgt
(158) -^.«
ao 00
==— p- • Lua-^ I -ä-smsa smsfe I aXsujiSX-^i — ^ — h
0 0
und bei Volumladung
(IM.) -^»
1 — ö* i ds Ibid. sa — sa coB sa\^ / ,- . ^ d /BmßsX\
— ß^'J^i (^' \J^^'''''^H(—r-y
0 0 •
Das nach X genommene Integral läßt sich auswerten; es ergibt die partielle Integration
00 00
I dX sinsX-j^y^^ j ^ — sjdXcos sX ^^^P^
0 0
2 ./" i. '! X
f
l)sX
Da nun
00 00
0 0
246 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen.
80 erhält man
0 £Ür ß<l
(158b) fdXsinsX^^{^^)^
-^ für ß>l.
Für ß<i. ist die innere Kraft Null; sowohl im Falle der Flachenladnng, wie im Falle der Yolnmladimg. Es folgt das uns bereits bekannte Resultat: Die gleichförmige gerad- linige Bewegung mit Unterlichtgeschwindigkeit ist eine kräftefreie Bewegung des Elektrons.
Für ß>l hingegen folgt aus (158) und (158b) für den Fall der Flächenladung
«
(158c) — 7? Ä = ^-ör~ ' ^^ h / — sin 5a sin s6.
Um das Integral nach s auszuwerten, teilen wir das Integrationsintervall in zwei Teile, 0<5<« und s<s<(x>. Es wird
00
sin sa sin s6 = / — sin sa sin sb
/äs » • -L / ds *
— sm sa sin SO = I — si
00 00
+
J / y cos(& - a) s-~J y cos (6 + a) s.
Für die Differenz der beiden letzten Integrale folgt, nach Einführung der Variabein p=\b — a\s bzw. jp = (6 + a) s,
00 00 • (ft-j-a)
dp
a \b — a\ «(6-f-a) « |ö — a\
00 00 a {fi-f-c
\ r dp 1 r dp 1 r
-J cOSpf-^-^J C0Si>^= 2/ ^^«i^
«|6 — a| «|& — a| «|6 — a|
Drittes KapiteL Die Mechanik der Elektronen» 247
Durch Summation folgt
00
— Sin sa sin s6 = ~ In (,,_ ,1 +1 — sin 5a sin so
-ß
•(ft + a)
^sin«^
p 2
• |6-a|
Diesem Ausdrucke proportional ist die Kraft, welche das flächenhaft geladene Elektron auf eine mitbewegte konzentrische, mit derselben Ladung yersehene Kugelflache vom Radius b ausübt. Indem wir die ganz beliebig zu wählende Größe s gegen Null konvergieren lassen, erhalten wir als Wert dieser Ejraft (158d) « = ^^.^.lz„(^) för h^a.
Die Kraft, welche die Kugel a auf die konzentrische Kugel b und umgekehrt auch die Kugel b auf die Kugel a bei gemeinsamer gleichförmiger Translation mit Überlichtgeschwindigkeit ausübt, wirkt stets der Bewegung entgegen. Ihr Betrag ist ein end- licher, falls die Radien der beiden Kugeln yerschieden sind. Führt man indessen den Ghrenzübergang zum Falle zweier Kugeln Yon Reichem Radius aus, um die innere Kraft des flächenhaft geladenen Elektrons zu berechnen, so findet man^ daß die Kraft logarithmisch unendlich wird. Man schließt hieraus: Die gleichförmige Bewegung eines flächen- haft geladenen kugelförmigen Elektrons mit Über- lichtgeschwindigkeit erfordert eine unendliche Kraft; sie ist somit physikalisch unmöglich.
Zum Falle der Volumladung übergehend, erhalten wir aus (158 a, b)
00
2
a* n^ /3* — 1 /d 8 j aia sa — sa cos sa)
0
Für das hier auftretende Integral nach s erhält man, nach Einführung der Variabein p = as, durch einige Umformungen
248 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegimg der einzelnen Elektronen.
/ä » / . \2 f(sin »--» cos »)*1*
^(8mi>-i,cosi,) f \;. ^),
0
I 1 /»P • / • \ ( sin » (sin p —p cos p) ] °° + 2 / p-smjp(8mj?-j?cosj?) = ^j ^^ ^^,^ ^j^
0
00
+ Y / "4 (cos jp sin ^ —p cos^ |> + jp sin* pu
0
00
sin 2 p I * 1
1 /\ /l sin 2p cos 22>\ 1 f si
—iJ^P\^^^ ^;"~4l~2i> Jo 4
0
Daher wird schließlich (158e) « = _|£;.(i_^)
die der Bewegung entgegenwirkende innere Kraft im Falle der Volumladung. Wir sehen also:
Die gleichförmige Bewegung des mit gleich- förmiger Volumladung erfüllten Elektrons mit Über- lichtgeschwindigkeit ist zwar keine kräftefreie Be- wegung, aber die erforderliche äußere Kraft hat einen endlichen Betrag, so daß Bewegung mit Überlicht- geschwindigkeit bei Volumladung physikalisch denk- bar ist. Der Betrag der Kraft steigt mit wachsender Ge- schwindigkeit an und konvergiert gegen den Grenzwert
«, 9 e*
' ~4^'
derselbe ist gleich der Kraft, welche zwei ruhende Punkt-
2
ladungen e im Abstand —a aufeinander ausüben.
Die hier zutage tretende prinzipielle Verschiedenheit von Flächenladung und Volumladung des allseitig symmetrischen Elektrons ist um so bemerkenswerter, als bei Unterlicht- geschwindigkeit das Verhalten des Elektrons in beiden Fallen
Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 249
das nämliche ist. Bei quasistationärer Bewegang unter- scheiden sich die Massen in beiden Fällen nur durch einen Zahlenfaktor^ und derselbe Zahlenfaktor tritt bei der Strahlung des unstetig bewegten Elektrons auf. Auch die E[raft, welche erforderlich ist; um das Elektron plötzlich auf Lichtgeschwindig- keit zu bringen und auf dieser zu halten ^ ist im Falle der Volumladung von derselben Größenordnung, wie im Falle der F^chenladung. Aus dem Verhalten der Elektronen bei Unter- lichtgeschwindigkeit und bei Lichtgeschwindigkeit wird daher kaum ein Kriterium herzuleiten sein, welche zwischen diesen beiden Möglichkeiten entscheidet. Die Entscheidung wäre aber sofort gegeben, und zwar zugunsten der Volumladung, sobald man Elektronen beobachtet hätte, die sich mit Überlicht- geschwindigkeit bewegen.
Es ist allerdings kaum zu hoffen, daß es gelingen wird, die Elektronen, selbst wenn ihnen im Innern des Badiumatomes solche Geschwindigkeiten erteUt wären, auf Überlicht- geschwindigkeit zu halten; denn die hierzu erforderliche Kraft ist eine so enorme, daß sie die Kräfte der experimentell herstellbaren Felder um das Billionenfache übersteigt. Was geschieht aber, wenn keine äußere Kraft wirkt? Wie bewegt sich das einmal auf Überlichtgeschwindigkeit gebrachte Elek- tron kräftefrei weiter? Darüber sagt die Theorie bisher nichts aus.
250 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Zweiter Abschnitt.
Elektromagnetisclie Vorgänge in wägbaren Körpern.
Erstes Kapitel. Bnhende Körper.
§ 28. Ableitung der Hauptgleiehnngen ans der Slektronen-
theorie.
Im ersten Bande dieses Werkes (§ 59) haben wir die Hauptgleichungen der Maxwellschen Theorie für ruhende Körper entwickelt. Der dort eingenommene Standpunkt war derjenige der Phänomenologie, welche sieh mit der DarsteUung der beobachteten Erscheinungen begnügt und ein Eingehen auf atomistische Vorstellungen ablehnt. Bei den meisten elektromagnetischen Yorgaugen im engeren Sinne, insbesondere bei denjenigen , die in ruhenden Körpern stattfinden, erweist sich die phänomenologische Behandlungsweise als ausreichend, und sogar durch ihre größere Einfachheit als der atomistischen Auffassung überlegen.
Nun haben wir aber gewisse Erscheinungen der Kon- yektionsstrahlung kennen gelernt, welche sich nur vom ato- mistischen Standpunkte aus befriedigend haben deuten lassen. Wir haben gesehen, daß die negatiren Elektronen, die wir in den Kathoden- und Badiumstrahlen als bewegt annehmen, auch bei der Lichtstrahlung der Körper eine Bolle spielen. Wir wollen uns indessen hiermit nicht begnügen; wir wollen versuchen, die elektromagnetischen und optischen Erscheinungen in ihrer Gesamtheit auf Grund der Elektronentheorie zu be- greifen. Wir müssen zu diesem Zwecke zunächst den Nach- weis führen, daß die Hauptgleichungen der Elektrodynamik sich aus den Grundgleichungen der Elektronentheorie ableiten lassen.
Erstes Kapitel. Ruhende Körper. 251
Die Elektronentlieorie kennt nur das elektromagnetische Feld im Äther, welches durch ruhende oder konvektiv bewegte Elektronen erregt wird. Sie nimmt an, daß dieses elektro- magnetische Feld auch im Innern der ponderablen Körper besteht, oder, wie man zu sagen pflegt, daß der Äther die ponderablen Körper durchdringt. Daß die elektrischen und magnetischen Eigenschaften der Körper von denjenigen des leeren Baumes abweichen, wird darauf zurückgeführt, daß Elektronen sich im Innern des Körpers befinden. Die Leit-. fähigkeit der Körper wird durch „Leitungselektronen^^ erklärt, welche entweder, wie in den Metallen, frei beweglich, oder, wie in den Elektrolyten, an neutrale Atom- oder Molekül- gruppen gebunden sein können; diese wandern im Körper unter der Einwirkung elektrischer Kräfte über größere Strecken hin und bilden so einen elektrischen Leitungsstrom. Die elektrische Polarisation der Dielektrika wird auf negative Elektronen zurückgeführt, welche an die positiven gebunden sind und mit ihnen zusammen elektrische Dipole bilden. Die Bewegung dieser „Polarisationselektronen" in veränderlichen elek- trischen Feldern wird einen elektrischen Strom ergeben, welcher den auf die Materie entfallenden Anteil des Yerschiebungs- stromes bildet. Führen die gebundenen negativen Elektronen ferner umlaufende Bewegungen um die positiven aus, so geben sie zu einer Magnetisierung des Körpers Veranlassung und werden dann als „Magnetisierungselektronen" zu be- zeichnen sein. Es werden allerdings auch die freien Elek- tronen im magnetischen Felde sich in gekrümmten Bahnen . bewegen und so die Eolle von Magnetisierungselektronen spielen können.
Die von den einzelnen Elektronen erregten Felder, auf welche sich die Grundgleichungen des § 4 (I bis IV) beziehen, weisen außerordentlich große räumliche Unregelmäßigkeiten auf. Hat doch das Feld des ruhenden Elektrons in den beiden End- punkten eines Elektronendurchmessers die entgegengesetzte Richtung. Entsprechende starke zeitliche Schwankungen der Feldstärken werden den Grundgleichungen zufolge an einem
252 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
im Bamne festen Punkte auftreten, wenn ein Elektron sicli über ihn hinweg bewegt. Wir erwähnten bereits in § 4, daß die Felder ; deren Existenz die Grundgleichungen postulieren, der direkten Beobachtung unzugänglich sind. Es sind immer nur die Mittelwerte, auf welche die Beobachtungen sich be- ziehen. Die Mittelwertsbildung über die Felder der einzelnen Elektronen wird uns zu den Hauptgleichungen der Maxwellschen Theorie führen und wird uns zeigen, wie die dort auftretenden Vektoren mit den in den Feldgleichungen der Elektronen- theorie auftretenden beiden Vektoren zusammenhangen.
Wir wollen die Bezeichnungen ß, § für die in den Haupt- gleichungen auftretenden Feldstärken der beobachtbaren Felder reservieren, und daher, um Verwechselungen vorzubeugen, für die elektromagnetischen Vektoren, welche durch die Grund- gleichungen (I bis IV) der Elektronentheorie miteinander ver- knüpft sind, jetzt die Bezeichnungen c, ^ einführen. Jene Glei- chungen sind dann zu schreiben:
(D curlJ|= ^ll + ^pt.,
(H) curle = -i^,
(IH) div e = 43r(>, (IV) div 11= 0.
Aus diesen Feldgleichungen hat H. A. Lorentz für den allgemeinen Fall eines bewegten Körpers die Hauptgleichungen der Elektrodynamik durch Mittelwertsbildung abgeleitet.*) Wir werden in diesem Paragraphen die entsprechenden Ent- wickelungen für ruhende Körper durchführen. Hier ergeben alle auf dem Boden der Nahewirkung stehenden Theorien dasselbe, während in der Elektrodynamik bewegter Körper, wie wir später sehen werden, zwischen den verschiedenen Theorien gewisse Abweichungen vorhanden sind.
1) H. A. Lorentz. Akad. van Wetenschapen te Amsterdam 11, 1902, S. 305. Enzykl. d. mathem. Wissensch. Bd.V, Art. 14, Nr. 26—34.
Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 253
Wir bezeiclinen mit H. A. Lorentz eine Strecke als ^^physikaliscli unendlich klein'^, wenn sie klein ist gegen diejenigen Strecken, innerhalb deren eine merkliche Inho- mogenität des Feldes besteht, aber groß gegen den Abstand zweier benachbarter Elektronen oder Moleküle. Es hängt dieser Definition gemäß wesentlich von der Inhomogenität des betreffenden Feldes ab, ob eine Strecke als physikalisch unendlich klein zu bezeichnen ist oder nicht; in der Elektro- statik z. B. wird eine Strecke, die gleich einer Wellenlänge des roten Lichtes ist, noch physikalisch unendlich klein zu nennen sein; denn die Probekörper, die zur Untersuchung des elektrostatischen Feldes verwandt werden, sind viel zu grob^ um eine etwaige Inhomogenität des Feldes auf dieser Strecke überhaupt zu bemerken. In der Optik hingegen, wo es sich nach den Vorstellungen der elektromagnetischen Lichttheorie um Felder handelt, die auf einer Strecke von einer halben Wellenlänge die Richtung umkehren, wird jene Strecke keines- wegs als physikalisch unendlich klein beibrachtet werden dürfen. Anderseits legt die obige Definition eine gewisse, von der Zahl der Elektronen bzw. Moleküle abhängige untere Grrenze für die physikalisch unendlich kleine Strecke fest. SoUen die beiden Bedingungen einander nicht widersprechen, so muß der mittlere Abstand zweier Moleküle verschwindend klein gegen die Wellenlänge sein, derart, daß in einem Würfel, dessen Kanten etwa einem Hundertstel der Wellenlänge der be- treffenden elektromagnetischen WeUe gleich ist, noch viele Millionen von Elektronen enthalten sind. Von physikalisch unendlich kleinen Gebietsteilen kann nur dann die Bede sein, wenn die Materie entsprechend dicht gelagert ist.
Um den Mittelwert irgendeiner skalaren oder Vektor- größe q in einem Punkte P des Baumes zu bestimmen, kon- struieren wir um P eine Kugel, deren Badius physikalisch unendlich klein ist, und dividieren das über die Kugel er- streckte Volumintegral von q durch das Volumen v der Kugel:
(159) q=^.
254 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Bei der Yergleichimg der Mittelwerte ^ welche zu zwei yerschiedenen Zeiten in einem und demselben Ponkte herrschen, ist selbstverständlich der Badins der Kugel konstant zu halten, so daß man hat
Es sind demnach Mittelwertsbildung und Diffe- rentiation nach der Zeit miteinander vertauschbare Operationen. Das gleiche gilt von den Operationen der Mittelwertsbildung und der Differentiation nach den Koordi- naten. Hierbei handelt es sich um die Yergleichung der Werte von ~qy welche in zwei benachbarten Punkten P und P' des Baumes zu derselben Zeit bestehen. Es sind dabei die Mittel- werte q durch zwei um P und P^ geschlagene physikalisch unendlich kleine Kugeln von dem gleichen Radius definiert.
Demgemäß ist z. B.
c q^ d fcidv
dx dx V
nichts anderes, als die durch Yerrückung der Kugel parallel der oj-Achse bedingte Veränderung des Volumintegrales von j, dividiert durch das Volumen der Kugel. Diese Veränderung läßt sich darstellen als herrührend von den (positiven oder negativen) Beiträgen derjenigen Volumelemente, welche die Oberfläche f der Kugel bei der Verrückung bestreicht. Es folgt
^^L.Jq cos (vx) df.
Anderseits ist der Mittelwert der DifFerentialqaotienten von q nach x
8q
= i^ li'^^ = f/« *°' (^^) ^f'
dx so daß man erhält
(«»') n - n-
Es sind also, wie behauptet, auch die räumliche Differentiation und die Mittelwertsbildung mit- einander vertauschbare Operationen.
Erstes Kapitel. Buhende Körper. 255
Anf Grrand der Regeln (159 a^ b) ergeben sich durch Mittelwertsbildnng b,^b I bis lY die Differentialgleichungen
(la) curl|= i|l + ^p,
(Ha) curle=-m;
(Illa) div e = 4t^Q, (IV a) div f = 0.
Indem *die Mittelwerte für physikalisch unendlich kleine Bereiche gebildet wurden^ sind die raschen und regellosen räumlichen Änderungen des Feldes ; welche durch die ato- mistische Struktur der Elektrizität und der Materie bedingt sind^ herausgefallen. Man kann daher bei der Berechnung des curl und der Divergenz der Vektoren e und | unter dx dy dZy statt mathematisch unendlich kleiner Strecken^ auch physikalisch unendlich kleine Strecken verstehen. Femer kann man die Mittelwertsbildungen; wie über den Baum, so auch über die Zeit eratrecken, und unter dt ein „physikalisch unendlich kleines Zeitintervall^^ verstehen, das heißt ein solches, in welchem die Vektoren e, | verschwindend geringe zeitliche Änderungen erfahren.
Wir betrachten zui^chst den idealen Fall, daß der Körper nur Leitungselektronen enthält. Dann gilt
(160) {9}. = 9, {p}. = i
Die beobachtbaren Dichten der Elektrizität und des Leitungsstromes q, i sind dann einfach gleichzusetzen den Mittelwerten der Dichten der Elektrizität und des Eonvektions- stromes, berechnet für physikalisch unendlich kleine Volum- elemente. Nehmen wir eine Reihe verschiedener Elektronen- arten an, von den Ladungen ^; ^; 63 . . ., den auf die Volum- einheit berechneten Zahlen N^y N^, N^- - -} und den mittleren Geschwindigkeiten ti^, tig, tig, so hat man
(160a) Q =» Nj^e^ -f JV^e, -J- N^^e^,. .
(160b) i^N^e^1^^ + N,e,t^^ + N,e, Hj. . .
256 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Für einen idealen Leiter, der weder elektrisch polarisierbar noch magnetisierbar ist, nehmen die Hauptgleichungen der Max- wellschen Theorie eine sehr einfache Form an; es wird nämlich @ mit 4 TT S, $ mit 8 identisch. Im allgemeinen Falle aber sind zwei Paare elektrischer nnd magnetischer Vektoren (außer {) in den Hauptgleichungen zu unterscheiden (vgl. I, § 59). Es kommt jetzt gerade darauf an, den Zusammenhang dieser Vektoren mit e und ^ richtig zu erfassen und den unterschied zwischen wahrer und freier Elektrizität, sowie wahrem und freiem Strome, vom Standpunkte der Elektronentheorie aus zu verstehen. Im Hin- blick hierauf wollen wir die Anteile von q und 90 in Betracht ziehen, welche von den aneinander gebundenen positiven und negativen Elektronen herrühren.
Für ein elektrisch neutrales Molekül ist die Gesamtladung Null. Audi bildet die fortschreitende Bewegung eines solchen Moleküles keinen Leitungsstrom. Dennoch kann die gegen- seitige Verschiebung der Elektronen im Molekül zu einer Ab- änderung des Mittelwertes q der räumlichen Dichte Ver- anlassung geben, der ja durch eine im Räume feste, physi- kalisch unendlich kleine Kugel definiert war. Auch können die inneren Bewegungen der Elektronen sich durch eine Änderung des Mittelwertes 9» der Stromdichte bemerkbar machen.
Wir nennen das über das Volumen eines Moleküles er- streckte Integral
(161) ^ ^JQtdv
das elektrische Moment des Moleküles, indem wir unter x den von einem festen Punkte 0 des Moleküles aus gezogenen Fahrstrahl verstehen. Hat man es mit einem aus zwei Punkt- ladungen bestehenden Dipole zu tun, so ist |i das Moment des Dipoles.
Wir wollen indessen die allgemeinere Annahme machen, daß sich in jedem Moleküle n Elektronen, von den Ladungen e^y 63 . . . en, befinden. Das elektrische Moment des Moleküles ist dann
Erstes Kapitel. Ruhende Körper. 257
(161a) ^^eiti + e^t2+ '" +entn,
wobei
(161b) ei + ci+..-+e„ = 0
ist. Es mag N die auf die Yolumeinlieit berechnete Zahl der Moleküle sein.
Wir betrachten ein im Räume festes, physikalisch un- endlich kleines Flächenelement df. Welches wird die Elek- trizitatsmenge sein, die bei der Herstellung der Momente der Moleküle durch das Flächenelement df tritt? Wir wollen zunächst Yoraussetzen, daß alle in einem physikalisch unendlich kleinen Bereiche gelegenen Moleküle das gleiche Moment |i besitzen; sollte diese Voraussetzung nicht erfüllt sein, so können wir doch verschiedene Molekülgruppen von den Mo- menten H', H". . . und den Molekülzahlen N^y N" . . . unter- scheiden und die Moleküle jeder Gruppe gesondert betrachten. Auf die betreffende Molekülgruppe bezieht sich dann das- jenige, was hier von der ganzen Schar der Moleküle aus- gesagt wird.
Wir wollen den Punkt 0 des Moleküles, von dem aus die Badienvektoren t^, tg . . . tn gezogen sind, den Mittelpunkt des Moleküles nennen. Die Herstellung des Momentes ff er- folgt, indem die Ladung e^ von 0 nach dem Endpunkte A^ des Fahrstrahles t^, die Ladung e^ von 0 nach dem End- punkte Ä^ des Fahrstrahles tg bewegt wird, usf. Soll nun die Ladung e^ bei der Verschiebung von 0 nach Ä^ durch das im Räume feste, physikalisch unendlich kleine Flächenelement df hindurchtreten, so muß sich der Mittelpunkt 0 des Mole- küles offenbar in dem schiefen Zylinder befinden, den man erhält, indem man von den Punkten des Flächenelementes df aus die Fahrstrahlen — t^ konstruiert. Die Zahl der Moleküle, deren Mittelpunkte innerhalb dieses Zylinders liegen, ist gleich der Zahl N der in der Volumeinheit enthaltenen Moleküle, multipliziert mit dem Rauminhalt des Zylinders, also gleich:
Nti'.df
Abraham, Theorie der Elektrizität, ü. 17
* 258 Zweiter Absclmitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Diese Moleküle sind es, welche bei der HersteUtmg der Momente (161a) Elektronen erster Art durch df senden, und zwar im Sinne derjenigen Normalen, welche mit x^ einen spitzen Winkel einschließt. Die gesamte, bei der Herstellung des Momentes mit den Elektronen erster Art durch df im Sinne der Normalen v tretende Elektrizitatsmenge wird durch
Ne^x^vdf
auch dem Vorzeichen nach richtig angegeben. Die Anteile der yerschiedenen Elektronen summierend, erhalten wir
N^^df^^^rdf
für die gesamte, bei der Herstellung der Momente durch df tretende Elektrizität. Dabei stellt ^ =^|l die Yektorsumme der Momente aller in der Yolumeinheit enthaltenen Moleküle dar. Das erhaltene Resultat gilt auch dann, wenn die in einem physikalisch unendlich kleinen Yolumelement liegenden Mole- küle nicht alle das gleiche elektrische Moment besitzen. Man hat die Betrachtung dann auf jede Gruppe gleichartiger Mole- küle anzuwenden und die Anteile aller Gruppen zu summieren. In diesem allgemeineren Falle ist dann
(161c) ip-iV^'|i'+JV"<i" + ...
zu setzen.
Dieser Vektor stellt die auf die Yolumeinheit berechnete „elektrische Polarisation^^ dar. Indem die Elektronen- theorie die Polarisation eines Dielektrikums auf die Verschiebung der gebundenen Elektronen zurück- führt, verleiht sie dem Vektor 9, der im ersten Bande (§ 41) eingeführt wurde, eine konkrete physikalische Bedeutung.
Die bei der Polarisation des Dielektrikums durch ein im Baume festes Flachenelement df hindurchtretende Elektrizität wird durch ^y df angegeben. Demnach ist
(162) {P}p = ^
der von den Polarisationselektronen herrührende An- teil der Stromdichte. Er stellt, den Vorstellungen der
Erstes Kapitel. Ruhende Körper, 259
Elektronentheorie nach^ den an der Materie haftenden Bestand- teil des Yerschiebnngsstromes dar (ygL I, S. 193).
Bei der Herstellung der elektrischen Momente der Moleküle ist die Elektrizitätsmenge
C%df^JdxY^dv
durch eine geschlossene Flache herausgetreten. Vor Her- stellung des Momentes^ wo die Ladungen e^j e^. . .Sn alle in dem Mittelpunkte 0 des Moleküles lagen, gingen nach (161b) von dem einzelnen Moleküle überhaupt keine Kraftlinien aus, die mittlere Dichte der Elektrizität in jedem physikalisch unendlich kleinen Bereiche war gleich Null. Da nun bei Herstellung der Momente die soeben berechnete Elektrizitats- menge aus dem Räume v herausgetreten ist, so erhalten wir für den von den Polarisationselektronen herrührenden Anteil der elektrischen Dichte:
(162a) [q]^ « - div ip.
Die Ausdrücke (162) und (162a) der von den Polarisations- elektronen herrührenden Dichten des Stromes und der Elek- trizität erfüUen, wie es sein muß, die Kontinuitätsbedingung
(162b) div{p}^ + ^=»0.
Man denke sich von dem Mittelpunkte 0 eines Moleküles aus zwei entgegengesetzt gleiche Eadienvektoren x^ und t, konstruiert und an ihren Endpunkten gleiche Ladungen e^y e^ angebracht, femer im Mittelpunkte selbst die Ladung
befindlich. Das elektrische Moment dieses Systemes wird gleich Null sein, so daß solche Moleküle zur Polarisation des Dielektrikums keinen Anteil liefern. Lassen wir nun die Ladungen e^, e^ um den Mittelpunkt 0 umlaufen, so wird ein Polarisationsstrom diese Umlaufsbewegung nicht begleiten. Doch wird die ümlaufsbewegung, wenn sie genügend schnell erfolgt, sich als eine Magnetisierung des Körpers kundgeben.
17*
260 Zweiter Abachnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Die Elektroneiitheorie yerfolgt das Ziel^ durch solche nmlaofende Bewegnngen der Elektronen die Magnetisierting der Körper zu erklären; indem sie die Bestrebungen von Ampere und W. Weber wieder aufnimmt.
Wir definieren allgemein das magnetische Moment eines elektrisch neutralen Moleküles durch
(163) m -^fdvQ [tö] = ^^fdv \xf].
Haben wir n als Punktladungen zu betrachtende Elek- tronen im Moleküle ; so ist
(163a) n, - V i[r,i,,] + 5 . 1[r3i^] + . . . + ^ . i[t„ti„].
Ist nicht nur (163b) e^ + e^+... +6„ = 0,
sondern auch
(163c) ff = e^t^ + e2t^ + h ent« = 0,
und daher
(163d) 1^= ^101+ ^,02+ • • • + Cnb« = 0,
so daß das Elektronensystem weder zum Leitungsstrome, noch auch zur Polarisation und zum Polarisationsstrome Beiträge liefert, so wird es als ;;Magnetisierungselektron^^ schlecht- weg bezeichnet. Ist m von Null verschieden und (163b) nicht erfüllt, so wird das Molekül nicht elektrisch neutral sein, es wird sowohl zum Leitungsstrome wie zur Magnetisierung bei- tragen, während in dem Falle, wo m und ff für ein elektrisch neutrales Molekül von Null verschieden sind, man das Molekül sowohl als Polarisationselektron, wie auch als Magnetisierungs- elektron in Betracht zu ziehen hat.
Der Beitrag jeder einzelnen Elektronenart zum magne- tischen Momente bestimmt sich als Produkt aus seiner elektro- magnetisch gemessenen Ladung und dem axialen Vektor
■r^[rll], der im Sinne der Punktmechanik als Plächengeschwindig-
Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 261
keit bezogen auf den Mittelpunkt 0 des Moleküles bezeichnet werden kann. Das magnetische Moment stellt sich auch hier als ein axialer Yektor dar^ wenn anders die Elektrizität ein wirklicher Skalar ist.
Wir werden annehmen dürfen, daß die ümlaufsbewegungen der Elektronen, die zur Bildung magnetischer Momente Ver- anlassung geben, periodischer Art sind, und daß in einem physikalisch unendlich kleinen Zeitintervall eine große Zahl von umlaufen stattfinden. Rechnet man mit den über ein physikalisch unendlich kleines Zeitinterrall erstreckten Mittel- werten, so wird (163 c) unter diesen umstanden auch dann erfüllt sein, wenn z. B. ein negatives Elektron um das ruhende positive Elektron ümlaufsbewegungen ausfährt; die periodische Schwankung des elektrischen Momentes erfolgt dann so rasch, daß sie sich der Beobachtung entzieht, und es wird das Elektronen- paar dann nicht mehr als „Polarisationselektron% sondern aus- seUießHch ab Magnetisiernngselektron in Betracht kommen.
Die Magnetisierungselektronen steuern nun ihrerseits einen Anteil zum Mittelwerte des Konvektionsstromes Qi bei. Die Berechnung dieses AnteUes können wir zurückführen auf die- jenigen Regeln, welche wir soeben zum Zwecke der Berech- nung der mittleren, von den Polarisationselektronen herrührenden elektrischen Dichte entwickelt haben. Wir verstehen unter t einen durchweg konstanten Hilfsvektor und bilden das Vektor- produkt aus ihm und dem magnetischen Momente nt ent- sprechend der Rechnungsregel S (Bd. I, S. 437):
[*«] = ^ {ti (tÖx) - Öx (ttj) + ^ |t, (ttl,) - », (It,)) + • • • -t,(t/-^)+t,(i,^) + .-+t,(i,^)
Sind nun, wie angenommen wurde, die Perioden der Umlan&bewetniniren der Elektronen so eerinir, daß in einem ph™l»W. ZLm MA.n Z.ifcU,4n. 1. groB, ZM
262 Zweiter Absclmitt. Elektromagnet. Yorg^ge in wägbaren Körpern.
Ton ümlaofen stattfindet^ so fallt bei der Mittelwertsbildtmg über ein solches Intervall das zweite Glied fort; denn die Konfiguration der Ladungen im Moleküle bleibt im Mittel un- geändert. Die entstehende Gleichnng
(164) iim]-x,(t,'-^) + t,(i,^) + ...+u(i,^)
ist der Gleichung (161a) fQr das elektrische Moment des Mole- küles an die Seite zu stellen. Dem Skalar e dort entspricht
hier der Skalar (t,~). Derselbe genügt infolge von (163 d)
der BediBgung
(164a) (t,fJ!i) + (t,^J'.) + ...+(t,^) = 0,
welche (161b) entspricht.
Führen wir nun den Vektor ein:
(164 b) fBl^N'm' + ir^m"+" -,
welcher die von den verschiedenen Molekülgattungen her- rührende^ auf die Yolumeinheit berechnete Magnetisierung darstellt; so entspricht der Vektor [tSR] vollkommen dem Vektor ^ (vgl. 161c). Wie wir in (162 a) aus ^ den Mittel- wert Q der elektrischen Dichte ableiteten^ so können wir nun- mehr aus dem Vektor [tSR] auf Ghimd der analogen Beziehung
(t,^) = -div[t«]
den Mittelwert des von den Magnetisierungselektronen her- rührenden Konvektionsstromes ermittehi. Da t ein vom Orte unabhängiger Vektor ist; so ergibt die Regel X (Bd. I; S. 438)
- div [tW] - t curl 91.
Da dieses für jede beliebige Richtung des Hilfsvektors i gelten muß; so folgt
(164c) {9i}^ = c.curl8R
als Mittelwert des von den Magnetisierungselektronen herrührenden elektrischen Stromes. Die Mittelwerts*
Erstes Kapitel. Ruhende Körper. 263
bildnng bezieht sicli dabei ^ wie ans den obigen Überlegungen folgt, auf physikalisch unendlich kleine Zeiten und physi- kalisch unendlich kleine Gebietsteile des Baumes. Der Strom (164 c) genügt der Kontinuitätsbedingung, ohne daß eine parallel gehende zeitliche Änderung der Dichte der Elektrizität zu berücksichtigen wäre.
Wir schreiten nunmehr zur Summierung der Anteile, die von den yerschiedenen Elektronenarten zur mittleren Dichte der Elektrizität und des elektrischen Stromes beigesteuert werden. Aus (160) und (162 a) folgt
(165) ^={p], + {p),= p-diT!P = 9'.
Der erste Bestandteil, die von den Leitungs- elektronen herrührende Dichte, ist identisch mit der Dichte der wahren Elektrizität in der Maxwell- Hertzschen Theorie. In der Tat, die wahre Ladung eines Leiters ist diejenige, die nur durch einen Leitungsstrom ab- geändert werden kann, und die, wenn ein solcher fehlt> auch dann konstant bleibt, weim der Leiter in ein anderes Dielek- trikum eingebettet wird. Die durch die Polarisation des Dielektrikums abgeänderte mittlere Dichte 'q hin- gegen ist identisch mit der Dichte q> der freien Elek- trizität in der Maxwell -Hertzschen Theorie. Da 9'
durch die Divergenz von 7— Ä, (> aber durch die Divergenz
von ® gegeben wurde (vgl. I, § 39), so muß zwischen diesen beiden Vektoren die Beziehung bestehen:
(165a) ^^4^* = ^^^ {® - V}^
wenn anders die Mittelwertsbildung uns wirklich zu den Haupt- gleichungen der Maxwellschen Theorie führen soll.
Als resultierender Mittelwert des elektrischen Stromes folgt aus (160, 162 und 164c)
(165b) p = [Qi]; + {p}p + {QiU = * +^ + ^ c^^l «•
Der erste Bestandteil, der von den Leitungs- elektronen herrührt, ist auch für magnetisierte Leiter
264 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
mit der Dichte des wahren Leitungsstromes in der Maxwell -HertzBchen Theorie identisch. Derselbe be- stimmt die Ändernng der wahren Ladung der Leiter. Die durch die Mitwirkung der Magnetisierungselektronen abgeänderte mittlere Dichte hingegen
(165c) i' = i + c curl «t
(vgl. Bd. I S. 233 Gleichung 176) ist nichts anderes, als die Dichte des freien Stromes in der Maxwell-Hertz-
49ri'
sehen Theorie. Da für stationäre Ströme durch curl 8,
1 c
hingegen durch curl ^ bestimmt wird, so ist zu postulieren:
(165d) curl » = curl {^ + 4«»}.
Wie ordnen sich nun die Vektoren (S und S, 8 und ^ den Mittelwerten e und | zu, die in den Grrundgleichungen (la bis IVa) der Elektronentheorie auftreten? Wir sehen sofort, daß wir der quellenfreien Verteilung des Vektors 8 der magnetischen Liduktion gerecht werden, wenn wir setzen
(166) » = f.
Alsdann führt (IIa) auf die zweite Hauptgleichung (Bd. I S. 238 Gleichung 178), bei Ausschluß eingeprägter Krafte, wenn e mit (S identifiziert wird:
(166a) <S » e.
Die Elektronentheorie identifiziert die Vektoren 8 und a der Maxwellschen Theorie mit den Mittel- werten der elektromagnetischen Vektoren | und e, welche die Felder der einzelnen Elektronen kenn- zeichnen. Hier wird Ton vornherein ein Standpunkt ein- genommen, welcher nicht die Hertz - Heayisidesche Analogie der Vektoren (S und % einerseits, ^7C% und 8 anderseits zu- grunde legt. Die Symmetrie der elektrischen und magne- tischen Größen wird von der Elektronentheorie aufgegeben; in ihren Grundgleichungen spielt bereits ]| eine andere Rolle wie e, was daher rührt, daß zwar Elektrizität und elektrischer
Erstes Kapitel. Bähende Körper. 265
KonyektionsBtrom^ aber keineswegs Magnetismas und magne- tischer Eonyektionsstrom angenommen wird.
Die Einführung der Definitionen (166) und (166 a), sowie des für die Stromdichte erhaltenen Mittelwertes (165b)^ in die erste Gfrondgleichung (la) ergibt
^'"^ * - 7 W + T W + — + *" •'"^ **•
Die beiden ersten Glieder^ der Yerschiebungs- ström im Äther und der Polarisationsstrom im Körper^ ergeben zusammen den Yerschiebungsstrom der Maxwellschen Theorie. Setzen wir
(166b) 4Ää)-« + 4Äip,
so erfüllen wir gleichzeitig die Forderung (165 a). Aladann
folgt durch Yergleichung mit der ersten Hauptgleichung (177 a)
in Bd. I, S. 237, daß wir ^ folgendermaßen zu definieren
haben
(166c) ^ = »-4««.
Dann wird die erste Hauptgleichung der Maxwellschen Theorie lind gleichzeitig die Forderung (165d) erfüllt.
Die Lorentzsche Theorie definiert die beobacht- baren elektromagnetischen Vektoren durch (166) und (166a, b, c) und gelangt so zu den Hauptgleichungen der Maxwellschen Theorie für ruhende Korper:
(Ib) curl$= ^VW + "'' (Hb) curl«=:-i^,
(Hlb) div S) - 9, (IVb) div «= 0.
Dabei identifiziert sie — das muß besonders betont werden — die Mittelwerte der Dichten der Elektrizität und des elektrischen Stromes, welche von den freien und von den gebundenen Elektronen herrühren, keines- wegs mit Q und i. Vielmehr wird der Mittelwert der
266 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
elektriBchen Diclite mit der freien Dichte der Maxwell-Hertzsclien Theorie identifiziert^ der Mittel- wert des Konyektionsstromes der Elektronen mit dem freien Strome^ yermehrt am den an der Materie haftenden Anteil des Yerschiebungsstromes (ygl. 165 und 165b, c).
Das Schema der Hauptgleichmigen wird in der Maxwell- Hertzschen Theorie (vgl. I, § 60) ausgefällt durch HinzufQgung der Beziehungen, welche (S mit i und S, ^ mit 8 yerknüpfen. Die Elektronentheorie gelangt zu diesen Beziehungen, indem sie die Veränderungen betrachtet, welche die Lage und der Bewegungszustand der Elektronen infolge der Einwirkung äußerer Felder erfahrt. Wir werden insbesondere fftr die Polarisationselektronen diese Betrachtungen in den beiden nächsten Paragraphen durchfuhren und werden zeigen, daß die Berücksichtigung der Trägheit der Elektronen zum Ver- ständnis der Farbenzerstreuung und der magnetischen Drehung der Polarisationsebene führt.
Von eingeprägten Kräften haben wir abgesehen. Die Maxwellsche Theorie versteht unter eingepiagten elektrischen Ejüften solche, welche unabhängig Ton wahrnehmbaren elektro- magnetischen Ursachen siud, und mit irgendwelchen sonstigen physikalischen oder chemischen Zusi^den des Körpers yer- knüpft sind (ygl. I, § 50). Nach der Elektronentheorie ist die eingeprägte Kraft eine äußere, an den Elektronen angreifende £[raft. Da aber nach den ömndhypothesen unserer Theorie nur elektromagnetische Kräfte es sind, welche an den Elek- tronen angreifen, so müssen wir postulieren, daß die eia- gepiagten Kräfte erklärt, das heißt auf die elektromagnetischen £j-äfte yerborgener Felder zurückgeführt werden. Der Stand- punkt der Elektronentheorie ist dabei zu yergleichen dem- jenigen, welchen die Hertzsche Mechanik den mechanischen E[räften gegenüber einnimmt. Ist der Mechanismus der Kraft- übertragung nicht wahrnehmbar, so fordert die Hertzsche Mechanik, daß die Kraft auf die Wirkung yerborgener Massen zurückgeführt werde. Wie die Hertzsche Mechanik fingierte
Erstes Kapitel. Buhende Körper. 267
trage Massen znhilfe nimmt ^ so zieht die Elektronentheorie znr Erklärung der eingeprägten Emfte fingierte elektrische Felder heran, welche anf die freien oder auf die gebundenen Elektronen wirken. In der Durchführung dieses Grundgedankens bleibt der Hypothese ein weiter Spielraum.
§ 29. Dispersion der elektromagnetischen Wellen.
Wir betrachten einen unmagnetisierbaren homogenen Iso- lator. Die für einen solchen geltenden Feldgleichungen werden in der Maxwellschen Theorie erhalten; indem SR und i gleich Null, und
(167) 43^3)-««, 4ä1P = («-1)«
gesetzt wird. Die Dielektrizitätskonstante s wird dabei als eine für den betrefiPenden Isolator charakteristische Konstante betrachtet; und die erhaltenen Feldgleichungen werden auch auf die Felder der LichtweUen angewandt (vgL I, § 69).
Die Elektronentheorie führt die elektrische Polarisation auf eine Verschiebung der gebundenen Elektronen zurück. Die Proportionalität der Momente der Polarisationselektronen zur elektrischen Feldstärke erklärt sie durch Annahme quasi- elastischer Kräfte; welche dieselben in ihre Gleichgewichts- lagen zurückziehen. Solche quasielastischen Kräfte mußten wir schon früher annehmen (§ 9); um von der Existenz der in der Lichtemission sich kundgebenden Eigenschwingungen Rechenschaft zu geben. Die Eigenschwingungen ergaben sich ohne weiteres aus der Annahme quasielastischer Kräfte und aus der trägen Masse der Elektronen.
Nun waren bekanntlich durch Annahme von Eigen- schwingungen in den Molekülen der lichtbrechenden Körper Ton Sellmeier; Ketteier und Helmholtz die Erscheinungen der Dispersion erklärt worden. Man gelangt zu einer elektro- magnetischen Theorie der Dispersion; indem man der trägen Masse der von den Lichtwellen in Schwingungen versetzten elektrischen Teilchen . Rechnung trägt. Wir werden bei der Darstellung der Elektronentheorie der Dispersion uns ins-
268 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
besondere an H. A. Lorentz^)^ P. Drade') und M. Planck') an- schließen.
Wir betrachten eine ebene homogene elektromagnetische Welle^ welche in dem homogenen isotropen Dielektrikum parallel der a;-Achse fortschreitet; die Welle sei geradlinig, parallel der xr-AchsC; polarisiert, d. h. die magnetischen Vektoren $ =» 8 fallen in die jer-Achse, nnd die elektrischen, S und (S, in die y-Achse. Die Hauptgleichungen (Ib, IIb) ergeben
dx c dt dx € dt
mithin nach Elimination von $«
Für monochromatische Wellen von der Frequenz v wird nun die Abhängigkeit der Komponenten üy und %y von x und t durch den komplexen Faktor
gekennzeichnet sein, wo — die Geschwindigkeit der WeDen,
n demnach den Brechungsindex des Korpers angibt. Aus (167a) folgt für diese Wellen:
AlC%y^n^(ty.
Akzeptiert man die von der Maxwellschen Theorie be- hauptete Proportionalitat Yon % und @ (61. 167), so gelangt man zur Maxwellschen Relation n*=fi zurück (vgl. I, S. 308, GL 205 d). Wenn wir auch diese Beziehung nicht als aUgemein gültig annehmen, so müssen wir doch fordern, daß bei gegebener Frequenz v (167b) 4äS)-w*«, 4jrip = (w*-l)
1) H. A. Lorentz. Ann. d. Phys. 9 (1880), S. 641. La throne ^lectromagn^tiqne de Maxwell Leide 1892. E. J. BriU. (Arch. N^erl. 26, S. 368—661.)
2) P. Drude. Ann. d. Phys. 48, S. 636, 1893. Ann. d. Phys. 14, S. 677, 1904.
8) M. Planck. Berliner Sitznngsber. 1902, S. 470.
Erstes Kapitel. Ruhende Körper. 269
gelte. Denn nur dann folgt ans den Hauptgleiclmngen anf Gfnmd von (167 a) das von der Erfsdining bestätigte Ergebnis, daß in einem homogenen isotropen durchsichtigen Körper monochromatische Lichtwellen Ton gegebener Frequenz nach allen Richtungen mit der gleichen, von der Lichtstarke un- abhängigen Geschwindigkeit sich fortpflanzen. Der Brechungs- index fif der in (167 b) eingeht, kann allerdings von der Fre- quenz der Schwingungen, d. h. Ton der Wellenlänge des Lichtes abhängen; diese Abhängigkeit bedingt eben Farben- zerstreuung.
Die Elektronentheorie bringt den Brechungsindex in Zu- sammenhang mit der Zahl und den Eigenschaften der Polari- sationselektronen, indem sie die elektrischen Momente der- selben mit der Feldstärke verknüpfb. Sie geht dabei aus von der Schwingungsgleichung (56, 56 a) der freien Eigen- schwingungen eines Dipoles, in deren rechte Seite die äußere elektromagnetische Erafb einzuführen ist. Es wird
(168) S+ *'*-£»"
Wir nehmen nur eine einzige Elektronenart als mit- schwingend an, und zwar sei p die Zahl der Elektronen im Molekül, N die Zahl der Moleküle im cm\ Die Polarisation der Volumeinheit wird dann gemäß (161c)
(168a) fß^ Npff.
Auf den Fall verschiedener Elektronenarten kann man die Entwickelungen ohne Schwierigkeit ausdehnen.
Die auf die Einheit der Ladung berechnete äußere Kraft ist
(168b) r^e^ + iW],
wobei unter e^ und |^ der elektrische und der magnetische Vektor des äußeren Feldes im Äther zu verstehen sind. Den zweiten Term in (168b) pflegt man, wenn kein konstantes äußeres magnetisches Feld mitwirkt und nur das magnetische Feld der Lichtwellen selbst in Frage kommt, gegen den ersten
270 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
zu vemachlässigeii^ indem man die Geschwindigkeit der schwin- genden Elektronen als klein gegen die Lichtgeschwindigkeit betrachtet.
Es folgt aus (168) und (168a, b):
(169) ^ + jc^^^Np^^^?.
Dabei ist unter e** ein Mittelwert des Vektors e** zu ver- stehen; derselbe ist jedoch keineswegs mit dem Mittelwert e=S des vorigen Paragraphen zu verwechseln. Der Mittelwert e bezog sich luLmlich auf ein physikalisch unendlich kleines Yolum-
Clement des Baumes; der Mittelwert t*' ist nur für diejenigen Baumpunkte zu bilden, in welchen sich mitschwingende Elek- tronen befinden. Auch handelt es sich nicht um den totalen Wert des Vektors e, vielmehr ist in e" das vom Elektron selbst erregte Feld fortgefallen. Die Berechnung des Mittel- wertes e* erfordert einige Überlegung.
Wir legen um den Punkt, für welchen e** berechnet werden soU, eine Eugel mit dem physikalisch unendlich kleinen Badius jß; es heißt das, es soll B klein gegen die Wellenlänge sein und doch die Eugel eine große Zahl von Elektronen einschließen. Da B klein gegen die Wellenlänge ist, so werden innerhab der Kugel, und auch auf ihrer Ober- fläche, die Vektoren & und ^ konstant sein. Zu dem Vektor e" werden nun erstens diejenigen Elektronen einen Beitrag liefern, die innerhalb der Eugel sich befinden, und zweitens diejenigen außerhalb der Eugel. Den letztgenannten Bestand- teil der elektrischen Eraft bestimmen wir, indem wir aus dem Innern der Eugel die Elektronen fortgeschafft denken; nach Fortschaffang aller Elektronen aus dem Innern der Eugel weicht das Feld im Innern von dem Felde & der Lichtwellen im Eörper nur aus dem Grunde ab, weil sich jetzt auf ihrer Oberfiäche eine Schicht freier Ladui^en befindet. Die Ein- wirkung dieser Schicht können wir, da der Badius der Eugel klein gegen die Wellen]i.nge ist, auf Grund elektrostatischer Betrachtungen ermitteln. Wir hatten in Bd. I, § 42 eine ahn-
Erstes Kapitel. Buhende Körper. 271
liehe Aufgabe gelöst; wir hatten das von einer homogen polarisierten Engel erregte Feld bestimmt und es im Innern
gleich — Q- • V gefunden (Gleichung 144b, S. 161). Nun ist
die Feldstärke durch die freien Ladungen bestimmt; in dem vorliegenden Falle^ wo außerhalb der Eugel die konstante Polarisation ^ herrscht und das Innere der Eugel nicht polari- siert ist; ist die Dichte der freien Elektrizität auf der Eugel- fiäche offenbar die entgegengesetzte^ wie in dem damals be- handelten Falle^ wo das Eugelinnere homogen polarisiert^ das Äußere aber nicht polarisiert war. Es gibt demnach
« + ¥*
den Wert von e** an, den man erhält, wenn man diejenigen Eräfte nicht berücksichtigt, die von den Elektronen innerhalb der Eugel herrühren. Für den Mittelwert der Summe dieser von den Polarisationselektronen der benachbarten Moleküle ausgeübten Eräfte setzt nun H. A. Lorentz 4:7t sf^, wo s eine Eonstante bedeutet, und erhält so
(169a) p=(g + 4^(i + 5)jp.
Für feste Eorper, bei denen man eine geordnete Lagerung der Moleküle und Elektronen anzunehmen hat, wird im allgemeinen eine von den Momenten der benachbarten Moleküle und Elektronen herrührende Eraft zu berücksichtigen sein. Bei Flüssigkeiten und Gasen hingegen, wo regellose Änderungen in der Gruppierung der Moleküle stattfinden, wird es gestattet sein, mit M. Planck anzunehmen, daß die Einwirkungen der innerhalb der Eugel befindlichen Elektronen sich im Mittel auf- heben und s demnach gleich Null zu setzen. Wir ziehen es indessen vor, die Eonstante s beizubehalten. Wir umfassen dann auch
die Theorie von P. Drude, in welcher e* einfach mit der Feld- stärke @ der Lichtwellen identifiziert wird; der Drudesche An- satz geht aus dem Lorentzschen hervor, indem
1
gesetzt wird.
«--8
272 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yorg^ge in wägbaren Körpern.
unter Annahme rein periodischer Schwingungen von der Frequenz v folgt aus (169) und (169a)
(169b) (fc«- 1/«) JP = Np • ^'{« + 4;r (i + s)^^-
Hieraus^ in Verbindung mit (167 b), erhalten wir
(*«- v^) . (n«- 1) = 4.nNp^'^[\ + (»«-1) {^ + s) }•
Die Eonstante Tc der Schwingungsgleichung (168) ist nichts anderes, als die Frequenz der Eigenschwingungen der Polari- sationselektronen. Führen wir statt der Frequenzen Tcy v der Eigenschwingungen und der erzwungenen Schwingungen deren im leeren Räume gemessenen Wellenlängen ein:
so wird (170) |
|
WO (170 a) gesetzt ist. |
Die Dispersionsformel (170) drückt die Änderung des Brechungsindex n mit der Wellenlänge r aus. Setzt man s = 0, so wird
("Ob) S±l=7(v-^i-
Da y der Zahl "N der Moleküle proportional ist, so muß bei einer Dichteänderung des Körpers für Licht bestimmter Farbe die Funktion w*— 1/»*+2 des Brechungsexponenten der Dichte proportional variieren, wenn anders die Zahl der mitschwingenden Elektronen im Molekül und die Wellenlänge ihrer Eigenschwingung bei der Dichteänderung sich nicht ändern. Dieses Lorentz-Lorenzsche Gesetz hat sich yielfach bestätigt gefunden. Es hat sich auch ergeben, daß für Mischungen die Größe w* — l/w^+2 sich aus den Bei- tragen der Komponenten nach der Mischungsregel berechnen
Erstes Kapitel. Bähende Körper. 273
läßt. Auch auf chemische Yerbindungen hat man diese Regel angewandt und in vielen Fällen bestötigt gefunden. Man darf in solchen Fällen annehmen, daß die Polarisationselektronen am Atome haften und daß ihre Zahl und ihre Eigenschwingong bei der chemischen Bindung der Atome erhalten bleibt.
Wir schreiten zur Diskussion der Dispersionsformel (170). Wir unterscheiden dabei yerschiedene Falle.
A) Xq klein gegen X. Hier kommt auf der rechten Seite von (170) das mit X yeränderliche 61ied nicht in Betracht und es ergibt sich für die linke Seite ein positiver^ konstanter Wert. Eigenschwingungen^ die sehr weit nach der ultra- yioletten Seite hin von dem betrachteten Spektralbereich ent- fernt liegen; ergeben demnach zwar eine Brechung^ aber keine Dispersion; das hängt damit zusammen^ daß die Trägheit der mitschwingenden Teilchen nicht in Betracht kommt, wenn die Frequenz klein gegen die Frequenz der Eigenschwingungen ist.
B) Xq<X. Die rechte Seite von (170) ist positiv und nimmt mit abnehmendem X ab. Es nimmt daher, wenn man sich von der roten Seite her der Wellenlänge Xq der Eigenschwingung nähert, der Brechungsindex zu, d. h. es liegt der Fall der normalen Dispersion vor.
C) Xq> L Beim Durchgang durch den Wert X^ Xq wechselt die rechte Seite von (170) das Vorzeichen, sie wird negativ und nimmt, bei weiterem Fortschreiten zu kleineren WellenBmgen, dem Betrage nach zu. Es muß demnach, nach
Drude (s 1) genau, nach Lorente und Planck ungefähr
bei der Wellenläiige der Eigenschwingung, n* — 1 von beträcht- lichen positiven zu negativen Werten übergehen. Die Wellen- längen, die auf der violetten Seite der Eigenschwingung liegen, werden also schwächer gebrochen, als die auf der roten Seite Uegenden. So erklärt man die anomale Dispersion. Beim weiteren Fortschreiten nach der violetten Seite des Spektrums nimmt der Brechungsindex wieder zu, indem er dem Werte 1 zustrebt.
D) Xq groß gegen X. Der Wert 1 des Brechungsindex ist nahezu erreicht. Die Eigenschwingung beeinflußt den
Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 18
274 Zweiter AbBchnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Brechimgsindex überhaupt nicht mehr; es schwingen die Elek- tronen nicht mehr mit.
Man wird hiemach ans der Gleichheit der Brechnngs- indizes eines Körpers für zwei yerschiedene Wellenlangen schließen dürfen, daB zwischen diesen beiden Wellenlangen keine Eigenschwingung der Elektronen liegt. Insbesondere wird ans der Übereinstimmung des Quadrates des Brechungs- exponenten für sichtbares Licht mit der Dielektrizitäts- konstante, die beispielsweise bei Luft und Wasserstoff fest- gestellt ist, zu schließen sein, daß im ultraroten Spektral- gebiete keine Eigenschwingungen Uegen. P. Drude, der in der zweiten der oben zitierten Arbeiten das Beobachtungs- material in um&ssender Weise vom Standpunkte der Elektronen- iheorie aus diskutiert, kommt zu dem Schlüsse, daß die ultrar roten Eigenschwingungen den trägeren positiven Elektronen, die ultravioletten den mit weit geringerer Tra^eit behafteten negativen Elektronen zuzuschreiben sind. Die Dispersion des Wasserstoffes wird man hiemach auf die Anwesenheit negativer Elektronen zurückzuführen suchen, deren Eigenschwingungen im ultravioletten liegen, und wird mit Bücksicht auf die ein- fache Bauart der fTg-Moleküle die Annahme einer einzigen schwingungsßhigen Elektronenart hier als berechtigt ansehen dürfen.
Nun hat H. A. Lorentz^) die Eettelerschen Messungen an Wasserstoff von 0^ Celsius und Atmosphärendruck, wo n nur wenig größer ist als 1, durch die Formel dargestellt:
5M:|«_1_ = 10707 -?^°^?y2
w*— 1 2(n — 1) X*
— 5
Die Vergleichung mit (170b) ergibt für Wasserstoff
-«0,0739. 10 -ß. y
Hieraus und aus (170a) läßt sich die Zahl p der Polari- sationselektronen im ^2*^^^^^^^ berechnen.
1) H. A. Lorentz. Akad. yan Wetensch. te Amsterdam. Bd. 6. 1897/98, S. 618.
Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 275
Es ist die Dichte eines Körpers
wo M sein Molekulargewicht, m^ aber die Masse des Wasser- stofibtomes ist.
Es folgt demnach; mit Bücksicht auf Gleichung (1),
= • -=rz. = 9660 • -tTz}
c cffijj M M
xmd daher aus (170a)
/ITA \ ö^öö ^
{170c) y-P'V"-^'M'
Es läßt sich auf Grund dieser Gleichung das Pro- dukt Yon Zahl p und spezifischer Ladung 17 der nega- tiven Elektronen aus der Konstante 7^ der Dispersions- formel berechnen, falls nur eine einzige Elektronen- art ins Spiel kommt. Für ideale Gkuse speziell ist allgemein
f- 2,24. 10*,
SO daß
(170d) JP • 1? = 7,285 . y
wird.
Für Wasserstoff folgt aus dem angegebenen Werte von y
p . iy « 2,96 • 101
Da p eine ganze Zahl sein muß, so kommt man dem aus der Ablenkung der Kathodenstrahlen berechneten Werte von rj am nächsten, wenn man mit P. Drude setzt:
(170e) i)-2, 1^=1,48-101
Es sind also im jB^-Moleküle zwei Polarisations- elektronen anzunehmen.
Wir haben der Absorption des Lichtes bei Wellenlängen, welche den Eigenschwingungen der Polarisationselektronen entsprechen, nicht Rechnung getragen. Zur Darstellung der Absorption, und auch zur genaueren Verfolgung der Dispersion durch den Absorptionsstreifen hindurch, wäre die Einführung von Dämpfungsgliedem in die Schwingungsgleichung (168)
18*
276 Zweiter AbBchnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
notwendig. Man kann diese Einf&knmg in yerschiedener Weise yomehmen, entweder^ indem man mit P. Drade eine der Ge- schwindigkeit proportionale Beibnng ähnlich wie in der gewohn- lichen Mechanik annimmt, oder indem man mit M. Planck anch hier die Dämpfängsglieder als Bückwirkung der Strahlung auffaßt, wobei diese der zweiten Ableitung der Geschwindig- keit nach der Zeit proportional werden (vgl. § 9 Gleichung 58 b). In beiden Fallen erklart sich das Auftreten derselben Linien im Emissionsspektrum und im Absorptionsspektrum auf Grund der allgemeinen Schwingnngslehre; die Polarisationselektronen, sprechen auf diejenigen Wellen an, welche mit ihren Eigen- schwingungen in Resonanz sind.
Wir haben hier nur eine einzige Elektronenart und eine einzige Eigenschwingung angenommen. Man kann die maihe- matischen Entwickelungen ohne weiteres auf den Fall beliebig vieler Eigenschwingungen ausdehnen, indem man jede Eigen- schwingung einer anderen Elektronenart zuschreibt. Es ist aber die Frage, ob diese Darstellung der Wirklichkeit ent- spricht. Dieselben tmgelosten Probleme, welche uns die Emissionsspektra darboten (vgl. § 9), treten uns auch in der Theorie der Absorptionsspektren entgegen.
§ 30. MagnetlBOliQ Drelnuig der Folariaationsebene.
In einem früheren Abschnitte (§ 10) hatten wir von den Yei^derungen gesprochen, welche die Spektrallinien im mag- netischen Felde erfahren. Im einfachsten Falle des normalen. Zeeman-Effektes werden parallel den magnetischen Kraft- linien zwei zirkularpolarisierte Wellen ausgesandt; der Unter- schied ihrer Frequenzen ist gleich der spezifischen Ladung der Elektronen, multipliziert mit der mitotischen Feldstärke (vgl. 60 d). Diese Veränderung der Eigenschwingungen der Elektronen, die sich in den Emissionsspektren zeigt, kommt nun auch in den Absorptionsspektren zur Geltung. An Stelle einer einzigen Linie des Absorptionsspektrums treten bei Einwirkung eines d^ Fortpfianzungsrichtung des Lichte» parallelen magnetischen Feldes deren zwei, in denen die rechts-
.i
Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 277
bzw. linkszirkTilare Welle absorbiert wird. Dem direkten Zeeman- Effekt der Emission tritt der inverse Zeeman-Effekt der Absorption gegenüber. Die Theorie dieser Erscheinung ist von W. Voigt ^) im Anschlüsse im die Dmdesche Theorie der Dis- persion entwickelt worden. Die dabei sich ergebenden Einzel- heiten des Phänomens hat die Beobachtung vielfach bestätigt.
Im vorigen Paragraphen haben wir gesehen, dafi die Eigen- schwingungen der Elektronen auch außerhalb des Besonanz- bereiches von Einfluß sind, daß sie nämlich zu einer Dispersion des Lichtes Veranlassung geben. Beim Hinzutreten eines mag- netischen Feldes werden nun die Frequenzen der rechts- und linkszirkularen Eigenschwingungen der Elektronen in ver- schiedener Weise abgeändert. Damit hängt es zusammen, daß parallel den magnetischen Kraftlinien die rechts- und links- zirkularen Komponenten des einfallenden Lichtes mit ver- schiedenen Geschwindigkeiten fortgepflanzt werden, und daß so eine Drehung der Polarisationsebene zustande kommt. Die Theorie der magnetischen Drehung der Polarisationsebene wollen wir in diesem Paragraphen behandeln.
Wir schließen Leitungselektronen und Magnetisierungs- elektronen aus. Die beiden Hauptgleichungen (Ib, Hb) des § 28 ergeben dann _
(171) • curl§== ^^>
(171a) curlß = -i^,
dabei ist (vgl. 166 b) zu setzen
(171b) 4Ä3)«e + 4Äip.
Dieses öleichungssystem ist zu er^inzen durch Einführung der Beziehung, welche den Vektor Sp, die auf die Volum- einheit bezogene elektrische Polarisation, mit der elektrischen FeldsiUrke @ verknüpft. Wir haben im vorigen Paragraphen, von der Schwingungsgleichung (168) ausgehend, diese Be- ziehung abgeleitet, wobei wir indessen von einer Einwirkung
1) W. Voigt, Ann. d. Phys. 67. S. 846. 1899. Vgl. auch H. A. Lorentz, Gongribs international de Pbjsique, III 8. 1. Paris 1900.
278 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wUgbaren Körpern.
magnetischer Kräfte auf die Elektronen abgesehen haben. Wir haben jetzt den Einfluß eines konstanten magnetischen Feldes auf die Elektronenschwingongen in Betracht zu ziehen; wir wollen dasselbe der 0- Achse parallel annehmen und den Betrag der Feldstarke mit H bezeichnen ^ zum unterschiede Yon der periodisch veränderlichen Feldsförke % der Lichtwellen. Die Differentialgleichungen, welche für die Komponenten von |i gelten^ gehen aus den Gleichungen (59 a, b, c) der Eigenschwingungen hervor, indem die äußeren elektrischen Kräfte in der im vorigen Paragraphen dargelegten Weise ein- gef&hrt werden. An Stelle der Gleichungen (169, 169 a) treten dann die folgenden:
(171c)
dt*
dt*
(171d) -^ + Jc^%-^{(&^+^^{i + s)%[
Wir wollen monochromatische transversale LichtweUen be- trachten, welche sich parallel den Magnetkrafklinien fortpflanzen. Wir suchen demgemäß die Gleichungen durch Annahme homo- gener ebener Wellen zu erfüllen, in denen die Feldstärken von t und z in der Weise abhängen, wie es durch den komplexen
Faktor e ^ ^ ' zum Ausdruck gebracht wird. Die longitu- dinalen Komponenten $«, (B» und iß« sind dabei gleich Null zu setzen, und es wird, gemäß (171, 171b)
während aus (171a) folgt
Durch Elimination von §x} ^9 folgt (172) 4:7t%== (w*- 1)6,, 4;rSPy« (n«~ 1)6^,
welches auch immer der Polarisationszustand der WeUe sein mag.
Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 279
Wir wollen nun unter w' bzw. w" die Brecliungsindizes der rechts- bzw. linkszirkularpolarisierten Wellen verstehen^ welche sich im magnetischen Felde fortpflanzen.
Bei Fortpflanzung parallel der ir- Achse gilt
(172a) §y-±i§.
und daher
(172b) e,= ±i«., Jp,= ±iJPx,
wobei das obere Vorzeichen sich auf die rechtszirkulare^ das untere auf die linkszirkulare Schwingung bezieht; erstere ent- spricht einer negativen^ letztere einer positiven Drehung um die 0-Achse. Die Einführung von (172) und (172b) in (171c) ergibt
oder
Diese erweiterte Dispersionsgleichung bestimmt die Brechungsindizes und somit die Geschwindig- keiten der beiden den Magnetkraftlinien parallel fortgepflanzten zirkularpolarisierten Wellen. Der Elammerausdruck auf der rechten Seite verschwindet für die- jenigen Frequenzen v der Lichtschwingungen^ welche den durch das magnetische Feld abgeänderten Frequenzen der Eigen- schwingungen der Elektronen entsprechen (vgl. 60 b). Da wir indessen die Absorptionsglieder der Schwingungsgleichungen gestrichen haben, so müssen wir uns ein Eingehen auf die inner- halb des Absorptionsstreifens zu beobachtenden Fortpflanzungs- geschwindigkeiten versagen und uns auf solche Schwingungs- zahlen beschränken^ welche von denjenigen der Eigenschwingungen einigermaßen entfernt sind. Hier bedingt der Einfluß des magnetischen Feldes nur eine geringe Abänderung des Brechungs- index.
Verstehen wir unter n die gemeinsame Geschwindigkeit der beiden Wellen vor Erregung des magnetischen Feldes^ welche bestimmt ist durch
282 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yor^nge in wägbaren Körpern.
Ist die Dispersionsknrye gegeben^ so kann hieraus die magnetische Drehung und ihre Abhängigkeit von der Wellen- ^ge ermittelt werden. Daß die Formel in manchen Fallen zutrifft^ hat H. Becquerel^) gezeigt; auch aus der Theorie von W. Voigt*) ergibt sich die gleiche Formel, allerdings wird dort die multiplikative Eonstante nicht in Verbindung mit der spezifischen Ladung der Elektronen gebracht. Dieses hat L. H. Siertsema') nachgetragen und ftir verschiedene Körper den Wert der spezifischen Ladung der Elektronen aus der beobachteten magnetischen Drehung mit Hilfe jener Formel berechnet. Er findet z. B. für Wasserstoff den Wert
(174 c) iy« 1,77.10^,
welcher mit den aus der Ablenkbarkeit der Eathodenstrahlen und Becquerelstrahlen ermittelten Werten der spezifischen Ladung noch besser stimmt, ab der im vorigen Paragraphen aus der Dispersion des Wasserstoffes abgeleitete Wert. Für die anderen untersuchten Körper erhält allerdings Siertsema durchweg kleinere Werte von rj.
§ 31. MagnetlBienuig.
Wie die Elektronentheorie die Beziehungen, welche zwischen der elektrischen Polarisation $P und der elektrischen Feld- stärke (S bestehen, durch geeignete Annahmen über die Eigen- schaften der Polarisationselektronen zu veranschaulichen sucht, so muß sie bestrebt sein, die zwischen der Magnetisierung SK und der magnetischen Feldstärke $ obwaltenden Beziehungen auf die Mitwirkung der Magnetisierungselektronen zurück- zuführen. Diese Magnetisierungselektronen sind nahe verwandt den Molekularströmen, durch welche Ampere und Weber die magnetischen Eigenschaften der Körper zu erklären suchten. Ob wirklich der Paramagnetismus und der Diamagnetismus
1) H. Becqnerel, C. R. 126, S. 679. 1897.
2) W. Voigt, Ann. d. Phys. 67, S. 351. 1899.
3) L. H. Siertsema, Akad. v. Wetensch. te Amsterdam 1902, S. 499.
Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 281
in positiyein Sinne um die 0- Achse gedreht. Die sogenannte ,3otationskonstante'^ Ry welche durch
(174) (D = BzH
definiert ist, folgt ans (173 b):
Da sich im vorigen Paragraphen der Differentialquotient des Brechungsindex n nach der Frequenz v außerhalb des Absorptionsstreifens stets positiv ergeben hat, und da 17 eine posi- tive den Betrag der spezifischen Ladung der negativen Elektronen anzeigende Eonstante ist, so findet die Drehung der Polarisations- ebene in positivem Sinne um die mit der magnetischen Feldrichtung zusammenfallende Fortpfianzungsrichtung des Lichtes statt. Es erfolgt also die Drehung der Polarisationsebene im Sinne der elektrischen Ströme, welche den Elektro- magneten erregen. Wird der Strom kommutiert, so daß die Richtung des magnetischen Feldes sich umkehrt, und nun der Fort- pfianzungsrichtung entgegen gerichtet ist, so kehrt sich auch der Drehsinn der Polarisationsebene um. Behalt hingegen das magnetische Feld seine Richtung im Räume bei, während die Strahlrichtung durch Refiexion umgekehrt wird, so geht die Drehung im Räume in demselben Sinne weiter.
Die obige Regel über den Drehsinn der Polarisationsebene gilt natürlich nur dann, wenn die Voraussetzungen zutreffen, aus der wir sie abgeleitet haben, d. h. wenn die magnetische Drehung wirkUch auf die Schwingungen der negativen Elek- tronen allein zurückzuführen ist, und wenn Magnetisierungs- elektronen ausgeschlossen sind. Bei ferromagnetischen Körpern, z. B. bei Lösungen von Eisensalzen, gilt sie nicht immer. Ebensowenig dürfte sie zutreffen, wenn die ultraroten Eigen- schwingungen der positiven Elektronen für die Drehung wesentlich in Betracht kämen, was allerdings infolge ihrer geringen spezifischen Ladung kaum anzunehmen ist.
Wir können (174 a) auch schreiben
(174b) li — i-^Tx'
284 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Wesenheit von „ Leitungselektronen '^, d. h. von elektrischen Teilchen, welche unter der Einwirkung elektrischer Felder über größere Strecken hin wandern. Diese Elektronen können mit der Masse materieller Atome beladen sein, wie bei Elektro- lyten, oder sie können frei, d. h. nur mit der ihnen eigenen, elektromi^etischen Masse behaftet sein. Gerade in den besten Leitern, den Metallen, wird man freie Elektronen als Strom- trager anzunehmen haben. Wie wir bereits mehrfach erwähnt haben (I, S. 192 u. 206), sind von E. Biecke^) und insbesondere von P. Drude ^) Vorstellungen über die Bewegung der Elektronen im Metalle entwickelt worden, welche der kinetischen Theorie der Gase nachgebildet sind. Fehlen äußere elektrische Kräfte, so sollen die Elektronen sich regellos bewegen, ähnlich wie die Moleküle eines Gbses; die mittlere lebendige Kraft eines Elektrons soll gleich derjenigen sein, welche einem Gasmole- küle bei der gleichen Temperatur zukommt^ Wir bezeichnen mit a die mittlere lebendige Kraft eines Moleküles oder Elek- trons bei der absoluten Temperatur «d*»! (Boltzmann- Drudesche Konstante) und setzen
Die Elektronen sollen Zickzackbahnen beschreiben; der Stoß, durch den die Bewegungsrichtung geändert wird, kann entweder zwischen den Elektronen selbst erfolgen, oder an den neutralen Molekülen, welche gewissermaßen das feste Ge- rüst des Metalles bilden.
Welches wird nun der Einfluß eines elektrischen Feldes sein? Es wird die unregelmäßige Wärmebewegung der Elek- tronen ein wenig abgeändert werden, so daß im Mittel die- jenige Bewegungsrichtung überwiegt, nach der die Elektronen durch das Feld getrieben werden. Es sei H^ die mittlere Ge- schwindigkeit der betreffenden Elektronengruppe, \ die mittlere freie Weglänge; beim Durchlaufen der freien WegBnge \ wird
1) E. Riecke, Ann. d. Phys. 66, S. 353, 646 n. 1199. 1898.
2) P. Drude, Ann. d. Phys. 1, S. 566. 8, S. 369. 1900.
Erstes Kapitel. Bähende Körper. 285
das elektrische Feld (& einem Elektron Ton der Geschwindig- keit H^ die zusätzliche Geschwindigkeit erteilen
Der Mittelwert dieser Geschwindigkeit ist
Die Multiplikation mit der Ladung e^ und der auf die Yolumeinheit bezogenen Zahl N^ ergibt als Anteil der Elektronen der betreffenden Gruppe zur Stromdichte:
wenn man von den strengen, das Marwellsche Geschwindigkeits- verteilungsgesetz berücksichtigenden Meihoden der Mittelwerts- bildung absieht. Durch Summierung der Anteile der ver- schiedenen Gruppen folgt die Stromdichte
Dieselbe ist der Feldsiärke proportional, d. h. es gilt das Ohmsche Gesetz, so lange als die zusätzliche, durch da» elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit der Elektronen klein gegen die mittlere Geschwindigkeit der Wärmebewegung ist; unter dieser der obigen Ableitung zugrunde liegenden Voraus- setzung erhält Drude für die Leitföhigkeit den konstanten Wert
Die ein£Eichste Annahme wäre die, daß in den Metallen nur eine Sorte freier, und zwar negativer Elektronen den Strom transportiert. Doch fragt es sich, ob auf Grund dieser An- nahme die thermoelektrischen und sonstigen Eigenschaften der Metalle sich befriedigend erklären lassen.
Für die Elektroneniheorie der metallischen Leitung spricht es, daß H. A. Lorentz imstande war (vgl. § 41), aus den so- eben dargelegten Vorstellungen über die Bewegung der Elek-
284 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Wesenheit von „Leitungselektronen", d. h. von elektrischen Teilchen^ welche unter der Einwirkung elektrischer Felder über größere Strecken hin wandern. Diese Elektronen können mit der Masse materieller Atome beladen sein, wie bei Elektro- lyten, oder sie können frei, d. h. nnr mit der ihnen eigenen, elektromagnetischen Masse behaftet sein. Gerade in den besten Leitern, den Metallen, wird man freie Elektronen als Strom- trager anzunehmen haben. Wie wir bereits mehrfach erwähnt haben (I, S. 192 u. 206), sind von E. Riecke^) und insbesondere von P. Drude ^ Vorstellungen über die Bewegung der Elektronen im Metalle entwickelt worden, welche der kinetischen Theorie der Gbse nachgebildet sind. Fehlen äußere elektrische Kräfte, so sollen die Elektronen sich regellos bewegen, ähnlich wie die Moleküle eines Gases; die mittlere lebendige Kraft eines Elektrons soll gleich derjenigen sein, welche einem Ghismole- küle bei der gleichen Temperatur zukommt^ Wir bezeichnen mit a die mittlere lebendige Kraft eines Moleküles oder Elek- trons bei der absoluten Temperatur «d*»! (Boltzmann- Drudesche Konstante) und setzen
Die Elektronen sollen Zickzackbahnen beschreiben; der Stoß^ durch den die Bewegungsrichtung geändert wird, kann entweder zwischen den Elektronen selbst erfolgen, oder an den neutralen Molekülen, welche gewissermaßen das feste Ge- rüst des Metalles bilden.
Welches wird nun der Einfluß eines elektrischen Feldes sein? Es wird die unregelmäßige Wärmebewegung der Elek- tronen ein wenig abgeändert werden, so daß im Mittel die- jenige Bewegungsrichtung überwiegt, nach der die Elektronen durch das Feld getrieben werden. Es sei H^ die mittlere Ge- schwindigkeit der betreffenden Elektronengruppe, l^ die mittlere freie Weglänge; beim Durchlaufen der freien Weglänge l^ wird
1) E. Riecke, Ann. d. Phys. 66, S. 363, 645 n. 1199. 1898.
2) P. Drude, Ann. d. Phys. 1, S. 666. 8, S. 369. 1900.
Erstes Kapitel. Euhende Körper. 285
das elektrische Feld (& einem Elektron Ton der Geschwindig- keit Hj die zusätzliche Geschwindigkeit erteilen
Der Mittelwert dieser Geschwindigkeit ist
«1 h _t& «i^l^^i
Die Multiplikation mit der Ladung e^ und der auf die y olumeinheit bezogenen Zahl N^ ergibt als Anteil der Elektronen der betreffenden Gruppe zur Stromdichte:
wenn man Ton den strengen, das Marwellsche Geschwindigkeits- yerteilungsgesetz berücksichtigenden Methoden der Mittelwerts- bildung absieht. Durch Summierung der Anteile der Ter- schiedenen Gruppen folgt die Stromdichte
^-^•l^WNxh\K\ + e,*NA\^\-\----]-
Dieselbe ist der Feldstärke proportional, d. h. es gilt das Ohmsche Gesetz, so lange als die zusätzliche, durch da» elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit der Elektronen klein gegen die mittlere Geschwindigkeit der Wärmebewegung ist^ unter dieser der obigen Ableitung zugrunde Uegenden Voraus- setzung erhält Drude für die Leitfähigkeit den konstanten Wert
Die einfetchste Annahme wäre die, daß in den Metallen nur eine Sorte freier, und zwar negativer Elektronen den Strom transportiert. Doch fragt es sich, ob auf Grund dieser An- nahme die thermoelektrischen und sonstigen Eigenschaf ben der Metalle sich befriedigend erklären lassen.
Für die Elektronentheorie der metaUischen Leitung spricht es, daß H. A. Lorentz imstande war (ygl. § 41), aus den so- eben dargelegten Vorstellungen über die Bewegung der Elek-
286 Zweiter Abechniit. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
tronen das Emissionsyennögen der Metalle für Wärmestrahlen großer Wellenlange herzuleiten.
In Gbisen sind die Vorgänge, welche die elektrische Leitung begleiten, weit yerwickelter; als in Metallen. Die freie Weg- länge der Elektronen ist hier größer, so daß die durch das elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit keineswegs immer klein gegen diejenige der regeUosen Wärmebewegung ist. So erklären sich die Abweichungen yom Ohmschen Oesetze, welche bei Oasen oft in recht augenfälliger Weise hervortreten. Auch lagern sich den freien Elektronen neutrale Moleküle in wech- selnder Anzahl an, wie in § 1 erwähnt wurde. Dort haben wir die für die allgemeine Theorie der Elektrizität bedeutungs- Yollen Ergebnisse der neueren Untersuchungen über Gasionen bereits kennen gelernt.
§ 33. Das elektromagnetisohe Feld hochfrequenter Ströme
in linearen Leitern«
Wir hatten bereits in dem einleitenden Kapitel dieses Bandes (§ 8) allgemeine Sätze über die Fortpflanzung elektro- magnetischer Störungen kennen gelernt. Wir waren dabei aus- gegangen Yon den Feldgleichungen (I bis lY) der Elektronen- theorie, und hatten diese mit Hilfe der elektromagnetischen Potentiale, und noch übersichtlicher mit Hilfe des Hertzschen
Vektors 8, gelöst. War die Dichte 1 = — des Konvektions-
Stromes der Elektronen gegeben, so ließ sich auf Grund von (47, 48, 48 c, d) das elektromagnetische Feld der bewegten Elektronen ermitteln.
In der Bezeichnungsweise, deren wir uns jetzt bedienen, werden die elektromagnetischen Vektoren der von den einzelnen Elektronen erregten Felder durch e, ]| Torgestellt. Aus den Feld- gleichungen (I bis IV) der Elektronentheorie haben wir in § 28 durch Mittelwertsbildung die Differentialgleichungen (la bis IVa) abgeleitet; dieselben yerknüpfen die Mittelwerte e, ]| mit den Mittelwerten der Dichten der Elektrizität und des EonTektions- stromes genau so, wie durch die ursprünglichen Gleichungen
Erstes Kapitel. Buhende Körper. 287
(I bis lY) die Vektoren e und ]| mit den Dichten selbst yer- knüpft waren. Wir können also dasjenige^ was wir ans diesen Feldgleichnngen ableiteten, ohne weiteres auf die durch Mittel- wertsbildnng entstandenen Gleichungen (la bis lYa) über- tragen. Erinnern wir uns femer, daß wir durch (166) und (166 a) e mit (B, 1^ mit 8 identifiziert haben, so erhalten wir
(180) »«curl^; l=-ct
(180a) «-«^ = Fdiv8-^.
Dabei ist Cq die beobachtbare Feldstärke des anfanglichen elektrostatischen Feldes. Es bestimmen sich die elektrische Feldstärke S und die magnetische Induktion 8 zu einer be- liebigen Zeit, wenn der Hertzsche Vektor bekannt ist. Dieser aber berechnet sich aus den (47) und (48) bzw. (51c) ent- sprechenden Beziehungen
i t
(180 b) q ^fid l - rp dt,
0 0
' I Xdxl d(D
(180c) 8 (ö, l) = / XdXj d(o ^(X,l- X),
0
Als Mittelwert der elektrischen Stromdichte in ruhenden Körpern ist dabei der in (165b) angegebene Ausdruck ein- zutn^n:
(180d) p = i + ^ + c . curl a»,
der zusammei^esetzt ist aus den yon den Leitungselektronen, den Polarisationselektronen und den Magnetisierungselektronen herrührenden Stromanteilen. Von jedem Volumelemente des Baumes, in welchem das Zeitintegral (180 b) dieses Vektors yon Null yerschieden ist, wird ein Beitrag zum Hertzschen Vektor beigesteuert; derselbe eilt mit Lichtgeschwindigkeit nach dem Au^unkte hin, wobei sein Betrag sich in einem, dem zurück- gelegten Latenswege umgekehrt proportionalen Maße yerringert.
288 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yorgftnge in wägbaren Körpern.
Es ist zweckmäßig, den Hertzschen Vektor in derselben Weise zu schreiben, in welcher durch (50b, 51b) die elektro- magnetischen Potentiale aasgedrückt wurden, nämlich:
(180e) S-J^m}t--
r •
Die Integration ist hier über die von Elektrizität durch- strömten Yolumelemente des ganzen Baumes auszudehnen.
Es braucht kaum bemerkt zu werden, dafi die Beziehungen (180) bis (180e) sich auch aus den Hauptgleichungen (Ib bis IVb) der Mazwellschen Theorie hatten herleiten lassen, von deren Identität mit den Gleichungen (la bis IVa) wir uns ja in § 28 überzeugt haben. In der Tat sind die physikalischen Voraus- setzungen, auf denen die Entwickelungen dieses Paragraphen und des nächstfolgenden beruhen, diejenigen der Maxwell^chen Theorie. Die Hypothesen der Elektronentheorie kommen dabei nicht ins Spiel Wir waren bei der Darlegung der Theorie der elektrischen Schwingungen im ersten Bande dieses Werkes auf die Strahlung eines Stromsystemes nicht eingegang^i; wir hatten yersprochen, im zweiten Bande diese Lücke auszufallen. Die allgemeinen Sätze über die Ausbreitung elektromi^etischer Störungen, die uns in der Mechanik der Elektronen von so großem Nutzen waren, gestatten es uns, jenes Versprechen zu erfüllen und nunmehr jene für die drahtlose Telegraphie fundamentalen Fragen zu erledigen.
Wir' denken uns ein System elektrischer Schwingungs- kreise; dasselbe sei von beliebigen, polarisierbaren und magneti- sierbaren Körpern umgeben. Es werde, etwa durch den elek- trischen Funken, plötzlich ein SchwingungSTorgang ausgelöst. Welches elektromagnetische Feld wird erregt?
Die Gleichungen (180) bis (180e) bestimmen die Vektoren (B und 8 des gesuchten Feldes. Freilich bedürfen wir zur Berechnung yon q der Kenntnis nicht nur des Leitungs- stromes, sondern auch der Magnetisierung und des an der Materie haftenden Anteiles des Verschiebungsstromes. Meist werden wir die Stromverteilung in den Leiterkreisen und die
Erstes Kapitel. Bähende Körper. 289
elektrische Polarisation und die Magnetisierang der umgebenden Isolatoren nicht von vornherein kennen; wir werden vielmehr meist diese selbst als Unbekannte anzusehen haben, die sich erst nachträglich ans der Kenntnis des Feldes ergeben. Unter diesen Umständen reichen jene Oleichnngen zur Lösung der gestellten Aufgabe nicht aus.
Wir können indessen die Oleichungen (180) bis (180e) verwerten, wenn wir die Problemstellung passend spezialisieren. Wir wollen annehmen, daß die Schwingungskreise sich im leeren Räume befinden, oder, was praktisch auf dasselbe herauskommt, im Lufträume; alsdann fallen die von der Polari- sation und der Magnetisierung der Körper herrührenden Strom- anteile fort, es bleibt nur der Leitungsstrom übrig. Dieser soll nun in linearen Leitern fließen, d. h. in Drähten, deren Querschnittsabmessungen klein sind, sowohl gegen die Länge der Drahte, als auch gegen die Wellenlänge der in den Baum entsandten elektromagnetischen Wellen. Handelt es sich dann um die Bestimmung des elektromagnetischen Feldes in Auf- punkten, deren Entfernung von den Leitern groß gegen deren Querschnittsabmessungen ist, so kommt es auf die Verteilung des Stromes J über den Querschnitt des Leiters nicht an. Es kann, wenn dv das Volumen eines zylindrischen Leiterstückes und di ein Element seiner Leitlinie bezeichnet, gemäß (180b, d) gesetzt werden
t t
^dv :=lidvdt = d§l Jdt
0
oder
^dv =^qdi] dabei ist
(181) q -Je
Jdt
die seit Beginn des S^hwiu^ungsvorganges durch den be* treffenden Querschnitt hindurchgeströmte Elektrizitätsmenge. Es folgt aus (180e)
Abraham, Theorie der Elektrlzitftt. II. 19
292 Zweiter Absclinitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Dabei ist Bq die anfängliche Ladung jener Eondensator- platte; die jeweilige und die anfangliche Ladung der ihr gegenüberstehenden Platte, in welcher die Leitung beginnt, sind — e bzw. — e^.
Wir denken uns einen Au^unkt, dessen Entfernung von dem Schwingungskreise groß ist gegen die Abmessungen des Kreises. Die Entfernung braucht darum noch nicht groß gegen die Wellenlange zu sein. Die Entfernung r dieses Aufpunktes Ton den einzelnen Punkten der Drahtleitung ist merklich die gleiche; es kann daher in (181a) diese Ent- fernung Tor das Integralzeichen gesetzt werden. Dasselbe gilt von S (7 — ^); denn es sollen die Abmessungen des Kreises, und denmach die Differenzen der Latenswege, klein gegen die Wellenlänge sein, die Schwingungsphasen sind mithin für alle Punkte der Leitung zur Zeit des Entsendens merklich die gleichen. Wir erhalten
(182a) 8 = i^ fdi.
Die hier eingehende Yektorsumme aller Elemente des linearen Leiters kann, gemäß den allgemeinen Regeln der Yektoraddition, durch einen einzigen Vektor ersetzt werden, welcher direkt yon dem Anfangspunkt der Leitung zu ihrem Endpunkte führt.
Verstehen wir unter p das Moment des Dipoles, welcher durch zwei in diesen Punkten befindliche Ladungen ± e ge- bildet wird, so können wir schreiben
(182 b) Q^l^lzA^h,
Das ursprüngliche elektrostatische Feld der Ladungen ± Sq wird gemäß Bd. I S. 63 61. (81) gegeben durch
«0 ^9, 9 = -(»o,^a7) diy(^)-
Es folgt denmach aus (181c, d) für das elektromi^etische Feld des Schwingungskreises
Erstes Kapitel. Buhende Körper. 293
(182«) s_„ri»|lfcÜ},
(I82d) e_rdi,|lfcü)_^.jI3püj.
Lassen wir endlich die £r-Achse mit der Achse des Dipoles zusammenfallen^ so erkennen wir, daß die erhaltenen Formeln durchaus identisch sind mit den Formeln (53; 53 a; b) des § 9. Dort wird der periodische Wechsel des elektrischen Momentes des Dipoles durch die Schwingungen eines Elektrons veranlaßt; hier durch den quasistationären Leitungsstrom in dem DrahtC; » welcher die Eondensatorplatten verbindet. In Entfernungen; die groß sind gegen die Abmessungen des SystemeS; kommt eS; wie wir sehen; nicht auf die Konfiguration des Systemes im einzelnen; sondern nur auf das resultierende Moment an. Wir können die Formeln (53 c, d); durch welche wir dort das Feld darstellten; ohne weiteres auf den vorliegenden Fall über- tragen. Zusammenfassend können wir sagen: Das elektro- magnetische Feld des quasistationären Stromes in einem linearen Leiter; welcher die Platten eines Luft- kondensators verbindet; läßt sich in Entfernungen; die groß gegen die Abmessungen des Leiters sind; er- setzen durch das Feld eines DipoleS; dessen Achse der vom Anfangspunkt der Leitung direkt zum End- punkt gezogene Fahrstrahl^ und dessen Ladungen die Ladungen ± e der Eondensatorplatten sind.
Wir durften unsere Formeln nur auf einen Luftkondensator anwenden; weil wir bei der Berechnung des Hertzschen Vektors in (180 d) nur den Leitungsstrom berücksichtigt hatten; aber nicht die von der Polarisation und der Magnetisierung der umgebenden Körper herrührenden Stromanteile. Wie ändern sich die Ergebnisse unserer Betrachtungen; wenn man an Stelle des Luftkondensators einen Kondensator setzt; der mit einem dielektrischen Körper gefüUt ist? Dann ist der an der
Materie haftende Bruchteil -^^- des Yerschiebungsstromes dem Leitungsstrome hinzuzufügen. Die elektrische Verschiebung
284 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. YorgSnge in wägbaren Körpern.
Wesenheit von y^Leitongselektronen^^; d. L von elektrischen Teilchen, welche nnter der Einwirkung elektrischer Felder über größere Strecken hin wandern. Diese Elektronen können mit der Masse materieller Atome beladen sein, wie bei Elektro- lyten; oder sie können frei, d. h. nnr mit der ihnen eigenen^ elektromagnetischen Masse behaftet sein. Gerade in den besten Leitern, den Metallen, wird man freie Elektronen als Strom- trager anzunehmen haben. Wie wir bereits mehrfach erwähnt haben (I, S. 192 u. 206), sind yon E. Riecke^) und insbesondere Yon P. Drude ^ Vorstellungen über die Bewegung der Elektronen im Metalle entwickelt worden, welche der kinetischen Theorie der Oase nachgebildet sind. Fehlen äußere elektrische Kräfte, so sollen die Elektronen sich regellos bewegen, ähnlich wie die Moleküle eines Gktses; die mittlere lebendige Kraft eines Elektrons soll gleich derjenigen sein, welche einem Gktsmole- küle bei der gleichen Temperatur zukommt; Wir bezeichnen mit a die mittiere lebendige Kraft eines Moleküles oder Elek- trons bei der absoluten Temperatur %'^\ (Boltzmann- Drudesche Konstante) und setzen
Die Elektronen sollen Zickzackbahnen beschreiben; der Stoß, durch den die Bewegungsrichtung geändert wird, kann entweder zwischen den Elektronen selbst erfolgen, oder an den neutralen Molekülen, welche gewissermaßen das feste Ge- rüst des Metalles bilden.
Welches wird nun der Einfluß eines elektrischen Feldes sein? Es wird die unregelmäßige Wärmebewegung der Elek- tronen ein wenig abgeändert werden, so daß im Mittel die- jenige Bewegungsrichtung überwiegt, nach der die Elektronen durch das Feld getrieben werden. Es sei H^ die mittlere Ge- schwindigkeit der betreffenden Elektronengruppe, \ die mittlere freie Wegginge; beim Durchlaufen der freien Weglänge l^ wird
1) E. Biecke, Ann. d. Phys. 66, S. 353, 546 n. 1199. 1898.
2) P. Drude, Ann. d. Phys. 1, S. 666. 3, S. 369. 1900.
Erstes Kapitel. Buhende Körper. 285
das elektrische Feld (S einem Elektron Ton der Geschwindig- keit Hj die znsätzliche Geschwindigkeit erteilen
Der Mittelwert dieser Geschwindigkeit ist
Die Multiplikation mit der Ladung e^ und der auf die Yolumeinheit bezogenen Zahl N^ ergibt als Anteil der Elektronen der betreffenden Gruppe zur Stromdichte:
wenn man von den strengen, das Marwellsche Geschwindigkeits- verteilungsgesetz berücksichtigenden Methoden der Mittelwerts- bildung absieht. Durch Summierung der Anteile der ver- schiedenen Gruppen folgt die Stromdichte
Dieselbe ist der Feldstarke proportional, d. h. es gilt das Ohmsche Gesetz, so lange als die zusätzliche, durch da» elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit der Elektronen klein gegen die mittlere Geschwindigkeit der Wärmebewegung ist; unter dieser der obigen Ableitung zugrunde Uegenden Voraus- setzung erhält Drude fOr die Leitfähigkeit den konstanten Wert
Die einf&chste Annahme wäre die, daß in den Metallen nur eine Sorte freier, und zwar negativer Elektronen den Strom transportiert. Doch fragt es sich, ob auf Grund dieser An- nahme die thermoelektrischen und sonstigen Eigenschaften der Metalle sich befriedigend erklären lassen.
Für die Elektronentheorie der metallischen Leitung spricht es, daß H. A. Lorentz imstande war (vgl. § 41), aus den so- eben dargelegten Vorstellungen über die Bewegung der Elek-
286 Zweiter Abschniit. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
tronen das Emissionsvennögen der Metalle fär Wärmestrahlen großer Wellenlänge herzuleiten«
In Oasen sind die Vorgänge^ welche die elektrische Leitung begleiten, weit verwickelter, als in Metallen. Die freie Weg- lange der Elektronen ist hier größer, so daß die durch das elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit keineswegs immer klein gegen diejenige der regellosen Wärmebewegnng ist. So erklaren sich die Abweichungen yom Ohmschen Gesetze, welche bei GtBsen oft in recht augenfälliger Weise hervortreten. Auch lagern sich den freien Elektronen neutrale Moleküle in wech- selnder Anzahl an, wie in § 1 erwähnt wurde. Dort haben wir die für die allgemeine Theorie der Elektrizität bedeutungs- vollen Ergebnisse der neueren Untersuchungen über Ghisionen bereits kennen gelernt.
§ 33. Das elektromagnetisohe Feld hochfrequenter Ströme
in linearen Leitern«
Wir hatten bereits in dem einleitenden Kapitel dieses Bandes (§ 8) allgemeine Sätze über die Fortpflanzung elektro- magnetischer Störungen kennen gelernt Wir waren dabei aus- gegangen von den Feldgleichungen (I bis lY) der Elektronen- theorie, und hatten diese mit Hilfe der elektromagnetischen Potentiale, und noch übersichtlicher mit Hilfe des Hertzschen
Vektors 8, gelöst. War die Dichte 1 = — des Eonvektions-
Stromes der Elektronen gegeben, so ließ sich auf Grund von (47, 48, 48 c, d) das elektromagnetische Feld der bewegten Elektronen ermitteln.
In der Bezeichnungsweise, deren wir uns jetzt bedienen, werden die elektromagnetischen Vektoren der von den einzelnen Elektronen erregten Felder durch e, ]| vorgestellt. Aus den Feld- gleichungen (I bis IV) der Elektronentheorie haben wir in § 28 durch Mittelwertsbildung die Differentialgleichungen (la bis IVa) abgeleitet; dieselben verknüpfen die Mittelwerte e, ]| mit den Mittelwerten der Dichten der Elektrizität und des Eonvektions- stromes genau so, wie durch die ursprünglichen Gleichungen
Erstes Kapitel. Buhende Körper. 287
(I bis TV) die Vektoren e und ]| mit den Dichten selbst ver- knüpft waren. Wir können also dasjenige^ was wir aus diesen Feldgleichungen ableiteten^ ahne weiteres auf die durch Mittel- wertsbildung entstandenen Oleichungen (la bis lYa) über- tragen. Erinnern wir uns femer, daß wir durch (166) und (166 a) e mit (B, 1^ mit 8 identifiziert haben, so erhalten wir
(180) »«curl||; l=-cl
(180a) « - «^ = F div 8 - ^.
Dabei ist &q die beobachtbare Feldstärke des anzüglichen elektrostatischen Feldes. Es bestimmen sich die elektrische Feldstarke S und die magnetische Induktion 8 zu einer be- liebigen Zeit; wenn der Hertzsche Vektor bekannt ist. Dieser aber berechnet sich aus den (47) und (48) bzw. (51c) ent- sprechenden Beziehungen
i t
(180b) q ==fidl ^föidt,
0 0
'Sxdkjü
(180c) 8 (ö, T) = / XdkJ d(o q (A, ? - X),
0
Als Mittelwert der elektrischen Stromdichte in ruhenden Körpern ist dabei der in (165b) angegebene Ausdruck ein- zutragen:
(180d) p = i -f ^-f c. curl a»,
der zusammengesetzt ist aus den von den Leitungselektronen, den Polarisationselektronen und den Magnetisierungselektronen herrührenden Stromanteilen. Von jedem Volumelemente des BaumeS; in welchem das Zeitintegral (180 b) dieses Vektors von Null yerschieden ist, wird ein Beitrag zum Hertzschen Vektor beigesteuert; derselbe eilt mit Lichtgeschwindigkeit nach dem Aufpunkte hin, wobei sein Betrag sich in einem, dem zurück- gelegten Latenswege umgekehrt proportionalen Maße verringert.
288 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Es ist zweckmäßig/ den Hertzschen Vektor in derselben Weise zu scbreiben, in welcher durch (50 b^ 51b) die elektro- nn^etischen Potentiale ausgedrückt wurden, nämlich:
(180e) S^J'^Iq},^^-
Die Integration ist hier über die Ton Elektrizität durch- strömten Yolumelemente des ganzen Baumes auszudehnen.
Es braucht kaum bemerkt zu werden, daß die Beziehungen (180) bis (180e)sich auch aus den Hauptgleichungen (Ib bis lYb) der Mazwellschen Theorie hätten herleiten lassen, Ton deren Identität mit den Gleichungen (la bis lYa) wir uns ja in § 28 überzeugt haben. In der Tat sind die physikalischen Voraus- setzungen, auf denen die Entwickelungen dieses Paragraphen und des nächstfolgenden beruhen^ diejenigen der Maxwell^chen Theorie. Die Hypothesen der Elektronentheorie kommen dabei nicht ins Spiel. Wir waren bei der Darlegung der Theorie der elektrischen Schwingungen im ersten Bande dieses Werkes auf die Strahlung eines Stromsystemes nicht eingegangen; wir hatten yersprochen, im zweiten Bande diese Lücke auszufüllen. Die allgemeinen Sätze über die Ausbreitung elektromi^etischer Störungen, die uns in der Mechanik der Elektronen von so großem Nutzen waren, gestatten es uns, jenes Versprechen zu erfüllen imd nunmehr jene für die drahtlose Telegraphie fandamentalen Fragen zu erledigen.
Wir' denken uns ein System elektrischer Schwingungs- kreise; dasselbe sei von beliebigen, polarisierbaren und magneti- sierbaren Körpern umgeben. Es werde, etwa durch den elek- trischen Funken, plötzlich ein SchwingnngSTorgang ausgelöst. Welches elektromagnetische Feld wird erregt?
Die Gleichungen (180) bis (180e) bestimmen die Vektoren ($ und 8 des gesuchten Feldes. Freilich bedürfen wir zur Berechnung von q der Kenntnis nicht nur des Leitungs- stromes, sondern auch der Magnetisierung und des an der Materie haftenden Anteiles des Verschiebungsstromes. Meist werden wir die Stromverteilung in den Leiterkreisen und die
Erstes Kapitel. Bähende Körper. 289
elektrische Polarisation nnd die Magnetisierang der umgebendeii Isolatoren nicht von Tomherein kennen; wir werden yielmehr meist diese selbst als Unbekannte anzusehen haben^ die sich erst nachtraglich ans der Kenntnis des Feldes ergeben. Unter diesen Umstanden reichen jene Gleichungen zur Lösung der gestellten Aufgabe nicht aus.
Wir können indessen die Gleichungen (180) bis (180e) verwerten^ wenn wir die Problemstellung passend spezialisieren. Wir wollen annehmen , 4aß die Schwingungskreise sich im leeren Baume befinden, oder, was praktisch auf dasselbe herauskommt; im Lufträume; alsdann fallen die Ton der Polari- sation und der Magnetisierung der Körper herrührenden Strom- anteile fort; es bleibt nur der Leitungsstrom übrig. Dieser soll nun in linearen Leitern fließen, d. h. in Drähten, deren Querschnittsabmessungen klein sind, sowohl gegen die Länge der Drahte, als auch gegen die Wellenlänge der in den Baum entsandten elektromagnetischen Wellen. Handelt es sich dann um die Bestimmung des elektromagnetischen Feldes in Auf- punkten, deren Entfernung yon den Leitern groß gegen deren Querschnittsabmessungen ist, so kommt es auf die Verteilung des Stromes J über den Querschnitt des Leiters nicht an. Es kann, wenn dv das Volumen eines zylindrischen Leiterstückes und (2S ein Element seiner Leitlinie bezeichnet, gemäß (180 b, d) gesetzt werden
t t
^dv =jidvdt =^di I Jdt
0 0
oder
qdt; ==^qdi] dabei ist
(181) q ^Jjdt
die seit Beginn des S^hwingungsvorganges durch den be- treffenden Querschnitt hindurchgeströmte Elektrizitätsmenge. Es folgt aus (180 e)
Abraham, Theorie der Elektrlzitftt. IL 19
300 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Demnach erhalten wir als Wert der Hertzschen Funk- tion des Sendedrahtes in der Wellenzone:
(vi vrA (nn \
COB I ^ ) ^ ^ cos ( -— • w I
(185b) 8, a.-, s^^Vl")--
l-u« I
Dieser Ansdruck entspricht der Hertzschen Funktion eines der jgr- Achse parallelen Dipoles (vgl. 53), doch ist fär die rer- schiedenen, durch t« bestimmten Richtungen ein yerschiedenes Moment des Dipoles in Rechnung zu setzen. Das ist das Ergebnis der Superposition der yon den Stromelementen des Drahtes herrührenden Wirkungen, welche in yerschiedenen Phasen im Aufpunkte eintreffen.
Bei der Berechnung der Feldstärken aus (184b, c) braucht nur das Argument des von l und r^ abhangigen Kosinus differenziert zu werden, da in großen Entfernungen die übrigen durch Differentiation nach den Koordinaten entstehenden Tenne fortfallen. Man erhalt eine Orientierung der Vektoren <$ und % in der Wellenzone, welche ganz derjenigen des Dipoles entspricht. Konstruiert man auf der KugeLQäche, welche die Lage der Welle angibt, das System der Langen- und Breiten- kreise, indem man die Schnittpunkte der yerlängerten Draht- achse mit der Kugel als Pole wählt, so findet man den elek- trischen Vektor überall den Meridianen, den magnetischen den Breitenkreisen parallel weisend. Die Beträge der beiden Vek- toren sind
cos \vt ^) cos (-— • u\
(185c) |«H|fH?iL._^ --^=4'
über die Verteilung der Feldstärken längs der Meridiane ist folgendes auszusagen: Ihren maximalen Betrag haben die Feldstärken am Äquator der Kugel (wo, gemäß 185,
te = 0, -Ö-Q = Y ^^^' ^^^ ^^® Grundschwingung (n =» 1) nehmen sie allmählich nach den Polen hin ab, um dort zu yerschwinden. Die Oberschwingungen hin- gegen haben die durch
Erstes Kapitel. Bullende Körper. 301
(185d) w = ± — (m ^n eine ungerade ganze Zahl)
gegebenen Breitenkreise als Enotenlinien. Hier zer- stören sich durch Interferenz die von den einzelnen Strom- elementen des Sendedrahtes ausgehenden Wellen.
Es fallt auf^ daß die Amplitude (185 c) der Ton den Eigen- schwingungen des Sendedrahtes erregten Wellen die Länge des Drahtes nicht enthalt. Man könnte zunächst versucht sein, dieses Ergebnis für irrig zu halten ^ da ja die Amplitude der entsandten Wellen der Länge des stromführenden Drahtes pro- portional sein muß; dabei würde man aber übersehen, daß mit der Länge des Drahtes auch die WeUenlänge gesteigert wird. Da die Amplitude der entsandten Wellen nicht der Stromstärke selbst, sondern deren zeitlicher Änderung proportional ist, so kompensiert die Abnahme der Femwirkung infolge der Verringerung der Frequenz die Zunahme infolge der Vergrößerung der wirk- samen Drahtlänge. Von der Antennenlänge ist die Fern- wirkung unabhängig. Es ist, wenn man möglichst intensive Wellen zu erregen wünscht, die maximale Strömamplitude a im Sendedrahte möglichst zu steigern. Für eine gegebene Antenne geht nun- zwar die Stromamplitude der Spannungsamplitude parallel Doch kann man, wenn die Spannungsamplitude vorgeschrieben ist, die Stromamplitude steigern, indem man Antennen von möglichst großer Kapazität pro Längeneinheit (d.h. mögUchst dicke Drähte) wählt; auf demselben .Prinzip beruht die Steigerung der Femwirkung, die man in der drahtlosen Telegraphie durch Eäfigantennen erzielt Durch Vergrößerung der Antennenlänge aber werden die Wellenamplituden nicht vergrößert.
Wir schreiten zur Berechnung der pro Sekunde entsandten öesamtstrahlung. Aus dem Poyntingschen Satze folgt
Die Mittelwertsbildung über eine Reihe von Schwingungen und die Integration über die ganze Eugel vom Radius r^ er- gibt als Energieverlust durch Strahlung
302 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
+ 1
dW
-1 fäu cos' (^yi-u')-
dt
— 1
+ 1
rc/HiT^ + 1^)(^ + ^^' ^**^)
— 1
a^ I du ,^ . X
2iJ TT^O- + coB nn^i).
— 1
Da n eine ungerade ganze Zahl ist^ können wir schreiben
wo abkürznngsweise gesetzt ist
(186a) Gn =/ iq~ (l - cos äw(1 + w)) ^ f^O- - cos a?).
— 1 0
Es handelt sich noch um die Berechnung dieses trans- zendenten Integrales. Wir zerlegen dasselbe in Tier Integrale:
n f dx f dx . / , f 1 coBÄl ^_ f dxcoBX
^""^J 1+^ J x{l + x)'^J ^^\x{l + x) i"J "^Z S~
0 S^n 0 8^n
und berechnen jedes derselben. Die Summe der beiden ersten ist
%nn
0 2^n
Für das dritte Integral schreiben wir
00 oo
(186c) y^{i^-co8»)=y^(e-«-co8a;)
0 0
00
-/f(«— ifj
0
Erstes Kapitel. Bnhende EOrper. 30$
Nun folgt ans
OO 00
/ — (e-*— cosrrW j dx j dy[e — '^^-^y^^ cosicc-*^}
0 0 0
durch Vertanschung der Integrationsfolge
00
0 0
wenn die bekannte FormeP) berücksichtigt wird.
00
0
dajc~**'cos X
Es ergibt sich demnach
00
0
Der zweite Bestandteil von (186 c) aber ^t sich auf Grund einer von Dirichlet herrührenden PormeP)
OO
(186e) -ßi{e-'- rTi)= " T^ = 0^77216 . . .
0
mit der F- Funktion und mit der sogenannten Eulerschen Eon- stanten in Verbindung bringen.
Der vierte Term im Ausdruck von Cn endlich laßt sick durch partielle Integration auf die Form einer halbkonvergenten Beihe bringen
00
(186f) Je
, cos rc __ 1 8! , 6!
X (2«n)* (2jr«)* ' (2nn
1) Vgl. z. B. Bdemann -Weber, Partielle Differentialgleicliimgeii. I § 19. Gl. 2. S. 48.
2) G.L. Dirichlet, Journal f. reine n. angew. Mathem. 16, S. 260. 1886.
304 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
In dieser Reihe ist der Best stets kleiner als das letzte beibehaltene Glieds sie ist demnach , wenn man möglichst genan zu rechnen wünscht; mit dem kleinsten Gliede abzubrechen.
Ans (186 b, c, d, e, f) folgt jetzt
(187) a= ln(2nn)+ 0,577 + ^. - ^, +...
Durch (186) und (187) bestimmt sich die mittlere sekundliche Gesamtstrahlung der Eigenschwingungen des Drahtes. Dieselbe wächst bei gegebener maximaler Stromamplitude mit der Ordnungszahl der Schwingung; je großer die Ordnungszahl, desto rascher konvergiert die Reihe (187). Für die Grundschwingung findet, man den numerischen Wert
(187a) g.C,- 1,224
der mittleren sekundlichen Gesamtstrahlung. Die maximale Stromamplitude a ist dabei elektrostatisch zu messen. Die hier gegebene Berechnung der Strahlung eines Wellen- erregers beruht auf der Annahme^ daß die aus der Theorie der stehenden Drahtwellen gelaufigen Vorstellungen sich ohne weiteres auf den Erreger übertragen lassen. Es kann be- zweifelt werden^ ob diese Übertragung von yomherein be- rechtigt ist. In der Tat^ die Frage nach dem zeitlichen Ver- laufe der Eigenschwingungen eines Hertzschen Erregers war yiele Jahre hindurch eine strittige. Während H. Hertz und V. Bjerknes die Vorstellung vertraten^ daß der Erreger nur eine einzige hauptsächlich durch Strahlung gedämpfte Schwingung aussende^ schlössen sich andere Forscher einer von Sarasin und de la Rive aufgestellten Hypothese an^ indem sie die Strahlung des Hertzschen Erregers als ein kontinuierliches Spektrum ungedämpfter Schwingungen ansahen. In Anbetracht dieser Sachlage meinte ich, als ich die Behandlung des Problemes in Angriff nahm^); auf die Analogie der Drahtwellen
1) M. Abraham , Die elektrischen Schwingungen um einen . stab- förmigen Leiter. Ann. d. Phjs. (8) 66, S. 436. 1898.
Erstes Kapitel. Buhende Körper. 305
nicht bauen zu dürfen. Ich zog es vor, auf die Maxwellschen Gleichungen zurückzageheU; und durch Integration derselben gleichzeitig das Feld und die Perioden und Dämpfnngs- dekremente der Eigenschwingungen zu ermitteln. Das gelang fOr einen stabformigen Leiter, d. h. für ein sehr gestrecktes Rotationsellipsoid. Es ergab sich die theoretische Möglichkeit einer unendlichen Beihe gedämpfter Eigenschwingungen; ihre Wellenlangen fanden sich in erster Annäherung in Überein- stimmung mit der oben dargelegten elementaren Theorie (Glei- chung 183 d), während die durch Strahlung bedingten logarith- mischen Dekremente der Amplituden durch die Formel dargestellt wurden
(187b) *""^^^^'
dabei ist h der Radius des äquatorialen LeiterquerschnitteS; Cn die durch (186a) definierte imd in (187) ausgewertete Kon- stante; man 'bemerkt; daß mit wachsender Ordnungszahl die Amplitudenabnahme während einer Schwingung geringer wird.
Jede einzelne der Eigenschwingungen ist gekennzeichnet durch die Knotenflächen des magnetischen Feldes. Dieses sind konfokale Rotationshyperboloide^ deren Brennpunkte in den Enden des Leiters liegen; dieselben schneiden den Leiter in den Stromknoten (für ungerades n werden diese durch [183 b] bestimmt); während ihre Asymptotenkegel die Richtungen an- geben; in denen die Strahlung verschwindet (185d für un- gerades n). Für alle geradzahligen Eigenschwingungen ist die Äquatorebene eine Knotenebene des magnetischen Feldes; für sie ist die Mitte des Leiters ein Stromknoten und Spannungs- bauch; hingegen ist für die oben behandelten ungeradzahligen Eigenschwingungen der äquatoriale Querschnitt ein Strombauch und ein Spannungsknoten.
Die theoretischen Gesetze derKnotenflächen und Bauchflächen des magnetischen Feldes wurden durch die sorgfältigen experi- mentellen Untersuchungen von F. Eaebitz^) bestätigt (fürn===3).
1) F. Kiebitz, Ann. d. Phys. (4) 6, S. 872. 1901. Abraham, Theorie der Elektrizität. IL 20
306 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Derselbe steUte das Vorhandensein der ungeiadzahUgen Ober- schwingnngen bis n » 17 fest, es fehlten hingegen die gerad- zahligen Eigenschwingungen des Sendedrahtes; entsprechend der angewandten Erregongsweise (Fnnkenstrecke in der Mitte), bei welcher im Anfange die Spannung in zwei symmetrisch liegenden Punkten des Erregers entgegengesetzt gleich ist, bildeten sich nur diejenigen Eigenschwingungen aus, welche in der Mitte des Drahtes einen Spannungsknoten besitzen.
Wir müssen uns hier ein genaueres Eingehen auf die strenge Theorie des stabformigen Senders versagen, und uns mit einem Hinweise auf die Originalarbeit und auf die von F. Hack^) gegebene zeichnerische Darstellung der elektrischen Kraftlinien der Eigenschwingungen und ihrer Bewegung begnügen. Die obige mehr elementare Abteilung der Strahlung eines Sende- drahtes habe ich später*) veröffentlicht, als diese Dinge fiir die drahtlose Telegraphie von aktueller Bedeutung wurden. Bei der ursprünglichen Marconischen Senderanordnung wird der eine Pol einer Funkenstrecke mit der Antenne, der andere mit der Erde verbunden. Man hat es also hier nicht mit einem frei im Räume schwingenden Draht zu tun, es ist viel- mehr die Erde in Betracht zu ziehen. Das kann aber in sehr einfacher Weise geschehen, wenn man mit Rücksicht auf die Wahrnehmung, daß die Wellen nicht merklich in die Erde eindringen, die Erde als gut leitend betrachtet, oder optisch gesprochen, als spiegelnd. Die an der Oberfläche eines voll- kommenen Leiters geltende Orenzbedingung, daß die elek- trischen Kraftlinien senkrecht stehen, wird, wie die Theorie ergibt, von allen ungeradzahligen Eigenschwingimgen des freien Sendedrahtes an der Äquatorebene erfüllt. Spiegelt man die von der Erde senkrecht bis zur Höhe h aufsteigende Sende- antenne an der ebenen Erdoberfläche und zieht die ungerad- zahligen Eigenschwingungen des entstandenen geraden Drahtes von der Länge 2h m Betracht, so erhält man ein elektro-
1) F. Hack, Ann. d. Phys. (4) 14, S. 589. 1904.
2) M. Abraham, Physik. Zeitschrift 2, S. 329. 1901.
Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 307
xnagnetischea Feld, welches an der Erdoberfläche der gestellten Grenzbedingung Genüge leistet; dasselbe ist oberhalb der Erd- oberfläche mit demjenigen der wirklichen Sendeantenne identisch. Für die drahtlose Telegraphie kommt nnn hauptsächlich die Grundschwingung in Beträcht. Aus unserem Spiegelungs- yerfahren und aus Gleichung (183c) können wir schließen: Die Wellenlänge der Grundschwingung einer Sende^ «intenne ist gleich ihrer vierfachen Höhe. Die Höhe ist dabei von der Erde an zu rechnen, entsprechend dem üm^ stände, daß die Spannung des untersten, der Erdoberfläche zugehörigen Punktes der Leitung gleich Null ist. Das Dämpfungsdekrement der Grundschwingung ist nach (187a, b)
'»(") "Q
Diese Formel bezieht sich allerdings zunächst auf eine Antenne, deren Querschnitt nach der Spitze hin allmählich abnimmt. Immerhin wird man sie auch auf zylindrische Drähte anwenden können, wie es ja überhaupt auf den genauen Zahlwert des als Argument des Logarithmus auftretenden Quotienten kaum ankommt.
Man erhält z. B. für b » 0,1 cm, ui^d
für A = 25 Meter, A^ = 100 Meter : ^^ = 0,23, für Ä = 250 Meter, X^ = 1000 Meter : 6^ = 0,19.
Meist wird man, bei der Verwendung eines ein- zelnen Sendedrahtes, mit dem Werte (^^=»0,2 des Strahlungsdekrementes rechnen können. Ihm entspricht ein Herabsinken der Wellenamplituden auf den e*®^ Teil nach fünf ganzen Schwingungen. Dieser immerhin beträchtliche Wert der Dämpfung stimmt mit der allgemeinen Erfahrung überein, wonach die Resonanzkurve (vgl. I, § 67) einer solchen einfachen Antenne eine ziemlich flache, der Bereich des An- sprechens mithin ein ziemlich weiter ist. Die Bedingungen für eine abgestimmte Telegraphie sind bei dieser einfachsten
20*
308 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Anordnung recht ungünstige. Übrigens kommt neben der Dämpfdng dnrch Strahlung diejenige durch Joulesche Wärme in Fn^e; ihr Betn^ ist allerdings yerMItnismäBig gering; die Wärmeentwickelong in der metallischen Leitung ist gegen die Ausstrahlung ganz zu vemachlassigen; höchstens könnte die in der Funkenstrecke entwickelte Wärme in Bechnxuig zu ziehen sein.
Bei den neueren Braun- Slabyschen Senderanordnungen hat man es meistens mit zwei Leitungen zu tun. In der ersten nahezu geschlossenen Leitung befinden sich Kondensatoren^ in denen die Energie aufgespeichert ist. Mit ihm induktiv verkoppelt^ oder an ihn direkt angeschlossen ist die Sendeantenne^ welche die Wellen in den Baum hinaus sendet. Die Literatur über diese Anordnungen ist eine sehr umfangreiche. Viele der Autoren jedoch begnügen sich entweder damit^ den Strom in der Antenne als quasistationär zu behandeln^ indem sie die in Bd. I, § 68 dargelegten, zunächst auf den Tesla-Transformator bezüglichen Entwickelungen ohne weiteres auf den vorliegenden Fall über- tragen^ andere wiederum beschränken sich darauf, die Verteilung von Strom und Spannung längs der Antenne zu bestimmen, ohne von den entsandten Wellen zu reden. Gerade auf die ent- sandten Wellen aber kommt es bei der drahtlosen Telegraphie an, und auch ihre Bückwirkung auf die Senderschwingungen darf nicht außer acht gelassen werden. Daß man unter Berück- sichtigung dieser Umstände das direkt gekoppelte Gebersystem approximativ behandeln kann, habe ich kürzlich gezeigt.^) Es ei^eben sich, auch wenn die beiden Leitungen vor der Koppe- lung in Besonanz waren, zwei verschiedene Grundschwingungen des gekoppelten Systemes; diese geben zu Schwebungen Anlaß (vgl. I, § 68), in deren Verlaufe die Energie vom Primärkreis der Antenne zugeführt und so zur Ausstrahlung gebracht wird«
Auch wexm man es mit mehreren parallelen Sendedrahten zu tun hat, kann man aus der Stromverteilung auf Ghrund der Entwickelungen der beiden letzten Paragraphen unschwer die
1) M. Abraham, Phys. Zeitschrift (6), S. 174. 1904.
Erstes Kapitel. Bnlieiide Körper. 309
entsandten Wellen ermitteln. Sind die Abstände der Diuhte von der Ordnung der Wellenlänge^ so werden sich Interferenzen der entsandten Wellen ergeben. Sind hingegen die Absi&ide der Drahte klein gegen die Wellenlänge^ so werden sich die entsandten Wellen in allen Aufpunkten verstärken^ wenn die Ströme in den Diuhten alle in der gleichen Phase schwingen^ z. B. bei den Eäfigantennen der drahtlosen Telegraphie; sie werden sich durch Interferenz aufheben^ wenn sie in entgegen- gesetzten Phasen schwingen. Ein Beispiel der letzteren Art haben wir in Bd. I; § 76 kennen gelernt: eine Leitung von endlicher Länge^ die aus zwei parallelen^ jeweils in gegenüber- liegenden Querschnitten von entgegengesetzt gleichen Strömen durchflossenen DnLhten besteht; man sieht jetzt ohne weiteres die Richtigkeit der dort aufgestellten Behauptung eiu; daß ein solches System nicht strahlt. Man verwendet bei Laboratoriums- versuchen mit elektrischen Wellen gerade darum parallele Drähte zur Fortleitung, weil diese die Energie in ihrer un- mittelbaren Umgebung halten^ und sie nicht zur Ausstrahlung gelangen lassen.
Wir haben im ersten Bande dieses Werkes (§ 73) die Fortpflanzung elektrischer Wellen längs einer unendlichen Lei- tung unter gewissen vereinfachenden Voraussetzungen behandelt. Wir haben die Leiter als vollkommene angesehen und gefunden, daß in diesem Falle die Geschwindigkeit, mit welcher die Wellen längs der Leitung forteilen, der Geschwindigkeit der elektromagnetischen Störungen in dem betreffenden Isolator gleich ist. Wir haben betont, daß Wellen, die längs eines Einzeldrahtes sich fortpflanzen, nicht in den Gültigkeitsbereich der dort angewandten Methode fallen. Diese Lücke füllt die Arbeit von A. Sommerfeld^) in willkommener Weise aus; die- selbe behandelt die Fortpflanzung längs eines Einzeldrahtes vom Standpunkte der Mazwellschen Theorie aus; sie zeigt, daß bei Berücksichtigung der endlichen Leitfähigkeit des Drahtes die erwähnten Schwierigkeiten fortfallen, ohne daß in prak-
1) A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. (3) 67, S. 288. 1899.
310 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
tischen Fallen der Wert der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen sich merklich änderte. An diese üntersnchung schließt sich diejenige Ton G. Mie^) an^ welche Wellen behandelt^ die an zwei parallelen DiUhten von endlicher Leitföhigkeit fort- schreiten. Wie Kapazität und Selbstinduktion der Leitung in diesen Fällen zu definieren sind; hat der Verfasser dieses Werkes dargelegt.«) Leider müsBen wir uns hier mit einem kurzen Hinweis auf diese Probleme begnügen ^ der den Leser zum Studium der Originalabhandlungen anregen mag.
Zweites Kapitel.
Bewegte Korper,
§ 36. Die erste Hauptgleichnng.
Wir haben im vorigen Kapitel (§ 28) die Hauptgleichungen der Elektrodynamik ruhender Körper aus der Elektronentheorie abgeleitet; wir sind dabei ausgegangen von den Gleichungen (la bis IVa), welche sich durch Mittelwertsbildung über die Felder der einzelnen Elektronen ergeben hatten. Die auftretenden Mittelwerte ^, e haben wir mit der magnetischen Liduktion 8 und der elektrischen Feldstärke @ identifiziert (Ol. 166^ 166 a) und die Vektoren ® und § durch (166b, c) definiert. Für ruhende Körper ergaben sich die Gleichungen (Ib bis IVb) der Maxwellschen Theorie. Dabei ist der ersten Hauptgleichung (Ib) die dritte (Hlb) zuzuordnen, die aufs engste mit ihr verknüpft ist; bildet man nämlich die Divergenz von Ib, und differenziert nib nach der Zeit, so gelangt man zur Kontinuitätsbedingung der wahren (an den Leitungselektronen haftenden) Elektrizität. Anderseits ist die zweite Hauptgleichung (Hb) mit der vierten (IVb) verknüpft; IVb spricht das Verschwinden der Dichte des wahren Magnetismus aus, deren zeitliche Änderung nach Hb ohnedies verschwinden muß.
1) G. Mie, Ann. d. Phys. (4) 2, S. 201. 1900.
2) M. Abraham, Ann. d. Phys. (4) 6, S. 217. 1901.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 311
Wir wollen nun für den allgemeinen Fall eines be- wegten Körpers in diesem Paragraplien die erste Haupt- gleichung und im nächsten Paragraphen die zweite aus den Grundhypothesen der Elektronentheorie ableiten. Dabei bilden wiederum die Differentialgleichungen (la bis IVa) den Ausgangs- punkt. Unter H ist aber jetzt nicht die Geschwindigkeit der Elektronen relativ zur Materie zu verstehen, sondern die abso- lute Geschwindigkeit der Elektronen im Räume, d. h. die Ge- schwindigkeit in dem universellen Bezugssystem (§ 4), in welchem die Isotropie der Lichtfortpflanzung statthat. Ob und wie dieses Bezugssystem empirisch festzulegen ist, mag hier nicht erörtert werden. Seine Existenz wird schon durch die Mazwellschen Gleichungen gefordert^ welche in dem von Materie und Elektrizität leeren Räume (im Äther) gelten. Nach den Grundvorstellungen der Lorentzschen Theorie sind es Zustände des Raumes, welche durch die elektromagnetischen Vektoren @ und 8 beschrieben werden. In der Hertzschen Elektrodynamik bewegter Körper dagegen sind es stets die elektromagnetischen Zustände der Materie, welche durch die elektromagnetischen Vektoren gekennzeichnet werden. Hierin liegt der prinzipielle Gegensatz der Hertzschen und der Lorentzschen Theorie; wie wir bereits im ersten Bande dieses Werkes andeuteten, befindet sich gerade in der Elektrodynamik bewegter Körper die Lorentzsche Theorie in besserer Übereinstimmung mit der Er- fahrung, als die Hertzsche. Im folgenden wird das ausführ- licher zu zeigen sein.
Wir bezeichnen mit m die Geschwindigkeit der Materie, mit li' die Relativgeschwindigkeit der Elektronen gegen die Materie. Es wird dann die absolute Geschwindigkeit der Elektronen
n = m + n'.
Diese ist es, welche in der ersten Hauptgleichung auftritt. Die Form (la) der ersten Hauptgleichung enthält Größen, die durch Mittelwertsbildung über, einen physikalisch unendlich kleinen Bereich entstanden sind. Die Moleküle, welche in diesem Bereiche enthalten sind, können ganz verschiedene Ge-
312 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
schwindigkeiten besitzen; unter tu jedoch ist die sichtbare Ge- schwindigkeit der Materie^ d. h. der Mittelwert der Molektdar- geschwindigkeiten für einen physikalisch unendlich kleinen Be- reich ^ zu verstehen. Es wird demnach der Mittelwert des Eonvektionsstromes der Elektronen
(188) pH-pttH- pH'.
Der erste Bestandteil enthält den Mittelwert der Dichte der Elektrizität, der nach (165) nichts anderes ist; als die Dichte Q* der freien Elektrizität. Es ist also
(188a) ^10 « p'm
der Konvektionsstrom der freien Elektrizität.
Falls die Elektronen relativ zur Materie ruhen^ kommt nur dieser erste Bestandteil des gesamten Stromes (188) in Betracht. Bewegen sie sich dagegen relativ zur Materie^ so ist der zweite Bestandteil in Bechnung zu ziehen. Das kann nun in ähnUcher Weise für bewegte Körper geschehen, wie es in § 28 für ruhende Korper geschah. Man hat wiederum die Anteile zu sondern, welche von den Leitungselektronen, Polari- sationselektronen und Magnetisierungselektronen herrühren.
Die relative Bewegung der Leitungselektronen gegen den Körper macht sich als ein Leitungsstrom bemerkbar, dessen Dichte ist
(188b) {^}. = i.
Bei der Herstellung des durch ^ gekennzeichneten elek- trischen Momentes der Yolumeinheit ist durch ein Flachen- element df die Elektrizitatsmenge ^t^df in dem durch die Nor- male V angegebenen Sinne hindurchgetreten; das wurde in § 28 nachgewiesen und gilt für einen bewegten Körper genau so, wie für einen ruhenden. Es soll nun der Strom bestimmt werden, der von den Polarisationselektronen durch eine un- geschlossene Fläche f des Kö/pers transportiert wird. War zur Zeit t die mit den Polarisationselektronen durch f geschobene Elektrizität gleich
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 313
/'
80 ist sie zur Zeit t + dt gleich
fv.df+dt'§-^f%df.
Es ist also der Polarisationsstrom durch die Flache f des Körpers •
Jäf[^%-TtJ%df^Jdf^-^^ wo nach der Formel I, 122 (S. 121) gilt
(188c) ^ = W + ^^IC*»»] + tndivip.
Der Polarisationsstrom durch die Flächeneinheit des bewegten Körpers ist folglich gegeben durch den Vektor
(188d) {^L=^-
Hierdurch bestimmt sich auch der zweite^ von der relativen Bewegung H' der Polarisationselektronen gegen den Korper her- rührende Anteil des Stromes (188)^ welcher durch eine im Baume feste Flache fließt; der erste^ von der Bewegung tu der Polarisationselektronen mit der Materie herrührende Strom- anteil dagegen ist bereits in (188 a) berücksichtigt worden, indem ja, gemäß (165)^ zur Dichte q^ der freien Elektrizität auch die Polarisationselektronen einen Beitrag liefern.
Für die Magnetisierung des bew^ten Körpers ist selbst- verständlich die relative Bewegung der umlaufenden Magneti- sierungselektronen gegen den Körper maßgebend, so daß an Stelle von (164c) jetzt
(188e) {^'}^=c curia
den von der Magnetisierung herrührenden Strom- anteil bestimmt.
Aus (188 b, d, e) folgt
314 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern
(188f) ^'«i + ^ + ocurl«
für den gesamten von der relativen Bewegung der Elektronen gegen die Materie herrührenden Strom. Ans (188) und (188 a; f) erhält man schließlich als gesamten Mittelwert des Eon- yektionsstromes der Elektronen:
(188^) pS = p'to + i + ^ + c curl SR.
Dieser Ausdruck; der als Erweiterung des auf ruhende Körper bezüglichen Ausdruckes (165b) sich ergibt, ist nun in die erste Hauptgleichung (la) einzufuhren. An Stelle von i, ^ ist, wie in § 28 (Gleichungen 166, 166a) @ bzw. 8 zu setzen; auch sind die Definitionen (166b; c) von S und § zu be- rücksichtigen. Dann folgt als erste Hauptgleichung für bewegte Körper
(189) curl§ = i^^ + ^^{i + ,'l. + ^;.
Zum Wirbel des Vektors § liefern hiemach Beiträge: Der Verschiebungsstrom im Äther, der Leitungs- strom, der Konvektionsstrom der freien Elektrizität und der Polarisationsstrom im bewegten Körper.
Man kann an Stelle der Dichte qi der freien Elektrizität auch durch (165) die Dichte q der wahren Elektrizität ein- führen. Auf Grund von (166 b) und (188 c) wird dann
(189a) curl § =. ^[i + ^ + pto 4- curl [fptd]}.
Diese Form der ersten Hauptgleichung wollen wir der ersten Hauptgleichung der Theorie von H. Hertz (I, Gleichung 252, S. 425) gegenüberstellen:
curl g-^ji + ^ + ptm- curl[2)m]|.
Wie nach der Hertzschen Theorie, so werden auch nach der Lorentzschen durch den Leitungsstrom, den Verschiebungs- strom und den Konvektionsstrom der wahren Elektrizität
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 315
magnetische Wirkungen erregt; nur hinsichtlich des vierten Termes der rechten Seite der ersten Hauptgleichnng^ welcher (vgl. I, § 90) den sogenannten „Röntgenstrom^' bestimmt, weicht die Lorentzsche Theorie von der Hertzschen ab. Nach der Lorentzschen Theorie bestimmt
curl [$p m]
die Dichte des Böntgenstromes. Gerade diese Forderung war es, welche durch die Versuche von A. Eichenwald ihre experimentelle Bestätigung gefunden hat.
Die Diskussion dieser Experimente ist am besten an die Form (189) der ersten Hauptgleichung anzuknüpfen. Es waren (I, S. 427) die geladenen Eondensatorplatten zusammen mit dem zwischen ihnen befindlichen Dielektrikum in gleich- formiger Rotation begriffen. Hier ist der Zustand ein statio- närer auch dann, wenn man ein mitrotierendes Bezugssystem zugrunde legt; die von einem solchen Bezugssystem aus be-
urteilte zeitliche Änderung -^ ist folglich Null.
Da ein Leitungsstrom nicht fließt und da -^ gleichfalls NuU ist, so folgt aus (189)
curl§ «- — p'to. c ^
Für das bei Eichenwalds Versuchen erregte mag- netische Feld ist also nach der Elektronentheorie die Bewegung der freien Elektrizität maßgebend. Dieses war eben die Feststellung Eichenwalds. Nach der Hertzschen Theorie dagegen wäre der allgemeine Ausdruck der ersten Hauptgleichung
da nun in dem vorliegenden Falle die von dem bewegten Körper aus beurteilte zeitliche Änderung von S ebenso wie i verschwindet, so würde sich nach H. Hertz überhaupt keine magnetische Wirkung ergeben. Die Versuche von Eichen- wald zeigen demnach, daß nicht die Hertzsche, wohl
316 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
aber die Lorentzsche Elektrodynamik bewegter Körper die erste Hanptgleichang für die hier in Frage kommenden langsamen Bewegungen richtig formuliert.
Wir erhalten eine dritte, mit (189) und (189a) gleich- wertige Form der ersten Hauptgleichung, wenn wir den neuen Vektor einführen:
(189b) §' = §-^[to«].
Setzen wir dann noch
^ - ^ + curl [2) tt] + tt div 2),
und berücksichtigen, daß nach (166b) gilt
curl [Ätd] = — curl [taOt] + 4ä curl [ipio], und daß man allgemein hat
div ® =■ (>, so können wir (189 a) schreiben
(190) curir=^{i +
dt
Der Unterschied der Lorentzschen Theorie Ton der Hertzschen gibt sich hier dadurch kund, daß der „wahre^^, aus Leitungsstrom und Yerschiebungsstrom im bewegten Körper zusammengesetzte Strom bei Hertz curl $, bei Lorentz dagegen curl §' bestimmt.
Was die aus der ersten Hauptgleichung fließende Gfrenz- bedingung au der Trennungsfläche zweier bewegter Körper anbelangt, so ergibt sich diese in sehr einfacher Weise. Schreibt man den Körpern eine endliche Leitfähigkeit und eine endliche Polarisationsfahigkeit zu, so muß nach (190) an der Trennungsfläche der Flächenwirbel von §* verschwinden, d. h. die tangentiellen Komponenten von $' durchsetzen stetig die Trennungsfläche. Für den idealen Ghrenzfall des vollkommenen Leiters (I, § 72) hingegen, wo ein endlicher Flächenstrom j als zulässig betrachtet wird, ist dieser Flächenstrom mit dem.
._j
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 317
Flächenwirbel von ^' verknüpft. Da nun ins Innere des voll- kommenen Leiters das elektromagnetische Feld nicht eindringt, so bestimmt sich die Dichte des F^chenstromes durch den an der Oberfläche herrschenden Wert von §' folgendermaßen
(190a) vi = t^'"]-
Dabei ist tt ein Einheitsvektor^ welcher die nach dem Inneren des Leiters weisende Normalenrichtung anzeigt. Zu der ersten Hauptgleichung steht die dritte
(191) div 2) = p
in enger Beziehung. Schließt man eine endliche Flächendichte aus, so muß die Flächendivergenz von 3) verschwinden, d. h. die Normalkomponente von S muß stetig die betreffende Trennungsfläche durchsetzen. Läßt man hingegen eine end- liche Flächendichte o zu, nämlich bei Körpern, welche das Feld nicht in ihr Lmeres eindringen kssen, so wird
(191a) c) = -(2)n).
Es ist 6) durch die an der Oberfläche herrschende Normal- komponente von S bestimmt. An der Oberfläche geladener bewegter Leiter kommt die Gleichung (191a) und an der Oberfläche bewegter idealer Spiegel außerdem die Gleichung (190a) in Betracht. Die tangentiellen Komponenten von $' sind hier mit der Flächendichte des Leitungs- stromes, die Normalkomponente von S ist mit der Flächendichte der wahren Elektrizität verknüpft.
§ 36. Die zweite Hauptgleioliung.
Die zweite Hauptgleichung der Elektronentheorie (IIa) enthält überhaupt kein von der Bewegung der Materie oder der Elektrizität direkt ablmngiges Glied. Es gilt demnach im Falle der Bewegung ebenso wie im Falle der Buhe die Glei* chung IIb
(192) curl« i-^.
318 zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
•
Diese Form der zweiten Hauptgleichimg ist nichts anderes als das Induktionsgesetz; ausgesprochen für ein im Baume festes Flachenelement; denn es stellt 6 die Kraft auf einen ruhenden, mit der Einheit der Ladung versehenen Probekorper dar; während die auf der rechten Seite von (192) auftretende zeitliche Änderung von 8 auf einen festen Baumpunkt sich bezieht.
Es entsteht nun aber die Frage , ob auch für bewegte Körper das Faradaysche Induktionsgesetz (vgl. I, S. 390), welches ja von der Erfahrung durchweg bestätigt wird, aus den Grundvorstellungen der Elektronentheorie sich ableiten läßt, um dies zu zeigen, müssen wir auf die Gbund- gleichung (Y) des § 4 zurückgehen, welche die elektromagne- tische Kraft f^ bestimmt; es ist in der jetzt angewandten Be- zeichnungsweke die auf die Eiaheit der Lwlnng wirkende Kraft
Wir betrachten eine Gruppe von Elektronen, welche sich mit der gemeinsamen Geschwindigkeit li bewegen. Die Mittel- wertsbildung über ein physikalisch unendlich kleines Gebiet ergibt dann für diese Elektronengruppe die elektromagnetische Kraft
(193) » = e + 4-M]«« + f[l»»].
Wir setzen wieder wie im vorigen Paragraphen
indem wir unter ID die Geschwindigkeit der Materie, unter ti' die Geschwindigkeit der Elektronen relativ zur Materie ver- stehen. Dann wird
(193a) 5 = «' + y[t>'«],
wo
(193b) «' = «+y[l»»]
die Eraft auf eine relativ zur Materie mhende Einheits- ladung ißt.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 319
Der zweite Term in (193 a) ergibt als Kraft auf die in der Yolumeuilieit enthaltenen Elektronen der betreffenden Gruppe:
y[^,«].
HierdurcH bestimmt sich; falls nur Leitungselektronen in Betracht kommen^ auf Grund von (188 f) die am Leiter an- greifende ponderomotorische Kraft des magnetischen Feldes in Übereinstimmung mit I, Gleichung 245c, S. 411. Auch kann man, durch Unterscheidung verschiedener Arten von Elektronen, die in starken magnetischen Feldern auf- tretende, zur Stromrichtung senkrechte elektromotorische Kraft des Hall-Effektes (I, S. 242) ableiten. Das geschieht in den von E. Riecke und P. Drude entwickelten Elektronentheorien der Metalle (vgl. II, § 32). Für magnetisierte Körper tritt im Ausdrucke der ponderomotorischen KJraft curl SR an Stelle
von — ; wodurch sich die Äquivalenz von Magneten und elek-
trischen Strömen kundgibt, die in I, § 81 unter besonderer Berücksichtigung der ponderomotorischen Kräfte abgeleitet wurde. Für einen ruhenden Körper von wechselnder elek- trischer Polarisation endlich ergibt (188f) die ponderomotorische Kraft pro Volumeinheit
Der Vergleich mit der entsprechenden ponderomotorischen Kraft der Hertzschen Theorie (I, Gleichung 250a, S. 421) zeigt, daß bei Hertz der gesamte Verschiebungsstrom, bei Lorentz nur der an der Materie haftende Bestandteil desselben, von einer ponderomotorischen Kraft angegriffen wird. Das hängt damit zusammen, daß nach Lorentz elektromagnetische Kräfte überhaupt nur an den Elektronen und nicht an den von Elektronen leeren Gebieten des Baumes angreifen (vgl. II, § 5).
Uns interessiert hier vorzugsweise der erste Bestandteil des Vektors f^, den wir mit @' bezeichneten; die Gleichung (193 b), die ihn bestimmt, berücksichtigt die Bewegung der Materie und formuliert das Gesetz der durch Bewegung
320 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
I
I
I 1 a:^ xr««Ä I
induzierten elektromotorischen Kraft. In der Tat; nach den Yorstellnngen der Elektronentheorie ist (S' die Kraft; welche an der Einheit der mit dem Körper bewegten Elek- trizität angreift; und durch diesen Vektor bestimmt sich der Bewegungsantrieb auf die Elektronen, wie er sich für ruhende Korper durch ü bestimmt. An Stelle der fdr ruhende isotrope Leiter geltenden Beziehung i = öQi wird demnach fdr bewegte Leiter (193c) i = 69'
zu setzen sein; es ist eine plausible Annahme , daß die Leit- fähigkeit 6, wenigstens was Größen erster Ordnung (in dem
Quotienten - — ^j anbelangt; durch die Bewegung des Leiters
nicht geändert wird.
Aus (192) und (193b) folgt
(194) curl«' = .i{^ + curl[»lD]}==-.-i^.
Die rechte Seite bestimmt die zeitliche Änderung des Liduktionsfiusses durch eine bewegte Fläche; aus der all- gemeinen Yektorformel (I; Gleichung 122; S. 121) folgt nämlich mit Rücksicht auf die Ghnmdgleichung (IVb); welche das Verschwinden des wahren Magnetismus fordert:
Dem Differentialgesetze (194) entspricht demnach das Litegralgesetz der induzierten elektromotorischen Kraft
(194a) JiB' d» = - y rtßf^v.
Das Linienintegral der im bewegten Leiter wirk- samen elektrischen Kraft V ist gleich der durch c geteilten zeitlichen Abnahme des umschlungenen Induktionsflusses.
Die Hertzsche Theorie drückt die zweite Hauptgleichnng etwas anders aus. Sie setzt (I; § 86) bei fehlenden ein- geprägten Kräften:
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 321
curl ft =
c dt oder
ß^^-'-TJißf»-
In der Hertzschen Theorie stellt indessen der Vektor d nicht den elektrischen Zustand des Raumes^ sondern denjenigen der Materie dar; es wird^ auch für einen bewegten Leiter, der Leitnngsstrom dem Vektor (S proportional gesetzt, also
geschrieben. Wie wir sehen, weicht die zweite Haupt- gleichung der Lorentzschen Theorie yon derjenigen der Hertzschen in ähnlicher Weise ab, wie die erste. Wie dort $' an Stelle yon $, so tritt hier d' an die Stelle Yon tf. Während aber bei Hertz (S den Leitungs- strom im bewegten Körper bestimmt, bestimmt bei Lorentz d' den Leitungsstrom. Hinsichtlich der in bewegten Leitern induzierten Ströme stimmt also die Lorentzsche Theorie mit der Hertzschen überein. Die im ersten Bande (§ 84 bis 87) dargelegten Gesetze der Induktion in Leitern^ welche durch Messung der induzierten Ströme ihre experimentelle Prüfung und Besi^tigung gefunden haben, er- geben sich auch aus den Grundhypothesen der Elektronen- theorie.
Wie liegt nun die Sache, wenn nicht ein Leiter, sondern ein Isolator es ist; der sich im magnetischen Felde bewegt? Nach Hertz ist auch für den bewegten Isolator
zu setzen, wobei das Hertzsche d mit dem Lorentzschen d' identisch isi Die Lorentzsche Theorie würde mit der Hertzschen hinsichtlich der erregten elektrischen Verschiebung überein- stimmen, wenn sie dieselbe proportional zu d' setzen würde. Das tut sie indessen keineswegs. Sie unterscheidet vielmehr den vom Baume und den yon der Materie beigesteuerten
Abraham, Theorie der Elektrlxitftt. II. 21
4»jp = (f-l) tritt für bewegte Isolatoren
4«f = («-!) «',
so daß gemäß (193b) die gesamte elektrischeVerschiebnng in einem bewegten Dielektrikum gegeben wird dnrcli
(194b) 4«a> = ««+^^^[tt8].
Die experimentelle Prüfang dieser von der Elektronen- iheorie geforderten Beziehung bildete den Gegenstand einer Arbeit von H. A. Wilson.^) Dieser Forscher ließ einen dielek- trischen hohlen Zylinder in einem der Achse parallelen ms^e- tischen Felde rotieren. Die metallischen Belegungen der inneren und äußeren Begrenzungsflächen waren durch Gleitkontakte mit den Quadranten eines Elektrometers verbunden; die innere Belegung war gleichzeitig geerdet. Die infolge der Rotation sich herstellende radiale elektrische Verschiebung gibt zu einer wahren Ladung der Zylinderbelegungen Veranlassung; dieselbe bestimmt sich auf Grund von (194b) folgendermaßen: tf , die Ejraft auf die ruhende Einheit der Ladung^ leitet s\ch aus dem elektrostatischen Potentiale der freien Elektrizität ab. An Stelle von 8 kann, da man es bei den Versuchen mit Körpern zu tun hatte y deren magnetische Permeabilität nicht merklich von 1 verschieden war; § gesetzt werden. Femer ist m senk- recht zu ^ gerichtet; sein Betrag ist gleich u^r, wo u die Winkelgeschwindigkeit; r der Abstand von der Achse ist.
1) H.A.Wilson. London Royal Soc. Trans. Vol. 204 A, S. 121, 1904.
322 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Anteil der elektrischen Verschiebung, entsprechend der Glei- chung '
Nur der an der Materie haftende Teil der elektrischen Verschiebung, d. h. die Verschiebung der Polarisationselektronen des Körpers wird durch den Vektor tf ' bestimmt. An Stelle der für ruhende isotrope Körper geltenden Beziehung
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 323
Mithin ist
(194c) 4«»^ ,|^ + (,_1).!^.|^|.
Das zweite Glied wechselt bei Umkehrung des magnetischen Feldes das Vorzeichen. Ist h die Höhe des Zylinders und e die Ladung seiner inneren Belegung; a und b die Qnerschnitts- radien der äußeren und inneren Belegung; so ist
r hr
Da nun konzentrische Zylinder des Dielektrikums von derselben Verschiebung e durchsetzt werden, so ergibt die Integration von (194c) zwischen den Grenzen b und a:
oder
(194d) |=9,-9,±i;',
wo K die Kapazität des dielektrischen Zylinders ist und (194e) JB'=(l-i.).fj§|(a^_6«).
Die Ladung der Innenseite des äußeren Zylinders ist — e; folglich ist + e die Ladung seiner Außenseite, des mit ihr ver- bundenen Quadranten des Elektrometers und des Leitungs- drahtes zusammen; der andere Quadrant ist zur Erde ab- geleitet. Ist K* die Kapazität dieses ganzen Systems, so hat man
^ = 92 — 9l-
Hieraus und aus (194d) folgt
(194f) ±E*={<p,-g>,).^^,
SO daß aus der gemessenen Potentialdifferenz der Quadranten und den Konstanten des Apparates die Grröße E* sich ermitteln und so die experimentelle Prüfung der von der Elektronentheorie ge- forderten Beziehung (194 e) sich durchführen läßt.
21*
324 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Die messenden Versuche H. A. Wilsons bestätigen nun dorcliaus die Gültigkeit dieser Beziehung; mit der Hertzschen Theorie hii^egen sind sie nicht zu vereinbaren (diese setzt in (194b) s an Stelle von ß — 1; mithin in (194e) 1 an Stelle
von 1 ]• Wir können also aus den Versuchen von
H. A. Wilson schließen, daß zwar die Lorentzsche, nicht aber die Hertzsche Elektrodynamik bewegter Körper die Beziehung zwischen den Feldstärken und der elektrischen Verschiebung für die hier in Frage kommenden langsamen Bewegungen richtig wiedergibt. Ob eine der Gleichung (194b) entsprechende Beziehung die magnetische Induktion bewegter, magnetisch weicher Körper bestimmt, darüber scheint weder 'theoretisch noch experimentell etwas bekannt zu sein. Beschränken wir uns auf nicht mi^- netisierbare Körper, wo 8 mit ^ identisch ist, so lauten die in den beiden letzten Paragraphen aus der Elektronen- theorie abgeleiteten Grundgleichungen der Elektro- dynamik:
(Ic) curl«'= ^{l + ^-^f
(Hc) curl«' i-^,
(mc) dir » = Q, (IVc) div ^ - 0.
Dabei sind für beliebige Geschwindigkeit lll die Vektoren C^' nud ^' definiert durch
(195) «' = « + -J- [»»§],
(195a) §' = §_i.[to6].
Ferner sollen i und 3) sich folgendermaßen bestimmen: (195b) i - tf «',
(195c) 4»S> = « + («- l)«'-e6'-i[to§].
Zweites KapiteL Bewegte^ Körper« 325
Dabei werden 6 und b als Materialkonstanten betrachtet.
I In I welche, soweit nur Größen erster Ordnung in - — ■ in Frage
kommen, yon der Geschwindigkeit unabhängig sind.'' Auf solche ,, langsame Bewegungen'^ allein beziehen sich die Beobachtungen, Yon denen bisher die Bede war. Sie haben das soeben zu- sammengestellte System der Peldgleichungen durchaus be- stätigt.
Die Hauptgleichungen (Ic) bis (IVc) und die Definitionen (195, 195 a) sollen den Vorstellungen der Elektronentheorie gemäß für eine beliebige Geschwindigkeit ID der Materie zutreffen. Aus (Uc) und (IVc) ergibt sich als Grenzbedingung an der Trennungsfläche zweier bewegter Körper: Der Flächen- wirbel von tf' und die Flächendivergenz von ^ sind gleich Null; d. h. die tangentiellen Komponenten von @' und die Normalkomponente yon $ durchsetzen stetig die Trennungsfiäche der beiden Körper.
Diese Grenzbedingungen sind, ebenso wie die entsprechenden für ruhende Körper geltenden, auch dann noch aufrechtzuerhalten, wenn der eine der beiden Körper ein vollkommener Leiter ist. Denn auch an der Oberfläche eines solchen ist eine endliche Dichte des „magnetischen Stromes^' und des Magnetismus nicht an- zunehmen (ygL I, S. 329, 330). Da nun in das Innere eines idealen Leiters das elektromagnetische Feld nicht eindringt, so gelten an seiner Oberfläche die Grenzbedingungen: Es yer- schwindet der Flächenwirbel yon (S' und die Flächen- diyergenz yon §:
(196) ' [«'n] = 0,
(196a) (§tt)==0.
Das sind die an der Oberfläche eines bewegten yollkommenen Spiegels yorzuschreibenden Grenz- bedingungen. Es bilden sich an dieser Oberfläche die durch (190a) und (191a) gegebenen Belegungen yon elektrischem Leittmgsstrome und Ton elektrischer Ladung. Sie sind es, welche das elektromagnetische Feld abschirmen.
326 Zweiter Abschrntt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
§ 37. Der Versuoli von Fizeau.
Über die Fortpflanzung des Lichtes in strömendem Wasser ist von Fizeau ein Versuch angestellt worden; von Michelson und Morley wiederholt, stellt dieser Versuch ein Ezperimentum crucis dar, welches für die Lorentzsche und gegen die Hertzsche Optik bewegter Körper entscheidet. Wir wollen nicht ver- säumen, die Theorie dieses Versuches von dem Standpunkte der Elektronentheorie aus darzulegen.
Bei den Versuchen gelangten zwei Lichtbündel zur Inter- ferenz, welche zwei parallele Röhren durchsetzt hatten. Wurde das in den beiden Röhren enthaltene Wasser in entgegen- gesetzten Richtungen in Strömung versetzt, so erfolgte eine Verschiebung der Interferenzstreifen; aus dem Betrage der Ver- schiebung konnte die Veränderung der Fortpflanzungs- geschwindigkeit des Lichtes infolge der Bewegung des Wassers ermittelt und mit der Theorie verglichen werden.
Es handelt sich also hier um Lichtwellen, welche parallel der Geschwindigkeitsrichtung, oder in dem entgegengesetzten Sinne sich fortpflanzen. Wir legen die £? -Achse in die Be-
In
wegungsrichtung des Wassers, setzen - — ^ = ß und betrachten
zunächst einen geradlinig polarisierten Lichtstrahl, in dem die elektrischen Schwingungen der ^ -Achse, die magnetischen der 2/- Achse parallel erfolgen, dessen Strahlrichtung mithin in die ^- Achse fäUt. Man hat nach (195) und (195a)
(197) «;=«.-/j^y, ^;=^.-/j«..
Handelt es sich um ein dispersionsfreies Medium, dessen Brechungsindex sich aus der Maxwellschen Relation bestimmt, so kann die elektrische Verschiebung ® auf Grund von (195 c) berechnet werden. Zieht man aber die Dispersion des Wassers in Betracht, so hat man die Polarisation $P auf Grund der Ansätze des § 29 zu berechnen. Die Verschiebung der Polarisations- elektronen bestimmt sich natürlich hier mit Rücksicht auf die Bewegung nicht durch ft, sondern durch 6'; dementsprechend gilt
(197a) 4ä2) - « - 4;rip = (n!'- 1) «'.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 327
Dabei ist vi der Brechungsindex in dem ruhenden Körper, genommen für die Schwingungszahl v\ in welcher die Elek- tronen des bewegten Mediums wirklich schwingen; aus der von einem ruhenden Beobachter wahrgenommenen Schwingungs- zahl V bestimmt sich diese auf Grund des Dopplerschen Prin- zipes, bei Vernachlässigung von Größen der Ordnung /J^, zu:
(197b) ^'==^(l_^).
Dabei ist w?' die Geschwindigkeit der Wellen in dem be- wegten Wasser, welche wir suchen.
Die beiden Hauptgleichungen (Ic) und (11 c) des vorigen Paragraphen ergeben
^ ^ Zz c dt ' dz ^ c dt
Die hier auftretenden Differentialquotienten nach der Zeit sind die von einem mitbewegten Punkte aus beurteilten. Die Fort- pflanzung der Wellen, relativ zum bewegten Wasser, mag nun durch den komplexen Faktor zur Darstellung gebracht werden:
Wird dann noch die mit Bücksicht auf die Dispersion verallgemeinerte Beziehung für die elektrische Verschiebung eingeführt, welche aus (197 a) folgt:
(198a) 4ä2) = ß + (w'^- 1) ß',
so erhalten wir aus (198) und (197)
10
oder
^\9x-ߧy] = ~§„
(199) { ,
328 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Die Elimination von 6« und ^y ergibt fOr tc?' die quadra- tische Gleichnng
aus der sicli die gesuchte Belatiygeschwindigkeit der Licht- wellen gegen das stromende Wasser folgendermaßen bestimmt:
Da es sich um Stromungsgeschwindigkeiten des Wassers handelt; die klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind^ so kann man zweite und höhere Potenzen von ß streichen. Alsdann wird
(200)
w^^l ß^
c W n'"
die Belatiygeschwindigkeit der Lichtwellen gegen das strömende Wasser. Die Geschwindigkeit der Lichtwellen^ welche ein ruhender Beobachter wahrnimmt^ ist demnach w'\ wo
(200.) !f_S.' + ^_i,+ (,(l-i,).
Nach der Hertzschen Theorie würde die Belatiygeschwindig- keit der Wellen gegen das strömende Wasser dieselbe sein^ wie gegen ruhendes Wasser. Die Wellen würden bei der Be- wegung einfach mitgeführt werden. Nach der Lorentzschen Theorie ist daa nicht der Fall; infolge der Bewegung des Wassers wird die Geschwindigkeit des parallel sich fort- pflanzenden Lichtes nicht um |Id|; sondern nur um einen
Bruchteil yon |lo| yermehrt. Der F^tor (1 rt) üi Glei- chung (200a); der dieses anzeigt, wird der ^^Fresnelsche Fortführungskoeffizient** genannt. Fresnel war es, der zuerst die Annahme ruhenden Äthers yertrat, welche dann yon H. A. Lorentz der elektromagnetischen Optik bewegter Körper zugrunde gelegt wurde. Nach Lorentz entspricht der
Fortführungskoeffizient durchaus dem Faktor (l j in der
Formel (194 e), welche der Theorie der Versuche yon H. A. Wil-
Zweites Kapitel. Bewegte Köiper. 329
son zugnmde liegt; er rührt ^ wie wir geBehen haben^ daher^ daß nur der an der Materie haftende Brachteil der elektrischen Verschiebung durch die Bewegung der Materie im magnetischen Felde beeinflußt wird. Die Versuche von Fizeau^ Michelson und Morlej; welche die Gültigkeit jenes Ausdruckes für den Fortführungskoefßzienten bewiesen haben ^ zeigen ^ Tom elektro* magnetischen Standpunkte aus gedeutet; daß auch in den rasch wechselnden Feldern der Lichtwellen jene durch (198 a) formu- lierte Beziehung für die elektrische Verschiebung zutrifft. Sie legen dafür Zeugnis ab^ daß die Grundgleichungen der Elektro- dynamik; zu denen die Elektronentheorie führt, auch die Optik bewegter Körper um&ssen.
Unter n' ist^ wie erwähnt, für ein dispergierendes Medium der Brechungsindex zu verstehen, welcher der Frequenz v' entspricht. Aus (197 b) erhalten wir daher
1 1 1 dn vßc
wo n der Brechungsindex des Wassers ist, welcher der von einem ruhenden Beobachter wahrgenommenen Farbe zukommt. Da es bei der gewählten Näherung erlaubt ist, in den mit dem Faktor /3
behafteten GHedem n' und A durch n zu ersetzen, so wird
Gleichung (200 a)
(200b) «," = |+^(i_J, + ^|^).
Diese Formel rührt von H. A. Lorentz her.^) Bewegt sich das Medium den Lichtwellen entgegen, so ist selbst- verständlich hier -- /3 statt /} zu setzen.
§ 38. Der Druck der Strahlung auf bewegte Fläohen.
Wir haben bereits in § 5 dieses Bandes von dem elektro- magnetischen Lichtdruck gesprochen. Die Gesetze des Licht- druckes sind von grundlegender Bedeutung für die thermo- dynamische Theorie der Wellenstrahlung. Wir dürfen daher
1) H. A. Lorentz. Theorie d. elektr. n. opt. Ersch. in bewegten Körpern. Leiden 1896, S. 102.
330 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
niclit yersäumen, diese Gesetze hier zu entwickeln; auch dürfen wir uns nicht auf ruhende Flachen beschränken^ sondern wir müssen die Betrachtungen auf bewegte Flächen ausdehnen.
Zwei Arten yon Flächen sind es^ die in der Strahlungs- theorie eine Bolle spielen: Die yollkommen schwarzen und die yollkommen spiegelnden Flächen. Beide Arten yon Flächen lassen die Lichtwellen nicht in ihr Inneres eindringen. Die schwarze Fläche gibt nicht zur Bildung reflektierter Wellen Veranlassung; sie yer- wandelt die Energie der auffallenden Strahlung yollständig in Wärme oder in Arbeit des StrahlungsdruckeS; die Bewegungsgröße der auffallenden Strahlung in mechanische Bewegungsgröße des eingeschlossenen Körpers. Die yollkommen spiegelnde oder yollkommen ^^blanke'^ Fläche hingegen yerwandelt nicht den geringsten Bruchteil der auffallenden Strah- lung in Wärme. Die Energie des einfallenden Lichtes findet sich, soweit sie nicht in Arbeit des Strahlungsdruckes an der spie- gelnden Fläche yerwandelt ist; in dem reflektierten Lichte wieder; die Bewegungsgrößen des einfallenden und des reflektierten Lich- tes bestimmen den Betrag des Strahlungsdruckes. Flächen yon solchen Eigenschaften finden sich als Oberflächen wirklicher Körper in der Natur nur angenähert realisiert. Auch die besten Spiegel sind nicht yollkommen blank^ und die im auffallenden Lichte schwärzesten Flächen sind nicht absolut schwarz. Lnmer- hin ist die Idealisierung^ welche sich die Theorie erlaubt; in- dem sie yon yollkommen blanken oder yollkommen schwarzen Flächen spricht; nicht bedenklicher , als die Annahme starrer Körper in der Mechanik, idealer Gase oder idealer yerdünnter Lösungen in der Thermodynamik. Diese Idealisierung ermög- licht eS; sich bei der Ableitung der Strahlungsgesetze yon den indiyiduellen Eigenschaften der Körper unabhängig zu machen. In der Tat sind die Entwickelungen der folgenden Paragraphen unabhängig yon jeder besonderen Hypothese über die Zahl und die Eigenschaften der Moleküle und der Elektronen. Sie beruhen allein auf den Ghrundhypothesen der Elektronentheorie; welche in den Grundgleichungen (I bis V) ihre mathematische
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 331
Formulierung gewonnen haben. Die Grenzbedingungen an der Oberfläche des vollkommenen Spiegels , welche wir am Schlüsse des § 36 aufgestellt hatten^ gelten für beliebige Geschwindigkeiten des Spiegels ; wenn anders jene Grund- gleichungen die Einwirkung der Leitungselektronen des Spiegels auf die elektromagnetischen Vor^mge im Baume richtig for- mulieren.
Wie bereits in § 5 erwähnt wurde, bestimmt sich gerade für vollkommen schwarze und vollkommen spiegelnde Flächen die ponderomotorische Kraft des Feldes vollständig durch den in Gleichung (17) angegebenen Vektor
Z =^ {2««. + 2§§, - tt(«« + §0) { n ist ein der äußeren Normalen v paralleler Einheitsvektor } .
Diese Flächenkraft ist nichts anderes, als die auf die Flächeneinheit bezogene Resultierende der Maxwellschen Span- nungen. Würde es sich um einen Körper handeln, in dessen Inneres das elektromagnetische Feld eindringt, so würde, wie in § 5 dargelegt wurde, bei der Berechnung der resultierenden elektromagnetischen Kraft noch die zeitliche Änderung der im Körper enthaltenen elektromagnetischen Bewegungsgröße in Rechnung zu setzen sein. Für solche Körper jedoch, die von absolut schwarzen oder blanken Flächen umschlossen sind, fällt dieses Glied der resultierenden Kraft fort. Die resultierende Kraft des elektromagnetischen Feldes ergibt sich durch Inte- gration der Flächenkraft X über die Oberfläche des ruhenden Körpers.
Wie ändert sich nun der Wert der Flächenkraft, wenn der Körper in Bewegung begriffen ist? Dann erhält die Flächen- kraft einen Zuwachs, da Bewegungsgröße infolge der Bewegung aufgefangen wird. Ist ID die Geschwindigkeit des betreffenden Punktes der schwarzen oder blanken Fläche, so ist die von dem Flächenelemente df bei seiner Bewegung in der Sekunde aufgefangene elektromagnetische Bewegungsgröße
332 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Diesen Zuwachs erföhrt die an df angreifende elektro- magnetische Kraft durch die Bewegung des Flächenelenientes. Es folgt für die auf die bewegte Flächeneinheit be* zogene Kraft des Strahlungsdruckes
(201) 2'=9D + tti.9.
Aus (17) und (18) erhalten wir den Ausdruck des Vek- tors S' durch die elektromagnetischen Vektoren
(201a) 8ä2'- 2«.«. + 2§'§, - tt(«* + §*) + ^ [«§].
Für einen bewegten Körper, der yon einer absolut schwarzen oder blanken Flache begrenzt ist, ergibt sich die resultierende Kraft der Strahlung durch Integration yon S' über die Ober- fläche.
Wir wollen den erhaltenen Ausdruck noch etwas um- formen. Wir gehen dabei aus von der Identität
(202) ttl, • [«§] + «.[^tti] + §.[»!«] = tt(tti[«§]).
Diese beweist man, indem man die Komponente nach irgendeiner Richtung nimmt^ die man mit der ^-Achse zu- sammenfallen lassen kann. Es ist
».[«§]:. + «.[§»]:. + §.[»!«]:. -
Diese Determinante jedoch ist gleich
iOy in« in«
^v ^y ^M
COS {yx)
X^x ttit/ tOj
^x ^y §t
= tt.(ttl[Ǥ]),
d. h. gleick der a;- Komponente der rechten Seite von (202).
Drückt man nun den letzten Term in (201a) in der durch (202) angezeigten Weise aus, so erhält man
(202a) 83r2'= 2«'«, + 2§'§, - tlj«« + §« ~f (»[«§])).
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 333
wo & nnd ff die in den Hauptgleiclumgen (Ic und II c) des § 36 für bewegte Korper auftretendea Vektoren sind:
(203) «'=« + 7[to§], ff-^-^it^m- Da nun gut
(203a) ««» - r - -5- (»[«#]),
(203b}. S#' = ^*-f (»[«§]),
80 erhalten wir
(204) SäX'» 2«'«. + 2ff^, - n{(S&+§ff]
als allgemeinen Ausdruck der elektromagnetischen Flächenkraft durch die elektromagnetischen Vek- toren.
Handelt es sich um eine bewegte schwarze Fläche^ so sind für Qt und ^ die Feldstärken der einfallenden Wellen zu setzen; denn reflektierte Wellen sind hier definitionsgemäß ausgeschlossen. Anders bei dem bewegten Spiegel. Hier erfolgt die Reflexion so^ daß an allen Punkten der spiegelnden Fläche die Ghrenz- bedingungen (196) und (196a) erfüllt sind, welche das Ver- schwinden der tangentiellen Komponenten von & und der Normalkomponente von § yerlangen. Aus §y = 0 und (vgl. Formel S in Bd, I, S. 437)
0 - [«[«'tt]] = (Sf(Sy - tt(««')
folgt nun
(204a) 8ÄaD' = tt{««'-M'}
oder auch; mit Rücksicht auf (203a; b)
(204b) 87cT^n[(St^-§'}-
Diese beiden letzten Formeln bestimmen die
^Flächenkraft des elektromagnetischen Feldes auf
einen beliebig bewegten Spiegel Da n ein der äußeren
Normalen paralleler Einheitsvektor ist; so ist die Flächenkraft
X' stets senkrecht zur spiegelnden Fläche gerichtet. Es übt
334 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
der Strahlungsdruck keine tangentiellen Kräfte auf die Yollkommen spiegelnde Fläche aus.
Die Formel (204b) ist insofern bemerkenswert^ als in derselben die Bewegung des Spiegels explizite nicht auftritt. Für einen ruhenden Spiegel erhält man jene Formel; indem man den Faradayschen Längszug der zur leitenden Fläche normalen elektrischen Kraftlinien und den Querdruck der tan- gentiellen magnetischen Kraftlinien (I^ § 89) zusammenfügt. Für einen bewegten Spiegel ist diese Deutung nicht zulässig; hier tritt S' an Stelle von X, auch ist nicht d, sondern 6' der Vektor, welcher die Kraft auf die Einheit der am Leiter haftenden Elektrizität anzeigt, und der daher senkrecht zur yollkommen leitenden Fläche gerichtet sein muß. Dennoch ist der formale Zusammenhang des Lichtdruckes mit den Feld- stärken nach (204b) für den bewegten Spiegel der gleiche, wie für den ruhenden. Natürlich sind die Werte der Feldstärken an der Spiegeloberfläche ihrerseits Yon der Bewegung des Spiegels abhängig.
Wir betrachten zunächst ebene Wellen, die senkrecht auf einen ruhenden ebenen Spiegel fallen. Die Spiegelebene werde als (yisy^hene gewählt. Die Feldstärken ^, §^ der einfallenden Welle seien parallel der (—y)- Achse bzw. der jSf-Achse, diejenigen der reflektierten Welle Sj; $2 P^'i^el der y-Achse bzw. der jSf-Achse. Da für diese ebenen Wellen
(205) -(Siy=-§iz, (&2tr=§^»
ist, und da an der spiegelnden Fläche die Grenzbedingung vorgeschrieben ist
SO folgt
§z== §lz+ §2z=2§i^,
und daher
Es findet sich demnach der normale Lichtdruck auf den ruhenden Spiegel bei senkrechter Inzidenz des Lichtes
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 335
(206) p = ±Jl = ±1^1+^1]
gleich der doppelten Energiedichte der einfallenden Welle.
Wir gehen jetzt zum bewegten Spiegel über; die Be- wegung erfolgt parallel der äußeren Normalen tl; die jetzt mit der x-Achse zusammenfallt^ d. h. entgegen den einfallenden Wellen. Die Beziehungen (205) gelten auch jetzt noch^ aber die Ghrenzbedingung ist eine andere; es soll die tangentielle
Komponente des durch (203) definierten Vektors C ver- tu schwinden. Setzen wir — = jJ, so folgt aus
0 = e;= «y- ߧ,^ «ly- ß^u+ «By- ߧ2»
mit Rücksicht auf (205)
(207) §,,= §,,. i±|.
ferner wird (204 b)
(207a) SäX' - - tt§,«(l - ß^).
Da nun, gemäß (207), gut
SO folgt ^
(207b) 8«r=~tt.4§J,ii|.
Der Druck des senkrecht einfallenden Lichtes auf den ihm entgegen bewegten Spiegel wird hiernach
(208) p'^f.-^i/j^r^-i^ß
Er wird durch die Bewegung des Spiegels im Verhältnis 1 + iS • 1 — i^ gesteigert und wird unendlich, wenn der Spiegel sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Eine Bewegung des Spiegels mit Lichtgeschwindigkeit der auf- fallenden Strahlung entgegen erfordert unendliche Arbeitsleistung und ist daher physikalisch nicht realisierbar.
Die Arbeitsleistung gegen den Druck der Strahlung bringt eine Steigerung der Amplituden des reflektierten Lichtes
336 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet« Vorgänge in wägbaren Körpern.
mit sich^ welche dorcli (207) gegeben ist. Man überzeugt sich unschwer davon, daß die erhaltenen Ergebnisse mit dem Energiesatze und dem Impulssatze in Übereinstimmung sind« Wir wollen indessen hierauf an dieser Stelle nicht eingehen. Weiter unten (§ 40) werden wir das Problem der Licht- reflexion durch einen bewegten Spiegel für den allgemeineren Fall schiefer Inzidenz behandeln, und gerade die Impuls- gleichungen und die Energiegleichung werden dort all die Spitze gestellt werden.
Abb. 5.
§ 39. Der relatlTe Strahl«
In der elementaren Theorie der Aberration bestimmt man die Richtung des relativen Strahles bekanntlich folgender- maßen. Man denkt sich den Strahl durch eine Öffiiung 0
tretend; und, nach Durch- laufong der Strecke OP, im Aufpunkte P eintreffend. Der in P befindliche Beobachter imd der Schirm, dessen Öff- nung 0 ist, mögen die ge- meinsame konstante Trans- ^P lationsgeschwindigkeit 10 be- sitzen. Dann ist die Öffiiung zu der Zeit, wo das Licht in P eintrifft, bereits nach 0' ge- langt (ygL Abb. 5), und der Beobachter, der yon der Bewegung keine Kenntnis besitzt, wird O'P als Strahlrichtung bezeichnen. Die Richtung des relativen Strahles ist hiernach die- jenige des Vektors
(209) r' = c - m,
der die Relatiygeschwindigkeit yon Licht und Be- obachter darstellt Schon Bradley erklärte durch diese yom Standpunkt der Emissionstheorie des Lichtes ohne weiteres einleuchtende Konstruktion die Aberration des Fix* stemlichtes infolge der XJmlaufsbewegung der Erde; der diese Umlaufsbeweguug darstellende periodische Teil der Erd-
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 337
geschwindigkeit m gibt zu einem periodischen Wechsel der Richtung des relativen Strahles^ und damit zu einer jährlichen Periode der scheinbaren Örter der Fixsterne Veranlassung.
Zunächst wollen wir einige Beziehungen ableiten^ die sich aus dem Dreieck der Vektoren t, m^ (' ohne weiteres ergeben. Der Betrag von r' ist
(209a) c'^cyi + ß^-2ßco8(p, iJ = ^-
Auch hat man (209 b) - « cos X - iJ cos ^,
c
(209c) ^1^ = 1 -^cosy.
Ist (o der räumliche Öffiiungswinkel eines in P sich yer- einigenden Strahlenbündels, so entspricht ihm im relativen Strahlen- gange der Öffiiungswinkel to', der sich folgendermaßen bestimmt
/'01A^ ® dcoücp sing) dq>
Das leuchtet sofort ein, wenn man P als Anfangspunkt eines Systemes von Polarkoordinaten betrachtet, dessen Achse durch die Richtung von t$ gegeben ist. Der Strahlenkegel der relativen Strahlen liegt dann zwischen denselben Meridian- ebenen, wie derjenige der absoluten Strahlen, er erscheint nur zwischen zwei andere Breitenkreise verlegt.
Aus dem Dreieck der Abb. 5 folgt nun
folglich
Da ferner
sin <p c'
sinx _\^\ ^ ß
sinip c
hier als Eonstante zu betrachten ist, so gilt nach (209 b)
1 — . -^ ^ _ ^ cos-ip c'
d-ip ^ cos;U ccosx
und folgUch
(210a)
o c'*
Abraham, Theorie der Elektzidtät. n. ' 22
338 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Der Begriff ^^ Strahl ^^ ist nicht nur ein geometrischer^ sondern auch ein physikalischer; der Betrag des Strahlvektors oder die ^^Strahlung^ wird gemessen durch die auf Zeiteinheit und Flacheneinheit bezogene Wärmeentwickelung in einer senkrecht zur Strahlrichtung gestellten schwarzen Flache. Wir haben in diesem Werke bisher nur yon der ^^ absoluten Strahlung^^ 8 gesprochen^ die durch eine ruhende^ senk- recht zu ® (oder r) gestellte schwarze F^,che definiert ist.
Es bestimmt (vgl. § 5) — gleichzeitig die in der Sekunde auf
den Quadratzentimeter fallende Bewegungsgröße des Lichtes oder die Kraft des Lichtdruckes auf die schwarze Flache. Der absoluten Strahlung stellen wir jetzt die ^^relative Strah- lung^' S^ gegenüber; diese wird gemessen durch die Wärme- entwickelung; welche in der Sekunde im Quadratzentimeter einer zur relativen Strahlrichtung (d. h. zu c') senkrechten bewegten schwarzen Fläche stattfindet. Sie berechnet sich folgendermaßen :
Die Energiemenge^ die in der Sekunde durch die Flächeneinheit einer im Baume zu c' senkrechten ^ bewegten
(gedachten) Fläche hindurchtritt; ist S*—] wir können diese
auch als ^^relativen Energiestrom'' bezeichnen, um die Wärmeentwickelung in der schwarzen Fläche zu bestimmen, haben wir noch die Arbeitsleistung des Lichtdruckes zu sub- trahieren. Die in der Sekunde auf die Flächeneinheit auffallende
Bewegungsgröße ist } ihre Richtung ist diejenige des ab- soluten Strahles; sie gibt die Druckkraft der Strahlung auf die schwarze Fläche an. Folglich ist die Arbeitsleistung
des Strahlungsdruckes ^(io®); und daher die relative Strahlung " ^ ^
(211) 5' = ^S-^;(to€).
Da es sich hier um ebene Wellen handelt; bei denen ® parallel zu r ist; so wird mit Bücksicht auf (209)
(211a) S'-^;(<'S)-S^'cosz.
(211b)
Zweites EapiteL Bewegte Körper. 339
Auf Grand von (210a) können wir auch schreiben
S' S
c'*cb' c*cb
Verstehen wir jetzt unter dem „relativen Strahle" einen Vektor &, dessen Richtung diejenige von c' und dessen Betrag die relative Strahlung S^ ist^ so erhalten wir aus (211a) ohne weiteres den für ebene Wellen gültigen Ausdruck von ®'
(211c) ®' = ^(c'«).
Wir wollen dieser synthetischen Ableitung des relativen Strahles eine analytische gegenüberstellen^ indem wir von dem allgemeingültigen Ausdruck von @' durch die elektromagne- tischen Vektoren ausgehen. Für ebene Wellen gelangen wir auf diesem Wege zur elektromagnetischen Begründung der obigen Konstruktion der relativen Strahlrichtung.
Der absolute Strahl wird bestimmt durch den Poyntingschen Vektor
(212) @=Ä[«§];
derselbe gibt den Energiestrom durch eine ruhende Flache an. Der relative Energiestrom nach einer durch v gekenn- zeichneten Richtung ist
(212a) ®^_tt^^(«»+^«},
er stellt die Energiemenge dar^ welche in der Sekunde durch den Quadratzentimeter einer bewegten, senkrecht zu v gestellten (gedachten) Flache im Räume hindurchtritt (vgl. § 14, Glei- chung 76b).
Die auf die Flächeneinheit berechnete Eraft des Strahlungs- druckes ist durch (201a) gegeben. Handelt es sich um die relative Strahlung auf bewegte materielle Flächen, so ist die Arbeitsleistung der Flächenkrafk Z' von (212 a) zu sub- trahieren. Da n jetzt nicht, wie im vorigen Paragraphen, der von der Fläche fortweisenden, sondern der nach ihr hin- weisenden Normale v parallel ist, so ist die Arbeitsleistung
22*
340 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
des Strahlungsdruckes an der bewegten Fläche zu schreiben
(212b) (ttiaDO ^ - ^(2«, (m«) + 2^^ (m§) ~ to^ («« + §«)
Die Differenz von (212a) und (212b) ist es, die sich als Wärmeentwickelung in einer senkrecht zu v gestellten, be- wegten schwarzen Fläche kundgibt. Wir verstehen unter der ,,relatiYen Strahlung^^ parallel der durch v gekennzeichneten Richtung eben diese Differenz:
Wir können hiernach die relative Strahlung nach irgendeiner Richtung auffassen als Komponente des Vektors
(213) €'=S + ^{e(to«) + ^(»#) -!«(«»+§»)
+
*(»•[«#]))
Dieser Vektor ist der relative Strahl.
Wir wollen an Stelle der Vektoren S, § die durch (203) definierten Vektoren S' und §' einführen; wir berechnen deren äußeres Produkt
(213a) [«'#'] - [am - v[«[»«]]-y [*[»»^]]
+i[[w«],[»»#]]-
Nach Regel (d) und (y) der Formelzusammenstellung in Bd. I, S. 437 ist:
[« [tti «]] = »«»- e (to «)
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 341
Demnach ergibt sich, wenn man (213a) mit 7^ multi- pliziert, ein Vektor, der mit (213) identisch ist. Es ist also der allgemeine Ausdruck des relativen Strahles durch die elektromagnetischen Vektoren
(213b) S' = ^[6'^'].
Die Komponente dieses Vektors nach irgendeiner Richtung zeigt die Wärmeentwickelung in einer senk- recht zu dieser Richtung gestellten, mit beliebiger Geschwindigkeit bewegten schwarzen Fläche an. Die Normale derjenigen Stellung der schwarzen Fläche, welche maximaler Wärmeentwickelung entspricht, ist der physikalischen Definition des Strahles gemäß die relative Strahlrichtung.
Wir haben den Nachweis zu erbringen, daß für ebene Wellen die zu Beginn dieses Paragraphen gegebene elementare Ableitung des relativen Strahles aus (213 b) hervorgeht.
Für eine ebene, geradlinig polarisierte Welle bilden Ge- schwindigkeit r, elektrische und magnetische Feldstärke ein Tripel aufeinander senkrechter Richtungen. Man hat, da die Betrage der beiden Feldstärken einander gleich sind,
Aus (203) und (209) folgt
Demnach wird der relative Strahl
was nach Regel (d) und (y) in Bd. I, S. 437 übergeht in
oder
(213c) «'=-^;(t'«).
342 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Damit sind wir, von der elektromagnetischen Definition (213b) des relativen Strahles ausgehend, für ebene Wellen zn (211c) zurückgelangt. Wir sehen, daß @' parallel der Belativ- geschwindigkeit t' des Lichtes gegen die auffangende Mache ist; daß mithin die elementare Konstruktion der rela- tiyen Strahlrichtung auch Yom Standpunkte der Lo- rentzschen Theorie die richtige ist. Gleichzeitig erhalten wir den Ausdruck (211a) bzw. (211) für die relative Strahlung ebener Wellen wieder.
Die Konstruktion des relativen Strahlenganges beruht wesentUch auf der Voraussetzung, daß die Lichtfortpflanzung im Baume durch die Bewegung der Körper nicht beeinflußt wird. Die von dieser Konstruktion ausgehende Aberrations- theorie fußt demnach auf der Annahme „ruhenden Äthers '^ Die Annahme, daß der Äther sich nicht mit der Erde bei ihrem Umlauf um die Sonne mitbewegt, war es, die Fresnel der Aberrationstheorie zugrunde legte. Im Gegensatze hierzu nahm Stokes an, daß der Äther von der Erde mit- geführt wird; hier werden die Gesetze der Aberration des Fixstemlichtes nur durch äußerst komplizierte und willkürliche Hypothesen über die Bewegung des Äthers in der Umgebung der Erde gewonnen. Von den elektromagnetischen Theorien entspricht die Hertzsche der Stokesschen, die Lorentzsche der Fresnelschen. Die Erklärung der Aberration vom Standpunkte der Hertzschen Elektrodynamik bewegter Körper aus begegnet ähnlichen Schwierigkeiten, wie die Stokessche auf der elastischen Lichttheorie ftißende Erk^rung. Vom Lorentzschen Stand- punkte aus erklärt sich die Aberration ganz ungezwungen; es ist eben die Bewegung der Erde gegen das universelle, durch die Gesetze der Lichtfortpflanzung definierte Bezugssystem, welche die jährliche Periode der relativen Strahlrichtungen bedingt. Anderseits gibt die Hertzsche Theorie ohne weiteres von der Tatsache Rechenschaft, daß die elektromagnetischen und optischen Vorgänge, welche sich ausscMießHch an der Erdoberfiäche abspielen, genau so verlaufen, wie in einem ruhenden Systeme. Die Grundvorstellungen der Elektronen-
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 343
theorie hingegen legen die Yermatnng nahe^ daß die ümlaofs- bewegung der Erde auch diese Erscheinungen beeinflußt und daß es möglich sein sollte^ durch elektrodynamische oder optische Versuche im Laboratorium die jeweilige Richtung der Erdbewegung festzustellen. Daß dies nicht der Fall ist^ beruht nach H. A. Lorentz auf einer merkwürdigen Kompensation der Wirkxmgen; wir kommen später hierauf zurück (§ 42 bis 44).
§ 40. Die Beflexion des Liohtes durch einen bewegten
SpiegeL
Wir behandeln in diesem Paragraphen das Problem der Reflexion des Lichtes durch einen in gleichförmiger Trans- lationsbewegung begriffenen^ yollkommen blanken SpiegeL Wir gehen dabei aus von der Lorentzschen Theorie^ der einzigen, auf die eine präzise Lösung des Problems sich hat begründen lassen.^) Wir könnten dabei in ähnlicher Weise vorgehen, wie es im § 38 für den Fall senkrechter Inzidenz geschah, wo neben den Gesetzen der Lichtfortpflanzung im Räume die an der spiegelnden Fläche yorgeschTbene Grfnzbedingung heran- gezogen wurde. Wir ziehen es indessen vor, die allgemeinen Impulssätze und den Energiesatz zugrunde zu legen. Auf diese Weise treten die Voraussetzungen, auf denen die gegebene Lösung beruht, deutlicher hervor: Es ist erstens die Grund- hypothese der Elektronentheorie, daß die Lichtfortpflanzung im Räume durch die Bewegung der Körper (hier des Spiegels) nicht beeinflußt wird. Zweitens die Annahme einer Bewegungsgröße der Lichtwellen, welche der Rich- tung nach durch den absoluten Strahl bestimmt, dem Betrage nach dem Quotienten aus der Energie und der Geschwindig- keiten des Lichtes gleich ist; diese Annahme kommt schon bei der Ableitung des Lichtdruckes auf ruhende Flächen ins Spiel. Drittens endlich die Eigenschaft des idealen Spiegels, die in § 38 abgeleitet wurde, keiner scherenden Druckkraft
M. Abraham, Boltzmann-FestBchrift, S. 86. 1904. Ann. d. Phys. (4) 14. S. 286. 1904.
344 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
des Lichtes ausgesetzt zu sein. Diese dritte Voraussetzung kann^ wie sich zeigen wird, auch durch das Huyghenssche Prinzip ersetzt werden.
Wir legen die (y;Sf) -Ebene in die Spiegelebene; die a? -Achse weise nach außen. Es bezeichnen ß^^ ßyj ßz die durch e geteil- ten Komponenten der Transktionsgeschwindigkeit des Spiegels. Es seien — cc^ und -|- «, die Cosinus der Winkel, welche die absoluten Strahlrichtungen der einfallenden und der reflektierten Welle mit der o^-Achse einschließen. Das Licht sei mono- chromatisch; und es seien v^ bzw. v^ die Schwingungszahlen der einfallenden und reflektierten Wellen an einem im Räume festen Punkte; 1/ hingegen sei die Schwingungszahl an einem Punkte des bewegten Spiegels. Dem Dopplerschen Prinzip (§ 14) zufolge sind die Schwingungszahlen v und 1/ der an einem festen und einem bewegten Punkte gezählten Lichtwellen durch die allgemeine Beziehung verknüpft
(214) -«1-iJcosy.
Dabei ist q) der Winkel des absoluten Strahls gegen die Bewegungsrichtung. Diese Formulierung des Dopplerschen Prinzips gilt sowohl dann, wenn der Beobachter sich bewegt, als auch wenn die Lichtquelle sich bewegt, falls unter v jedes- mal die Schwingungszahl an einem absolut ruhenden Punkte verstanden wird. Aus (214) folgt nun ohne weiteres
V ^ ^ V
(214a) -- = 1 — jJcosqPi, -- =• 1 - jJ cosy.
^t
und daher bestimmt sich die Schwingungszahl des reflektierten Lichtes folgendermaßen:
(214b) ^ - \=^S^^ .
^ ^ Vi 1 — pCOBqp,
Es sind S^ und S^^ die absoluten Strahlungen des ein- fallenden und des reflektierten Lichtes, d. h. die Energiemei^en, die in der Sekunde durch die Flacheneinheit ruhender, zur ab- soluten Strahlrichtung senkrechter Flächen treten. Für schief gestellte und bewegte Flächen ist -die durch die Flächeneinheit
J
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 345
tretende Energiemenge der zur Madie normalen Komponente der Belativgeschwindigkeit proportional. Die Normalkom- ponenten der Belatiygeschwindigkeit sind für die einfallenden bzw. reflektierten Wellen in der gewählten Bezeichnnng
<^(«i + ßx) bzw. c(org — ß^).
Demnacb sind die auf den Spiegel fallenden bzw. yon ihm ausgesandten Energiemengen^ berechnet auf Flächeneinheit und Zeiteinheit
8i((h + ß^) l>zw- 8%ifh - ßx)
und die Vektoren der auffallenden bzw. entsandten Bewegungs- größe
^ K + ß.) bzw. ^ («, - ß,).
Die am Spiegel angreifende Flächenkraft des Strah- lungsdruckes ist gleich der vektoriellen Differenz der in der Sekunde einfallenden und reflektierten Bewegui^größe
(215) at'-^K+^.)-^(«,-^.).
Da eine Wärmeentwickelung nach der Definition des voll- kommenen Spiegels ausgeschlossen ist; so kann Energie an den Spiegel nur in Form von Arbeitsleistung des Strah- lungsdruckes abgegeben werden. Man erhält demnach
(215a) (tti atO - iS, («1 + ß:) -S^if^- ß^).
Nach (215) ist aber
(ttiaD') « Si/J cos qPi («1 + ß:c) -S^ß cos 92 («, - ß^).
Man erhält also
(215b) S^{a, + ß^) (1-ß cos qpi) - S^ (cc^- ßx) (1-/3 cos (p^).
Es treten hier wieder die auch in den Ausdruck des Dopplerschen Prinzipes (214 b) eingehenden Gfrößen auf; deren Bedentung uns bekannt isi Es sind
c (1 — /J cos qpi) bzw. c{l— ß cos qp^)
die Geschwindigkeiten^ mit denen ein Punkt des bewegten Spiegels sich senkrecht gegen die Lichtwellen bewegt^ oder^
346 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yor^^ge in wägbaren Körpern.
anders ausgedrückt, die -Geschwindigkeiten, mit denen die Lichtwellen über einen im Spiegel festen Punkt fortstreichen. Es sind femer
>/l— «1* bzw. t/1— «3*
die Sinus der Winkel, welche die absoluten Strahlrichtungen mit der Spiegelnormalen einschließen. Demnach sind die Ge- schwindigkeiten, mit denen die Schnittgeraden der Wellenebenen längs der spiegelnden Ebene forteilen:
c(l — ^coBq)i) ■ c(l — /5cos9,) . — bzw. '« 1 — *
Das Huyghenssche Prinzip^) verlangt nun, daß diese beiden Geschwindigkeiten, mit denen die Spuren der ein- fallenden und der gespiegelten Wellen längs der Spiegelebene forteilen, einander gleich seien. Es bestimmt die Richtung des reflektierten Strahles aus dieser Forderung
rgjgN 1 — /3 COB y^ ^ 1 — /3 cofl y, _
^ ^ i/TT^ yi^^« '
es yerlangt femer, daß der reflektierte absolute Strahl in der Einfallsebene Uegt.
Aus der Beziehung (216) und der aus der Energie- gleichung und der Impulsgleichung gewonnenen (215 b) folgt nun: (216a) 0 « Sj («, + /J,) yT^ITi^-- S, (a, -- iJ,) yr:^.
Hier steht rechts nichts anderes, als die mit c multi- plizierte, in die Spiegelebene fallende Komponente der Mächen- krafb S' des Strahlungsdruckes (vgl. 215). Wir haben damit aus dem Huyghensschen Prinzip abgeleitet, daß der Strahlungs- druck senkrecht zur Ebene des idealen Spiegels wirkt.
Wir hätten umgekehrt auch yon der Forderung ausgehen können, daß der Strahlungsdruck keine scherende Komponente besitzt; wir hatten dies ja im § 38 aus der Elektronentheorie abgeleitet. Da alsdann die tangentiellen Komponenten der
1) Vgl. hierzu: F. Haeenöhrl. Wien. Ber. 118, S. 488, 1904; Ann. d. Phys. (4) 16, S. 844, 1904.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 347
aoffallendeiL und reflektierten Bewegnngsgröße einander gleich sein müssen y so folgt ohne weiteres^ daß der gespiegelte absolute Strahl in einer Ebene mit dem einfallenden Strahl und der Spiegelnormale liegt und daß die Differenz (216 a) der in die Spiegelebene fallenden Komponenten der aufbllenden bzw. entsandten Bewegnngsgröße gleich Null ist; hieraus und aus (215b) folgt alsdann die Beziehung (216), welche das Huyghenssche Prinzip formuliert. Wir sehen also: Das Huyghenssche Prinzip und die Forderung, daß die Kraft des Strahlungsdruckes auf die Spiegelebene keine tangentielle Komponente besitzt, sind einander voll- kommen äquivalent. Es ist
1 - /J cos 91= 1 + /Ja^OiiVl-«!* • Vß7Tß7y 1 - /5 cos y, = 1 - /5, a, ± yT=^* . Yß,^ + ß/ . ffieraus und aus (216) folgt
(216 b) ii^^iz^.
^ ^ yr^' 1/1-«,'
Man sieht^ daß die Richtung des reflektierten Strahles nur von der normalen Komponente der Spiegel- geschwindigkeit abhängt. Bewegt sich der Spiegel in seiner Ebene, so erfolgt die Reflexion des Lichtes genau so, wie am ruhenden Spiegel.
Mit Rücksicht auf (216) und (216b) können wir jetzt die Formel (214b), welche das Dopplersche Prinzip enthält, folgendermaßen schreiben:
Auch die Schwingungszahl des reflektierten Lichtes hängt nur von der normalen Komponente der Spiegelgeschwindigkeit ab.
Was den normalen Lichtdruck anbelangt, so folgt aus (215)
(218) y=-r. = |(s,a,(i.,+ /5.) + S,a,(a,-/5.)j.
848 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern,
Er ist bestimmt, wemi man die Biclitung und den Betrag der reflektierten Strahlung kennt Letzterer aber bestimmt sieb ans dem Dopplerscben Prinzip (214b) und der durcli Vereinigung der Enei^iegleicbung und Impulsgleichung ge- wonnenen Beziehung (215b) folgendermaßen:
Die in der Sekunde auf den Spiegel fallenden und die von ihm im reflektierten Lichte entsandten Energiemengen verhalten sich wie die entsprechenden Schwingungszahlen.
Wie aus (216b) folgt, liegen die Kosinus a^, cc^ der Wellennormalen gegen die Spiegelnormale in den einander zugeordneten Interyallen
Die 6renzen entsprechen dem im relativen Strahlengange streifenden, bzw. dem senkrecht einfallenden und reflektierten Strahle. Sieht man von dem ersteren Grenzfalle, wo na>ch (218) der Strahlungsdruck Null ist, ab, so gilt
cfi + «3 > 0.
Infolgedessen gestattet es die Identität (1 + ß.a,y (1 - «,») - (1 - ß,a,)' (1 - a,«)
= («1 + «s) {2/J«- 2/}, «108+ (1 + ß/) («1- Oj)},
aus (216 b) die &leichimg abzuleiten
(220) 2/5. _ 2^. «, «j + (1 + ß,*) («1 - «,) = 0;
Ans dieser Beziehung ergeben sich zwei nene FormeLi, die beide znr Bestimmung des Beflexionswinkels dienen können:
(220a) T^ - ^ + ^J
(220 b)
<h+ßx "t-ßt
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 349
Aus der letzten Gleichung, im Verein mit (216b), folgt:
(220 c) _^I^__4^,
Diese Beziehung führt zu einer sehr einfachen Kon- struktion der Richtung des reflektierten Strahles, falls der Spiegel sich senkrecht zu seiner Ebene bewegt. Alsdann sind Zähler und Nenner in (220c) nichts anderes, als die durch c geteilten Komponenten der Belatiygeschwindigkeit des ein- fallenden bzw. des reflektierten Lichtes gegen den Spiegel. Bewegt sich der Spiegel senkrecht zu seiner Ebene, so gilt das Beflexionsgesetz: Im relativen Strahlen- gange ist der Reflexionswinkel dem Einfallswinkel gleich. Im allgemeinen Falle gilt dieses Gesetz für den relativen Strahlengang, den ein nur an der Be- wegung des Spiegels senkrecht zu seiner Ebene teil- nehmender Beobachter wahrnimmt.
Aus der absoluten Geschwindigkeit r^ des einfallenden Lichtes bestimmt sich die Belativgeschwindigkeit r^' gegen den bewegten Spiegel nach der Konstruktion des vorigen Para- graphen. Aus derselben Konstruktion (Abb. 5) kann man, wenn die Richtung der Relativgeschwindigkeit Cj' des reflektierten Strahles gegen den Spiegel bekannt ist, die absolute Geschwindigkeit c^ desselben finden, deren Betrag c ja ein für allemal gegeben ist Bewegt sich der Spiegel senkrecht zu seiner Ebene, so schließen, wie wir fanden, die Vektoren — c^' und Cj' den gleiche^ Winkel mit dem Vektor lo ein, man hat demnach
Da femer der Vektor tu beiden Dreiecken gemeinsam und die Längen der den Winkeln ^^ bzw. Va gegenüberliegenden Seiten gleich c sind, so findet sich Xi"^ Xi) d. h. der Winkel, den der relative und absolute Strahl miteinander ein- schließen, ist der gleiche für das einfallende und das reflektierte Licht. Dabei ist, wenn die Bewegung des Spiegels in Richtung der äußeren Normalen erfolgt, der
350 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
EinfaUswinkel im relativen Strahlengange tun Xi deiner als im absolnten^ und der Reflexionswinkel im absoluten Strahlen- gange um X2 Ideiner als im relativen^ so daß der Reflexions- winkel im absoluten Strahlengange um
kleiner ist^ als der Einfallswinkel. Erfolgt dagegen die Be- wegung des Spiegels in entgegengesetztem Sinne, so ist im absoluten Strahlengange der Reflexionswinkel um 2%^ größer als der Einfallswinkel. Bewegt sich der Spiegel schief zu seiner Ebene, so kann man den reflektierten absoluten Strahl in derselben Weise bestimmen, indem man nur den zur Spiegel- ebene senkrechten Bestandteil von to berücksichtigt. Dagegen der unter Berücksichtigung des gesamten tu bestimmte relative Strahlengang befolgt in diesem allgemeinen Falle keine einfach auszusprechende Regel; der ReflexionsYpinkel ist hier im all- gemeinen nicht gleich dem Einfallswinkel. Nur im Falle einer Bewegung parallel der Spiegelebene liegt die Sache wieder sehr einfach; wie im absoluten, so ist auch im relativen Strahlengange in diesem Falle der Reflexionswinkel dem Einfallswinkel gleich.
Handelt es sich um ein einfallendes Lichtbündel, dessen Strahlenkegel im absoluten Strahlengange den körperlichen Winkel (o^ einschließt, so bestimmt sich der Öffiiungswinkel cd^ des gespiegelten Strahlbündels am einfachsten aus (220 a). Man findet
was nach (220 b) und (217) ergibt
3
(221) 5 = gy
Die von einem absolut ruhenden Beobachter wahr- genommenen öffnungBwinkel des einfallenden nnd des gespiegelten Strahlbündels verhalten sich wie die reziproken Quadrate der beobachteten Schwingungs- zahlen.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 351
Aus (219) folgt übrigens durch Einfiihrung von (217) und (220b)
Die absoluten Strahlungen verhalten sich wie die Quadrate der Schwingungszahlen.
Infolge der genannten Relationen geht (218) über in
oder, gemäß (220 a); in
(223) y = _L^.
Das ist der Betrag des normalen Strahlungs- druckes, bei schiefer Inzidenz des Lichtes. Bei senk- rechter Inzidenz wird die Gleichung (208) des § 38 wieder erhalten. Auch bei schiefer Inzidenz wird der Strah- lungsdruck unendlich für ßx= 1, d. h. wenn der Spiegel sich senkrecht zu seiner Ebene mit Lichtgeschwindig- keit bewegt. Fällt auf die Vorderseite des Spiegels eine noch so geringe Strahlung, so kann sich der Spiegel senkrecht zu seiner Ebene nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Be- merkenswert ist der Gegensatz zum Falle des bewegten Elek- trons^ wo Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit keineswegs aus- zuschließen war.
§ 41. Die Temperatur der Strahlmig.
Die strahlende Wärme ist für die Ökonomie des Weltalls von der größten Bedeutung; sind es doch, die Sonnenstrahlen, die alle Bewegung und alles Leben auf der Erde unterhalten. Wenn anders die Hauptsätze der mechanischen Wärmetheorie überhaupt eine allgemeine Gültigkeit besitzen, so müssen sie nicht nur auf die in dem materiellen Köi-per enthaltene, sondern auch auf die strahlende Wärme Anwendung finden. Daher hat schon R. Clausius bei der Begründung der Thermodynamik die thermischen Wirkungen der Strahlung in Betracht ge-
352 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet, Vorgänge in wägbaren Körpern.
zogen; und 6, Eirchhoff ist bei seinen ftir die Strahlungs- theorie grundlegenden Untersuchungen von der Gültigkeit des Gamot-Glausiusschen Prinzipes für die Licht- und Wärme- strahlung ausgegangen. Wir wollen in diesem Paragraphen die Folgerungen entwickeln^ welche sich aus der Anwendung der Thermodynamik auf die Wellenstrahlung ergeben.
Wir denken uns ein Bündel unpolarisierten Lichtes von dem kleinen Ofi&iungswinkel o. Durch eine senkrecht zur Achse des Bündels gestellte Fläche messen wir die Strahlungs- intensität S] bei Lichtstrahlen im engeren Sinne könnten wir die Lichtstärke photometrisch messen^ wir denken uns hier jedoch stets die Strahlungsintensität bolometrisch, d. h. durch ihre thermische Wirkung gemessen. S ist bereits auf die Ein- heit der auffangenden Fläche berechnet; es erweist sich femer als zweckmäßig; sie auf die Einheit des körperlichen Winkels zu beziehen imd die Strahlung spektral zu zerlegen. Wir nennen «
(224) I ==fHdv
0
die ^^gesamte Helligkeit^' des Strahlbündels und H die Helligkeit der spektral zerlegten Strahlung oder die ,^Hellig- keif schlechtweg. Beobachtet man ein monochromatisches Lichtbündel^ oder auch ein aus verschiedenfarbigem Lichte zusammengesetztes^ in verschiedenen Entfernungen von der ent- sendenden Fläche^ so nimmt die Strahlimgsintensität 8 um- gekehrt proportional dem Quadrate der Entfernung von der leuchtenden Fläche ab; in demselben Maße aber nimmt der körperliche Winkel o ab, unter welchem die leuchtende Fläche gesehen wird. Die Helligkeit jeder Farbe und auch ihr über das ganze Spektrum erstrecktes Integral ändert sich bei der freien Fortpflanzung des Lichtes im Baume nicht.
Mit M. Planck^) werden wir den Vorgang der ungestörten Lichtfortpflanzung im Baume, da er sich durch passend ge- wählte Hohlspiegel oder Linsen rück^ngig machen läßt, als
1) M. Planck. Ann. d, Phys. (4) 1, S. 719, 1900; 8, S. 764, 1900.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper, 353
amkelirbaren Vorgang im Sinne der Thermodynamik betrachten. Da bei einem umkehrbaren, ohne Arbeitsleistung verlaufenden Vorgänge die Temperatur sich nicht ändert , so erscheint es sachgemäß, einer bestimmten Helligkeit monochromatischer Strahlung in eindeutiger Weise eine bestimmte Temperatur zuzuordnen. Es können hiemach zwei Lichtquellen, z. B. die Sonne imd eine Öllampe, dieselbe Lichtstärke ergeben, während die „Helligkeiten^^, entsprechend den verschiedenen Öffnungs- winkeln der Lichtbündel, ganz verschiedene sind. Der weit größeren Helligkeit des Sonnenlichtes entspricht eine weit höhere Temperatur. Dabei brauchen die Temperaturen der einzelnen im Lichtbündel vertretenen Farben im allgemeinen nicht die gleichen zu sein. Die Temperatur jeder einzelnen Farbe aber bleibt bei der freien Fortpflanzung des Lichtes konstant.
Es erscheint hiernach unzulässig, thermodynamische Be- trachtungen auf streng ebene Wellen anzuwenden; denn für verschwindenden ÖflSaungswinkel (o wird bei endlicher Strah- lungsintensität die Helligkeit nach (224) unendlich. In der Tat würde ja eine endliche Strahlung pro Flächeneinheit eine unendliche Gesamtemission der unendlich entfernten Licht- quelle voraussetzen, was wir ausschließen müssen. Es kann zwar der Öfihungswinkel (d sehr klein, aber niemals gleich Null angenommen werden. Ebensowenig ist es vom Stand- punkte der Thermodynamik aus gestattet, von streng mono- chromatischem Lichte zu reden; denn eine endliche Strahlungs- intensität in einem verschwindenden Intervalle von Schwingungs- zahlen würde imendliche Helligkeit H, d. h. unendliche Tempe- ratur ergeben; imendliche Temperatur bedeutet aber in der Thermodynamik freie Verwandelbarkeit in Arbeit. Auf die Energie streng periodischer elektrischer Wellen ist demnach der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, welcher die Ver- wandelbarkeit in Arbeit einschränkt, überhaupt nicht an- zuwenden. Von den rein periodischen langen Wellen sind die kurzen, durch ihre leuchtende und wärmende Wirkung sich kundgebenden Wellen gerade dadurch unterschieden, daß sie
Abraham, Theorie der ElektriEÜ&t. ü. 28
354 Zweiter Abschniit. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
nicilt streng monochromatisch sind. Jede ,,natürUche'' Strah- lung, z. B. diejenige einer Spektrallinie; erfüllt ein zwar kleines, aber doch von Null verschiedenes spektrales Intervall von Schwingongszahlen. Gerade die Anwesenheit einer großen Zahl von Partialwellen, welche in regelloser Weise miteinander interferieren, ist nach M. Planck diejenige Eigenschaft der ,, natürlichen Strahlung^', welche die Anwendung der Thermo- dynamik ermögUcht Wenn wir im folgenden von „mono- chromatischem Lichte'^ reden, so verstehen wir darunter stets solches, dessen Schwingungszahlen ein kleines, aber doch von Null verschiedenes Intervall dv erfüllen.
Es entspricht der von uns durchweg zugrunde gelegten Auffassung, daß wir die Strahlung 8 durch eine absolut ruhende Fläche gemessen denken, und ebenso unter o den Öfi&Lungswinkel des Kegels der absoluten Strahlrichtungen verstehen. Dementsprechend bezieht Gleichung (224) auch die Helligkeit auf das universelle Bezugssystem, welches unsere Grundgleichimgen postulieren. Wie die Energie und die Be- wegungsgröße der Lichtwellen, so ist auch ihre Helligkeit und ihre Temperatur durch die Eigenschaften des „absoluten Strahles '^ bestimmt.
um nun den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik für die Ermittelung der Beziehung zwischen Helligkeit und Tempe- ratur fruchtbar zu machen, müssen wir einen reversibeln, mit Arbeitsleistung verbundenen Yoi^ang angeben, bei welchem die Helligkeit der Strahlung verändert wird. Ein solcher Vor- gang ist der im vorigen Paragraphen behandelte, nämlich die Reflexion eines Lichtbündels durch einen bewegten voll- kommenen Spiegel; wir überzeugen uns unschwer davon, daß derselbe umkehrbar im Sinne der Thermodynamik ist.
Wir stellen zu diesem Zwecke zwei Vorgänge einander gegenüber. Bei dem ersten sei S^ die absolute Strahlung^ Oj der kleine Öffiiungswinkel des einfallenden monochroma- tischen Lichtbündels, dv^ sei die Breite des Intervalles der Schwingungszahlen; cc^ sei der Kosinus des Winkels, welchen die Achse des Bündels mit der Spiegelnormale einschließt. Durch
Zweites Kapitel. Bewegte Körper, 355
(224a) , Si = JTi(Dirfi/i
ist sodann die Helligkeit H^ des einfallenden Bündels definiert. Bei dem ersten der betrachteten Vorgänge soll nun ßx positiv sein^ d. li. der Spiegel soll sich dem einfallenden Lichte ent- gegen bewegen. Dabei wird von äußeren Kräften gegen den Strahlungsdruck eine gewisse Arbeit geleistet. Aus (216 b) bestimmt sich der Kosinus a^ des Reflexionswinkels; der Re- flexionswinkel ist kleiner als der Einfallswinkel. Nach (217) wird die Schwingungszahl des Lichtes bei der Reflexion ver- größert und gemäß (222) die absolute Strahlung im Verhältnis des Quadrates der Schwingungszahlen verstärkt. Da nach (221) der ÖfiBiungswinkel des Bündels im umgekehrten Verhältnis des Quadrates der Schwingungszahlen verringert wird, so ist
Dabei ist, wie aus (217) hervorgeht, das Verhältnis v^ : v^ bei gegebener Bewegung des Spiegels ein konstantes, so daß man hat
Demgemäß wird
Die Helligkeiten der beiden Bündel verhalten sich wie die dritten Potenzen der Schwingungszahlen.
Dem soeben betrachteten Vorgange, bei dem a^ der Ko- sinus des Reflexionswinkels war, stellen wir jetzt einen zweiten Vorgang gegenüber; hier soll der Einfallswinkel denjenigen Wert besitzen, den vorher der Reflexionswinkel besaß. Wie der Wert von a^, so sollen jetzt auch die Werte von v^y S^, H^ und ©2, die bei dem ersten Vorgange dem reflektierten Bündel zukamen, jetzt dem einfallenden Bündel zugeschrieben werden. Gleichzeitig soll die Bewegung des Spiegels in ent- gegengesetzter Richtung vor sich gehen, derart, daß ßx einen dem Betrage nach gleichen, dem Vorzeichen nach aber entgegen
23*
356 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
gesetzten Wert annimmt. Setzen wir deipentsprechend — ß^. an Stelle von ßx und den Index 2 an Stelle des Index 1, so bleibt (216b) erfüllt, wenn a^ jetzt der Kosinns des Reflexions- winkels ist. Wie der Reflexionswinkel des zweiten Vorganges gleich dem Einfallswinkel des ersten ist; so ist nach (217) die kleinere Schwingnngszahl v^ jetzt diejenige des reflektierten Bündels. Folglich sind nach (219) die in der Sekunde um- gewandelten Mengen strahlender Wärme die gleichen wie vorher; die Umwandlung geschieht indessen in entgegen- gesetztem Sinne. Die gleiche Arbeit, die vorher gegen den Strahlungsdruck geleistet wurde, wird nunmehr von ihm ge- leistet. Im thermodynamischen Sinne gesprochen macht also der zweite Vorgang den ersten rückgängig. Die Reflexion eines Lichtbündels durch einen bewegten voll- kommenen Spiegel ist ein reversibler Prozeß.
Den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik auf die in der Sekunda umgewandelten Wärmemengen anwendend, erhalten wir
(^^ V W^ ^jT
Dabei sind %'^ und ^^^ ^^^ Temperaturen der beiden monochromatischen Lichtbündel; gemäß der thermo- dynamischen Definition der absoluten Temperatur.
Aus (227) in Verbindung mit der aus dem Dopplerschen Prinzip und der Energie- und Impulsgleichung abgeleiteten Relation (219) folgt (227 a) %'^:%'^==-v^iv^.
Die Temperaturen der beiden Lichtbündel ver- halten sich wie ihre Schwingungszahlen, Hieraus und aus (226) ergibt sich
(227b) Bi:B2-=^i»:^.»
2
Die Helligkeiten der beiden monochromatischen Bündel verhalten sich wie die dritten Potenzen der absoluten Temperaturen. An Stelle von (225) aber können wir schreiben (227 c) Bi dv^ : H^dv^:=^ V ' ^2^^
Zweites Kapitel. Bewegte Körper* 357
Wir postulierten nun; daß einem jeden monochromatisclien Lichtbündel eine Temperatur zugeordnet werde ^ welche ein- deutig durch seine Farbe und Helligkeit bestimmt ist. Die geforderte universelle Beziehung muß^ wie für jedes Licht- bündel, so auch für die beiden oben betrachteten gelten. Die Relationen (227 a; b) schranken die Form dieser universellen Beziehung ein; die aUgemeinste, ihnen genügende Bestimmung der Temperatur ist:
(228) » = vf(§^>
wo f eine mllkürliclie Funktion ist. Wir können dafSr ancli schreiben
(228a) S-»'-g{^y
Damit haben wir das thermodynamische Gesetz der Wellenstrahlung erhalten.
Die beiden Relationen (227 a) und (227 b); aus denen das Gesetz sich ergibt; mögen als Yerschiebungsgesetz und Verstarknngsgesetz bezeichnet werfen. Da« Verschiebnngs- gesetz (227 a) ordnet bei der Yergleichung der Helligkeiten; die zwei verschiedenen Temperaturen entsprechen; zwei ver- schiedene Farben einander zU; deren Schwingungszahlen im Verhältnis der Temperataren stehen. Das Verstärkungsgesetz (227 b) besagt sodanU; daß die Helligkeiten der einander so zugeordneten Farben sich verhalten; wie die dritten Potenzen der absoluten Temperaturen. Ist für eine gegebene Temperatur empirisch die Helligkeit in ihrer Abhängigkeit von der Schwingungszahl gegeben; so ist diese Abhängigkeit durch das thermodynamische Strahlungsgesetz (228 a) für jede andere Temperatur bestimmt.
Das Yerstärkungsgesetz hat zuerst L. Boltzmann^) ab- geleitet; indem er einen von Bartoli angegebenen Kreisprozeß verwandte und den Maxwellschen Lichtdruck einführte. Er erhielt es nicht in der Form (227 b); sondern in derjenigen FonU; die aus (227 c) hervorgeht; wenn man zwei Lichtbündel
1) L. Boltzmann. Ann. d. Fhjs. 22, S. 291, 1884.
358 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
betrachtet; in denen alle Farben die gleiclie Temperatur d'^ bzw. d"^ besitzen. Es wird gestattet sein, solches Licht, in welchem alle Farben vertreten sind, und zwar mit der gleichen Temperatur, als „weißes Licht'' zu bezeichnen. Vergleicht man die Gesamthelligkeiten zweier weißer Lichtbündel, so wird
00. 00
(228 b) /jTi d i/i : fH^ dv^^ d'^^ : d'^\
I H^ dv^ij j
Die gesamten Helligkeiten zweier Bündel weißen Lichtes verhalten sich wie die vierten Potenzen ihrer absoluten Temperaturen. Das ist das Gesetz, welches zuerst von Stefan als empirisches Gesetz aufgestellt und dann, wie erwähnt, von Boltzmann theoretisch begründet wurde. Die Gleichung (227 c) überträgt das Stefan-Boltzmannsche Gesetz auf zwei monochromatische LichtbündeL
Das Yerschiebungsgesetz wurde zuerst von W.Wien angegeben.^) Doch vermochte dieser Autor es nicht, den Zu- sammenhani? desselben mit dem Dopplerschen Prinzip und dem
gelingt in der Tat nur dann, wenn man von einer prilzisen Lösung des Problemes der Lichtreflexion durch einen bewegten Spiegel ausgeht. Auf dem hier verfolgten, zuerst vom Ver- fasser dieses Werkes eingeschlagenen Wege erhält man das Verschiebungsgesetz und das Verstärkungsgesetz mit einem Schlage; ihr Zusammenhang mit den Prinzipien der elektro- magnetischen Mechanik tritt bei dem gegebenen Beweise deutlich hervor. Wir durften uns nicht mit der Lösung des Reflexionsproblemes für den Fall senkrechter Inzidenz ebener Wellen begnügen, weil die Kenntnis des VerMltnisses der Öffhungswinkel der beiden Lichtbündel zur Ermittelung des Verhältnisses der Helligkeiten erforderlich war und das Ver- hältnis der Ö£&iimgswinkel (221) durch Differentiation von a^ nach Uj^ erhalten wird, um diese Differentiation ausführen zu
1) W. Wien. Berliner Sitzungsber. 1898, S. 55. Ann, d. Phys. 52, S. 182, 1894.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 359
können^ ipuß das Beflexionsproblem für den Fall schiefer Inzidenz gelöst sein.
Wie man sieht; ergibt sich das thermodynämische Gesetz der natürlichen Strahlung aus den allgemeinen Eigenschaften der elektromagnetischen Strahlung auf 6rund des themio- dynamischen Temperaturbegriffes. Das Gesetz ist auf jede be- liebige natürliche Licht- imd Wärmestrahlung anzuwenden, wie sie auch immer entstanden sein mag. Die so bestimmte Temperatur der Strahlung ist aber im allgemeinen durchaus nicht mit der Temperatur des strahlenden Körpers identisch. Wir müssen die Beziehungen, die zwischen der Temperatur des emittierenden Körpers und der Temperatur der entsandten Strahlung bestehen, hier kurz erlautem, da auf ihnen die Ver- gleichung der strahlungstheoretischen und der gewöhnlichen gastheoretischen Temperaturskala beruht.
Natürliches Licht kann auf zwei wesentlich rerschiedene Weisen entstehen: Durch reine Temperaturstrahlung imd durch Luminiszenz. Die reine Temperaturstrahlung ist ein rein thermischer Vorgang. Die Energie der Wellen entstammt dem Wärmevorrat des emittierenden Körpers und ist durch seine Temperatur bestimmt; chemische und elektrische Vor- gänge spielen bei dieser Art der Emission nicht mit. Bei der Luminiszenz hingegen spielen Vorgange nicht thermischer Natur mit, und demgemäß ist die entsandte Strahlung nicht aus- schließlich durch die Temperatur der Lichtquelle bedingt. Daher kann bei den Vorgängen der Luminiszenz von einer allgemeingültigen Beziehung zwischen den Temperaturen der Lichtquelle und der Strahlung keine Bede sein. Man hat ge- funden, daß zu den auf Luminiszenz beruhenden Vor^mgen die Emission der Linienspektra gehört. Die Temperatur des Lichtes der Spektrallinien gestattet daher durchaus keinen Bückschluß auf die Temperatur des entsendenden Körpers.
Für die reine Temperaturstrahlung lassen sich Be- ziehungen zur Temperatur des leuchtenden Körpers aus der Thermodynamik ableiten. Man denke sich einen Hohlraum, dessen Wände reine Temperaturstrahler sind; diese Wände
3g0 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
seien auf einer gegebenen Temperatur &• gehalten. Nach dem Glansiusschen Axiome müssen sich in diesem Systeme^ da andere als rein thermische Vorgänge aasgeschlossen sind, die Temperaturen ausgleichen; es muß sich schließlich ein ther- mischer Gleichgewichtszustand herstellen, bei welchem alle Teile des Systemes die gleiche Temperatur ^ besitzen. Das gilt nicht nur von der Temperatur der materiellen Körper, die man etwa in den Hohlraum bringen mag, sondern auch von der Temperatur der den Hohlraum erfüllenden Strahlung selbst. Die Temperatur der Hohlraumstrahlung ist gleich der Temperatur der Wände. Ein im Innern des Hohlraumes befindlicher Beobachter würde von allen Seiten Licht der gleichen Helligkeit und der gleichen spektralen Zusammen- setzung empfangen. Die Helligkeit muß sich der Temperatur des Hohlraumes so zuordnen, wie es das thermodynamische Strahlungsgesetz (228 a) fordert. Die Temperatur aller Farben muß die gleiche sein, so daß das Licht als „weiß^^ in dem oben angegebenen Sinne zu bezeichnen ist. Könnte man sich in das Innere eines Hohlraumes begeben, dessen Wände so stark erhitzt sind, daß sie infolge ihrer Temperatur leuchten, so könnte man das thermodynamische Strahlungsgesetz experi- mentell prüfen, wenigstens in demjenigen Temperaturbereiche, in welchem eine auf der gastheoretischen Skala beruhende Temperaturmessung mögHch ist.
Da es nun aus naheliegenden Gründen unmöglich ist^ sich in einen derartig erhitzten Hohbimm hineinzubegeben, so hat man einen Kunstgriff angewandt; derselbe war nicht so selbstverständlich, wie er uns jetzt erscheinen mag; er besteht darin, daß man in die Wand des Hohlraumes ein kleines Loch bohrt und durch dieses hineinbHckt. Dieser Gedanke ist zuerst von L. Boltzmann^) ausgesprochen und später von 0. Lummer und W.Wien^) durchgeführt worden. Ist die Öff- nung des Hohlraumes hinreichend Mein, so stört sie die Her-
1) L. Boltzmann. Ann. d. Phys. 22, S. S5, 1884.
2) 0. Lnmmer und W.Wien. Ann. d. Phys. 56, S. 461, 1895.
Zweiiefl EapiteL Bewegte Körper. 361
stellang des thermischen Gleichgewichtes im Hohlräume nicht; die entsandte Strahlung ist dann diejenige „weiße Strahltmg« welche der Temperatur des Hohlraumes entspricht. Die experimentelle üntersuchnng der Hohlranmstrahlung durch 0. Lummer und E. Pringsheim^) hat sowohl das auf die Gesamtstrahlung bezügliche Stefan-Boltz- mannsche Yerstärkungsgesetz^ als auch das Yer- schiebungsgesetz durchaus bestätigt Yon einer Be- statifininff kann natürlich nur so weit die Bede sein, als die auf dVaasgeset^en beruhende Temperai^rskala sich realisieren laßt. Bei Temperaturen oberhalb 1150« C stößt die Anwendung der gastheoretischen Skala auf Schwierigkeiten. Hier ist diese Skala durch die strahlungstheoretische Temperatur- skala zu ersetzen^ welche sich auf das thermodynamische Strahlungsgesetz gründet.
Die experimentelle Untersuchung der aus dem Hohlräume heraustretenden Strahlung hat nicht nur zur Bestätigung des thermodynamischen Strahlungsgesetzes (228 a) geführt, sondern auch zur Bestimmung der dort noch willkürlich gelassenen
Funktion der Yariabeln f— V Die Messungen , an denen haupt-
sächKch 0. Lummer und E. Pringsheim, H. Rubens und F. Kurl- baum^ sowie F. Paschen Anteil haben, sind von M. Planck*) durch die Formel zur Darstellung gebracht worden:
(229) -ff=^' ^
mit den Werten der Eonstanten h und %: (229 a) Ä = 1,346. 10-'*-^
(229 b) Ä = 6,55 • 10 "" ^^ erg • sec.
Die theoretische Begründung, welche Planck seiner Formel gegeben hat, stützt sich auf diejenigen Hypothesen über die
1) 0. Lummer und E. Pringsheim. Ann. d. Phys. 68, S. 395, 1897. 3, S. 169. 1900. Vgl. auch 0. Lummer, Congr^s international de physique. n. S. 41. Paris 1900. .
2) M. Planck. Ann. d. Phys. 4, S. 653, 1901.
362 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Wärmebewegung der Moleküle^ die in der kinetischen Gras- iheorie ihren Ansdmck finden; sie verknüpft die universelle Konstante Tc anfs engste mit der sogenannten Boltzmann- Drndeschen Konstanten a^ d. h. der mittleren lebendigen Kraft eines Moleküles bei der absoluten Temperatur 1. Planck findet^
(229c) a«|j = 2,02.10-^«^.
Für sehr hohe Temperaturen und sehr lange Wellen, d. h. für kleine v und große ^'j geht (229) über in
(229 d) E^2h^'~
Diese Formel hat H. A. Lorentz^) gewonnen, indem er von der Elektronentheorie der Metalle (§ 32) ausging imd für eine dünne Schicht eines Metalles die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch die in Zickzackbahnen sich bewegenden Elektronen bestimmte; indem er anderseits die Absorption langer WeUen in der Metallschicht aus der elektrischen Leitfähigkeit berechnete, was nach den Ergebnissen von E. Hi^en imd H. Bu- bens (vgL I, § 71) gestattet ist, komite er den Quotienten aus Emissionsvermögen und Absorptionsvermögen ermitteln, der nach dem Kirchhoffschen Gesetze für alle reinen Temperaturstrahler den gleichen Wert besitzt und eben durch die Helligkeit R be- stimmt ist (vgl. unten). Bei der Lorentzschen Ableitimg hat also a direkt die Bedeutung der mittleren lebendigen Kraft eines freien Elektrons im Metalle. Mit der Boltzmann-Drudeschen Konstanten ist der Wert der Masse eines Wasserstofibtomes eng verknüpft, und dieser wieder hängt mit dem elektrischen Elementar- quantum zusammen (vgl. § 1). So kann denn aus der Kon- stante Je der Strahlungsformel der Wert des elektrischen Elementarquantums ermittelt werden. Es ergibt sich nach Planck
1) M. Planck. Ann. d. Phys. 4, 664, 1901.
2) H.A.Lorentz. Akad. van Wetensch. de Amsterdam 11. 1903,8.787.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 363
(230) c = 4,69.10"^^
elektrostatische Einheiten^ was nicht so sehr von dem in § 1 angegebenen^ anf ganz verschiedenem Wege gefundenen Werte (2) abweicht.
Wie U, so muß auch die Konstante h der Strahlungsformel eine universelle Bedeutung haben; da die einzige elektro- magnetische Konstante des Äthers die Lichtgeschwindigkeit c ist^ so muß es sich um eine Konstante handeln^ welche von den Eigenschaften der ponderablen Materie oder der Elektronen abhangt; es muß aber eine von den individuellen Eigenschaften des Körpers unabhängige Größe sein.
Wie man sieht; dringt das vollständige Strahlungsgesetz (229) tief in die molekularen Eigenschaften der Materie ein. Sein Beweis beruht auf Voraussetzungen^ deren Darlegung uns hier zu weit führen würde. Wir wollen nur noch in Kürze das Kirchhoffsche Gesetz formulieren^ welches für die Emission und Absorption der reinen Temperaturstrahler gili
Bildet der Körper^ um den es sich handelt^ einen Teil der Wand eines Hohlraumes^ so sendet er einer im Innern be- findlichen Fläche diejenige Strahlung zu, die sich aus seiner Temperatur gemäß dem Strahlungsgesetze (229) berechnet. Diese Strahlung dringt aber nur zum Teil aus dem Innern des Körpers hervor, zum anderen Teil ist es reflektierte Strah- Itmg. Leuchtet der Körper nur mit eigenem Lichte, ohne daß Licht aus anderen Lichtquellen auf ihn Wli^ so ist seine Emission eine geringere. Auf diese Eigenstrahlung bezieht sich nun das Kirchhoffsche Gesetz. Ein kleines ebenes Flächen- stück f^ der Oberfläche des Körpers sendet einem Punkte P des Baumes Eigenstrahlung der Schwingungszahl v in der Hellig- keit jBT' zu. Anderseits wird von der Energie einer Lichtwelle der gleichen Schwingungszahl; die von P aus nach f^ geht, durch den Körper bei der betreffenden Temperatur der Bruchteil A absorbiert. Wir können dann das Kirchhoffsche Gesetz folgendermaßen aussprechen: Der Quotient aus Hellig- keit E^ und Absorptionsvermögen A für Strahlen be-
364 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
stimmter Farbe nnd Bichtnng hat für alle Temperatur- Strahler bei gegebener Temperatur den gleichen Wert
(231) H'iÄ^H.
Er ist gleich der Helligkeit weißer Strahlung von der betreffenden Temperatur.
G. Kirchhoff hat sein Gesetz etwas anders formuliert^ indem er unter ^^ Emissionsvermögen^^ diejenige Strahlimg ver- steht; welche die Fläche f^ einer anderen ^2 zusendet^ und die Strahlung nicht nach der Skala der Schwingungszahlen^ sondern nach derjenigen der Wellenlangen zerlegt denkt. Auch unter- scheidet er neben der Farbe und Richtung die Polarisations- richtung, wovon wir hier abgesehen haben. Der Kirchhoffsche Beweis ist ein recht umständlicher. Einen übersichtlichen Beweis des Gesetzes findet man bei E. Pringsheim.^) Dieser Forscher faßt das Kirchhoffsche Gesetz als Bedingung dafür auf, daß jeder nur infolge seiner Temperatur leuchtende Körper, in die Wand eines Hohlraumes eingefügt, in der Helligkeit des weißen Lichtes leuchtet, indem zu der Eigenstrahlung gerade so viel reflektierte (oder geborgte) Strahlung kommt, daß jET' zu H er^nzt wird. Hier wird also der Satz von der Hohlraumstrahlung zum Fundament der Strahlungstheorie ge- macht, während Kirchhoff diesen Satz aus seinem auf anderem Wege bewiesenen Gesetze herleitet.
Die Gültigkeit des Kirchhoffschen Gesetzes ist, wie hervor- gehoben wurde, auf die Vorgänge der reinen Temperatur- strahlung beschränkt. Luminiszenzerscheinungen, wie Fluores- zenz und Phosphoreszenz fallen nicht in seinen Gültigkeits- bereich. Würde man luminiszierende Körper in den Hohlraum bringen, so würden die chemischen oder elektrischen Prozesse, welche die Emission begleiten, imstande sein, die Herstellung des Temperaturgleichgewichtes zu verhindern. Daher ist auch die Anwendung auf die Spektrallinien, in der man früher die wesentliche Bedeutung des Kirchhoffschen Gesetzes meinte er-
1) E. Pringsheim. Verh. der deutschen physik. Gesellschaft 3, S. 81 , 1901.
J
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 365
blicken zu sollen^ nicht berechtigt. Die dort festgestellten Beziehungen zwischen Emission und Absorption beruhen, wie wir erwähnten; nicht auf den Gesetzen der Thermodynamik, sondern auf den aUgemeinen Prinzipien der Schwingungslehre.
Die festen Körper sind meist reine Temperaturstrahler. Da die neuere Forschung das vollständige Strahlungsgesetz kennen gelehrt hat, so kennen wir H, Wir sind also imstande, aus der beobachteten HeUigkeit der Eigenstrahlung das Ab- sorptionsvermögen, und umgekehrt aus dem bekannten Ab- sorptionsvermögen die Helligkeit der Eigenstrahlung auf Gb*und des Kirchhoffschen Gesetzes zu berechnen.
Da, allgemein . zu reden, das Absorptionsvermögen eines Körpers ein echter Bruch ist, so ist
Es ist die Helligkeit des Lichtes, welches ein Körper ge- gebener Temperatur d* entsendet, kleiner als die Helligkeit weißen Lichtes der gleichen Temperatur ^, Ordnen wir der Helligkeit W des vom Körper entsandten Lichtes die Tempe- ratur ^^ durch die Strahlungsformel (229) zu, so ergibt sich
Die Temperatur der entsandten Strahlung ist ge- ringer als die Temperatur des entsendenden Körpers. Das gilt im allgemeinen, wenn es sich um reine Temperatur- strahlung handelt. Da nun der Vorgang der Emission durch einen ruhenden Körper ohne Arbeitsleistung verläuft, so folgt aus der Thermodynamik: Die Emission des Lichtes ist ein irreversibler Prozeß.
Eine Ausnahme findet nur statt, wenn JL » 1 ist. Das würde bedeuten, daß der Kx)rper im auffallenden Lichte schwarz erscheint, indem er alles Licht verschluckt. Aus (231) folgt: Ein im auffallenden Lichte schwarzer Körper sendet weißes Eigenlicht aus, dessen Helligkeit der Temperatur des Körpers entspricht. Man hat daher diejenige Strahlung, die wir „ weiße '^ genannt haben, auch als „Strahlung des voll- kommen schwarzen Körpers'^ bezeichnet, und hat die universelle
366 Zweiter AbBchnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Strahlongsformel darch Beobachtung der Eigenstrahlnng möglichst 9^ schwarzer ^^ Körper zn bestimmen gesucht. Doch ist die Realisierung des schwarzen Körpers auf diese Weise nicht möglich gewesen. Die „schwarze" oder „weiße" Strah- lung ist erst durch Konstruktion des Hohlraumes yerwirklicht worden. Die Emission des Lichtes durch einen Hohl- raum^ die ja als besonderer Fall der Lichtfortpflanzung im Baume aufgefaßt werden kann^ ist ein reversibler Prozeß. Denn die strahlende Wärme behält hier ihre Temperatur bei.
§ 42. Die Iiichtzeit in einem gleichförmig bewegten System.
Wir hatten in § 39 die Aberration des Fixstemlichtes erklärt; indem wir zeigten, daß nach der Lorentzschen Theorie die Richtung des von einem mit der Geschwindigkeit to be- wegten Beobachter wahrgenommenen relativen Strahles durch den Vektor bestimmt ist (Gleichung 209)
(232) c'=c-la,
d. h. durch den Vektor der Relativgeschwindigkeit von Licht und Beobachter. Unter to war dabei die Geschwindigkeit der Erde zu verstehen. Berücksichtigt man nur die Umlaufs- bewegung um die Sonne, indem man eine gemeinsame Be- wegung des gesamten Sonnensystemes zunächst außer acht läßt, so ist |to| nahezu konstant; es ist
(232a) /3« 1^ = 10 *•
Welchen Einfluß hat nun die Erdbewegung auf dasjenige Licht, welches von irdischen Lichtquellen entsandt wird? Läßt sich nicht durch Beobachtung dieses Lichtes , also durch optische Versuche im Laboratorium, die Bewegung der Erde feststellen? Diese Frage führt uns dazu, die Lichtfortpflanzung in einem gleichförmig bewegten Systeme zu behandehi.
Die Richtung des absoluten, zur Zeit t in einem Auf- punkte P eintreffenden Strahles ist durch den Radiusvektor r bestimmt (Abb. 2 S. 87), der vom Orte E' des Entsendens aus nach dem Aufpunkte hin gezogen ist. Li E' befand sich die Licht-
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 367
r
qnelle zu einer nm die Latenszeit r =» — zurückliegenden Zeit t — r. Zur Zeit t, wo das Licht in P anlangt^ befindet sich die Lichtquelle im Punkte E] sie hat die Strecke to • — zurück- gelegt. Der nach dem Aui^unkte P hin von dem gleich- zeitigen Orte der Lichtquelle aus gezogene Fahrstrahl EP mag jetzt mit t' (statt mit W) bezeichnet werden. Es ist
(232 b) r'-t-iu.^.
Da r die absolute Strahlrichtung anzeigt; so ist
t c
r c
es folgt mithin aus (232) und (232 b) (232c) l'«i:il!L=,f:.
^ ^ r c c
Es wird demnach die Richtung des relativen Strahles durch den von der gleichzeitigen Lage der Lichtquelle aus gezogenen Fahrstrahl angezeigt, d. h. in einem gleichförmig bewegten Systeme sieht man die Lichtquelle dort, wo sie sich gerade befindet. Die gemeinsame Bewegung von Lichtquelle und Beobachter ist demnach durch Beobachtung der Strahlrichtung durchaus nicht festzustellen.
Ahnlich wie mit der Richtung verhalt es sich mit der Farbe des Lichtes. Hatten wir doch bereits in § 14 gezeigt, daß bei einer gemeinsamen gleichförmigen Translation der Lichtquelle und des Beobachters die Dopplersche Korrektion fortfallt. Die Schwingungen irdischer Lichtquellen werden von einem mit der Erde bewegten Beobachter richtig gezählt. Auf die wahrgenommene Farbe ist demnach die Erdbewegung gleichfalls ohne Einfluß.
Dagegen sollte man vermuten^ daß die Erdbewegung durch Messung der Lichtzeit sich feststellen ließe. Denn die seit dem Augenblicke des Entsendens verstrichene Zeit ist konstant auf Kugeln, die um den Ort E' des Entsenders (Abb. 2) ge- zogen sind. Der gleichzeitige Ort E der Lichtquelle liegt
368 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet« Vorgänge in wägbaren KOrpem.
exzentrisch zu diesen Wellenflächen. Es maß demnach die Latenszeit eine andere in dem bewegten Systeme sein als in dem ruhenden^ und es fragt sich^ ob nicht hier die Beobachtung einsetzen und einen wahrnehmbaren Einfloß der Erdbewegung feststellen könnte. Diese Frage bedarf der genaueren Unter- suchung.
Aus dem Dreieck der Vektoren t, t' und to • — folgt
r^^r'^+r^ß^+ 2rWß cos ^, oder
y«x«- 2r r^ß cos f = r'^ x»« 1 - /}«.
Die Auflosung dieser quadratischen Gleichung ergibt als Wert des (stets positiven) r
(233) r = x''^r'ß cos f + l/r'*x»+ r'»/}»cos»^}-
Wir führen an Stelle des Fahrstrahles r' mit den Kom- ponenten
a:' = r' cos 1/;, y', is^
den Vektor to ein, mit den Komponenten (233a) ^0^^' Vo^y'y ^o""^'-
Diesen Zusammenhang zwischen dem Fahrstrahl t' im bewegten Systeme 2' und dem eingeführten Hilfsvektor to wollen wir symbolisch darstellen durch
(234) t' = (x,l,l)to.
Deutet man Xq y^ z^ als Koordinaten eines Systemes Sq^ so entsteht dieses System aus dem betrachteten bewegten Systeme 27' durch eine Streckung parallel der Bewegungsrichtung im Ver- hältnis ^c""^. Die Einführung eines solchen ruhenden Hilfs- systemes hat uns schon früher (§ 18 S. 163, Gleichung 105), bei der Behandlung der gleichförmigen Translation elektrischer Ladungen, gute Dienste geleistet.
Jetzt können wir (233) schreiben
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 369
Division durch c ergibt für die Lichtzeit t die Gleichung (235) xr = To+^.
C
Dabei ist Tn=— die Lichtzeit in dem ruhenden Hilfs-
^ c
Systeme 2^, aus welchem das bewegte System durch eine Kontraktion parallel der Bewegungsrichtung^ im Verhältnis x, herrorgeht.
Wir wollen zunächst nur Größen erster Ordnung in ß berücksichtigen^ Größen der Ordnung ß^ jedoch streichen. Be- gnügen wir uns mit dieser Annäherung, so haben wir x durch 1 zu ersetzen. Es wird dann das System 2q identisch mit 2?'. Wir können daher (235) schreiben
(235a) r = T'+^.
Dabei ist t' die Lichtzeit; die in dem ruhenden Systeme zur Durchlaufung einer gewissen Strecke erforderlich ist. Wird nun das System in Bewegung gesetzt und die gleiche Strecke im relativen Strahlengang im System durchlaufen; so entspricht dem zugehörigen absoluten Strahlengang im Baume die Licht- zeit T. Wie wir sehen, ist v größer oder kleiner als t', je nachdem der relative Strahl einen spitzen oder stumpfen Winkel mit der Bewegnngsrichtung einschließt. Die Differenz der Licht- zeiten im bewegten und im ruhenden Systeme ist von der ersten Ordnung in ß] man sollte meinen, daß sie der Messung zugänglich wäre. Sie wäre es auch, wenn es möglich wäre, die an zwei verschiedenen Punkten des bewegten Systemes ge- messenen Zeiten mit beliebiger Genauigkeit aufeinander zu be- ziehen; das ist indessen nicht möglich.
Am genauesten ist die Zeit durch optische oder elektrische Signale festzulegen. Wir denken uns ein ruhendes System; einen Punkt 0 desselben wählen wir als Bezugspunkt. Li dem Momente, den wir als Anfang der Zeitrechnung festlegen, geben wir von 0 aus ein Lichtzeichen. Ein in P befindlicher Be- obachter wird zur Zeit des Eintreffens des Signales die Zeit t notieren, die sich als Quotient aus dem Lichtwege OP und
Abraham, Theorie der Elektrisitttt. IL 24
370 Zweiter Abscbnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
der uniyersellen Konstanten c der Orundgleichungen berechnet. Zwei in 0 und P befindliche Beobachter können so dnrch Lichtzeichen; oder allgemeiner durch elektrische Zeichen, ihre Chronometer vergleichen. Diese Vergleichung bemht auf der Isotropie der Lichtfortpflanznng^ welche f&r ein ruhendes System von unseren Ghnndgleichungen gefordert wird. Die Zeit i, die an so verglichenen und gleichlaufenden Uhren ab- gelesen wird; ist es, die in den Grundgleichungen auftritt. Ihre Definition setzt die Existenz eines absolut ruhenden Bezugssystemes voraus.
Nun beziehen sich aber unsere Zeitmessungen in Wirklich- keit auf ein bewegtes System, in welchem die Lichtfortpflanzung nicht mehr nach aUen Richtungen mit derselben Geschwindig- keit vor sich geht. Dennoch wollen wir uns die Vergleichung der in 0 und P befindlichen Chronometer in der oben an- gegebenen Weise ausgeführt denken, indem wir die Bewegung des Systemes unberücksichtigt lassen und so verfahren, als ob die relative Geschwindigkeit des Lichtes auch jetzt noch un- abhängig von der Richtung, und zwar gleich c, wäre. Die so für die Punkte des gleichförmig bewegten Systemes festgelegte Zeit t' woUen wir mit H. A. Lorentz die „Ortszeit'^ des be- treffenden Punktes nennen. Offenbar besteht zwischen der Orts- zeit t' und der allgemeinen Zeit t eben diejenige Beziehung; die oben für r' und r abgeleitet wurde,
(236) t^t' + ^-
Kontrollieren wir die Chronometer, indem wir ein Licht- zeichen umgekehrt von P nach 0 übermitteln und den im relativen Strahlengange zurückgelegten Lichtweg in Rechnung ziehen, so finden wir ihre Angaben bestätigt. Die Gang- differenz (— ) zweier die allgemeine Zeit t und die Ortszeit f
anzeigender Uhren, die in P stattfindet, verschwindet nämlich wieder, wenn man zu 0 zurückkehrt. Die Differenz zwischen Orts- zeit und allgemeiner Zeit ist eben nur eine Funktion des Ortes im gleichförmig bewegten Systeme; sie verschwindet daher beim
Zweitei Kapitel. Bewegte Körper. 371
Durchlanfen eines im bewegten System geschlossenen Weges. Gibt man die Lichtzeichen nicht direkt von 0 nach P, sondern schaltet eine Beihe von Zwischenstationen ein^ so gelangt man zn demselben Werte der Ortszeit; es kommt nur die Differenz der parallel der Bewegongsrichtnng des Systemes gemessenen Koordinaten von Endpunkt und Anfangspimkt des im relativen Strahlengang durchlaufenen Lichtweges in Frage; diese gibt^
mit (— ) multipliziert, die Abweichung der Ortszeit von der
allgemeinen Zeit an.
Aus der Definition der Ortszeit fließt nun die selbst- ' verständliche Folgerung: Die zur Durchlaufung einer ge- gebenen Strecke t' im bewegten System erforderliche Lichtzeit ist von der Geschwindigkeit des Systemes unabhängig (was Größen erster Ordnung in ß anbelangt); wenn sie durch die Differenz der Ortszeiten gemessen wird; die dem Entsenden und dem Eintreffen des Lichtes entsprechen. Die so gemessene Lichtzeit ist eben nicht T, sondern r'; r' jedoch ist der durch c geteilte im relativen Strahlengange durchlaufene Lichtweg. Dieser Licht- weg ist für eine Strecke von gegebener Länge von deren Orientierung gegen die Bewegungsrichtung des Systemes un- abhängig.
Wir sind jetzt in der Lage, zu beurteilen, inwieweit die Beobachtung den Einfluß der Erdbewegung auf die Lichtzeit feststellen könnte. Wird die Lichtzeit mit Hilfe von rotierenden Spiegeln, Zahnrädern oder dergleichen gemessen, so kommt es darauf an, durch welche Mittel die Stellung derselben regu- liert wird. Wird sie durch optische oder elektromagnetische Mittel reguliert, so kommt das auf dasselbe heraus, als wenn die Zeitmessung nach Ortszeit geschieht. Alsdann fällt jeder Einfluß der Erdbewegung fort, es ergibt sich dieselbe Licht- zeit, ob nun der Strahl parallel oder entgegen der Bewegungs- richtung der Erde sich fortpflanzt. Um den Einfluß der Erd- bewegung festzustellen, bedarf es einer nicht elektromagne- tischen Eontrolle der Apparate. Dabei müßte die Stellung der
24*
372 Zweiter Abflchnitfc. Elektromagnet. Vorgänge in w&gbaren Körpern.
t rotierenden Spiegel oder Zahnrader so genau reguliert sein,
ßx'
daß Abweichungen in ihrer Stellung, wie sie in der Zeit ^-—
vorkommen, mit Sicherheit yermieden sind; diese Zeit ist aber höchstens gleich dem Brachteil 10 ~' der Lichtzeit. Eine so genaue mechanische Eontrolle des Gbnges der Apparate dürfte kaum durchfOhrbar sein. Steht man auf dem Standpunkte der elektromagnetischen Weltanschauung, welche die mechanischen Kräfte auf elektromagnetische zurückzufahren strebt, so würde man auch eine solche mechanische B^ulienmg als eine Regulie- rung nach Ortszeit anzusehen haben; man müßte dann erwarten, daß der Versuch, den Einfluß der Erdbew^ung auf die Licht- zeit zu entdecken, unter allen Umstanden ein negatives Er- gebnis hätte.
Wir haben uns hier darauf beschrankt, die Fortpflanzung des Lichtes im leeren Baume zu behandeln, von der Mit- Wirkung dielektrischer Körper haben wir abgesehen. Das er- haltene Ergebnis jedoch gilt auch in allgemeineren I^en, wie von H. A. Lorentz auf Grand der Feldgleichungen des § 36 bewiesen worden ist^); beschrankt man sich auf Größen erster Ordnung in ß und auf unmagnetisierbare Nichtleiter, so gilt folgender Satz: Die Vektoren tt' und^' hängen im gleich- förmig bewegten Systeme in derselben Weise von der Ortszeit t' und den relativen Koordinaten {x* y* 0^ ab, wie im ruhenden Systeme tt und^ von der allgemeinen Zeit t und den Koordinaten (xya) abhängen. In der- selben Weise entsprechen einander die von der Verschiebung der Fokrisationselektronen herrührenden elektrischen Momente f im bewegten und im ruhenden System. Dabei ist angenommen, daß die quasielastischen Kräfte, welche die Elektronen in die Gleichgewichtslage ziehen, keine Änderung erster Ordnung durch die Bewegung erfahren; von der elektromagnetischen Masse, die bei dispergierenden Körpern ins Spiel kommt, folgt dies aus unseren früheren Entwickelungen. Das Fehlen eines
1) H. A. Lorentz. Yersnch einer Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. Leiden 1895.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 373
bemerkbaren Einflasses erster Ordnung der Erdbewegung auf das von irdischen Lichtquellen herrührende Licht ist auch bei Mitwirkung wägbarer durchsichtiger Körper mit der Elektronen- theorie sehr wohl vereinbar. Es erklärt sich ebenso wie das n^ative Ergebnis zahlreicher auf die Entdeckung eines Ein* flusses der Erdbewegung hinzielender rein elektromagnetischer Versuche auf Grund dieser Theorie^ ohne daß es notwendig wäre, zu neuen Hypothesen seine Zuflucht zu nehmen«
§ 43. Der Versnch von Hiohelson.
Wir wollen uns jetzt nicht mehr auf Gh'ößen erster Ordnung in ß beschränken, sondern den exakten Ausdruck (235) der Lichtzeit t zugrujide legen. Es stellt dabei Tq die Lichtzeit in dem ruhenden Hilfssystem 2q yot, das aus dem bewegten System 2]' durch eine Streckung parallel der Bewegungs- richtung, im Verhältnis x" , entstanden ist. Zwei Fahr- strahlen t' in S* bzw. Xq in 2^ sind durch (234) aufeinander bezogen.
Es werde nun der Fahrstrahl r' des bewegten Systemes im' relativen Strahlengange zweimal durchlaufen, einmal in hinläufigem, das andere Mal in rückläufigem Sinne. Es seien T , und T_ die entsprechenden Lichtzeiten. Nach (235) ist dann (237) T^+T_=2x--i.To
die gesamte, für den Hinweg und Rückweg erforder- liche Lichtzeit.
Der gesamte, im absoluten Strahlengang zurückgelegte Lichtweg ist
(237a) ?=»2x~'.ro=x"'io-
Wir denken uns mm in 27' diejenigen Punkte P, die auf einer um 0 als Mittelpunkt geschlagenen Engel vom Radius r' liegen. Würde das System ruhen, so wäre der gesamte Lichtweg OP 0 für alle diese Punkte P der gleiche, nämlich 2r\ Die Bewegung des Systemes bringt es nun, wie Gleichung (237 a) besagt, mit
374 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
sichy daß der Lichtweg l ein anderer ist, je nach dem Winkel, den der relative Strahl OP mit der Bichtnng der Bewegung einschließt. Denn einer Kugel in 27' entspricht in 2^ ein parallel der o; -Achse im Verhältnis x" gestrecktes Rotations- ellipsoid; derjenige Badiusvektor r^ dieses Rotationsellipsoides, welcher dem betreffenden Fahrstrahl OP entspricht, ist nach (237 a) für die Länge des absoluten Lichtweges maßgebend. Vergleicht man insbesondere zwei Fahrstrahlen gleicher Länge in U^, von denen der erste parallel, der zweite senkrecht zur Bewegungsrichtung weist, so verhalten sich die entsprechenden B>adienvektoren in 2?^ nach (234) wie x :1; in demselben Verhältnis müssen nach (237 a) die Längen der beiden, im absoluten Strahlengange durchlaufenen Lichtwege stehen. Die Differenz ^l derselben ist demnach
(237b) Jl = (x~'- 1) i = j(l - ßT^- l) l --^ß%
wenn Größen vierter und höherer Ordnung in ß gestrichen werden.
Auf die Entdeckung dieser zuerst von Marwell aus der Annahme ruhenden Äthers abgeleiteten Differenz der Licht- wege, welche zwei parallel bzw. senkrecht zur Erdbewegung gerichteten relativen Strahlen entsprechen, zielte der Versuch von A. Michelson^) hin. Es wurden zwei Lichtstrahlen zur Literferenz gebracht, welche, von derselben Lichtquelle aus- gehend, längs zweier zueinander senkrechter Arme OP und OQ sich fortgepflanzt hatten und dort durch Spiegel zurück- reflektiert waren. Indem jedes Lichtbündel mehrmals hin und her reflektiert wurde, konnte die Länge Z des Lichtweges auf 22 m gebracht werden. Es wurde nun zuerst der Arm OF in Richtung der Erdbewegung gestellt und dann durch Drehung des Apparates um einen rechten Winkel der Arm 0 Q in diese Lage gebracht. Dabei wäre eine Verschiebung der Literferenz-
1) A. Michelson. American Journal of Science (3) 22, 8. 120, 1881. Michelson nnd Morley. American Journal of Science (3) 34, S. 388, 1887. Phü. Mag. (ö) 24, S. 449, 1887.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 375
streifen zu erwarten gewesen. In Brnchteilen der Wellen- lange des verwandten Natriumlichtes gemessen^ beträgt die f&r die Yerschiebnng maßgebende doppelte Differenz der beiden Lichtwege
2Jl _ jS*Z _ 10""^- 22 • 10*
5,9 . 10
(237c) Hf' = Ef = ÜL_^lli!?: = 0,37.
Die erhaltenen Verschiebungen der Interferenzstreifen aber waren kleiner als 0,02 des Streifenabstandes.
Das negative Ergebnis des Michelsonschen Interferenz- versuches spricht gegen die Annahme ruhenden Äthers, mithin auch gegen die Lorentzsche Theorie, falls die bei der Ab- leitung von (237 b) stillschweigend gemachte Voraussetzung zutrifft, daß die Abmessungen der festen Körper auf der be- wegten Erde die gleichen sind, die sie auf der ruhenden Erde wären. Läßt man die Möglichkeit einer Dimensionsänderung infolge der Erdbewegung zu, so sind die Betrachtungen ent- sprechend abzuändern. In der Tat haben Fitzgerald und H. A. Lorentz das negative Ergebnis des Michelsonschen Ver- suches erklärt, indem sie zur Hypothese der Eontraktion der Materie infolge der Erdbewegung ihre Zuflucht nahmen: Es sollen die Körper infolge der Erdbewegung eine Kontraktion im Verhältnis x paraUel der Bewegungsrichtung erfahren, derart, daß die Punkte, die auf der ruhenden Erde auf einer Kugel liegen würden, auf der bewegten Erde auf einem Heaviside-Ellipsoid liegen.
Betrachtet man in dem gleichförmig bewegten Systeme 21^ die Punkte P, die auf einem Heaviside-Ellipsoide um 0 liegen, und vergleicht die Lichtwege, welche nach (237 a) dem rela- tiven Strahlengang OPO entsprechen, so findet man, daß sie alle den gleichen Wert haben. Denn geht man hier in der durch (234) angezeigten Weise zu dem ruhenden Hilfssysteme 2^ über, so stellt sich heraus, daß dem Heaviside-Ellipsoide in 2^ eine Kugel in 21 ^ entspricht, daß demnach allen Badien- vektoren OP des Heaviside-EUipsoides derselbe Wert von r^ und folglich, nach (237 a), derselbe absolute Lichtweg zukommt.
376 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yor^jige in wägbaren Körpern.
Nach der Fitzgerald- Lorentzschen Hypothese ist demnach ein positives Ergebnis des Interferenzyersnches ausgeschlossen^ nicht nnr^ was Größen zweiter Ordnung, sondern anch, was Größen beliebiger Ordnung anbelangt. Wird der Arm OQ statt OP beim Michelsonschen Versuch der Richtung der Erdbewegung paraUel gesteUt, so wird 0^ im Verhötnis x verkürzt, OP im Verhältnis x~"^ verlängert und die hierdurch bedingte Ver- ändenmg der Lichtwege kompensiert gerade die infolge der Bewegung der Erde stattfindende, so daß keine Verschiebung der Interferenzstreifen zu erwarten isi
Man könnte nun einwenden, daß die Dimensionsänderungen fester Körper, wenn sie auch sehr klein sind, der Messung zu^mglich sein müßten. Das wäre aber nur dann möglich, wenn man die Abmessungen der Körper durch „absolut ruhende^' Maßstäbe messen könnte. Wir sind aber auf solche Maßstäbe angewiesen, die sich mit der Erde bewegen; diese erfahren nach der Kontraktionshypoihese bei der Bewegung der Erde dieselbe Längenändemng, wie die zu messenden Körper; eine Kugel des irdischen Maßstabes ist der Kon- traktionshypothese zufolge ein Heaviside-EUipsoid des „absolut ruhenden'^ Maßstabes. Mit irdischen Maßsiäben kann man diese Behauptung weder bestätigen noch widerlegen. Auch wenn man zur Längenmessung optische Methoden verwendet, ist es selbstverständlich unmöglich, die behauptete Kontraktion der Materie festzustellen. Man würde dann die Länge eines Stabes durch den Lichtweg messen, während beim Michelson- schen Versuch der Lichtweg durch die Länge eines festen Stabes gemessen wird. Der Einfluß der Erdbewegung auf Lichtweg einerseits und Lauge des Stabes anderseits kompen- siert sich aber gerade so, daß sie auf der bewegten Erde gleich erscheinen, wenn sie auf der ruhenden gleich wären; eine optische oder elektrische Messung kann also niemals die be- hauptete Anisotropie der Körper auf der bewegten Erde fest- stellen.
Ein Einfluß der Erdbewegung bleibt jedoch nach (237 a) bestehen. Während in dem ruhenden Systeme Uq, in welches
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 377
die Erde, zur Rnhe gebracht, übergehen würde, der Lichtweg OPO gleich ^0 wäre, ist der wahre Lichtweg auf der be- wegten Erde im Verhältnis x~^ vergrößert. Da nun unsere Zeiteinheit unabhängig von optischen Messungen festgelegt ist, so mnß die Lichtgeschwindigkeit, gemessen auf der bewegten Erde, im Verhältnis x^^ großer sein als die Lichtgeschwindig- keit, gemessen in einem absolnt ruhenden Systeme; letztere ist identisch mit der Konstante c der Grundgleichungen. Es müßte demnach die universeUe Konstante c im Verhältnis x kleiner sein als die durch irdische Messungen bestimmte Licht- geschwindigkeit. Die Abweichung beträgt allerdings nur
C'-^ß^^ 1,5 m pro Sekunde, sie liegt also durchaus innerhalb
der Grenzen der Beobachtungsfehler.
Der soeben erörterte umstand läßt es als zweckmäßig er- scheinen, bei der Abbildung des bewegten Systemes 27' auf das ruhende Hilfssystem 2^ gleichzeitig eine neue Zeiteinheit zugrunde zu legen. In der Tat ist die „Ortszeit'^ t^ bei Berücksichtigung von Größen zweiter und höherer Ordnung in j3 zu definieren durch
(238) x«==<„ + ^.
Wird /J' gestrichen, so geht die so definierte Ortszeit t^ in die im vorigen Paragraphen eingeführte V über (Gleichung 236). Wie die in Strenge gültige Gleichung (235) lehrt, ist die durch die Differenz der Ortszeiten t^ gemessene Lichtzeit im bewegten System 27' für jeden, im relativen Strahlengang durchlaufenen Weg r' die gleiche wie für den entsprechenden Lichtweg to des ruhenden Hilfssystemes 27^. Trifft die Be- hauptung der Kontraktionshypothese zu, daß ein ruhendes System 27^, in Bewegung gesetzt, in das durch
(239) r'-(x,l,l)ro
dargestellte System 27' übergeht, so ist jeder Einfiuß der Erd- bewegung auf die Lichtzeit ausgeschlossen (auch ein Einfluß zweiter und höherer Ordnung), fedls die zur Messung ver- wandten Apparate optisch oder elektrisch reguliert werden.
378 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Die zur Erklärung des Michelsouschen Yersnches ein- geführte Kontraktionshypothese erscheint zuiuLchst bedenklich. H. A. Lorentz hat indessen versucht^ sie plausibel zu machen, indem er 'von der VorsteUung ausging, daß die Molekular- krafte^ welche die Form fester Körper bestimmen^ elektrischer Natur sind. An jedem Moleküle des ruhenden Körpers halten sich^ dieser Vorstellung zufolge^ die von den übrigen Molekülen herrührenden elektrostatischen Kräfte das Gleichgewicht. Wird nun der Körper in eine gleichförmige Translationsbewegung versetzt^ so werden die Molekularkräfte abgeändert, indem zu dem elektrischen Felde ein magnetisches tritt. Wie in § 18 dargelegt wurde, entspricht dem Gleichgewichte der elektro- statischen Kräfte &q im ruhenden Systeme 2Jq ein Gleich- gewicht der elektromagnetischen Kräfte f^ (hierfür ist jetzt &' zu schreiben) in einem bewegten Systeme, welches aus 27q durch eine Kontraktion im Verhältnis x parallel der Be- wegungsrichtung hervorgeht. Dieses bewegte System ist nach (239) kein anderes, als das von der Kontraktionshypothese angenommene System 2J\ In 2J^ würde also an jedem Mole- küle Gleichgewicht der Molekularkräfte bestehen, wenn es in dem ruhenden Systeme 2Jq bestand; allgemein stehen die elektrostatische Kraft @o auf die ruhende und die elektro- maguetische Kraft 6' auf die mitbewegte Einheit der Ladmig, die in zwei einander entsprechenden Punkten von 2q bzw. 27' herrschen, in dem durch (106c, S. 165) ausgedrückten Zu- sammenhange; wir wollen diese Beziehungen symbolisch dar- stellen durch
(240) e'-(i,x,x)eo-
Betrachtet man die Molekularkräfte in ruhenden Körpern als elektrostatische Kräfte und läßt man die Wirkungen der regellosen Molekularbewegungen außer acht, so erscheint es hiernach plausibel, daß ein fester Körper, in Bewegung ge- setzt, sich der Bewegungsrichtung parallel im Verhältnis x kontrahiert. Allerdings dürfen wir uns nicht verhehlen, daß wir noch weit davon entfernt sind, die Molekularkräfte in
I
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Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 379
nüieuden Körpern auf Grund der elektrischen Auffassung in befriedigender Weise deuten zu können.
Akzeptiert man jene elektrische Deutung der Molekular- kräfte, so ist eine mechanische Regulierung der Stellung von Zahnrädern oder rotierenden Spiegeln zum Zwecke der Messung der Lichtzeit (§ 42) als elektromagnetische Regulierung an- zusehen; es erscheint alsdann ausgeschlossen^ daß die Trans- lationsbewegung der Erde auf die Lichtzeit, die Abmessungen fester Körper oder auf Interferenzversuche nach Art des Michelsonschen irgendwelchen Einfluß beliebiger Ordnung besitzt, der sich einem irdischen Beobachter kundgeben könnte. Dieses folgt aus den bisherigen Erörterungen, soweit nur die Lichtfortpflanzung im leeren Räume in Betracht kommt.
§ 44. Die Lorentzsohe nnd die Cohnsohe Optik
bewegter Körper.
Läßt die Elektronentheorie ein negatives Ergebnis des Michelsonschen Interferenz Versuches auch dann erwarten, wenn die Lichtfortpflanzung nicht im leeren Räume, sondern in einem beliebigen dielektrischen Körper geschieht? Von dieser Frage ausgehend, hat H. A. Lorentz in zwei neueren Arbeiten^) seine Untersuchungen auf gleichförmig bewegte Systeme aus- gedehnt, deren Geschwindigkeit zwar kleiner als die Licht- geschwindigkeit, aber nicht klein gegen die Lichtgeschwindig- keit ist. Er hat Hypothesen über die Eigenschafben der Elek- tronen und Moleküle aufgestellt, welche, kombiniert mit der Kontraktionshypothese, geeignet sind, von allen negativen Versuchsergebnissen über den Einfluß der Erdbewegung auf die elektrischen und optischen Erscheinungen Rechenschaft zu geben.
Er nimmt an, daß die Verschiebungen der Polarisations- elektronen aus ihrer Gleichgewichtslage, welche die Licht- fortpflanzung in durchsichtigen Körpern begleiten, infolge der
1) H. A. Lorentz. Acad. van Wetensch. de Amsterdam 7, S. 607, 1899, und 12, S. 986, 1904.
«
380 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
Bewegung der Körper in derselben Weise abgeändert werden, wie die nach entsprechenden materiellen Punkten gezogenen Fahrstrahlen (vgl. 239) der Kontraktionshypothese gemäß sich ändern. Da die elektrische Polarisation ^ anf die Yolum- einheit berechnet ist, so würde i
(241) jp = (l,x-Sx-i)fP„
den Znsammenhang angeben, in welchem die Polarisationen aix entsprechenden Punkten des ruhenden Systemes U^ und des bewegten Systemes 2' stehen. Dabei sind die relativen Geschwindigkeiten der Elektronen gegen die Materie, die in 2' bzw. in 27q stattfinden, auszudrücken durch
dieselben sind demnach, mit Rücksicht auf (238) und (239),
verknüpft durch
(241a) l>'=«(x',x,x)l>o.
Die Beschleunigungen der Elektronen in ent- sprechenden Punkten von 27' und 2Jq sind mithin aufeinander bezogen durch
(241b) i = (x^ X«, X«) »0.
Die Grundgleichungen (Ic bis IVc, S. 324) gelten nach der Elektronentheorie für beliebig rasch bewegte unmagnetisierbare Körper. Nimmt man die Definitionsgleichungen (195) und (195a) von @' und ^' hinzu und setzt:
4Ä2>«e + 43r^; i = 0,
so gelangt man zu einem für durchsichtige, unmagnetisierbare Körper gültigen Gleichungssysteme, in welchem die wahren Koordinaten und die allgemeine Zeit i die unabhängigen Ver- änderlichen sind. Führt man nun statt dieser die Koordinaten Xq Pq Zq des Hilfssystemes 2q ein und gleichzeitig die Ortszeit t^, die durch (238) definiert ist, so gelangt man für gleichförmig bewegte Systeme zu einer neuen Form der Grrundgleichungen. H. A. Lorentz hat nun gezeigt, daß man dieselbe auf die Form
j
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 381
der Grandgleichmigen fQr ruhende Körper reduzieren kann, wenn man statt ^ den durch (241) definierten Vektor ^^ und gleichzeitig durch
(242) r-(l,x,x)«„,
(243) #' = (l,x,x)^,
zwei neue Vektoren S^ und ^^ einfährt. Kennt man för das ruhende Hilfssystem Z^ den Verlauf eines elektromagnetischen Vorganges und der mit ihm yerbundenen Elektronenbewegung, so geben (242) und (243) die Werte der elektromagnetischen Vektoren @' und ^' in dem bewegten Systeme 27' an, welche sich der durch (241a, b) dargestellten Elektronenbewegung zuordnen. Durch
(244) @' = (x«,x,x)©o
ist dann der relative Strahl in 2' (vgl. 213b; S. 341) dem absoluten Strahle des ruhenden Hilfssystemes U^ zugeordnet. Dieser Satz von H. A. Lorentz, auf dessen Beweis wir hier verzichten, beruht allein auf den allgemeinen Ghrund- hypothesen der Elektronentheorie, welche in den Grund- gleichungen (I bis V) ihren Ausdruck finden. Er gestattet es^ die Lösung eines Problemes der Optik des gleichförmig be- wegten Systemes 2J' zurückzuführen auf die Losung des ent* sprechenden Problemes für das ruhende System 2Jq. Diese Zurückführung ist auch dann möglich, wenn man die be- sonderen Hypothesen von H. A. Lorentz fallen läßt. Gibt man die Kontraktionshypothese auf, so ist das ruhende Hilfs- system 2Jq eben nicht mehr dasjenige, in welches der bewegte Körper, zur Buhe gebracht, übergehen würde. Gibt man die Lorentzsche Hypothese betreffs der Bewegung der Elektronen auf, so sind H^ und i^ nicht mehr die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, welche die Elektronen in dem bewegten Körper, wenn er zur Buhe gebracht wäre, bei dem betreffenden Strahlungsvorgange wirklich annehmen würden. Alsdann wird eben ein Einfluß der Bewegung auf die Erscheinungen im Prinzip nicht ansgeBchlossen sein. Die Kontraktionshypothese besagt nun gerade, daß das bewegte System, zur Buhe ge-
382 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yor^Uige in wägbaren Körpern.
bracht; von selbst in Uq übergeht. Die Loreutzsche Hypothese über die Bewegung der Elektronen besagt ferner^ daß t^ nnd b^ gerade diejenigen Geschwindigkeiten nnd Beschlennigongen sind; welche die Elektronen bei dem betreffenden Strahlnngsvorgange in dem znr ßnhe gebrachten Körper besitzen würden. Für die relative Strahlung durch entsprechende Flachenelemente in 2Jq und 2' folgt aus (239) und (244) alsdann
(244a) ^ldf-^^®o^df^.
Nach H. A. Lorentz ist die relative Strahlung^ welche zur Ortszeit t^ auf ein gegebenes Flächenelement von 27' fällt, nur durch den Faktor x* von der absoluten Strahlung verschieden, welche zur allgemeinen Zeit t^ auf das entsprechende Flächenelement in U^ fallt. Hier- durch ist ausgesprochen, daß nach den Lorentzschen Hypothesen ein Einfluß der Erdbewegung auf die Richtung des relativen Strahles, sowie auf Interferenzerscheinungen auch bei Verwen- dung lichtbrechender Körper ausgeschlossen ist. Auch eine Doppelbrechung der Körper infolge der Erdbewegung kann dann nicht stattfinden, so daß das negative Ergebnis der auf die Ent- deckung einer Doppelbrechung der Ordnung ß^ hinzielenden Versuche von Rayleigh^) und Brace*) mit dem Lorentzschen Hypothesensystem vereinbar ist. Die Verringerung der Intensität der relativen Strahlung, welche durch (244a) angezeigt wird, würde sich völlig der Beobachtung entziehen.
Wir wollen die Lorentzschen Sätze zu einem Probleme der Optik bewegter Körper in Beziehung bringen, welches wir gelöst haben (§ 14), nämlich dem Probleme des bewegten leuchtenden Punktes. Wir haben dort hauptsächlich die ab- solute Strahlung zum Gegenstand der Betrachtungen gemacht, welche sowohl für die ausgestrahlte Energie, wie für die aus- gestrahlte Bewegungsgröße maßgebend ist. Wir wollen jetzt einige Bemerkungen über die relative Strahlung und über den
1) Rayleigb. Phil. Mag. 4, S. 678, 1902.
2) D. B. Brace. Phil. Mag. 7, S. 317, 1904.
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 383
Lichtdruck anknüpfen, welche ein mit der Lichtquelle mit- bewegter Beobachter wahrnehmen würde.
Wir betrachten die Strahlung, welche der mit der Erde bewegte leuchtende Punkt seiner Bewegungsrichtung parallel entsendet; für diese kommen nur die transversalen Schwin- gungen des emittierenden Elektrons in Betracht, so daß die Strahlung proportional dem Ausdruck (79) auf S. 112 ist; setzen wir 9, den Winkel zwischen Strahlrichtung und Bewegungs- richtung des Dipols, gleich null, und beachten, daß r der Ab- stand des Aufpunktes von der Lage des leuchtenden Punktes zur Zeit des Entsendens ist, während der Abstand von der gleichzeitigen Lage des leuchtenden Punktes nach (233) ist
r' = r(l-/3),
SO finden wir als Verhältnis der absoluten Strahlungen im bewegten und im ruhenden Systeme
Nach (239) und (241b) ist die parallel der a;- Achse ge- messene Entfernung r' in 2J' im Verhältnis x kleiner als die- jenige in dem ruhenden Hilfssysteme 27q, während die trans- versale Beschleunigung des schwingenden Elektrons im Ver- hältnis x^ größer ist. Demnach wird
(245) ®-=@o«-^-
Die absolute Strahlung der Lichtquelle erfährt durch die Bewegung der Lichtquelle Änderungen erster Ordnung in /3.
Durch den absoluten Strahl @ ist die Dichte der elektro- magnetischen Bewegungsgröße bestimmt und somit der Licht- druck auf eine ruhende schwarze Fläche. Der Druck auf eine mitbewegte, senkrecht zur Bewegungsrichtung gestellte schwarze Fläche ist
384 Zweiter Abschnitt. iElektroxnagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Ans (245) folgt daher
(245a) i>'=l>o-(l + i3)-
Der Strahlnngsdrnck auf mitbewegte schwarze Flächen erfährt Änderungen erster Ordnung infolge der Erdbewegung; der Druck muß größer sein^ wenn die Strahlung parallel^ als wenn sie entgegen der Bewegungs- richtung der Erde sich fortpflanzt. Bei der Schwierigkeit^ welche die Beobachtung des Lichtdruckes bietet^ dürfbe es indessen kaum möglich sein, diese geringfQgige Änderung festzustellen.
Ist es dagegen eine spiegelnde Fläche, welche yor dem auffallenden Lichte zurückweicht, so ist nach (GL 208, S. 335), nach ümkehrung des Vorzeichens yon ß, zu setzen
t
p ==
2«a 1-ß
e 1 + ß Aus (245) folgt mithin (245 b) p'^p,.
Der Strahlungsdruck auf mitbewegte Spiegel erfährt keine Änderung infolge der Erdbewegung.
Die relative Strahlung irdischer Lichtquellen, welche bolo- metrisch durch schwarze Flächen zu messen ist, ergibt sich aus (211a, S. 338)
S;«@,X* = S,. (1-/5)1
Aus (245) folgt somit
(245c) @; = x«©o^.
Diese mit (244) übereinstimmende Beziehung besagt: Die von der Strahlung irdischer Lichtquellen her- rührende Wärmeentwickelung in zwei senkrecht zur Richtung der Erdbewegung gestellten schwarzen Flächen ist die gleiche, sei es, daß die Strahlung parallel oder entgegen der Bewegungsrichtung der Erde sich fortgepflanzt hat.
Zweites Kapitel. Bewegte £öiper. 385
Wir wollen endlich die relative Gesamtstrahlung des be- wegten leuchtenden Punktes ermitteln^ d. h. die gesamte Wärme- entwickelung in einer mitbewegten^ den leuchtenden Punkt einhüllenden schwarzen Fläche. Nimmt man das Mittel über eine Schwingung, so muß im stationären Schwingungszustande die von der Lichtquelle entsandte elektromagnetische Energie der auf die mitbewegte Fläche fallenden gleich sein und die entsandte Bewegungsgröße der auffallenden. Es gibt also der Ausdruck (82) auf S. 118 den relativen Energiestrom durch die
bewegte Fläche an. Der im Verhältnis — kleinere Ausdruck (83)
stellt die resultierende Kraft dar^ welche die Strahlung auf die auffangende Fläche ausübt; dies ist die Gegenkraft, welche der Beaktionskraft (83 a) der Strahlung auf die Lichtquelle im Sinne des dritten Newtonschen Axiomes entspricht. Im stationären Zustande gilt dieses Axiom, da die elektromagnetische Bewegungs- größe des von der schwarzen Fläche umschlossenen Feldes im Mittel konstant ist; es wird mithin derjenige Teil der aus- gestrahlten Energie, welcher mechanischer Arbeit entstammt, wieder in mechanische Arbeit zurückverwandelt. Zieht man diesen Bruchteil ß^ vom relativen Energiestrom ab, so erhält man die relative Gesamtstrahlung, welche die Wärmeentwicke- lung in der schwarzen Fläche angibt. Es wird also derjenige Teil der emittierten Energie, welcher der thermischen und chemischen Energie der Lichtquelle entstammt, an der auf- fangenden schwarzen Fläche in Wärme verwandelt. Dies ist der Bruchteil x* der entsandten Energie (vgl. 83 c). Wir er- halten schließlich für die relative Gesamtstrahlung
Nach (241b) wird dies
(246) /®Ur==|^;xnj = x«J@o,d/o,
was vollkommen mit (244 a) übereinstimmt.
Treffen die Lorentzschen Annahmen über die Eontraktion der Körper und über die Bewegung der Elektronen zu, so
Abraham, Theorie der Elektrizität. IL 26
386 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern.
sind @0 und p^ die wirkliclien Werte des Strahlvektors und des Lichtdruckes auf der zur Buhe gebrachten Erde. Es ist dabei zu betonen, daß die Lorentzschen Annahmen nur insofern hypothetisch sind, als sie Größen zweiter und höherer Ordnung in ß betreffen. Bis auf Größen erster Ordnung folgen sie aus den allgemeinen Grundgleichungen der Elektronentheorie, falls Änderungen erster Ordnung infolge der Erdbewegung in den Abmessungen der Körper, den Massen der Elektronen und den quasielastischen Kräften, welche sie in die Gleichgewichtslage ziehen, ausgeschlossen sind.
Sollen die Lorentzschen Hypothesen über die Bewegung der Elektronen auch in betreff der Größen zweiter und höherer Ordnung der Wirklichkeit entsprechen, so müssen die quasi- elastischen Kräfte und die Trägheitskräfte der Elektronen ge- wissen Bedingungen genügen. Um diese Bedingungen ab- zuleiten, denken wir uns zunächst einen Körper, welcher keine erhebliche Dispersion zeigt. Hier ist die Lichtfortpflanzung durch die quasielastischen Kräfte allein bestimmt, indem die Verschiebung der Elektronen dem Gleichgewichte der quasi- elastischen Kraft und der äußeren elektrischen Kraft entspricht. Die Verschiebung der Elektronen aus der Gleichgewichtslage wird für den bewegten Körper gerade dann die von Lorentz angenommene sein, wenn die quasielastischen Kräfte infolge der Erdbewegung die gleiche Änderung erfahren wie die elektrischen Kräfte gemäß Gl. 242. Man kann diese Hypo- these in derselben Weise plausibel machen wie die entsprechende Hypothese über die Änderung der Molekularkräfte, indem man nämlich die quasielastischen Ejräfte in ruhenden Körpern als elektrostatische Kräfte deutet.
Diese Annahme über die quasielastischen Kräfte reicht indessen nur dann aus, wenn bei der Lichtbrechung die Träg- heit der Elektronen nicht ins Spiel kommi Nach der Elek- tronentheorie ist gerade die Trägheit der Elektronen für die Dispersion maßgebend (vgl. § 29). Handelt es sich um die Lichtfortpflanzung in einem dispergiependen Körper, so hat die Lorentzsche Annahme über die Bewegung der Elektronen
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 387»
gewisse Konsequenzen hinsichtlich der longitadinalen und der transversalen Masse im Gefolge. Es müssen nämlich, wenn anders die Schwingungsgleichung der Elektronen erfüllt sein soll, die Tragheitskräfte in derselben Weise durch die Erd- bewegung beeinflußt werden wie die äußeren elektrischen Kräfte und die quasielastischen Ejräfte, d. h. in der durch (242) angegebenen Weise. Sollen gleichzeitig die Beschleunigungen der Elektronen in dem bewegten Systeme 27' und in dem ruhenden 2]q in dem durch (241b) angegebenen Zusammen- hange stehen, so muß für die Masse als Quotient von Kraft und Beschleimigung die Beziehung gelten
(247) m = (x-», x-S x-i) m^.
Diese Beziehung drückt in der hier benutzten Symbolik dasselbe aus wie die Gleichungen (125) und (125 a) auf S. 203, die für die elektromagnetische Masse des Lorentzschen Elektrons gelten. In der Tat hat H. A. Lorentz jene Annahme über die Form des Elektrons gerade im Hinblick auf die Optik bewegter Körper gemacht. Infolge der Erdbewegung sollen die Elek- tronen, deren Schwingungen die Geschwindigkeit der Licht- fortpflanzung in den Körpern bestimmen, sich in der gleichen Weise kontrahieren wie die materiellen Körper. Im Ruhe- zustande Kugeln, sollen sie infolge der Bewegung Heaviside- Ellipsoide werden. Diese Hypothese über die Gestaltsänderung der Elektronen, im Verein mit den übrigen Lorentzschen Hypothesen, verbürgt das Fehlen eines bemerkbaren Ein- flusses der Erdbewegung auf die Lichtfortpflanzung in festen Körpern. Für flüssige und gasförmige Körper fügt Lorentz noch die Hypothese hinzu, daß die Massen der Moleküle in derselben Weise durch die Erdbewegung abgeändert werden, wie die elektromagnetischen Massen der Elektronen. Alle diese Hypothesen setzen die Durchführbarkeit der elektro- magnetischen Weltanschauung voraus.
Wir haben in § 22 auf die Bedenken auJ^erksam gemacht, welche der Lorentzschen Hypothese des deformierbaren Elek* trons gerade vom Standpunkte des elektromagnetischen Welt-
26*
388 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Eörpem.
bildes aus erwachsen. Von diesem Standpunkte aus mußten wir dem starren Elektron den Vorzug geben. Die Formebi, die wir fOr dessen elektromagnetische Massen aufgestellt haben (S. 193, Gl. 118b, c), weichen, was Größen der Ordnung /J' an- belangt, von den Lorentzschen durch die Faktoren (l ~" tä i^*) ^zw. f 1 — Yq ß^) ab. Demnach würden sich für die Eigenschwingungen
der Elektronen auf der bewegten Erde andere Werte ergeben, wenn man unsere Formeln an Stelle der Lorentzschen setzte und die Hypothese über die quasielastischen Kräfte beibehielte; die Quadrate der Wellenlängen der Eigenschwingungen würden dann in demselben Verhältnisse sich ändern, wie die Werte der Massen. Es würde also die Dauer der longitudinalen und der transyersalen Eigenschwingungen der Elektronen infolge der Erd- bewegung um Größen der Ordnung — /S* =10""* voneinander ab- weichen. Diese Abweichung sollte sich f&r dispergierende Körper durch eine Doppelbrechung kundgeben; senkrecht zur Richtung der Erdbewegung sollte sich monochromatisches Licht mit ver- schiedener Geschwindigkeit fortpflanzen, je nachdem es parallel oder senkrecht zur Bewegungsrichtung der Erde polarisiert ist. Eine Doppelbrechung der Körper von dieser Ordnung haben Bayleigh und Brace bei den oben erwähnten Ver- suchen nicht entdecken können, obgleich die Genauigkeit nach den Angäben der Experimentatoren eine hinreichende gewesen wäre.
Das Lorentzsche Hypothesensystem ist, weim auch viel- leicht nicht das einzige, so doch wohl das einfachste, welches jeden bemerkbaren Einfluß der Erdbewegung auf die elek- trischen und optischen Eigenschaften der Körper ausschließt. Die Möglichkeit eines solchen auf der Elektronentheorie fußenden Hypothesensystemes zeigt, daß aus dem Fehlen eines solchen Einflusses kein prinzipieUer Einwand gegen die Grund- hypothesen der Elektronentheorie hergeleitet werden kann. Diese allgemeinen Grundhypothesen lassen sich vielmehr mit speziellen Annahmen über die Elektronen und Moleküle derart vereinigen, daß die elektromagnetischen Vor^mge auf der be-
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 389
wagten Erde merklich mit denjenigen identisch sind, die auf der rahenden Erde beobachtet werden würden.
Auch wenn man sich auf den Standpunkt der allgemeinen Elektronentheorie stellt, so braucht man doch keineswegs jede einzelne der speziellen Hypothesen Ton H. A. Lorentz zu akzeptieren. Durfte doch das elektromagnetische Weltbild, dem diese Hypothesen angepaßt sind, nur als ein Programm bezeichnet werden. Und gerade die Lorentzsche Annahme über die Form des Elektrons ist keineswegs mit diesem Pro- gramm in Einklang zu bringen. Was femer die „quasi- elastischen Krafbe^' anbelangt, welche im Verein mit der Träg- heit die Eigenschwingungen der Elektronen bestimmen sollen, so ist deren Natur uns ganzlich unbekannt. Erst wenn wir die Linienspektra eines ruhenden Körpers auf Grund der Elek- tronentheorie befriedigend werden deuten können, wird es möglich sein, die Optik bewegter Körper sicher zu begründen. Bis dahin sind alle theoretischen Ansätze, welche man der Diskussion des Einflusses der Erdbewegung zugrunde legt, nur Ton proyisorischer Bedeutung und der Abänderung sehr wohl fähig.
In Anbetracht der zahlreichen und vielfach bedenklichen Hypothesen, zu welchen die Lorentzsche Elektrodynamik be- wegter Körper ihre Zuflucht nimmt, verdient die von E. Cohn*) aufgestellte Elektrodynamik bewegter Körper Interesse. Diese Theorie sieht von atomistischen Vorstellungen ab. Sie stellt, der rein phänomenologischen Methode getreu, ein System von Feldgleichungen an die Spitze:
(248) c.rl#'=^{i + ^),
(248a) curir=-|^,
(248b) 4«» ==««'- -[»#'],
1) E. Cohn. GKittinger Nachrichten 1901, Heft 1. Ann. d. PhjB. 7, S. 29, 1902. Berliner Sitzongsber. 1904, S. 1294 und 1404.
390 Zweiter Absclinitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. (248c) { = <r@' {bei fehlenden eingeprägten Kräften}^
(248d) » = /*r+-[loe'].
Wie man sieht, ist hier die Hertz-Heavisidesche Analogie der elektrischen nnd magnetischen Großen gewahrt, welche die Elektronentheorie aufgibt. Für nnmagnetisierbare Körper lehrt der Vergleich mit den Ghnndgleichnngen der Lorentzschen Elektrodynamik (S. 324) folgendes: die Abweichung besteht nnr darin, daß nicht wie dort die Vektoren 6 nnd §, sondern 6' und §' zu Vektorprodukten mit to vereinigt sind. Diese Ab- weichung ist von der zweiten Ordnung; hinsichtlich der Größen erster Ordnung in ß sind die Cohnschen Grundgleichungen den Lorentzschen völlig äquivalent.
Was die Anwendung auf ein gleichförmig bewegtes System 27' anbelangt, so ergibt sich, daß ähnlich wie bei Lorentz die Zurückfuhrung der Grundgleichungen auf die- jenigen eines ruhenden Systemes 2^ möglich ist, wenn die allgemeine Zeit durch eine Ortszeit ersetzt wird. Dabei ist es aber, um das Fehlen eines Einflusses der Erdbewegung zu erklären, nicht notwendig, eine Kontraktion der Körper an- zunehmen; es sind vielmehr die Abmessungen des ruhenden Systeme^ 2^ mit denen des bewegten Systemes 2^ identisch. Die im bewegten Systeme gemessenen Längen sind hier die wahren Längen; auch ist die Zeiteinheit beim Übergang zum ruhenden System nicht abzuändern. Es wird also hier ohne hypothetische Annahmen über den Einfluß der Erdbewegung auf die Körper dasselbe erzielt, was Lorentz durch sein Hypo- thesensystem erreicht.
Die in § 43 gegebene Theorie des Michelsonschen Ver- suches war von den Feldgleichungen insofern unabhängige als ihr Gegenstand nur die Lichtfortpflanzung im luftleeren Baume war. Hier würde die Cohnsche Theorie, welche die Kon- traktionshypothese fallen läßt, ein positives Ergebnis des Ver- suches erwarten lassen. Nach Gohn soll das negative Ergebnis daher rühren, daß die Fortpflanzung bei den wirklichen Ver- suchen in Luft geschah; man dürfte also nach dieser Auf-
Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 391
fassung die Gleichungen für den leeren Raum hier nicht an- wenden; sondern eben die Feldgleichnngen^ welche für die mit der Erde bewegte Lnft gelten sollen.
Handelt es sich nnr um den Einfluß sichtbarer Be- wegungen auf die elektromagnetischen Vorgänge in wägbaren Körpern; so kann man im Zweifel sein, ob die Lorentzsche oder die Cohnsche Theorie den Vorzug verdient. Eine um- fassende Behandlung der Konvektions- und Wellenstrahlung ist indessen auf Grrund der Cohnschen Gleichungen bisher nicht durch- geführt worden. Die Theorie von Cohn sieht ab von atomistischen Vorstellungen; für die Ausbildung einer atomistischen Theorie der Elektrizität gibt sie nur die Anweisung: dieselbe so aus- zubildeU; daß für die meßbaren Mittelwerte jene Gleichungen gelten. Sie bleibt den Nachweis schuldige daß eine solche elektrische Atomistik möglich ist und daß sie die Erfahrungen über Kathodenstrahlen und Eadiumstrahlen richtig wiedergibt. Daß die Elektronentheorie dieses leistet, haben wir in dem vorliegenden Bande gezeigt. Wir haben femer gesehen, daß die Elektronentheorie diese reiu elektrischen Strahlungs- erscheinungen in die engste Verbindung bringt mit gewissen optischen Eigenschaften der Körper, welche in dem Zeemanschen Phänomen, der Dispersion und der magnetischen Drehung der Polarisationsebene sich kundgeben. Eine umfassende elektro- magnetische Theorie der Strahlung ist heute nur auf Ghrund der Elektironentheörie möglich. Jene Verknüpfung der an- scheinend verschiedenartigsten Vorgänge ist eine der wichtigsten Errungenschaften der Elektronentheorie. Diese Errungenschaft wird festzuhalten sein, auch dann, wenn etwa der Fortschritt der Wissenschaft die Grundlagen der Elektrizitätstheorie aufs neue erschüttern sollte.
392 FormelzusammeiiBtellimg.
(«)
(y)
Formelznsammenstellnng.
I. Feld und Bewetnmg einielner Elektronen.
Grundgleichnngen der Elektronentheorie: (§ 4 S. 17)
I) curl § - - -^ - 4«! - 4«(. . -, II)curl« + l^-0,
m) div 6 - 4«9, IV) div § - 0,
(elektromagnetische Kraft pro Einheit der Ladnng). Dichte der elektromagnetischen Bewegungsgroße: (ß) B-fsS-li^M (ÖL18S.27)
LStsung der Grundgleichungen: f § « curl « (Gl. 28 S. 38)
««_/70_i^ (G1.29S.38)
Es sind die elektromagnetischen Potentiale:
oo
9 « jXdX j dwQ{X, l-X) .... (Gl. 50 S. 57)
0
oo
%^ jXdXJd(ol{X,l-X) (G1.51S.57)
0
Dabei ist l^ct, X ist der Latensweg, X^doo das Flachen- element einer mit dem ßadius X um den Aufyunkt ge- schlagenen Eugel.
(*)
(0
a)
(>?)
(«•)
I. Feld und Bewegung einzelner Elektronen. Losung mit Hilfe des Hertzschen Vektors:
393
8= 1 XdXJ dm^iX, l-X)
0
I
^™ f \Utv •
. (Gl. 48 S. 56)
i|
. (61. 47 S. 54)
(Gl. 48 c, d S. 56")
(Sg ist das aafänglidie elektrostatische Feld. Bewegte Ptinktladang e: k Geschwindigkeit, ß — —>
C
X =» f/l — j8*, ^' Zeit des Entsendens, ^ Zeit des Eintreffens
im Anfpnnkte^ t, t^ Fahrstrahl vom Orte des Entsendens
zum Anfpunkte bzw. entsprechender Einheitsvektor
e e^d£
'^ r dt
0
i'-'i)
«
e»
(.4)
rc dt
rc
• •
. (Gl. 63, 64, 65, § 11)
# = [?!«]
(GL 72, 73, S. 97) Ausgestrahlte Energie und BewegnngsgrSße:
i
. (Gl. 82, 83,8.118)
Reaktionskraft der Strahlung: «• = l^:{f. + 4^ + ^ + ^1 (G1.85,S.123)
394 FormelzTuammenstelliing.
Elektromagnetische Massen des Elektrons. All- gemeine Formeln:
(0
w
(f*)
m, =» -jLJ- longitudinale Masse
l^l } (Gl. 115, 115a, S. 186)
m^ = 44 transversale Masse
Starres kugelförmiges Elektron (m^ Masse bei lang- samer Bewegung):
f) |
-P'l |
P *" u- |
-ßj' |
1- |
-ß' |
mr |
= »»o- |
^tiß), |
|||
r/^^ |
-M |
ß+^^l. |
ß+ß] |
1 _ |
,1l |
Lorentzsches Elektron:
(Gl. 125, 125a, S. 203)
»»Q- X~'
n. Büektromagnetisehe Tori^ge In wlgrbaren Körpern.
Ortmdgleichungen der Lorentzscben Elektro- dynamik für bewegte nnmagnetisierbare Körper (§§ 35 und 36):
(I C) curl ^' - V { ^ + W ) • • (^^- 1^' ^- ^1^) (Hc) curl «' y^ . . . . (Gl. 194, S 320)
(IHc) div » = Q, (IVc) div #. = 0.
i = tf«'=- ff I« + -f [»§]) (GL 195 u.l95b, S.324) 4«2) = e«'--[l«i$] (GL 195c, S.324)
C
$ = ^'+— [»«] (GL 195 a, S.324)
n. Elektromagnetische Vorgänge in wägbaren Körpern. 395
{tu ist die Geschwindigkeit der Materie^ jj bezieht sich
auf einen mitbewegten Punkt; (B, $ sind die Mittelwerte der elektromagnetischen Vektoren, welche die im Baume von den Elektronen erregten Felder kennzeichnen; & ist die elektromagnetische Kraft auf die Einheit der mit- bewegten Ladung; b und tf sind Materialkonstanten, die von der Bewegung unabhängig sind, wenn Größen zweiter
Ordnung in - — ^ nicht in Frage kommen}.
Relativer Strahl: (v) «' = A[gf§'] (GL213b,S.341)
Flächenkraft für die Flacheneinheit einer im Räume bewegten Fläche:
(Gl. 204, S. 333)
Thermodynamisches Gesetz der Wellenstrah" lung:
(o) fi"=-^».^(^) (GL228a,S.357)
bestimmt die Helligkeit H der Strahlung von der Tempe- ratur d" und der Schwingungszahl v.
Plancksche Formel: («) fl = ^.^ (Gl. 229, S. 361)
[h und h sind oniTerselle EonBtaaten}.
Begister.
Die BeiftLgnuig der Paragraphenangabe besagt, daß der ganse Paragraph den betreffenden
Gegenstand behandelt.
a- Strahlung II 14.
Abbildnng, hydrodynamische I 4S
(§ 16). Aberration des Fixstemlichtes n
886, 842. Abklingnngskoeffizient n 70. Ablenkbarkeit der ß- Strahlen n 194
(§ 21), 211. Abraham, M., 11 26, 119, 189, 172,
201, 804, 806, 808, 810, 848. absolute Bewegung I 480 (§ 91);
n 18. absolute Energieströmung oder
Strahlung 11 107, 888. absolutes Maßsystem I 4, 207 (§ 58),
249 (§ 61). Absorption elektrischerWellen 1816;
n 276. Absorptionsvermögen I 828; II 868. Achsensysteme I 10 (§ 4). actio und reactio I 886, 898, 417,
421, 428; 11 81. Addition von Vektoren I 6 (§ 2). Äquipotentialflächen I ISO. Äquivalenz von Doppelschicht und
Wirbellinie I 108 (§ 29). — von Magneten und elektrischen
Strömen I 878 (§ 81). Äther I 142, 218, 866, 422, 480, 486. Ampere I 879; II 260, 282. Amp^resche Schwimmregel I 106,
240. Analogie der elektrischen und mag- netischen Größen I 211 (§ 64),
917, 480; II 264, 890.
anomale Dispersion n 278.
anomaler Zeemaneffekt II 78.
Antenne vgl. Sendedraht.
Aschkinaß, E., 11 7.
associatives Gesetz der Vektor- addition I 7.
atomistische Konstitution der Elek- trizität n 1 (§ 1), 16, 21, 189.
ausgestrahlte Energie und Be- wegungsgröße n 128, 282.
äußeres Produkt I 16 (§ 6).
axialer Vektor I 22 (§ 8), 248.
Axiom, erstes Newtons 11 171, 178.
— zweites Newtons 11 181, 182.
— drittes Newtons 11 28 (§ 6).
/}- Strahlung 11 14, 194 (§ 21). Balmer n 79. Bartoli n 867. Becquerel, H., 11 282. Becquerelstrahlen vgl. /?- Strahlen. Beltrami, E., n 69. Beschleunigungsvektor I 9. Betrag eines Vektors I 6. Bewegung, absolute und relative
I 480 (§ 91), n 18. Bewegungsgleichungen des starren
Körpers I 89.
— einer Flüssigkeit I 118 (§ 81).
— des Elektrons II 147 (§ 17), 210. Beii^gungsgröße I 82.
— elektromagnetische n 27.
— des Elektrons n 170 (§ 19), 208. Bezugssysteme, bewegte I 84 (§ 13),
112 (§ 81).
Register.
397
Bilder, elektrische I 139, 140, 150. Biot-Sayartscbes Gesetz I 106, 220. Bizykel I 268. Bjerknes, Y., I 289; 11 804. blanke Fläche n 380. Vgl. auch
Spiegel. Boltzmann, L., 1 309 ; IE 367, 858, 860. Boltzmann-Dradesche Konstante 11
284, 862. Brace, D.B., n 882, 388. Bradley n 886. Braun - Slabysche Senderanordnung
I 296; II 808. Brechung der Eraffclinien 1 146 (§ 89),
226. Brechnngsindez I 808, 814; 11 272,
279. Burckhardt, H., E 127.
}'- Strahlung II 16. Clausius, B., II 861, 860. Cohn, E., I 211, 817; II 889. Cohnsche Elektrodynamik bewegter
Körper 11 389. Coulombsches Gesetz I 178 (§ 46),
877. Crookes, W., II 6. curl I 78 (§ 24), 87, 96.
D'Alemberts Prinzip I 81 (§ 12).
Dämpfong durch Strahlung I 288, 298; II 66, 806.
De la Bive vgl. Sarasin.
Diamagnetismus I 218; II 288.
Dichte der wahren und freien Elek- trizität I 146 (§ 39); n 263.
— des wahren und freien Magne- tismus I 211 (§ 64).
— des wahren Stromes I 184, 188, 190, n 264.
— des freien Stromes I 281, 878 (§ 81); n 264.
Dielektrika I Abschnitt 2 Kap. 2:
141 — 163. Dielektrizitätskonstante 1 141 (§ 38),
203, 808. Differentiation nach einer skalaren ^ Variabelen I 8 (§ 8), 16, 18.
Dimensionen 1 4, 207 (§ 63), 249 (§ 61).
Dimensionstafel I 252.
Dipol, elektrischer 11 67, 108.
Dirichlet, G. L., H 239, 308.
Dispersion 11 267 (§ 29).
Dispersionsformel II 272, 279.
dissipative Kraft U 71, 128.
distributives Gesetz der Multipli- kation I 14, 17.
Divergenz, div., I 51 (§ 19), 66, 74.
Doppelquelle I 69 (§ 21).
Doppelschicht I 70 (§ 28), 97, 103 (§ 29).
— elektrische I 199. drahtlose Telegraphie I 292, 296,
308 ; n 286 (§ 33), 297 (§ 34).
Drahtwellen I 831 (§ 73), 347 (§ 76), 360 (§ 76).
Drehimpuls s. Impulsmoment.
Drude, P., I 206, 803; E 268, 271, 274, 276, 276, 283, 284, 819.
Duplet, Zeemansches, E 76.
Dynamik des Elektrons, Grund- hypothesen E 186 (§ 16).
Eichenwald, A., I 426, 427, 429;
E 816. Eigenschwingungen, elektrische,
I 279 (§ 66), 294 (§ 68), 864;
E 306.
— des Elektrons E 67, 214, 274. eingeprägte elektrische Kräfte
I 194 (§ 60); E 266.
— magnetische Kräfte 1 388 (§ 88). Einheitsvektor I 7.
elektrische Energie I 163 (§ 48). elektrisches Feld I Abschnitt 2:
123—210. elektrische Feldstärke oder Kraft;
I 128 (§ 33), 141, 182; E 264. elektrischeVerschiebungl 141(§ 38);
II 266. Elektrizität I 124, 128. Elektrodynamik bewegter Körper I
Abschnitt 4, Kap. 2: 390—436;
E Abschnitt 2, Kap. 2: 310—891. elektrodynamisches Potential I 272. Elektrolyte I 190, 203, 316; E 1.
)
398
Begister.
elektiomagnetisclie Bewegnngs- größe n 27.
— Energie I 246; n 20. elektromagnetischer Energiestrom
I 311, 344, 866 (§ 77), 363 (§ 78).
elektromagnetisches Feld I Ab- schnitt 3: 211 — 867.
elektromagnetische Lichttheorie I 308.
— Kraft n 19.
— Masse n 187, lö2, 181 (§ 20), 203. elektromagnetisches Maßsystem
I 261. elektromagnetische Potentiale 11 89.
— Wellen I Abschnitt 3, Kap. 3: 308 — 366.
elektromagnetisches Weltbild 1 273, 368; n 136 (§ 16), 208, 381.
elektromotorische Kräfte 1 194 (§ 60), 198 (§ 61), 208 (§ 62).
Elektron II 8, 140.
Elektronen, ihr Feld nnd ihre Be- wegung II Abschnitt 1 : 1 — 249.
Elektronenladnng, spezifische n 9, 11, 77, 200, 276, 282.
Elektronentheorie, Grondgleichnn- gen der n 17 (§ 4).
elektrostatisches Feld I Abschnitt 2 : 123 — 182.
— Maßsystem I 209, 261. elementare elektrodynamische Kraft
n 98.
ElementarqTiantnm, elektrisches n 1 (§ 1), 368.
Emission des Lichtes n 67, 366, 366.
Emissionshypothese der Kathoden- strahlen n 6.
Emissionsvermögen I 328; 11 864.
Energie eines Strömungsfeldes 1 101.
— elektrische I 168 (§ 43).
— magnetische 1 212, 223, 876, 884.
— elektromagnetische 1 246; 11 20.
— des Elektrons 11 170 (§ 19), 208. Energieprinzip I 246; 11 20, 29. Energiestrom I 811, 344, 366 (§ 77),
363 (§ 78); II 12, 20.
— absoluter n 107.
— relativer n 108, 339.
Erdbewegung 1 404, 433; 11 336, 342, 866 (§42), 373 (§43), 879 (§44).
Eulersche Bewegungsgleichungen des starren Körpers I 39.
— in der Hydrodynamik I 118. ExtinktionskoeMzient I 814.
Faraday I 1, 141, 237, 890; 11 1. Farbenzerstreuung s. Dispersion. Feld eines Vektors I Abschnitt 1,
Kap. 2: 43—122. Feldgleichungen I 243 (§ 60). Feldstärke, elektrische I 123 (§ 38),
141, 182; n 264.
— magnetische I 211, 217 (§ 66); n 266.
Femwirkungstheorie I 1, 167, 223, 272, 848, 868, 878; 11 16, 99.
Ferromagnetismus I 218, 868—390; n 283.
Fitzgerald 11 876.
Fizeaus Versuch I 486; 11 326 (§ 37).
Flächendichte, elektrische 1 132,146.
Flächendivergenz I 74.
Flächenkraft, elektromagnetische
I 416, 418; n 26, 831, 333. Flächenwirbel I 96. Fortpflanzungsgeschwindigkeit
elektromagnetischer Störungen
und Wellen I 807, 822; 11 62. &eie Elektrizität 1 146 (§ 89), 11 263^
812, 316. freier Magnetismus I 212, 224 (§67)^
373 (§ 80).
— Strom I 229 (§ 68), 378 (§ 81) ;
II 264. Frequenz I 276. Fresnel, A., 11 828, 842. Fresnelscher Fortfnhrungskoeffizient
n 828.
y- Strahlen 11 16. Gaußisches Maßsystem I 264. Gaußischer Satz I 64, 66. Geometrie, nichteuklidische, I 435. Geschwindigkeitsvektor I 9. gleichförmige Bewegung elek- trischer Ladungen 11 168 (§ 18).
Register.
399
Gleichgewicht, stabiles, labiles, in- differentes I 80 (§ 11).
Gleitfläche I 402.
Goldstein, E., 11 6, 14.
Graßmann I 3, 14, 16.
Greenscher Satz I 58.
Grenzbedingongen I 146, 226, 819, 880; n 816, 825.
Grondgleichnngen s. anch Hanptgl. and Feldgl.
Grondgleichnngen der Elektronen- theorie n 17 (§ 4), 252, 824.
— dynamische n 140
— kinematische n 141.
Hack, F., n 806.
Haga, U., n 16, 120.
Hagen, E. s. Bnbens.
Halbleiter, WeUen in I 812 (§ 70).
Halbraum, dielektrischer I 150
(§ 40). Hall-Effekt I 242, H 819. Hamiltonscher Operator F I 49, 58,
62, 81. Härte, magnetische 1 872, 878 (§ 80). Hasenöhrl, F. H 846. Hanptgleichung, erste I 221, 285,
(§ 59), 424 (§ 90); E 17, 265,
810 (§ 85).
— zweite I 288, 898 (§ 86); H 17, 265, 817 (§ 86).
Heaviside; 0., I 8, 200, 211, 244;
n 90, 119, 188, 181. Heaviside-EUipBoYd II 91, 165, 201
(§ 22), 875. Hell^keit E 852.
Helmholtz, H., 1 47, 119, 199; E 267. Herglotz, G., E 214. Hertz, H., I 1, 211, 254, 286, 288,
400, 486; E 6, 62, 142, 804. Hertz -Heavisidesche Analogie 1 211,
225, 289, 480; E 264, 890. Hertzsche Elektrodynamik bewegter
Körper I 898 (§ 86), 421, 424
(§90), 480 (§91); E 810 (§85),
817 (§ 86), 826 (§ 87), 842. Hertzscher Erreger I 287; E 804. Eertzsche Funktion E 56, 62, 298.
Hertzsche Mechanik I 212; E 142. HertzBcher Resonator E 296. Hertzsche Schwingungen I 286. Hertzscher Vektor E 56, 59, 287, 288. Hertz, P., E 222, 280, 284. Hittorf, W., E 6. Hohlraum, Hohlraumstrahlung
E 859. Hüll, G.P., E 88. Huyghenssches Prinzip E 844, 846. hydrodynamische Ghrundgleichun-
gen I 112 (§ 81). Hysteresis, magnetische 1 868 (§ 79).
Impedanz I 276. Impuls I 82.
— elektromagnetischer E 29. Impulsmoment I 82.
— elektromagnetisches E 85. Impulssätze I 82; E 80, 36. Induktion, magnetische, als Vektor
I 211, 214 (§ 55), 277; E 264.
— in Stromkreisen I 258 (§ 68), 390 (§ 84), 894 (§ 85).
— unipolare I 405 (§ 87). Induktionsgesetz I 287, 390; E 820. Induktionsfluß I 255, 259. Induktionskoeffizient I 259. Induktionslinien I 216, 407. induktive Kuppelung I 294 (§ 68). Influenz, elektrische I 140. innere Kraft eines Elektrons E 140,
209, 214, 236 (§ 26). inneres Produkt I 18 (§ 5). Ionen I 191; E 1, 2, 4. Joulesche Wärme I 185. Isolatoren I 180, 816.
Kabelwellen I 845 (§ 74). Kanalstrahlen E 14. Kapazität des Kugelkondensators I 184, 141.
— des gestreckten Botationsellip- soides I 188.
— der Längeneinheit einer Leitung I 836, 346, 849.
Kathodenstrahlen I 191; E 5 (§ 2), 194 (§ 21).
400
Begister.
Kanfmann, W., I 192; n 7, 11, 139,
198, 218. Eayser, H., n 79. Xetteler 11 267, 274. Kiebitz, F., 11 806. Eirchhoff, G., I 856; 11 862, 364. EirchhoffscheB Gesetz I 828; n 868. kommentatiyes Gesetz I 6, 14, 17. Komponenten einesYektors 1 10 (§4). Kondensator I 184, 141.
— am Ende einer Leitnng I 860 (§ 76).
Kondensatorentladung I 279 (§66);
n 291. Kontaktkraft, elektrische, I 198
(§ 51).
Kontinnitätsbedingong der Elektri- zität n 89.
Kontraktionshypothese 11 876.
Konvektionspotential 11 91, 161.
Konvektionsstrahlnng IE 18.
Konvektionsstrom I 189 (§49), 426; n 814.
Koppelung I 294 (§ 68); 11 808.
Kraft, elektrische, magnetische s. Feldstärke.
— vgl. dissipative, eingeprägte, elektromagnetische, elemen- tare, ponderomotorische, quasi- elastische.
Kraftfluß I 126 (§ 84). Kräftefunktion 11 168, 162, 179. Kraftlinien I 128. Kreisel I 88.
Kugel, gleichförmig mit Quellen erfüllte 1 69.
— homogen polarisierte I 169 (§ 42).
Kurlbaum, F., IT 861.
Ladung eines Ions 11 1, 4.
— spezifische, des Elektrons 11 9, 11, 77, 200, 276, 282.
Lagrangesche Funktion 11 166, 174, 176, 179, 202.
— Gleichungen I 40 (§ 16), 266 (§ 64); n 189.
Langevin, P., 11 8, 288.
Laplacesche Gleichung I 68. Lapjacescher Operator I 68, 89. ■ Latensweg, Latenszeit 11 62. Lebedew, P., n 88. Leiter der Elektrizität 1 180 (§ 86), 816.
— vollkommene oder ideale, 1 829, vgl. auch Spiegel.
Leitfähigkeit I 186; H 286. Leitungselektronen 11 261, 288 (§ 82). Leitungsstrom I 182 (§ 47), 186; II 266, 288 (§ 82).
— in Gasen 11 2, 286.
— in Elektrolyten I 190; 11 1.
— in Metallen I 192; 11 284. Lenard, Ph., 11 6, 7, 18. Lenzsches Gesetz I 240. leuchtender Punkt 11 69 (§ 9), 102
(§ 14), 888. Levi-Civitä n 69. Lichtdruck 11 82, 829 (§ 38), 351,
884. Lichtgeschwindigkeit I 307.
— Bewegung mit 11 286, 335, 851. Lichtzeit in gleichförmig bewegtem
Systeme 11 366 (§ 42). Liänard, A., H 85. lineare Yektorfanktion I 87. Linienintegral eines Vektors I 49,
86, 115. longitudinale Masse n 162, 181
(§ 20), 208. Lorentz, H. A., I 198, 428, 428, 484;
n 28, 26, 59, 72, 119, 262, 268,
271, 274, 277, 286, 828, 329, 842,
862, 872, 875, 879. Lorentzsches Elektron 11 201 (§ 22). Lorentz -Lorenzsches Gesetz 11 272. Loschmidtsche Zahl 11 6. Luminiszenz IE 869, 364. Lummer, 0., 11 7, 860, 861.
Macdonald, H. M., 11 296. magnetische Drehung der Polari- sationsebene n 276 (§ 30).
— Energie I 212, 228, 376, 884.
— Feldstärke I 211, 217 (§ 66); II 266.
J
Register.
401
magnetische Härte oder Remanenz I 213, 872.
— Hysteresis I 368 (§ 79).
— Induktion (als Vektor) I 211, 214 (§ 66), 277; II 264.
magnetischer Strom I 240. Magnetisierung I 227; n 262, 282
(§ 81). Magnetisierongselektronen n 261,
260, 282. Magnetismus, wahrer und freier
I 212, 216, 248, 878 (§ 80). Marconi- Sender I 294; II 806. Masse, elektromagnetische oder
scheinbare n 187, 162, 181
(§ 20), 203. Maßeinheiten, Maßsysteme I 207
(§ 63), 249 (§ 61). Materie, Materialismus I 367. Maxwell, J. GL, I 1, 48, 44, 267,
308, 416; II 38, 874. Mazwellsche Relation I 808; 11 268.
— Spannungen I 418 (§ 89); 11 26. Metalle 1 180, 189, 208, 318, 823, 826.
— Elektronentheorie der I 192, 206 ; U 284, 819, 862.
Michelson, A., n 70, 826, 874. Michelsonscher Versuch 11 878 (§ 48),
890. Mie, G., n 810. Minimalprinzip in der Elektrostatik
I 168 (§ 44). Mittelwertsbildung 11 268. Moment einer Doppelquelle I 68.
— einer Doppelschicht I 76.
— eines Wirbelfadens I 89.
— elektrisches n 67, 266.
— magnetisches n 260. Monozykel I 268. Morley n 826, 874. Morton, W., n 167, 168. Multiplikation I 18 (§ 6>, 16 (§ 6).
Nahewirkungstheorie I 1, 164, 228,
868, 866, 878. Nemst, W., Nemstlampe I 180, 204. Neumann, F. E., I 272. Nichols, E. F., 11 88.
Abraham, Theorie der Blektrizit&t. IL
Ohmsches Gesetz I 188, 186; 11 286,
286. Optik bewegter Körper n 379 (§ 44). Ortszeit 11 870, 877.
Faralleldrähte I 847 (§ 76). Paramagnetismus I 218; n 288. Paschen, F., n 77, 78, 861. physikalisch unendlich kleine
Strecken und Zeiten 11 268, 266. Peltiersches Phänomen I 206. permanente Magnete I 218, 878
(§ 80), 878 (§ 81). Permeabilität, magnetische I 212. Piezoelektrizität I 207. Planck, M., II 78, 268, 271, 276,
862, 864, 861, 862. Plücker, J., 11 6. Poincarä, H., 11 81, .69. polare Vektoren I 22 (§ 8). Polarisation, elektrische 1 164 (§ 41);
H 268. Polarisationselektronen 11 261, 269,
276. Polarisationsstrom 1 198 ; n 268, 812. ponderomotorische Kräfte im elek- trischen Felde I, Abschnitt 2,
Kap. 8 : 168—182.
— zwischen Magneten I 877, 884.
— an Stromelementen 1 409 (§ 88).
— zwischen Stromleitern I 271.
— zwischen Magneten u. Strömen I 886 (§ 82).
— im elektromagnetischen Felde I 421, 422; II 28 (§ 6), 819, 829 (§ 88).
Potential (skalares) I 60, 61, 68, 68.
— eines Dielektrikums I 166.
— elektrodynamisches I 272, 886.
— elektromagnetisches II 89.
— elektrostatisches 1 180 (§ 36).
— eines magnetisierten Körpers I 224 (§ 67).
— retardiertes U 69. VgL auch elektromagnetisches.
— yektorielles,ygl.VektorpotentiaL potentielle Energie I 80, 172, 376;
n 142, 207.
26
402
BegiBter.
Poyntingscher Satz 1 361; II 107, 108. Pringsheim, E., 11 361, 364. Probekörper, elektrischer I 123,
146, 177, 182; 11 22. Probespule I 214, 276. Produkt, skalares (inneres) 1 13 (§ 6).
— yektorielles (äußeres) 1 16 (§ 6).
— dreier Vektoren I 19 (§ 7). Pseudoskalar I 22. Punktladung, Wellenstrahlung einer
n Abschnitt 1, Eap. 2 : 59—136.
— Feld einer gleichförmig t)eweg- ten n 87 (§ 12).
— Feld einer ungleichförmig be- wegten, n 92 (§ 13).
Pyroelektiizität I 207.
quasielastische Kraft 11 68, 267, 386.
quasistationäre Bewegung des Elek- trons n 183, 208 (§ 23).
quasistationärer Strom I Abschnitt 3, Eap. 2: 264 — 803; 11 291.
Quelle I 61.
Quellenfeld I 61 (§ 19), 64 (§ 22).
queUenfreies Feld 1 89 (§ 26), 94 (§ 27).
QueUpunkt I 69 (§ 21).
Radium -Strahlen vgl. a-, /?-, y- Strahlen.
Radius des Elektrons 11 193.
Rayleigh 11 382.
Baum, leerer I 142, 213, 367, 423, 436; n 18.
Beaktionskraft; s. Bückwirkung.
Beflexion des Lichtes durch beweg- ten Spiegel II 343 (§ 40), 364.
Beflexionsyermögen der Metalle I 318 (§ 71).
Belativbewegung I 398, 404, 430,
(§ 91). relativer Energiestrom n 108, 339.
relativer Strahl IE 336 (§ 39). Belaxationszeit I 189, 312. Besonanz, Besonanzkurve I 288
(§ 67). Biecke, E., I 206; U 284, 319. Bitz, W., n 79. Böntgen, W.C, I 426; 11 7.
Böntgenstrahlen IL 7, 16, 81, 102,
120^ 230. Böntgensirom I 426, 428; 11 316. Rotation eines Vektors, rot I 81
s. curl. Botationsellipsoid, leitendes I 136. Rotationsgeschwindigkeit I 24, 47,
81. Rotationskonstante 11 281. rotierendes Bezugssystem 1 34 (§ 13). Rowland, H.A., I 426; II 138. Rubens, H., I 318, 321; II 361. Rückwirkung der Strahlung 11 71,
72, 121 (§ 16), 211, 213, 276. Runge, C, n 77, 78, 79, 199. Rutherford, E., 11 14. Rydberg 11 79.
Sarasin, E., und De la Rive 11 304.
Schirmwirkung der Metalle I 131, 327.
Schraubenlinie als Elektronenbahn II 11, 113.
Schuster, A., n 6.
schwarze Fläche 11 32, 330.
schwarzer Körper 11.866.
schwarze Strahlung s. weißes Licht.
Schwarzschild, K., 11 97, 98.
Schwebungen I 300, 11 308.
Schwingungen, elektrische, in Leiter- kreisen I 279 (§ 66), 288 (§ 67), 294 (§ 68); II 286 (§ 33), 297 (§ 84).
Schwingungsgleichung eines Dipols II 68, 72, 269.
Searle , G. F. C, n 168, 181.
Selbstinduktion I 260, 263. — der Längeneinheit einer Leitung I 338, 346, 349.
Seilmeier II 267.
Sender, Sendedraht I 293, 296, 303; n 296, 297 (§ 34).
Siertsema, L.H., H 282.
Simon, S., 11 11.
Skalar I 4, 23.
skalares Potential, Produkt s. Poten- tial, Produkt.
Slaby s. Braun.
BegiBter.
403
Sommerfeld, A., II 120, 222, 236.
24S, 244, 309. Spaminng bei Drahtwellen I 836. Spamiimgen, Mazwellsche I 418
(§ 89); n 26. Spektrallinien 11 67, 70, 77, 79, 214,
869, 864. Spiegel, vollkommener oder idealer
I 828, 880; II 880.
— bewegter, IE 888, 886, 848 (§ 40). Stabilität des Gleichgewichts I 30
(§ 11).
— der Bewegong des Elektrons n 172.
Starke, H., n 200. starrer Körper I 28 (§ 9). Stef an-Boltzmannsches Gesetz 11 368. Stokes, G. G., H 16, 102, 842. Stokesscher Satz I 82 (§ 26). Stoney II 8.
Strahl, absoluter I 811, 361, 867; n 864.
— relativer 11 886 (§ 89). Strahlung, absolute, I 811; 11 888.
— relative II 388.
— linearer Leiter II 286 (§ 88).
— natürliche n 864.
— einer Punktladxmg n 66, 111.
— eines Sendedrahtes II 297 (§ 34). Strahlungen, Klassifikation der n 12
(§8). Strahlungsdruck s. Lichtdruck.
Strahlungsformel, Plancksche n 361. Strahlungsgesetz, thermodynami-
sches II 867. Strom, elektrischer I Abschnitt 2,
Kap. 4: 182—210.
— magnetischer I 240. Subtraktion von Vektoren I 6 (§ 2). Susceptibilität, magnetische I 227.
Telegraphengleichung I 318. Telegraphie, drahtlose I 298, 296,
308; n286 (§ 83), 297 (§84). Temperatur der Strahlung n 361
(§ 41). Temperaturstrahlung, reine 11 869,
863.
Tensor, Tensortripel I 89. Teslatransformater I 294 (§ 68). thermodynamisches Strahlungs*
gesetz n 867. Thermoelektrizität I 204. Thomson, J. J., I 208; 11 37, 121,
137, 230. Thomson, W., I 140, 168, 206. Thomsonsche Formel I 288, 364. Townsend, J. S., 11 3, 6. Trägheitsmomente I 86 (§ 14). transversale Masse 11 161^, 181 (§ 20),
208.
— Wellen I 308, 832. Triplet, Zeemansches n 78.
Überlichtgeschwindigkeit II 246 (§ 27).
ündulationshypothese d. Kathoden- strahlen n 6.
unipolare Induktion I 406 (§ 87).
unstetige Beweg^ung des Elektrons n 222 (§ 26).
ünstetigkeitsflächen in Yekter^ feldem I 70 (§ 28), 94 (§ 27).
Tekteren I Abschnitt 1, Kap. 1: 4—43. Vektorfelder I Abschnitt 1, Kap. 2 :
43—122. Vektorfunktion, lineare I 87, 46
(§ 17). Vektorpotential I 90, 96.
— elektromagnetisches 11 89, 290.
— magnetisches .1 217, 220, 222, 264 (§ 62).
— magnetisierter Körper I 229
(§ 68). Vektorprodukt, vektorielles Produkt
1 16 (§ 6). Verschiebung, elektrische 1 141 (§ 88). Verschiebungsgesetz n 367, 868. Verschiebungsstrom I 186 (§ 48);
n266. Verstärkungsgesetz n 367. Vertauschungsgesetz 11 230. virtueUe Arbeit I 27 (§ 10). Voigt, W., n 277, 282, 288. Volterra, V., 11 69.
404
I; n26t. walirer Ifa^i^iietuiiEiifl I SIS, 816.
— Strom 1 188. Warbing, E., I 371.
weißes Lieht n 368, 360, 364, 366. Welleii, dekttomafflietiicJie I Ab-
•dmitt 3, Kap. 3: 303<-366. Wellenstnlilaiig n 13. Welleiizoiie n 64, 101, »7, 300. Weltbüd, elektromagiietifelies 1 873,
368; n 136 (§ 16), 808, 387. Widentaad 1 183, 186, 876. Wiechert, E., n 7, 18, 16, 86, 108. Wien, M., I 896.
— W., n 368, 360. Wilson, H. A., n 3, 388. Wind, C. H., 11 16, 120. Wirbel, Wirbelsförke 1 80, 88. Vgl.
anch corL
; WizbelfiiaeB, WirbelHnie I 89, 103 i (5 89), 801.
I WirbeUeld I 79, 89 (§ 86). wiibdfieiesFcldl 48 (§18X 64(§88), 70 (§ 83). ' WirbebafcB 1 116 (§ 38).
I
I
X-Strahlen s. Röntgenstrahlen.
Zeeman-Effekt n 16, 73 (§ 10).
— anomaler 11 78.
— inverser n 877. Zeitkonstante I 876.
Zerl^rnng derFlnssigkeitsbewegnng 147.
— eines Vektorfeldes I 98 (§ 88). Zyklische Bewegung, Systeme 1866
(§W).
r
Berichtigungen zu Band I.
S. 9, Z. 18 y. u. Hes: ^ . (^V statt ^ • ^.
de \dt/ da dt
S. 19, Z. 10 V. 0. lies: «li + aji + ag! statt «li + fti + yil
S. 72, Z. 16 V. 0. nnd S. 73, Z. 6 v. o. lies:
/dflld^ ^f) statt /dflldtp. ^7 I7ä7"''ä7) y I7ä7+^ä7
S. 111, Z. 2 y. 0. lies: Arbeit statt Kraft.
S. 164, Z. 9 V. 11. lies: —^{tp — <Po) statt —^fp — %.
S. 178, Z. 2 y. u. lies: den statt der.
S. 229, Z. 12 y. o. lies: magnetisierten statt magnetisclieii.
S. 269, Gl. (188a) lies: -A,j; statt -L^^J.
c c
S. 259, Gl. (188 d) lies: -i^J, statt -L^^J.
c c \
S. 261, Z. 4 y. u. lies: J^ statt «7*.
S. 261, Z. 1 y. n. lies: 7, statt «7.
S. 277, Z. 2 y. o. lies: dt statt d/l
S. 288, Z. 7 y. 0. lies: der Energieinhalt statt die Energieeinheit.
S. 297, Z. 14 y. o. lies: (ri>-r,*)» statt (ri*-rj)«.
S. 821, Gl. (209 f) lies: -^a statt a.
S. 842, Gl. (217 a) Hes: -J^ statt J^-
S. 868, Gl. (226) lies: i^' + y =-| -f m«.
S. 403, Z. 4 y. 0. lies: (242 e) statt (242c).
S. 438, Z. 10 y. o., Formel q lies: curlcnrltt statt curltt.
Berichtigungen zu Band IL S. 117, Z. 2 y. 0. ist 2 als Faktor beizufügen. S. 163, Z. 3 y. u. Hes: « = - jdv^t^, -||1.
S. 164, Z. 40 y. o. Ues: -[H^©]-^ statt [»0®] + ^-
S. 167, Z. 8 y. u. lies : (I) statt (II). S. 272, Z. 13 y. n. lies: X statt r.
Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 26'
Dmck von B. Q-. Teubner in Bregden.
Pi
Verlag von S. G. Teubner in Leipzig.
[: i'öppl, Dr. A«9 Professor in München, Vorlesungen über technische
! Mechanik. 4Bände. gr. 8. InLeinw. geb. I. Einführung in die
I Mechanik. 8. Aufl. Mit 103 Figuren im Text. [XVI u. 428 S.] li*Ö5.'
n.JKlO.— IL Graphische Statik. 2. Aufl. Mit 176 Figuren im Text.
E:ilu. 471 S.] 1903. n. JL 10.— III. Festigkeitslehre. 2.Atifl. it. 79 Figuren im Text. [XVIII u. 612 S.] 1900. n. JL 12.— ! IV. Dynfrmik. 2. Aufl. Mit «9 Figuren im Text. [XV u. 506 S.l
\ 1901. n. .^ 12 —
l)ie Geometrie der Wirbelfelder. In Anlehnung an da^)
I Buch des Verfassers über die Maxwellsche Theorie der Elektrizität
[ uüd zu dessen Ergänzung. [X u. 108 S.] gr. 8. 1897. geh. n. o^ 3 . 60,
F in Leinw. geb. n. ./^ 4.40.
\ ' Q-ans^ Dr. ^ohard^ Privatdozent an der Universität Tübingen, Ein-
I ^ führung in die Vektoranalysis. . Mit Anwendungen auf die.
'i mathematische Physik. Mit 31 Figuren im Texi fX u. 98 S.'J
|} gr. 8. 1906. geb. n. ^iC 2.80.
Ctleiohen. Dr. A.^ Oberlehrer in Berlin, Lehrbuch der geometrischen Optik, Mit 251 Figuren im Text [XIV u. 611 §.] gr. 8. 1902., geb. n. JC 20,—
QraetB. Dr. L., Professor in München, Das Licht und die Farben. Secns Vorlesungen, gehalten im Volkshochschulverein München. 2. Auflage. Mit 116 Abbildungen. [VI u. 163 S.] 8. 1900. geh. JC l. — , geb. n. JC 1.25.
Jahnkey Dr. Bugen^ Professor an der Bergakademie zu Berlin, Vor- lesungen über die Vektorenrechnung mit Anwendungen avf Geometrie, Mechanik und mathematische Physik. Mit 32 Figuren im Text. [XII u. 236 S.] gr. 8. 1906. g«b. UK 6.60.
Janusohke^ Hans^ k. k. Direktor der Staats-Oberrealschule in Teschen, das Prinzip der Erhaltung der Energie und seine Anwen- dung in der Naturlehre. Ein Hilfsbuch für den höheren Unter- richt. Mit 96 Figuren im Text. [X u. 456 S.] gr. 8. 1897. In Leinw. geb. n. </Äl 12. —
Kirohlioffy Gustav^ Vorlesungen über mathematische Physik. 4 Bde. Mit Figuren im Text. gr. 8. geh. n. JC 39. — , in Leinw. geb. n. JC 47. — Einzeln: I. Bd. Mechanik. 4. Aufl., von W. Wien. [X u. 464 S.] 1897. geh. n. JC 13. — , in Leinw. geb. n. o€ 15. — II. Bd. Optik, hrsg. von K. Hensel. Mit dem Bildnis Kirchhoffs. [VIII u. 272 S.] 1891. geb. n. .^ 10.—, in Leinw. geb. n. JC 12. — in. Bd. Theorie der Elektrizität und des Mag- netismus, hrsg. von M. Planck. [X u. 228 S.] 1891. geh. n. JC 8. — , in Leinw. geb. n. o€ 10. — IV. Bd. Theorie der Wärme, hrsg. von Max Planck. [X u. 210 S.] 1894. geh. p. JC 8. — , in Leinw. geb. n. JC 10. —
Kohlrauschy Geh. Oberretrierungsrat Dr. Friedrich, Professor in Marburg, Lehrbuch der praktischen Physik. 10. verm. Aufl. des Leit- fadens der praktischen Physik. Mit zahlreichen Figuren im Text. [XXVIII u. 656 S.] gr. 8. 1906. Biegsam in Leinw. geb. n. JC 9. —
- — ' Kleiner Leitfaden der praktischen Physik. Mit zahlr.
Fig. im Text. [XIX u. 260 S.] gr. 8. 1900. In Leinw. geb. n. UK 4 . —
und Dr. L. Holbom^ Das Leitvermögen der Elektro-
lyte, insbesondere der Lösungen. Methoden, Resultate und chemische Anwendungen Mit Figuren im Text u. 1 Tafel. [XVI u. 211 S.] gr. 8. 1898. In Leinw. geb. n. .>*: 6.—
Koendgeberger, G^^mrat Dr. Leo, Professor in Heidelberg, Die PrincipienderMechanik. Mathem. Untersuchungen. [XIIu. 228S.] gr. 8. 1901. In Leinw. geb. n. JC 9. —
Iiamby H*^ Professor an der üniTersit^t London ,Lehrbuchdei:AkuBtik.
gt. 8. [IfirsQbeint im Frtthjahx 1906.]
LorentB^ H. A,, ProfesBOr an der Universität Leiden, Wissenschaft- liche Abhandinngen über theoretische Physik. In 2 Bänden.
I. Band. [Vnclieint im Januar 1006.] .
Iiove, A. B. H^ Professof in Oxford, Mathematische Theorie der Elastizität. Deutsche Ausgabe von Dr. A. Timpe in Göttingen.
gr. 8. 1905. [Unter der Prease]
Meyerhoffer, Dr. W., Professor an der Universität Berlin, Gleich- gewicht der Stexeomeren. gr. 8. 1905. [U&ter der Freue.]
Mie, Dr. Q.. Professor a. d. Univ. Greifswald, Moleküle — Atom« —7 Weltäther. Mit 27 Fig. im Text. [IVu.lSSS.] 8. 1904. geh.^1.— , geb. JC 1.25.
MuflÜy Dr. A., Professor an der k. k. Deutschen Technischen Hochschule in Brunn, Bau der Dampfturbinen. Mit zahlreichen Abbildungen im Text. [VI u. 233 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. JC S.—
Grundlagen der Theorie und des Baues der Wärme-
^jaftnlaschinen. Zugleich autorisierte, erweiterte deutsche Aus- gabe des Werkes The steam-engine and other heat-engines von ISwingy J. A., Prof. an der Universität in Cambridge. Mit 802 Figuren im Text. [X u. 794 S.] gr. »i 1902. In Leinw. geb. n. JC 20.—
Mn^iiTTiftiiTi y Dr. Franz, Professor in Königsberg, Vorlesungen^ über mathematische Physik, geh alten an der Universität Königsberg. Herausgegeben von seinen Schülern in zwanglosen Heften. 8 Hefte: L Magnetismus. [VIIIu. 116S.J 1881. n.*/Ä:3.60. H. Theoretische Physik. [X u. 291 S.] 1883. n.JfcS.— IE. Elektrische Ströme. [X u.Sy088.] 1884. n.JCQ.60. IV.Optik. [VHIu.SlOS.] 1885. n. JK9.60. V: filastiaität. ^m u. 874 S.] 1885. n. JC 11.60. VI PotentiaL [XVI u. 364 S.] , 1887. • n. Mn%— VE. Kapillarität. [X u. 284 S.] 1894. n. JK 8.— VIIL Heft, [in Vorbereitong.]
_i_ Gesammelte Werjte. Herausgegeben von Carl Neumann.
8 Bände, gr. 4. geh. II: Band. [Unter der Fresse.]
Pfeiffer, Dr. B., Professor in München, Physikalisches Praktikum für Anfänger. Dargesiellt in 25 Arbeiten. Mit 47 Abbildungen im Text. [Vm u. 150 S.] gr. 8. 1903. geb. n. c^ 3.60.
Pl^ck, Dr. Max, Professor in Berlin, Das Prinzip der Erhaltungder Energie. Von der philosophischen Fakultät Göttingen preisgekrönt. [Xin u. 247 S[ gr. 8. 1887. geh. n. J^ 6.—
Flüoker. Julius. G;esammelte wissenschaftliche Abhandlungen. Im Auftrag der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen herausgegeben von A. Schoen flies und Fr. Po ekel s. In 2 Bänden. I. Band. * Mathematische Abhandlungen, herausgegeben ?on A. Schoen flies. Mit dem Bildnis Plückers und 73 Figurei im Text. [XXXV u. 620 S.l gr. 8. 1895. n. JC. 20.— II.'Bänd. Physikalische Abhandlungen, herausgegeben von Fr. Po^kels. Mit 78 Figuren im Text und a lithogr. Tafeln. [XVHI vi. 834 S.] gr. 8. 1896. geh. n. JK 30.—
Pockelsj Dr. Friedrich, Professor an d. Universität Heidelberg, Lehr- buch der Kristalloptik. Mit zahlreichen Textabbildungen, gr. 8.
[Erscheiut im Herbst 1905.3
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