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Botaüon starrer Körper andYerwandtes : P. IStSckel in Hannover. n. Teil. Inhaltaverzeichnis von Band IV, Teil II. C. HeelmBifc der deformlorter^ii KBrper. . I. Analytisch-geometrische HilfsmitteL *14. Geometr. Grundbegriffe: H. Abraham in Göttingen. *15. *1S. II. Hydrodynamik. Physikalische Grundlegung: A» B. H. Iiore in Oxford. Xheoxetisohe Aasfahrungen: A. E. H. Lore in Oxford. ftt$* Bishe [121 S.] 1901. n.JCSAO. [156 S.] 1902. n.JC4: 60. [156 S.] 1903. n.JLi.60. Teil n Heft 2 (17. 18.). Teü I Heft 1 (1) - I - 2(2) — I — 8(3) *17. Aerodynamik- S. Flaiter'walder in ' München. *18. Ballisük : C. Craax in Berlin. 19. Unstetige Bewegungen in kontinnier- . liehen Medien : 9. Zeniplea in Budapest- 20. Hydraulik (Strömen von Wasser in Bohren U.Kanälen): Ph. Forchhelmer in Graz. 21. Theorie der hydraulischen Motoren n. Pumpen: M. 4iribler in Dresden. in. Elastizität und Festigkeits- lehre. 22. Theoretische Behandlung der statischen Probleme : 0. Tedone in Genua. 23. Sehwingungen, insbesondere Akustik: H. Lamb in Manchester. 24. Die Statik der technischen Konstruk-, tionen : L. Pravdtl in Göttingen und N. N. 25. Theorie der auf elastischer Wirkung beruhenden Mefiapparate: Ph. Fart- wangler in Bonn. 26. Physikal. Grundlagen der £lattizit&ts- und Festigkeitslehre: A. Sonflierfeld in Aachen. D. ■eohaalk ier aus sehr zahlreichen diskreten Teilen bestehenden Systeme. 27. Das Eingreifen der Wahrscheinlich- keitsrechnung: L. Boltsmann in Wien. 28. Schiffsbewegung: A. Krileff in Peters- burg. r^'Orschien; TeU I 2. Hälfte Heft 1 (7—9). [152 S.] 1004 n. J^4.40. — II Heft 1 (U— 16)[147S.] 1901. n. JK8.80. [129 S.] 1908. u. JC 3.80. WüUixer, Geheimer Regierungsrat Dr. Adolph , Professor der Experi- mentalphysik an der Königl. Technischen Hochschule zu Aachen, Lehrbuch der Experimentalphysik. In 4 Bänden. 5. ver- besserte Aufl. Mit 1092 in den Text gedr. Abb. u. Fig. u. 4 litho- giaphierten Tafeln, gr. 8. 1895/99. Sinzeln: I. Band. Allgemeine Phjrsik und Akustik. Mit 821 i. d. Text gedr. Abb. u. Fig. [X u. 1000 S.] 1895. n. JC 12.—, In Hfsbd. JC U.— Die Lehre von der Wärme. Mit ISl i. d. Text gedr. Abb. n. Fig. [XI u. 93(5 S.] 1896. n. JC 12.—, ia Hfzbd. JC U.— Die Lehre rom Magnetismus und von der Elektriaität mit einer Einleitung: Orundzüge der Lehre vom Potential. Mit 841 i. d. Text gedr. Abb. u. Fig. [XV u, 1415 S.] 18D7. n. *« IS.—, in Hfzbd. »^ 20.-> Die Lehre von der Strahlung. Mit 29!) i. d. Text gedr. Abb. u. Fig. u. 4 lithogr. Taf. [XII u. 1042 S.] 1899. n. JCH. -, in Hfzbd. JC16.— Bei gleichseitigem B^ing aller 4 Bände liefert die Yerlagshandlnng das Werk m dem erra&filgten Preise tob JC 28.— für das geheftete, ^84.— ffir dAS gebundene Exemplar. — Im Umtaaoch gegen frGhere Auflagen bei direkter EinsenduBg der Bande geheftet für JC 20.— IL in. — IV. Abraham^ Dr. M.^ Privatdozent in Göttingen und Dr. A. Föppl, Professor in München, Theorie der Elektrizität. I. Band: Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität. Mit einem einleitenden Abschnitte über das Rechnen mit Yektorgrößen in der Physik. Von Dr. A. Föppl. 2., umgearb. Aufl. von Dr. M. Abraham. Mit 11 Figuren im Text. [XVIII u. 443 S.] gr. 8. 1904, geb. n..^ 12.— II. Band: Elektromagnetische Theorie der Strahlung. Von Dr. M. Abraham. Mit ö Figuren im Text. [X u. 405 S.j gr. 8, 1906. geb. n. J^ 10.— 1 Auerbaoii. l)r. S*elix, t^ofessor an der Universität Jena, die Grund* begriffe der modernen Naturlehre. Mit 79 Figuren im Text, [n u. 156 S.] 8. 1902. geb. n. .;«; 1 . 25. Bdmflteiii. Dr. R.^ und Dr. W. Marokwald, Professoren in Berlin, Sichtoare und unsichtbare Strahlen! Mit 82 Abbildungen inv Text. [VI u. 142 S.] 8. geh. JK 1.— , geb. JC 1.25. Brfisoh^ Dr. Wilhelm, Oberlehrer in Lübeck, Leitfaden der Elek- trizität im Bergbau. Mit 411 Abbildungen im Text. [VIU u. 298 S.] gr. 8. 1901. geb. n. UK 6.— BryaOy G. H., Professor in Bangor (Wales), Lehrbuch der Thermo- dynamik, gr. 8. [BTScheint im Frlihjahr 1906.] i BuohercMT^ Dr. A.H.. Privatdozent an der Universität Bonn, Elemente der Vektoranalysis.^Mit Beispielen aus der theoretischen Physik. 2. Auflage. [Vm u. 103 S.] gr. 8. 1905. geb. n. .IC 2.40. Mathematische Einführung in die Elektronen- theorie. Mit 14 Figuren im Text, [il u. 148 S.] gr. 8. 1904. geb. n. JL 3.20. BxurUiardty H.« Professor an der Universität Zürich, Entwicklungen nach oszillierenden Funktionen. 1. Lfg. [176 S.] gr. 8. 1901. geh. n. JCb.%0. 2. Lfg. [S. 177-^400.] gr. 8. 1902. geh. n. J^ 7.60. 3. Lfg. [S. 401—768.] gr. 8. 1908. geh, n. JC 12.40. 4. Lfg. [S. 769 bis 1072]. gr. 8. 1904. geh. n. JL 10.— [Die 5. (Schlad-)Liefenuig erloheint im Horbst 1905.] Daarwin. George Howard^ Prof. an der Universität Cambridge, Ebbe und Flut, sowie verwandte Erscheinungen im Sonnen- systera. Autorisierte deutsche Ausgabe nach der zweiten englischen Auflage von A. Pockels in Braunschweig. Mit einem Einführunjcrs- wort von Professor Dr. Georg von Neumayer, Wirklichem Ge- heimen Admiralitätsrat und Direktor der deutschen Seewarte zu Hamburg, und 43 Illustrationen im Text. [XXII u. 344 S.] gr. 8. 1902. geb. n. J^ 6.80. SPestsohrift Adolph Wüllner gewidmet zum siebBigsten Gheburts- tage 18. Juni 1905 von der Königl. Technischen Hochschule zu Aachen, ihren früheren und jetzigen Mitgliedern. Mit dem Bildnis A. Wüllners in Heliogravüre, 8 Tafeln und 91 Figuren im Text. [Vm u. 264 S.] gr. 8. 1905. geh. n. M.%.—, ^eb. n. JC.^.— Fischer^ Dr. Eaxl T., Privatdozent an der Eönigl. Technischen Hoch- schule zu München, Neuere Versuche zur Mechanik der festen und flüssigen Körper (mit einem kurzen Anhange über das sog. „absolute Maßsystem^^), ein Beitrag zur Methodik des physikalischen Unterrichts. [68 8.] gr. 8. 1902. kart n. UK 2.— Der naturwissenschaftliche Unterricht in England, insbesondere in Physik und Chemie. Mit einer Obersicht der eng- lischen Unterrichtsliteratur zur Physik und Chemie und 18 Ab- bildungen im Text und auf 3 Tafebi. [VHI u. 94 S.] gr. 8. 1902. In Leinw. geb. n. JC 3.60. Fleming, J. A., Professor der Elektrotechnik am University College zu London, Elektrische Wellen-Telegraphie. 4 Vorlesungen. Autorisierte deutsche Ausgabe von Dr. E. Aschkinafi, Privatdozent an der Universität Berlin. Mit 53 Abbildungen, gr. 8. 1905. [Unter der PresRe] [FortsetKung am Ende des Buches.] i r THEORIE DER ELEKTRIZITÄT. ZWEITER BAND: ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DER STRAHLUNG. von *• r * 1 kr 1-- ■• 1 •t - 1 Db. M. ABRAHAM. > u t m LEIPZIG, :'■]' DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER f 1905. 0 ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DER STRAHLUNG. VON Db. M. ABRAHAM. MIT 5 FIGUREN IM TEXT. LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. Gt. TEUBNER 1905. rl ^ ~i '\.--^.S •/ /■ ?• ^\«- ALLE BECHTB, EINSCHLIBSZLICH DES ÜBEBSETZÜNGSREOHTS, VOBBBHALTEN. Vorwort zum zweiten Band. Die Mazwellsche Theorie des elektromagnetischen Feldes, in welche der erste Band dieses Werkes einführt, bildet gewisser- maßen das erste Stockwerk der modernen Theorie der Elektrizität. Eamn hatten die Physiker sich hier eingerichtet, als eine Fülle neuer Erscheinungen auf sie einstürmte und eine WeiterfOhrung des Baues erheischte. Das zweite Stockwerk des Gebäudes der Elektrizitätslehre, die Elektronentheorie, nimmt diese meist als elektromagnetische Strahlung sich kundgebenden Erscheinungen auf. Auf Maxwellschen Vorstellungen bauend, betrachtet die Elektronen- theorie den Eaum als ein physikalisches Eontinuum, welches die elektromagnetischen Wirkungen überträgt. Ausgangsstellen und AngrifiBsstellen dieser Wirkungen liegen in der Elektrizität. Diese soll aus unteilbaren Elementarquanten, „Elektronen'^ genannt, zusammengesetzt sein. Jeder elektrische Strom wird als Eonyektions- strom bewegter Elektronen aufgefaßt. Die Eathodenstrahlen werden gedeutet als ein solcher Konvektionsstrom negativer Elektronen, die mit großer Geschwindigkeit einander parallel sich bewegen; dieser „Konvektionsstrahlung" tritt die „Wellenstrahlung" gegen- über, die durch Schwingungen eben dieser Teilchen erregt sein soll. Der Theorie beider Arten elektromagnetischer Strahlung ist der vorliegende zweite Band der „Theorie der Elektrizität" gewidmet. Der erste Abschnitt beginnt mit der Darlegung der physi- kalischen und mathematischen Grundlagen der Elektronentheorie. Es werden die Tatsachen aufgeführt, welche die Annahme einer atomistischen Struktur der Elektrizität nahe legen. Aus den Grund* gleichungen der Elektronentheorie wird der Begriff der „elektro- magnetischen Bewegungsgröße" abgeleitet, welcher für die elektro- \ 5' r VI Vorwort. magnetische Mechanik überhaupt, sowohl für die Mechanik der Elek- tronen, wie auch für die Theorie des Strahlungsdruckes, von fundamentaler Bedeutung ist. Es werden femer allgemeine Lösungen der Grundgleichungen gegeben, mit Hilfe der „elektromagnetischen Potentiale ^\ die als Verallgemeinerungen des skalaren Potentiales elektrostatischer Felder, bzw. des Vektorpotentiales stationärer magne- tischer Felder anzusehen sind; jene Lösungen, auf welche wir weiterhin oft zurückgreifen, können auch durch einen einzigen Vektor zusammengefaßt werden, der von uns als „Hertzscher Vektor ^^ be- zeichnet wird. Sodann folgt im zweiten Kapitel die Theorie einer beliebig bewegten Punktladung. Das schwingende negative Elektron büdet das einfachste, durch das Zeemansche Phänomen in vielen Fällen als naturgetreu bestätigte Modell einer Lichtquelle; was die ent- sandte Wellenstrahlung anbelangt, kann das Elektron in den meisten Fällen durch eine Punktladung ersetzt werden. So sind denn die Entwickelungen dieses Kapitels auch für die Dynamik des Elektrons von Literesse ^ um so mehr, als sie unabhängig von jeder Hypothese über die Gestalt des Elektrons sind. Um die Mechanik des Elektrons vollständig zu entwickeln, be- darf es allerdings einer besonderen Annahme über dessen Form. Ich habe an der Annahme eines starren kugelförmigen Elektrons festgehalten, die ich der rein elektromagnetischen Theorie der Kathoden- und Radiumstrahlen zugrunde gelegt hatte. Mir scheint nichts vorzuliegen, was dazu nötigen könnte, diese Gmndhypothese fallen zu lassen. Lnmerhin habe ich auch den abweichenden Auf- fassungen von H. A. Lorentz in diesem Buche Rechnung getragen. Die wertvollen aus dem Bereiche der beobachtbaren quasistatio- nären Bewegung herausführenden Untersuchungen von P. Hertz und A. Sonmierfeld, welche gleichfalls auf der Voraussetzung des starren kugelförmigen Elektrons fußen ^ sind in die hier gegebene Darstellung der Dynamik des Elektrons eingearbeitet worden. Der zweite Abschnitt beschäftigt sich mit den elektromagne- tischen Vorgängen in wägbaren Körpern. Die Hauptgleichungen der Elektrodynamik, welche die beobachtbaren elektromagnetischen Vektoren miteinander verknüpfen, ergeben sich nach H. A. Lorentz Vorwort. VII dnrch Mittelwertsbildung ans den für die Felder der einzelnen Elektronen geltenden Gleichungen. Für ruhende Körper erhält man auf diese Weise die Hauptgleichungen der Maxwellschen Theorie; f&r bewegte Körper aber folgen die Lorentzschen Glei- chungen, welche von denen der Hertzschen Elektrodynamik bewegter Körper verschieden sind, und mit der Erfahrung in besserer Über- einstimmung sich befinden. Daß die elektromagnetischen und die optischen Eigenschaften dielektrischer Körper durch die Anwesenheit Ton „Polarisationselektronen^' beMedigend erklärt werden, wird insbesondere ftlr die magnetische Drehung der Polarisations- ebene und die Dispersion der Körper gezeigt. Die metallische Leitung wird mit P. Drude auf frei bewegliche „Leitungs- elektronen" zurückgeführt, die in regelloser Wärmebewegung be- griffen sind. Ln zweiten Abschnitt sind auch einige Probleme behandelt worden, welche mit der atomistischen Hypothese nur lose zusammen- hängen. Man findet hier Sätze abgeleitet, welche die Strahlung bestünmen, die von hochfrequenten Strömen in linearen Leitern entsandt wird; insbesondere die Anwendung dieser Sätze auf Sende- antennen ist f&r die drahtlose Telegraphie von Interesse. Ich bin allerdings auf diese Probleme nicht so ausführlich eingegangen, wie ich ursprünglich beabsichtigte, sondern habe mich mit der Darlegung desjenigen begnügt, was zur Beurteilung der bei der drahtlosen Telegraphie stattfindenden Vorgänge unentbehrlich ist. Auf den Gesetzen der Lichtfortpflanzung im Eaume und auf den fundamentalen Sätzen der elektromagnetischen Mechanik beruht die gegebene Lösung des Problems der Eeflexion des Lichtes durch einen bewegten Spiegel. Diese Lösung ist aufs engste verknüpft mit dem thermodynamischen Gesetze der strahlenden Wärme, das Ton so hervorragender praktischer und theoretischer Bedeutung geworden ist. Aus der experimentellen Bestätigung dieses Gesetzes dürfen wir schließen, daß die Prinzipien der elektro- magnetischen Mechanik, auf welche unser Beweis sich stützt, der Wirklichkeit entsprechen. Schwierigkeiten erwachsen der Elektronentheorie durch das negative Ergebnis aller bisherigen Versuche, die auf eine Ent- y Vm Vorwort. decknng des Einflusses der Erdbewegung auf das Licht irdischer Lichtquellen hinzielen. Zu diesen Fragen nehmen wir in den letzten Paragraphen Stellung. Herrn Dr. P. Hertz bin ich für seine Mitarbeit an dem Re- gister, welches beide Bände der „Theorie der Elektrizität^^ umfaßt, zu Dank verpflichtet, und nicht minder Herrn Dr. G. Bfimelin for seine Hilfe beim Lesen der Korrekturen des zweiten Bandes. Die Theorie der Elektrizität scheint jetzt in das Stadium einer ruhigeren Entwickelung eingetreten zu sein. Es scheint der Zeitpunkt gekonmien, wo man Halt machen und auf das Erreichte zuruckschauen darfl Einem solchen Eückblick ist das vorliegende Werk gewidmet. Es will über die Grundlagen der Theorie Klar- heit verbreiten und so den weiteren Fortschritt vorbereiten. Mag es dies Ziel nicht verfehlen! Wiesbaden, im März 1905. M. Abraham. MaltsYerzeiclmis. Erster Abschnitt. Das Feld und die Bewegoxig der einaelnen Elektronen. Erstes EapiteL Die physikaligelieii und mathematiselieii Onrndlagen der Elektronentheorie. g^i^ § 1. Das elektrische ElementarqnantnQi 1 § 2. Die Eathodenstrahlen 6 § 3. Klassifikation der Strahlungen 12 § 4. Die Grondgleichnngen der Elektronentheorie 17 § 5. Die elektromagnetische Bewegongsgröße 23 § 6. Die elektromagnetischen Potentiale 87 § 7. Integration einer Hüfsgleichnng 42 § 8. Die Fortpflanzong elektromagnetischer Störungen .... 47 Zweites Kapitel. Die Wellenstralilniig einer bewegten Pnnküadnng. § 9. Elektromagnetisches Modell einer Lichtquelle 59 § 10. Der Zeeman-Effekt 73 §11. Die elektromagnetischen Potentiale einer bewegten Punkt- ladung 80 § 12. Das Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung .... 87 § 13. Das Feld einer ungleichförmig bewegten Punktladung ... 92 § 14. Theorie des bewegten leuchtenden Punktes 102 § 16. Die Bückwirkung der Strahlung auf ein bewegtes Elektron . 121 Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. §16. Die Grundhypothesen der Dynamik des Elektrons und das elektromagnetische Weltbild 136 §17. Die Bewegungsgleichungen des Elektrons 147 § 18. Gleichförmige Translation elektrischer Ladungen . . . 158 § 19. Bewegungsgröße und Energie des gleichförmig bewegten Elektrons 170 Abraham, Theorie der Elektrizität, ü. a* X Inhaltsverzeichnis. Seite § 20. Die elektromagnetische Masse 181 § 21. Die Ablenkbarkeit der Kathodenstrahlen und der /?- Strahlen 194 § 22. Das Lorentzsche Elektron 201 § 23. Der Bereich der quasistationären Bewegung 208 § 24. Das Feld eines beliebig bewegten Elektrons 215 § 25. Unstetige Bewegung des Elektrons 222 § 26. Die innere Kraft eines beliebig bewegten Elektrons .... 236 § 27. Gleichförmige Bewegung mit Überlichtgeschwindigkeit . . 245 Zweiter Abschnitt. Elektromagnetisclie Vorgänge in wägbaren Körpern. Erstes Kapitel. Bullende E5rper« § 28. Ableitung der Hauptgleichungen aus der Elektronentheorie . 250 § 29. Dispersion der elektromagnetischen Wellen 267 § 30. Magnetische Drehung der Polarisationsebene 276 § 31. Magnetisierung 282 § 32. Elektrische Leitung 283 § 33. Das elektromagnetische Feld hochfrequenter Ströme in line- aren Leitern 286 § 34. Die Strahlung von Sendedrähten 297 Zweites Kapitel. Bewegte E5rper« § 35. Die erste Hauptgleichung 310 § 36. Die zweite Hauptgleichung , 317 § 37. Der Versuch von Fizeau 326 § 38. Der Druck der Strahlung auf bewegte Flächen * 329 § 39. Der relative Strahl 336 § 40. Die Reflexion des Lichtes durch einen bewegten Spiegel . . 343 § 41. Die Temperatur' der Strahlung 351 § 42. Die Lichtzeit in einem gleichförmig bewegten System . . . 366 § 43. Der Versuch von Michelson 373 § 44. Die Lorentzsche und die Cohnsche Optik bewegter Körper . 379 Formelzusammenstellung . 392 Register 396 Berichtigungen 405 Erster Abschnitt. Das Feld und die Bewegung der einzelnen Elektronen, Erstes Kapitel. Die physikalischen nnd mathematischen Onmdlagen der Elektronentheorie. § 1. Das elektrische Elementarquaiittun« Wir erwähnten bereits im ersten Bande dieses Werkes (S. 191), daß die bei der Elektrolyse stattfindenden Vorginge die EinftÜirang atomistiscber Vorstellungen in die Elektrizitäts- lehre nahelegen. Den von Faraday entdeckten Gesetzen ge- mäß scheidet ein gegebener Ström in verschiedenen Elektro- lyten chemisch äquivalente und der Stromstärke proportionale Mengen wl^barer Materie an den Elektroden ab. Schreibt man der Materie eine atomistische Eonstitation zu, so kann man nicht umhin, auch die Elektrizität aus unteilbaren positiven nnd negativen Elementarquanten zusammengesetzt zu denken. An jeder Valenz eines elektrolytischen Ions würde ein solches Elementarquantum haften. Die sogenanate Faradaysche Eon- stante — die von einem Gramm Wasserstoff transportierte Elektrizitätsmenge — gibt nach dieser Auffassung den Quoti- enten aus Ladung e und Masse m^ eines Wasserstoffions an. Messen wir e in absoluten elektrostatischen Einheiten, so er- halten wir (1) 1 9660 . 3 . 10i<>-2,90 • 10 14 Wj Diese auf unmittelbarer Messung beruhende Beziehung ver- hnfipft das elektrische Elementarquantum e mit dem Atom- gewichte ms des Wasserstoffes. Abraham, Theorie der Elektrizität, n. 1 2 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Die Annahme Ton Atomen der Elektrizität wird notwendige sobald man die wägbare Materie als atomistisch konstituiert betrachtet. Wenn nun auch die Atomistik in der Physik der Materie als wertvolle Arbeitshypothese sich erwiesen hat, so steht doch mancher Forscher auch heute noch auf dem Stand- punkte, daß für die Materie die Atom- und Molekularhypothese nicht sicher genug begründet sei, um das Lehrgebäude der Chemie und Physik auf ihr aufzubauen. Ein solcher Forscher wird sich durch die Tatsachen der Elektrizitätsleitung in Elektro- lyten nicht gezwungen finden, die reale Existenz eines elek- trischen Elementarquantums zuzugeben. Nun hat aber im letzten Jahrzehnt die atomistische Hypo- these auf dem Gebiete der Elektrizitätslehre eine neue Stütze erhalten durch die Forschungen, die über die Elektrizitäts- leitung der Gase angestellt worden sind. Während die Gase, im Gegensatz zu den Metallen und den Elektrolyten, in ihrem normalen Zustande Nichtleiter oder wenigstens sehr schlechte Leiter sind, kann ihnen durch äußere Einwirkungen — z. B. durch Eathodenstrahlen, durch Röntgenstrahlen oder durch die Strahlung der radioaktiven Körper — eine abnorme Leit- fähigkeit gegeben werden. Diese abnorme Leitfähigkeit fuhrt man darauf zurück, daß durch Einwirkung jener Strahlungen im OtBse elektrisch geladene Teilchen entstehen, welche nun im elektrischen Felde wandern. Diese positiven und negativen Teilchen bezeichnet man, unter Beibehaltung des in der Elektro- lyse gebräuchlichen Wortes, als Ionen. Indessen hat man es bei diesen Gasionen nicht, wie etwa bei einwertigen elektro- lytischen Ionen, mit Verbindungen des elektrischen Elementar- quantums mit Bestandteilen nur eines Moleküles zu tun; es scheinen sich vielmehr in einem Gase dem elektrischen Kerne neutrale Moleküle in wechselnder, von Temperatur und Druck des Gases abhängiger Anzahl anzulagern. Der Mechanismus dieser Anlagerung wird verständlich, wenn man auf Grund der Vorstellungen der kinetischen Gas- theorie die Wechselwirkungen der elektrischen Kerne mit den neutralen Gkismolekülen betrachtet und das unter dem Ein- Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 3 fluß dieser Wechselwirkungen sich herstellende kinetische Gleich- gewicht untersucht. Da ein ausführliches Eingehen auf diese Dinge uns Yon dem eigentlichen Gegenstande dieses Werkes zn weit abführen würde^ so sei der Leser auf die sehr lehr- reiche Abhandlung Ton P. Langevin^) hingewiesen; dieselbe enthält auch eine Übersicht über die Eigenschafben ionisierter Gase, deren Kenntnis man hauptsachlich den Forschungen der Cambridger Schule yerdanki Die Existenz diskreter elektrischer Teilchen in einem Gtwe, welches der Durchstrahlung mit Röntgenstrahlen, mit Kathodenstrahlen oder Badiumstrahlen ausgesetzt war, wird nun durch eine bemerkenswerte Eigenschaft eines solchen Gases bewiesen: Wird ein solches Gas mit Wasserdampf ge- mischt und der letztere, etwa durch plötzliche Expansion, in den Zustand der Übersättigung gebracht, so findet eine Kondensation des Wasserdampfes statt, es bildet sich eine aus kleinen Tröpfchen bestehende Wolke; und zwar findet dieses bei einem Grade der Übersättigung statt, bei dem ohne vor- herige Durchstrahlung des Gases eine Kondensation des Wasser- dampfes nicht erfolgt wäre. Da die Eigenschaft, den Wasser- dampf zu kondensieren, der durch die Durchstrahlung erteilten abnormen Leitfähigkeit parallel geht, so liegt es nahe, den Gas- ionen die Bolle von Kondensationskernen zuzuschreiben. Trifft das zu, so macht die Bildung Ton Wassertröpfchen um die Gkhsionen ab Kerne die Ghusionen der immittelbaren Beobach- tung und der Abzahlung zu^Lnglich. Auf der Beobachtung derartiger Wolken von Wasser- tröpfchen fußen die Bestimmungen der Ladung eiaes Gasions, die von J. S. Townsend*), J. J. Thomson') und H. A. Wilson*) ausgeführt worden sind. Die Masse des einzelnen Tröpfchens 1) P. Langevin. Annales de Chimie et Physique (7). 28. S. 289 bis 384, 483—580. 1903. 2) J. S. Townßend. Phil. Mag. 46, S. 126. 1898. 3) J.J.Thomson. Phü. Mag. 46, S. 628, 1898; 48, S.647, 1899; 5, S. 846, 1903. 4) H. A. Wilson. Phü. Mag. 6, S. 429, 1903. 1* 4 Erster Abschnitt. Das Feld xl die Bewegang der einzelnen Elektronen. kann ans der FaUgeschwindigkeit der Wolke berechnet werden. Nach 6. Ot, Stokes ist die Geschwindigkeit, mit der eine kleine Kngel vom Radius a unter dem Einfluß der Schwerkraft fallt, durch die Formel gegeben 2 a» wo g die Beschleunigung der Schwere, ^ den Reibungs- koeffizienten des Gases vorstellt. Aus dieser Gleichung ist der Radius und somit die Masse m der Tröpfchen zu bestimmen. Die Geschwindigkeit eines jeden Tröpfchens ist proportional der auf dasselbe wirkenden Kraft; wirkt nur die Schwere, so betragt die Kraft mg. Wird aber ein elektrisches Feld (B erregt, so ist der Schwerkraft mg die Kraft ed hinzuzufügen, die das Feld auf das geladene Tröpfchen ausübt. Diese Kraft wirkt, wenn (B vertikal nach unten gerichtet ist, im Sinne der Schwer- kraft oder im entgegengesetzten, je nachdem es sich um die positiven oder um die negativen Tröpfchen handelt. Die Fall- geschwindigkeit wird dadurch verändert, im Verhältnis v' tng±e\i& V mg Durch Beobachtung der Fallgeschwindigkeit, zuerst unter dem Einfluß der Schwerkraft allein, dann unter Mitwirkung eines vertikalen elektrischen Feldes, kann somit die Ladung e des einzelnen Tröpfchens ermittelt werden. Auf diesem Wege fand H. A. Wilson fär e als mittleren Wert 3,1 • 10-i<> elektro- statische Einheiten. Dieses Ergebnis ist in guter Überein- stimmung mit den letzten Resultaten J. J. Thomsons. Enthalt nun ein Tröpfchen nur ein einziges Ion, so ist durch diese Zahl die Ladung eines Gasions gegeben. A priori wäre es allerdings denkbar, daß einzelne Tröpfchen mehrere Ionen enthielten, doch ist dieses angesichts der gleichen Be- schaffenheit aller Tröpfchen höchst unwahrscheinlich. Es be- trägt hiemach die Ladung eines Gasions rund (2) 6 = 3. 10-1« elektrostatische Einheiten. Erstes EapiteL Die plijs. xi. matlu Grundlagen d. Elektronentheorie. 5 Durch sinnreiche Versuche, die J. S. Townsend^) über die Wanderungsgeschwindigkeit und die Diffusion der Gasionen angestellt hat^ ist femer bewiesen^ daß die Ladung der Gasionen in allen Fallen gleich der Ladung eines einwertigen elektro- lytischen Ions ist. Dieses Ergebnis macht es höchst wahr- scheinlich, daß die elektrische Ladung der Teilchen, deren Existenz jene Kondensationsphänomene enthüllen, mit dem elektrischen Elementarquantum identisch ist. Setzen wir den Zahlwert (2), der nach Townsend gleich- zeitig die Ladung eines Wasserstofiions angibt, in (1) ein, so erhalten wir als Masse eines Wasserstoffatoms: (2a) mj= 10-«* Gramm. Ist N die sogenannte Loschmidtsche Zahl, d. h. die Zahl der Moleküle, die sich bei normaler Temperatur und normalem Druck in dem Kubikzentimeter eines Ghuses befinden, so ist 2mE'N gleich der Dichte des Wasserstoffes (0,8961.10-*). Man erhält demnach für die Loschmidtsche Zahl (2b) JV=4,5.10^^ einen Zahlwert, der mit den besten Bestimmungen aus gas- theoretischen Daten gut übereinstimmt und wohl als die ge- naueste vorliegende Bestimmung dieser für die Molekulartheorie fundamentalen Zahl anzusehen ist. Wir finden also, daß die yerschiedensten Eigenschaften der Materie und der Elektrizität zu denselben Werten der fundamentalen Konstanten der Atomistik führen. Es bestätigen sich in erfreulicher Weise die Grundyorstellungen der atomistischen Hypothese. Wir werden daher in dem vorliegenden zweiten Bande der „Theorie der Elektrizität^^ die Elektrizität als aus kleinsten elektrischen Elementarquanten bestehend annehmen. § 2. Die Eathodenstrahlen« Schickt man den elektrischen Strom durch eine stark evakuierte Glasröhre, so zeigen die Wände der Röhre eine 1) J. S. Townsend. Phil. Trans. 193, S. 129. 1899. 6 Erster AbBchmtt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. eigentOmliche grüne Flnoreszenz. Die experimentelle unter- snchnng dieser Erscheinnng, die zuerst Ton J. Plücker^ W. Hittorf und E. Goldstein unternommen wurde^ hat zu der Erkenntnis geführt^ daß man es hier mit einer Art Ton Strahlen zu tun hat; die Yon der Kathode ausgehen; sie wurden demgemäß Yon dem letztgenannten Forscher als ^^Eathodenstrahlen'^ be- zeichnet. Über die Natur dieser Strahlen wurden zwei yer- schiedene Hypothesen angestellt, die man als ^^Emissions- hypothese^^ und ^^Undulationshypothese^^ unterscheiden kann. Die Emissionshypothese, die hauptsächlich in England, durch W. Grookes und A. Schuster, entwickelt wurde, be- trachtete die Eathodenstrahlen als negativ geladene Gfasmole- küle, die yon der Kathode abgestoßen und in die Bohre hinein geschleudert werden. Manche Tatsachen, insbesondere die magnetische Ablenkbarkeit der Strahlen, fügten sich un- gezwungen dieser Erklärung. In Deutschland yerhielt man sich dieser ErkUming gegenüber dennoch ablehnend; man hielt die Kathodenstrahlen für eine yiel feinere, dem Lichte ähnliche Erscheinung. Diesen Standpunkt vertrat auch Heinrich Hertz, der zuerst fcuid, daß die Kathodenstrahlen durch dünne Metall- blättchen hindurchdringen. Er sah die magnetische Ablenkung der Kathodenstrahlen als einen der magnetischen Drehung der Polarisationsebene des Lichtes analogen Vorgang an und hatte wohl ursprünglich eine XTndulationstheorie im Sinne, welche die Kathodenstrahlen als longitudinale elektromagnetische Wellen deutete; zeigten doch die theoretischen Untersuchungen von Helmholtz, daß die Pemwirkungstheorie der Elektro- dynamik solche longitudinalen Wellen zuließ. Nachdem aber durch Hertz selbst die Maxwellschen Vorstellungen zum Siege geführt waren, blieb für longitudinale Wellen kein Platz mehr. So hat denn die XJndulationstheorie der Kathodenstrahlen nie- mals eine greifbare Gestalt angenommen. . Jene Entdeckung von Heinrich Hertz wurde der Aus- gangspunkt für die rasche Entwickelung, welche die Theorie der Kathodenstrahlen in neuerer Zeit erfahren hat. Auf ihr fußten die Arbeiten von PL Lenard, welcher die Fortpflanzung £rstes Kapitel. Die phjs. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 7 der Eathodenstrahlen außerhalb der EnÜadongsrölire yerfolgte und höchst bemerkenswerte Beziehungen der Absorption der Strahlen zur Dichte der durchstrahlten Substanz feststellte. Die Untersuchungen Lenards wiederum gaben den Anstoß zur Ent- deckung W. G. Bontgens^ daß die Glaswand beim Auftreffen der Kathodenstrahlen eine neue, yon ihm als X-Strahlen be- zeichnete Strahlenart aussendet. Durch die Böntgensche Entdeckung wurde eine Reihe Ton Physikern zur quantitativen Untersuchung der Eathodenstrahlen angeregt Insbesondere sind die Arbeiten Tön E. Wiechert^), W. Kaufinann*), W. Kaufmann xmd KAschkinass*), sowie die- jenigen Yon J. J. Thomson^) und Ph. Lenard^) bemerkenswert. Diese bestätigten die Emissionshypothese insofern, als sie übereinstimmend ergaben, daß die Erscheinungen sich wider- spruchsfrei erklaren lassen, wenn man negativ geladene, trage Teilchen in dem Kathodenstrahle bewegt annimmt. Sie recht- fertigten anderseits die von den Gegnern der Emissionstheorie geltend gemachten Bedenken insofern, als sie fär den Quotienten aus Ladung und träger Masse der Teilchen Zahlwerte ergaben, die den Quotienten e : m^ aus Ladung xmd Masse eines elektro- lytischen Wasserstoffions um das Zweitausend&che übertreffen. Auch ergab sich, daß die Eigenschaften der Kathodenstrahlen von der chemischen Natur des Gases und dem Elektroden- material unabhängig sind und nur von der Potentialdifferenz abhängen, durch die sie auf ihre Geschwindigkeit gebracht sind. In Anbetracht dieser Tatsache wäre die Annahme, daß die Träger der Strahlen Atome der wägbaren Materie sind, etwa Wasserstoffatome, geladen mit 2000 negativen Elementar- qnanten, höchst unwahrscheinlich. Vom atomistischen Stand- 1) E. Wiechert. Sitzüngsber. d. plijs.- Ökonom. Ges. zu Königs- berg i. Pr. Jan. 1897, S. 1. Nachrichten der Göttinger Ges. der Wissensch. 1898, S. 87 n. S. 260. 2) W. Kaufmann. Ann. d. Phys. 61, S. 644. 1897. 3) W. Kaufmann n. E. Aschkinass. Ann. d. Phys. 62, S. 588. 1897. 4) J. J. Thomson. Phil. Mag. 44, S. 293. 1897. 5) Ph. Lenard. Ann. d. Phys. 64, S. 279; 66, S. 604. 1898. g Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. punkte ans ist es eher plausibel, daß die Ladung jedes Strahl^ teilchens ein elektrisches Elementarquantom^ daß aber die trage Masse nur ein Zweitausendstel der Masse des Wasserstoffions ist. Die weitere Entwickelung hat diese letztere, insbesondere yon E. Wiechert und J. J. Thomson ausgesprochene Vermutung mehr xmd mehr bestätigt: Es sind die Ton wägbarer Materie freien Atome der negativen Elektrizität^ die sich im Eathodenstrahle bewegen. Wir wollen mit J. Stoney diese Atome negativer Elektri- zität als ;,Elektronen^^ bezeichnen. Wir schreiben ihnen die Ladung (— e) und die trage Masse m zu und leiten, allein auf Grund dieser Eigenschaften, die an Eathodenstrahlen fest- gestellten Gesetze ab. Die Erörterung der Frage, wieso die Elektronen, wenn sie unbelastet mit wägbarer Materie sich bewegen, überhaupt Trägheit besitzen, weisen wir einem späteren Abschnitte zu. Da die Bewegung des Elektrons im leeren Baume statt" findet, so brauchen wir zwischen magnetischer Liduktion 8 xmd magnetischer Feldstärke $ nicht zu unterscheiden. Auf das bewegte Elektron, von der Ladung (—6), wirkt somit im elektromagnetischen Felde nach Bd. I, Gleichung 24:6 a, S. 412, die Kraft (3) « = -eSf, WO (3a) 5? = « + 7[ö§] die auf die Einheit der Ladung berechnete elektromagnetische Eraft darstellt. Die Bewegungsgleichung des Elektrons lautet daher (4) ^'^--^^' Wir führen zur Abkürzung für den Quotienten (4a) « = — ^ ^ 'cm aus dem elektromagnetisch gemessenen Betrage der Ladung (—\ Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Gnmdlagen d. Elektronentheorie. 9 und der Masse (m) des Elektrons die Bezeichnung ^^spezi- fische Ladnng^^ ein; es wird die Bewegungsgieichong (4b) ^^-Cfi% = -en(B-v[t>§]. Das zweite Glied der rechten Seite der Bewegungsgleichnng, die vom magnetischen Felde herrührende Kraft bzw. Be- Bchleiinigang^ steht stets senkrecht auf dem Geschwindigkeits- yektor H; das Vorhandensein eines äußeren magnetischen Feldes bedingt also niemals eine Arbeitsleitung. Ist insbesondere das änßere elektrische Feld ein elektro- statisches und q> sein Potential; so ist (5) . m . -jj = c . F(|p. Die skalare Multiplikation mit H ergibt 5^(^m.ti«) = «»ti^ = e(ö.r9,) = e-^.5-^, und die Integration nach der Zeit f£lr das Intervall von t^ bis t (5a) _ ^ . n« _ ^ ^H^« „ e (y _ y J Hier steht links der Zuwachs der lebendigen Erafb des Elektrons, rechts die Arbeit, die das elektrostatische Feld in dem betreffenden Zeitintervalle an dem Elektron geleistet hat; letztere ist proportional dem Anstiege des elektrostatischen Potentiales. Bewegt sich etwa das Elektron von der auf dem Potential (p^ gehaltenen Kathode bis zu einem Punkte, dessen Potential be- kannt ist, so bestimmt (5a) die Geschwindigkeit |ll|, wenn die Geschw;indigkeit |llo| gegeben ist, mit der das Elektron die Kathode ver^t. Diese AnÜEmgsgeschwindigkeit ist freilich unbekannt. Man nimmt indessen mit gutem Grunde an, daß diese Anfangsgeschwindigkeit klein ist gegen die Geschwindig- keiten, die es beim Durchlaufen des starken in der Entladungs- röhre herrschenden elektrischen Feldes erhält. Man setzt daher Hq == 0 and findet (6) H'|-l/^(9'-9'o)=l/2ci? (9-9)0). 10 Erster Absclinitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Wir wollen nnn den Fall behandeln ^ wo das Elektron mit der so erhaltenen Geschwindigkeit (6) in einen Baum eintritt, in welchem ein konstantes elektrostatisches Potential herrscht. Ist kein magnetisches Feld vorhanden, so wird es sich gerad- linig mit konstanter Geschwindigkeit weiter bewegen. Treten indessen magnetische Kräfte hinzu, so wird die Bahn sich krümmen. Wir woUen annehmen, daß das magnetische Feld homogen ist, und daß das Elektron in dieses Feld mit einer zu den Kraftlinien senkrechten Geschwindigkeit hineinfliegt. Der BeschleunigungsTektor ist dann nach (4b) (6a) ^ n[pm- Das Elektron bewegt sich, wie die Zerlegung des Be- schleunigungsvektors in eine zti H parallele und eine zu H senkrechte Komponente (I, Gl. 8, S. 9) ergibt, in einer zu $ senkrechten Ebene mit konstanter Geschwindigkeit. Es be- schreibt eine Kreisbahn, deren Radius B durch die Gleichung bestimmt ist ^ = ij-Hi|-|§|. Die Bahnkrümmung (7) -1=«.^ ist demnach um so größer, je starker das magnetische Feld und je kleiner die Geschwindigkeit des Elektrons ist. Ist das homogene magnetische Feld nicht senkrecht zu der ursprünglichen Bewegung des Elektrons gerichtet, so zerlegen wir zweckmäßigerweise den Geschwindigkeitsvektor H in zwei Vektoren, ü^ und ti^, von denen der erste zu $ parallel, der zweite zu $ senkrecht ist. Der erste liefert keinen Beitrag zu dem Vektorprodukte aus ti und §. Projizieren wir die Bewegung einerseits auf eine zu $ parallele Gerade, anderseits auf eine zu $ senkrechte Ebene, so zerfällt (6a) in die beiden Gleichungen 0-) '-sr-'>''-sr--^Ml Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Ghrundlagen d. Elektronentheorie. H Die zu 1^ parallele £ompoiieiite der Geschwindigkeit bleibt konstant. Anf eine zu $ senkrechte Ebene projiziert; stellt sich die Bewegung als Kreisbahn dar^ mit dem reziproken BAdius In einem homogenen magnetischen Felde beschreibt das Elektron demnach eine Schraubenlinie. In dem speziellen Falle^ wo die Bewegung anfangs senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien erfolgte, artet die Bahn in eine Kreisbahn aus. Wir betrachten wieder den letztgenannten Spezialfall und drücken die Geschwindigkeit |ti| auf Grund von (6) durch die durchlaufene Spannungsdifferenz (97 — g)^) aus. Alsdann ergibt Gleichung (7): Die Krümmung des Kathodenstrahles im senkrechten Magnetfelde ist der Wurzel aus der durchlaufenen Spannungsdifferenz umgekehrt proportional. Die Ver- suche Ton W. Kaufmann^) haben dieses Gesetz ergeben und so das Zutreffen der zugrunde gelegten Bewegungsgleichung bestätigt. Diese Messungen konnten gleichzeitig dazu dienen, die spezifische Ladung der Kathodenstrahlträger zu ermitteln. So erhielten W. Kaufmann^) und S. Simon*) den Wert (9) ,»^ = 1,865.10', für die spezifische Ladung des negativen Elektrons. Eine jede der Gleichungen (6) oder (7) kann verwandt werden^ um die Geschwindigkeit zu berechnen^ die den !Blektro^en in der Entladungsröhre erteilt wird. Dieselbe liegt bei den üblichen Spannungsdifferenzen von Anode und Kathode 1) W. Kaufmann. Ann. d. Phys. 61, S. 644. 1897. 2) W. Kaufmann. Ann. d. Phys. 66, S. 481. 1898. 8) S. Simon. Ann. d. Phys, 69, S. 689. 1899. 12 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. zwischen 7io ^^^ Vs ^®^ Lichtgeschwindigkeit. Werte von der- selben Größenordnung sind von E. Wiechert^) durch direkte Messung der Geschwindigkeit gefunden worden. Da nach (9) (9a) ^ ^ 5,60 . 10" ist, 80 folgt durch Yergleichnng mit (1) (9 b) ^ = 1930 als Quotient der trägen Massen von Wasserstoffatom und Elektron. § 3. Klassifikation der Strahlungen. Die Maxwellsche Theorie versteht unter ;,Strahlung^' einen elektromagnetischen Energiestrom; diesen bestimmt sie durch den Poyntingschen Vektor (vgl. I § 77, S. 356). Sie lehrt, daß die LichtweUen elektromagnetische Energie mit- führen, mithin als Strahlungsvorgange anzusprechen sind. Die LichtweUen, wie überhaupt alle elektromagnetischen Wellen, pflanzen sich in dem leeren Baume mit einer ganz bestimmten Geschwindigkeit c=3-10"^ sec fort (vgL I § 69, S. 303). Die verschiedenen Arten elektro- magnetischer Wellen, welche wir kennen, sind nur der Wellen- lange, aber nicht der Fortpflanzungsgeschwindigkeit nach ver- schieden. Ordnen wir nach der Wellenlänge, so haben wir zuerst die ultravioletten Strahlen, dann das eigentliche sichtbare Licht; dann folgen die ultraroten, nur durch ihre thermische Wirkung sich kundgebenden Strahlen, deren langwelligste die Bubensschen Beststrahlen sind. Zwischen den längsten be- kannten Wärmestrahlen (X = 6 • 10~' cm) und den kürzesten Wellenlängen der vom elektrischen Funken ausgelösten Schwin- 1) E. Wiechert. Nachr. der Göttinger Ges. der Wiseenscli. 1898, S. 260. Ann. d. Phys. 69, S. 739. 1899. Erstes Kapitel, Die phjs. n, math. Grrandlageii d. Elektronentheorie. 13 gongen (X » 0;6 cm) klafft noch eine betriLchtliche Lücke. Dann folgt eine kontinuierliche Reihe von Wellen, die wir auf rein elektrischem Wege herzustellen vermögen; sie er- streckt sich Yon den raschesten Hertzschen Schwingungen bis zu den langsamsten Wechselströmen der Technik« Alle diese Strahlungen können wir durch die Benennung ,, Wellenstrahlung'' kennzeichnen. Darunter yerstehen wir nicht nur rein periodische Wellen, sondern auch Wellen be- liebiger Wellenform* Das für die Wellenstrahlung Charak- teristische ist die unabänderliche Fortpflanzungsgeschwindigkeit im leeren Baume. Zu der so definierten Wellenstrahlung gehören nun die Eathodenstrahlen, von denen wir im vorigen Paragraphen be- richteten, nicht. Diesen Strahlen kommt hingegen eine Eigen- schaft zu, die den obengenannten Wellenstrahlungen fehlt: sie fahren nicht nur Energie, sondern auch Elektrizität mit, Wir wollen eine jede Strahlung, die Elektrizität mitfELhrt, als „Eonvektionsstrahlung'' bezeichnen. Die Eathodenstrahlen insbesondere stellen einen Strom negativer Elektronen dar. Da wir die Eigenschaften dieser Atome der negativen Elek- trizität ab unabänderliche ansehen, so bleibt als unterschei- dendes Merkmal verschiedener Eathodenstrahlen nur die Ge- schwindigkeit der Elektronen übrig. Die Geschwindigkeit der in einer Entladungsröhre zu erzeugenden Eathodenstrahlen hängt, wie wir sahen, von der Spannxmgsdifferenz der Elektroden ab. Man kann jedoch diese Spannungsdifferenz nicht beliebig wählen, da bei geringen Spannungen die Entladung nicht stattfindet, und da beliebig hohe Spannungen nicht zur Yerftigung stehen.* Hierdurch ist das „ Spektrum ^^ der uach der Geschwindigkeit geordneten £[athodenstrahlen begrenzt. Doch hat Ph. Lenard gezeigt, daß bei Betrachtang eines Metalles mit ultraviolettem Lichte Strahlen ausgesandt werden, welche ähnliche Eigeuschafteu, nur geringere Geschwindigkeit der Strahlteilchen aufweisen, wie die eigentlichen Eathodenstrahlen. Anderseits hat sich ergeben, daß die Strahlung radioaktiver Eörper, und zwar der 14 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegnng der einzelnen Elektronen. Bestandteil der Strahlung, den BuÜierford als /3-Strahlnng bezeichnet hat; magnetisch in demselben Sinne, nur etwas schwächer, ablenkbar ist, wie die Eathodenstrahlen. Es lag nahe, hier negative Elektronen von größerer Geschwindigkeit zu yermuten. In der Tat haben die Untersuchungen Yon W. KauftnaiiTi, auf die wir später ausftihrlicher zurückkommen, gezeigt, daß die Geschwindigkeiten der in den j3- Strahlen an- zunehmenden Elektronen ein kontinuierliches Spektrum dar- stellen, das sich von Ys der Lichtgeschwindigkeit bis nahe an die Lichtgeschwindigkeit selbst heran erstreckt. Noch klafft eine Lücke zwischen den raschesten der messend zu verfol- genden Kathodenstrahlen und den langsamsten j3- Strahlen. Wenn diese ausgefüllt sein wird, so wird man eine kontinuier- liche Reihe von negativen Konvektionsstrahlungen haben, die von beliebig kleinen Geschwindigkeiten bis nahe an die Licht- geschwindigkeit heranreicht. Von positiver Eonvektionsstrahlung haben wir bisher nicht gesprochen. Man hat gefunden, daß die leicht absorbier- bare Strahlung radioaktiver Körper, die sogenannte a-Strah- lung, aus positiv geladenen Teilchen besteht. Auch gewisse, die elektrische Entladung in verdünnten Gasen begleitende Erscheinungen, die Kanalstrahlen E. Goldsteins, hat man auf bewegte positive Teilchen zurückfuhren zu können geglaubt. Es haben sich für den Quotienten aus Ladung und Masse in beiden Fällen Zahlwerte ergeben, die von der Größenordnung des bei Wasserstoffionen vorliegenden Wertes waren. Doch sind diese positiven Konvektionsstrahlungen noch nicht ge- nügend erforscht, um Schlüsse auf die Natur der positiven Elektrizität zu ' gestatten. Hat man es hier mit den freien positiven Elektronen zu tun, und ist diesen eine so viel größere Trägheit zuzuschreiben, als den negativen? Oder sind diese Strahlteilchen, wie die Gasionen (§ 1), durch Anlagerung wägbarer Materie an die Elektronen entstanden? Oder ist etwa die positive Elektrizität überhaupt von der Materie nicht zu trennen? Das sind Fragen, deren Erledigung der Zukunft vorbehalten bleiben muß. Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Gbrandlagen d. Elektronentheorie. 15 In diesem zweiten Bande der ,;Theorie der Elektrizität'^ soll nun die elektromagnetische Strahlung in umfassender Weise behandelt werden, sowohl die Wellenstrahlnng, wie die EonTektionsstrahlung. Die Grandlage für die Theorie der Strahlung gewinnen wir, indem wir die atomisti- sehen Vorstellungen über die Konstitution der Elek- trizität mit den Faraday-Mazwellschen Ideen über das elektromagnetische Feld vereinigen. Die Ver- einigung dieser beiden Vorstellungskreise ist es, die zur modernen Elektronentheorie führt. Man trifft bei manchen Autoren die AufEassung an, daß die atomistischen Ideen in einem gewissen Gegensatze zur Maxwellschen Theorie stünden, und daß die Elektronentheorie eigentlich zu den alten Vor- stellungen der Femwirkungshypothese zurückkehre. Diese Auffassung ist indessen durchaus unzutreffend. Allerdings ist die Hypothese einer atomistischen Struktur der Elektrizität wohl zuerst, insbesondere durch Wilhelm Weber, in einer Weise eingeführt worden, welche den Vorstellungen der Fem- wirkungstheorie entsprach. Dieser Forscher stellte ein Ele- mentargesetz ftir die Wechselwirkung zweier elektrischer Atome an die Spitze und suchte auf dieses die gesamte Elektro- dynamik zu begründen. Daß diese Bemühungen Webers und anderer Physiker scheiterten, lag gerade an der Verkoppelung der atomistischen Vorstellung mit der Femwirkungshypothese, welche die der Atomistik innewohnende Entwickelungsfahigkeit erstickte. Erst die Abwendung Ton der Femwirkungstheorie und die Verschmelzung mit der Faraday -Maxwellschen Lehre konnte die atomistischen Keime zur Blüte bringen und ftir die Elektrizitätslehre fruchtbare Ergebnisse zeitigen. Die Maxwellsche Theorie, weit entfernt, die Frage nach der Struktur der Elektrizität als unberechtigt zurückzuweisen, ermöglicht yielmehr erst eine allseitige Untersuchung der für diese Frage bedeutungsToUen Erscheinungen. Indem sie das Licht als elektromi^etischen Vorgang betrachtet, lehrt sie, aus der Strahlung einer Lichtquelle Schlüsse auf die Eigen- schaften der elektrischen Teilchen zu ziehen, die in den licht- 16 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. aussendenden Molekülen schwingen. So hat das Zeemansche Phänomen im Jahre 1896 gezeigt; daß eine große Zahl von Spektrallinien in der Bewegung der negativen Elektronen ihren Ursprung hat. Eine magnetische Zerlegung der Spektrallinien, die auf die Schwingungen positiver Elektronen in der Licht- quelle zurückzuführen wäre^ hat sich nicht feststellen lassen; infolge der größeren, diesen Teilchen anhaftenden trägen Masse würde eine solche Zerlegung auch theoretisch unterhalb der Gfrenze der Beobachtbarkeit liegen. Hier tritt die enge, yon der elektromagnetischen Lichttheorie behauptete Beziehung zwischen dem Konvektionsstrome und der Lichtstrahlung deut- lich hervor. Li der Sprache der Elektronentheorie läßt sich diese Beziehung so formulieren: Die Konvektionsstrah- lung ist ein Strom freier Elektronen, die Wellen- strahlung nimmt ihren Ausgang von Geschwindig- keitsänderungen der Elektronen. Wo die Eathodenstrahlen auf die Rohrenwand treffen, nehmen die Eöntgenstrahlen ihren Ursprung. Wir werden, mit G. G. Stokes und E. Wiechert, in diesen magnetisch nicht ablenkbaren Strahlen die elektromagnetischen Wellen sehen, welche von den gehemmten Elektronen ausgehen. Dabei scheint es sich nicht um periodische Wellenzüge, sondern um Einzel- impulse zu handeln, deren Lnpulsbreite weit kleiner ist als die Wellenlänge der kurzwelligsten xdtravioletten Strahlen. Aus den Beugungsversuchen von Haga und Wind hat sich ergeben, daß die Impulsbreite 10~~^ cm beträgt^ falls es sich überhaupt um Wellenimpulse handelt. Doch ist es, da die Röntgen- strahlen sich weder brechen noch spiegeln lassen, schwierig, ihre Wellennatur experimentell festzustellen. Die dritte, nicht ablenkbare Klasse der Radiumstrahlen, die sogenannten 7/- Strahlen, weist Eigenschaften auf, welche denen besonders durchdringender Röntgenstrahlen gleichen. Es liegt nahe, sie als die Wellenimpulse anzusprechen, welche beim Fortschleudern der Elektronen durch die radioaktiven Atome erregt werden. Erstes Kapitel. Die phys. n. inath. Grandlagen d. Elektronentheorie. 17 § 4. Die Grundglelohimgeii der Blektronentheorie. Um zu den Orandgleichnngen der Elektronentheorie zu gelangen, gehen wir yon den Hauptgleichnngen der Maxwell- schen Theorie aus (I, § 59, S. 235 ff.). Die erste Hauptgleichong lautet (I, GL 177) curl 1^ = --^ . r, wobei ( die Dichte des Gesamtstromes ist. Die Elektronentheorie kennt nur zWei Bestandteile des Gesamtstromes, den Yerschiebungsstrom im Äther und den Konyektionsstrom bewegter Elektronen; die Dichte des Yer- schiebungsstromes im Äther ist gleich 1 a< 4« ar die Dichte des elektrostatisch gemessenen Eonvektionsstromes ist gegeben durch 1 - 9 . H (vgl. I, Gl. 159, S. 190), wo Q die räumliche Dichte, li die Geschwindigkeit der kon- yektlT bewegten Elektrizität bezeichnet. Wir wollen der ein- facheren Schreibweise wegen es vorziehen, den Eonvektions- ström elektromagnetisch zu messen. Alsdaim wird (10) I = p.O c } und es ist die erste Ghrundgleichung zu schreiben (I) cnrl»-i^ = 4«I. In der zweiten Hauptgleichung (I, Gl. 178, S.238) streichen wir die eingeprägte elektrische Eraft. Im leeren Eaume, wo O s= ^ ist, nimmt die zweite Hauptgleichung die Form an: (H) curl« + l^-0. Diese beiden Grundgleichungen nehmen wir auch im Xnnem der Elektronen als gültig an. Abraham, Theorie der ElektrizitftV IL 2 18 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegang der einzelnen Elektronen. Die allgemeine Beziehung zwischen der Dichte der Elek- trizität nnd der Divergenz der elektrischen Yerschiebnng (vgl. I^ Gl. 137, S. 145) behält die Elektronentheorie bei; da sie all- gemein ® = j- tf setzt, so wird (in) div«-4Ä(>. Auch die allgemeine Bedingung der Quellenfreiheit des Vektors » (I, Gl. 178 a, S. 239) wird aus der MaxweUschen Theorie herübergenommen; da 8 mit $ identifiziert wird, so wird (IV) div # == 0. Für den Yon Materie und Ton Elektronen leeren Baum, wo Q und I verschwinden, stimmen diese Grundgleichungen mit den Hertz -Heavisideschen Feldgleichungen überein; sie führen, wie jene, zu dem Ergebnisse, daß hier ebene elektro- magnetische Wellen nach allen Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit c forteilen. Auf dasjenige Bezugssystem, in dem diese Isotropie der Wellenfortpflanzung wirklich statthat, sind die Bewegungen der Elektronen zu beziehen. Es wird gestattet sein, die so bestimmt gedachten Bewegungen der Elek- tronen und der wägbaren Eorper als „absolute Bewegungen^' zu bezeichnen (vgl. I, S. 430ff.). Die auf jenes Bezugssystem bezogene absolute Geschwindigkeit ü der Elektronen ist es, welche in den Ausdruck (10) für die Dichte des Konvektions- stromes eingeht. Neben dem kinematischen Vektor li enthält das System der Feldgleichungen (I) bis (IV) nur zwei Vektoren, den elektrischen Vektor d und den magnetischen Vektor $. Es ist anzusehen als die einfachste Erweiterung des für den Äther geltenden Systemes von Feldgleichungen, welche die ein- gelagerten Elektronen und ihre Bewegung berücksichtigt. Zu diesen Feldgleichungen tritt endlich eine Aussage über die an den Volumelementen der Elektronen angreifende Ejrafb. Es wird, in Übereiustimmung mit Bd. I, Gl. 246 a, S. 412, für die auf die Einheit der Ladung wirkende Eraft der Ansatz gemacht (V) 5 = « + ^[ti$} Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Gbrandlagen d. Elektronentheorie. 19 Wir können diesen Ansatz .um so elier akzeptieren, als wir ja im § 2 dieses Bandes uns davon überzeugt haben, daß er die Kraft, die in einem gegebenen äußeren Felde auf die Kathodenstrahlteilchen wirkt, in befriedigender Weise darstellt Der Vektor f^, die „elektromagnetische Kraft pro Ein- heit der Ladung^', ist durch die Grundgleichung (Y) auf die drei in den Feldgleichungen auftretenden Vektoren zurück- geführt. Wir wollen uns davon überzeugen, daß der zugrunde gelegte Ansatz für die elektromagnetische Kraft mit dem Energieprinzipe übereinstimmt. Wir denken uns zu diesem Zwecke einen Bereich v, der yon der ruhenden Flache f be- grenzt ist. Auf die im Volumelemente dv enthaltene Elek- trizität übt das elektromagnetische Feld die Kraft %Qdv aus. Diese leistet pro Sekunde die Arbeit Der Tom magnetischen Felde herrührende Anteil der Kraft, der stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektrizitöt weist, tragt zur Arbeit nichts bei. Durch Integration über den Bereich v erhalten wir mithin für die Arbeitsleistung der elektromagnetischen Kräfte dA dt -j{Q^,iS)dv. Da nun, nach (10), der Vektor q^ die Dichte des Kon- yektionsstromes bestimmt, so folgt aus der ersten Grund- gleichung dA dt cß, «) dv = ^fdv («, curl § ~ i ^) Femer ist, nach einer allgemeinen Regel der Vektor- rechnung (I, Gl. 102a, S. 93), Jdfl9i9]v ^Jdv § curl 0, die Lage und die Bewegung der Elektrizität. Welches ist das elektromagnetische Feld? Es handelt sich ako um die Integration der Feldgleichungen (I) bis (IV); bei gegebener anfänglicher Verteilung der Felder 9 und ^, wenn q und f fOr ^ > 0 als Funktionen von Ort und Zeit gegeben sind. Ist das elektromagnetische Feld bekannt, so ist durch (V) die elektromagnetische Kraft bestimmt, welche das Feld auf die Elektronen ausübt; durch (12) und (13) be- stimmen sich femer Energie und Energiestrom; der für den letzteren maßgebende Poyntingsche Vektor ist durch (20) mit der elektromagnetischen Bewegungsgröße verknüpft. Für stationäre Zustände, wo die Differentialquotienten Ton (S und ^ nach der Zeit in (I) und (II) fortfallen, verein- facht sich die Bestimmung des Feldes. Es wird das elektrische Feld von dem magnetischen unabhängig; das wirbelfreie elek- trische Feld ist durch die Quellenverteilung q, das quellenfreie magnetische Feld durch die Wirbelverteilung f bestimmt. Die Integration der Gleichungen, die einerseits (& mit q, anderseits ^ mit f verknüpfen, läßt sich in diesem Falle auf Gfrund der allgemeinen Theorie der Vektorfelder lösen, die im ersten Ab- schnitte des ersten Bandes dargelegt wurde. Das konstante elektrische Feld wird aus dem elektrostatischen Potentiale, das mf^etische Feld des stationären elektrischen Stromes aus dem Vektorpotentiale abgeleitet. Durch Einführung dieser Hilfsgrößen läßt sich die Integration der Feldgleichungen in übersichtlicher Weise durchführen, wie wir im ersten Bande gesehen haben. Es liegt der Versuch nahe, das allgemeine Integrations- problem, das jetzt vorliegt, durch Einführung ähnlicher Hilfs- größen zu vereinfachen. Die vierte örundgleiohung lehrt, daß ^ stets quellenfrei ist; wir genügen ihr, indem wir allgemein 38 ^^ter Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. (28) # = curl« setzen. Von diesem allgemeineren Yektorpotential dürfen wir freilich nicht verlangen^ daß seine Divergenz^ wie diejenige des Yektorpotentiales des stationären Feldes (I^ § 26), allgemein gleich Nnll isi Die Einführung von (28) in die zweite Gnmdgleichung ergibt Es muß demnach « + - ^ als negaÜTer Gradient eines Skalars $ sich darstellen lassen; daraus folgt für (& der Ausdruck (29) «»_r*-i^. Für konstante Felder fallt der Differentialquotient von K nach der Zeit fort und 9 reduziert sich auf das elektrostatische Potential. Den Grundgleichungen (11) und (IV) haben wir genügt, indem wir ^ und (B durch (28) und (29) darstellten. Es handelt sich nun darum, den Skalar 9 und den Yektpr tl so zu bestimmen, daß auch die Grundgleichungen (I) und (III) erfüllt sind. Wir erhalten als allgemeinste Bedingung hierfür die beiden Differentialgleichungen curlcurl« + -.^ + r--^ = 4Äf, — div r^ TT- div Ä = 4jr o. cd ^ Ziehen wir die Rechnungsregeln (|) und (q) unserer Formelzusammenstellung am Ende von Band I (S. 438) heran, so können wir die zweite dieser Gleichungen schreiben -r«*~i^div«l = 4Ä9, und die erste Erstes Kapitel. Die phys. n. niath. Grundlagen d. Elektronentheorie« 39 Wir erfüllen beide öleicliimgen, indem wir für $ und tl die partiellen Differentialgleichungen Torschreiben: (30) i^+diy«»0, (30a) i^_r»«=4«p, (30b) i,^_F««=4„|. Für ein stationäres Feld werden $ und tl unabhängig voneinander; $ geht in das skalare Potential des elektro- statischen Feldes^ tl in das Yektorpotential des magnetischen Feldes über. Die allgemeinen, durch die Differentialgleichungen (30, 30a, 30b) definierten Potentiale bezeichnen wir als „elektromagnetische Potentiale^', und zwar nennen wir 9 das „skalare elektromagnetische Potential^ tl das „elektromagnetische Yektorpotential'^ Durch diese Be- nennung bringen wir zum Ausdruck, daß die allgemeineren Potentiale zur Verwendung gelangen, wenn es sich um einen zeitlich yeränderlichen elektromagnetischen Vorgang handelt^ bei welchem elektrisches und magnetisches Feld durch die Grundgleichungen miteinander yerkettet sind. Wir werden uns zunächst mit der Integration der Diffe- rentialgleichungen (30a, b) beschäftigen, in denen $ und tl getrennt auftreten. Wir werden uns dann davon überzeugen, daß die erhaltene Losung von (30 a, b) auch (30) befriedigt. Wir sehen jetzt schon ohne weiteres ein, daß die rechten Seiten von (30a, b) nicht unabhängig voneinander sind; in der Tat, aus (I) und QU) folgt Diese Gleichung sagt aus, daß die pro Zeiteinheit in ein Volumelement eintretende Menge von Elektrizität dem Zuwachs der elektrischen Dichte entspricht, d. h. daß Elektrizität nicht neugeschaffen oder vernichtet werden kann. Diese „Eon- tinuitätsbedingung der Elektrizität^^ ist es, die q und t miteinander verknüpft. Die Abhängigkeit der rechten Seiten 40 ürster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegimg der einzelnen Elektronen. von (30a) und (30b) bringt es, wie wir weiter unten sehen werden, mit sich, daß die elektromagnetischen Potentiale der einschenkenden Bedingung (30) allgemein Genüge leisten. Wir gehen jetzt dazu über, die Differentialgleichung des skalaren elektromagnetischen Potentiales zu integrieren. Es ist zweckmäßig, eine neue Variable einzuführen; diese ist nichts anderes, ab der in der Zeit t von einer Lichtwelle zurückgelegte Weg. Dann schreibt sich (30 a) (31) ^*-F«® = 4«p. Wir denken uns, zur Zeit ^ = 0,

0, (» als Funktion von Zeit und Ort gegeben. Es ist unser Ziel, für positive Zeiten 9 als Funktion von Ort und Zeit zu ermitteln; dieses Ziel haben wir erreicht, wenn es uns gelingt, für einen beliebigen Au^unkt $ als Funktion von l zu berechnen. Wir greifen einen Aufpunkt P heraus und konstruieren um P als Mittelpunkt eine Schar von Kugeln mit dem veränderlichen Badius r. Wir verstehen unter d(o den körperlichen Winkel, unter dem das Flächenelement r'^dfo einer solchen Kugel vom Mittelpunkte P aus gesehen wird. Die Funktion $, welche der partiellen Differentialgleichung (31) genügen soll, ist eine Funktion von vier Yariabeln: r, l und zwei Winkeln; die letzteren beiden Yariabeln gehen in den Aus- druck von d(o ein. Die nunmehr einzuführende Hilfsfunktion (32) Ä = ^J^ d(o hängt mithin nur von den Yariabeln r und l ab; sie ergibt, durch r dividiert, den für eine Kugel vom Badius r berech- t J Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 41 neten Mittelwert von 0, Wir wollen die Gleichung (31) in eine partielle Differentialgleichung fOr Sl umformen. Wir wenden zu diesem Zwecke den Ghiußschen Satz auf eine jener Kugeln an. Das über ihr Inneres erstreckte Inte- gral von r^O = div F0 ist diesem Satze zufolge gleich dem über die Oberfläche erstreckten Integral der Normalkom- ponente g— des Vektors ^*; demnach gilt r I drr^ j r^^dm^r^ j -^dfo = ^^ / *öfo. 0 Durch Differentiation nach r folgt r oder '/r«0d«, = i-,r'§-j0da> = 2rlf9do + r'^J^da,, rfr*0da> = 2^ J®de, + r^.f^da» = ^.»/fPde,. Wir erhalten also (32a) {-Jf^^i--'^- Dividieren wir nun (31) durch ^nr und integrieren über eine Eugelfläche vom Radius r, so folgt wo abkürzungsweise (33a) - %(rjl)^rj QdiB gesetzt ist. Da p als Funktion von Zeit und Ort gegeben istyr so ist % für Z ^ 0 und r ^ 0 als bekannt anzusehen. Ferner sind auf Ghrund von (31 a^ b) (33b) Ä = {^Jf {X, y, g) dai = F(r) (33c) f^'={-Jg{x,y,z)da,^G{r) gegeben. für Z=0 r>0 42 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Ist es gelungen, die Hilfsgleichnng (33) zn losen, so ist der gesuchte Wert Yon $ im Mittelpunkte P der Engelschar unschwer zu ermitteln. Er ist nach (32) (34) ' 9(0,1) = lim(\ Das Problem, 0 für einen beliebigen Au^unkt zu be- rechnen, ist somit auf die Aufgabe zurückgeführt, die Hilfs- gleichung (33) unter den angegebenen Bedingungen zu inte- grieren. § 7. Integration einer Hilfsgleichung. Die Funktionen % (^; 0; -^W ^^^ ^ W ^^^ durch (33 a, b, c) zwar für positive Werte von r definiert, aber nicht für nega- tive; für r == 0 verschwinden sie. Es steht uns somit frei, die Definition dieser Funktionen folgendermaßen auf negative Werte von r auszudehnen: (35) xi-r,l) x(+r,l), (35a) F{-r) ^-F(+r), (35b) G{-r) a(+r). Auf Grand dieser Daten soll nun die Aufgabe behandelt werden, die Differentialgleichung (36) ji»--^ = x(r,t) zu integrieren, d. h. Sl (r, T) für l> 0 und für beliebige posi- tive und negative Werte von r zu berechnen, wenn (36a) Sl = F{r)\ (36b) ^ = Gir) für ? = 0 dl . gegeben sind. Wir erledigen die gestellte Aufgabe, indem wir das Biemannsche Integrationsverfahren auf die nichthomogene partielle Differentialgleichung (36) anwenden.*) 1) Vgl. hierzu Eiemann -Weber, Die partiellen Differentialgleicliiuigen der mathematischen Physik. Brannschweig 1901. Bd. II, §90, S. 224 ff. A. Sommerfeld, Enzyklopädie der mathem.Wissensch. Art. IIA. 7c. Nr. 13. Erstes Kapitel. Die phys. u. math. Grandlagen d. Elektronentheorie. 43 Wir denken uns die unabhängigen Yeninderlichen r und l als Abszisse und Ordinate aufgetragen. Die Anwendung des Stokesscben Satzes auf ein beliebiges Flächenstück der (r^ Z)- Ebene ergibt // '"'«r^-^)-/''»*- Dabei stellt 3 einen zunächst beliebigen Vektor dar. Das Integral zur Linken ist über das betreffende Flächenstück^ das Integral zur Rechten über die Begrenzungskurve zu erstrecken^ derart^ daß der ümlaufssinn einer positiven Drehung um die dritte^ der r- und 2 -Achse sich zuordnende Achse eines rechts- händigen Eoordinatensystemes entsprechen würde. Wir setzen nun 8r = und erhalten &== (87) //...4^_^)=/.«{^.|r + dr ds I Wir wenden diese Formel auf ein gleichschenkliges Dreieck ABC an, dessen GIrundlinie l JlB auf der r- Achse liegt, wäh- rend die Spitze C auf der Seite der positiven l gelegen ist (vgl. Abb. 1). !Es seien a, & die Abszissen der Punkte J., JB. Die Winkel der Schen- kel ACy BC mit der Grundlinie seien gleich einem halben Rechten, so daß r — 1 = a die Gleichung der Geraden AC^ r + l--^l ,y „ „ „ BG (37 a) 44 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung, der einzelnen Elektronen. ist. Alfldann ist längs AC dr^ dl ds ds hingegen längs BC ds ds Anf AB aber ist ds'^^' äl "" ^' ™*^' ^^^ (^^^)' TT "" ^('*)- Es ist daher B b A a C C /' \dadr . dSldl\ Cjj dSl ^ ^ ^'[dTd-s'^dVdl] Jds^^^SlB-Slo, B B A A Sciji — Sic* r t/o C C Folglich wird die rechte Seite von (37) A A /' fdSldr , dSldl\ , r^ ^fi o H'dTrs + dFrsf-+J^'-di-^^ j G(r) dr + SlA + SlB- 2Äe. a Verstehen wir jetzt unter r, l die Koordinaten des Punktes (7, so ist £lc=-£l(r,l) die gesuchte Funktion. Der Punkt A hat nach (37 a) die Koordinaten a = r — Z, 0; der Punkt B hingegen die Koordinaten 6 = r + Z, 0. Aus (36 a) folgt daher Ha ^a{r-l, 0) = F{r-l), SlB = Sl{r + l,0)^F{r + T), Erstes Kapitel. Die phys. n. math. Grandlagen d. Elektronentheorie. 45 und es ist die rechte Seite von (37) zu schreiben r-hJ (a{f)dT + JP(r-Z) + F(r + Z) - 2Ä(r, ?). Die linke Seite aber wandelt sich^ dnrch Einführung der partiellen Differentialgleichung (36) ^ in das über das Dreieck ABC erstreckte Flächenintegral der Funktion — % (r, X) um. Es wird also schließlich (38) 2Sl(r,J)^F(r---l) + I{r+l)+jG{r)dr+ffxir,T)dr r—l ABC Damit ist die Integration der Hilfsgleichung (36) in all- gemeinster Weise durchgeführt. Die Funktionen F(r), G(r), ;f(r, l) waren zunächst nur für positive Werte von r gegeben« Für negative Werte dieser Yariabeln wurde ihre Definition durch die Gleichungen (35^ 35 a, b) gegeben. Wir können daher schreiben r-f J r+l I— r /4-r Ja{r)dr ^jG(r)dr - / G{r)dr ==jG(r)dr. r—l 0 0 I— r Was aber das über das Dreieck ABC der Abb. 1 erstreckte F^chenintegral anbelangt^ so ist dasselbe nach (35 b) ffzir, l)drdl =ffz(r, l)drdl -ffx(r, T)drdl. ABC OBOD OED Dabei ist OED das Dreieck, welches dem auf der Seite der negativen r gelegenen Teile OAD des Dreieckes ABC spiegelbildlich (in bezug auf die Z- Achse) entspricht. Es bleibt abo schließlich nur das über den Streifen BGBE erstreckte Integral von % (r, T) übrig: ffx(r,l)drdl^ffx{r,l)drdl. ABC BCDJS 46 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Demnacli erhalten wir (38a) ^^ = lMll^^:i:zJl + l.fa(r)är BCDE Der Limes ^ dem dieser Ausdruck mit yerschwindendem r zustrebt, bestimmt nach (34) den gesuchten Wert des skalaren Potentiales im Aufpunkte. Der Ghrenzwert der beiden ersten Glieder läßt sich sofort angeben; es ist (38b) )^jp±^^l^-J>]^F'{l), (38c) lim i . CG{r) dr = GQ). Was aber das dritte Glied anbelangt, so ist zu beachten, daß r die Abszisse des Punktes C in Abb. 1 ist. Dem Ghrenz- übergang zu yerschwindendem r entspricht ein Hereinrücken des Punktes G in die Z-Achse, wobei OB = l wird. Ist X die Abszisse eines Punktes der Geraden CBy so ist in der Grenz- lage seine Ordinate gleich (2 — Jt). Folglich gilt in der Grenz- lage des Dreieckes für die Punkte der Geraden CB Auf einen dieser Geraden anliegenden schmalen Streifen von der Breite CD = r • )/2 geht mit yerschwindendem r das Gebiel BCDE über, über welches das Flächenintegral in (38 a) zu erstrecken war. Wir erhalten demnach B lim ^ /yi(n ddrdl = ^ • yi (X,l--X)ds; BCDE C dabei stellt ds ein Element der Geraden CB vor, die unter 45^ gegen die Abszissenachse geneigt ist; die Variable X aber war die Abszisse der Punkte von CB. Demnach ist Erstes Kapitel. Die phjB. u. math. Grundlagen d. Elektronentheorie. 47 and es wird (38 d) hm^rß(r,l)drdl^rdXx(.l,l-l): BCDE Die (jrenzwerte (38 b, c, d) der drei Glieder in (38 a) zu- sammenfassend, erhalten wir lim {-^ j - F' (?) + GQ) +fdlx (^ ^ - ^)- 0 Der Wert der gesuchten Funktion * in dem Aufpunkte P wird daher, mit Bücksicht auf (33a) und (34), i (39) 9 (0, l) = F' (0 + GQ) + fxdxfd{0,T)^-^Jda,(^~^^f)^^+ßdxfd, |?-0 fflr i = c<-0 ergibt die Grundformel (39): (42) 0(P,r)=^f^-^)d{X,l-X) 0 als Wert des skalaren elektromagnetischen Potentiales. Das erste^ vom Anfangszustand allein abhängige Olied ist identisch mit dem im Ausdrucke (40) des elektrostatischen Potentiales auftretenden; das erklärt sich daraus^ daß die Anfangsbedingungen (41) mit denen des elektrostatischen Feldes übereinstimmen. Der Unterschied gegen (40) liegt in dem von der Elektrizitatsverteilung abhängigen Yolumintegral. Dort war auf der Oberfläche der Eugel vom Radius X die durch Q (X, 0) gekennzeichnete anfängliche Dichte der Elek- trizitatsverteilung in Rechnung zu ziehen^ die ja weiterhin nicht abgeändert wurde. Wir könnten dort^ in (40), mit dem- selben Rechte an Stelle von q(X, 0) die gleichzeitige, zur Zeit t im Abstände X vom Au^unkt herrschende räumliche Dichte Q {Xf l) verstehen, oder auch die räumliche Dichte in irgend- einem, dem Zeitintervalle von ^ = 0 bis t ^ ~ angehörenden Zeitpunkte; denn in diesem Zeitintervalle sollte die anfangliche Dichte Q (A, 0) bestehen bleiben. Hier, in (42), hingegen handelt es sich um eine zeitlich veränderliche Elektrizitats- verteilung; es ist, auf der Oberfläche der Eugel vom Radius X, die durch p (Jt, Z — X) gekennzeichnete Dichte in Rechnung zu ziehen, d. h. diejenige, welche zur Zeit ^t auf jener Kugelfläche herrschte. Es kommt für das Feld, welches im Au^nnkte P zur Zeit t erregt wird, nicht die gleichzeitige Elektrizitätsverteilung im ganzen Räume in Betracht, sondern 4* 52 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen« für jede der Engeln die elektrische Dichte ^ die daselbst zu einer nm (42a) t = A zurückliegenden Zeit bestanden hat. Der zur Zeit t-'t ent- sandte Beitrag trifft znr Zeit t im Aufpunkte ein. Wir können r als ^;Latenszeit^', X als ^^Latensweg^' bezeichnen. Es folgt das wichtige Ergebnis: Die durch Abänderung der elek- trischen Dichte erregte elektromagnetische Störung pflanzt sich nach allen Seiten mit der Geschwindig- keit c im Baume fort. Wir erhalten das skalare elektromagnetische Potential des durch Abänderung der Elektrizitatsverteilung erregten Feldes, indem wir das elektrostatische Potential (40) des anfänglichen Feldes von dem skalaren Potentiale (42) des abgeänderten Feldes subtrahieren: (43) «(0, l)-fp{0, l) ^Jxdxjdfo [q{X,1-X)-q{X, 0)}- Was aber das elektromagnetische Yektorpotential anbelangt, so entsprechen, wie wir oben gesehen haben, dem angenommenen Anfangszustande die Anfangsbedingungen « = 0, lf-0 für l^ct^Q. Da nun die Differentialgleichung (30b) formal der Gleichung (30 a) durchaus entspricht, so erhält man die Komponenten des Yektorpotentiales K, indem man in (39) q durch die Kom- ponenten des Konyektionsstromes ( ersetzt und, bei der Aus- wertung von F und G gemäß (33b, c), f{xyz) und g(xyz) durch die Anfangswerte der Komponenten von K und ^^ ersetzt. Unter den obigen spezieUen AnfimgBbedingungen nnn yer- schwinden die so berechneten Funktionen F und G identisch, und es wird (44) « (0, 0 =JXdlfdL Es kann demnach in (43) ohne weiteres als obere Grenze ;L = oo statt l gesetzt werden, ohne den Wert der rechten Seite zu ändern. Mit Rücksicht auf (49 a) folgt (50) 0 = A dXjdc3 q(X,1- X), 0 Anderseits ist, da zu negativen Zeiten die Elektrizität sich nicht bewegt hat, l(r,?) = 0 für KO und daher l(X,l-X)=^0 für X>L Es kann somit auch in (44) die Integration ohne weiteres bis zur oberen Grenze A = oo ausgedehnt werden, so daß man erhält 00 (51) « '^fx d ijdo t(l,l- 1). 0 58 Erster Absclinitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Diese Formeln für die elektromagnetisclien Potentiale ent- halten keine Beziehung znr anfanglichen Verteilung der Elek- trizität. Sie gestatten folgende anschauliche Deutung. Man denke sich um den Au^unkt eine Kugel mit dem veränderlichen Radius X geschlagen. Diese Engel soll sich mit Lichtgeschwindigkeit kontrahieren^ derart^ daß sie zur Zeit t im Aufpnnkte eintrifft. Zur Zeit t — t ist ihr Radius ct = X. Diese Kugel fegt nun gewissermaßen das Feld ah. Wo sie Elektrizität und Konyektionsstrom antrifft, da föngt sie die Beiträge ah (50a) d9^XdXJd(DQ{X,l-'X), (51a) d% = XdXJd(ol{X,l-'X), welche nach Durchlaufung des Latensweges X im Aufpunkte eintreffen. Es ist demnach für jedes Yolumelement des Raumes die Elektrizität und der Konyektionsstrom in Rechnung zu setzen, welche die Kugel auf ihrem Wege antrifft; die Division durch den Kugelradius ergibt den Beitrag zum skalaren und zum Yektorpotentiale. Diese Beiträge eilen mit Lichtgeschwin- digkeit fort. Die Zusammensetzung aller Beiträge, d. h. die Litegration nach JL, ergibt gemäß (50, 51) die Werte der Poten- tiale im Au^unkte. Wir können diese Formeln auch schreiben (60b) *-/^W__/ 6 (61b) «-/^{.) ,. c Dabei sind die Integrationen über den gesamten Raum auszudehnen, ebenso wie in der Formel (49b) für das elektro- statische Potential. Der unterschied liegt nur darin, daß nicht die jeweilige Dichte der Elektrizität und des Konvektions- stromes in Rechnung zu setzen ist, sondern, wie der Index Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Panktladnng. 59 t anzeigt; diejenige Dichte, welche zu einem nm die V - Latenszeit r =» — früheren Zeitpunkte in dem betreffenden Volomelemente herrschte. Die Potentiale (50 b) und (51b) sind von H. Poincare, E. Beltrami; V. Volterra, H. A. Lorentz, T. Levi-Civitä und anderen Forschem angewandt worden. Meist werden sie dem elektrostatischen Potentiale (49b) als ^^retardierte Poten- tial e% d. h. verspätete oder verzögerte Potentiale gegenüber- gestellt. Die in (50, 51) gegebene Darstellung der elektro- magnetischen Potentiale durch einfache Integrale über den Latensweg, auf die wir hier unmittelbar geführt wurden, wird sich für die Ermittelung des Feldes bewegter Elektronen als besonders geeignet erweisen. Die Formel (48) für den Hertzschen Vektor können wir gleichfalls unschwer auf die Form bringen oo (51 c) 8 ^JXdXjdo ^(X,l- 1) 0 und können sie, ähnlich wie (50) und (51), durch Betrachtung der auf den Aufpunkt hin mit Lichtgeschwindigkeit sich kon- trahierenden Kugel anschaulich deuten. Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Pnnktladung. § 9. ElektromagnetiBChes Modell einer Lichtquelle. Die Entwickelungen des letzten Paragraphen haben uns gezeigt, daß der Baum die elektromagnetischen Wellen zwar fortpflanzt; daß aber in dem leeren Baume elektrische Störungen nicht entstehen können. Die Quellen der elektromagnetischen Störungen liegen in der Elektrizität. Da wir nun das Licht 60 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. als elektromagnetische Wellenstrahlnng zu betrachten gelernt haben, so werden wir zu dem Schiasse geführt, daß im Innern der lichtemittierenden Moleküle die ElektriziiHt in Bewegung hegrifiPen ist. Das einfachste denkbare elektromagnetische Modell einer Lichtquelle erhalten wir, wenn wir ein einziges Elektron um seine Gleichgewichtslage schwingend annehmen. Auf Grund der allgemeinen Ansätze des vorigen Para- graphen können wir das elektromagnetische Feld eines beliebig bewegten Elektrons bestimmen. Wir wollen indessen das vor- liegende Problem zunächst imter gewissen Einschränkungen behandeln, Einschränkungen, die wir dann in den folgenden Paragraphen wieder beseitigen werden. Wir wollen in Betracht ziehen, daß die Bewegung des lichtaussendenden Elektrons nur auf molekulare Bereiche sich erstreckt, daß also seine Ent- fernung aus der Gleichgewichtslage klein ist gegen diejenigen Entfernungen, in denen man das entsandte Licht wahrnimmt. Femer soll die Geschwindigkeit des Elektrons als klein gegen die Lichtgeschwindigkeit angenommen werden. Die Glei- chung (48) des vorigen Abschnittes führt uns in diesem Falle ohne weiteres zum Ausdrucke des Hertzschen Vektors. Die sich kontrahierende Kugel fängt beim Hinwegstreichen über das Elektron einen Beitrag ab. Da die Geschwindigkeit des Elektrons klein gegen die Geschwindigkeit c angenommen wird, mit welcher die Kugel sich kontrahiert, so kann man die Litegration über das Elektron so ausführen, als wenn es in seiner augenblicklichen Lage ruhte. Nach (10) imd (47) ist mithin i i * t j XdX I d(D^{X,l-X) = 1 XdX I d(DQ j tdt i-x e T /• tdt \i—x dabei stellt e die gesamte Ladung des Elektrons vor, X seine Entfernung vom Aufpimkte, die infolge der gemachten An- nahmen durch die Entfernung r des Au^imktes von der Gleichgewichtslage des Elektrons zu ersetzen ist. Endlich ist )^ Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Ponktladung. gl t t^dt die jeweilige Entfernung des Elektrons aus seiner Gleichgewichts- lage; für den Wert des Hertzschen Vektors im Aufpunkte kommt die Elongation des Elektrons zur Zeit c c in Betracht. Setzen wir abkürzungsweise (52) 6- Jud^^^iG), 0 indem wir uns den Vektor ^i, statt von der Zeit t, von dem Lichtwege et abhängig denken^ so wird der Hertzsche Vektor (48) (52a) 3 = *-^- Wir wollen voraussetzen^ daß zur Zeit ^ » 0 das Elektron in seiner Gleichgewichtslage sich befindet ^ und daß dann das Molekül kein elektrostatisches Feld erregt. Alsdann ist in (48 b) das anföngliche elektrostatische Potential q) gleich Null zu setzen, und es wird das skalare elektromagnetische Potential (52b) * = _diyj«^). Bei der Berechnung der Divergenz des Produktes aus dem Skalar — und dem Vektor fi ist die Formel (v) der Zusammen- stellung in Bd. I, S. 437 heranzuziehen, und es ist zu beachten, daß das Argument von fi die Entfernung r enthält; es wird (52c) 9 = -(p(l-r), A^i.) + i(^(?_r),^y), WO dp{T) eH m= dl c die elektromagnetisch gemessene Stromstärke des Strom- elementes ist, welches das bewegte Elektron darstellt. Dieselbe 62 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. geht auch in den aus (48 a) folgenden Ausdruck des elektro- magnetischen Vektorpotentiales ein: (52d) « = fc!L). Das erste Glied in (52 c) ist ganz analog gebaut^ wie der Ausdruck für das Potential einer Doppelquelle (Bd. I, GL 81, S. 63), vom Momente p(l — r). Dieses Glied kommt in der Nähe des Erregungszentrums ausschließlich in Betracht; das sieht man sofort ein, wenn man (52e) ^ar = x„ ^i = -i,.r. setzt und unter r^ einen Einheitsvektor versteht, welcher der Richtung nach mit dem vom Erregungszentrum nach dem Aufpunkte hin gezogenen Radiusvektor t übereinstimmt; dann wird (52f) $ = i,(r,, „(?_^)) + i(,^, ^(l-r)). Es entsteht nun weiter die Aufgabe, aus den elektro- magnetischen Potentialen die Vektoren (B, ^ abzuleiten. Wir ziehen es vor, statt diese durch Yektorkalkül zu berechnen, eine Komponentenzerlegung vorzunehmen, erstens, weil so die Grrößenordnung der verschiedenen Glieder sich besser über- sehen läßt, und zweitens, weil dabei die Beziehung unserer Entwickelungen zu der grundlegenden Arbeit von Heinrich Hertz ^) deutlicher hervortritt. Wir berechnen den Beitrag, den die ^-Komponente des Vektors fi zum Felde liefert; führt das Elektron Schwingungen parallel der ;8^- Achse aus, so stellen die betreffenden Anteile der Feldstörken bereits vollständig das Feld dar. Der Hertzsche Vektor geht in die Funktion (63) , 8.-^ über, die Hertz mit J7 bezeichnet hat und die von manchen Autoren die „Hertzsche Funktion^' genannt wird. Aus ihr 1) H.Hertz, Die Kräfte elektrischer Schwingangen, behandelt nach der MaxweUschen Theorie. Ann. d. Phys. 86, S. 1, 1888. Ges. Werke H, S. 147. Zweites Kapitel. Die WeUenstrftbliuig einer bewegen Fanktladiiiig. 63 sind die Eomponeaten der Feldsiarken gemäß (48 c, d) ab- zuleiten. Es ist (53a) (53b) « TTif Die AasfQbrong der Differentiationen ergibt (53 e) e. hxz y -p> Sxe XB r" 9ye -4- + P»' TT y X Ä sy^ I u y« ¥» • -\;6 r p» -4 h IIa .. ;?»-r> .8 ) (53d) (§x == ^ I». • ^, ~ *,,. 0? . •• X 0 Dabei sind es selbstverständlich die Werte von p,, -^ und -jf^ für den Argnmentwert {l — r), die för das Feld im AnJ^xinkte in Betracht kommen. Dieses Argument brancht jetzt, als selbstverständlich^ nicht mehr in den Formeln zum Ausdruck gebracht zu werden. Führt das Elektron in der Lichtquelle einfach harmonische Schwingungen aus^ so daß etwa in (53c, d) |l, = 6sin-^(? — r) zu setzen ist, so verhalten sich die Amplituden der drei Glieder z. B. im Ausdrucke der Komponenten von S wie Es ist demnach, wenn die Entfernung vom lichtanssendenden Molekül klein gegen die Wellenlange des entsandten Lichtes 64 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen, ist, nur das erste Glied zu berücksichtigen. Dort^ wo man die Lichtstrahlung beobachtet, ist im Gegenteil r groß gegen 2%X\ hier hängt % — und dasselbe gilt Yon dem mt^etischen Vektor § — nur von iji ab; die Feldstarken nehmen hier, wenn die Welle sich immer weiter ausbreitet, umgekehrt pro- portional der Entfernung vom Wellenzentrum ab. Das Gebiet^ in dem dieses stattfindet, wird die „Wellenzone^^ genannt. Wir wollen die Ausdrücke der Feldstarken in der Wellen- zone sogleich in vektorieller Schreibweise angeben. Wir über- sehen leicht, daß wir *die zu {i proportionalen Glieder in (53c,d) und die aus ihnen durch zyklische Yertauschung von Xyy^z entstehenden, welche Schwingungen parallel der x- bzw. der j/- Achse entsprechen, folgendermaßen in Yektorgleichungen zusammenfassen können: (54) Dabei ist nach (52) (54a) Ü = S = .4§ der Beschleunigung des Elektrons proportional. Denken wir uns nun die vom schwingenden Elektron entsandten Wellen von einem beliebigen Aufyunkte aus be- obachtet, so hängen die Feldstärken nur von dem Vektor ab. Es kommt für den Beobachter allein die Pro- jektion der Schwingung auf eine zur Blickrichtung senkrechte Ebene in Betracht. Das äußere Produkt aus dem Einheitsvektor x^ und fi liegt in dieser Ebene; es ist dem Betrage nach gleich, der Richtung nach senkrecht zu der Projektion von ji; ihm parallel ist nach (54) der magnetische Vektor der entsandten Wellen, der die Polarisationsebene des Lichtes bestimmt. Der Beobachter wird demnach geradlinig polarisiertes Licht wahrnehmen, wenn die Projektion der Elek- tronenbewegung auf die zur Blickrichtung senkrechte Ebene eine Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Punktladung. 65 geradlinige Schwingung ist; nnd zwar wird die Schwingongs- richtung in jener Ebene senkrecht auf der Polarisationsebene des entsandten Lichtes sein. Ist hingegen die Projektion der Bewegung des Elektrons auf jene Ebene eine Ereisschwingnng^ so wird der Beobachter zirkulär polarisiertes Licht wahr- nehmen, und zwar rechts- oder linkszirkulares, je nachdem die Ej-eisschwingung rechts hemm oder links herum (im Sinne des Uhrzeigers oder im entgegengesetzten) um die Blickrichtung statt- findet; denn bei einer Kreisbewegung rotieren Fahrstrahl^ Ge- schwindigkeits- undBeschleunigungsvektor in dem gleichen Sinne. Nach (54) bilden (B, ^ und r^ ein System von drei auf- einander senkrechten Vektoren^ und zwar folgen ti, — ^ und d, oder (Bj ^, ti aufeinander^ wie die Achsen eines rechtshändigen Eoordinatensystemes. Es liegt mithin S in der Wellenebene senkrecht zu ^^ also parallel der Projektion des Vektors p (oder des Beschleunigungsvektors) auf die zur Blickrichtung senkrechte Ebene. Der Betrag von ft')^^=-i:-;/(»',S)^<. Wir erfüllen also die Energiegleichung, indem wir setzen d.h. indem wir die Reaktionskraft der Strahlung dem zweiten Differentialquotienten des Geschwindigkeits- yektors nach der Zeit proportional annehmen. Diese dissipatiye E^raft wirkt mithin nach einem anderen Gesetze^ als die Beibungskraft der gewöhnlichen Mechanik , welche man der Geschwindigkeit proportional zu setzen pflegt. Man sieht sofort, daß man, durch Annahme einer Proportionalität mit H, ^) oder auch mit ^ oder irgendeinem höheren DifiFeren- tialquotienten, oder auch einem Aggregate derartiger Glieder nicht den richtigen Wert (57 a) der Arbeitsleistung erhalten könnte. Wir wollen an dieser Stelle auf etwaige Bedenken, die der obigen Ableitung Yon St entgegengestellt . werden könnten, nicht eingehen, da wir weiter unten (in § 15) von einem all- gemeineren Standpunkte aus die Behandlung der Frage wieder aufnehmen werden.^) Durch Einführung des Ausdruckes (58) von Ä* in (57) erhalten wir (58a) ^_»__Ä»^, + ___. diese allgemeine Schwingungsgleichung tritt nunmehr an Stelle von (56 a). Gemäß (52) kann hierfür geschrieben werden 1) H. A. Lorentz (Enzykl. d. mathem. Wissensch. V. Art. 14 Nr. 20) gibt eine direktere Ableitung von (68). Zweites Kapitel* Die Wellenstrahlnng einer bewegten Punktladung. 73 Die Schwingungsgleichung des elektrischen Di- poles wird also bei Berücksichtigung der Strahlungs- dämpfnng eine Differentialgleichung dritter Ord- nung.^) § 10. Der Zeeman-Effekt. Daß das elektromagnetische Modell eines lichtemittierenden MoleküleS; welches wir soeben kennen lernten^ in manchen Fällen der Wirklichkeit entspricht^ dafDr ist der experimentelle Be- weis durch die Entdeckung P. Zeemans^) erbracht worden. Dieser Forscher hat gezeigt^ daß die Spektrallinien in starken magnetischen Feldern gewisse Veränderungen erfahren; diese Veränderungen haben sich in den meisten Fällen ohne weiteres auf Ghrund der Lorentzschen Theorie deuten lassen. Wir dürfen nicht versäumen^ den Zeeman- Effekt aus der im vorigen Para- graphen entwickelten Theorie abzuleiten. Führen wir, der Orundgleichimg V gemäß, die von dem äußeren Magnetfelde auf das Elektron ausgeübte Kraft in die Bewegungsgleichung (56 a) ein, so lautet diese "•S--"*'»+IM' oder, wenn wir überall, nach (52), die Geschwindigkeit tl des Elektrons durch das elektrische Moment p des Dipols ersetzen und die spezifische Ladung tj = -^-^ = — des negativen Elektrons einfuhren: (59) 0 + ,.^,==_4^§]. Dabei haben wir das Dämpfongsglied wiederum fort- gelassen, weil der äußerst geringe Betrag der Dämpfung für die Frequenzen der Eigenschwingungen nicht wesentlich in Betracht kommt. Wir legen der Integration der Schwii^ungsgleichung (59) sofort ein geeignetes Koordinatensystem zugrunde. Die ;8^ -Achse 1) M. Planck, Ann. d. Phys. 60, S. 677. 1897. 2) P. Zeeman. Phil. Mag. 48, S.226 n.44, S.256. 1897. 74 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. mag in Bichtong der magnetischen Kraftlinien weisen, während die (a;y) -Ebene auf diesen senkrecht steht; dann ergibt die Eomponentenzerlegong (59a) g^+Ä»,,= -i,l#|§^, (59b) ^ + t«^,^= + ,|§l^, (59c) ^ + k'p, = 0. Die Schwingungskomponente parallel den magnetischen Kraftlinien wird demnach Yon dem magnetischen Felde nicht beeinflußt. Setzen wir so ist die Frequenz v ^Jc die gleiche, welche allen drei Schwingungskomponenten außerhalb des magnetischen Feldes zukommt. Was aber die Schwingungen in der (a?y)-Ebene anbelangt, so sind die Komponenten pxf pp durch das magnetische Feld miteinander verkoppelt, wie die Gleichungen (59 a, b) anzeigen. Das läßt vermuten, daß wir hier zwei voneinander und von der ursprünglichen Frequenz Je abweichende Frequenzen v' und 1/" erhalten werden. Wir versuchen die Differentialgleichungen (59 a, b) durch den Ansatz (60) ^I;,= a6»''^ ^iy=6e»''* zu befriedigen, wo a imd b zwei komplexe, für Amplitude und Phase der beiden Komponenten maßgebende Konstanten sind. Wir finden a (Jk* -— 1/') = — iy 1^1 bi V, < 6(Ä*— v^) ^ + ri\^\aiv. Durch Elimination von a und b wird für i/* die quadra- tische Gleichimg erhalten Bezeichnen wir mit i/' die kleinere, mit i/" die größere der beiden Frequenzen, so erhalten wir (60a) Zweites Kapitel. Die Wellengtrahltmg einer bewegten Ponktladmig. 75 oder, weil nar positiTe Werte von i/, v" zuUissig sind: (60c) Es werden also von den zu den Magnetkraftlinien senkrechten Schwingungskpmponenten des Dipols zwei Spektrallinien entsandt^ derenFrequenzen voneinander nnd von der ursprünglichen Frequenz Je abweichen. Der Abstand der beiden Spektrallinien^ in der Skala der Frequenzen gemessen^ beträgt (60d) ^'_v'«^|§|, er ist gleich dem Produkte aus der spezifischen Ladung der schwingenden Elektronen und der magnetischen Feldstärke. Die ursprüngliche Frequenz k entspricht nach (60 c) nicht genau der Mitte der beiden abgeänderten Frequenzen i/, v\ Doch ergibt sich das Produkt 17 \^\ für alle herstellbaren Felder so gering — nur mit intensiven Feldern gelingt über- haupt die Trennung der Linien — , daß das Quadrat dieses Produktes in (60 c) zu yemachlässigen ist^ und daß mit ge- nügender Annäherung gesetzt werden darf: (60e) ^^k. um nun den Charakter der stattfindenden Schwingungen zu erkennen^ müssen wir das Verhältnis der Eonstanten a, b aus einer der Gleichungen (60 a) ermitteln. Für die langsamere der beiden Schwingungen^ von der Frequenz v\ folgt aus (60a, b) (60f) ^ = ^^! = + ^ für die schnellere der beiden Schwingungen, von der Frequenz v'', 76 Barster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegnng der einzelnen Elektronen. Es sind also^ sowohl far die langsamere^ wie för die schnellere Schwingung; die Amplituden der beiden Kompo- nenten ^x, ^y die gleichen; die Phasen jedoch weichen um — voneinander ab. Beides sind demnach zirkuläre Schwin- gungen. Bei der langsamen Schwingung ist, nach (60 f); die 2^-Eomponente der a;-Eomponente um .-^ an Phase voran, d. h. die Kreisbewegung führt, nach einer Viertelschwingung, von der «/-Achse zur o; -Achse, sie stellt also eine negative Drehung um die mit der je -Achse zusammenfallende Richtung des magnetischen Feldes dar. Einem auf der Seite der posi- tiven jsr-Achse befindlichen Beobachter erscheint die Kreis- schwingung als Drehung im Sinne des Uhrzeigers, oder als rechts -zirkuläre Schwingung. Bei der schnelleren Schwingung hingegen ist nach (60 g) die a; -Komponente der y -Komponente um — an Phase voran, diese Bewegung entspricht einer posi- tiven Umkreisung der j?-Achse und erscheint einem auf der Seite der positiven jgr -Achse befindlichen Beobachter ab links- zirkulare, dem Uhrzeigersinne entgegengesetzte Schwingung. Wir denken uns jetzt die Flamme zwischen den Polen des Magneten; auf derjenigen Seite, nach der das magnetische Feld gerichtet ist, mag der Magnet durchbohrt sein. Was wird ein durch das Loch hindurchblickender Beobachter wahr- nehmen? Für diesen Beobachter kommen nur die Schwingungen in der (a;t/)-Ebene in Betracht; denn wir haben im vorigen Para- graphen gesehen, daß nur die zur Blickrichtung senkrechten Komponenten der Elektronenbewegung für die ausgestrahlten Wellen maßgebend sind. Die der ;s^-Achse parallele Kom- ponente sendet daher den Magnetkraftlinien parallel kein Licht aus. Der Beobachter wird also bei spektraler Zerlegung des Lichtes die ursprünglich einfache Spektrallinie verdoppelt finden. Dieses Duplet von Linien ist zirkularpolari- siert, und zwar erscheint dem Beobachter, welcher den Kraftlinien des magnetischen Feldes entgegen- blickt, die im Spektrum auf der roten Seite liegende Zweites Kapitel. Die Wellenßtrahliing einer bewegten Pnnktladting. 77 Linie rechtszirkular^ die anf der Tioletten Seite liegende linkezirkular polarisiert Die Beobachtung des ;^longitndinalen Zeeman-Effektes^' hat in der Tat ein derartiges Duplet ergeben^ wenigstens für die Mehrzahl der untersuchten Spektrallinien. Hieraus ist zu schließen, daß das negative Elektron es ist, welches die Spek- trallinien ausstrahlt. In der Tat haben wir, bei der Auf- stellung der Ghnndgleichung (59), die negative Ladung des Elektrons bereits berücksichtigend ^ cm cm gesetzt. Für die positiven Elektronen wäre in (59) das Vor- zeichen von 1} umzukehren, mithin auch in (60a); so würde sich für die beiden Ereisschwingongen das entgegengesetzte Verhalten ergeben, indem die rechts -zirkuläre die schnellere, die links -zirkuläre die langsamere sein müßte. Der Zeeman- Effekt zeigt also, daß die im vorigen Paragraphen gegebene Spezialisierung des elektromagnetischen Modelles einer Licht- quelle, welche den periodischen Wechsel des Dipoles auf die Schwingungen des negativen Elektrons zurückführt, für die betreffenden Spektrallinien zutreffende Folgerungen ergibt. Die Messung des Abstandes der beiden Linien des Duplets ge- stattet es, wenn die magnetische Feldstärke bekannt ist, auf Grrund von (60d) die spezifische Ladung 17 zu bestimmen. Der von C. Bunge und F. Paschen gefundene Wert (61) ij = l,68 10' stimmt mit dem bei Eathodenstrahlen erhaltenen (vgl. § 2, Gl. 9) so gut überein, als es bei der Schwierigkeit dieser Messungen zu erwarten ist. Übrigens hat sich auch die Forderung der Theorie, daß der Abstand der Komponenten des Duplets, in der Skala der Frequenzen gemessen, für alle Linien bei gegebenem magne- tischen Felde der gleiche, und der magnetischen Feldstärke proportional ist, in den Fällen bestätigt, wo überhaupt die einfache Zerlegung in ein Duplet gefunden wurde. 78 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegang der einzelnen Elektronen. Was wird nun ein Beobachter wahrnehmen^ der das senk* recht zu den Magnetkraftlinien ausgestrahlte Licht spektral zerlegt? Er wird nach § 9 die Projektion der Schwingung auf eine zur Blickrichtung senkrechte, also den magnetischen Kraftlinien des Feldes parallele Ebene beobachten. In der Projektion ergeben aber die beiden zirkulären Schwingungen geradlinige Schwingungen von den Frequenzen i/' und v", senkrecht zu den Kraftlinien. Hierzu tritt nun noch die Schwingung if, parallel den Kraftlinien, deren Frequenz die- jenige der ursprünglichen Spektrallinie ist. Der Beobachter wird also ein Triplet von Linien wahrnehmen; in den beiden äußeren Linien finden die elektrischen Schwingungen senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien des äußeren Feldes statt; diese sind also geradlinig parallel den Kraftlinien polarisiert. Die innere Linie hingegen ist senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien polarisiert; in ihr finden die Schwin- gungen des elektrischen Vektors parallel den Kraft- linien des Hagnetfeldes statt, in dem sich die Flamme befindet. Auch diese Beschreibung des „transversalen Zeeman-Effektes^^ entspricht, bei den meisten Spektral- linien, der Beobachtung. Diese einfache Form weist die Veränderung der Spektral- linien im magnetischen Felde jedoch keineswegs in allen Fällen auf. Manche Spektrallinien, z. B. die gelben Natriumlinien 2>^ und D2, teilen sich, anstatt in drei, in vier oder in sechs Linien; gewisse Linien des Quecksilberspektrums weisen, bei Beobachtung senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien, sogar eine Teilung in neun Linien auf. Wie die sorgfältigen Unter- suchungen von C. Bunge und F. Paschen^) ergeben haben, sind es gerade die Serienlinien, die solche anomalen Zeeman-Effekte zeigen. Diese Untersuchungen haben sehr bemerkenswerte Gesetz- mäßigkeiten festgestellt. Alle Linien einer und derselben Serie weisen die gleiche Zerlegung im magnetischen Felde auf, sowohl 1) C. Eunge u. F. Paschen. Sitzimgsber. d. Berl. Ges. d. Wißsensch. 1902, S. 380 u. 720. Vgl. den Artikel von C. Runge in H. Kaysers Hand- buch der Spektroskopie Bd. II. Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung. 79 was die Zahl^ als auch was den in der Skala der Frequenzen gemessenen Abstand der getrennten Linien anbelangt. Ja sogar die Linien yerscbiedener Elemente^ die einer und derselben Omppe des MendelejelBEschen Systemes angehören^ besitzen meist den gleichen Zeeman- Effekt^ wenn sie entsprechenden Serien angehören. Der Zeeman- Effekt ist ein charakteristisches Merk- mal für die betreffende Serie; er hat es in einigen Fallen er- möglicht; bis dahin noch nicht in Serien eingeordneten Linien ihren richtigen Platz anzuweisen. Das in den beiden letzten Paragraphen entwickelte ein- fache Modell eines leuchtenden Moleküles erweist sich; wie wir sehen, gerade für die Serienlinien als unzulänglich^ da diese Linien anomale Zeeman -Effekte zeigen. Li der Tat konnten wir das Bild eines einzelnen, unter dem Einflüsse einer quasi- elastischen Kraft um eine stabile Oleichgewichtslage schwingen- den Elektrons nur als eine provisorische Arbeitshypothese be- trachten. Es ist merkwürdig genug, daß dieses Bild wenigstens für die isolierten Linien von der Beobachtung bestätigt wird. Es ist bisher noch nicht gelungen, die anomalen Zeeman-Effekte vom Standpunkte der Elektronentheorie aus in befriedigender Weise zu deuten. Die von G. Bunge und F. Paschen entdeckten Gesetzmäßigkeiten lassen vermuten, daß eine befriedigende Er- klärung nur in Verbindung mit der Theorie der Spektralserien möglich sein wird. Jenes einfache elektrische Modell eines Moleküles oder Atomes wird dabei zweifellos durch ein kompli- zierteres zu ersetzen sein. Da unsere Kenntnisse der elektrischen Struktur der Atome und Moleküle der Materie nur gering sind, so ist dabei der Hypothesenbildung ziemlich freies Spiel gelassen. Anderseits sind die von Bahner, Kayser und Bunge, Bydberg und Ritz für die Wellenlängen der Spektralserien aufgestellten Formeln so genau gültig, daß sie ein recht scharfes Kriterium für die Zulässigkeit einer derartigen Hypothese bilden. Die Deutung jener Spektralformeln, welche gleichzeitig die Theorie der anomalen Zeeman-Effekte der Serienlinien ergeben müßte, ist wohl die wichtigste und die schwierigste Aufgabe der elektro- magnetischen Lichttheorie. Daß die Elektronentheorie nicht ganz 80 £2rster Abschnitt, Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen, auf der falschen Fährte ist; zeigt der Umstand; daß hinsichtlich der Polarisation die anomalen Zeeman-EjBTekte den normalen ähnlich sind. So weisen z. B. von den neun Linien, in welche gewisse Linien des Quecksilbers im magnetischen Felde sich spalten; die drei inneren dieselbe Polarisation auf; wie die innere Linie des einfachen TripletS; während die äußeren Linien eben- so polarisiert sind; wie die äußeren Linien des Triplets bzw, DupletS; nämlich bei Strahlung senkrecht zum magnetischen Felde geradlinig parallel den Kraftlinien; bei Strahlung parallel dem magnetischen Felde zirkulär. Auch ist die Ghrößenordnung der Linienabsi^dC; und der Sinn der Zirkularpolarisation; derselbe; wie bei dem einfachen Duplet und Triplet. Das läßt vermuten; daß auch hier die negativen Elektronen in Bewegung begriffen sind; freilich unter weniger einfachen Be- dingungen. Bei der Strahlung der Bandenspektren ist es bisher nicht gelungen; einen Zeeman-Effekt des magnetischen Feldes nach- zuweisen. Man kann im Zweifel sein, ob dieses Licht von Elektronen ausgesandt wird; die mit Atomen der wägbaren Materie verkoppelt sind; oder ob es den Schwingungen der positiven Elektronen seinen Ursprung verdankt. Es ist viel- leicht nicht ganz ausgeschlossen; daß es mit Hilfe einer ver- feinerten optischen Technik einst gelingen wird; über diese Frage Auskunft zu erhalten. § 11. Die elektromagnetischen Potentiale einer bewegten Funktladung. In § 9 haben wir bei der Berechnung des Hertzschen Vektors für eine schwingende Punktladung uns gewisse Ver- nachlässigungen gestattet Wir haben angenommen; daß die Bewegung der Ladung auf einen Bereich sich erstreckt; dessen Abmessungen klein gegen die Entfernung der Punktladung vom Aufpunkte sind. Sodann haben wir die Geschwindigkeit der bewegten Ladung als klein gegen die Lichtgeschwindigkeit angesehen. Diese Voraussetzungen wollen wir jetzt fallen lassen. Wir betrachten ein Elektron; welches sich J Zweites EapiteL Die Wellenstrahlxmg einer bewegten Ponktladung. 81 beliebig im Banme bewegen kann; seine Geschwin* digkeit soll znnächst beliebig groß angenommen werden. Wir lassen indessen anch jetzt noch die Ghrdße und Gestalt des Elektrons onberücksichtigt^ indem wir dasselbe wie eine Ponktladung behandeln. Wie wir bereits früher er- wähnten^ ist es vom Standpunkte der Nahewirkungstheorie aus undenkbar^ daß eine endliche Elektrizitatsmenge auf einen mathematischen Punkt zusammex^edrangt wird, da dieses einen unendlichen Wert der Feldenergie ergeben würde. Wir werden diese Bemerkung später bestätigt finden und werden der Dynamik des Elektrons bestimmte Annahmen über seine Form und Bewegungsfreiheit zugrunde legen. Immerhin werden sich die Abmessungen des Elektrons so gering — von der Ord* nuiig 10~^ cm — ergeben, daß es für manche Zwecke aus reichend ist, das Elektron als Punktladung zu betrachten. Das wird selbstrersföndlich nur für solche Aufyunkte erlaubt sein, deren Abstand vom Elektron groß gegen dessen Abmessungen ist. Dieser Bedingung genügen jedenfalls die in der Wellenzone gelegenen Aufyunkte. Daher werden wir die Formeln dieses Paragraphen insbesondere zur Ermittelung der von einem rasch bewegten Elektron entsandten Wellenstrahlung verwerten können. Wir werden so der in § 9 entwickelten Theorie der ruhenden Lichtquelle eine Theorie der bewegten Licht- quelle an die Seite stellen und werden anderseits gewisse Konsequenzen der Stokes-Wiechertschen Hypothese entwickeln, welche die Röntgenstrahlen als die beim Aui^rall der Kathodenstrahlen auf die Antikathode entsandte Wellenstrahlung anspricht. Diese Folgerungen sind gerade dadurch bemerkens- wert, daß sie sich auf den GhrenzfEdl eines Elektrons Ton ver- schwindenden Abmessungen beziehen. Welche Voraussetzungen man auch über die Gestalt des Elektrons machen möge, beim Grenzübergang zu verschwindend kleinen Abmessungen muß sich stets dasselbe Resultat ergeben. Freilich ist dieser Grenz- übergang, wie wir sehen werden, nicht immer erlaubt. In allen Fällen jedoch, in denen er erlaubt ist, sind die Ergebnisse als Folgerungen der Grundhypothesen der Elektronentheorie Abraham, Theorie der Blektrizitftt. n. 6 82 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. allein anzasehen^ die in den Grundgleichnngen (I) bis (Y) formuliert sind. Wir bestimmen die elektromagnetischen Potentiale der Ponktladang anf Orund der allgemeinen Formeln (50^ 51). Wir denken uns eine Elektrizitätsmenge e, die einen ge- wissen endlichen Bereich erfüllt Die Entfernung des Anf- punktes P soll groß sein gegen die Abmessungen jenes Bereiches. Wir erinnern uns der Deutung mit Hilfe der auf den Auf punkt hin sich mit Lichtgeschwindigkeit kontrahierenden Eugel; durch die wir die Formeln (50 a) und (51a) erläuterten. Für unseren Aui^unkt P ist der Badius A der Eugel groß gegen die Abmessungen der Flächenstücke f, in denen sie das bewegte Elektron schneidet; es sind mithin diese Flächenstücke mit genügender Annäherung als eben zu betrachten; durch diese Ebenen wird das Elektron in dünne Scheiben von der Höhe dh zerschnitten; die einzelne Scheibe enthält die Elek- trizitätsmenge f(f dh =» de. Nun bezieht sich die Integration in (50) nicht auf die Yolumelemente des bewegten Elektrons, sondern auf die jeweils von Elektrizität erfüllten Yolumelemente des Baumes. Will man den Beitrag XdXdcDQ ^ dfQ-j- berechnen, den die Elektrizitätsmenge de der einzelnen Scheibe zu dem Werte von 0 im Aufpunkte beisteuert, so muß man den Abstand dX der beiden Lagen der sich kontrahierenden Kugel berechnen, wo diese in die elektrizitätserfüllte Scheibe eintritt bzw. aus dieser austritt; dieser Abstand ist im Baume, nicht im bewegten Elektron gemessen zu denken. Es ist aber nicht schwer, dX zu berechnen. Setzen wir dX = c dxy so ist dx die Zeit, während deren die mit der Geschwindig- keit c durch den Baum eilende Fläche über die Scheibe von der Höhe dh hinwegstreicht. Diese Zeit berechnet sich als Quotient aus der Höhe dh und der dieser Höhe parallelen Komponente der Belativgeschwindigkeit der bewegten Fläche J Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Fimktladnng. 83 und der bewegten Scheibe. Die Engel bewegt sich mit Licht- geschwindigkeit (c) senkrecht zu der Grundfläche der Scheibe^ während die Geschwindigkeit der Scheibe durch die Geschwin- digkeit li des Elektrons sich bestimmt; und zwar ist die Komponente von li in Richtung nach dem Mittelpunkte der Eugel; d. h. in Richtung des vom Elektron nach dem Auf- punkte hin gezogenen Radiusvektor r zu nehmen. Folglich ist die entsprechende Komponente der Relatiygeschwindigkeit von Kugel und Scheibe gleich c — t^r» Es ist also die Zeit dt, während deren die Kugel die Scheibe überstreicht: , dh r und daher (62) dX = cdT = -^- 1 — ?: c Wir haben soeben stillschweigend ai^enommen, daß c > Kr ist, d. h. daß das Elektron Ton der sich kontrahierenden Kugel überholt wird. Bewegt sich hingegen das Elektron mit XJber- lichtgeschwindigkeit; so kann der Fall eintreten, daß es, die kontrahierende Kugel überholend, von außen nach innen durch dieselbe hindurchtritt. In diesem Falle ist die Relatiy- geschwindigkeit ör — Cf und es ist (62a) dA = -^ c zu setzen. Allgemein ist zu schreiben (62b) dX = ^* K Doch wollen wir zunächst | ti | < c annehmen und an (62) die weitere Betrachtung anknüpfen. Wir erhalten als Beitrag unserer Scheibe zum skalaren elektromagnetischen Potential im Aufpunkte /nci \ jr ^^ dfgdh 1 de (62c) dfQ j '-f- ('-» '('4 84 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Es bleibt nur die Integration über die einzelnen Scheiben übrig. Da der Abstand r des Aoi^unktes als groß gegen die Abmessungen des Elektrons angesehen wurde^ so ist er bei der Int^ration konstant zu halten. Die Integration ist daher ohne weiteres auszuführen^ falls es auch erlaubt ist, li als konstant anzusehen für diejenige Zeit, wahrend deren die Engel über das Elektron hinwegstreicht. Sie ergibt in diesem Falle (63) * = (-4) als Wert des skalaren elektromagnetischen Potentiales für Bewegung mit Unterlichtgeschwindigkeit. In dem Ghrenzfalle einer Punktladung ist es natürlich ohne weiteres gestattet, f 1 -y ebenso wie r, bei der Inte- gration über das Elektron als konstant anzusehen. Da wir indessen diesen Grenzfall nicht als streng verwirklicht be- trachten, so bedeutet die Eonstantsetzung dieser Größen eine gewisse Einschränkung des Gültigkeitsb^eiches der Formel (63). Erstens ist diese Formel, wie schon erwähnt, nur auf solche Aufpunkte anzuwenden, deren Abstand vom Elektron groß ^egen die Abmessungen des Elektrons ist. Schließen wir das Elektron in eine Engel vom Radius a ein, so muß (63 a) T groß gegen a K sein. Zweitens aber muß, damit die Veränderung von — in der Zeit __ ; wahrend deren die Engel über das Elektron r hinwegstreicht, für keinen der Aafpunkte in Betracht kommt. (63t>) ^Jji^ klein gegen 1 sein (6 stellt den Beschleunigungsvektor dar). Nur dann, wenn die Abmessungen des Elektrons 80 klein, die Beschleunigung so gering und die Geschwindigkeit von der Lichtgeschwindigkeit so entfernt ist, daß die Bedingungen (63a) und (63b) Zweites Kapitel. Die WellenstrahlniLg einer bewegten Ponktlftdnng. g5 erfüllt sind^ ist es gestattet; das Elektron durch eine Panktladnng zu ersetzen. Sind diese Bedingungen erfOllt^ so laßt sich die Berech- nung des Yektorpotentiales nach der Formel (51) in ent- sprechender Weise durchführen. Es tritt nur an die Stelle ii des Skalars q der durch (10) bestimmte Vektor q — Schließen wir Rotationen des Elektrons aus, so ist der Beitrag jeder einzelnen Scheibe zum Yektorpotential de — c i'-i) Ist nun die Bedingung (63 b) erfOllt, so ist auch die ** ii Änderung; welche — beim Hinwegstreichen der mit Licht- geschwindigkeit bewegten Kugel über das Elektron erfahrt, zu yemachlassigen; und es führt die Integration über die einzelnen Scheiben ohne weiteres zu dem Ausdruck (64) « = - '^ rc (■4) des elektromagnetischen Yektorpotentiales. Die Formeln (63) und (64) f&r die elektromagnetischen Potentiale einer bewegten Punktladung sind von A. Li^nard^) und E. Wiechert') abgeleitet worden. Infolge der geringen Abmessungen des Elektrons erweisen sie sich auch für ziemlich betrachtliche Beschleunigungen und bis unmittelbar an die Lichtgeschwindigkeit heran als gültig. Der Fall unstetiger Bewegung des Elektrons hingegen sowie der Fall einer be- schleunigten Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit liegen nicht in ihrem Gültigkeitsbereiche, weil hier die Bedingung (63 b) nicht mehr erfüllt ist. Auch ungleichförmige Bewegungen mit Über- lichtgeschwindigkeit dürfen nicht auf Grund dieser Formeln be- handelt werden, weil es bei solchen Bewegungen immer Auf- 1) A. Lidnard, L'äolairage ^lectrique 16. 1898. S. 5, 53, 106. 2) E.Wiechert, Arch.n^erland. (2) 5. S. 649. 1900. Ann. d. Phya. 4. 8.667. 1901. 86 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. punkte gibt, wo c — lir = c — |ti| cos(li,r) gleich Null wird; auf solche Aufpunkte hin eilt die kontrahierende Kugel mit derselben Geschwindigkeit wie das Elektron, so daß H bei der Integration über das Elektron nicht als konstant angesehen werden darf. Auch die Anwendung auf gleichförmige Be- wegung mit Überlichtgeschwindigkeit gibt sich dadurch als unzulässig kund, daß es Aui^unkte gibt, für welche der Nenner in (63) bzw. (64) verschwindet; diese Punkte liegen auf einem Eegel, der mit der Bewegungsrichtung den Winkel arc sin (tzt) einschließt. In solchen Aufpunkten drängen sich, da die kontrahierende Eugel stets die mit Überlichtgeschwindigkeit bewegte Punktladung durchschneidet, die zu allen voran- gegangenen Zeiten entsandten Beiträge zusammen; daher rührt das ünendlichwerden der Ausdrücke (63) imd (64). Dasselbe fallt fort, wenn man die Elektrizität des Elektrons auf ein Volum von endlichen, wenn auch geringen, Abmessungen ver- teilt annimmt. Es ist demnach für den Fall der Licht- geschwindigkeit und der Überlichtgeschwindigkeit der Grenzübergang zur Punktladung unzulässig. Die Anwendung der Formeln (63) und (64) zur Ermittelung des Feldes eines bewegten Elektrons ist auf Bewegungen mit Unterlichtgeschwindigkeit einzuschränken. Aus der Ableitung dieser Formeln geht hervor, daß t bzw. H Radiusvektor vom Elektron nach dem Aufpunkt und Geschwindigkeit des Elektrons zu der Zeit t* bedeuten, als die mit Lichtgeschwindigkeit c sich kontrahierende Kugel über das Elektron fortstrich. Diese Zeit (64a) t' = t-i bestimmt sich für einen jeden Aufpunkt, wenn die Bewegung des Elektrons gegeben ist; denn r ist dadurch als Funktion von t' gegeben. Falls, wie weiterhin angenommen wird, die Geschwindigkeit des Elektrons kleiner als c ist, so kann die Kugel das Elektron immer nur ein einziges Mal schneiden. Es ordnet sich mithin für einen gegebenen Aufpunkt P der J Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung. 87 Zeit t des Eintreffeus der Störung die Zeit t' des Entsendens in eindeutiger Weise zu. Da offenbar (64b) ist; SO folgt aus (64a) oder (64c) )4a) dr dt' " ~tl. dt dt' "" d(t' + dt' d 1 dt' dt Man kann daher die Formeln (63) und (64) auch fol- gendermaßen schreiben: e dt' (65) r dt et dt[ rc dt Aus den elektromagnetischen Potentialen folgt nach (28) und (29) das elektromagnetische Feld der bewegten Punktladung. § 12. Das Feld einer gleichförmig bewegten Funktladong. Wir betrachten eine Punktladung, die sich gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Es mag JE' (Abb. 2) Abb. 8. ihre Lage zur Zeit t^ gewesen sein, als sie die Beiträge (63) und (64) zu den elektromagnetischen Potentialen entsandte, die zur Zeit t im Aufpunkte P eintreffen; E hingegen sei der Punkt, in dem die Ladung sich zu der Zeit t befindet. Es ist daher 88 E!nter Absohnitt. Das Feld a. die Bewegung der einzelnen Elektronen. und die Projektion von E'E auf E'Pi Folglich ist Wir können anderseits FP durch den von der gleich- zeitigen Lage E des Elektrons nach dem Aofpnnkte P hin gezogenen Radiusvektor tt ausdrücken. Es ist FP- Ucosx ^ BT/l-sin*x. Da nun aus elementargeometrischen Gründen gilt sinx : sin^ = F'jE; : i;'P = |b| - : r = ^ c c so folgt (66) r (l - ^) = Byi-/J«sin**, wobei abkürzungsweise gesetzt ist (66a) /' = ^<1- Da die Geschwindigkeit der Punktladung kleiner ist^ als die Lichtgeschwindigkeit; so ist ß ein echter Bruch. Die Formeln (63) und (64) ergeben jetzt (66b) * : Äl/1-/J«sin»ip (66 c) « = ^ als die elektromagnetischen Potentiale der gleich- förmig bewegten Punktladung. Wie man sieht^ hängt ihr Wert zur Zeit t nur ab von der Lage des Aufyunktes^ bezogen auf die gleichzeitige Lage des Elektrons und auf die Bewegungsrichtung. Führen wir Koordinaten X, T, Z ein, mit E als Eoordinatenursprung und der Bewegungsrichtung als X-Achse, so gilt Zweites EapiteL Die Wellenstrahlnng einer bewegten Pnnktladmig. 89 (67) «=-4, %, = 4> «,=-«.-0, » " « wenn (67a) s = Byi-/S«8in»* = l/Z« + (l-/J«)(r« + Z«) gesetzt wird. Bezogen anf ein mit dem Elektron mitbewegtes Bezugs- system; sind die elektromagnetischen Potentiale^ und mithin die Felder des elektrischen und des magnetischen Vektors^ von der Zeit unabhängig. Indem wir das mit dem Elektron translatorisch bewegte Bezugssystem zugrunde legen, können wir das elektromagnetische Feld aus (28), (29) ohne weiteres ableiten. Wir haben nur zu beachten^ daß die vom bewegten Bezugssystem aus beurteilte zeitUche Änderung des Vektors « (vgl. Bd. I, Gl. 116, S. 113) ^ = ^ + (bF)«»0 ist. Daraus folgt 'cTt Päx" Es ergibt daher (29) Ky ai-' W. 3^5 nach AnsfÜhning der Differentiationen folgt . (67c) «. = (l-^«)5^, «^=(1-^»)^, «,= (l_^«)if; oder, in vektorieller Schreibweise (67 d) « = (i_|j»)^. Der elektrische Vektor weist parallel dem von der jeweiligen Lage des Elektrons aus konstruierten Radiusvektor tt. Anderseits ergibt sich aus (28) für die Komponenten des magnetischen Vektors: 90 Erster Abschnitt. Das Feld u, die Bewegung der einzelnen Elektronen. (67 e) ^y- Tz- Pdz P*" oder vektoriell geschrieben (67f) ^ = i[tt«] = ü^«[ö«]. Der magnetische Vektor steht senkrecht auf der Bewegungsrichtung des Elektrons und auf dem Radius- vektor 8t. Das durch (67d, f) bestimmte Feld führt die Punktladung bei ihrer Bewegung mit. Das elektromagnetische Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung ist zuerst von 0. Heaviside^) angegeben worden. Es entspricht dem Felde eines gleichförmig bewegten Elektrons in Entfernungen, die groß gegen die Abmessungen des Elek- trons sind. Wir berechnen noch den durch die Grundgleichung (V) bestimmten Vektor 5 = « + i[|,§]; derselbe gibt die elektromagnetische Eraft an^ welche auf die Einheit der mitbewegten Ladung wirkt. Es ist nach (67 b, e) 15x = «« =_(l_/3i>)||, ff. = %-^#.= -(l-^0 dX oder vektoriell geschrieben (68) ^ = -rw, ^=(l-ß^)l. Die elektromagnetische Kraft auf die mitbewegte Einheit der Ladung stellt sich als negativer Gradient 1) 0. Heaviside, Electrical papers. IL S. 495. I Zweites Kapitel. Die Wellenatrahlimg einer bewegten Punktladong. 91 eines Skalars ^P* dar. Dieser wird das „Konvektions- potentiaP' genannt. Wir wollen die Fläclien konstanten Eonyektionspotentiales konstruieren. Diese Flächen (68a) 5^ = Z» + (1 - ß^) (r» + Z^) = Constans sind abgeplattete Rotationsellipsoide; ihr Mittelpunkt fällt in die Punktladung, ihre Rotationsachse in die Bewegungsrichtung; ihr Achsenyerhältnis ist (68 b) yT^:l. Diese Ellipsoide werden Heaviside-Ellipsoide genannt; ihre Abplattung wächst mit wachsender Geschwindigkeit der Ladung. Setzt man ß ^0, so geht das Feld des Vektors % in das elektrostatische Feld, das Eonvektionspotential ^ in das elektro- statische Potential über; die Schar der einander ähnlichen Heaviside -Ellipsoide geht in eine Schar konzentrischer Kugeln über. In der Theorie der Konyektionsstrahlung spielt das Eonyektionspotential eine ähnliche Rolle, wie das elektro- statische Potential in der Elektrostatik. Die Äquipotential- flächen eines ruhenden, geladenen Körpers sind, in großer EntfemuDg von dem Körper, stets konzentrische Kugeln. Dem- entsprechend nehmen die Flächen konstanten Konvektions- potentiales in dem von einem gleichförmig bewggten Elektron erregten Felde, in großen Entfernungen vom Elektron stets die Form von Heaviside-Ellipsoiden an; senkrecht zu diesen Flächen ist die Kraft gerichtet, welche das Elektron auf eine mit gleicher Geschwindigkeit ihm parallel bewegte Ladung ausübt. Die Feldstärken (67d, f) nehmen, mit wachsender Ent- fernung von der erregenden Ladung, umgekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung ab. Bei gleichförmiger Bewegung des Elektrons bildet sich demnach keine Wellenzone aus, es findet keine Energieabgabe durch Strahlung statt, sondern es wird die Energie vom Elektron konvektiv mitgeführt. Das 92 Erster Abschnitt« Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. gleichförmig bewegte Elektron stellt eine reine Eon- yektionsstrahlung dar. Eine Wellenstrahlung wird nur dann entsandt^ wenn die Geschwindigkeit der bewegten Ladnng sich dem Betrage oder der Bichtang nach ändert. § 13. Das Feld einer ungleichförmig bewegten Panktladung. Die allgemeinen Formeln^ welche wir in § 11 für die elektromagnetischen Potentiale einer PunkÜadnng gewonnen haben^ gestatten es^ das Feld einer beliebig bewegten Punkt* ladung zu ermitteln. Beschränken wir uns auf den Fall der Unterlichtgeschwindigkeit, auf Beschleunigungen; welche der Bedingung (63b), und auf Entfernungen, welche der Be- dingung (63a) genügen, so stellen die so zu erhaltenden Formeln das Feld eines ungleichförmig bewegten Elektrons dar. Sie sind insbesondere darum von Interesse^ weil sie die Wellenstrahlung eines beschleunigten Elektrons enthalten. Wir schreiben die Ausdrücke (63, 64) der elektro- magnetischen Potentiale folgendermaßen: (69) * = f « = fj, wobei wir abkürzungsweise (69a) s = r(l-'^) = r-^(tx) setzen. Dabei bedeutet t den Badiusvektor, der von der bewegten Punktladung nach dem festen Aufpunkte P gezogen ist. Wir nehmen die Bewegung der Punktladung als gegeben an, und betrachten demnach t als bekannte Funktion von t\ Die Ge- schwindigkeit des Elektrons zur Zeit t^ ist (69b) » = - S' deren Komponente parallel dem nach dem Au^unkte hin- gezogenen Badiusyektor: (69c) tr g. Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Pnnktladnng. 93 Femer ist die Beschleunigangy die das Elektron zur Zeit t' erfahrt: (69d) »=§5. Der zur Zeit t* Yon der PunkÜadung entsandte Beitrag trifft nun nach Durchlaufung des Latensweges r im Aufpunkte P ein, also zur Zeit (70) t = t'+^. Ist anderseits der Aufpunkt P gegeben, und die Zeit t des Eintreffens der Störung in P, so ist, durch Gleichung (70), die Zeit t' des Entsendens in eindeutiger Weise bestimmt. Es ist diejenige Zeit, zu der die auf den Au^unkt hin sich mit Lichi^ geschwindigkeit kontrahierende Kugel die Punktladung trifft. Für den hier behandelten Fall der Unterlichtgeschwindigkeit ist Zeit und Ort des Treffens eindeutig bestimmt, wenn die Bewegung der Ladung gegeben ist. Bei gegebenem Aufpunkt ordnet sich, gemäß (70), einer jeden Zeit i des Eintreffens eine Zeit t' des Entsendens zu. Dem Übergang zur Zeit t + dt des Eintreffens entspricht, bei festgehaltenem Aui^unkt, ein Übergang zur Zeit f + dt' des Entsendens; dabei ist, nach (70), ^~ dt +1 dr dif dt oder, nach (69 c und a), (70a) dt 1 Kr • r 8 Diese Relation ist dem Sinne nach durchaus mit der Gleichung (64 c) identisch. Sie unterscheidet sich von ihr nur der Form nach, indem wir dort totale, hier partielle Diffe- rentiationszeichen gebrauchen. Das geschieht darum, weil wir den Aufpunkt P nicht ein für allemal festhalten, sondern es uns Yorbehalten, bei festgehaltener Zeit, den Au^unkt P zu verrücken. Einer solchen Verrückung des Aufpunktes würde eine Änderung der Zeit t' des Entsendens entsprechen, die wir in kartesischer Schreibweise durch die partiellen Differential- 94 Erster Absclinitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. quotienten nach den Koordinaten des Aui^anktes auszudrücken hätten. In vektorieller Schreibweise wird die Veränderung Yon t' bei Verschiebung des Aufpunktes durch den Gradienten rf sich ausdrücken. Nach (70) ist c Bei der Berechnung des Gh*adienten von r ist nun mit Vorsicht zu verfahren. Würde nur der Aufpunkt verschoben und der Ort der Punktladung festgehalten^ so würde der Gradient des Abstahdes r mit dem vom Elektron zum Auf- punkte hinweisenden Einheitsvektor t^ identisch sein. Nun entspricht aber der abgeänderten Zeit t' des Entsendens eine Verrückung der Punktladung; die zu einer Abstandsänderung Veranlassung gibt. Es wird demnach Hieraus folgt, mit Rücksicht auf (70 a) (70b) ^<'=-?S'- Daneben ergibt sich (70c) ^r=t/^. Würde man anderseits, bei festgehaltenem Aui^unkte, r partiell nach der Zeit t differentiieren, so würde nur der Zuwachs des Abstandes infolge der Abänderung der Zeit t' des Entsendens und der hierdurch bedingten Verrückung der Punkt- ladung in Frage kommen; es wird (70d) __.==^__=_|,^_. Durch partielle Differentiation nach der Zeit und nach dem Orte des Aufpunktes sind aus den elektromagnetischen Potentialeii (69) die Feldstärken, gemäß (28) und (29), ab- Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlmig einer bewegten Ponktladnng. 95 zuleiten. Um diese Differentiationen durchführen zu können^ müssen wir noch angeben, wie s und H nach Zeit und Ort zu differentiieren sind. Was zunächst s anbelangt, so ist dasselbe, nach (69 a), bei gegebenem Aufpunkte nur von f abhängig. Man hat daher ds ds dt' dl "dp ä*' und, nach (69 a bis d): Der Gh*adient Ton s hingegen ist Fs = Fr--iF(|it). c ^ ^ Wie bei der Berechnnng des Gradienten von r, so. ist auch bei der Berechnung des Gradienten des skalaren Produktes zu beachten, daß nicht nur der Aufpunkt verschoben wird, sondern daß dem verschobenen Aufpunkte sich, gemäß (70), ein anderer Ort der Punktladung zuordnet. Die a;-Komponente des bei festgehaltener Punktladung genommenen Gradienten von (Ht) ist "äS — ^^- Es ist demnach der erste Bestandteil des Gradienten gleich H. Der zweite, infolge der Yerrückung der Punktladung hinzu- tretende Bestandteil ist Es wird demnach, gemäß (70b) dt' F(l,t) = ||-^{(it)-ll dt Mit Rücksicht auf (70c) folgt endlich als Gradient von s: (71a) r, = ,,{l+^(i,)_»;)^' C 96 f^rster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Was die partiellen Differentialquotienten von H nach^, x, y, z anbelangt; so gilt, da H nur von V abhängt, nach (69 d) In entsprechender Weise gilt z. B. ^y *^y^ de ^^^dz' Daher ist die rr-Eomponente Ton curl ü dy dz -ir^' ^>- Entsprechende Ausdrücke gelten für die übrigen Kompo- nenten; wir fassen sie, Gleichung (70b) berücksichtigend, zu der Yektorgleichung zusammen: (71c) * c«rlli=i[»r,]^. Wir haben jetzt die Mittel gewonnen, um auf Grund der Formehl (28, 29): ^ ^ ® c dt § = curl V aus (69) das elektromagnetische Feld abzuleiten. Wir erhalten Nach (71a) ist hier zu setzen Femer folgt aus (71) und (70a) mithin Mit Bücksicht auf (71b) und (70a) wird demnach der folgende Ausdruck des elektrischen Vektors erhalten: Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlong einer bewegten Pnnktladung. 97 dabei ist, abkürzungsweise, gesetzt worden. Der magnetische Vektor hingegen wird, nach Regel (x) in I, S. 438 §„|cnrl{|)=^carlt.+^^[t.,P4 Hierin sind die Ausdrücke (71c) und (71a) einzutragen^ und es ist wieder, nach (70 a), s durch r und ( ^] auszudrücken. Dann folgt^ als Ausdruck des magnetischen Vektors, (TS) 6 -4,[».J(^)'+ .-^.[».]-{l - ?•+!,<•')]& Die Formeln (72) und (73) stellen das elektro- magnetische Feld einer beliebig bewegten Punkt- ladung dar.^) Die elektrische Feldstarke setzt sich aus zwei Vektoren zusammen. Der erste Vektor ist der Beschleunigung der Punktladung zur Zeit t* entgegei^erichtet. Der zweite Vektor ist parallel zu (73a) « = r{r,-|}=r-lif um diesen Vektor geometrisch zu interpretieren, gehen wir auf die Abbildung (2) des vorletzten Paragraphen zurück. Wir haben es hier allerdings nicht, wie dort, mit gleich- formiirer, sondern mit unirleichformiirer Bewe&ninir zu tun. Betrachten wir indessen, stett der wirklichen B^Tgung, eine solche, die gleichförmig mit der Geschwindigkeit H erfolgt, welche die Punktladung gerade zur Zeit t* des Entsendens 1) Ich habe diese Formeln ohne Angabe des Beweises in den Vor- lesTingen vorgetragen, die ich im Wintersemester 1901/02 an der Uni- versität Göttingen über die Theorie der elektromagnetischen Strahlung gehalten habe. Einen Beweis veröffentlichte K. Schwarzschild, Göttinger Nachrichten 1908, S. 132. Abraham, Theorie der Elektiixität. IL 7 98 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. (im Punkte JE?') besaß ^ so wird sie während der Latenszeit — die Strecket' JE? = H • — beschareiben. W wird dann derVektor J5P c der Figur 2, der von dem gleichzeitigen Orte des Elektrons nach dem Au^nnkte hin gezogen ist. Diesem Radiusvektor parallel weist der zweite Bestandteil des elektrischen Vektors. Bei einer wirklich gleichförmigen Bewegung geht er in (67 d) über. Den magnetischen Vektor können wir in der Form schreiben: (73b) ^ = [t, «]5 derselbe steht mithin senkrecht auf dem vom Orte des Ent* sendens E' nach dem Aufpunkte hin gezogenen Radiusvektor, und auf dem elektrischen Vektor. Wir sind nunmehr in der Lage, den allgemeinen Aus- druck der elektromagnetischen Kraft anzugeben, welche die PunkÜadui^ e auf eine zweite, zur Zeit t den Aufpunkt P mit der Geschwindigkeit H' passierende Punktladung e' ausübt. Diese Exaft ist, der Gh*undgleichung V gemäß, e'|f = c'{« + |[ti'#]) Durch Einführung von (73 b) erhalten wir ''S = «'{«+![»«' [t,«]]) und erkennen, daß die Kraft in der Ebene der Vektoren t^ und (S liegt. Nach Regel {S) in Bd. I, S. 437 können wir auch schreiben (73c) ^lf = e'{«(l-'^) + ^(t.'«))- Wir können diese Kraft mit K. Schwarzschild^) als ;;ele- mentare elektrodynamische Kraft'^ bezeichnen. Dieselbe hängt ab von Geschwindigkeit und Beschleunigung der Ladung e zur Zeit des Entsendens, und von der Geschwindigkeit der 1) K. Schwarzscliild, Gott. Nachr. 1903, S.1S2. J Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Pnnktladung. 99 Ladung d^ auf welche die Kraft wirkt^ zur Zeit des Ein- treffens der Erregung. In der Femwirkungstheorie der Elektrodynamik stellte man ein Elementargesetz für die Wechselwirkung zweier elek- trischer Ladungen an die Spitze und suchte auf dieses die ganze Theorie zu begründen. Wir haben, den Vorstellungen der Maxwellschen Theorie gemäß, die einfache und exakte Grund- lage der Elektrodynamik in den Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes gesehen. Als entfernte Folgerung jener Grundgleichungen hat sich nunmehr ein Elementargesetz für die Wechselwirkimg zweier Elektronen ergeben; dasselbe ist indessen weder einfach, noch in Strenge gültig. Wissen wir doch, daß das wirkende Elektron nur dann als Punkt- ladung betrachtet werden darf, wenn die Bedingungen (63 a) und (63 b) erfüllt sind. Nur in dem durch diese Bedingungen eingeschränkten Gültigkeitsbereiche wird man mit dem Ele- mentargesetze (73 c) operieren dürfen. Innerhalb dieses Be- reiches kann man, wenn die Bewegung des ersten Elektrons vorgegeben ist, aus Gleichung (70) für jeden Ort des zweiten Elektrons die zugehörige Zeit V des Entsendens, und aus (73 c) die zur Zeit i auf das zweite Elektron ausgeübte Exaft er- mitteln. Um aber die Rückwirkung auf das erste Elektron berechnen zu können, muß man die Beschleunigung kennen, welche diese Exaft dem zweiten Elektron erteilt; hierfür reichen jedoch die bisherigen Entwickelungen keineswegs aus. Viel- mehr werden wir zur Berechnung der Bewegung eines Elek- trons bei gegebener Kraft erst im nächsten Kapitel die Hilfs- mittel gewinnen. Dort werden wir auf die Grundgleichungen I bis y zurückgehen, und in einfachen Fallen näherungs weise gültige Lösungen derselben ermitteln. Solange ims die Lösung des „Einelektronproblemes^^ noch unbekannt ist, kann uns das Gesetz der elementaren elektrodynamischen Kraft nur von ge- ringem Nutzen sein. Es bestimmt zwar die Kraft, aber nicht die Bewegung, welche sich die beiden Elektronen gegenseitig mitteilen; es führt nicht einmal zur Aufstellung der Differential- gleichungen des „Zweielektronenproblemes^^ 100 Erster AbBchnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Wir kehren zurück zu den Formeln für das elektro- magnetische Feld. Nach (73 b) ist [#tl] = - [tl [tl«]] = « - tl («!«)• Da nun, nach (72), sich ergibt (..<»)— •^Q'+i.(i-^)('-^'+4?l(IT. SO folgt, mit Bücksicht auf (70a): (n«) - ,^ (1 - « Q", und somit (73d) « = [§,j+Sl(i_^«)(|^)*, eine Formel, die der Formel (73b) als Gegenstück gegenübertritt. In der Wellenzone, wo die Feldstarken umgekehrt pro- portional der Entfernung r abnehmen, vereinfachen sich die Ausdrücke (72, 73) der Vektoren % §. Es wird « F?U)+f^(">)l''-7)(ä?)- Berücksichtigen wir, daß nach (70 a) und daß daher ist, so erhalten wir «-^(wr|('.-!i(»'.)-»('..'.-")' oder, nach Regel S in Bd. I, S. 437 C^) e-;?Q'[''^-"'*] Dabei ist (74a) t,-l>-^, WO W den durch (73a) definierten und oben geometrisch ge- deuteten Vektor vorstellt. In der Wellenzone steht, nach Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Pnnktladting. IQl (74), der elektrische Vektor senkrecht auf dem Radius- vektor t, der Yon dem Orte des Entsendens aus kon- struiert ist. Er liegt in der Ebene der Vektoren W und D. Die Formel (73 d) geht in der Wellenzone über in (74b) (g = [#tj; da anderseits allgemein (73b) gilt^ so folgt: in der Wellen- zone stellen 9, $ und t^ ein System dreier wechsel- seitig aufeinander senkrechter Richtungen dar; der elektrische Vektor ist dem Betrage nach dem magne- tischen gleich. Der Strahlvektor (74c) ® =^[«^] = ^[« [t, «]] = t,^r weist parallel dem von der Punktladung aus ge- zogenen Radiusvektor. Es liegen demnach hier durchaus dieselben Verhältnisse vor, wie in der Wellenzone eines ruhenden Dipoles (vgl. § 9). Die jetzt erhaltenen Formeln müssen natürlich, wenn man zu langsamer Bewegung des Elektrons übergeht, in die damals aufgestellten Formeln (54) übergehen. Das trifiFfc in der Tat zu; denn nehmen wir |ii| klein gegen c an, und setzen dem- gemäß "öT^l^ so ergibt (74) denselben Ausdruck von Qt, welcher dort aus (54) und (54 a) folgte. Die nunmehr ge- wonnenen allgemeinen Formeln für die Feldstärken der ent- sandten Wellen unterliegen nicht den Einschränkungen, unter denen wir dort das Problem der Lichtstrahlung behandelten. Die hier abgeleiteten Relationen bestimmen die Wellenstrahlung, die von einem beschleunigten Elek- tron ausgesandt wird, auch dann, wenn die Ge- schwindigkeit des Elektrons von der Ordnung der Lichtgeschwindigkeit wird. Nur die Überlichtgeschwindig- keit, die unmittelbare Nachbarschaft; der Lichtgeschwindigkeit, sowie der Fall einer außerordentlich raschen, stoßartigen Ge- schwindigkeitsänderung sind durch die Bedingung (63 b), die allen unseren Entwickelui^en zugrunde liegt, ausgeschlossen. Li den beiden nächsten Paragraphen werden wir weitere Folge- L 102 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegnng der einzelnen Elektronen. rungen aus unseren Resultaten ableiten. Wir werden die ge- samte Energie und Bewegungsgröße bereclmen, die von einer rasch bewegten Punktladung ausgestrahlt wird; und werden alsdann die Bückwirkung der Strahlung auf die bewegte Ladung, in allgemeinerer Weise als im § 9, bestimmen. § 14. Theorie des bewegten leuchtenden Punktes. Die Kenntnis der Energie und der Bewegungsgröße, die ein beliebig rasch bewegtes Elektron bei einer Geschwindigkeits- änderung ausstrahlt, ist, entsprechend der Maonigfaltigkeit der von der Elektronentheorie umfaßten Vor^uige, in mehrfacher Hinsicht von Wichtigkeit. Erstens kann man auf Ghrund dieser Kenntnis sich ein Urteil darüber bilden, inwieweit es gestattet ist, bei einer ungleichförmigen Elektronenbewegung die Energie und die Bewegungsgröße als vom bewegten Elektron mit- geführt anzusehen. Bei einer stationären geradlinigen Be- wegung ist das stets gestattet; diese stellt eine reine Konvek- tionsstrahlung dar. Die ungleichförmige Bewegung ist keine reine Konvektionsstrahlung, ein Teil der Energie und Be- wegungsgröße wird dabei in Wellenstrahlung verwandelt. Bei wenig beschleunigten „quasistationären« Bewegungen kommt jedoch die ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße gegen- über der mitgeführten kaum in Betracht, sie kann bei manchen Aufgaben, z. B. bei der Ermittelung der Beschleunigung und Ablenkung der Elektronen durch äußere Felder, ganz vernach- lässigt werden. Wann diese Vernachlässigung gestattet ist, und wann nicht, das kann man dann beurteilen, wenn man die ausgestrahlten Anteile der Energie und der Bewegungs- größe kennt. Treffen die im Kathodenstrahle bewegten Elektronen auf die Antikathode, so werden sie vermutlich, in das Innere eindringend, von den Molekülen der wägbaren Materie wieder- holt aus ihrer Bahn abgelenkt. Hier wird die entsandte Wellenstrahlung von Bedeutung; nach der Stokes-Wiechertschen Hypothese ist sie mit der von der Antikathode ausgehenden Röntgenstrahlung identisch (vgl. § 3). Die Beziehung zur Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung. 103 Theorie der Böntgenstrahleu verleiht den Entwickelungen dieses Paragraphen ebenfalls ein gewisses Interesse. Drittens aber ist die Kenntnis der allgemeinen Gesetze der Wellenstrahlung einer beschleunigten Punktladung für die Optik bewegter Körper von Bedeutung. Wir haben in § 9 ein elektromagnetisches Modell des ruhenden licht- entsendenden Moleküles kennen gelernt; wir nahmen an^ daß es aus einem ruhenden positiven und einem schwingenden negativen Elektron besteht^ und zeigten (§ 10)^ daß die normale Form des Zeeman- Effektes durch dieses denkbar einfachste elektromagnetische Modell erklärt wird. Hat man es nun mit einem bewegten Molekül zu tun^ so wird man in konsequenter Verfolgung jener Vorstellung ein positives und ein negatives Elektron sich denken müssen; die Bewegung des positiven ist durch die Bewegung des Moleküles bestimmt, während das negative Elektron um das bewegte positive schwingt. Ein solcher bewegter und gleichzeitig schwingender elek- trischer Dipol stellt das einfachste Modell des be- wegten leuchtenden Punktes dar. Vorzugsweise mit Bücksicht auf das Problem des bewegten leuchtenden Punktes werden wir in diesem Paragraphen unsere Ansätze verfolgen. Bevor wir dazu übergehen; wollen wir unsere Theorie zu einigen allgemeineren Prinzipien in Beziehung setzen , die für die Optik bewegter Körper von fundamentaler Wichtigkeit sind. Wir denken uns wieder den ruhenden Aufpunkt P und den bewegten Dipol, der jetzt mit dem bewegten leuchtenden Punkte identifiziert wird; wir verstehen unter t^ die Zeit, zu der das Licht von dem bewegten Punkte ausgesandt wird, unter t die Zeit, zu der es den ruhenden Punkt P erreicht. Diese beiden Zeitpunkte sind durch die Belation (64 a) ver- knüpft; aus ihr leiteten wir die Beziehung (64c) ab; wir wollen dieselbe schreiben indem wir mit ß das Verhältnis der Oeschwindigkeit |ti{ des leuchtenden Punktes zur Lichtgeschwindigkeit bezeichnen, und 104 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. mit (p den Winkel, den zur Zeit (f) des Entsendens der Ge- schwindigkeitsyektor H mit dem nach dem Aufpnnkte hin gezogenen Badiusvektor t einschloß. Das in dem Zeit- elemente df von dem bewegten leuchtenden Punkte entsandte Licht passiert den ruhenden Punkt P in dem durch (75) bestimmten Zeitelement dt. Die Gleichung (75) stellt die allgemeine Fassung des so- genannten „Dopplerschen Prinzipes" für eine bewegte Lichtquelle dar. Wir gelangen zu der gewöhnlichen Fassung dieses Prinzipes, indem wir die Gleichung auf den Fall perio- discher Schwingungen des lichtentsendenden Dipols anwenden; wir bezeichnen mit r\ v' Schwingungsdauer und Frequenz der Schwingungen des Dipols; mit r, v hingegen diejenige Schwin- gungsdauer und Frequenz, welche der ruhende Beobachter in P wahrnimmt. Erfolgt die translatorische Bewegung des leuchtenden Punktes während einer Schwingung merklich gleichförmig und geradlinig, so gilt die Beziehung (75), welche die Zeitelemente des Entsendens mit denen des Auffangens verknüpft, auch für die gesamte Dauer der in der Lichtquelle bzw. in dem ruhenden Aufpunkte P stattfindenden Schwin- gangen; es wird (75a) t' V v' 1 — /? cos 9 und das ist eben die gewöhnliche Fassung des Dopplerschen Prinzipes: Die Schwingungsdauer t der wahrgenom- menen Schwingungen wird verkleinert, wenn der leuchtende Punkt dem Beobachter sich nähert (9 ein spitzer Winkel), sie wird vergrößert, wenn der leuch- tende Punkt sich vom Beobachter entfernt (g> ein stumpfer Winkel). Bei Annäherung der bewegten Lichtquelle werden demnach alle Spektrallinien nach der violetten, bei Entfemiing nach der roten Seite des Spektrums verschoben. Das gilt, wenn der Beobachter ruht. Bewegt er sich dagegen mit der Geschwindigkeit H^, so braucht die Welle, die in der Zeit dt den ruhenden Punkt P passiert, die Zeit J 0 Zweites Kapitel. Die Welleiustraliliing einer bewegten Punktladong. 105 (75b) d,* = _1^ = __|L_, j^*=m, y*=,^,,tt*j am über den bewegten Punkt hinwegzastreichen. Es gilt folglicli x„f^ X dt* 1 — |?cos9 ^^^^ W 1-^*0089*' Dieses ist die allgemeinste Fassung. des Doppler- schen Prinzipes. Sie fußt im Grunde nur auf der Rela- tion (64a); diese aber sagt nichts anderes aus, als daß die Lichtfortpflanznng im Räume nach aUen Seiten hin mit der gleichen Geschwindigkeit (c) erfolgt und daß das Licht seine Geschwindigkeit weder infolge der Bewegung der Lichtquelle, noch infolge der Bewegung des Beobachters ändert. Nur diese Grundvoraussetzung der elektromagnetischen Lichttheorie kommt bei der Ableitung des Dopplerschen Prinzipes ins Spiel. Es sind demnach nur die Feldgleichungen f&r den Äther, nicht die sonstigen Voraussetzungen der Elektronentheorie, die dem Dopplerschen Prinzipe zugrunde liegen. Für periodische Lichtschwingungen bestimmen sich die Schwingungsdauer r* und die Frequenz v*, welche der be- wegte Beobachter wahrnimmt, folgendermaßen: (75d) -, = -* = ^P^- Bewegen sich Lichtquelle und Beobachter einander parallel mit einer nach Richtung und Betrag konstanten Geschwin- digkeit, so ist /?*==/?, 9* = 9; es folgt demnach aus (75 c, d) (75e) 1^ = 1, r* = t', v* = v'. Bei gemeinsamer Translationsbewegung der Licht- quelle und des Beobachters fällt die Dopplersche Korrektion fort. Der bewegte Punkt P wird in der gleichen 106 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Zeit dt^ Ton der Welle überstriclien; in der die Welle von der bewegten Lichtquelle entsandt wurde; eine Farbenänderung infolge der Bewegung findet nicht statt. Wie wir wissen (I, S. 433), befindet sich die Erde in einer „absoluten" Be- wegung; irdische Lichtquellen und irdische Beobachter führen im Baume eine gemeinsame Translationsbewegung aus. Der obige Satz lehrt nun, daß die Periode des wahrgenommenen Lichtes mit der Periode der in der irdischen Lichtquelle statt- findenden Schwingungen identisch ist. Die zur Zeit t' vom leuchtenden Punkte ausgehende Störung wird, zur Zeit t, eine Eugelfläche Tom Badius r ^ c^t — f) einnehmen. Wir wählen die Zeit t so groß, daß die Eugel sich bereits bis zur WeUenzone ausgedehnt hat. Hier sind die Feldstarken diejenigen, die wir am Schlüsse des Torigen Paragraphen kennen lernten. Da die Beträge der Feldstärken einander gleich sind, so ist die elektrische Energie- dichte der magnetischen gleich; die gesamte Energiedichte ist l{^'+^'\-h^'' Wir bezeichnen mit d(o den körperlichen Winkel, unter dem ein Flächenelement der Kugel Tom Mittelpunkte aus ge- sehen wird. Die Breite der in der Zeit df entsandten Welle beträgt cdt, da die mit Lichtgeschwindigkeit forteilende WeUe in der Zeit dt über den ruhenden Aufpunkt forteilt; dabei ist dt durch dt' gemäß dem Dopplerschen Prinzip zu be- stimmen (Gleichung 75). Die Energie der im Zeitelemente dt' entsandten WeUe beträgt demnach l^fd(o &dt= dt' jlJd(o % g dt dt' Dieselbe ist zwischen zwei exzentrischen Eugelflächen ent- halten; die Kugelflächen expandieren sich mit Lichtgeschwin- digkeit; dabei nimmt & umgekehrt proportional zu r^ ab, so daß die gesamte Energie des Wellenimpulses bei der Aus- breitung im Baume sich nicht ändert. Diese Energie ist in der Zeit dt' von der bewegten Lichtquelle in den Baum ent- Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Ponktladung. 107 sandt worden. Die pro Zeiteinheit ausgestrahlte Energie beträgt Wir können die Strahlung djes leuchtenden Punktes auch auf einem anderen Wege berechnen^ nämlich auf Grund des Poyntingschen Satzes. Der Poyntingsche Vektor weist, nach Gleichung (74c), parallel dem Kugelradius, es wird mithin seine in Richtung des Radius genommene Komponente mit seinem Betrage identisch: C76a) ®, = S = j^«». Der Poyntingsche Satz bestimmt nun (vgl. § 4) den Energie- strom, der in der Zeiteinheit durch die Flächeneinheit einer ruhenden Fläche hindurchtritt. Dieser „absolute Enel-gie- strom" ist gleich der Normalkomponente des Vektors S. Um mit Hilfe des Poyntingschen Satzes die ausgestrahlte Energie zu bestimmen, müssen wir den leuchtenden Punkt durch eine ruhende Fläche einschließen; wir wählen zweck- mäßigerweise eine Kugel, welche zur Zeit i gerade mit der zur Zeit i^ entsandten Kugel koinzidiert. Dabei dürfen wir aber nicht übersehen, daß die Zeit, während deren die in der Zeit dt^ Yon dem bewegten leuchtenden Punkte entsandte Welle durch die Kugel tritt, nicht an allen Punkten der Kugel die gleiche ist. Sie bestimmt sich, gemäß dem Dopplerschen Prinzip, für die verschiedenen Punkte der Kugel in verschie- dener Weise; es ist eben die Zeit, die wir oben (in Glei- chung 75) mit di bezeichneten. Will man mit Hilfe des Poyntingschen Satzes die Energie bestimmen, die von einem bewegten leuchten^den Punkte entsandt wird, so hat man die Zeit, während deren die Welle durch die Elemente der ruhenden Fläche tritt, dem Dopplerschen Prinzipe gemäß zu berechnen. Die in der Zeit di^ entsandte Strahlung wird dann, nach (76a), dt ^fd(oSdt=-dt^''^~fd(o(&' r^ . V.W — . -... . , w«,^ ^^, 108 Srster Abflclinitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Man sieht sofort^ daß für die seknndliclie Strahlung der bewegten Lichtquelle ein Ausdruck folgt, der mit (76) genau übereinstimmt. Man kann nun aber auch statt der ruhenden Fläche eine dem leuchtenden Punkte parallel mitbewegte Flache zugrunde legen. Für eine solche fallt; wie wir oben zeigten, die Dopplersche Korrektion fort. Die in der Zeit df entsandte WeUe tritt in dem gleichen ZeitintervaU df durch die gleich- formig mitbewegte Fläche. Auf eine bewegte Fläche ist aber der Poyntingsche Satz nicht ohne weiteres an- zuwenden. Es ist vielmehr zu berücksichtigen, daß zu dem absoluten elektromagnetischen Energiestrom, der nach der Poyntingschen Theorie im Baume stattfindet, derjenige Energie- strom tritt, der allein eine Folge der Bewegung der Fläche ist. Der letztere beträgt pro Flächeneinheit "'Al^^+^'l wenn üy die parallel der äußeren Normalen genommene Kom- ponente der Geschwindigkeit der bewegten Fläche ist; denn die Energie, die infolge der Bewegung der Fläche in der Zeit- einheit durch die Flächeneinheit tritt, ist gleich H^, multi- pliziert mit der Energiedichte; sie tritt bei der Bewegung Ton außen nach innen; @y, die Normalkomponente des Poynting- schen Vektors, gibt dagegen den durch die Veranderung des Feldes allein bedingten, von innen nach außen tretenden Energiestrom an. Die Differenz (76b) @,_^j««+§2J stellt den Energiestrom durch die bewegte Fläche, oder, wie wir sagen woUen, den „relatiyen Energiestrom" dar. Die Anwendung auf unsere, den gleichförmig bewegten leuchtenden Punkt einschließende mitbewegte Kugel ergibt, da die Geschwindigkeit der Kugel mit ihrer Normalen den Winkel y einschließt, und da in der WeUenzone 6^ = §* ist, gemäß (76 a) Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlting einer bewegten Fanktladnng. 109 -ji- e» (c - 1 ö I cos 9) = j^ «« (1 - /J cos 9). 4« ^ ' ' ^^ 4« als Wert des relatiyen Euergiestromes. Die in der Zeit- einheit durch die ganze Eugel hindurchtretende Energie wird demnach d(o(i^(l —/Scosy); dieser Ausdruck stimmt, nach (75), wiederum genau mit dem in (76) erhaltenen Werte für die in der Sekunde ausgestrahlte Energie überein. Die sinngemäße Anwendung des Poyntingschen Satzes ergibt demnach in jedem Falle den richtigen Wert für die Strahlung, die Ton der bewegten Lichtquelle entsandt wird. Dabei kann man eine ruhende oder eine mitbewegte Fläche der Anwendung des Poyntingschen Satzes zugrunde legen. Im ersteren Falle ist die Dopplersche Korrektion zu berück- sichtigen; im letzteren Falle tSüt zwar die Dopplersche Korrektion fort, es ist jedoch der Poyntingsche Satz mit Bücksicht auf die Bewegung der Fläche zu korrigieren. Das Dopplersche Prinzip und der Poyntingsche Satz sind die Grundpfeiler der Strahlungstheorie. Derjenige, der sich mit ihnen nicht gründlich yertraut gemacht hat, ist den Pro- blemen der Optik bewegter Körper nicht gewachsen. Denn es wird ihm nicht gelingen, zwischen der Skylla des Doppler- schen Prinzipes und der Gharybdis des Poyntingschen Satzes unversehrt hindurchzusteuem. Neben der ausgesandten Energie ist für die Mechanik des bewegten leuchtenden Punktes die ausgesandte Bewegungs- größe von Wichtigkeit. Wie wir in § 5 allgemein gezeigt haben, ist die Dichte der elektromagnetischen Bewegungsgröße dem durch c^ dividierten Strahlvektor gleich. In der Wellen- zone des leuchtenden Punktes ist mithin, nach (74c), die Dichte der Bewegungsgröße 1 10 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Dieser Vektor ist an Stelle der Energiedichte —6* in die Formel (76) einzusetzen^ um die in der Zeiteinheit von dem bewegten leuchtenden Punkte entsandte Bewegungsgröße zu erhalten: In (76) und (77) ist unter ü die Feldstärke der Tom bewegten leuchtenden Punkte entsandten Wellen zu verstehen. Handelt es sich um eine gleichförmige geradlinige Bewegung des leuchtenden Punktes, so ist nach' der Vorstellung, die wir uns Yon dem Vorgange in der Lichtquelle machten, das posi- tive Elektron in gleichförmiger, geradliniger Bewegung be- griffen, während das negative Elektron kleine Schwingungen um das positive ausführt. Wir wollen voraussetzen, daß die Geschwindigkeit der Schwii^ungsbewegung klein ist gegen diejenige der gemeinsamen Translation. Alsdami ist nnter t. in (74) der konstante Geschwindigkeitsvektor der bewegten Licht- quelle zu verstehen. Der daselbst auftretende Vektor (vgl. 73 a) (77a) « = r(rj-|-)=r-lij gewinnt in diesem Falle eine vereinfachte Bedeutung. Es ist (vgl. Abb. 2 in § 12) der Badiusvektor, der nach dem Auf- punkte von dem gleichzeitigen Orte des Elektrons aus ge- zogen ist. Das gleichförmig bewegte positive Elektron tragt nichts zur Strahlung bei; denn die Feldstärken des von ihm erregten Feldes nehmen mit dem Quadrate des Abstandes ab und ver- schwinden in der Wellenzone gegen diejenigen des schwin- genden negativen Elektrons. Wir können mithin für d den Ausdruck (74) einführen. Dabei ist -^ dasselbe (vgl 70a), was wir jetzt als Dopplersche Korrektion bezeichnet und, auf haben. Nach (75) wird daher ("^) «°.o'(i-;cos,)»['i^-r»]]- Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Punktladung, m Unter H ist dabei die konstante Geschwindigkeit des leuchtenden Punktes zu verstehen, unter i die Beschleunigung des schwingenden negativen* Elektrons. Es ist zu betonen^ daß die obigen Einschränkungen sich nur auf die Anwendung beziehen, die wir von unseren Formeln machen. Handelt es sich um die Energie und Bewegungsgröße; die von einem einzelnen beschleunigten Elektron ausgesandt werden, so sind unsere Formeln in dem Bereiche gültig, den wir bereits in § 11 umgrenzten; ü und li steUen dann die Geschwindigkeit und die Beschleunigung dar, welche dem Elektron zur Zeit t' des Entsendens erteilt wurden. Nur die Anwendung auf die Theorie des bewegten schwingenden Dipols gründet sich auf die erwähnte vereinfachende Annahme, daß der periodische Teil von ü klein ist gegen den konstanten, die Translations- geschwindigkeit des Dipols darstellenden Teil. Nach Regel d in Bd. I, S. 437 ist Berücksichtigt man nun, daß (77c) (t,-'^y=^=l + ß'-2ßcos,p, SO erhält man + J(<«»)(«'ri)(l-^cos9))), wobei übrigens, nach (74c); dnrch (&* zugleich der Strahl- rektor bestimmt ist: (77e) « = 'iii«*- Wir ziehen zunächst zwei spezielle Fälle in Betracht, nämlich erstens den Fall, daß die Schwingungen des negativen Elektrons parallel, und zweitens den, daß sie senkrecht zur Bewegungsrichtung der Lichtquelle erfolgen. 112 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. I. Longitudinal schwingender Dipol. Hier gilt (ö x^y = ä! cos* 9, -(öli)(6ti) = 6*/Scos9). Es wird daher aus (77d) nach einigen Umformungen £ il sm OD C'^^) * ""r*c* (1-/5 cos 9)«' Die Einfahrung in (76) und (77) ergibt, bei Berück- sichtigung von (75), ^ '^^^ "" "S?" ~ i^cV (1-1? cos 9)^ für die ausgestrahlte Energie, und /-r^iv d9i e*i* I dötisin'qp ^'^">' "" "5?"""4«cV (l-|?cos9)* für die ausgestrahlte Bewegungsgröße. n. Transversal schwingender Dipol. Hier gilt (llii) = 0 und (6 ti)* = 6« sin« 9 cos« g, wenn g den Winkel der Ebenen der Vektoren (H, 6) und (H, tj) anzeigt, 9, g demnach Polarkoordinaten der Einheitskugel sind. Es wird Die EinfQhnmg in (76) tmd (77) ei^bt für die bei transversalen Schwingungen stattfindende Strahlung von Energie und von Bewegungsgröße. Zweites Kapitel. Die Wellenstrahltmg einer bewegten Punktladung. 113 Was die ausgestrahlte Bewegongsgröße anbelieaigt, «o er- kennt man ohne weiteres, daß nui: die der Bewegnngsrichtnng parallele Komponente von Null verschieden sein kann. In der Tat, betrachten wir zwei Punkte der Einheitskugel, die sich in bezug auf die Bewegungsrichtung spiegelbildlich entsprechen, d. h. dasselbe q> und ein um ISO® verschiedenes ^ besitzen, so sind die den beiden Punkten zugehörigen Uinheitsvektoren t^ in (78b) mit demselben Ausdruck multipliziert, . und ebenso in (79b). Es zerstören sich abo die Beiträge der betreffenden Elemente der Einheitskugel hinsichtlich der zu ü senkrechten Komponenten, und es bleibt nur die zu ü parallele Komponente übrig. Führen wir die neue Integrationsvariable M = — cos (p ' ein, wodurch da> == du di wird, so ergibt die Integration nach g: (1 + Pm)»' ("c) -^-^ß — 1 + 1 \^^^^ dt' ^c'pj o-+ßuy — 1 /TQpN _dW,_e^\ r du i-p» f^c ^^^^^ dt' "" 2cM ^ (1 + /S«*)' 2 J ' + 1 +1 (l + ßu) — 1 —1 r\y v'^^>' dt' ""^2c^/s J {1+ßuy 2 J ■ + 1 +1 du{-u) {i-u^ (1 + ßuy — 1 -rl Zur Auswertung der Integrale schreitend, setzen wir ab- kürzungsweise (80) 7c'=^l^ß\ Abrfthftm, Theorie der Elektrizität. IL g 1 14 Erster Abschnitt Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Es gilt + 1 /du 2^ daher rf^aa\ rdu(r-u) J.^ r du 2£ (ÖVA) J (1 + ^^).== 2 dßj (1 + /JW)« X* — 1 —i Femer findet man leicht 4-1 — 1 und folglich -f 1 +1 /' duu^ 1_ d^ r du ^ 2(1+5/?») — 1 —1 da außerdem du 2(l+/J») — 1 ist^ so wird schließlich -f 1 — 1 Anderseits ergibt sich aus (80 a): /* duu^ ^^ d fdu(-u) 2(1+3/?«) (l+/Ji*)*-~ 3 dßj (1 + ^1*)«"" 3x« ' — 1 —1 und mit Bücksicht auf die leicht abzuleitende Beziehung: -fi /du ^2(3 + |g«) {i+ßuy^ 3x« ' — 1 Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten PanJctladong. 115 / + 1 dw(l-u*) (1 + ßuy 8 X* ' — 1 woraus endlicli folgt: ^ ^ J {1 + ß^r " 4.dßJ (l+ßuy ^Sn^' — 1 —1 Nach (79C; d) und (80 c, d) wird die Ton longitudi- ualen Schwingungen des Dipoles ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße: r«n dW^_2e*i* (81a) -w-=^c»». Aus (79 e, f) hingegen, in Verbindung mit (80a bis d), folgt die Yon transversalen Schwingungen des Dipoles ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße: Es ergibt sich also, bemerkenswerterweise, die Strahlung bei transversalen Schwingungen im Ver- hältnis x' = 1 — /S' kleiner, als bei longitudinalen Schwingungen. Bei langsamer Bewegung, wenn ß* gegen 1 zu vernachlässigen ist, kommt natürlich dieser Unterschied nicht in Betracht. Alsdann gehen die Formehi (81) imd (81b) in die Hertzsche Formel (55) für die Strahlung eines ruhenden Dipoles über. Die Formebi (81a, c) zeigen an, daß der bewegte leuchtende Punkt fortgesetzt elektromagnetische Bewegungsgröße in den Baum hinaussendet, und zwar überwiegt die der Bewegungs- richtnng parallele Komponente. Da nun die Summe der im ganzen Räume enthaltenen Bewegnngsgröße, elektromagnetische 8* 116 Erster Absclinitt. Das Feld xi. die Bewegung der einzelnen Elektronen. und mecIiaiLische zusammen^ den Ergebnissen des § 5 zufolge konstant sein muß, falls eine äußere Kraft an der Lichtquelle nicht angreift, so nimmt die Bewegungsgröße der LichtqueUe selbst pro Sekunde um den entsprechenden Betrag ab; d. h, es übt die ausgesandte Strahlung eine Beaktionskraft auf den leuchtenden Punkt aus, welche der Bewegung entgegenwirkt. Dieselbe betragt: (81d) Ä! = -- IJ «^-g-e ^r longitudinale Schwingungen, O C7 X (81e) 1*8 = — l>T"r~4 ^ transTersale Schwingungen. Dabei sind natürlich Mittelwerte über eine Schwingung zu nehmen. Um die Geschwindigkeit konstant zu halten, muß jene Exaft durch eine andere, äußere Kraft äquilibriert werden. Wir gehen jetzt zu dem allgemeinen Falle über, wo das negative Elektron in der LichtqueUe ganz beUebige Schwin- gungen aufführt, so daß b mit ü einen ganz beUebigen, und auch im Verlaufe der Schwingungen periodisch wechselnden Winkel einschließt. Wir können dann setzen wo Ol zu ü parallel, b^ zu H senkrecht ist. Führt man dieses in (77d) ein, so treten erstens Glieder auf, die zu ij' bzw. zu O2' proportional sind; diese führen zu den soeben berechneten Werten der von der longitudinalen Komponente bzw. von der transversalen Komponente ausgesandten Strahlung. Zweitens aber treten noch Glieder auf, die dem Produkte | Äi | • ] lüg | Pro- portional sind, nämlich -2 (i^ti) (ijti) (1 -/J*) 2 cos 9 sin q> cosg |lii|.|6j| (1~A und -(iiü) (62 ti) (1--/J cos 9) = 2/Jsiny cos g(l — /Jcos q>) \ii\'\i^\ { g ist der Winkel, den die Ebenen der Vektoren (b^ H) und (r, H) einschließen^ so daß % t Polarkoordinaten der Einheits- kugel sind}. Zweites EapiteL Die Wellenstrahlxing einer bewegten Ponktladung. 117 Diese beiden Glieder ergeben zn & den Beitrag |t;,|.|t;,|.e'sinycosg. _ , Die entsprechenden Anteile der Ausdrücke (76) und (77), d. h. der Strahlung Ton Energie und Bewegungsgröße, sind 2c und 26 ^tJHJd P"»^. 7 "^ ''°;^ (^ - cos y). 4äc* ^ (1 — /3 cos qp)*^ ^'^ ^^ Setzt man hier wieder w «= — cos g>^d(D =^ dudi, so yer- schwindet der erste Ausdruck ohne weiteres bei der Integration nach g. Die Komponenten des im zweiten Gliede angegebenen Vektors sind gesondert zu behandeln. Es sind die Kompo- nenten von Xii parallel zu ü gleich cos q>, parallel zu b^ gleich sin (p cos i, senkrecht zu H und b^ gleich sin (p - sin S. Die erste und dritte Komponente der ausgestrahlten Be- wegungsgröße verschwindet ohne weiteres, wie die Integration nach ^ ergibt. Die zweite Komponente wird nach Ausführung dieser Integration zmmcbst: +1 2c* J — 1 Gemäß (80c, d) hat auch dieses Integral den Wert Null. Wir haben also bewiesen: Es superponieren sich die Energie- und Impulsstrahlungen der longitudinalen und der transversalen Schwingungskomponenten des bewegten Dipoles, was die Gesamtstrahlung an- belangt. Ist 71 der Winkel der Vektoren ü und b, so wird, nach (81) und (81b), die pro Sekunde ausgestrahlte Energie: 118 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. (82) dTT __ 2 c* . 2 1 cos* ri sin* ij 1 wofür man, mit Rücksicht auf die Bedeutung (80) von x% auch schreiben kann: (82a) ^_«^_._jl-./J«sm^j=3^-^e(»^--^.["?|' oder auch r89M ^^_2e«>,|l p'cos^l 2eMti« (lii)«l Ebenso kann nach (81a, c) für die ausgestrahlte Be- wegungsgröße geschrieben werden: _d9 2^ dt' "^ 3 (83) Bezüglich ihrer mechanischen Rückwirkung auf die be- wegte Lichtquelle kann die Strahlung durch die Kraft ersetzt werden (83 a) Ä« 2 c* f i* + c*x« ; welche im Mittel dieselbe Abnahme der Bewegungsgröße der Lichtquelle bedingt. Dieser Kraft muß durch eine in die Be- wegungsrichtung der Lichtquelle fallende äußere Kraft — H* das Gleichgewicht gehalten werden, wenn anders die Ge- schwindigkeit konstant bleiben soll. Die Arbeit der äußeren Kraft wird in elektromagnetische Energie der entsandten Wellenstrahlung yerwandelt; sie betragt pro Sekunde (83b) ^(p^'^^ + l^^^ß^ H» (HH)* c*x« Dieser Anteil der ausgestrahlten Energie ent- stammt also nicht der thermischen und chemischen Energie der Lichtquelle, sondern eben der mecha- nischen Arbeit der Kraft — Ä*, welche der Rück- wirkung der Strahlung das Gleichgewicht hält. Der Rest der pro Sekunde in Wellenstrahlung ver- wandelten Energie: Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlxing einer bewegten Punktladnng. HQ (83c) -.^+(,,r) = |J-: 0« ■ (tin)« mnS durch den Wärmeinhalt oder die chemische Energie der Lichtquelle gedeckt werden. Die Formel (82) bestimmt die Energie der von einem be- schleunigten Elektron ausgesandten Wellenstrahlung in allen den Fällen^ in welchen dasselbe als Punktladung betrachtet werden darf. Ich habe dieselbe zuerst in einer Vorlesung im Winter- semester 1901/02 vorgetragen. Im Druck veröflFentlicht wurde sie, und ebenso die Formel (83), in meiner Arbeit über die Prinzipien der Dynamik des Elektrons^), und unabhängig davon, von 0. Heaviside, in der Nature.') Später habe ich die Bedeutung dieser Entwickelungen für die Theorie des leuchtenden Punktes erörtert, und den Beweis der Formeln, im wesentlichen in der hier wiedergegebenen Fassung, geführt.*) An dem letztgenannten Orte habe ich auch den allgemeinen Ausdruck fQr die Bückwirkung der Strahlung auf den be- wegten schwingenden Dipol abgeleitet. Setzt man die Gesamt- strahlung der Lichtquelle gleich E, so folgt aus (82 b) und (83 a) (83d) St'^--,'E. c Dieser Ausdruck für die Beaktionskraft wurde unabhängig von H. A. Lorentz*) angegeben; es bezieht sich die Lorentzsche Ableitung auf einen allgemeineren Fall, insofern als über die Vorgänge in der Lichtquelle keine besondere Annahme gemacht wird, und doch wieder auf einen spezielleren Fall, da die Ge- schwindigkeit der Lichtquelle als klein gegen die Licht- geschwindigkeit betrachtet wird. Wenngleich die Reaktions- kraft der Strahlung meist außerordentlich gering ist, so ist 1) M. Abraham. Ann. d. Phjs. 10 S. 105, 1908. (Eingesandt am 28. Oktober 1902.) 2) 0. Heaviside. Natura 67, p. 6. Vom 6. November 1902. 8) M. Abraham. Ann. d. Phys. 14, S. 278—287, 1904. 4) H. A. Lorentz. Enzykl. der mathem. Wissensch. Bd.Y, Art. 14 S. 270. 120 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. ihre Existenz doch von prinzipieller Bedeutung. Diese Eraft^ welche der schwingende Dipol auf sich selbst ausübt^ ist ein typisches Beispiel fdr den Gegensatz zum dritten Axiome der Newtonschen Mechanik^ auf den wir in § 5 hinwiesen, und der so eng mit den Grundannahmen der Elektronentheorie verknüpft ist. Nach der in § 3 erwähnten Hypothese sind die Röntgen- strahlen nichts anderes, als die Wellenstrahlung, welche beim Auftreffen der KaÜhodenstrahlen auf die Antikathode entsteht. Ist das Elektron bei seiner Hemmung oder Reflexion an der Antikathode immerhin so wenig beschleunigt, daß die Be- dingung (63 b) erfüllt ist, so kann die Energie der entsandten Röntgenstrahlen aus unserer Formel (82) berechnet werden. tn>er den Betrag der Bescmennigung geben die in § 3 er- wähnten Beugungsversuche von Hiäga und .Wind Auskunft, welche eine Breite des Wellenimpulses von 10""® cm ergeben haben.^) Hiemäch würde der Bereich, in welchem das Elektron eine Geschwindigkeitsanderang erTahrt, von der Größenordnung des Radius . der molekularen Wirkungssphäre sein. Nehmen wir nun an, das Elektron habe die Geschwindigkeit |li und es werde auf einem Wege von 10~* cm, d. h. in der Zeit - . 10-« Sekunde, seine Bewegungsrichtung umgekehrt, so ist ■c 2 die mittlere Beschleunigung gleich -^c*-10«. Der Nenner in (63b) ist c (c — | ti |) =» -g c*, und a, der Radius des Elektrons, wird sich unten von der Größenordnung 10""^* ergeben. Der Bruch, der klein gegen 1 sein soll, ist hiemach auf 2 »lO— ^ zu schätzen. Hieraus folgt, daß bei der Emission von Röntgen- strahlen der Impulsbreite 10 ~~« cm das Elektron noch als Punktladung betrachtet werden darf, und daß (82) die Ene^e 1 1) H. Haga u. C. H. Wind. Akad. v. Wetenschapen te Amsterdam 7, 1899, S. 887 u. 600 u. 11, 1902, S. 860. Ami. d. Phys. 68, S. 884, 1899. — Vergleiche aucli die von A. Sommerfeld auf Ghnmd einer strengeren Theorie der Beugung von Wellenimpulsen gegebene Bestimmung der Impulsbreite. Phys. Zeitschr. 1, S. 106; 2, S. 66, 1900. Zeitschr. f. Mathem. u. Phys. 46, S. 11, 1901. Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Ponktladnng. 121 der Tom einzelnen Elektron entsandten BöntgenstraMung be- stimmt^ wofern die Röntgenstrahlen wirklich nichts anderes sind^ als elektromagnetische Wellen. Leider läßt die allzu geringe Kenntnis der Röntgenstrahlen eine weitere Verfolgung unserer Ansätze nicht zu. Würden uns experimentelle Bestimmungen der Energie der Röntgen- strahlen zur Verfügung stehen^ die von Kaihodenstrahlen be- kannter Geschwindigkeit und Energie erzeugt werden^ so könnten wir daran denken^ die Zahl der Zusammenstöße der Elektronen mit den Molektflen der Antikathode auf Grund der obigen Formeln abzuschätzen^ und unsere Vorstellungen über die Kräfte^ welche von der wägbaren Materie auf die Elektronen ausgeübt werden^ an der Hand derartiger Abschätzungen zu prüfen. Bei dem gegenwärtigen Stande der Forschung indessen müssen wir uns mit den obigen Andeutungen begnügen. Es ist auch nicht ausgeschlossen, daß Fälle Yorkommen, wo das Elektron, entsprechend einer Annahme von J. J. Thomson^), plötzlich gehemmt wird. Alsdann ist die Impulsbreite von der Ordnung des Elektronendurchmessers, also kleiner als 10 ~" ^^ cm. Die dabei entsandte Wellenstrahlung ist natürlich einer Beugung nicht fähig. Wir kommen auf die Theorie dieses Falles,, die aus dem Rahmen der auf der Annahme einer Punktladung beruhenden Entwickelungen dieses Kapitels hcfrausfällt, weiter unten zurück (vgl. § 25). Bei den 7/ -Strahlen des Radiums, deren Eigenschaften diejenigen besonders stark durchdringender Röntgenstrahlen sind, ist die Impulsbreite wohl geringer als 10 "~® cm; die Ge- schwindigkeitsänderungen der Elektronen, denen die 7/ -Strahlen ihren Ursprung verdanken, erfolgen dann noch plötzlicher, als diejenigen, die bei der Emission der Röntgenstrahlen stattfinden. § 15. Die Rückwirkung der Strahlung auf ein bewegtes Elektron. Wir stellen uns in diesem Paragraphen die Aufgabe, die Rückwirkung, welche die entsandte Wellenstrahlung auf das 1) J. J. Thomson. Phil. Mag. 45, S. 172, 1898, 122 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. entsendende Elektron ausübt; in allgemeiner Weise zu er- mitteln. Wir betrachten dabei eine Bewegung des Elektrons^ deren Geschwindigkeit bis zur Zeit ^' gleichförmig und gerad- linig war; sodann im Zeitintervalle von t^ bis ^' nach Betrag und Richtung in beliebiger ^ aber stets in den Gültigkeits- bereich der Bedingung (63b) fallender Weise abgeändert wurdC; und sodann, von ^' an, wieder gleichförmig und gerad- linig ist. In dem Zeitintervalle t^ 4?^' 1 8 J c«x* *" 1 c«x* Ji J ^^ \c»x*"^ c«x* "^ c*x« J 124 I^nter Absclinitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elekiaronen. Berücksichtigen wir, daß^ bis zur Zeit t^, und- von der Zeit t^ an, der Beschleunigungsvektor ft gleich Null sein soll, so erhalten wir 1 1 Integriert man nun den Ausdruck (85) von 9t* nach der Zeit, wie es (84 a) verlangt, und formt die ersten beiden Glieder in dieser Weise um, so ergibt die Vereinigung mit den letzten beiden Gliedern nichts anderes, als die rechte Seite Yon (84a). Es ist also diese Gleichung in der Tat erfüllt. Für die sekundliche Arbeit der Kraft 9t' folgt aus (85) (860) („O.iJj-yl+lM!). Da nun die partielle Integration liefert 1 1 und da II an den Grenzen des Integrationsinteryalles ver- schwindet, so ergibt das Zeitintegral der Arbeit in der Tat den in (84b) rechts stehenden Ausdruck. Die in (85) an- gegebene Kraft Ä' erfüllt alle Bedingungen, welche der Reaktionskraft, der Strahlung vorgeschrieben sind. Es fragt sich indessen, ob durch die, angegebenen Be- dingungen (84a, b) die Reaktionskraffc der Strahlung überhaupt eindeutig bestimmt ist. Das ist sie in der Tat. Um dies ein- zusehen, muß man sich die physikalische Bedeutung dieser Kraft klar machen. Es ist eine Ejraft, welche das vom be- wegten Elektron erregte elektromagnetische Feld auf das Elektron selbst ausübt. Diese Kraft ist durch die Grund- gleichung (V) bestimmt, wobei die Vektoren <& und § sich aus den Beiträgen zusammensetzen, welche die Volumelemente des Elektrons vorher ausgesandt haben. Diese Beiträge werden Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung. 125 von der mit Lichtgeschwindigkeit sich kontrahierenden Kugel dem Aufpnnkte zugeführt. Bewegt sich nun das Elektron mit einer Geschwindigkeit, die kleiner ist, als die Lichtgeschwin- digkeit c, so kommen, welches auch die Form des Elektrons sei, nur Beiträge in Betracht, welche in einem endlichen Zeit- intervalle ausgesandt worden sind und welche durch die Ge- schwindigkeit und Beschleunigung bestimmt sind, die in diesem Zeitinteryalle geherrscht hat. Ist die Bewegung überhaupt stetig, so muß diese Kraft sich durch die jeweils herrschende Ge« schwindigkeit ti und deren Ableitungen nach der Zeit b, B, li usf. ausdrücken lassen. Da es sich hier nur um Bewegungen handeln kann, welche der Bedingung (63b) genügen, so sind die Voraussetzungen der Stetigkeit und Unterlichtgeschwindig- keit stets erftillt. Da die gesuchte Kraft femer bei gleich- formiger Bewegung verschwindet, so ist der allgemeinste Ansatz für die vom Elektron auf sich selbst ausgeübte Kraft folgender: Ein Aggregat von polaren Vektoren, deren jeder eine ganze rationale Vektorfunktion von ti, 6, i, 5 usf. ist, wobei jeder Vektor noch mit einem von ii ß == -^— ^ abhängigen Skalar multipliziert sein kann. Die Beaktionskraft der Strahlung insbesondere, welche den oben entwickelten Bedingungen zu genügen hat, ist da- durch noch weiter in ihrer Form beschränkt, daß sie bei den betrachteten, der Bedingung (63b) gehorchenden Bewegungen von der Form des Elektrons unabhängig ist. Wurde doch bei der Berechnung der ausgestrahlten Energie und Bewegungs- größe das Elektron als Punktladung betrachtet; in Ausdruck der gesuchten Kraft können daher irgendwelche von den Ab- messungen des Elektrons abhängige Größen nicht eingehen, sondern ausschließlich die Vektoren ti, Ö, B usf, femer c und die Ladung e des Elektrons; und zwar muß die gesuchte Kraft, als Rückwirkung der Punktladung auf sich selbst, zu e^ pro- portional sein. Nehmen wir nun -^ als Faktor vorweg, so muß der gesuchte Ausdruck die Dimension einer Kraft divi- diert durch die Dimension von -^; besitzen. Entnimmt man c 12ß Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. der Dimensionstabelle in Bd. I, S. 252 die Dimension yon ^^ so findet man als Dimension des gesuchten Ausdruckes Wir haben also Ausdrücke dieser Dimension zu suchen, welche ganze rationale Funktionen von ti, ti, ii usf. sind, wobei eventuell noch die Lichtgeschwindigkeit c eingehen kann. Nennen wir nun v^y v^, v^ die ganzen^ aber nicht nega- tiven Zahlen^ welche die eingehende Potenz von H, b/ö usf. anzeigen; und i/^ die (positive oder negative) Zahl, welche die eingehende Potenz von c angibt, so soll die eingehende Potenz der Längendimension sein ^0 + ^1 + ^2 + ^3 H =1; dagegen die eingehende Zeitdimension — ^0 — Vi — 21/3 — Si/j H = — 3. Hieraus folgt (86) i;g + 21/3 + 31;/+...= 2. Da negative Werte von v^yV^j v^ ausgeschlossen sind, so ist V4 == 1/5 ==•..== 0. , Es können ü und noch höhere Ableitungen der Geschwin- digkeit nicht auftreten. Die höchste eingehende Ableitung ist b', und zwar folgt aus (86), daß, wenn S überhaupt eingeht, (I) V,= l, V8 = 0 die einzigen möglichen Potenzen von ii und ii sind; in diesem Falle ergeben die Ausgangsgleichungen '»'0 + ^1 = 0, d. h. es tritt c so oft in den Nenner, wie ti im Zahler steht. Neben diesem Lösungssystem läßt nun (86) noch ein von ii freies zu: (II) 1/3 = 0, i/g = 2, 1/0 + ^1 = - 1- Hier geht d quadratisch ein, und c steht einmal öfter im Nenner, als ti im Zähler. Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktiadnng. 127 Jeder Lösung dieser Dimensionsgleichungen kann selbst- verständlich eine beliebige Funktion der dimensionslosen Größe ß als Faktor zugesellt werden. Es fragt sich nun^ welche ganze rationale Funktionen der Vektoren b, ii; H unter das Schema (I) bzw. (II) fallen. Um die hier möglichen Verbindungen dieser Vektoren zu neuen polaren Vektoren in allgemeinster Weise zu ermitteln^ gehen wir aus von einem Satze von EL Burkhardt.^) Diesem Satze zufolge wird die allgemeinste ganze rationale Vektorfunktion erhalten, indem man die uraprüngUchen Vektoren zu Vektor- produkten vereinigt und indem man die ursprünglichen und die so gebildeten Vektoren mit den skalaren Produkten aus je zweien der ursprünglichen Vektoren multipliziert. Nun müssen wir die Vektorprodukte von je zweien der Vektoren 0,6,8 von vornherein ausschließen, da diese Vektorprodukte axiale Vektoren sind (vgl. I, S. 23). Es bleiben also nur die ursprüng- lichen drei Vektoren übrig, die mit den inneren Produkten aus je zweien und selbstverständlich mit irgendeiner Funktion der dimensionslosen Größe ß multipliziert sein können. Wir haben als Lösungen, die unter das Schema (I) fallen: (86a) b./iW nnd t^^^-f,(ß), während m das Schema (U) folgende Vektoren sich einordnen: (86b) i . 1^1 . /i(^), tt-^r-AW, »•^•/•bW- Andere Ausdrücke der richtigen Dimension, welche polare Vektoren darstellen, gibt es nach dem Satze von Burkhardt überhaupt nicht. Der aUgemeinste Ausdruck von «' muß sich 2 e also aus solchen Gliedern . multipliziert mit ^ -, ; zusammen- setzen lassen. Der Ausdruck (85) stellt sich in der Tat in dieser Form dar. Es handelt sich nunmehr um den Nachweis, daß der all- gemeinste Ausdruck von ft', d. h. das allgemeinste Aggregat von 1) H. Burkliardt, Math, Ann. 48 (1898), S. 197. Vgl. auch Enzykl. d. math. Wissensch. Bd. lY. Art 14. Nr. 11. 128 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. fünf Gliedeni der Form (86 a, b) (jedes multipliziert mit — -^ , sich auf (85) reduziert, wenn gefordert wird, daß sein Zeit- integral für eine beliebige Bewegung mit der rechten Seite von (84a), sein Wegintegral mit der rechten Seite von (84b) identisch ist. Das wird bewiesen sein, wenn wir gezeigt haben, daß jedes Aggregat der Form (87) (l = ihiß) + t>'^^m) identisch verschwindet, wenn für eine beliebige, im Zeit- intervall ^' < ^' < ^' beschleunigte Bewegung das Zeitintegral und das Wegintegral von ® verschwinden. Wir schreiten jetzt zum Beweise dieses Satzes. Wir formen die beiden ersten Glieder von 6 durch partielle Integration um, wobei wir be* achten, daß i an den Integrationsgrenzen verschwindet und daß 5^r(^) = A (/J)ä77 = -^ -^^ - -^ ^r (^). Wir erhalten 2 2 ^ 1 1 Demgemäß wird das Zeitintegral des Vektors ©: 2 2 (87a) fdt' a =fdt' ^ [f,(ß) - f,(ß) - ^A'iß)} 1 2 + 1 fdt' "^ {f,(ß) - W)] 1 2 fdf'J^\A(ß)^^f,'{ß)] 2 / Zweites Kapitel. Die Wellenstralilnng einer bewegten Punktladung. 129 Dieses Zeitintegral soll nun verschwinden^ welches auch immer die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Elektrons in dem betrachteten Zeitinterralle sein mag. Wir betrachten zuerst eine nur transyersal beschleunigte Bewegung, die mit konstanter Geschwindigkeit vor sich geht. Hier ist (ti i) » 0^ es verschwindet das erste und dritte der Integrale. Das zweite hingegen ist von Null verschieden, es sei denn, daß (87b) . m)-Aiß) = o ist. Wäre diese Größe von Null verschieden, so könnte man die Bewegung im Zeitintervalle von t^^ bis ^' so wählen, daß 'das zweite Integral einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Man könnte z. B. das Elektron einen Kreisbogen von einem Winkel kleiner als 2^ beschreiben lassen, wobei das Integral einen nicht verschwindenden Vektor bestimmen würde. Es muß mithin (87 b) für beliebige Werte von ß erfüllt sein. Wir betrachten zweitens eine nur longitudinal beschleunigte Bewegung, deren Geschwindigkeit also in dem Zeitintervalle von t^ bis 4' dauernd wächst. Hier sind i(pi) und iftlöj beides der Bewegungsrichtung parallele Vektoren vom Betrage |tl|** bzw. ß^\t^\i^. Da nun (87 b) allgemein gilt, so kann das Zeitintegral von S für eine solche Bewegung nur dann allgemein ver- schwinden, wenn (87c) [fM - Uß) - i/iX«) + ß'[Uß)-jf.\ß)}-0 für jeden Wert von ß erfüllt ist. Bei der zuletzt betrachteten Bewegung war i parallel zu ti; wir können nun diese Bewegung etwas abändern, indem wir eine transversale Beschleunigung hinzufügen. Dann besitzt im ersten Integral in (87 a) der Integrand eine Komponente senkrecht zur Bewegungsrichtung, die nach dem Krümmungs- mittelpunkte der Bahn weist. Ist die Änderung der Bewegungs- richtung nur gering, so können sich die Beiträge der einzelnen Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 9 130 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Elemente der Bahn nicht zerstören, sie können sich auch nicht gegen die Bestandteile des* dritten Integrales aufheben^ da letztere parallel der Bewegnngsrichtang weisen. Wir erhalten also als Bedingung dafOr^ daß die zu H senkrechte Komponente des Zeitintegrales von S för eine solche Bewegung stets ver- schwindet: (87d) f,(ß)-m)-jfx'(ß) = 0, was weiter im Verein mit (87 c) ergibt: (87 e) Uß)-jf,'(ß)-0. Nun sollte aber nicht nur das Zeitintegral^ sondern auch das Wegintegral von S: allgemein yerschwinden. Formt man die beiden ersten Glieder dieses Integrales durch partielle Integration um und berück- sichtigt das Bestehen der Gleichungen (87 b; c); so erhalt man 8 8 (87f) fdt'(iS,t>) fdt'{i'f,(ß) + ^r,03))- 1 1 Für eine nur transversal beschleunigte Bewegung ist das Integral nur dann stets gleich Null; weun allgemein (87 g) fi(ß)-0 erfüUt ist; fär eine longitudinal bescUeimigte Bewegung tritt die Bedingung (87h) ^,(^) = 0 hinzu. Aus (87 b, d, e) folgt nunmehr (87 i) fM-fM-f,(.ß)-0. Wir haben also bewiesen: Der allgemeinste zulässige Ausdruck für die Reaktionskraft der Strahlung ver- schwindet identisch, wenn sowohl sein Zeitintegral, Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlnng einer bewegten Fnnktladung. 131 wie sein Wegintegral für eine beliebige, in einem gewissen Zeitintervalle beschleunigte Bewegung gleich Null sind. Es ist also nicht möglich, den Ausdruck (85) der Beaktionskraft so abzuändern, daß die Gleichungen (84a, b) für eine jede Bewegung erfOUt bleiben. Der ge- fundene Ausdruck (85) für die Bückwirkung der Strahlung auf die bewegte Punktladung ist demnach der einzige, welcher den oben angegebenen Voraus- setzungen entspricht.^) Wir betrachten einige spezielle Fälle. a) Gleichförmige Bewegung längs eines Kreises. Es ist (tili)=>0; der Beschleunigungsyektor hat den Betrag Ihl Ihl '^1 wenn i2 der Badius des Ejreises ist. Seine Bichtung dreht sich, wie diejenige des Geschwindigkeitsvektors, mit der Winkel- I ii I geschwindigkeit -^* Man sieht ohne weiteres ein, daß fi ein zu b senkrechter Vektor vom Betrage •..i=i«i-4=it.i.i; ist; er weist in die entgegengesetzte Bichtung, wie ti, so daß man hat: » — 1..^. Demnach ergibt (85) (88) . «'-^\%^&^ x« = l-^». Die Beaktionskraft ist der Bewegung entgegen- gerichtet; sie ist dem Quadrate des Kreisradius um- gekehrt proportional und steigt mit wachsender Ge- schwindigkeit an, wie 1) Diesen Ausdruck hat der Verfasser auf der Tagung der British Association in Camhridge (1904) angegeben. Der obige Eindeutigkeits- beweis wurde dort nur skizziert. 9* 132 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegxing der einzelnen Elektronen. Für die Arbeit der Beaktionskraft erhält man 2 8 2 fdt' (». «0 = - h: ßt' ,4. = - ii; -fät' jj, 1 1 1 was selbstrerständlich mit (84b) übereinstimmt. Die Überein- stimmong mit (84a) ist nicht ohne weiteres ersichtüch. Sie wurde ja auch nur postuUert för eine Bewegung, die mit dem Werte Null von ti beginnt und endigt^ während dazwischen sich b stetig ändert. Es ist also, bevor das Elektron die Kreis- bewegung begimit mid nachdem es dieselbe beendigt hat, je ein Intervall anzunehmen, in welchem ii von Null in stetiger Weise zu seinem, der Kreisbewegung entsprechenden Werte übergeht und wieder zum Werte Null zurückkehrt. Für den Kreisbogen, zusammen mit diesen beiden Intervallen, ist, wie aus dem gegebenen Beweise folgt, das Zeitintegral der Reak- tionskraft durch (84a) bestimmt. Betrachten wir übrigens zwei Bewegungen, die um einen ganzen Umlauf voneinander verschieden sind, bei denen aber die tJberführung in die Kreisbahn und die Zurückführung in die gleichförmige Bewegung längs genau derselben Bahn geschah, so folgt aus der Gültigkeit von (84a, b) für die beiden be- trachteten Bahnen: Für einen ganzen Umlauf müssen die Relationen (84a) und (84b) erfüllt sein. Das gilt übrigens ganz allgemein für periodische Bewegungen. Denkt man den oben gegebenen Beweis noch einmal durch, so sieht man ein, daß die von den Integrationsgrenzen herrührenden Terme sich auch dann fortheben, wenn zu den Zeiten ^' und t^' die Vektoren ti und i die gleichen sind. Ist der Bewegungs- zustand an den Grenzen des Integrationsintervalles derselbe, wie z.B. bei einer periodischen Bewegung zu zwei durch eine Periode getrennten Zeiten, so gelten die Relationen (84a, b) ohne weiteres für die durch (85) gegebene Kraft. Bei der soeben behandelten Kreisbewegung z. B. ergibt das Zeitintegral von (88) für einen ganzen Umlauf den Wert Null, was mit (84 a) übereinstimmt. Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Fanktladung. 133 b) Gleichförmige Bewegung längs einer Kreisschraube. Wir setzen ti = tii + Hg,' indem wir unter H^ den konstanten Vektor verstehen, welcher die Projektion von H auf die Achse der Schraube darstellt; unter H^ hingegen die Projektion von H auf eine zur Schrauben- achse senkrechte Ebene. Der Beschleunigungsvektor i liegt in dieser Ebene; er ist senkrecht zu H^ und H,, mithin auch zu H gerichtet, so daß (ti i) auch hier gleich Null ist. Femer gilt |, = tl, = -~tl2^.; WO B^ der Radius der durch ti^ dargestellten Kreisbewegung ist. Wir erhalten also aus (85) oder, indem wir tl = Uj + tl2 einführen und daher setzen: (89) A _^__jt,^.__ + ti2._____j. Die Reaktionskraft der Strahlung ist die Resul- tante zweier Kräfte, von denen die erste der Be- wegung längs der Schraubenachse, die zweite der Kreisbewegung in der zur Achse senkrechten Ebene entgegen wirkt. Sind die Abmessungen der Schraube solche, daß Hl und ti2 von derselben Ghrößenordnung werden, so über- wiegt bei langsamer Bewegung die zweite, der Kreisbewegung entgegen wirkende Komponente. Bei raschen Bewegungen von der Ordnung der Lichtgeschwindigkeit jedoch kommt auch die erste Komponente in Betracht; es wird daher ein im homogenen magnetischen Felde sich sehr rasch bewegendes Elektron nicht nur in der Kreisbewegung um die magnetischen Kraftlinien, 134 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. sondern auch in der translatorischen Bewegung längs der Kraftlinien gehemmt werden, falls die Rückwirkung der Strah- lung in Betracht kommt. Nach der Formel (7 b) des § 2 ist bei der Schrauben- bewegung im homogenen magnetischen Felde wo 71 die spezifische Ladung des Elektrons ist (rj nimmt, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, mit wachsendem ß ab). Es wird demnach (89) (89a) ff = -^'^^tßl^t>J,' + t,{l-ß,')], was bei Ejreisbewegung senkrecht zu den magnetischen Kraft- linien übergeht in c89b) «•=-»i?'=;f- Übrigens ist anzumerken, daß bei der Anwendung dieser Formeln auf die Kathodenstrahlen Vorsicht geboten ist. Es handelt sich bei den Kathodenstrahlen nicht um ein einzelnes Elektron, sondern um eine ganze Schar von Elektronen, die parallele Bahnen beschreiben. Da die ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße durch den Poyntingschen Vektor bestimmt wird und dieser das äußere Produkt der beiden Feldstärken ist, so superponieren sich im allgemeinen zwar die Felder der einzelnen Elektronen, aber nicht die ausgestrahlten Beträge der Energie und der Bewegungsgroße. Denkt man sich z. B. eine Anzahl von Elektronen auf einem Kreise in gleichen Abständen angeordnet und mit der gleichen Geschwindigkeit längs des Kreises bewegt, so wird die Ausstrahlung um so geringer, je größer die Zahl der Elektronen ist. Im Ghrenz- falle sehr vieler Elektronen strahlt diese Elektrizitätsbewegung wie ein stationärer Strom, d. h. sie strahlt überhaupt nicht Hieraus folgt, daß auch die Rückwirkung der Strahlung auf das einzelne Elektron eine andere ist, wenn noch andere in der gleichen Weise bewegte Elektronen zugegen sind. Man Zweites Kapitel. Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladnng. 135 muß dann bei der Behandlung der Strahlung und der Strah- lungsknlfte den Elektronenschwarm als Ganzes behandeln. Anders liegen die Verhältnisse bei der Lichtemission. Nehmen wir an^ daß in jedem lichtentsendenden Molekül nur ein einziges Elektron schwingt^ so sind die Schwingungen der einzelnen Elektronen unabhängig voneinander. Die Phasen- differenz zweier Elektronenschwingungen ist eine ganz beliebige, und daher tritt bei der Superposition der entsandten Wellen ebensooft eine Schwächung wie eine Verstärkung der Strah- lung durch Interferenz ein. Bei der Mittelwertsbildung über eine große Zahl von Molekülen und über eine große Zahl von Schwingungen ergibt sich eine Strahlung^ die gleich der Summe der Strahlungen der einzelnen Moleküle ist. Hier ist also das Ergebnis dasselbe^ als wenn jedes Molekül für sich allein die Schwingungen ausgeführt und die Strahlung ent- sandt hätte; man kann in diesem Falle auch die JElückwirkung der Strahlung auf die Schwingungen angeben^ ohne auf die Wechselwirkungen der Moleküle Rücksicht zu nehmen. Hat man es mit kleinen Schwingungen zu tun, deren Geschwin- digkeit klein ist gegen die Lichtgeschwindigkeit, so ergibt (85) als Beaktionskraft der Strahlxmg. Das war der Ansatz, den wir in § 9 (Gleichung 58) gemacht hatten. Dort konnten wir die Annahme dieses Wertes nur dadurch rechtfertigen, daß wir daraus den richtigen Wert für die ausgestrahlte Energie erhielten; das dort entwickelte elektromagnetische Bild des leuchtenden Punktes ergab keine Ausstrahlung von Bewegungsgröße, wie ja auch ö, über eine Schwingung inte- griert, den Wert NuU liefert. Wir haben nxmmehr von einem allgemeineren Standpunkte aus, unter Berücksichtigung der bei strenger Durchführung der Rechnung sich ergebenden Ausstrahlung von Bewegungsgröße, diesen Ausdruck fQr die Bückwirkung der Strahlung auf die Schwingungen eines ruhenden Dipols als richtig dargetan und damit auch die 136 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Differentialgleichung (58 b) für die kleinen Schwingungen eines Dipols begründet. Für den bewegten leuchtenden Punkt führt die Integration über eine Schwingung von (85) zu (84 a; b) zurück , und es ergibt sich die der Bewegung entgegen wirkende Kraft; welche wir im vorigen Paragraphen kennen gelernt haben (Glei- chung 83 a; d). Übrigens liegt den Entwickelungen dieses Paragraphen; wie denen der vorangehenden; die Annahme einer Punktladung zugrunde. Dadurch ist die Lichtgeschwindigkeit und deren Nachbarschaft sowie selbstverständlich die Überlichtgeschwin- digkeit ausgeschlossen. Es wäre durchaus unzulässig; wenn wir etwa aus dem ünendlichwerden der Beaktionskraft für /3 » 1 schließen würden; daß ein Strahlung aussendendes Elektron nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegt werden kann. Auf eine beschleunigte Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit sind unsere Formeln nicht mehr anzuwenden; denn das Elektron ist nicht als Punktladung anzusehen, sondern es besitzt; wie wir im nächsten Kapitel zeigen werden, endliche Abmessungen. In der unmittelbaren Nahe der Lichtgeschwindigkeit versagen demnach unsere durch die Bedingung (63 b) in ihrer Gültigkeit eingeschränkten Formeln. Die Frage nach der Erreichung und Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit kann nur auf Grund bestimmter Voraussetzungen über die Form und die Ladungs- verteilung des Elektrons in Angriff genommen werden. Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. § 16. Die G-nmdhypotliesen der Dynamik des Elektrons und das elektromagnetisohe Weltbild. Im vorigen Kapitel, wo wir die von einem beschleunigten Elektron entsandte Wellenstrahlung behandelten, kam nur das Feld in großen Entfernungen vom Elektron in Betracht. Nun ( Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 137 ist aber für die Rückwirkung anf das bewegte Elektron haupt- sächlich die Energie und die Bewegungsgröße des Feldes, welches das Elektron unmittelbar umgibt, von Bedeutung. Man gewinnt eine YorsteUung von der Art des Einflusses, welchen das mitgeführte Feld auf die Bewegung des Elektrons auBÜbt, indem man an die Analogie des eleWrischön Leitnngs- Stromes anknüpft (vgl. Bd. I, § 63). Ein Leitxmgsstrom ist von einem magnetischen Felde umgeben, dessen Energie dem Quadrate der Stromstärke pro- portional ist. So erklärt es sich, daß dem Anwachsen der Stromstärke eine „elektromotorische Kraft der Selbstinduktion^' entgegen wirkt, welche der zeitlichen Änderung der Strom- stärke proportional ist. Der Konvektionsstrom, den das be- wegte Elektron darstellt, wird gleichfalls von magnetischen Kraftlinien umschlungen; die magnetische Energie ist, bei langsamer Bewegung wenigstens, auch hier dem Quadrate der Stromstärke proportional. Da nun die Stromstärke in diesem FaUe der Geschwindigkeit des Elektrons proportional ist, so wird der elektromotorischen Kraft der Selbstinduktion hier eine Kraft entsprechen, welche der Beschleunigung des Elektrons proportional und ihr entgegen gerichtet ist. Der Gedanke Maxwellli, welcher die „elektrokinetische^^ Energie des elek- trischen Stromes mit der kinetischen Energie bewegter träger Massen verglich (Bd. I, § 64), nimmt hier eine noch greif- barere Form an, als beim Leitungsstrome. Jene vom magne- tischen Felde herrührende, einer Beschleunigung des Elektrons entgegen wirkende Kraft entspricht in der Tat durchaus der Trägheitskraft der gewöhnlichen Mechanik; es wird mithin ein bewegtes elektrisches Teilchen infolge des mitgeführten elektro- magnetischen Feldes eine träge Masjse besitzen, welche man, zum Unterschiede von der trägen Masse wägbarer Teilchen, als „scheinbare^' oder besser als „elektromagnetische'' Masse bezeichnen kann. Bei den unmittelbar an Marwell anknüpfenden englischen Forschem J. J. Thomson^) und 1) J. J. Thomson, Phil. Mag. (6) 11, S. 229. 1881. 138 Sinter Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. 0. Heaviside^) findet sich zuerst die Vorstellung einer solchen ;; scheinbaren Masse ^^ der konvektiv bewegten Elektrizität. Der Begriff der elektromagnetischen Trägheit gewann eine aktuelle Bedeutung^ als man in den Kathodenstrahlen (vgl. § 2) rasch bewegte elektrische Teilchen kennen lernte. Wenn anders der Konvektionsstrom überhaupt ein magne- tisches Feld erregt — und die Versuche von H. A. Bowland (vgL Bd.. I^ S. 425) konnten hieran kaum zweifeln lassen — , so mußten die im Eathodenstrahle bewegten Elektronen eine elektromagnetische Masse besitzen. Die aUgemeinste zulässige Annahme war die^ daß diese negativen Elektronen sowohl elektromagnetische Masse^ als auch ^^materieUe'^ Masse besitzen. Dabei ist unter ^^materieller Masse '^ diejenige zu verstehen^ welche der wägbaren Materie zukommt und welche z. B. den elektrochemischen Ionen anhaftet. Wir haben indessen bereits in § 2 auf die Schwierigkeiten hingewiesen, welche vom atomistischen Standpxmkte aus der Auffassxmg der Masse des negativen Elektrons als einer materiellen Masse entgegenstehen. Man wäre vor die Alternative gestellt; entweder den Kathoden- Strahlteilchen an Stelle eines einzigen 2000 elektrische Elementar- quanten zuzuschreiben, oder aber die Atome der wägbaren Materie nicht als unteilbar zu betrachten. Diese Schwierig- keiten werden keineswegs gehoben, wenn man die Trägheit der Elektronen zum Teil als materielle, zum Teil als elektro- magnetische betrachtet. Sie verschwinden jedoch sofort, wenn man die Masse des negativen Elektrons als rein elektro- magnetische Masse betrachtet. Auf die * Möglichkeit einer solchen, alle überlieferten Anschauxmgen umwälzenden Lösung wurde von verschiedenen Seiten hingewiesen, und es wurde bemerkt, daß die Entscheidung der Frage von den Trägheits- erscheinungen abhängt, welche die Elektronen zeigen, wenn sie mit noch größeren Geschwindigkeiten, als in den Eathoden- strahlen, sich bewegen. In der Tat, die materielle Masse wäg- barer Teilchen muß, wenn anders die Axiome der gewöhn- 1) 0. Heaviside, Phil, Mag. (6) 27, S. 824. 1889. 4 s Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 139 liehen Mechanik richtig 8ind^ eine Eonstante sein; sie muß unabhängig von der Geschwindigkeit sein^ mit der die Bewegung erfolgt. Die elektromagnetische Masse hingegen, die von dem elektromagnetischen Felde herrührt, wird, wie das Feld selbst, von der Geschwindigkeit abhängen, mit welcher das Elektron den Äther durchfliegt. Gerade als die Erörterung der Frage bis zu diesem Punkte gelangt war, lernte man in den /J- Strahlen des Radiums negative Elektronen kennen, die noch rascher als die Eathoden- strahlteilchen sich bewegen. Es zeigte nämlich W. Kaufmann^), daß die Geschwindigkeit för verschiedene Teilchen eine ver- schiedene ist und daß das „Spektrum^' von Y, der Licht- geschwindigkeit bis dicht an die Lichtgeschwindigkeit heran sich erstreckt. Auch stellten bereits die ersten Versuche Kaufmanns es außer Zweifel, daß die Tragheit dieser Teilchen mit wachsender Geschwindigkeit ansteigt. Hieran anknüpfend hat der Verfasser dieses Werkes es unternommen*), eine Dynamik des Elektrons auszuarbeiten, welche geeignet war, die Ver- suche Kaufmanns auf rein elektromagnetischer Grundlage zu deuten. Die erhaltenen Ergebnisse wurden durch W. Kaufmanns weitere Untersuchxmgen besiatigt*), so daß bereits auf der Karls- bader Naturforscherversammlung (1902) ausgesprochen werden konnte^): Die Masse des Elektrons ist rein elektro- magnetischer Art. In diesem Paragraphen sollen die Grundhypothesen dar- gelegt werden, auf denen die Dynamik des Elektrons beruht. Zu diesen Grundhypothesen gehören selbstverständlich die in § 4 entwickelten allgemeinen Feldgleichungen der Elektronen- theorie (I bis IV), sowie der Lorentzsche Ansatz (V) für die elektromagnetische Kraft. Zu ihnen tritt die für die atomi- stische Theorie der Elektrizität fundamentiJe Vorstellung, daß die Gesamtladung e, die wir als elektrisches Elementarquantum 1) W.Kanfinann, Gott. Nachr. 1901, S. 148. 2) M.Abraham, Gott. Nachr. 1902,8.20. Ann, d.Phya. 10,8.106. 1903. 3) W. Kaufmann, G«tt. Nachr. 1902, 8.291; 1908, 8. 90. 4) W. Kaufmann n. M. Abraham, Phys. Zeitschr. 4, 8. 64 n. 67. 1902. r ! 140 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. s. bezeichnet haben (§ 1)^ über einen gewissen Bereich verteilt ist. Diesen Bereich nebst seiner Ladung nennen wir das ^jElektron^^ Er kann als Ganzes im Räume bei^^^ aber nicht geteilt werden. An der Elektrizität^ die mit der Dichte q über das Yolum des Elektrons verteilt ist^ greift nun die durch die Gh*und^eichung (Y) definierte elektromagnetische Kraft an. Dieselbe setzt sich aus zwei Teilen zusammen^ erstens der elektromagnetischen Kraft des äußeren Feldes, die wir %^ schreiben, und zweitens der vom Elektron auf sich selbst ausgeübten „inneren elektromagnetischen Kraft'^ Es ist für das Folgende bequem, diese letztere einfach % zu schreiben. Daß man die „innere^' und die „ äußere ^^ Kraft trennen kann, rührt von dem in der linearen Form der Feld- gleichungen analytisch zum Ausdruck gebrachten Super- )r positionsprinzipe her; diesem Prinzipe zufolge überlagern sich die Felder =- t»o + [^t] dargestellt, welche der in der Eanematik des starren Körpers (Bd. I, § 9) gültigen Gleichung (Gl. 35, S. 25) voUkommen 142 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. entspriclit. Diese unsere kinematische Grundgleichung sagt aus^ daß die Elektrizität an den Yolumelementen des Elektrons haftet^ wie die wägbare Materie an den Yolumelementen des starren Korpers. Es stellt in (YII) Hg die Geschwindigkeit eines im Innern des Elektrons ge- wählten Bezugspunktes dar^ x den von ihm aus konstruierten Radiusvektor und u die Drehgeschwindigkeit des Elektrons um den Bezugspunkt. Den sechs durch die kinematische Ghnind- gleichung zugelassenen Freiheitsgraden stehen sechs aus den dynamischen Grundgleichungen fließende Beziehungen gegen- über; ganz wie in der Mechanik starrer Körper. Wenn wir die Kinematik des Elektrons der Kinematik des starren Körpers nachbüden, erreichen wir für die Dynamik, des Elektrons ähnliche Yorteile^ wie sie die analytische Mechanik durch Annahme starrer Yerbindungen erzielt. Indem nämlich die analytische Mechanik der Kinematik der Massen- systeme solche Bedingungsgleichungen zugrunde legt, zu deren Aufrechterhaltung keine Arbeitsleistung (weder eine positive, noch eine negative) erforderlich ist, braucht sie Kräfte, welche die verkoppelten Massen aufeinander ausüben, nicht einzuführen. Sie kann diese KnLfte auffassen als Folge der angenommenen Bedingungsgleichungen; es ist aber überflüssig, von diesen Kräfben zu reden, da dieselben niemals Arbeit leisten, weder bei der wirklichen Bewegung, noch bei virtuellen Bewegungen. Daher kann die analytische Mechanik bei der Behandlung starrer Massensysteme davon absehen, eine innere „potentielle Energie^' der Körper heranzuziehen. Aus den Bedingungsgleichungen der bewegten Massen und ihrer kinetischen Energie ergeben sich ohne weiteres die Bewegungsgleichungen des Systemes. Dieser Grrundgedanke der analytischen Mechanik Lagranges ist bekanntiich von Heinrich Hertz in seiner DarsteUung der Prinzipien der Mechanik am konsequentesten durchgeführt worden. H. Hertz wünscht den Begriff der potentiellen Energie aus den Grundlagen der Mechanik zu verbannen. Er postuliert die Zurückführung der potentiellen Energie auf die lebendige Krafb verborgener Systeme träger Massen; diese Massen sollen Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 143 durch ^; starre^' Yerbindungen miteinander verkoppelt sein; alle Eräfbe, auch anscheinende ^^Femkräfte^', sollen in Wirklich- keit durch Mechanismen verborgener Massen übertragen sein^ welche auch die anscheinend getrennten materieUen Körper miteinander verkoppeln. Nun sind jedoch die Verbindungen^ welchen wir in der wirklichen Körperwelt begegnen, keines- wegs ,, starr '^ Auch die festen Körper besitzen die Eigenschaft der Elastizität; Reibung usf. Daher reichen ftir eine er- schöpfende Darstellung der Bewegungsvorgange die Ansätze der analytischen Mechanik nicht aus, man muß vielmehr die thermischen Yor^nge berücksichtigen, welche die Bewegungen begleiten. Dieser Einsicht verschließt sich Hertz keineswegs. Da er aber alle physikalischen Yor^Lnge, auch die thermischen, als Bewegungsvorgänge aufzufassen wünscht, so kann er nicht umhin, anzunehmen, daß in der Welt der Atome die starren Yerbindungen seiner Mechanik verwirklicht sind. In der Tat, wäre die Bewegung der Atome mit Beibimgs- und Form- änderungsarbeit verbunden, so wäre es logisch unmöglich, die Wärme der Körper als eine Art von Bewegung aufzufassen. Win man das mechanische Weltbild in folgerichtiger Weise zeichnen und dabei die potentielle Energie aus den Grundlagen der Mechanik verbannen, so muß man fordern, daß die kine- matischen Zusammenhänge der kleinsten Teilchen „ starr ^' im Sinne der Hertzschen Mechanik sind. Wir haben die Bedeutung dieses mechanischen Weltbildes für die Elektrodynamik im ersten Bande dieses Werkes (§ 64) erörtert, als wir die Maxwellsche Ableitung der Induktions- gesetze aus den Lagrangeschen GUeichxmgen vortrugen. Wir erwähnten dort bereits, daß diese Maxwellsche Analogie der Selbstinduktion zur Massenträgheit nicht unbedingt zugunsten des mechanischen Weltbildes gedeutet zu werden braucht, sondern daß man mit demselben Rechte umgekehrt versuchen kann, die Massenträgheit aus den Gesetzen der Elektrodynamik abzuleiten und so die Mechanik elektromagnetisch zu begreifen. Wir sind jetzt zu dem Punkte gekommen, wo das „elektro- 144 ^i^ster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. magnetische Weltbild^' auf seine Richtigkeit zn prüfen ist. Die elektromagnetische Masse des Elektrons ist nichts anderes^ als die Selbstinduktion des Konvektionsstromes. Ist die Dynamik des Elektrons rein elektromagnetisch begründet und die Trägheit der Elektronen auf ihre Selbsidnduktion^ d. h. auf die Rückwirkung ihres Feldes^ zurückgeführt^ so haben wir den Stützpunkt gewonnen, von dem aus wir die mechanische Naturanschauung in ihren Grundlagen erschüttern können. Wir können dann wagen, die kinetische und die potentielle Energie der Mechanik, und alle Energieformen überhaupt, als magnetische und elektrische Energie zu deuten und so ein elektromagnetisches Weltbild an die Stelle des mechanischen zu setzen. Obwohl wir eine Tendenz verfolgen, welche derjenigen der Hertzschen Mechanik diametral entgegengesetzt ist, soll uns doch hinsichtlich der Folgerichtigkeit der Durchführung dieser Tendenz die Hertzsche Mechanik vorbildlich sein. Wollen wir an SteUe der kinetischen und der potentiellen Energie der Mechanik die elektromagnetische Energie setzen, so müssen wir der Dynamik der elektrischen Atome kinematische Ver- bindungen zugrunde legen, deren Aufrechterhaltung weder einen Energieverlust, noch einen Energiegewinn mit sich bringt; sonst ist die gesamte elektromagnetische Energie des Feldes nicht konstant, und es wird die Einführung einer nicht elektromagnetischen Energieform doch wieder notwendig. Das elektromagnetische Weltbild kann nicht umhin, der Kinematik der Elektronen Bedingungsgleichungen zugrunde zu legen, welche den „starren^^ Verbin- dungen der Hertzschen Mechanik entsprechen. Nur auf solchen kinematischen Grundgleichungen fußend, ist die Dynamik des Elektrons ohne logische Widersprüche elektro- magnetisch zu begründen. Nur die Übereinstimmung der Ergebnisse einer so begründeten Dynamik des Elektrons mit dem Experimente kann zur weiteren Verfolgung des elektro- magnetischen Weltbildes ermutigen. Die einfachste aller in den Rahmen der analytischen Mechanik fallenden Bedingungs- Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 145 gleichungeu war es^ die wir als kinematische Gh*undhypothese wählten. Auch über die Form des Elektrons werden wir meist die einfachste denkbare Annahme machen. Wir werden das Elektron als Engel betrachten^ mit einer in kon- zentrischen Schichten homogenen Verteilung der Ladung; ins- besondere werden wir zwei Grenzfölle, nämlich die homogene Yolumladung und die homogene Flächenladung^ bevor- zugen. Beide fuhren hinsichtlich der elektromagnetischen Masse zu demselben, mit den Versuchen Kaufmanns überein- stimmenden Ergebnisse. Erst dann, wenn künftige Experimente mit diesen speziellen Annahmen sich als unverträglich erweisen sollten, würde man zu komplizierteren Annahmen über die Form und die Ladungsverteilung des Elektrons überzugehen geneigt sein. Man würde auch daran denken, dem Elektron mehr als sechs Grade der Freiheit zu geben; aber stets wären die kinematischen Verbindungen so zu wählen, daß sie als „starre ^^ Verbindungen im Sinne der Hertzschen Mechanik zu bezeichnen wären. Vorläufig allerdings erscheint der Übergang zu kompli- zierteren kinematischen Grundgleichungen unzweckmäßig. Halten wir an der kinematischen Grundgleichung (VII) fest, so brauchen wir von „EiMten'^, welche die Volumelemente des Elektrons aufeinander ausüben, überhaupt nicht zu reden. Die einzigen „ Kräfte *', die in Frage kommen, sind die elektro- magnetischen Kräfte, welche durch die Vektoren $ und f^^ bestimmt sind; diese Vektoren sind nur Hilfsgrößen, die defi- niert sind durch die elektromagnetischen Grundvektoren (S, § und durch den Geschwindigkeitsvektor H. Die resultierenden Ki^e und Kraftmomente des äußeren xmd inneren Feldes allein sind es, die in die dynamischen Grundgleichungen (VI und Via) eingehen. Von „ Kräften ^^ aber, welche das Elektron zu deformieren bestrebt sind, spricht unsere Dynamik des Elektrons überhaupt nicht. Die kinematische Ghrundgleichung bedingt es, daß solche Kräfte niemals Arbeit leisten können; von unserem Standpunkte aus ist die Einführung solcher Ki^te überflüssig. Anders liegt hingegen die Sache, wenn man die kine- matische Grundgleichung (VE) fallen läßt und eine Form- Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 10 146 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. änderang des Elektrons als möglich ansieht. Dann müssen nicht nnr die resultierenden KnLfte und Kraftmomente am Elektron im ganzen sich das Gleichgewicht halten^ sondern es muß an jedem Yolumelemente des Elektrons Gleichgewicht bestehen, da ja eine am Yolumelemente haftende ;, materiellem^ Masse nicht angenommen werden soll. Dann muß man schon für das ruhende Elektron annehmen, daß neben den elek- trischen noch innere elastische Kräfte wirken, welche es ver- hindern, daß die Yolumelemente ihrer gegenseitigen Abstoßung Folge leisten. Diese Kräfte müssen ganz enorme sein; denn die elektrischen Kräfte, welche an der Oberfläche des Elektrons angreifen, übertreffen, weil die Abmessungen des Elektrons so außerordentlich klein sind, die experimentell herstellbaren elektrischen Kräfte um das billionenfache. Bewegt sich nun das Elektron als Ganzes translatorisch oder rotatorisch, so werden die elektromagnetischen Kräfte abgeändert werden, und mit ihnen die elastischen, derart, daß an jedem Yolumelemente die elektrischen und die elastischen KJrafte sich das Gleichgewicht halten. Die Abänderung der elasti- schen Kräfte wird von einer Formänderung begleitet sein. Der Translationsbewegung und der Rotationsbewegung wird sich demnach eine innere Formänderungsbewegung überlagern, die ihrerseits das innere Feld beeinflußt. Man hat, präzis gesprochen, neben den Gleichgewichtsbedingungen für die Yolumelemente noch die Feldgleichungen (I bis lY) zu erfüllen und hat zu zeigen, daß die hinsichtlich der elastischen Kräfte gemachten Annahmen zu keinen Widersprüchen führen. Eine solche, nachgewiesenermaßen widerspruchsfreie Theorie eines deformierbaren Elektrons existiert bisher nicht. Sollte sie sich durchführen lassen und dem Experimente gegenüber sich gleichfalls bewähren, so wäre sie unserer Theorie gegenüber noch insofern im Nachteile, als sie gezwungen wäre, außer der elektromagnetischen Energie noch eine innere potentielle Energie von der Art der inneren Energie elastischer Körper einzuführen, deren Abnahme die von den elastischen Kräften geleistete Arbeit kompensiert. Man würde dann die Trägheits- Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 147 kräfte verbannt^ aber dafür die weniger gut verstandenen elastischen Kräfte aus der Mechanik übernommen haben. Man würde die kinetische Energie der Elektronen auf die elektro- magnetische Feldenergie und eine innere potentielle Energie zurückgeführt haben. Die Übereinstimmung einer solchen Dynamik des Elektrons mit dem Experimente wäre gewiß nicht als eine Bestätigung des elektromagnetischen Weltbildes aufzufassen. Wir werden in diesem Werke an der Hypothese des 9^ starren'^ Elektrons festhalten; auf Grund dieser Hypothese werden wir die Frage zur Entscheidung zu bringen suchen, ob die Dynamik des Elektrons rein elektromagnetisch be- gründet und so die Konvektionsstrahlung freier Elektronen als rein elektrischer Vorgang aufgefaßt werden kann. Ein weiterer Schritt auf dem Wege der elektromagnetischen Weltanschauung wäre die Deutung der EnLfte, welche die Materie auf die Elektronen ausübt, z. B. der quasielastischen EjiiLfte (vgl. § 9), auf rein elektromagnetischer Basis. Der letzte Schritt endlich wäre die Auffassung der wägbaren Atome und Moleküle als Aggregate von Elektronen, eine Auffassung, welche die TnLg- heit der Materie ohne weiteres erklären würde, von der man aber auch fordern müßte, daß sie von den MölekularknLften und von den Gh-avitationskräften in befriedigender Weise Rechenschaft gäbe. Die Welt würde dann allein aus den positiven und negativen Elektronen, und aus dein von ihnen im Baume erzeugten elektromagnetischen Felde bestehen, und alle Naturvor^Lnge wären als Konvektionsstrahlung der Elektronen oder als von ihnen entsandte Wellenstrahlung zu betrachten. Dieses elektromagnetische Weltbild ist bisher nur ein Programm; hoffen wir, daß die Arbeit der im Dienste dieses Programmes tätigen Forscher von weiteren Erfolgen gekrönt werden möge. § 17. Die Bewegungsgleioliungen des Elektrons. Ist das „äußere Feld'' gegeben, und die jeweilige Lage, Geschwindigkeit und Drehgeschwindigkeit des Elektrons, so sind die resultierende äußere Kraft 10* 148 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. (90) r -^fdv Q r -fdv 9 { r + i [ö r ] ) ' und die resaltierende äußere Drehkraft (90a) r^fdv Q [r »T ='fdv q [t, r + ^ [»rl] gleichfalls bestimmt. Für das kugelförmige Elektron wird man als Momentenpunkt den Mittelpunkt desselben wählen^ und von diesem aus den Radiusvektor t konstruieren. In der kine- matischen Gbrundgleichung gibt dann Hg die Geschwindigkeit dieses Mittelpunktes ^ u die Drehgeschwindigkeit des Elektrons um seinen Mittelpunkt an. Nimmt man die Ladirngsverteilung im Elektron nicht als allseitig symmetrisch an^ so wird man als Momentenpunkt den durch die Gleichung ' (90b) fdvQX^O definierten Punkt wählen^ der dem ,, Massenmittelpunkte^^ der Mechanik entspricht^ und der in diesem Falle schlechtweg als ^^Mittelpunkt des Elektrons'^ bezeichnet werden mag. Bei reiner Translationsbewegung (it » 0) ist die [äußere Kraft (91) «? ==fdvQ(Br+ i [%JdvQ§^] . Ist das äußere Feld innerhalb des vom Elektron ein- genommenen Bereiches merklich homogen, so reduziert sich der Translationsbestandteil der äußeren Kraft auf (91a) «?-c(r+^[l.or])- Die experimentell herstellbaren konstanten elektrischen und magnetischen Felder sind stets als homogen anzusehen auf Strecken von der Größenordnung eines Elektrondurchmessers; die von ihnen ausgeübte Kraft wird daher stets mit genügender Annäherung durch (91a) angegeben. Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 149 Die äußere Drehkraft ist bei reiner Translation (91 b) «; ^Jdv Q [x r ] + -Jdv Q [x [no r]] • Dieser Ausdruck verschwindet fär ein homogenes äußeres Feld, da hier sowohl <8*, wie [HoS*] vor das Integralzeichen zu ziehen sind, gemäß (90b). Im homogenen Felde ist der Translationsbestandteil der äußeren Drehkraft gleich Null. Dreht sich indessen das Elektron um seinen Mittelpunkt, so kommt im magnetischen Felde der Rotationsbestandteil der äußeren Kraft hinzu: m=-^fdv(f\\nt\,%r], welcher gemäß den Regeln (ß) und (d) in Bd. I, S. 437 zu schreiben ist ^ (91c) Ä;-|ydt)(»{-tt(r§'0 + r(«r)}- Der Rotationsbestandteil der äußeren Kraft ver- schwindet gleichfalls im homogenen magnetischen Felde. Der Rotationsbestandteil der äußeren Drehkraft jedoch (91d) 9li-^fdvQ\yix\{x%')^\[n,JdvQx{t§'')] ist auch im homogenen magnetischen Felde im all- gemeinen von Null verschieden. Bei um den Mittelpunkt symmetrischer Verteüung der Elektrizität ist er dem äußeren Produkte aus der Dreh- geschwindigkeit u und der Feldstärke %/* proportional. (91 e) «2 = l[tt§^. Der Koeffizient | findet sich nach einer einfachen Rechnung I = *^ für Volumladung, I = -r— für Flächenladung; AC wenn a der Radius des kugelförmigen Elektrons ist. (91f) 150 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Führen wir die niinmelir als bekannt anzusehenden Vektoren Ä" und 9(* in die dynamischen Grundgleichungen (VI, Via) ein, so lauten diese: (92) r+JdvQ% ^ 0, (92a) 9e+CdvQ [t^] = 0. Es handelt sich nun darum, den Vektor f^, d. h. die elektromagnetische E!raft des yom Elektron selbst erregten Feldes, zu ermitteln. Wir haben bereits im ersten Kapitel (§ 8) in allgemeinster Weise die Fortpflanzung einer elektromagnetischen Störung be- handelt. Wir haben gesehen, daß das Feld, welches zur Zeit t in irgendeinem Aufpunkte herrscht, sich zusammensetzt aus Beitragen, welche eine mit Lichtgeschwindigkeit sich kontra- hierende Kugel dem Aufpunkte zufuhrt. Und zwar hängen die elektromagnetischen Potentiale von der elektrischen Dichte und von der Dichte des Konvektionsstromes ab, welche die Kugel antrifft; die Feldstärken werden mithin von der Dichte, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Elektrizität abhängen, über welche die Kugel hinweggestrichen ist. Das vom Elektron erregte Feld wird sich demnach durch ein Zeitintegral über die Latenszeit t oder den Latensweg X darstellen lassen. Auf diese allgemeine Darstellung des Feldes kommen wir weiter unten (§ 24) zurück. In die Ausdrücke der inneren Kraft und Drehkraft gehen nun die Feldstärken ein^ welche in dem gerade vom Elektron eingenommenen Bereiche herrschen, und die vom Elektron selbst erregt sind. Um sie direkt zu bestimmen, müßte man für jeden Punkt des Elektrons das Feld ermitteln, und sodann die elektromagnetischen Kräfte, welche auf die einzelnen Volum- elemente wirken, nach den Regeln der Mechanik starrer Körper zusammensetzen. Hat sich nun das Elektron vorher mit Unter- lichtgeschwindigkeit bewegt, so wird für jeden zur Zeit t in sein Inneres fallenden Aufpunkt das Feld abhängen von der Bewegung, welche das Elektron in einem endlichen, der Zeit t Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 151 Yorangegangenen Zeitinteryalle ausgeführt hat, nämlich in dem Zeitintervalle^ während dessen die mit Lichtgeschwindigkeit sich kontrahierende Engel über das Elektron hinweggestrichen ist. Auch bei Bewegung mit Überlichtgeschwindigkeit wird das gleiche gelten; die Abweichung liegt darin^ daß hier das Elektron von außen in die sich kontrahierende Engel hinein- tritt. Nur wenn die Geschwindigkeit des Elektrons der Licht- geschwindigkeit gleich ist^ oder um diese oszilliert^ liegt ein Ausnahmefall vor. Im allgemeinen wird die elektromagnetische Eraft im Tnnem des Elektrons abhängen von der Geschwindig- keit und Beschleunigung, die das Elektron in einem endlichen, vorangegangenen Zeitintervalle erfahren hat. Das gleiche wird von der resultierenden inneren Eraft und Drehkraft gelten. Wir kommen hierauf weiter unten (§ 26) zurück. Aus diesen allgemeinen Überlegungen gewinnen wir eine Einsicht in den Sinn unserer dynamischen Gbrundgleichungen. Wir erkennen^ daß diese Gleichungen im Grunde etwas ganz anderes aussagen, als die Prinzipien der gewöhnlichen Mechanik. Während die Mechanik starrer materieller Eörper die zeitliche Änderung der jeweiligen Geschwindigkeit und Drehgeschwindig- keit durch die äußere Eraft und Drehkraft bestimmt, wenn die Gestalt und die Massenverteilung des Eörpers gegeben ist, ist die Aussage der Grrundgleichungen der Dynamik des Elektrons eine weit verwickeltere. Dieselben sind, streng genommen, Funktionalgleichungen, welche die Lage, sowie die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Translation und Ro- tation, die in einem ganzen Zeitintervalle herrschen, zueinander in eine äußerst verwickelte Beziehung setzen. Man darf daher nicht hoffen, Bewegungsgleichungen zu erhalten, welche gleich- zeitig ili Strenge gültig sind, und, ähnlich wie die Bewegungs- gleichungen des starren Eörpers, die Beschleunigung der Trans- lation und Rotation allein durch die jeweils herrschenden äußeren Eräfte bestimmen. Nur indem man spezielle Fälle herausgreift, und sie passend idealisiert, kann man erwarten, zu übersichtlichen, für die DarsteUung der beobachtbaren Be- wegungen geeigneten Ergebnissen zu gehmgen. 152 f^rster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Dieses war das Ziel, welches ich bei meinen Unter- suchungen über die Dynamik des Elektrons verfolgt habe. Ich habe nachgewiesen; daß die in den Eathodenstrahlen und den Becquerelstrahlen stattfindenden Elektronenbewegungen so wenig beschleunigt sind; daß sie als ;; quasistationär ^ gelten können^ d. h. daß das Feld des Elektrons merklich dem bei gleich- formiger Bewegung mitgeführten Feld entspricht (vgl. § 23). Für solche quasistationäre Translationsbewegungen bin ich zu Bewegungsgleichungen gelangt; welche von den in der Mechanik geltenden nicht so sehr verschieden sind. Hier läßt sich das Verhalten des Elektrons auch bei Geschwindigkeiten; die von der Ordnung der Lichtgeschwindigkeit; aber immerhin kleiner als diese selbst sind; durch eine von der jeweiligen Ge- schwindigkeit abhängige ;;elektromagnetische Masse^^ charakterisieren. Dabei ist jedoch eine andere träge Masse in Rechnung zu setzen, wenn es sich um Beschleunigung parallel der Bewegungsrichtung; oder senkrecht zu ihr handelt. Beide Massen; die ;;longitudinale^^ sowohl, als auch die ;;trans- versale^^; lassen sich mit Hilfe des elektromagnetischen Im- pulses (§ 5) in übersichtlicher Weise darstellen. In ent- sprechender Weise läßt sich aus dem elektromagnetischen Impulsmomente für quasistationäre Drehbewegungen ein ;;elektromagnetisches Trägheitsmoment'^ ableiten. Wir gewinnen die Grundlage für die Theorie der quasi- stationären Bewegungen des Elektrons, indem wir die elektro- magnetische Bewegungsgröße des vom Elektron erregten Feldes einführen. Deren Dichte ist nach Gleichung (18): (93) 8-f.«=ii-J«^]. Der gesamte Impuls des Feldes beträgt (93a) 9=fdvi, und der Drehimpuls (93b) 1»=fdv[ri\. Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 153 Die Umfonnimgen; die zu den Ausdrücken (21) und (26a) für die resultierende Kraft und die resultierende Drehkraft eines beliebigen elektromagnetischen Feldes führten^ gelten natürlich auch für das Feld eines einzelnen Elektrons; denn dieses Feld erfüllt eben die Grundgleichungen (I bis lY)^ auf denen jene Umformungen beruhten. Wir erhalten demnach als resultierende innere Kraft (93c) St^JdvQ%^ dt Bei der Berechnung des resultierenden Momentes des vom Elektron erregten Feldes ist zu beachten^ daß als Momenten- punkt nicht ^ wie in § 5^ ein im Baume fester Punkt ^ sondern der mit der Geschwindigkeit Hq bewegte Mittelpunkt des Elek- trons gewählt wurde. Auf diesen Momentenpunkt soll auch das elektromagnetische Impulsmoment ^ bezogen werden. Wir können ; da das Integral in (93 b) über den ganzen Baum zu erstrecken ist^ unter t den Badiusvektor verstehen; der vom Mittelpunkt des Elektrons aus nach einem im Baume festen Punkte gezogen ist; dann gilt: Hieraus folgt als zeitliche Änderung des Impulsniomentes |=^,/^nt9] = -[i..«]+/e^4t|f]- Das zweite Glied der rechten Seite war es, auf welches sich die Umformungen des § 5 bezogen, die zu den Gleichungen (26) und (26a) führten; denn dieses Glied stellt die zeitliche Änderung des auf einen im Baume festen Momentenpunkt be- zogenen Impulsmomentes dar. Wir haben daher hier zu schreiben «-A« [''!?]• Zwischen dem auf den bewegten Mittelpunkt des Elektrons bezogenen elektromagnetischen Impuls- 154 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegnng der einzelnen Elektronen. momente ^ und dem resultierenden Momente der inneren elektromagnetischen Kräfte besteht demnach die Beziehung (93d) «=/dfp[r5] = [l»o®]+^- Fuhren wir die Ausdrücke (93 c, d) in die dynamischen Grundgleichimgen (92^ 92a) ein, so nehmen diese die Form an (94) ^ = ft^ (94a) ^ + [II.®] = r. Diese Form der dynamischen Grundgleichungen entspricht durchaus den Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, wenn Kraft und Impulsmoment auf einen mit der Geschwindig- keit Hq bewegten Momentenpunkt bezogen sind. Sie sind in der Tat formal identisch mit den Bewegungsgleichungen (46) und (48) des starren Körpers, die wir im ersten Bande (§ 12) kennen lernten. Sie beruhen ja auf den Impulssätzen, die für die Bewegungsgröße des elektromagnetischen Feldes ebenso gelten, wie für die an den wägbaren Körpern haftende Be- wegungsgröße. Freilich läßt sich für die wägbaren Körper ohne weiteres der Impuls als Funktion der Geschwindig- keit, und der Drehimpuls als Funktion der Drehgeschwindig- keit angeben. In der Dynamik des Elektrons hingegen gewinnt man die Beziehungen, welche den Impuls und das Impuls- moment mit der Geschwindigkeit und der Drehgeschwindigkeit verknüpfen, erst durch Integration der Feldgleichungen; erst nachdem das Feld der betreffenden Bewegung ermittelt ist, lassen sich die durch (93, 93 a, b) definierten Integrale über den ganzen Baum auswerten, wodurch dann die Bewegungs- gleichungen eine explizite, zur Bestimmung des Verlaufes der Bewegung geeignete Form annehmen. Neben den Impulsgleichungen ist die Energiegleichung für die Dynamik des Elektrons von Bedeutung. Wir hatten dieselbe bereits in § 4 in allgemeiner Weise aus den Grund- Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 155 gleichimgen der Elektronentheorie hergeleitet. W, die ge- samte Energie des vom Elektron erregten Feldes^ ist stets eine endliche^ wenn wir bei der Verfolgung der Bewegung Yon einem anfangs mhenden Elektron ausgehen^ und immer nur endliche äußere Kräfte auf das Elektron wirken lassen. Sie berechnet sich in diesem Falle aus den Feldstärken des vom Elektron erregten Feldes durch die Integration über den unendlichen Baum: (95) TT«/^ {«*+§»). Infolge der über den Anfangszustand gemachten Annahme können wir in der Energiegleichung^ ebenso wie wir es bereits in § 5 in den Impulsgleichungen taten^ die Oberflächen- integrale streichen. Rücken wir nämlich die Begrenzungs- fläche so weit fort; daß sie während des ganzen betrachteten Vorganges nicht von dem Felde erreicht wird, so flndet eine Strahlung durch die Begrenzungsfläche hindurch nicht statt, und es wird (vgl. § 4) dÄ Hier bezeichnet -jt die Arbeitsleistung der „inneren" elektromagnetischen E!räfte f^, die vom Felde des Elektrons selbst herrühren; es gilt ^ =fdvQ (öfj) = (ttoJ'dvQ^) + {n,fdvQ [r^]), wie aus der kinematischen Gfrundgleichung (VII) im Verein mit der Regel (y) der Formelzusammenstellung in Bd. I, S. 437, folgt. Mit Rücksicht auf die dynamischen Grundgleichungen (92 a, b) ergibt dieses (95b) ^=._(ö^«»)_(„r). Es ist demnach die Arbeit der inneren elektro- magnetischen Kräfte entgegengesetzt gleich der Arbeit 156 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. der äußeren elektromagnetischen Kräfte. Diese aus den Crrundgleichungen unserer Dynamik des Elektrons folgende Be- ziehung würde nicht mehr erfüllt sein^ wenn noch andere innere Kräfte^ außer den elektromagnetischen^ mitwirkten. Durch die Wahl der Grundhypothesen haben wir eben aus- geschlossen; daß solche Kräfte jemals Arbeit leisten. Die Relation (95 b) und die aus ihr und (95 a) sofort sich er- gebende Energiegleichung (96) ^_ (ft„«-) + („«-), sind fär unsere rein elektromagnetisch begründete Dynamik des Elektrons wesentlich. Kombinieren wir nun die Energiegleichung (96) mit den Impulsgleichungen (94) und (94a); indem wir die aus den letzteren sich ergebenden Werte der äußeren Kraft und Dreh- kraft in die letztere einführen^ so erhalten wir w ^=(«.^+("^)+(«fj)- Diese aus der Energiegleichung und den Impuls- gleichungen abgeleitete Beziehung ist von großer Wichtigkeit für die Dynamik des starren Elektrons; denn sie verknüpft in einer allgemeinen; Yon den Werten der äußeren Kräfte unabhängigen Weise den ImpulS; den Drehimpuls und die Energie des Elek- trons. Wir wollen, ehe wir zur Behandlung spezieller Bewegungen übergehen; noch eine andere; allgemeine Beziehung ableiten, welche sich gleichfalls weiterhin als wertvoll erweisen wird. Dieselbe bezieht sich auf die Differenz der magnetischen Energie T und der elektrischen Energie TJ des Feldes. Diese Differenz soll die ;;Lagrangesche Funktion'^ genannt werden. « (98) L==T--Ü. Wir wollen bei der Berechnung der beiden Energiearten die Relationen (28) und (29) heranziehen; welche die elektro- Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 157 magnetischen Vektoren durch die elektromagnetischen Potentiale ausdrücken. Dann wird (98.) T_ygg._yg(s,o„ri,), Die erhaltenen Ausdrücke sollen durch partielle Integration umgeformt werden^ wobei die über die Begrenzungsfläche er- streckten Integrale ein für allemal gestrichen werden sollen. Es liegt diesem Verfahren immer die stillschweigende Voraus- setzung zugrunde, daß die Grenzfläche nicht von der Störung erreicht worden ist; auf dieser Fläche herrscht dann noch der elektrostatische Anfangszustand, der zu einer früheren Zeit einmal im ganzen Räume geherrscht hat; dieses elektrostatische Feld liefert keine Beiträge zu den Oberflächenintegralen. Aus Regel (v) der FormelzusammensteUung in I, S. 438 folgt und, nach Einführung der Feldgleichung (H), (98c) T^ifä.m+f^x^,'-^). Anderseits ergibt die Regel (t) auf S. 437 div ®« = ® div (& + «F®, woraus auf Qrund des Gaußschen Satzes (Regel 6) folgt I dvdF^ = — / dt?® div tt = — 43t /(Zt?p®. Demgemäß wird die elektrische Energie (98d) r-i/ die Kraft angibt^ die auf die ruhende Einheit der Ladung wirkt, so wird in unserem gleichförmig bewegten Systeme die Kraft auf die mitbewegte Einheit der Ladimg durch den negativen Gradienten von W angezeigt (Gleichung 102). Wie die Abnahme der elektrostatischen Energie (104a) [7-y r^vp?) die Arbeit angibt, die bei einer Konfigurations'anderung ruhender Ladungen gewonnen wird, so wird die Abnahme der Eiafte- funktion V die Arbeit angeben, die bei einer Änderung der Konfiguration in unserem gleichförmig bewegten Systeme elek- Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 163 trischer Ladungen zu gewinnen ist. Diese Eonfigurations- änderung ist selbstverständlich unendlich langsam vorgenommen zu denken^ so daß unser System in jedem Momente als ein mit der Geschwindigkeit H gleichförmig bewegtes gelten kann. Die für unser stationäres Feld aus (100) und (98) folgende Beziehung (104b) V L^U-T gestattet folgende Deutung: Zu der elektrischen Energie U des Ladungssystemes tritt das elektrodynamische Potential — Tder Konvektionsströme^ welches, ebenso wie bei geschlossenen Leitungsströmen (Bd. I, § 64), der negativen magnetischen Energie gleich ist. Die so erhaltene Kräftefunktion gibt die Arbeit an, welche bei einer Konfigurationsänderung der be- wegten Ladungen gewonnen wird. Es folgt übrigens aus (101 e,f) Hieraus ergibt sich für die Knlftefunktion der Ausdruck (104c) r L =/|^{«x» + x»(«/ + «.»))• Für die wirkliche Berechnung eignet sich allerdings besser die Formel (104), welche die Kräftefanktion durch ein über die elektrischen Ladungen erstrecktes Integral darstellt; dieses Integral läßt sich auswerten, sobald das Konvektionspotential W^ bekannt ist. Wir gehen jetzt dazu über, durch Integration der partiellen DifiTerentialgleichung (102 a) das Konvektions- potential zu bestimmen. Man sieht sofort ein^ daß diese Differentialgleichung in die Poissonsche Gleichung übergeht, wenn man durch die Substitution (105) x^XqX, y = yo; ^ = ^o neue unabhängige Variable einführt. Wir wollen gleichzeitig setzen (105a) 9- f. 11* 164 Eniter AbBchnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Dann ist die Differentialgleichnng des Konvektionspoten- tiales zu schreiben (105 b) F^^W 43rpoX. Wir wollen unser gleichförmig bewegtes System H ver- gleichen mit einem ruhenden Systeme H^ von elektrischen Ladungen. Es sollen x^j y^, 0^, Qq Baumkoordinaten und elek- trische Dichte in 2^ Bein, d. h. es soll 2]^ aus 2 durch eine Dilatation parallel der Bewegungsrichtung hervorgehen^ durch welche alle der o;- Achse parallelen Strecken im Verhältnis x-^^Ci-zs»)"^ verlängert werden; die Dichte der Elektrizität soll gemäß (105a) im Verhältnis x bei dieser Dehnung verkleinert werden^ so daß entsprechende Volumelemente in 2 und 2]^ dieselbe Ladung enthalten. Das elektrostatische Potential q)^ in 2q wird der Poissonschen Grleichung zu genügen haben (105 c) ^*9o^-4^Po; welche durch de^ n (105d) ,^ xj^^ = xf dVQ wo (106a) r, = ]/(«o - lo) * + (y« - %)* + (^o - Ü* die Entfernung der Punkte {x^y^si^ und (lo%So) ^s*; welche in dem ruhenden Systeme 2^ dem Aufpunkte (xyz) und dem Quellpunkte (|i}S) ^^ bewegten Systemes 2 entsprechen. Hierdurch ist allgemein die Bestimmung des Kon- Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 165 yektionspotentiales in 2J zarückgeführt auf die Be- stimmung des elektrostatischen Potentiales in U^. Das Konvektionspotential einer im Eoordinatenanfange befindlichen Pnnktladnng e wird hiemach X»<5 (106b) ?P«-= was vollkommen mit den Gleichungen (68) und (68 a) des § 12 übereinstimmt In Entfernungen von dem bewegten Ladungs- systeme, in welchen dasselbe wie eine Pnnktladung wirkt; ist die Formel (106 b) für das Eonvektionspotential zu verwenden; hier sind die Flachen konstanten Eonvektionspotentiales in U Heaviside-Ellipsoide, welche aus den kugelförmigen Äqui- potentialflachen einer ruhenden Punktladung in JSq durch die Transformation (105) entstehen. Vergleichen wir die Komponenten der elektrostatischen Kraft mit denen der elektromagnetischen Kraft § = -Fy in U, so erhalten wir gemäß (105) und (106) (106c) . Es greifen demnach in zwei einander ent- sprechenden Ladungen des bewegten Systemes Z und des ruhenden Systemes 2^ Kräfte an, die bezüglich der Komponenten parallel der Bewegungsrichtung einander gleich sind^ während die zur Bewegungs- richtung senkrechten Komponenten in 2 im Ver- hältnis )^ = "j/l — j3* kleiner sind, als in 2^. 166 Erster Abschxiitt. Das Feld n. die Bewegving der einzelnen Elektronen. Hat man für ein ruhendes System 27^ das elektrostatische Problem gelöst^ d. h. die Gleichgewichtsyerteilnng der Elek- trizität auf einem Leitersystem ermittelt, so kann sofort aus dieser Losung die Gleichgewichtsyerteilung der Elektrizität in dem gleichförmig bewegten Systeme U angegeben werden, welches aus 2^ durch eine Kontraktion paraUel der Bewegungs- richtung im Verhältnis x entsteht. Im Innern der Leiter in U^ ist das elektrostatische Potential konstant, die Feldstärke @q gleich NuU; dementsprechend ist in U das Konvektionspotential konstant und die elektromagnetische Ejraft f^ gleich Null. Wie die Gleichgewichtsverteilung in 2^, dem Satze von W. Thomson gemäß (vgl. I, § 44), durch ein Minimum der elektrostatischen Energie Uq ausgezeichnet ist, so besitzt die Verteilung der Elektrizität auf den Leitern des bewegten Sytemes 27 die Eigenschaft, die Eräfte- funktion (106d) F= ^fdvQW^ \Jdv^Q,%fp^ ^ xU, zu einem Minimum zu machen. Wir denken uns in 21^ die Ladung e mit gleichförmiger räumlicher Dichte verteilt über eine von zwei konzentrischen, ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsoiden begrenzte Schicht. Das elektrostatische Potential nimmt in dem Grenzfalle einer sehr dünnen Schicht im Innern des Ellipsoides den konstanten Wert an^): (107) y„=|ey|«, 0 wo abkürzungsweise (107 a) D = y («o' + s) (b,' + s) (V + s) gesetzt ist. Die entsprechende, im Grenzfalle flächenhafte Ver- teilung der Elektrizität ist, eben weil sie im Innern des Ellipsoides ein konstantes elektrostatisches Potential ergibt, 1) Vgl. Biemann -Weber, Die partiellen Differentialgleichnngen der math. Phyaik. I, § 108, S. 259. Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 167 diejenige, welche sich auf einem leitenden mhenden EUipsoide von den Halbachsen a^y b^, Cq wirklich herstellt Durch gleichförmige Eontraktion im Verhältnis x parallel irgendeiner Geraden entsteht nnn aus diesem EUipsoide wiederum ein Ellipsoid von den Halbachsen a, b, c. Wird dieses parallel jener Geraden gleichförmig bewegt mit einer dem Werte von x entsprechenden Geschwindigkeit, so ordnet es sich eben dem ruhenden EUipsoide ^(^o^^o^^o) ^ bewegtes Z(a,bfC) zu; auf ihm ist das Eonyektionspotential W^xfp^^ konstant. Da nun die GleichgewichtsverteUung der Elektrizität auf einem bewegten Leiter dadurch gekennzeichnet ist, daß im Innern des Leiters der Vektor f^ verschwindet, d. h. das Eonyektions- potential konstant ist, so erhalten wir durch Eontraktion des ruhenden leitenden EUipsoides 2^ ein bewegtes leitendes EUipsoid 27, auf dem das konvektive Gleichgewicht der Elek- trizität sich hergesteUt hat. Beachten wir nun, daß die Elek- trizitatsverteilung in Sq sich als GrenzfaU einer räumUchen gleichförmigen VerteUung zwischen zwei konzentrischen, ahn- Heben und ähnlich liegenden Ellipsoiden auffassen läßt imd daß durch die vorgenommene Eontraktion diese EUipsoide wieder in ähnliche, konzentrische und ähnlich Hegende EUipsoide übergehen, so erkennen wir folgendes: Die erhaltene Elek- trizitätsverteUung auf dem EUipsoide 2](a,byC) wäre auch dann im Gleichgewichte, wenn das EUipsoid ruhte. Die Elektrizitätsverteilung auf einem leitenden EUipsoide wird durch gleichförmige Bewegung desselben nicht beeinflußt^) Auf unserem kugelförmigen Elektron wurde die Flächen- ladung als gleichförmige angesehen, und es wurde angenommen, daß die Ladung fest an der Fläche haftet. Obgleich dieser FaU physikalisch wesentlich verschieden ist von demjenigen des geladenen Eonduktors, so zeigt doch der obige Satz, daß beide FäUe in ihren Eonsequenzen übereinstimmen, wenigstens für stationäre und quasistationäre Bewegungen; denn es bleibt ja auch auf 1) W.B.Morton, Phil. Mag. 41, S.488. 1896. 168 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegnng der einzelnen Elektronen. dem bewegten leitenden Ellipsoide die ElektrizitÄtsyerteilung, obwohl sie einer Änderung fähig wäre, im Falle des konvek- tiven Gleichgewichtes die gleiche, wie auf dem ruhenden. So erklärt es sich, daß die Untersuchungen von W. B. Morton und G. F. G. Searle^) über das Feld und die Feldenergie gleich- förmig bewegter ellipsoidischer Leiter fiir die Dynamik des Elektrons sich haben verwerten lassen, obwohl sie von wesent- lich anderen Grundhypothesen ausgehen. Durch (107) und (106) ist das Konvektionspotential einer bewegten ellipsoidischen Flächenladung bestimmt. Wie die Bewegungsrichtung auch gegen die Hauptachsen (2a, 2b, 2c) orientiert sein mag, die Streckung (105) ergibt stets wiederum ein EUipsoid, durch dessen Hauptachsen (2ao, 2&o, 2^^) sich das elektrostatische Potential q)^ gemäß (107) berechnet. Die elektrostatische Energie dieses flächenhaft geladenen Ellipsoides ist « (107b) ^o^YVoe-'^f^; 0 aus ihr bestimmt sich nach (106 d) die Eräftefunktion des bewegten Ellipsoides. Wir wollen dem Falle der Flächenladung den Fall gleich- förmiger Yolumladung eines bewegten Ellipsoides gegenüber- stellen. Sind die Halbachsen a, h, c dieses Ellipsoides die- selben, wie die des soeben betrachteten, und ist die Orien- tierung der Achsen gegen die Bewegungsrichtung dieselbe, so sind auch die Halbachsen a^, &q, Cq des beim Übergang zum gestreckten Systeme Uq entstehenden Ellipsoides die gleichen wie dort. Es wird hier das elektrostatische Potential in 2q für das Innere des Ellipsoides^) 00 (107c) g^^^^ef^^il ^-rlV t-V 0 1) G. F. C. Searle, Phil. Trans. A. 187 (1896), S. 676. Phil. Mag. 44, S. 329. 1897. 2) Biemann -Weber, Die partiellen Differentialgleichungen d. math. Physik. I, § 107, S. 266. Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 169 und somit die elektrostatische Energie der Yolumladnng 00 0 Die Integrationen .über das Yolomen des Ellipsoides lassen sich leicht ausführen. Man findet 0 Wir wollen die elektrostatische Energie (107 d) des gleich- förmig über sein Volumen geladenen Ellipsoides vergleichen mit derjenigen d^s flächenhaft geladenen (107 b). Wir können die letztere auffassen als Funktion der Größen a^^, b^^ Cq% und zwar als homogene Funktion vom Grade (— ö^)- In der Tat, erinnern wir uns der Bedeutung der Größe D, die in (107 a) angegeben war, und setzen statt a^^ b^^, c^ die a-fachen Werte, so geht durch die Substitution s = äa die rechte Seite von (107 b) über in ein ganz gleiches, nach s' genommenes Integral zwischen denselben Grenzen, multipliziert mit a ^. l^ach einem bekannten Satze von Euler ist demnach (107e) V§ + V^+V0 = -iOo. Was nun die elektrostatische Energie der Yolumladung (107 d) betrifft; so können wir schreiben was nach (107 e) ergibt (107f) üo* = I U,. Von der elektrostatischen Energie in 211) auf Grund von (106d) sogleich zur EriLffcefunktion in 2 übergehend, erhalten wir (108) V*^\V. 1 70 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Es verhalten sich die Kräftefunktionen zweier Ellipsoide derselben Form^ Ladung, Bewegungs- richtung und Geschwindigkeit, von denen das erste über sein Volumen gleichförmig geladen ist, während im zweiten die Ladungsverteilung der Flächenladung des leitenden Ellipsoides entspricht (d.h. als Grenzfall einer gleichförmigen räumlichen Verteilung in einer, von zwei ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsoiden begrenzten Schicht anzusehen ist), wie 6:5. Dieser Satz führt den Fall der Volumladung auf denjenigen der Flächenladung zurück, so daß wir uns weiterhin nur mit dem letzteren zu beschäftigen brauchen. § 19. Bewegungsgröße und Energie des gleioMörmig bewegten iSlektrons. Wir betrachten ein ellipsoidisches Elektron in gleich- förmiger geradliniger Bewegung; ist genügend lange Zeit seit dem Eintritt dieser Bewegung verflossen, und ist die Ge- schwindigkeit der Translation kleiner als die Lichtgeschwindig- keit, so wird die gesamte Energie und Bewegungsgröße des Feldes konstant sein. Sie wird sich zusammensetzen aus der Energie und Bewegungsgröße der vor Eintritt der gleich- förmigen Bewegung entsandten Wellen und der vom Elektron mitgeführten Energie und Bewegungsgröße. Die weitere Ben wegung des Elektrons ist ausschließlich durch die mitgeführte Bewegungsgröße und Energie bestimmt. Da der gesamte elektromagnetische Impuls und der auf den Mittelpunkt des Elektrons bezogene Drehimpuls des mit- geführten Feldes konstant sind, so ergeben die Impulssätze (94, 94a): (109) r = 0, (109a) «"-[Ho®]. Es bedarf demnach keiner äußeren Kraft, um die gleichförmige Bewegung des ellipsoidischen Elektrons aufrechtzuerhalten, wohl aber im allgemeinen einer Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 171 äußeren Drehkraft. Eine äußere Drehkraft ist stets erforderlich, wenn der Impulsvektor ® nicht der Be- wegungsrichtung parallel weist. Man überzeugt sich leicht davon, daß dieses eine Konsequenz der aUgemeinen Im- pulssätze des § 5 ist. Es war ja die elektromagnetische Be- wegungsgroße über den Äther verteilt zu denken und dem- entsprechend das Impulsmoment auf einen im Räume festen Punkt zu beziehen. Eine äußere Drehkraft ist dann erforder- lich, wenn das auf den absolut ruhenden Momentenpunkt be- zogene Moment der elektromagnetischen Bewegungsgröße sich ändert; das ist aber hier def Fall; denn es führt das gleich- formig bewegte Elektron sein Feld und die über dieses Feld verteilte Bewegungsgroße einfach mit sich, es ändert sich also der von dem ruhenden Bezugspunkte aus gezogene Hebelarm, an dem das betreffende Quantum von Bewegungsgröße an- zubringen ist, und zwar für das ganze Feld mit derselben Ge- schwindigkeit H » Hq. Die zeitliche Änderung des gesamten auf den ruhenden Momentenpunkt bezogenen Impulsmomentes ist demnach gleich dem äußeren Produkte aus H und dem ge- samten Impulse des mitgeführten Feldes, wie Gleichung (109a) behauptet. Was aber die Bewegungsgröße der entsandten Wellen anbelangt, so ist diese, wie wir gezeigt haben, der Strahlrichtung, d. h. dem vom Orte des Entsendens aus ge- zogenen Badiusvektor paraUel. Ihr Moment in bezug auf diesen im Baume festen Punkt ist dauernd gleich Null, so daß die Bewegungsgröße der Wellen in (109 a) nicht eingeht. Es ist aus Symmetriegründen ersichtlich und wird durch genauere Überlegung bestätigt, daß der Impuls ® des mit- geführten Feldes paraUel der Bewegungsrichtung weist, wenn ein ellipsoidisches Elektron einer der drei Hauptachsen parallel bewegt wir^. Geschieht hingegen die Bewegung des Ellipsoides in einer anderen Richtung, so bedarf es einer äußeren Dreh- kraa, um die gleichförmige, rotationslose Bewegung aufrecht- zuerhalten. Eine Translation des ellipsoidischen Elek- trons in einer zu den Hauptachsen schiefen Richtung erfüllt also nicht das erste Axiom der Newtonschen 172 Erster Absclinitt« Das Feld n. die Bewegong der einzelnen Elektronen. Mechanik; sie kann nicht ohne Einwirkung äußerer Kräfte vor sich gehen. Was aber die Bewegung parallel den Hauptachsen anbelangt^ so sind stabile und labile Be- wegungen zu unterscheiden. Eine iranslatorische Bewegung wird als stabil zu bezeichnen sein, wenn beim Herausdrehen der Hauptachse aus der Bewegungsrichtung eine innere Dreh- kraft erweckt wird^ welche die Hauptachse wieder in die Be- wegungsrichtung einzustellen strebt, d. h. wenn die durch (109 a) angegebene äußere Drehkraft K^, welche jener inneren Drehkraft das Gleichgewicht hält, das Ellipsoid aus der Be- wegungsrichtung herauszudrehen sucht. Ist hingegen eine äußere Drehkrafb erforderlich, welche die betreffende Haupt- achse in die Bewegungsrichtung einzustellen sucht, d. h. streben die durch eine kleine Drehung erweckten inneren Drehki^e den Winkel zwischen der Achse und der Bewegungsrichtung zu yergrößem, so wird die betreffende Bewegung eine labile zu nennen sein. Wie wir im vorigen Paragraphen gesehen haben, gibt die Eräftefunktion V des Elektrons durch ihre Abnahme die bei konstant gehaltener Geschwindigkeit bei einer Konfigurationsänderung zu gewinnende Arbeit an. Dem- entsprechend werden sich die stabilen und labilen Translations- bewegungen dadurch unterscheiden lassen, daß erstere einem Minimum, letztere einem Maximum der Eräftefunktion V bei gegebener Geschwindigkeit entsprechen, gerade so, wie in der Mechanik die stabilen und labilen Gleichgewichte durch ein Minimum bzw. ein Maximum der potentiellen Energie sich auszeichnen (vgl. I § 11). Die genauere Untersuchung hat dieses bestätigt^); sie hat femer ergeben, daß die Bewegung des Ellipsoides parallel der größten der drei Achsen einem Minimum der Kräftefunktion V (oder nach (104 b) einem Maximum der Lagrangeschen Funktion) entspricht und dem- nach stabil ist. Die Bewegung parallel der kleinsten der drei Achsen hingegen, welche einem Maximum von V entspricht, ist instabil. Wir können also nicht annehmen. 1) M. Abraham 1. c. Ann. d. Phys. 10. S. 174. 1903. Drittes EapiteL Die Mechanik der Elektronen. 173 daß die in den Eathodenstrahlen und in den Badiumstrahlen bewegten Elektronen etwa abgeplattete Rotationsellipsoide sind; welche sich parallel der Rotationsachse bewegen^ wenigstens dann nicht, wenn wir die Ladung starr an dem Volumen oder an der Oberfläche des EUipsoides haften lassen; der kleinste Anstoß würde genügen, um ein solches Ellipsoid zum Um- schli^en zu bringen. Was schließlich die Bewegung parallel der mittleren Achse des dreiachsigen EUipsoides anbelangt, so ist dieselbe offenbar stabil gegenüber solchen Drehungen, welche die kleinste Hauptachse, aber labil gegenüber solchen, welche die größte Hauptachse der Bewegungsrichtung parallel zu stellen suchen. ^ Auch eine Bewegung parallel dieser mitt- leren Achse wird labil zu nennen sein. Wenn man unsere einfachste Voraussetzung, nämlich die eines kugelförmigen Elektrons, aufzugeben und zu der komplizierteren Annahme einer ellipsoidischen Form überzugehen wünscht, so wird man in den Kathodenstrahlen und in den Radiumstrahlen diese ellipsoidischen Elektronen nur ihrer größten Achse parallel bewegt annehmen dürfen, wofern man an den Grundhypothesen (VI, Via und YU) festhält. unser kugelförmiges Elektron ist offenbar bezüglich einer Drehung in indifferentem Gleichgewicht. Der Impuls weist stets parallel der Bewegungsrichtung und es ist keine äußere Dreh- kraft erforderlich, um die gleichförmige Translation aufrecht- zuerhalten. Die gleichförmige Translationsbewegung unseres kugelförmigen Elektrons mit Unterlicht- geschwindigkeit ist demnach eine kräftefreie Be- wegung. Es gilt für ein solches Elektron, sei es, daß die Ladung gleichförmig über die Oberfläche oder gleichförmig über das Volumen verteilt ist, das erste Axiom der Newtonschen Mechanik. Wir gehen nunmehr zur Berechnung der elektromagne- tischen Bewegungsgröße und Energie über, welche das Elek- tron bei seiner gleichförmigen Translation mit sich führt. Die Bestimmung der EnLffcefanktion V bzw. der Lagrangeschen Funktion L ist ja durch (106 d) zurückgeführt auf die Be- 1 74 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelneu Elektronen. Stimmung der elektrostatischen Energie Uq des im Verhältnis x""^ seiner Bewegungsrichtung parallel gestreckten Elektrons: (110) F=-L = xC/o. Aus der Lagrangeschen Funktion leiten wir nun sowohl die Bewegungsgroße wie die Energie unseres kugelförmigen Elektrons ab. Wir gehen dabei aus von der Formel (104c): (llOa) L ^Jg{«,»+(l_^»)(V + «,0)- Dieselbe nach ß differenzierend^ erhalten wir (llOb) g-^/g {«,.+ «..) Wir betrachten zuerst das zweite der hier auftretenden Integrale; die partielle Differentiation nach ß bezieht sich auf das Feld^ welches in einem gegebenen Punkte des stationären Yom Elektron mitgefiihrten Feldes herrscht, d. h. es sind die Koordinaten (x, y, z) im bewegten Systeme bei der Differen- tiation nach ß konstant zu halten. Nach (lOIc, d) und (102) können wir dasselbe schreiben /S(»f)=-/S(^''>l|)- Nach der Regel (i) der Formelzusammenstellui^ in Bd. I, S.437 ist -(||,r5r)=5rdiv^-diT'p||. Der Satz von Gauß ergibt demgemäß wenn man beachtet, daß das Oberflächenintegral von ^-ja über die Begrenzungsfläche des stationären Feldes zu yemach- lässigen ist, da W mit der (~ 1)*«^, S mit der (- 2)*«'^ Potenz der Entfernung vom Elektron abnehmen; hat, wie wir voraus- Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 175 setzen^ das stationäre Feld sich bis zu Entfernungen aus- gedehnt, die groß sind gegen den Radius des Elektrons, so ist > dieses Oberflächenintegral in der Tat zu streichen; das geschieht mit demselben Rechte, mit dem wir die Energie und die Bewegungsgröße des mitgefOhrten Feldes so berechnen, als ob im ganzen Räume das stationäre Feld herrschte. Die partielle Differentiation nach ß bezieht sich auf einen Punkt, der eine feste Lage in einem mit dem Elektron be- wegten Bezugssysteme hat. Haftet nun, wie angenommen wurde, die Elektrizität starr an den Yolumelementen des Elektrons, so ist die Ladungsverteilung von der Geschwindig- keit unabhängig, und es wird dg dß und daher auch Wir erhalten demnach aus (110 b) mit Rücksicht auf (101 f) Es wird die der Bewegungsrichtung parallele Impulskomponente erhalten, indem man die La- grangesche Funktion nach dem Betrage {li|»cj3 der Geschwindigkeit differenziert. Speziell far unser kugel- förmiges Elektron, dessen Impuls stets seiner Bewegungs- richtung parallel ist, wird (111) 1®! = !^- = 0, Die Gültigkeit dieser bedeutungsvollen Beziehung fußt wesentlich auf der kinematischen Grundhypo- these (YU), welche aussagt, daß die Elektrizität an den Yolumelementen des starren Elektrons haftet. Würden wir hin&eiren eine Formänderunir des *Elekirons zu- U^ ^ .„Jl., dt „a „eh«.!» G-oh^digkeit die Form des Elektrons, d. h. die Ladungsverteilung im be- 176 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. wegten Systeme sich änderte^ so wäre q als Fnnktion von ß anzusehen; alsdann würde die Relation (110c) nicht mehr gelten^ es würde das zweite Glied auf der rechten Seite von (110b) nicht mehr fortfallen. Es beruht miihin die Gleichung (llOd) auf unserer kinematischen Grundhypoihese (VII); diese Gleichung geht in (111) über^ wenn der Impuls der Bewegungs- richtung parallel weist, d. h. wenn keine äußere Drehkraft zur Aufrechterhaltung der gleichförmigen Translation erforderlich ist. Für unser kugelförmiges Elektron ist diese Bedingung, wie wir gesehen haben, erfüllt. Die Lagrangesche Funktion ist definiert als Differenz der magnetischen Energie T und der elektrischen Energie ü. Es ist mithin die gesamte elektromagnetische Energie des Elektrons Führen wir hier für 2T den allgemeinen, im vorigen Paragraphen erhaltenen Ausdruck (103) ein, so erhalten wir oder, mit Bücksicht auf (llOd) (lila) W^\t,\^.-L. Es drückt sich demnach auch die Energie eines der kinematischen Grundgleichung (VII) gehorchenden Elektrons allgemein durch die Lagrangesche Funk- tion aus. Wir merken noch die aus (111) und (lila) fol- gende Beziehung an deren Bedeutung wir im nächsten Paragraphen erläutern werden. Die Entwickelungen des vorigen Paragraphen gestatten es nun ohne weiteres, das Feld und die Lagrangesche Funktion eines kugelförmigen Elektrons zu ermitteln, sowohl fUr den Fall der gleichförmigen Flächenladung, als auch für den Fall der gleichförmigen Volumladung. Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 177 Dnrch die Transformation (105) wird die bewegte Engel vom RadinB a abgebildet anf ein ruhendes Ellipsoid Ton den Halbachsen (112) % = Ji 6o == ^0 =- «5 das ist ein gestrecktes Rotationsellipsoid, dessen Botationsachse der Bewegongsrichtung des Elektrons entspricht. Das elektro- statische Potential dieses Ellipsoides würde sich fclr den Fall der Flächenladung aus (107), für den Fall der Yolumladung aus (107 c) durch Einführung der Halbachsen (112) auswerten lassen. Durch (106) wäre dann das Eonvektionspotential des bewegten Elektrons bestimmt als (112a) "P^^Vo, und durch (102) bzw. (101b) die elektromagnetischen Potentiale (112b) « = x-«!F=x-iyo und (112c) « = i*=Ay,. Anstatt (Pq aus (107) bzw. (107 c) zu berechnen, ziehen wir es vor, zumLchst den Fall der Flächenladung zu er- ledigen, indem wir uns auf die im ersten Bande dieses Werkes (§ 36) gegebene Ableitung des elektrostatischen Poten- tiales eines gestrecken Eotationsellipsoides beziehen. Die Ver- teilung der Ladung auf dem leitenden EUipsoide ist ja als Ghrenzfall einer gleichförmigen riLumhchen Verteilung zwischen zwei ähnUchen und ahnUch Hegenden Ellipsoiden anzusehen, wie wir im Yorigen Paragraphen bemerkten. Diese Verteilung ist gerade die hier in Betracht kommende, nämlich diejenige, die durch Streckung des mit einer gleichförmigen Flächen- belegung versehenen Elektrons entsteht. Das elektrostatische Potential des leitenden Ellipsoides ist in Bd. I Gleichung (132) auf S. 136 angegeben; dort war die Botationsachse der jgf-Achse parallel; es bezeichnete c den halben Abstand der Brennpunkte, der hier gleich Abraham, Theorie der Elektrizität. U. 12 178 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzeihen Elektronen. |/v-v=«l/^*=«| zu setzen ist; es stellten femer r^ und r^ die Abstände eines Au^unktes von den Brennpunkten dar^ die in der jetzigen Schreibweise sind Demgemäß wird (112d) i«:. Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 187 Für quasistationäre Bewegungen wird die Energie des Elektrons als Funktion des Betrages der Geschwindigkeit be- trachtet; es wird daher dW (2111 d\h\ dt = ltl a Hieraus ergibt sich die ^^longitudinale Masse^^^ die als Quotient der longitudinalen Beschleunigung und Kraft definiert wurde, Diese Formel verknüpft die longitudinale Masse des Elektrons mit seiner Energie. Die transversale Masse wird selbstverständlich durch die Energiegleichung nicht be- stimmt, da ja eine transversale Eraft keine Arbeit leistet. Die aus der Energiegleichung abgeleitete Formel (115 b) ist, ebenso wie die aus dem Impulssatze gewonnenen Formeln (115) und (115a), unabhängig von jeder Annahme über die Form und die Ladungsverteilung des Elektrons. Sie fußt ebenso, wie jene allein auf den Grundgleichungen (I bis Y) der Elektronentheorie, aus denen ja die Energiegleichung und die Impuisgleichung als Folgerungen sich ergaben. Man konnte diese Formel, ebenso wie jene, auch dann verwenden, wenn man annähme, daß wägbare Materie mit dem Elektron ver- koppelt sei; alsdann wäre in TT die Energie, in ® die Bewegungs- größe der wägbaren Materie mit in Rechnung zu ziehen. Dem von uns vertretenen Standpunkte getreu, werden wir indessen unter ® stets den elektromagnetischen Impuls, unter W die elektromagnetische Energie verstehen. Von einer rein elektromagnetisch begründeten Dynamik des Elek- trons werden wir unter allen Umständen verlangen müssen, daß die beiden Formeln (115) und (115b) für die longitudinale Masse des Elektrons zu demselben Ergebnisse führen. Würde die Formel (ll5b) unter An- nahme rein elektromagnetischer Energie, zu einem anderen Wert von m, ergeben, als die Formel (115) unter Annahme einer rein elektromagnetischen Bewegungsgröße, so würde ein 188 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegnng der einzelnen Elektronen. innerer Widersprach unseres Hypothesensystemes zutage treten. Man könnte diesen Widerspruch durch Einführung einer inneren, nicht elektromagnetischen Energie des Elektrons heben; dann würde man aber das Ziel einer rein elektromagnetischen Be- gründung der Mechanik der Elektronen nicht erreichen. In unserer, auf den Ghrundgleichungen (YT) und (VII) fußenden Dynamik des Elektrons entsteht nun der besagte Widerspruch nicht. In der Tat, wir hatten im vorigen Para- graphen bewiesen, daß unter Voraussetzung einer unveränder- lichen Verteilung der Ladung im Elektron, Impuls und Energie durch die Formeln (111) und (lila) mit der Lagrangeschen Funktion verknüpft sind. Hieraus hatten wir die Beziehung (111b) abgeleitet; diese Beziehung d\9\ 1 dW d*L d\t^\ .\1^\d\n\ d\n\* besagt nichts anderes, als daß die Ausdrücke (115) und (115b) beide den gleichen Wert der longitudinalen Masse ergeben. Wir sehen also: Unter Annahme einer von der Ge- schwindigkeit unabhängigen Gestalt und Ladungs- verteilung des Elektrons ergeben Impulssatz und Energiesatz den gleichen Wert der longitudinalen elektromagnetischen Masse. Hier tritt der Zusammen- hang zwischen unserer kinematischen Grundhypothese (VE) und dem Gedanken einer rein elektromagnetischen Begründung der Dynamik des Elektrons, der bereits in § 16 erörtert wurde, deutlich hervor. Lassen wir diese Grundhypothese fallen und nehmen an, daß die Form des Elektrons sich mit der Geschwindigkeit ändert, so ergibt die Energiegleichung einen anderen Wert der longitudinalen elektromagnetischen Masse, als die Impulsgleichung; in diesem Falle — ein Beispiel werden wir im § 22 kennen lernen — kami von einer elektro- magnetischen Begründung keine Bede mehr sein. Jene kinematische Grundhypothese war den kinematischen Bedingungsgleichungen der analytischen Mechanik nachgebildet. Wir sind jetzt in der Lage, zu zeigen, daß unsere Grund- gleichungen für die Dynamik quasistatiomirer Bewegungen zu Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 189 Ergebnissen fähren^ welche formal mit denen der Mechanik Lagranges übereinstimmen. Führen wir in die Gleichung d a dt ^• die Belstion (111) ein, so erhalten wir {Wir schreiben hier partielle Differentiationszeichen, weil wir weiter unten L noch yon anderen OröBeU; als nur yon |ti|; abhängen lassen.} Diese Bewegungsgleichung entspricht den Lagrangeschen Gleichungen eines Systemes bewegter Massen. Wir hatten diese Gleichungen in § 15 des ersten Bandes entwickelt. Wir hatten für die Kraft; die infolge der Trägheit des verkoppelten Massensystemes an irgendeinem Antriebspunkte angreift^ den Ausdruck gefunden: Dabei wurde T, die kinetische Energie der bewegten Massen^ als homogene Funktion zweiten Grades der Ge- schwindigkeiten qx der Antriebspunkte betrachtet; die Eoefü- zienten dieser Funktion konnten von den Parametern px ab- hängen, welche die Lage der Antriebspunkte bestimmen, und deren Differentialquotienten nach der Zeit die qx sind. Nehmen wir außer der kinetischen Energie noch eine potentielle Energie U an, so ist eine innere; an dem Antriebspunkte an- greifende Kraft hinzuzufügen; so daß das Gleichgewicht der inneren Kräfte und der äußeren Ejräfte Px in der Gleichung seinen Ansdrack findet Setzen wir jetzt 190 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. and berücksichtigen, daB die potentielle Energie U von den Geschwindigkeiten px unabhängig ist, so finden wir Aus einer solchen Lagrangeschen Gleichung läßt sich nun formal unsere Bewegungsgleichung (116) ableiten. Wahlen wir als ^^Antriebspunkt'^ etwa den Mittelpunkt des Elektrons, so ist px mit dem durchlaufenen Wege $ zu identifizieren, qx mit 2-f9 d. h. mit |ti|, während Px die äußere, der Bewegungs- richtung parallele Ejraftkomponente Af ist. Da nun in dem Yorliegenden Falle die Lagrangesche Funktion von dem durch- laufenen Wege s unabhängig ist, so geht in der Tat die Lagrangesche Gleichung (116a) in (116) über. Wählen wir anderseits für px einen Parameter, welcher die Konfiguration eines gleichförmig bewegten Systemes elek- trischer Ladungen bestimmt, so ergibt (116a) (116b) || + p, = 0. Auch diese Beziehung stimmt mit unserer Theorie überein. Denn wir hatten in § 18 gezeigt, daß die inneren Enlfte, die in einem gleichförmig bewegten Systeme von Ladungen wirken, sich aus einer Kräftefunktion V ableiten lassen; diese Kräfte- fimktion, deren Abnahme der Arbeit der inneren Kräfte gleich ist, war, nach (104b), entgegengesetzt gleich der Lagrangeschen Funktion L. Es stellt also auch in unserer Theorie (116 b) die Bedingung des Gleichgewichtes der inneren und der äußeren Kräfte in einem gleichförmig bewegten Systeme elektrischer Ladungen dar. Sucht man, mit Maxwell und Hertz, die Gesetze der Elektrodynamik aus den Prinzipien der Mechanik abzuleiten, so muß man im elektromagnetischen Felde verborgene Be- wegungen träger Massen annehmen. Identifiziert man die magnetische Energie mit der kinetischen, die elektrische mit der potentiellen Energie dieser Massen, so gelangt man auf Grund der Lagrangeschen Gleichungen in der Tat zu Ergeb- Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. IQ\ nissen^ welche der Form nach mit denen tmserer Theorie durchaus übereinstimmen. Es ist indessen zu bemerken, daß in der analytischen Mechanik die kinetische Energie T als Funktion zweiten Ghrades der Geschwindigkeiten der Antriebs- punkte angenommen; die potentielle Energie ü als unabhängig von der Geschwindigkeit betrachtet wird. In dem vorliegenden Falle hingegen sind T und U Funktionen der Geschwindigkeit des Elektrons, T aber keineswegs eine Funktion zweiten Gh*ades. Wir befinden uns demnach keineswegs auf dem Boden der Annahmen, von denen die analytische Mechanik ausgeht. Dennoch haben wir, von den Grundgleichungen (I bis VII) der Mechanik der Elektronen ausgehend, wenigstens für stationäre und quasistationäre Bewegungen, die Lagrangeschen Gleichui^en als gültig erwiesen. Wir haben gezeigt, daß in unserer rein elektromagnetischen Dynamik des Elektrons die Lagrangeschen Gleichungen gelten. Dadurch haben wir den Gültigkeitsbereich der Lagrangeschen Mechanik wesentlich erweitert, indem wir ihn von langsamen Bewegungen, bei denen T eine quadratische Funktion der Ge- schwindigkeit ist, auf beliebig rasche Bewegungen (mit Unterlicht- geschwindigkeit) ausgedehnt haben. Wir haben femer in der Dynamik des einzelnen Elektrons den Grundgedanken des elektromagnetischen Weltbildes (§ 16) zur Durchführung ge- bracht, welcher fordert, nicht die elektrische und magnetische Energie auf die potentielle und kinetische Energie der Mechanik, sondern umgekehrt die kinetische und die potentielle Energie auf die magnetische und elektrische Energie zurückzuführen. Wir kehren nunmehr zum speziellen Falle des kugel- förmigen Elektrons zurück. Wir setzen für den Betrag des Impulses den in (113 a) erhaltenen Wert ein und berechnen auf Grund der Formeln (115) und (115 a) die longitudinale und die transversale Masse. Wir finden (.17.) ^_^,J,j(Ui)^.(l±D-.). 192 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Für Geschwindigkeiten.; die so klein sind gegen die Licht* gescbwindigkeit^ daß ß^ gegen 1 zu yemachlä^sigen ist, ergibt sich als gemeinsamer Grrenzwert der longitadinalen und der transversalen Masse (117b) «»0 - I *' 8 ac^ Die Formeln (117, 117a, b) gelten im Falle der Flächenladung. Im Falle der Yolumladung, wo die Bewegungsgröße im Verhältnis 6 : 5 vermehrt ist, sind alle drei Ausdrücke mit diesem Faktor zu multiplizieren. Es wird z. B. Wir fassen beide Fälle, den der Flächenladang and den der Yolumladung des kagelförmigen Elek- trons, zusammen, indem wir schreiben (117d) z(^) = ^{-il" (^9 + 1^1 (117e) »»r = »»o — ^(j8), *w=plC-^'"(^S)-M Für m^ ist hier im Falle der Flächenladung der Wert (117 b), im Falle der Volumladung der Wert (117 c) zu setzen. Für die spezifische Ladung langsamer Kathodenstrahlen folgt im ersteren Falle e 3 ac woraus sich für den Badius des Elektrons ergibt 2 6 Wir führen hier den in Gleichung (2) angegebenen Wert des elektrischen Elementarquantums und den unten in Glei- chung (123) angegebenen Wert der spezifischen Ladung ein: {-»lO-*», %-l,75.m Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 193 Wir erhalten dann (118) a = 1,2 . 10""^' cm (Flächenladimg). Im Falle der Yolnmladnng ist dieser Wert mit 6 : 5 zu mnltiplizieren; es wird (118a) a == 1,4 • 10 cm (Volumladung). Diese Zahlen sind natürlich mit denselben Fehlem be- haftet, wie die Bestimmungen von e und ri^. Immerhin kann man wohl behaupten: Der Radius des Elektrons ist, wenn man die Masse als rein elektromagnetisch an- nimmt, in die Grenzen 10""^* < a < 2 . 10"^' einzuschließen. An Stelle der Formeln (117d, e) kann man auch die Beihenentwickelungen setzen (118b) w, = mo(l+ |/J«+ y i8^+ yi3« + ...), (118c) ^,= m,[l + ^^« + ^^4 + ^^e + ...j.- Für Unterlichtgeschwindigkeit — » und nur hier gelten die Formeln (117d, e) überhaupt — sind diese Reihen kon- vergent. Man sieht, daß bei rascher Bewegung die longitudinale Masse stets größer ist, als die transversale. Wirkt eine Kraft schief zur Bewegungsrichtung, so ist die Be- schleunigung keineswegs der Kraft parallel; der Beschleunigungsvektor schließt vielmehr, da die longitudinale Trägheit die transversale überwiegt, mit der Bahntangente im allgemeinen einen größeren Winkel ein, als der Ejraftvektor. Nur wenn die Kraft parallel oder senkrecht zur Bewegungs- richtung wirkt, stimmen Kjraft und Beschleunigung der Rich- tung nach überein. Die Masse ist eben in der Dynamik des Elektrons kein Skalar, wie in der gewöhnlichen Mechanik. Die Kraft ist hier eine lineare Yektorfunktion (vgl. I, § 14) der Beschleunigung von allgemeinerer Art. Die „elektro- Abraham, Theorie der Elektrizitftt. IL 13 X94 Erster Absclmitt. Das Feld tu die Beweg^ong der einzelnen Elektronen. magnetische Masse ^^ ist das Eoeffizieutensystem der Oleichungen, welche die Eraftkomponenten durch die Beschleunigungs- komponenten ausdrücken. Das System der elektromagne- tischen Massen ist ein Tensortripel von rotatorischer Symmetrie nm die Bewegungsrichtnng des Elektrons; es ist etwa zn vergleichen dem Systeme der Trägheitsmomente eines Rotationskörpers^ welches gleichfalls dn{ch zwei Grroßen, das Moment nm die Rotationsachse und um eine zu ihr senk- rechte Achse, erst bestimmt wird;' es ist in entsprechender Weise geometrisch darzustellen. § 21. Die Ablenkbtiurkeit der Zathodenetralileii und der /J-Strahlen« Bei schnellen Eiathodenstrahlen und bei der sogenannten /}- Strahlung radioaktiver Körper hat man es mit negativen Elektronen zu tun, deren Geschwindigkeit keineswegs klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist; hier kommt die Unter- scheidung der longitudinalen und der transversalen Masse in Betracht. Für die Ablenkbarkeit der Strahlen ist selbst- 9 verstandlich die transversale Masse mr und die entsprechende ^transversale spezifische Ladung^^ (119) nr " cm. r maßgebend. Dabei ist e der elektrostatisch gemessene Betrag der Ladung. Werden die /}- Strahlen durch ein zur ursprünglichen Strahlrichtung senkrechtes magnetisches Feld abgelenkt^ so ist die Bahnkrümmung gemäß Oleichung (7) (119a) i—lr-^^' Die Oeschwindigkeit bleibt bei der Bewegung im mito- tischen Felde konstant, da die im magnetischen Felde auf die Elektronen wirkende Eraft stets senkrecht zur Bewegungs- richtung gerichtet ist; der einzige Unterschied gegenüber Drittes EapiteL Die Mechanik der Elektronen. 195 langsamen Eathodenstrahlen liegt hier darin^ daS fjr eine Funktion der Geschwindigkeit ist. Es ist nach (117 e) Bei der Bewegung im elektrischen Felde liegt die Sache komplizierter. Zunächst ist der Zuwachs der Energie auf einem gewissen Wege der Arbeit der elektrischen Kraft gleich. Die Geschwindigkeitsänderung des negativen Elektrons auf einem gewissen Wege ist demgemäß im! elektrostatischen Felde be- stimmt durch (120) TT- TT, = 6(9,-^0), wo gemäß (113 b) und (117 b) zu setzen ist (120a) Tr-Tro-i«»oO'{^ln(^^-iln(Ü&)). Ist die ursprüngliche Geschwindigkeit cß^ bekannt und die durchlaufene Spannungsdifferenz'; so ist die Endgeschwin- digkeit cß aus der transzendenten Gleichung zu berechnen Für kleine Werte von ß^ und ß gilt naherungsweise (120c) /j» + A/}*...= /j,« + i^,*+... + B^(y_y,); yemachlässigt man hier ß*" gegen ß^^ ß^^ gegen ß^^ so gelangt man zur Gleichung (5 a) zurück. Aber auch bei Eathoden- strahlen wird maU; wenn es sich um genaue Messungen handelt^ gut tuU; die Gleichung (120c) an Stelle von (5a) zu setzen« Liegt etwa der in § 2 erörterte Fall yor^ daß den Eathoden- strahlen durch ein elektrostatisches Feld ihre ganze Geschwin- digkeit erteilt worden ist, so ist in (120 c) ß^ gleich Null zu setzen. Tritt der Eathodenstrahl nun in ein magnetisches Feld ein, so bestimmt sich die Bahnkrümmung aus (119 a), wobei derjenige Wert Ton rir in Bechnung zu ziehen ist, 13* X96 Irrster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. welcher dem ans (120 c) zu ermittelnden Werte yon ß nach (119 b) entspricht. Bei geradliniger Bewegung im longitudinalen elektro- statischen Felde reicht die aus der Energiegleichung abgeleitete Relation (120b) aus. Besitzt indessen das elektrische Feld auch eine transversale Komponente^ so bestimmt die Energie- gleichung nicht vollständig die Bewegung; es ist die Impuls- gleichung heranzuziehen. Diese ergibt, für die Ladung - e: t (121) e - ®o' — ^f^'' ^i- Handelt es sich um ein homogenes äußeres elektrisches Feld, wie es sich zwischen zwei Kondensatorplatten herstellt, so ist (121a) ® - ®^ « - ar (^ - g die Änderung des Impulses des negativen Elektrons. Die Be- wegungsrichtung des Elektrons ist stets seinem Impulse parallel;, daher folgt aus (115a) und (117 e) so daß (121a) zu schreiben ist (121b) t.^(^) - t,,i>{ß,) = - ici?or (<-o. Kennt man die anföngliche Geschwindigkeit IIq und di& Zeit, während deren das negative Elektron das homogene Feld durcheilt, so ist aus dieser Beziehung die Endgeschwindigkeit ii der Gfroße und der Richtung nach bestimmt. Auch ein zur ursprünglichen Bewegungsrichtung senk- rechtes elektrisches Feld ändert, im Gegensatz zu dem magne- tischen Felde, den Betrag der Geschwindigkeit, weil im Verlaufe der Bewegung ii eine zu S" parallele Komponente erhalt. Ist in- dessen die Ablenkung des Strahles durch das transversale elek- trische Feld nur gering, so kann man die Änderung des Betrages der Geschwindigkeit vernachlässigen und an Stelle^ von (121b) die vereinfachte Beziehung setzen Drittel Kapitel Die Mechanik der Elektronen. 197 (121c) (l«-l«o)^OJ) = -|<'%«"(<-o, und daher ans (101 d) und (105) (124c) • ^ a« 1 a?», 1 ^ *"" ay "•"xayo"«^"' « a* 1 ^9>o_ iffi *' dz — xdz^ ic^'- Hieraus und aus (101 f) bestimmt sich die a;-Eomponente des Vektors g, welcher die Dichte der elektromagnetischen Bewegungsgroße anzeigt: Durch Integration über das Feld des Systemes U, dessen Volumelemente denen des ruhenden Systemes 2^ durch (105) zugeordnet, und daher im Verhältnis dvidvQ^x verkleinert sind, folgt (124d) e.~fdvi,==-J^-fdv,m,+ (&U Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 203 Beachtet man femerji daß in 2^ das Feld dasjenige einer ruhenden Kngel ist^ daß mithin aus Symmetriegründen gilt^ so erhalt man /SK+«.l-i/g<^ fOi. Der Betrag des der Bewegungsrichtong des Heaviside- Ellipsoides parallelen Vektors ® wird demnach (124e) l®l=|Ä?^o = |^.^' {x^yi^}. Aus der so bestimmten elektromagnetischen Bewegungs- größe folgt, auf Grrund der allgemeinen Beziehung (103), die doppelte magnetische Energie (124f) 2T=|^V Hieraus und aus (124a) erhält man, für die gesamte elektromagnetische Energie des Heaviside-Ellipsoides, den Ausdruck (124g) Tr=2T-L = ^(l + f). H. A. Lorentz nimmt nun an, daß die träge Masse des Elektrons rein elektromagnetischer Art ist; demgemäß zieht er, neben der elektromagnetischen Bewegungsgröße (124e), eine materielle Bewegungsgröße nicht in Bechnung. Er erhalt auf Grrund der Pormehi (115) und (115a), für die longi- tudinale und transversale Masse 2 (125) m, - mo- x-» = m^^ (1 - /J^) 1. (125a) mr = mo-x-^ = mo-(l-/JO *; m^ stellt dabei den gemeinsamen Grenzwert beider Massen bei langsamer Bewegung Tor, der im Falle der Flächenladung durch (117b), im Falle der Volumladung durch (117c) ge- 204 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. geben wird. Nach dem in § 18 bewiesenen Satze geht der Wert Ton Üq im Falle der Yolumladnng ans dem im Falle der Flächenladnng gültigen Werte durch Multiplikation mit % herror; mit demselben Faktor sind demnach die Ausdrücke der Lagrangeschen Funktion (124a)^ der Bewegungsgröße (124e) und der elektromagnetischen Energie (124 g) beim Übergang zur Volumladung zu multipKzieren. Versucht man^ die longitudinale elektromagnetische Masse des Lorentzschen Elektrons auf Grrund der Formeln (llöb) und (124g) zu berechnen^ indem man annimmt; daß die Energie des Elektrons rein elektromagnetischer Natur ist^ so gelangt man zu einem Ergebnis ^ welches zu (125) in Widerspruch steht. Das kann nicht wundernehmen; haben wir doch in § 19 gesehen^ daß die Belation (111b); welche die Identität der aus der elektromagnetischen Energie und aus der elektro- magnetischen Bewegungsgröße abgeleiteten Werte der Masse ausspricht; auf der Annahme einer unveränderlichen Ladungs- yerteilung beruht. Für das Lorentzsche Elektron^ welches der Ghrundhypothese (VII) nicht gehorcht, gilt diese Relation ebenso- wenig, wie die Gleichungen (111) und (lila), welche Impuls und Energie mit der Lagrangeschen Funktion yerknüpfen. In der Tat, nach (124a) ist ,^^ß. dL e* ß e« IUI 3 während nach (124e) und (125a) ist. Während für das „ starre ^^ Elektron die Differenz dieser beiden Grrößen yerschwindet, hat sie für das deformierbare Elektron den von Null yerschiedenen Wert (126a) ^-l©| = _i^„.lll = _|«,.|tt|. Da nun allgemein gilt: Tr-2T~Z«|ii|.|®l-i, Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 205 80 folgt 1 äW d\% Hieraus ersieht man, daß (115) und (115 b) nicht zu dem- selben Werte der longitudinalen Masse f&hren können. Be- stimmt man die Masse durch die elektromagnetische Bewegungs- größe, so ist, fQr das Lorentzsche Elektron, (115 b) zu ersetzen durch Da die longitudinale Masse des Lorentzschen Elektrons sich nicht aus der elektromagnetischen Energie allein ableiten läßt, so müssen wir, um das Energieprinzip aufrechtzuerhalten, diesem Elektron eine innere Energie £ nicht elektromagnetischer Art zuschreiben. In der Tat, es soll sich ja das Elektron bei einer Zunahme der Greschwindigkeit abplatten; dabei wird gegen die elektrodynamischen Ejräfte, mit denen sich dieYolum- elemente abstoßen, Arbeit geleistet. Während für das starre Elektron die Zunahme der elektromagnetischen Energie gleich der Ton der äußeren Ejraft 9t geleisteten Arbeit ist, findet das hier nicht mehr statt. Die Zunahme der elektromagnetischen Energie bei einer Beschleunigung ist, für das Lorentzsche Elektron, größer, als die Arbeit der äußeren Kräfte. Die innere Energie J?, durch deren Annahme man das Energieprinzip aufrechterhalten kann, darf nicht als kinetische Energie im Sinne der gewöhnlichen Mechanik betrachtet werden; denn in diesem Falle würde jede Berechtigung dafür wegfallen, daß Bewegungsgröße im Sinne der gewöhnlichen Mechanik nicht angenommen wird. Immerhin kann E von der Geschwindigkeit abhängen, da ja diese die Form des Elektrona bestimmt. Die Energiegleichung verlangt (127) ^^^'-(fr), und der Impulssatz (127a) ^ = «- 206 JSrster Absohnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Durch Eombination dieser beiden Sätze erbalt man d{W+E} / d9\ dt ^V dt)' oder (127b) (©|>) = ^ ((!,«) -TT-^j. Für gleichförmige Bewegung ist nun (p(S)^W^2T-W^T^U^L. Für quasistationare Bewegungen wird diese Beziehung als gültig angesehen; und es wird L, wie E, als Funktion der jeweiligen Geschwindigkeit betrachtet. Es wird mithin cm«) '-^-%f^-'-^- Da ferner^ bei stationärer und quasistationarer Bewegung^ für das Lorentzsche Elektron aus Symmetriegründen der Impuls parallel der Bewegungsrichtung ist^ so gilt (127d) (®i^) = l® dt Nach (127b) sollen nun die Ausdrücke (127c) und (127 d) einander gleich seiu; und zwar für beliebige Werte der Be- schleunigung; hieraus folgt die Relation (128) |®|_^(^-^. (flu Dieselbe ist als Verallgemeinerung der Relation (111) an- zusehen; sie geht in jene über, wenn man eine Energie E nicht elektromagnetischer Art ausschließt Hier tritt der bereits in § 16 erörterte Zusammenhang der kinematischen Grrundgleichung (VII) mit dem Grund- gedanken des elektromagnetischen Weltbildes deutlich herror. Für das starre Elektron gilt (111) allgemein^ es folgt daher aus (128) dE d. h. eine etwa angenommene Energie nicht elektromagnetischer Art würde bei einer Änderung der Geschwindigkeit sich nicht DritteB Kapitel« Die Mechanik der Elektiroiieii. 207 Sndem. Etwa angenommene innere Kräfte nicht elektro- magnetischer Natnr würden dabei keine Arbeit leisten. Unsere auf der Grondgleichnng (Vli) fiißende Dynamik des Elek- trons braucht daher solche Enlfte und eine solche Energie nicht einzuführen; eine ^^potentielle'' Energie ebensowenig^ wie eine kinetische. Die Lorentzsche Dynamik des Elektrons sieht gleichfedls die träge Masse als rein elektromagnetische an, und schließt daher eine kinetische Energie im Sinne der gewöhn- lichen Mechanik aus. Sie muß indessen eine ^^potentielle'' innere Energie des Elektrons einführen. Aus (128), im Verein mit (126a) und (126), folgt: /ioo \ dE 1 IUI 1 dL und, durch Integration, (128b) E = E,-^(L-L,y, hier sind Eq, L^ die Werte, welche E und L für das ruhende Elektron besitzen. Aus (124a) folgt (128c) i;-^o-|l(l-x). Diese Formel gibt an, wie die „potentielle" Energie des Lorentzschen Elektrons mit wachsender Geschwindigkeit ab- nimmt. Für Lichtgeschwindigkeit, wo dasselbe in eine Ereis- Scheibe übergeht, wird x gleich Null, mithin die potentielle Energie (128d) F.,^^-^a Wir können daher auch schreiben ««X (129) ^--^1+6« Diese potentielle Energie nicht elektromagne- tischer Art muß man dem Lorentzschen Elektron zu- schreiben, wenn man das Energieprinzip aufrecht- zuerhalten wünscht. Bei diesem Ergebnis wird man sich kaum beruhigen; man wird yielmehr weiter fragen, nach welchem Gesetz die 208 SSrster Abschnitt. Das Feld o. die Bewegung der einzeliien Elektronen. iimeredi Kräfte wirken sollen^ die sich ans einer solchen potentiellen Energie herleiten. Nur indem man hierüber be- stimmte Annahmen macht, wird man über das Verhalten des Lorentzschen Elektrons bei allgemeineren Bewegungen (nicht qnasistationaren oder nicht rein translatorischen) etwas Be- stimmtes aussagen können. Man kann daran denken, elastische Ejrafte zwischen den benachbarten Yolumelementen des Elek- trons anzunehmen, und eine Theorie des deformierbaren Elektrons Ton der in § 16 angedeuteten Art zu entwickeln. Eine solche Theorie würde die Trägheit des Elektrons erklaren, aber nicht rein elektromagnetisch; sie würde die kinetische Energie zurückfahren auf die weniger gut yer- standene potentielle Energie und auf die elektromi^etische Energie. Auf einer solchen Dynamik des Elektrons laßt sich kein elektromagnetisches System der Physik aufbauen. Wenn man in die Dynamik des Elektrons elastische Kräfte ein- führt, so ist es logisch unmöglich, die Elastizität der Materie durch Zurückf&hrung auf die Mechanik der Elektronen rein elektromagnetisch zu deuten. H. A. Lorentz hat gezeigt, daß die Formel (125 a) fär die transyersale Masse die Versuche Kaufmanns nicht wesent> lieh schlechter darstellt, als unsere Formel (117 a). Es ist zu hoffen, daß weitere experimentelle Untersuchungen darüber entscheiden, welche yon den beiden Theorien in dieser Hinsicht den Vorzug verdient. Sollte die Entscheidung zugunsten des Lorentzschen Elektrons fallen, so würde dieses Ergebnis gegen die Möglichkeit eines rein elektromagnetischen Weltbildes Zeug- nis ablegen. Die HofiGaung, in den Elektronen die kleinsten Bausteine des Weltgebäudes gefunden zu haben, würde dann als. fehlgeschlagen zu betrachten sein. § 23. Der Bereich der quasistationSren Bewegung. Im ersten Bande dieses Werkes wurde gegen die Theorie des quasistationaren Stromes ein Einwand gemacht; es wurde mehrfach betont, daß diese Theorie von dem Energieyerlust Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 209 durch Strahlung keine Rechenschaft gibt. Derselbe Einwand ist gegen die in den yorangegangenen Paragraphen dargelegte Theorie der qnasistationaren Elektronenbewegung zu erheben. Diese Theorie bestimmt die Energie nnd den Impuls des vom Elektron erregten Feldes so, als ob sie der jeweiligen Geschwindigkeit des Elektrons entsprächen. Bei periodischen Bewegungen fuhrt diese Behandlungsweise zu der Konsequenz^ daß nach dem Ablauf einer Periode die Energie und die Be- wegungsgröße des Feldes zu den Anfangswerten zurückgekehrt seien^ daß also das Wegintegral und das Zeitintegral der äußeren Ejrafk für eine ganze Schwingung gleich l^uU sei. Das ist nun, wie im zweiten Kapitel dieses Bandes dargelegt wurde, keineswegs der Fall; auch bei periodischen Bewegungen ist das Wegintegral und im allgemeinen auch das Zeitintegral der äußeren Kjraft von Null verschieden. Die Arbeitsleistung und der Impuls der äußeren Kraft findet sich in der Energie und der Be- wegungsgröße der entsandten Wellen wieder. Die entsandte Wellenstrahlung ist es eben^ die man vernachlässigt, wenn man die beschleunigte Bewegung des Elektrons als quasistationär betrachtet. Die Entwickelungen des vorigen Kapitels gestatten es uns, diese Lücke unserer Theorie sogleich auszufüllen. Haben wir doch in Gleichung (85) des § 15 den allgemeinen Ausdruck für die Bückwirkung der Strahlung angegeben. Wir setzen jetzt für die gesamte, vom Elektron auf sich selbst ausgeübte Kraft (130) « = «'+«", indem wir unter (130a) JF ^ die nach den Ansätzen der vorigen Paragraphen berechnete Kjraft verstehen, unter (130b) «"-«• aber die in (85) angegebene Reaktionskraft der Strahlung. Dabei ist zu bemerken, daß ®, der Impuls des vom Elektron mii^eführten Feldes, von den über die Form des Elektrons Abraham, Tlieorie der Elektrizität. IL 14 210 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegnng der einzelnen Elektronen. gemachten Annahmen abhangt, wahrend die Rückwirkung der Strahlung sich ohne solche Annahmen angeben ließ, wenigstens dann, wenn es gestattet war, das Elektron hinsichtlich der entsandten Wellenstrahlnng als einer PonkÜadnng äquivalent zu betrachten. Alsdann erfüllt der Ansatz (130) für die innere Kraft allgemein die Energiegleichung und die Impulsgleichung; denn die Arbeitsleistung der Zusatzkraft S^ ist, wie aus den Entwickelungen des § 15 hervorgeht, für ein Intervall beschleunigter Bewegung entgegengesetzt gleich der in diesem Intervalle ausgestrahlten Energie, das Zeit- integral von St' entgegengesetzt gleich der ausgestrahlten Be- wegungsgröße. Bestimmen wir die Bewegung des Elektrons aus der korrigierten Bewegungsgleichung (130c) r = - « » ^ - «', so sind wir von vornherein sicher, in keinen Widerspruch mit dem Energieprinzip oder dem Impulssatze zu geraten. Wir fassen eine Bewegung ins Auge, die zuerst gleichförmig mit der Geschwindigkeit ü^ verlauft, dann in beliebiger Weise be- schleunigt wird, und weiterhin wieder stationär mit der Ge- schwindigkeit ^ vor sich geht. Wir warten so knge, bis die entsandten Wellen sich hinreichend weit von dem (mit Unter- lichtgeschwindigkeit bewegten) Elektron entfernt haben. Inner- halb des von der Wellenzone eingerahmten Raumes besteht dann das Feld, welches der Geschwindigkeit ü, entspricht und dessen Energie und Impuls W^ bzw. iS^ sind. Die Energie und die Bewegungsgröße des außerhalb der WeUenzone liegenden Feldes kommen nicht in Betracht. Werden für die Energie W^^ ^^^ ^^^ Impuls O^, der WeUenzone die im vorigen Kapitel gefundenen Werte eingesetzt, so gilt allgemein (130 d) f/t'^dt = ©3- ©1+ ©13, 1 8 (130e) fi^ft'') dt «TTj-TFi+Fia, Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 211 wenigstens für unser starres Elektron. Beim Lorentzschen Elektron ist^ wie wir soeben gesehen haben^ noch die Ände- rong der ^^inneren potentiellen Energie'^ in Rechnung zu setzen. Wir sind jetzt in der Lage, den Gültigkeitsbereich der quasistationaren Bewegung anzugeben: Wir dürfen die Be- wegung als quasistationäre behandeln, wenn gegen die so berechnete innere Kraft St' die Beaktions- kraft St" der Strahlung verschwindet. Betrachten wir etwa eine ELreisbewegung, wie sie die Elektronen der Radium -Strahlung in einem zur ursprünglichen Strahlrichtung senkrechten magnetischen Felde ausführen. Hier ist der Betrag der Trägheitskrafk der quasistationaren Bewegung für das starre kugelförmige Elektron nach (117e) (131) |«'| = ^,i-^ = ^„|l^^(^). Die Reaktionskrafk der Strahlung aber ist nach Glei- chung (88) so daß man erhalt (131a) l«"l-JoW'' »*-l-^». Setzt man fQr mg den im Falle der «Flachenladting gültigen Wert (117b), so folgt (131b) irhKfHll-^. Für Bewegungen; die der Lichtgeschwindigkeit nicht gar zu nahe kommen^ ist die eingehende Funktion von ß keine große Zahl. Hier verschwindet der Betrag von ft" gegen den von Sfj falls der Krümmungsradius 12 der Bahn groß gegen den Radius des Elektrons ist. Wir sehen also: Die Ab- lenkbarkeit der in den Kathodenstrahlen und in den ^-Strahlen des Radiums bewegten Elektronen darf in allen praktischen Fällen auf Grund der Ansätze der Theorie der quasistationären Bewegung berechnet werden. 14* 212 Si^ster Abschnitt. Das Feld a. die Bewegung der einzelnen Elektronen. um zu zeigen^ daß dieses auch f&r die raschesten der Elektronen gilt^ deren Ablenkung man hat beobachten können, ziehen wir die Tabelle des § 21 heran. Für die raschesten der von Kaufmann untersuchten Strahlteilchen war iJ- 0,990; 1-/3 = 0,01; wir erhalten daher X* =. (1 - /S«)« = 4 . 10~S t(ß) = 4,3. Man sieht, daß die Fuxiktion von ß, welche das Ansteigen des Quotienten { II'' | : | II' | bei Annäherung an die Licht- geschwindigkeit bedingt, hier bereits von Bedeutung wird; ihr Wert ist hier A ^ = 7 7 . 10* Dafür ist aber der Radius des Elektrons sehr klein gegen den Krümmungsradius der Bahn. Letzterer berechnet sich aus der reduzierten magnetischen Ablenkung z' - 0,1495 und der von Kaufmann angegebenen Beziehung^) ^, _4^ zu JR = 28cm. Setzt man endlich für a den unter Annahme von Flachen- ladung berechneten Wert (Gleichung 118) ein, so findet sich |ft»|:|ftr|,V10'-y-^0-",3-10-" Die magnetische Feldstarke war hier gleich 200 absoluten Einheiten. Nimmt man nun auch ein 300 mal stärkeres magne- tisches Feld an, so beträgt der bei Annahme quasistationärer Bewegung begangene relative Fehler immer noch weniger als 10~ . Auch die Bewegung der raschesten beobachtbaren /3- Strahlteilchen in experimentell hersteU))aren magnetischen Feldern ist demnach als quasistationär zu betrachten. 1) W. Kaufmann, 1. c. Gott. Nachr. 190S, Gl. 6. S. 96. Drittes Kapitel. Die Meclianik der Elektronen. 213 Übrigens ist der Ausdruck für die Beaktionskraft der Strahlung^ welcher in § 15 angegeben wurde^ nicht streing gültig; er gilt nur angenähert, und zwar dann, wenn es ge- stattet ist, das Elektron bei der Berechnung der entsandten Wellen einer Punktladung äquivalent zu setzen. Die Bedingung (63 b), unter der dieses gestattet war, lautet J^i^ß) klein gegen 1. Für rein transversale Beschleunigung ergibt dies (132) ^1^ ^®"^ Segen 1. unter Berücksichtigung der obigen Zahlwerte erhalten wir für diesen Bruch den Wert 21,210"" .^-12 — - — zTä- = 10 ca. 28- 10 Einen so geringen Fehler begeht man, wenn man für die raschesten der von Kaufmann beobachteten Elektronen die infolge der transverälden Beschleunigung stattfindende Strahlung und deren Rückwirkung aus den Ansätzen des vorigen Kapitels berechnet; diese Rückwirkung verschwindet wiederum geg^i die Tmgheitskraft des mitgeführten Feldes. Je mehr man sich indessen der Lichtgeschwindigkeit nähert, desto größer werden die Zahlwerte der Brüche (131b) und (132); denn dieselben enthalten im Nenner (1 — ßy bzw. (1 — ß). Allerdings wird, wenn man durch eine gegebene äußere Kraft ablenkt, die Bahnkrümmung 1 : B umgekehrt proportional zu ^(/3) bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit abnehmen; aber il^{ß) wird für ^ « 1 nur logarithmisch un- endlich, so daß dieser Umstand nicht so wesentlich ist. Man wird also bei weiterer Annäherung an die Lichtgeschwindig- keit zu einem Punkte kommen, wo die Beaktionskraft der Strahlung nicht mehr gegen die Trägheitskraft des mitgeführten Feldes verschwindet und wo es auch nicht mehr gestattet ist, die Beaktionskraft so zu berechnen, als ob das Elektron ausdehnungslos wäre. 214 Erster Absclinitt. Das Feld n.die Bewegung der einzelnen Elektronen. Jene beiden EnLfte sind im Grande nichts anderes^ als die beiden ersten Terme einer Beihenentwickelnng (133) ^ «-«' + «" + «'" + . • ., die nach aufsteigenden Potenzen des Eadius a des Elektrons fortschreitet. Der erste Temi; die elektromagnetische Trägheits- kraft/enthält a im Nenner; der zweite enthält a überhaupt nicht; wie er ja von den speziellen ^ über Form und Ladungs- verteilung gemachten Annahmen unabhängig ist. Der dritte Term wird wieder von der Form und Ladungsverteilung ab- hängen und für unser kugelförmiges Elektron a im Zähler enthalten. Da die innere Kraft St durch die Geschwindigkeit und durch die Beschleunigung bestimmt ist^ welche in einem endlichen; dem betreffenden Zeitpunkte vorangegangenen Inter- valle geherrscht haben (vgl. § 17); so ist eine solche Reihenentwicke- lung immer dann möglich; wenn die Bewegung stetig ist und ihre Geschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist. Je weiter man die Beihenentwickelnng führt; desto höhere Diffe- rentialquotienten von ü und desto höhere Potenzen dieser Differentialquotienten werden zu berücksichtigen sein.^) Die Reihe wird um so schlechter konvergieren; je mehr sich die Bewegung einer unstetigen und die Geschwindigkeit der Licht- geschwindigkeit nähert. Ln Falle des oben durchgerechneten Beispieles konvergiert die Reihe noch außerordentlich gut. Für unstetige Bewegungen und für Bewegungen mit Licht- geschwindigkeit oder gar Überlichtgeschwindigkeit versagt sie völlig. Hier müssen zur Berechnung der inneren Ejraft andere Methoden herangezogen werden. 1) Die in den Differentialqnotienten von ll linearen Glieder sind für den Fall der Volmnladnng von G. Herglotz (Gott. Nachr. 1903, S. 367) allgemein berechnet worden. Es ergibt sich die Möglichkeit kleiner, ge- dämpfter Eigenschwingungen des Elektrons auch bei Abwesenheit quasi- elastischer Kräfte. Doch ist die Wellenlänge der langsamsten Eigen- schwingung von der Größenordnung des Radius des Elektrons, so daß eine elektromagnetische Erklärung der Spektrallinien hieraus nicht zu gewinnen ist. Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 216 § 24. Das Feld eines beliebig bewegten Elektrons. Während wir bisher bei der Integration der Feldgleichungen uns auf gewisse Spezialfälle beschrankt hatten^ nämlich auf den Fall der gleichförmigen Bewegung beliebiger Ladungen und auf den Fall beliebiger Bewegung einer Punktladung, woUen wir jetzt dazu übergehen, das Feld eines beliebig be- wegten Elektrons unter Berücksichtigung der räumlichen Aus- dehnung des Elektrons zu bestimmen. Die allgemeinen Formeln, durch die wir in § 8 die elektromagnetischen Potentiale dar- stellten, werden uns zur Losung dieser Aufgabe führen. Die Formeln (50 a) und (51a) daselbst lauten (134) d^^X dXjda> q(X,1- A), (134a) d9L - XdlJd == 23r(l--cosi2) der körperliche Winkel, unter dem das im Innern des Elektrons gelegene Segment (QQ^) der Engel l vom Mittelpunkte P derselben gesehen wird. Es folgt aus dem Dreieck der Abb. 3 2JRAcosi? = ü«+;L*-a*, daher ® = ^^' — 2m — und (188) ,»_^.,,.j5!=^l. Dementsprechend wird (138a) <^«X = ^,'^^-{^^^^§^TV Was den Botationsbestandteil von K anbelangt, der durch den Vektor [ttt] bestimmt ist, so ist es hier notwendig, den von M nach einem Punkte des Segmentes QQ^ gezogenen Badiusyektor t in einen zum Fahrstrahl 9t parallelen und einen zu ihm senkrechten Vektor zu zerlegen. Der von dem letzteren herrührende Anteil des Vektorpotentiales fallt bei der Inte- gration über das Segment heraus; man erhält demnach d«3 == IdX^ -J"^^^ • t**]- ^ Drittes Kapitel. Die Meclianik der Elektronen. 221 Ist g der Winkel; den der nach dem betreffenden Punkte des Segmentes von P aus gezogene Fahrstrahl mit PM ein- schließt; so ist (t«)-JR(ii-Xcosg), daher 0 = 2äJR|JR(1-cosi2)-|(1-cos«i2))- Mit Rücksicht auf den oben gegebenen Wert von cos 17: wird Nach einigen Umformungen ergibt dies Jd'^'> 7i. Hier ist im ganzen Integrationsintervalle X kleiner als 2; fÖr % ist der letzte der Werte (139a) zu setzen, und daher jfür U (141a) B=s^^ y(^- A «+ A iy+y'+^'^ Die elektromagnetischen Potentiale entsprechen in diesem Falle der neuen Geschwindigkeit tig. (C) X' < Z < X". Hier hat man das IntegrationsintervaU in zwei Teü- interyalle zu zerlegen; im ersten, wo X' < A < Z ist, liegt der dritte, im zweiten, wo Z < il < X" ist, der erste der in (139 a) zusammengestellten Fälle vor. Demnuich ist (141 b) *_,_L/|+^y| das skalare Potential bei Flächenladung, und das Yektorpotential i" (141c) ««»^/Al + i^/ftf X' l 1 Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 225 Bei Yolnmladung ist entsprecliend zu yerfahren. Es liegt nahe, eine neue Variable (142) h^X-B einzuführen. Es ist gemäß (140 a) Ä = -.a für A = A', Ä = + a für ;L = T. Für A = ?, wo g = 0, und nach (139) wird, ist Ä = Z — r. Setzen wir noch ' so wird demgemäß (142a) . ^-ä^y^f imPaUe(A), ■a (142b) 0 = 2^y| im PaUe (B), a (142c) a^ = Ay| + _iy| imFaUe(C). — a l — r Das gilt für Flächenladung. Bei Volumladung folgt aus (140 b) (i42d) $ = ^y'^*(^ + ^,y'£^^^(^ — a l — r Es ist noch 8 zu bestimmen. Aus (139, 139 a) und (142) erhalten wir E dl ^ ^ dl ^ E Es ist demnach (143) S ^ B - ß(x- ßl + ßX) ^ B - ^[m) m eine Größe, welche der in Gleichung (69 a) eingeführten Größe s entspricht. Je nachdem man H gleich H^ oder H^ setzt und 8t gleich Vti oder Wg, geht S in 5^ oder 8^ über. Abraham, Theorie der Elektrizität. IL 15 226 Erster Absclmitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. Aus (142) und (143) folgt * (143a) S^Xx^-h "ßix-ßl), x« = 1 - ß\ Zur Auswertung der obigen Integrale ist es erforderlich, S durch X, y, sf, l und h auszudrücken; wir haben zu diesem Zwecke noch l als Funktion jener fünf Größen zu berechnen. Dies geschieht mit Hilfe der aus (142) sich ergebenden quadratischen Gleichui^ {x--hy^B'^(x-ßi+ßiy + y^ + 0^ aus der man für den Ausdruck (143 a) erhält (143b) S = y{x-ßl + ßhy + X« (y^+is'y, wir haben die positive Wurzel genommen, weil aus (143) folgt, daß bei Bewegung mit Unterlichtgeschwindigkeit S stets eine positive Größe ist. Die Integrale (142% b) lassen sich nunmehr auswerten. Wir erhalten im Falle (A) für Flächenladung /144N ^ e ^[a;-ftHfta+T/(^~ftHfta)H(i-fe')(y'+ö] Man überzeugt sich leicht davon, daß dieser Ausdruck für das skalare Potential eines gleichförmig bewegten Elektrons mit dem auf ganz anderem Wege in (112e, g) erhaltenen übereinstimmt; es steht hier x — ß^l, statt wie dort x, weil hier ein im Räume festes, dort ein mit dem Elektron mit- bewegtes Bezugssystem zugrunde gelegt wird. Seiner Ab- leitung gemäß gilt der Ausdruck (144) für das skalare Potential im Falle (A) außerhalb des flächenhafk geladenen Elektrons. Im Falle (B) tritt nur ß^ an die Stelle von ß^ Herrscht im Falle (A) das „alte*^, der Geschwindigkeit H^ ent- sprechende Feld, so herrscht im Falle (B) das „neue^^ Feld, welches einer gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindig- keit Hg entspricht. Die beiden Gebiete, in denen das Feld sich durch die stationäre Bewegung des Elektrons vor oder nach der un- stetigen Änderung seiner Geschwindigkeit bestimmt, werden Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 227 offenbar durch eine Wellenzone voneinander getrennt sein, welche durch den Geschwindigkeitsspmng hervorgerufen worden ist. Das Gebiet der Welle ist eben dasjenige, in dem der FaU (G) statthat. Es ist hier X' < Z < X", daher — al + a das alte Feld, für l + a> r>l — a die Wellenzone, für r <.l — a das neue Feld. Die beim Geschwindigkeitssprunge erregte Welle besitzt eine Breite, welche dem Durchmesser 2a des Elektrons gleich ist. Sie pflanzt sich von der Sprung- stelle des Elektrons aus mit Lichtgeschwindigkeit fort; außerhalb des äußeren Bandes der Wellenzone herrscht das alte, innerhalb des inneren Bandes das neue Feld. unsere Entwickelungen beziehen sich auf einen Aufpunkt, welcher außerhalb des Elektrons liegt. Wenn wir zur Be- stimmung des in der Wellenzone herrschenden Feldes die Ausdrücke (142 c, d) heranziehen, so setzen wir dabei still- schweigend voraus, daß die Wellenzone über das Elektron bereits hinweggestrichen ist. Da die größte Entfernung eines dem Elektron angehörenden Punktes vom Eoordinatenursprung gleich ist, so muß 16* 228 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. \ß2\l + a 0. Daß die über jenes Intervall erstreckten Zeitintegrale der Kraft St^ und der Arbeitsleistung t^$t^ endlich sind, folgt ohne weiteres aus den obigen Resultaten. Von der Zeit <* an ist das Elektron von dem stationären, der gleichförmigen Bewegung entsprechenden Felde umgeben, so daß zur Aufrechterhaltung der Bewegung keine Ejraft mehr erforderlich ist. Von jetzt an sind Energie und Bewegungsgröße des Feldes konstant; sie haben die Werte TTi+TToi l>zw. ®i+®oi, welche sich nach einiger Zeit in dem Felde des gleichförmig bewegten Elektrons und in der entsandten Welle vorfinden. Es folgt demnach, mit Rücksicht auf (148 b), t* (150a) f(t^St)dt = WQ^+W^'-Wo = 2(Tr,~Tro)=^'j^Zn(l±A)_2). Die gesamte Arbeit bei plötzlicher Fortschleu- derung ist doppelt so groß, als wenn die Geschwindig- keit Hl auf quasistationäre Weise erreicht worden wäre. Da in dem Zeitintervalle 0L ist mithin gleich ^ oder gleich Null, je nachdem eine Dreiecks- bildung möglich ist oder nicht. Wir können daher im Falle der Flächenladung die Größe % durch dieses Integral aus- drücken: sin sB ds (155) Xi= — I sin sa ' sin sX E 8 0 so daß das skalare Potential (153) wird oo 00 sin sB ds (155a) 0 « — I dX I sinsa sinsA- E s 0 0 Was den Fall der Yolumladung anbelangt, so können wir ihn leicht auf denjenigen der Flächenladung zurückfahren, indem wir die Kugel vom Radius a in Kugelschichten zer- legen, vom Badius r, von der Dicke dr und der Ladung 3 6 AxQT^dr == -jT^dr, Schreiben wir in (155a) statt a jetzt r, 3 e statt e jetzt -j r^ dr, so entsteht durch Integration nach r das Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 241 ekalare Potential des gleichförmig über sein Volumen ge* ladenen Elektrons: - 6e i ,^ i . - ßiD. sMds C • j Q = — j I aXI BinsX — ^ I r birst dr, 0 0 0 Da nun gilt 0 n sinsa — 8a cos^a sm ST dr = so wird im Falle der Volumladung 00 00 /^cc^.^ ^ 6^ CntC* - sin SÄ [ sin «a — sa COS «al l-^- 0 Für unser kugelförmiges Elektron läßt sich auch im Falle der Yolumladung die durch (153 d) postulierte Mittelwerts- büdimg ohne Schwierigkeit durchfahren. ^^In dem Ausdruck (155 c) von Xi ist es nur der Faktor — ^ — des Integranden^ der für die yerschiedenen Punkte des Elektrons einen ver- schiedenen Wert hat. Der Mittelwert dieses Faktors berechnet sich nun für das Volumen der Kugel in ganz ahnlicher Weise, wie oben für die Kugelfläche. Es ist 0 r— r 3 sinsT a /^ 3 sinsT ( BiD. sa — sa coa 8a\ ;m5r.rdr = -.-^5^.( j^, ) a» sT 0 Demnach erhalten wir 00 /i cöT-\ — 18 / . ^ sin sT (sin «a — sa cos sal^ds (156b) ^ = —,Jsmsl-^[ ^^, ) ^. 0 Indem wir die so erhaltenen Mittelwerte (156 a, b) von % in die allgemeinen Ansätze (154) und (154a) für die innere Kraft einfOhren, gelangen wir zu den Sommerfeldschen Formeln (157) -ff.-« = Lmiyix{l-^}|y^^8insasinsfe8in«X^(?^ 0 0 00 GO sinsT jim rz Ol I dXt^i^x 1 —^ sinsa sin 56 sin sX 0 0 16* 244 Si^ster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegung der einzelnen Elektronen. /jT-ili t^iti — x\X f ds l Bin 8a — $a eoQ 8a\^ . ^ d /sin 8T\ = /dA{l — ?-)y/ -fI ^t /'"""M-T^) 0 0 oo 00 . 1 ^ #7^^ / ds (sin sa—«a COS sal^ . - sin «T 0 0 Diese Formeln stellen die vom kugelförmigen^ rein translatorisch bewegten Elektron auf sich selbst aus- geübte Kraft im Falle homogener Flächenladung und homogener Yolumladung in allgemeinster Weise dar. In seiner Mitteilung in den Göttinger Nachrichten hat Sommerfeld die Integrationen nach s ausgeführt; dabei gelangt der in § 17 erwähnte umstand zur analytischen Formulierung^ daß die innere Krafb durch die Bewegung des Elektrons in einem endlichen^ dem betrachteten Zeitpunkte unmittelbar vorangegangenen Intervalle bestimmt ist; wenigstens dann^ wenn die Bewegung dauernd mit Unterlichtgeschwindigkeit oder mit Überlichtgeschwindigkeit erfolgt ist Ausnahmefälle treten dann ein, wenn das Elektron sich zuerst mit Überlicht- geschwindigkeit und dann mit Unterlichtgeschwindigkeit be- wegt; oder gar die Richtung umkehrt; dann können offenbar Wellen, die vom Elektron selbst in einer längst vergangenen Epoche entsandt worden sind, eine Eraft auf dasselbe aus- üben. Alle denkbaren Fälle werden durch die obigen Formeln in einen einheitlichen analytischen Ausdruck zusammengefaßt, so daß die Ermittelung der inneren Kraft far eine gegebene Bewegung nur noch eine Sache der Rechnung ist. Sommerfeld hat auch die Drehkraft und die Rotations- bewegung in entsprechender Weise behandelt. Von größerem Interesse ist jedoch die Anwendung auf translatorische Be- wegung mit Überlichtgeschwindigkeit^), der wir uns jetzt zu- wenden wollen. 1) A. Sommerfeld. Akad, v. Wetensch. te Amsterdam. 13. S. 431. Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 245 V § 27. Gleichförmige Bewegung mit ÜbeTlichtgescliwindigkeit. Bei gleichförmiger geradliniger Bewegung wird In den Ausdrücken (157) und (157 a) für die innere E^raft fallen die Differentialquotienten nach l fort. Die Differentiationen nach T können durch solche nach X ersetzt werden^ so daß nach Umkehr der Integrationsordnnng für die der Bewegung parallel gerechnete innere Kraft bei Flächenladung folgt (158) -^.« ao 00 ==— p- • Lua-^ I -ä-smsa smsfe I aXsujiSX-^i — ^ — h 0 0 und bei Volumladung (IM.) -^» 1 — ö* i ds Ibid. sa — sa coB sa\^ / ,- . ^ d /BmßsX\ — ß^'J^i (^' \J^^'''''^H(—r-y 0 0 • Das nach X genommene Integral läßt sich auswerten; es ergibt die partielle Integration 00 00 I dX sinsX-j^y^^ j ^ — sjdXcos sX ^^^P^ 0 0 2 ./" i. '! X f l)sX Da nun 00 00 0 0 246 Erster Abschnitt. Das Feld u. die Bewegung der einzelnen Elektronen. 80 erhält man 0 £Ür ßl. Für ßl hingegen folgt aus (158) und (158b) für den Fall der Flächenladung « (158c) — 7? Ä = ^-ör~ ' ^^ h / — sin 5a sin s6. Um das Integral nach s auszuwerten, teilen wir das Integrationsintervall in zwei Teile, 0<5<« und s. Es wird 00 sin sa sin s6 = / — sin sa sin sb /äs » • -L / ds * — sm sa sin SO = I — si 00 00 + J / y cos(& - a) s-~J y cos (6 + a) s. Für die Differenz der beiden letzten Integrale folgt, nach Einführung der Variabein p=\b — a\s bzw. jp = (6 + a) s, 00 00 • (ft-j-a) dp a \b — a\ «(6-f-a) « |ö — a\ 00 00 a {fi-f-c \ r dp 1 r dp 1 r -J cOSpf-^-^J C0Si>^= 2/ ^^«i^ «|6 — a| «|& — a| «|6 — a| Drittes KapiteL Die Mechanik der Elektronen» 247 Durch Summation folgt 00 — Sin sa sin s6 = ~ In (,,_ ,1 +1 — sin 5a sin so -ß •(ft + a) ^sin«^ p 2 • |6-a| Diesem Ausdrucke proportional ist die Kraft, welche das flächenhaft geladene Elektron auf eine mitbewegte konzentrische, mit derselben Ladung yersehene Kugelflache vom Radius b ausübt. Indem wir die ganz beliebig zu wählende Größe s gegen Null konvergieren lassen, erhalten wir als Wert dieser Ejraft (158d) « = ^^.^.lz„(^) för h^a. Die Kraft, welche die Kugel a auf die konzentrische Kugel b und umgekehrt auch die Kugel b auf die Kugel a bei gemeinsamer gleichförmiger Translation mit Überlichtgeschwindigkeit ausübt, wirkt stets der Bewegung entgegen. Ihr Betrag ist ein end- licher, falls die Radien der beiden Kugeln yerschieden sind. Führt man indessen den Ghrenzübergang zum Falle zweier Kugeln Yon Reichem Radius aus, um die innere Kraft des flächenhaft geladenen Elektrons zu berechnen, so findet man^ daß die Kraft logarithmisch unendlich wird. Man schließt hieraus: Die gleichförmige Bewegung eines flächen- haft geladenen kugelförmigen Elektrons mit Über- lichtgeschwindigkeit erfordert eine unendliche Kraft; sie ist somit physikalisch unmöglich. Zum Falle der Volumladung übergehend, erhalten wir aus (158 a, b) 00 2 a* n^ /3* — 1 /d 8 j aia sa — sa cos sa) 0 Für das hier auftretende Integral nach s erhält man, nach Einführung der Variabein p = as, durch einige Umformungen 248 Erster Abschnitt. Das Feld n. die Bewegimg der einzelnen Elektronen. /ä » / . \2 f(sin »--» cos »)*1* ^(8mi>-i,cosi,) f \;. ^), 0 I 1 /»P • / • \ ( sin » (sin p —p cos p) ] °° + 2 / p-smjp(8mj?-j?cosj?) = ^j ^^ ^^,^ ^j^ 0 00 + Y / "4 (cos jp sin ^ —p cos^ |> + jp sin* pu 0 00 sin 2 p I * 1 1 /\ /l sin 2p cos 22>\ 1 f si —iJ^P\^^^ ^;"~4l~2i> Jo 4 0 Daher wird schließlich (158e) « = _|£;.(i_^) die der Bewegung entgegenwirkende innere Kraft im Falle der Volumladung. Wir sehen also: Die gleichförmige Bewegung des mit gleich- förmiger Volumladung erfüllten Elektrons mit Über- lichtgeschwindigkeit ist zwar keine kräftefreie Be- wegung, aber die erforderliche äußere Kraft hat einen endlichen Betrag, so daß Bewegung mit Überlicht- geschwindigkeit bei Volumladung physikalisch denk- bar ist. Der Betrag der Kraft steigt mit wachsender Ge- schwindigkeit an und konvergiert gegen den Grenzwert «, 9 e* ' ~4^' derselbe ist gleich der Kraft, welche zwei ruhende Punkt- 2 ladungen e im Abstand —a aufeinander ausüben. Die hier zutage tretende prinzipielle Verschiedenheit von Flächenladung und Volumladung des allseitig symmetrischen Elektrons ist um so bemerkenswerter, als bei Unterlicht- geschwindigkeit das Verhalten des Elektrons in beiden Fallen Drittes Kapitel. Die Mechanik der Elektronen. 249 das nämliche ist. Bei quasistationärer Bewegang unter- scheiden sich die Massen in beiden Fällen nur durch einen Zahlenfaktor^ und derselbe Zahlenfaktor tritt bei der Strahlung des unstetig bewegten Elektrons auf. Auch die E[raft, welche erforderlich ist; um das Elektron plötzlich auf Lichtgeschwindig- keit zu bringen und auf dieser zu halten ^ ist im Falle der Volumladung von derselben Größenordnung, wie im Falle der F^chenladung. Aus dem Verhalten der Elektronen bei Unter- lichtgeschwindigkeit und bei Lichtgeschwindigkeit wird daher kaum ein Kriterium herzuleiten sein, welche zwischen diesen beiden Möglichkeiten entscheidet. Die Entscheidung wäre aber sofort gegeben, und zwar zugunsten der Volumladung, sobald man Elektronen beobachtet hätte, die sich mit Überlicht- geschwindigkeit bewegen. Es ist allerdings kaum zu hoffen, daß es gelingen wird, die Elektronen, selbst wenn ihnen im Innern des Badiumatomes solche Geschwindigkeiten erteUt wären, auf Überlicht- geschwindigkeit zu halten; denn die hierzu erforderliche Kraft ist eine so enorme, daß sie die Kräfte der experimentell herstellbaren Felder um das Billionenfache übersteigt. Was geschieht aber, wenn keine äußere Kraft wirkt? Wie bewegt sich das einmal auf Überlichtgeschwindigkeit gebrachte Elek- tron kräftefrei weiter? Darüber sagt die Theorie bisher nichts aus. 250 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Zweiter Abschnitt. Elektromagnetisclie Vorgänge in wägbaren Körpern. Erstes Kapitel. Bnhende Körper. § 28. Ableitung der Hauptgleiehnngen ans der Slektronen- theorie. Im ersten Bande dieses Werkes (§ 59) haben wir die Hauptgleichungen der Maxwellschen Theorie für ruhende Körper entwickelt. Der dort eingenommene Standpunkt war derjenige der Phänomenologie, welche sieh mit der DarsteUung der beobachteten Erscheinungen begnügt und ein Eingehen auf atomistische Vorstellungen ablehnt. Bei den meisten elektromagnetischen Yorgaugen im engeren Sinne, insbesondere bei denjenigen , die in ruhenden Körpern stattfinden, erweist sich die phänomenologische Behandlungsweise als ausreichend, und sogar durch ihre größere Einfachheit als der atomistischen Auffassung überlegen. Nun haben wir aber gewisse Erscheinungen der Kon- yektionsstrahlung kennen gelernt, welche sich nur vom ato- mistischen Standpunkte aus befriedigend haben deuten lassen. Wir haben gesehen, daß die negatiren Elektronen, die wir in den Kathoden- und Badiumstrahlen als bewegt annehmen, auch bei der Lichtstrahlung der Körper eine Bolle spielen. Wir wollen uns indessen hiermit nicht begnügen; wir wollen versuchen, die elektromagnetischen und optischen Erscheinungen in ihrer Gesamtheit auf Grund der Elektronentheorie zu be- greifen. Wir müssen zu diesem Zwecke zunächst den Nach- weis führen, daß die Hauptgleichungen der Elektrodynamik sich aus den Grundgleichungen der Elektronentheorie ableiten lassen. Erstes Kapitel. Ruhende Körper. 251 Die Elektronentlieorie kennt nur das elektromagnetische Feld im Äther, welches durch ruhende oder konvektiv bewegte Elektronen erregt wird. Sie nimmt an, daß dieses elektro- magnetische Feld auch im Innern der ponderablen Körper besteht, oder, wie man zu sagen pflegt, daß der Äther die ponderablen Körper durchdringt. Daß die elektrischen und magnetischen Eigenschaften der Körper von denjenigen des leeren Baumes abweichen, wird darauf zurückgeführt, daß Elektronen sich im Innern des Körpers befinden. Die Leit-. fähigkeit der Körper wird durch „Leitungselektronen^^ erklärt, welche entweder, wie in den Metallen, frei beweglich, oder, wie in den Elektrolyten, an neutrale Atom- oder Molekül- gruppen gebunden sein können; diese wandern im Körper unter der Einwirkung elektrischer Kräfte über größere Strecken hin und bilden so einen elektrischen Leitungsstrom. Die elektrische Polarisation der Dielektrika wird auf negative Elektronen zurückgeführt, welche an die positiven gebunden sind und mit ihnen zusammen elektrische Dipole bilden. Die Bewegung dieser „Polarisationselektronen" in veränderlichen elek- trischen Feldern wird einen elektrischen Strom ergeben, welcher den auf die Materie entfallenden Anteil des Yerschiebungs- stromes bildet. Führen die gebundenen negativen Elektronen ferner umlaufende Bewegungen um die positiven aus, so geben sie zu einer Magnetisierung des Körpers Veranlassung und werden dann als „Magnetisierungselektronen" zu be- zeichnen sein. Es werden allerdings auch die freien Elek- tronen im magnetischen Felde sich in gekrümmten Bahnen . bewegen und so die Eolle von Magnetisierungselektronen spielen können. Die von den einzelnen Elektronen erregten Felder, auf welche sich die Grundgleichungen des § 4 (I bis IV) beziehen, weisen außerordentlich große räumliche Unregelmäßigkeiten auf. Hat doch das Feld des ruhenden Elektrons in den beiden End- punkten eines Elektronendurchmessers die entgegengesetzte Richtung. Entsprechende starke zeitliche Schwankungen der Feldstärken werden den Grundgleichungen zufolge an einem 252 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. im Bamne festen Punkte auftreten, wenn ein Elektron sicli über ihn hinweg bewegt. Wir erwähnten bereits in § 4, daß die Felder ; deren Existenz die Grundgleichungen postulieren, der direkten Beobachtung unzugänglich sind. Es sind immer nur die Mittelwerte, auf welche die Beobachtungen sich be- ziehen. Die Mittelwertsbildung über die Felder der einzelnen Elektronen wird uns zu den Hauptgleichungen der Maxwellschen Theorie führen und wird uns zeigen, wie die dort auftretenden Vektoren mit den in den Feldgleichungen der Elektronen- theorie auftretenden beiden Vektoren zusammenhangen. Wir wollen die Bezeichnungen ß, § für die in den Haupt- gleichungen auftretenden Feldstärken der beobachtbaren Felder reservieren, und daher, um Verwechselungen vorzubeugen, für die elektromagnetischen Vektoren, welche durch die Grund- gleichungen (I bis IV) der Elektronentheorie miteinander ver- knüpft sind, jetzt die Bezeichnungen c, ^ einführen. Jene Glei- chungen sind dann zu schreiben: (D curlJ|= ^ll + ^pt., (H) curle = -i^, (IH) div e = 43r(>, (IV) div 11= 0. Aus diesen Feldgleichungen hat H. A. Lorentz für den allgemeinen Fall eines bewegten Körpers die Hauptgleichungen der Elektrodynamik durch Mittelwertsbildung abgeleitet.*) Wir werden in diesem Paragraphen die entsprechenden Ent- wickelungen für ruhende Körper durchführen. Hier ergeben alle auf dem Boden der Nahewirkung stehenden Theorien dasselbe, während in der Elektrodynamik bewegter Körper, wie wir später sehen werden, zwischen den verschiedenen Theorien gewisse Abweichungen vorhanden sind. 1) H. A. Lorentz. Akad. van Wetenschapen te Amsterdam 11, 1902, S. 305. Enzykl. d. mathem. Wissensch. Bd.V, Art. 14, Nr. 26—34. Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 253 Wir bezeiclinen mit H. A. Lorentz eine Strecke als ^^physikaliscli unendlich klein'^, wenn sie klein ist gegen diejenigen Strecken, innerhalb deren eine merkliche Inho- mogenität des Feldes besteht, aber groß gegen den Abstand zweier benachbarter Elektronen oder Moleküle. Es hängt dieser Definition gemäß wesentlich von der Inhomogenität des betreffenden Feldes ab, ob eine Strecke als physikalisch unendlich klein zu bezeichnen ist oder nicht; in der Elektro- statik z. B. wird eine Strecke, die gleich einer Wellenlänge des roten Lichtes ist, noch physikalisch unendlich klein zu nennen sein; denn die Probekörper, die zur Untersuchung des elektrostatischen Feldes verwandt werden, sind viel zu grob^ um eine etwaige Inhomogenität des Feldes auf dieser Strecke überhaupt zu bemerken. In der Optik hingegen, wo es sich nach den Vorstellungen der elektromagnetischen Lichttheorie um Felder handelt, die auf einer Strecke von einer halben Wellenlänge die Richtung umkehren, wird jene Strecke keines- wegs als physikalisch unendlich klein beibrachtet werden dürfen. Anderseits legt die obige Definition eine gewisse, von der Zahl der Elektronen bzw. Moleküle abhängige untere Grrenze für die physikalisch unendlich kleine Strecke fest. SoUen die beiden Bedingungen einander nicht widersprechen, so muß der mittlere Abstand zweier Moleküle verschwindend klein gegen die Wellenlänge sein, derart, daß in einem Würfel, dessen Kanten etwa einem Hundertstel der Wellenlänge der be- treffenden elektromagnetischen WeUe gleich ist, noch viele Millionen von Elektronen enthalten sind. Von physikalisch unendlich kleinen Gebietsteilen kann nur dann die Bede sein, wenn die Materie entsprechend dicht gelagert ist. Um den Mittelwert irgendeiner skalaren oder Vektor- größe q in einem Punkte P des Baumes zu bestimmen, kon- struieren wir um P eine Kugel, deren Badius physikalisch unendlich klein ist, und dividieren das über die Kugel er- streckte Volumintegral von q durch das Volumen v der Kugel: (159) q=^. 254 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Bei der Yergleichimg der Mittelwerte ^ welche zu zwei yerschiedenen Zeiten in einem und demselben Ponkte herrschen, ist selbstverständlich der Badins der Kugel konstant zu halten, so daß man hat Es sind demnach Mittelwertsbildung und Diffe- rentiation nach der Zeit miteinander vertauschbare Operationen. Das gleiche gilt von den Operationen der Mittelwertsbildung und der Differentiation nach den Koordi- naten. Hierbei handelt es sich um die Yergleichung der Werte von ~qy welche in zwei benachbarten Punkten P und P' des Baumes zu derselben Zeit bestehen. Es sind dabei die Mittel- werte q durch zwei um P und P^ geschlagene physikalisch unendlich kleine Kugeln von dem gleichen Radius definiert. Demgemäß ist z. B. c q^ d fcidv dx dx V nichts anderes, als die durch Yerrückung der Kugel parallel der oj-Achse bedingte Veränderung des Volumintegrales von j, dividiert durch das Volumen der Kugel. Diese Veränderung läßt sich darstellen als herrührend von den (positiven oder negativen) Beiträgen derjenigen Volumelemente, welche die Oberfläche f der Kugel bei der Verrückung bestreicht. Es folgt ^^L.Jq cos (vx) df. Anderseits ist der Mittelwert der DifFerentialqaotienten von q nach x 8q = i^ li'^^ = f/« *°' (^^) ^f' dx so daß man erhält («»') n - n- Es sind also, wie behauptet, auch die räumliche Differentiation und die Mittelwertsbildung mit- einander vertauschbare Operationen. Erstes Kapitel. Buhende Körper. 255 Anf Grrand der Regeln (159 a^ b) ergeben sich durch Mittelwertsbildnng b,^b I bis lY die Differentialgleichungen (la) curl|= i|l + ^p, (Ha) curle=-m; (Illa) div e = 4t^Q, (IV a) div f = 0. Indem *die Mittelwerte für physikalisch unendlich kleine Bereiche gebildet wurden^ sind die raschen und regellosen räumlichen Änderungen des Feldes ; welche durch die ato- mistische Struktur der Elektrizität und der Materie bedingt sind^ herausgefallen. Man kann daher bei der Berechnung des curl und der Divergenz der Vektoren e und | unter dx dy dZy statt mathematisch unendlich kleiner Strecken^ auch physikalisch unendlich kleine Strecken verstehen. Femer kann man die Mittelwertsbildungen; wie über den Baum, so auch über die Zeit eratrecken, und unter dt ein „physikalisch unendlich kleines Zeitintervall^^ verstehen, das heißt ein solches, in welchem die Vektoren e, | verschwindend geringe zeitliche Änderungen erfahren. Wir betrachten zui^chst den idealen Fall, daß der Körper nur Leitungselektronen enthält. Dann gilt (160) {9}. = 9, {p}. = i Die beobachtbaren Dichten der Elektrizität und des Leitungsstromes q, i sind dann einfach gleichzusetzen den Mittelwerten der Dichten der Elektrizität und des Eonvektions- stromes, berechnet für physikalisch unendlich kleine Volum- elemente. Nehmen wir eine Reihe verschiedener Elektronen- arten an, von den Ladungen ^; ^; 63 . . ., den auf die Volum- einheit berechneten Zahlen N^y N^, N^- - -} und den mittleren Geschwindigkeiten ti^, tig, tig, so hat man (160a) Q =» Nj^e^ -f JV^e, -J- N^^e^,. . (160b) i^N^e^1^^ + N,e,t^^ + N,e, Hj. . . 256 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Für einen idealen Leiter, der weder elektrisch polarisierbar noch magnetisierbar ist, nehmen die Hauptgleichungen der Max- wellschen Theorie eine sehr einfache Form an; es wird nämlich @ mit 4 TT S, $ mit 8 identisch. Im allgemeinen Falle aber sind zwei Paare elektrischer nnd magnetischer Vektoren (außer {) in den Hauptgleichungen zu unterscheiden (vgl. I, § 59). Es kommt jetzt gerade darauf an, den Zusammenhang dieser Vektoren mit e und ^ richtig zu erfassen und den unterschied zwischen wahrer und freier Elektrizität, sowie wahrem und freiem Strome, vom Standpunkte der Elektronentheorie aus zu verstehen. Im Hin- blick hierauf wollen wir die Anteile von q und 90 in Betracht ziehen, welche von den aneinander gebundenen positiven und negativen Elektronen herrühren. Für ein elektrisch neutrales Molekül ist die Gesamtladung Null. Audi bildet die fortschreitende Bewegung eines solchen Moleküles keinen Leitungsstrom. Dennoch kann die gegen- seitige Verschiebung der Elektronen im Molekül zu einer Ab- änderung des Mittelwertes q der räumlichen Dichte Ver- anlassung geben, der ja durch eine im Räume feste, physi- kalisch unendlich kleine Kugel definiert war. Auch können die inneren Bewegungen der Elektronen sich durch eine Änderung des Mittelwertes 9» der Stromdichte bemerkbar machen. Wir nennen das über das Volumen eines Moleküles er- streckte Integral (161) ^ ^JQtdv das elektrische Moment des Moleküles, indem wir unter x den von einem festen Punkte 0 des Moleküles aus gezogenen Fahrstrahl verstehen. Hat man es mit einem aus zwei Punkt- ladungen bestehenden Dipole zu tun, so ist |i das Moment des Dipoles. Wir wollen indessen die allgemeinere Annahme machen, daß sich in jedem Moleküle n Elektronen, von den Ladungen e^y 63 . . . en, befinden. Das elektrische Moment des Moleküles ist dann Erstes Kapitel. Ruhende Körper. 257 (161a) ^^eiti + e^t2+ '" +entn, wobei (161b) ei + ci+..-+e„ = 0 ist. Es mag N die auf die Yolumeinlieit berechnete Zahl der Moleküle sein. Wir betrachten ein im Räume festes, physikalisch un- endlich kleines Flächenelement df. Welches wird die Elek- trizitatsmenge sein, die bei der Herstellung der Momente der Moleküle durch das Flächenelement df tritt? Wir wollen zunächst Yoraussetzen, daß alle in einem physikalisch unendlich kleinen Bereiche gelegenen Moleküle das gleiche Moment |i besitzen; sollte diese Voraussetzung nicht erfüllt sein, so können wir doch verschiedene Molekülgruppen von den Mo- menten H', H". . . und den Molekülzahlen N^y N" . . . unter- scheiden und die Moleküle jeder Gruppe gesondert betrachten. Auf die betreffende Molekülgruppe bezieht sich dann das- jenige, was hier von der ganzen Schar der Moleküle aus- gesagt wird. Wir wollen den Punkt 0 des Moleküles, von dem aus die Badienvektoren t^, tg . . . tn gezogen sind, den Mittelpunkt des Moleküles nennen. Die Herstellung des Momentes ff er- folgt, indem die Ladung e^ von 0 nach dem Endpunkte A^ des Fahrstrahles t^, die Ladung e^ von 0 nach dem End- punkte Ä^ des Fahrstrahles tg bewegt wird, usf. Soll nun die Ladung e^ bei der Verschiebung von 0 nach Ä^ durch das im Räume feste, physikalisch unendlich kleine Flächenelement df hindurchtreten, so muß sich der Mittelpunkt 0 des Mole- küles offenbar in dem schiefen Zylinder befinden, den man erhält, indem man von den Punkten des Flächenelementes df aus die Fahrstrahlen — t^ konstruiert. Die Zahl der Moleküle, deren Mittelpunkte innerhalb dieses Zylinders liegen, ist gleich der Zahl N der in der Volumeinheit enthaltenen Moleküle, multipliziert mit dem Rauminhalt des Zylinders, also gleich: Nti'.df Abraham, Theorie der Elektrizität, ü. 17 * 258 Zweiter Absclmitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Diese Moleküle sind es, welche bei der HersteUtmg der Momente (161a) Elektronen erster Art durch df senden, und zwar im Sinne derjenigen Normalen, welche mit x^ einen spitzen Winkel einschließt. Die gesamte, bei der Herstellung des Momentes mit den Elektronen erster Art durch df im Sinne der Normalen v tretende Elektrizitatsmenge wird durch Ne^x^vdf auch dem Vorzeichen nach richtig angegeben. Die Anteile der yerschiedenen Elektronen summierend, erhalten wir N^^df^^^rdf für die gesamte, bei der Herstellung der Momente durch df tretende Elektrizität. Dabei stellt ^ =^|l die Yektorsumme der Momente aller in der Yolumeinheit enthaltenen Moleküle dar. Das erhaltene Resultat gilt auch dann, wenn die in einem physikalisch unendlich kleinen Yolumelement liegenden Mole- küle nicht alle das gleiche elektrische Moment besitzen. Man hat die Betrachtung dann auf jede Gruppe gleichartiger Mole- küle anzuwenden und die Anteile aller Gruppen zu summieren. In diesem allgemeineren Falle ist dann (161c) ip-iV^'|i'+JV" auch dann konstant bleibt, weim der Leiter in ein anderes Dielek- trikum eingebettet wird. Die durch die Polarisation des Dielektrikums abgeänderte mittlere Dichte 'q hin- gegen ist identisch mit der Dichte q> der freien Elek- trizität in der Maxwell -Hertzschen Theorie. Da 9' durch die Divergenz von 7— Ä, (> aber durch die Divergenz von ® gegeben wurde (vgl. I, § 39), so muß zwischen diesen beiden Vektoren die Beziehung bestehen: (165a) ^^4^* = ^^^ {® - V}^ wenn anders die Mittelwertsbildung uns wirklich zu den Haupt- gleichungen der Maxwellschen Theorie führen soll. Als resultierender Mittelwert des elektrischen Stromes folgt aus (160, 162 und 164c) (165b) p = [Qi]; + {p}p + {QiU = * +^ + ^ c^^l «• Der erste Bestandteil, der von den Leitungs- elektronen herrührt, ist auch für magnetisierte Leiter 264 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. mit der Dichte des wahren Leitungsstromes in der Maxwell -HertzBchen Theorie identisch. Derselbe be- stimmt die Ändernng der wahren Ladung der Leiter. Die durch die Mitwirkung der Magnetisierungselektronen abgeänderte mittlere Dichte hingegen (165c) i' = i + c curl «t (vgl. Bd. I S. 233 Gleichung 176) ist nichts anderes, als die Dichte des freien Stromes in der Maxwell-Hertz- 49ri' sehen Theorie. Da für stationäre Ströme durch curl 8, 1 c hingegen durch curl ^ bestimmt wird, so ist zu postulieren: (165d) curl » = curl {^ + 4«»}. Wie ordnen sich nun die Vektoren (S und S, 8 und ^ den Mittelwerten e und | zu, die in den Grrundgleichungen (la bis IVa) der Elektronentheorie auftreten? Wir sehen sofort, daß wir der quellenfreien Verteilung des Vektors 8 der magnetischen Liduktion gerecht werden, wenn wir setzen (166) » = f. Alsdann führt (IIa) auf die zweite Hauptgleichung (Bd. I S. 238 Gleichung 178), bei Ausschluß eingeprägter Krafte, wenn e mit (S identifiziert wird: (166a) L Beim Durchgang durch den Wert X^ Xq wechselt die rechte Seite von (170) das Vorzeichen, sie wird negativ und nimmt, bei weiterem Fortschreiten zu kleineren WellenBmgen, dem Betrage nach zu. Es muß demnach, nach Drude (s 1) genau, nach Lorente und Planck ungefähr bei der Wellenläiige der Eigenschwingung, n* — 1 von beträcht- lichen positiven zu negativen Werten übergehen. Die Wellen- längen, die auf der violetten Seite der Eigenschwingung liegen, werden also schwächer gebrochen, als die auf der roten Seite Uegenden. So erklärt man die anomale Dispersion. Beim weiteren Fortschreiten nach der violetten Seite des Spektrums nimmt der Brechungsindex wieder zu, indem er dem Werte 1 zustrebt. D) Xq groß gegen X. Der Wert 1 des Brechungsindex ist nahezu erreicht. Die Eigenschwingung beeinflußt den Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 18 274 Zweiter AbBchnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Brechimgsindex überhaupt nicht mehr; es schwingen die Elek- tronen nicht mehr mit. Man wird hiemach ans der Gleichheit der Brechnngs- indizes eines Körpers für zwei yerschiedene Wellenlangen schließen dürfen, daB zwischen diesen beiden Wellenlangen keine Eigenschwingung der Elektronen liegt. Insbesondere wird ans der Übereinstimmung des Quadrates des Brechungs- exponenten für sichtbares Licht mit der Dielektrizitäts- konstante, die beispielsweise bei Luft und Wasserstoff fest- gestellt ist, zu schließen sein, daß im ultraroten Spektral- gebiete keine Eigenschwingungen Uegen. P. Drude, der in der zweiten der oben zitierten Arbeiten das Beobachtungs- material in um&ssender Weise vom Standpunkte der Elektronen- iheorie aus diskutiert, kommt zu dem Schlüsse, daß die ultrar roten Eigenschwingungen den trägeren positiven Elektronen, die ultravioletten den mit weit geringerer Tra^eit behafteten negativen Elektronen zuzuschreiben sind. Die Dispersion des Wasserstoffes wird man hiemach auf die Anwesenheit negativer Elektronen zurückzuführen suchen, deren Eigenschwingungen im ultravioletten liegen, und wird mit Bücksicht auf die ein- fache Bauart der fTg-Moleküle die Annahme einer einzigen schwingungsßhigen Elektronenart hier als berechtigt ansehen dürfen. Nun hat H. A. Lorentz^) die Eettelerschen Messungen an Wasserstoff von 0^ Celsius und Atmosphärendruck, wo n nur wenig größer ist als 1, durch die Formel dargestellt: 5M:|«_1_ = 10707 -?^°^?y2 w*— 1 2(n — 1) X* — 5 Die Vergleichung mit (170b) ergibt für Wasserstoff -«0,0739. 10 -ß. y Hieraus und aus (170a) läßt sich die Zahl p der Polari- sationselektronen im ^2*^^^^^^^ berechnen. 1) H. A. Lorentz. Akad. yan Wetensch. te Amsterdam. Bd. 6. 1897/98, S. 618. Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 275 Es ist die Dichte eines Körpers wo M sein Molekulargewicht, m^ aber die Masse des Wasser- stofibtomes ist. Es folgt demnach; mit Bücksicht auf Gleichung (1), = • -=rz. = 9660 • -tTz} c cffijj M M xmd daher aus (170a) /ITA \ ö^öö ^ {170c) y-P'V"-^'M' Es läßt sich auf Grund dieser Gleichung das Pro- dukt Yon Zahl p und spezifischer Ladung 17 der nega- tiven Elektronen aus der Konstante 7^ der Dispersions- formel berechnen, falls nur eine einzige Elektronen- art ins Spiel kommt. Für ideale Gkuse speziell ist allgemein f- 2,24. 10*, SO daß (170d) JP • 1? = 7,285 . y wird. Für Wasserstoff folgt aus dem angegebenen Werte von y p . iy « 2,96 • 101 Da p eine ganze Zahl sein muß, so kommt man dem aus der Ablenkung der Kathodenstrahlen berechneten Werte von rj am nächsten, wenn man mit P. Drude setzt: (170e) i)-2, 1^=1,48-101 Es sind also im jB^-Moleküle zwei Polarisations- elektronen anzunehmen. Wir haben der Absorption des Lichtes bei Wellenlängen, welche den Eigenschwingungen der Polarisationselektronen entsprechen, nicht Rechnung getragen. Zur Darstellung der Absorption, und auch zur genaueren Verfolgung der Dispersion durch den Absorptionsstreifen hindurch, wäre die Einführung von Dämpfungsgliedem in die Schwingungsgleichung (168) 18* 276 Zweiter AbBchnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. notwendig. Man kann diese Einf&knmg in yerschiedener Weise yomehmen, entweder^ indem man mit P. Drade eine der Ge- schwindigkeit proportionale Beibnng ähnlich wie in der gewohn- lichen Mechanik annimmt, oder indem man mit M. Planck anch hier die Dämpfängsglieder als Bückwirkung der Strahlung auffaßt, wobei diese der zweiten Ableitung der Geschwindig- keit nach der Zeit proportional werden (vgl. § 9 Gleichung 58 b). In beiden Fallen erklart sich das Auftreten derselben Linien im Emissionsspektrum und im Absorptionsspektrum auf Grund der allgemeinen Schwingnngslehre; die Polarisationselektronen, sprechen auf diejenigen Wellen an, welche mit ihren Eigen- schwingungen in Resonanz sind. Wir haben hier nur eine einzige Elektronenart und eine einzige Eigenschwingung angenommen. Man kann die maihe- matischen Entwickelungen ohne weiteres auf den Fall beliebig vieler Eigenschwingungen ausdehnen, indem man jede Eigen- schwingung einer anderen Elektronenart zuschreibt. Es ist aber die Frage, ob diese Darstellung der Wirklichkeit ent- spricht. Dieselben tmgelosten Probleme, welche uns die Emissionsspektra darboten (vgl. § 9), treten uns auch in der Theorie der Absorptionsspektren entgegen. § 30. MagnetlBOliQ Drelnuig der Folariaationsebene. In einem früheren Abschnitte (§ 10) hatten wir von den Yei^derungen gesprochen, welche die Spektrallinien im mag- netischen Felde erfahren. Im einfachsten Falle des normalen. Zeeman-Effektes werden parallel den magnetischen Kraft- linien zwei zirkularpolarisierte Wellen ausgesandt; der Unter- schied ihrer Frequenzen ist gleich der spezifischen Ladung der Elektronen, multipliziert mit der mitotischen Feldstärke (vgl. 60 d). Diese Veränderung der Eigenschwingungen der Elektronen, die sich in den Emissionsspektren zeigt, kommt nun auch in den Absorptionsspektren zur Geltung. An Stelle einer einzigen Linie des Absorptionsspektrums treten bei Einwirkung eines d^ Fortpfianzungsrichtung des Lichte» parallelen magnetischen Feldes deren zwei, in denen die rechts- .i Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 277 bzw. linkszirkTilare Welle absorbiert wird. Dem direkten Zeeman- Effekt der Emission tritt der inverse Zeeman-Effekt der Absorption gegenüber. Die Theorie dieser Erscheinung ist von W. Voigt ^) im Anschlüsse im die Dmdesche Theorie der Dis- persion entwickelt worden. Die dabei sich ergebenden Einzel- heiten des Phänomens hat die Beobachtung vielfach bestätigt. Im vorigen Paragraphen haben wir gesehen, dafi die Eigen- schwingungen der Elektronen auch außerhalb des Besonanz- bereiches von Einfluß sind, daß sie nämlich zu einer Dispersion des Lichtes Veranlassung geben. Beim Hinzutreten eines mag- netischen Feldes werden nun die Frequenzen der rechts- und linkszirkularen Eigenschwingungen der Elektronen in ver- schiedener Weise abgeändert. Damit hängt es zusammen, daß parallel den magnetischen Kraftlinien die rechts- und links- zirkularen Komponenten des einfallenden Lichtes mit ver- schiedenen Geschwindigkeiten fortgepflanzt werden, und daß so eine Drehung der Polarisationsebene zustande kommt. Die Theorie der magnetischen Drehung der Polarisationsebene wollen wir in diesem Paragraphen behandeln. Wir schließen Leitungselektronen und Magnetisierungs- elektronen aus. Die beiden Hauptgleichungen (Ib, Hb) des § 28 ergeben dann _ (171) • curl§== ^^> (171a) curlß = -i^, dabei ist (vgl. 166 b) zu setzen (171b) 4Ä3)«e + 4Äip. Dieses öleichungssystem ist zu er^inzen durch Einführung der Beziehung, welche den Vektor Sp, die auf die Volum- einheit bezogene elektrische Polarisation, mit der elektrischen FeldsiUrke @ verknüpft. Wir haben im vorigen Paragraphen, von der Schwingungsgleichung (168) ausgehend, diese Be- ziehung abgeleitet, wobei wir indessen von einer Einwirkung 1) W. Voigt, Ann. d. Phys. 67. S. 846. 1899. Vgl. auch H. A. Lorentz, Gongribs international de Pbjsique, III 8. 1. Paris 1900. 278 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wUgbaren Körpern. magnetischer Kräfte auf die Elektronen abgesehen haben. Wir haben jetzt den Einfluß eines konstanten magnetischen Feldes auf die Elektronenschwingongen in Betracht zu ziehen; wir wollen dasselbe der 0- Achse parallel annehmen und den Betrag der Feldstarke mit H bezeichnen ^ zum unterschiede Yon der periodisch veränderlichen Feldsförke % der Lichtwellen. Die Differentialgleichungen, welche für die Komponenten von |i gelten^ gehen aus den Gleichungen (59 a, b, c) der Eigenschwingungen hervor, indem die äußeren elektrischen Kräfte in der im vorigen Paragraphen dargelegten Weise ein- gef&hrt werden. An Stelle der Gleichungen (169, 169 a) treten dann die folgenden: (171c) dt* dt* (171d) -^ + Jc^%-^{(&^+^^{i + s)%[ Wir wollen monochromatische transversale LichtweUen be- trachten, welche sich parallel den Magnetkrafklinien fortpflanzen. Wir suchen demgemäß die Gleichungen durch Annahme homo- gener ebener Wellen zu erfüllen, in denen die Feldstärken von t und z in der Weise abhängen, wie es durch den komplexen Faktor e ^ ^ ' zum Ausdruck gebracht wird. Die longitu- dinalen Komponenten $«, (B» und iß« sind dabei gleich Null zu setzen, und es wird, gemäß (171, 171b) während aus (171a) folgt Durch Elimination von §x} ^9 folgt (172) 4:7t%== (w*- 1)6,, 4;rSPy« (n«~ 1)6^, welches auch immer der Polarisationszustand der WeUe sein mag. Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 279 Wir wollen nun unter w' bzw. w" die Brecliungsindizes der rechts- bzw. linkszirkularpolarisierten Wellen verstehen^ welche sich im magnetischen Felde fortpflanzen. Bei Fortpflanzung parallel der ir- Achse gilt (172a) §y-±i§. und daher (172b) e,= ±i«., Jp,= ±iJPx, wobei das obere Vorzeichen sich auf die rechtszirkulare^ das untere auf die linkszirkulare Schwingung bezieht; erstere ent- spricht einer negativen^ letztere einer positiven Drehung um die 0-Achse. Die Einführung von (172) und (172b) in (171c) ergibt oder Diese erweiterte Dispersionsgleichung bestimmt die Brechungsindizes und somit die Geschwindig- keiten der beiden den Magnetkraftlinien parallel fortgepflanzten zirkularpolarisierten Wellen. Der Elammerausdruck auf der rechten Seite verschwindet für die- jenigen Frequenzen v der Lichtschwingungen^ welche den durch das magnetische Feld abgeänderten Frequenzen der Eigen- schwingungen der Elektronen entsprechen (vgl. 60 b). Da wir indessen die Absorptionsglieder der Schwingungsgleichungen gestrichen haben, so müssen wir uns ein Eingehen auf die inner- halb des Absorptionsstreifens zu beobachtenden Fortpflanzungs- geschwindigkeiten versagen und uns auf solche Schwingungs- zahlen beschränken^ welche von denjenigen der Eigenschwingungen einigermaßen entfernt sind. Hier bedingt der Einfluß des magnetischen Feldes nur eine geringe Abänderung des Brechungs- index. Verstehen wir unter n die gemeinsame Geschwindigkeit der beiden Wellen vor Erregung des magnetischen Feldes^ welche bestimmt ist durch 282 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yor^nge in wägbaren Körpern. Ist die Dispersionsknrye gegeben^ so kann hieraus die magnetische Drehung und ihre Abhängigkeit von der Wellen- ^ge ermittelt werden. Daß die Formel in manchen Fallen zutrifft^ hat H. Becquerel^) gezeigt; auch aus der Theorie von W. Voigt*) ergibt sich die gleiche Formel, allerdings wird dort die multiplikative Eonstante nicht in Verbindung mit der spezifischen Ladung der Elektronen gebracht. Dieses hat L. H. Siertsema') nachgetragen und ftir verschiedene Körper den Wert der spezifischen Ladung der Elektronen aus der beobachteten magnetischen Drehung mit Hilfe jener Formel berechnet. Er findet z. B. für Wasserstoff den Wert (174 c) iy« 1,77.10^, welcher mit den aus der Ablenkbarkeit der Eathodenstrahlen und Becquerelstrahlen ermittelten Werten der spezifischen Ladung noch besser stimmt, ab der im vorigen Paragraphen aus der Dispersion des Wasserstoffes abgeleitete Wert. Für die anderen untersuchten Körper erhält allerdings Siertsema durchweg kleinere Werte von rj. § 31. MagnetlBienuig. Wie die Elektronentheorie die Beziehungen, welche zwischen der elektrischen Polarisation $P und der elektrischen Feld- stärke (S bestehen, durch geeignete Annahmen über die Eigen- schaften der Polarisationselektronen zu veranschaulichen sucht, so muß sie bestrebt sein, die zwischen der Magnetisierung SK und der magnetischen Feldstärke $ obwaltenden Beziehungen auf die Mitwirkung der Magnetisierungselektronen zurück- zuführen. Diese Magnetisierungselektronen sind nahe verwandt den Molekularströmen, durch welche Ampere und Weber die magnetischen Eigenschaften der Körper zu erklären suchten. Ob wirklich der Paramagnetismus und der Diamagnetismus 1) H. Becqnerel, C. R. 126, S. 679. 1897. 2) W. Voigt, Ann. d. Phys. 67, S. 351. 1899. 3) L. H. Siertsema, Akad. v. Wetensch. te Amsterdam 1902, S. 499. Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 281 in positiyein Sinne um die 0- Achse gedreht. Die sogenannte ,3otationskonstante'^ Ry welche durch (174) (D = BzH definiert ist, folgt ans (173 b): Da sich im vorigen Paragraphen der Differentialquotient des Brechungsindex n nach der Frequenz v außerhalb des Absorptionsstreifens stets positiv ergeben hat, und da 17 eine posi- tive den Betrag der spezifischen Ladung der negativen Elektronen anzeigende Eonstante ist, so findet die Drehung der Polarisations- ebene in positivem Sinne um die mit der magnetischen Feldrichtung zusammenfallende Fortpfianzungsrichtung des Lichtes statt. Es erfolgt also die Drehung der Polarisationsebene im Sinne der elektrischen Ströme, welche den Elektro- magneten erregen. Wird der Strom kommutiert, so daß die Richtung des magnetischen Feldes sich umkehrt, und nun der Fort- pfianzungsrichtung entgegen gerichtet ist, so kehrt sich auch der Drehsinn der Polarisationsebene um. Behalt hingegen das magnetische Feld seine Richtung im Räume bei, während die Strahlrichtung durch Refiexion umgekehrt wird, so geht die Drehung im Räume in demselben Sinne weiter. Die obige Regel über den Drehsinn der Polarisationsebene gilt natürlich nur dann, wenn die Voraussetzungen zutreffen, aus der wir sie abgeleitet haben, d. h. wenn die magnetische Drehung wirkUch auf die Schwingungen der negativen Elek- tronen allein zurückzuführen ist, und wenn Magnetisierungs- elektronen ausgeschlossen sind. Bei ferromagnetischen Körpern, z. B. bei Lösungen von Eisensalzen, gilt sie nicht immer. Ebensowenig dürfte sie zutreffen, wenn die ultraroten Eigen- schwingungen der positiven Elektronen für die Drehung wesentlich in Betracht kämen, was allerdings infolge ihrer geringen spezifischen Ladung kaum anzunehmen ist. Wir können (174 a) auch schreiben (174b) li — i-^Tx' 284 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Wesenheit von „ Leitungselektronen '^, d. h. von elektrischen Teilchen, welche unter der Einwirkung elektrischer Felder über größere Strecken hin wandern. Diese Elektronen können mit der Masse materieller Atome beladen sein, wie bei Elektro- lyten, oder sie können frei, d. h. nur mit der ihnen eigenen, elektromi^etischen Masse behaftet sein. Gerade in den besten Leitern, den Metallen, wird man freie Elektronen als Strom- trager anzunehmen haben. Wie wir bereits mehrfach erwähnt haben (I, S. 192 u. 206), sind von E. Biecke^) und insbesondere von P. Drude ^) Vorstellungen über die Bewegung der Elektronen im Metalle entwickelt worden, welche der kinetischen Theorie der Gase nachgebildet sind. Fehlen äußere elektrische Kräfte, so sollen die Elektronen sich regellos bewegen, ähnlich wie die Moleküle eines Gbses; die mittlere lebendige Kraft eines Elektrons soll gleich derjenigen sein, welche einem Gasmole- küle bei der gleichen Temperatur zukommt^ Wir bezeichnen mit a die mittlere lebendige Kraft eines Moleküles oder Elek- trons bei der absoluten Temperatur «d*»! (Boltzmann- Drudesche Konstante) und setzen Die Elektronen sollen Zickzackbahnen beschreiben; der Stoß, durch den die Bewegungsrichtung geändert wird, kann entweder zwischen den Elektronen selbst erfolgen, oder an den neutralen Molekülen, welche gewissermaßen das feste Ge- rüst des Metalles bilden. Welches wird nun der Einfluß eines elektrischen Feldes sein? Es wird die unregelmäßige Wärmebewegung der Elek- tronen ein wenig abgeändert werden, so daß im Mittel die- jenige Bewegungsrichtung überwiegt, nach der die Elektronen durch das Feld getrieben werden. Es sei H^ die mittlere Ge- schwindigkeit der betreffenden Elektronengruppe, \ die mittlere freie Weglänge; beim Durchlaufen der freien WegBnge \ wird 1) E. Riecke, Ann. d. Phys. 66, S. 353, 646 n. 1199. 1898. 2) P. Drude, Ann. d. Phys. 1, S. 566. 8, S. 369. 1900. Erstes Kapitel. Bähende Körper. 285 das elektrische Feld (& einem Elektron Ton der Geschwindig- keit H^ die zusätzliche Geschwindigkeit erteilen Der Mittelwert dieser Geschwindigkeit ist Die Multiplikation mit der Ladung e^ und der auf die Yolumeinheit bezogenen Zahl N^ ergibt als Anteil der Elektronen der betreffenden Gruppe zur Stromdichte: wenn man von den strengen, das Marwellsche Geschwindigkeits- verteilungsgesetz berücksichtigenden Meihoden der Mittelwerts- bildung absieht. Durch Summierung der Anteile der ver- schiedenen Gruppen folgt die Stromdichte Dieselbe ist der Feldsiärke proportional, d. h. es gilt das Ohmsche Gesetz, so lange als die zusätzliche, durch da» elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit der Elektronen klein gegen die mittlere Geschwindigkeit der Wärmebewegung ist; unter dieser der obigen Ableitung zugrunde liegenden Voraus- setzung erhält Drude für die Leitföhigkeit den konstanten Wert Die ein£Eichste Annahme wäre die, daß in den Metallen nur eine Sorte freier, und zwar negativer Elektronen den Strom transportiert. Doch fragt es sich, ob auf Grund dieser An- nahme die thermoelektrischen und sonstigen Eigenschaften der Metalle sich befriedigend erklären lassen. Für die Elektroneniheorie der metallischen Leitung spricht es, daß H. A. Lorentz imstande war (vgl. § 41), aus den so- eben dargelegten Vorstellungen über die Bewegung der Elek- 284 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Wesenheit von „Leitungselektronen", d. h. von elektrischen Teilchen^ welche unter der Einwirkung elektrischer Felder über größere Strecken hin wandern. Diese Elektronen können mit der Masse materieller Atome beladen sein, wie bei Elektro- lyten, oder sie können frei, d. h. nnr mit der ihnen eigenen, elektromagnetischen Masse behaftet sein. Gerade in den besten Leitern, den Metallen, wird man freie Elektronen als Strom- trager anzunehmen haben. Wie wir bereits mehrfach erwähnt haben (I, S. 192 u. 206), sind von E. Riecke^) und insbesondere von P. Drude ^ Vorstellungen über die Bewegung der Elektronen im Metalle entwickelt worden, welche der kinetischen Theorie der Gbse nachgebildet sind. Fehlen äußere elektrische Kräfte, so sollen die Elektronen sich regellos bewegen, ähnlich wie die Moleküle eines Gases; die mittlere lebendige Kraft eines Elektrons soll gleich derjenigen sein, welche einem Ghismole- küle bei der gleichen Temperatur zukommt^ Wir bezeichnen mit a die mittlere lebendige Kraft eines Moleküles oder Elek- trons bei der absoluten Temperatur «d*»! (Boltzmann- Drudesche Konstante) und setzen Die Elektronen sollen Zickzackbahnen beschreiben; der Stoß^ durch den die Bewegungsrichtung geändert wird, kann entweder zwischen den Elektronen selbst erfolgen, oder an den neutralen Molekülen, welche gewissermaßen das feste Ge- rüst des Metalles bilden. Welches wird nun der Einfluß eines elektrischen Feldes sein? Es wird die unregelmäßige Wärmebewegung der Elek- tronen ein wenig abgeändert werden, so daß im Mittel die- jenige Bewegungsrichtung überwiegt, nach der die Elektronen durch das Feld getrieben werden. Es sei H^ die mittlere Ge- schwindigkeit der betreffenden Elektronengruppe, l^ die mittlere freie Weglänge; beim Durchlaufen der freien Weglänge l^ wird 1) E. Riecke, Ann. d. Phys. 66, S. 363, 645 n. 1199. 1898. 2) P. Drude, Ann. d. Phys. 1, S. 666. 8, S. 369. 1900. Erstes Kapitel. Euhende Körper. 285 das elektrische Feld (& einem Elektron Ton der Geschwindig- keit Hj die zusätzliche Geschwindigkeit erteilen Der Mittelwert dieser Geschwindigkeit ist «1 h _t& «i^l^^i Die Multiplikation mit der Ladung e^ und der auf die y olumeinheit bezogenen Zahl N^ ergibt als Anteil der Elektronen der betreffenden Gruppe zur Stromdichte: wenn man Ton den strengen, das Marwellsche Geschwindigkeits- yerteilungsgesetz berücksichtigenden Methoden der Mittelwerts- bildung absieht. Durch Summierung der Anteile der Ter- schiedenen Gruppen folgt die Stromdichte ^-^•l^WNxh\K\ + e,*NA\^\-\----]- Dieselbe ist der Feldstärke proportional, d. h. es gilt das Ohmsche Gesetz, so lange als die zusätzliche, durch da» elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit der Elektronen klein gegen die mittlere Geschwindigkeit der Wärmebewegung ist^ unter dieser der obigen Ableitung zugrunde Uegenden Voraus- setzung erhält Drude für die Leitfähigkeit den konstanten Wert Die einfetchste Annahme wäre die, daß in den Metallen nur eine Sorte freier, und zwar negativer Elektronen den Strom transportiert. Doch fragt es sich, ob auf Grund dieser An- nahme die thermoelektrischen und sonstigen Eigenschaf ben der Metalle sich befriedigend erklären lassen. Für die Elektronentheorie der metaUischen Leitung spricht es, daß H. A. Lorentz imstande war (ygl. § 41), aus den so- eben dargelegten Vorstellungen über die Bewegung der Elek- 286 Zweiter Abechniit. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. tronen das Emissionsyennögen der Metalle für Wärmestrahlen großer Wellenlange herzuleiten. In Gbisen sind die Vorgänge, welche die elektrische Leitung begleiten, weit yerwickelter; als in Metallen. Die freie Weg- länge der Elektronen ist hier größer, so daß die durch das elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit keineswegs immer klein gegen diejenige der regeUosen Wärmebewegung ist. So erklären sich die Abweichungen yom Ohmschen Oesetze, welche bei Oasen oft in recht augenfälliger Weise hervortreten. Auch lagern sich den freien Elektronen neutrale Moleküle in wech- selnder Anzahl an, wie in § 1 erwähnt wurde. Dort haben wir die für die allgemeine Theorie der Elektrizität bedeutungs- Yollen Ergebnisse der neueren Untersuchungen über Gasionen bereits kennen gelernt. § 33. Das elektromagnetisohe Feld hochfrequenter Ströme in linearen Leitern« Wir hatten bereits in dem einleitenden Kapitel dieses Bandes (§ 8) allgemeine Sätze über die Fortpflanzung elektro- magnetischer Störungen kennen gelernt. Wir waren dabei aus- gegangen Yon den Feldgleichungen (I bis lY) der Elektronen- theorie, und hatten diese mit Hilfe der elektromagnetischen Potentiale, und noch übersichtlicher mit Hilfe des Hertzschen Vektors 8, gelöst. War die Dichte 1 = — des Konvektions- Stromes der Elektronen gegeben, so ließ sich auf Grund von (47, 48, 48 c, d) das elektromagnetische Feld der bewegten Elektronen ermitteln. In der Bezeichnungsweise, deren wir uns jetzt bedienen, werden die elektromagnetischen Vektoren der von den einzelnen Elektronen erregten Felder durch e, ]| Torgestellt. Aus den Feld- gleichungen (I bis IV) der Elektronentheorie haben wir in § 28 durch Mittelwertsbildung die Differentialgleichungen (la bis IVa) abgeleitet; dieselben yerknüpfen die Mittelwerte e, ]| mit den Mittelwerten der Dichten der Elektrizität und des EonTektions- stromes genau so, wie durch die ursprünglichen Gleichungen Erstes Kapitel. Buhende Körper. 287 (I bis lY) die Vektoren e und ]| mit den Dichten selbst yer- knüpft waren. Wir können also dasjenige^ was wir ans diesen Feldgleichnngen ableiteten, ohne weiteres auf die durch Mittel- wertsbildnng entstandenen Gleichungen (la bis lYa) über- tragen. Erinnern wir uns femer, daß wir durch (166) und (166 a) e mit (B, 1^ mit 8 identifiziert haben, so erhalten wir (180) »«curl^; l=-ct (180a) «-«^ = Fdiv8-^. Dabei ist Cq die beobachtbare Feldstärke des anfanglichen elektrostatischen Feldes. Es bestimmen sich die elektrische Feldstärke S und die magnetische Induktion 8 zu einer be- liebigen Zeit, wenn der Hertzsche Vektor bekannt ist. Dieser aber berechnet sich aus den (47) und (48) bzw. (51c) ent- sprechenden Beziehungen i t (180 b) q ^fid l - rp dt, 0 0 ' I Xdxl d(D (180c) 8 (ö, l) = / XdXj d(o ^(X,l- X), 0 Als Mittelwert der elektrischen Stromdichte in ruhenden Körpern ist dabei der in (165b) angegebene Ausdruck ein- zutn^n: (180d) p = i + ^ + c . curl a», der zusammei^esetzt ist aus den yon den Leitungselektronen, den Polarisationselektronen und den Magnetisierungselektronen herrührenden Stromanteilen. Von jedem Volumelemente des Baumes, in welchem das Zeitintegral (180 b) dieses Vektors yon Null yerschieden ist, wird ein Beitrag zum Hertzschen Vektor beigesteuert; derselbe eilt mit Lichtgeschwindigkeit nach dem Au^unkte hin, wobei sein Betrag sich in einem, dem zurück- gelegten Latenswege umgekehrt proportionalen Maße yerringert. 288 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yorgftnge in wägbaren Körpern. Es ist zweckmäßig, den Hertzschen Vektor in derselben Weise zu schreiben, in welcher durch (50b, 51b) die elektro- magnetischen Potentiale aasgedrückt wurden, nämlich: (180e) S-J^m}t-- r • Die Integration ist hier über die von Elektrizität durch- strömten Yolumelemente des ganzen Baumes auszudehnen. Es braucht kaum bemerkt zu werden, dafi die Beziehungen (180) bis (180e) sich auch aus den Hauptgleichungen (Ib bis IVb) der Mazwellschen Theorie hatten herleiten lassen, von deren Identität mit den Gleichungen (la bis IVa) wir uns ja in § 28 überzeugt haben. In der Tat sind die physikalischen Voraus- setzungen, auf denen die Entwickelungen dieses Paragraphen und des nächstfolgenden beruhen, diejenigen der Maxwell^chen Theorie. Die Hypothesen der Elektronentheorie kommen dabei nicht ins Spiel Wir waren bei der Darlegung der Theorie der elektrischen Schwingungen im ersten Bande dieses Werkes auf die Strahlung eines Stromsystemes nicht eingegang^i; wir hatten yersprochen, im zweiten Bande diese Lücke auszufallen. Die allgemeinen Sätze über die Ausbreitung elektromi^etischer Störungen, die uns in der Mechanik der Elektronen von so großem Nutzen waren, gestatten es uns, jenes Versprechen zu erfüllen und nunmehr jene für die drahtlose Telegraphie fundamentalen Fragen zu erledigen. Wir' denken uns ein System elektrischer Schwingungs- kreise; dasselbe sei von beliebigen, polarisierbaren und magneti- sierbaren Körpern umgeben. Es werde, etwa durch den elek- trischen Funken, plötzlich ein SchwingungSTorgang ausgelöst. Welches elektromagnetische Feld wird erregt? Die Gleichungen (180) bis (180e) bestimmen die Vektoren (B und 8 des gesuchten Feldes. Freilich bedürfen wir zur Berechnung yon q der Kenntnis nicht nur des Leitungs- stromes, sondern auch der Magnetisierung und des an der Materie haftenden Anteiles des Verschiebungsstromes. Meist werden wir die Stromverteilung in den Leiterkreisen und die Erstes Kapitel. Bähende Körper. 289 elektrische Polarisation und die Magnetisierang der umgebenden Isolatoren nicht von vornherein kennen; wir werden vielmehr meist diese selbst als Unbekannte anzusehen haben, die sich erst nachträglich ans der Kenntnis des Feldes ergeben. Unter diesen Umständen reichen jene Oleichnngen zur Lösung der gestellten Aufgabe nicht aus. Wir können indessen die Oleichungen (180) bis (180e) verwerten, wenn wir die Problemstellung passend spezialisieren. Wir wollen annehmen, daß die Schwingungskreise sich im leeren Räume befinden, oder, was praktisch auf dasselbe herauskommt, im Lufträume; alsdann fallen die von der Polari- sation und der Magnetisierung der Körper herrührenden Strom- anteile fort, es bleibt nur der Leitungsstrom übrig. Dieser soll nun in linearen Leitern fließen, d. h. in Drähten, deren Querschnittsabmessungen klein sind, sowohl gegen die Länge der Drahte, als auch gegen die Wellenlänge der in den Baum entsandten elektromagnetischen Wellen. Handelt es sich dann um die Bestimmung des elektromagnetischen Feldes in Auf- punkten, deren Entfernung von den Leitern groß gegen deren Querschnittsabmessungen ist, so kommt es auf die Verteilung des Stromes J über den Querschnitt des Leiters nicht an. Es kann, wenn dv das Volumen eines zylindrischen Leiterstückes und di ein Element seiner Leitlinie bezeichnet, gemäß (180b, d) gesetzt werden t t ^dv :=lidvdt = d§l Jdt 0 oder ^dv =^qdi] dabei ist (181) q -Je Jdt die seit Beginn des S^hwiu^ungsvorganges durch den be* treffenden Querschnitt hindurchgeströmte Elektrizitätsmenge. Es folgt aus (180e) Abraham, Theorie der Elektrlzitftt. II. 19 292 Zweiter Absclinitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Dabei ist Bq die anfängliche Ladung jener Eondensator- platte; die jeweilige und die anfangliche Ladung der ihr gegenüberstehenden Platte, in welcher die Leitung beginnt, sind — e bzw. — e^. Wir denken uns einen Au^unkt, dessen Entfernung von dem Schwingungskreise groß ist gegen die Abmessungen des Kreises. Die Entfernung braucht darum noch nicht groß gegen die Wellenlange zu sein. Die Entfernung r dieses Aufpunktes Ton den einzelnen Punkten der Drahtleitung ist merklich die gleiche; es kann daher in (181a) diese Ent- fernung Tor das Integralzeichen gesetzt werden. Dasselbe gilt von S (7 — ^); denn es sollen die Abmessungen des Kreises, und denmach die Differenzen der Latenswege, klein gegen die Wellenlänge sein, die Schwingungsphasen sind mithin für alle Punkte der Leitung zur Zeit des Entsendens merklich die gleichen. Wir erhalten (182a) 8 = i^ fdi. Die hier eingehende Yektorsumme aller Elemente des linearen Leiters kann, gemäß den allgemeinen Regeln der Yektoraddition, durch einen einzigen Vektor ersetzt werden, welcher direkt yon dem Anfangspunkt der Leitung zu ihrem Endpunkte führt. Verstehen wir unter p das Moment des Dipoles, welcher durch zwei in diesen Punkten befindliche Ladungen ± e ge- bildet wird, so können wir schreiben (182 b) Q^l^lzA^h, Das ursprüngliche elektrostatische Feld der Ladungen ± Sq wird gemäß Bd. I S. 63 61. (81) gegeben durch «0 ^9, 9 = -(»o,^a7) diy(^)- Es folgt denmach aus (181c, d) für das elektromi^etische Feld des Schwingungskreises Erstes Kapitel. Buhende Körper. 293 (182«) s_„ri»|lfcÜ}, (I82d) e_rdi,|lfcü)_^.jI3püj. Lassen wir endlich die £r-Achse mit der Achse des Dipoles zusammenfallen^ so erkennen wir, daß die erhaltenen Formeln durchaus identisch sind mit den Formeln (53; 53 a; b) des § 9. Dort wird der periodische Wechsel des elektrischen Momentes des Dipoles durch die Schwingungen eines Elektrons veranlaßt; hier durch den quasistationären Leitungsstrom in dem DrahtC; » welcher die Eondensatorplatten verbindet. In Entfernungen; die groß sind gegen die Abmessungen des SystemeS; kommt eS; wie wir sehen; nicht auf die Konfiguration des Systemes im einzelnen; sondern nur auf das resultierende Moment an. Wir können die Formeln (53 c, d); durch welche wir dort das Feld darstellten; ohne weiteres auf den vorliegenden Fall über- tragen. Zusammenfassend können wir sagen: Das elektro- magnetische Feld des quasistationären Stromes in einem linearen Leiter; welcher die Platten eines Luft- kondensators verbindet; läßt sich in Entfernungen; die groß gegen die Abmessungen des Leiters sind; er- setzen durch das Feld eines DipoleS; dessen Achse der vom Anfangspunkt der Leitung direkt zum End- punkt gezogene Fahrstrahl^ und dessen Ladungen die Ladungen ± e der Eondensatorplatten sind. Wir durften unsere Formeln nur auf einen Luftkondensator anwenden; weil wir bei der Berechnung des Hertzschen Vektors in (180 d) nur den Leitungsstrom berücksichtigt hatten; aber nicht die von der Polarisation und der Magnetisierung der umgebenden Körper herrührenden Stromanteile. Wie ändern sich die Ergebnisse unserer Betrachtungen; wenn man an Stelle des Luftkondensators einen Kondensator setzt; der mit einem dielektrischen Körper gefüUt ist? Dann ist der an der Materie haftende Bruchteil -^^- des Yerschiebungsstromes dem Leitungsstrome hinzuzufügen. Die elektrische Verschiebung 284 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. YorgSnge in wägbaren Körpern. Wesenheit von y^Leitongselektronen^^; d. L von elektrischen Teilchen, welche nnter der Einwirkung elektrischer Felder über größere Strecken hin wandern. Diese Elektronen können mit der Masse materieller Atome beladen sein, wie bei Elektro- lyten; oder sie können frei, d. h. nnr mit der ihnen eigenen^ elektromagnetischen Masse behaftet sein. Gerade in den besten Leitern, den Metallen, wird man freie Elektronen als Strom- trager anzunehmen haben. Wie wir bereits mehrfach erwähnt haben (I, S. 192 u. 206), sind yon E. Riecke^) und insbesondere Yon P. Drude ^ Vorstellungen über die Bewegung der Elektronen im Metalle entwickelt worden, welche der kinetischen Theorie der Oase nachgebildet sind. Fehlen äußere elektrische Kräfte, so sollen die Elektronen sich regellos bewegen, ähnlich wie die Moleküle eines Gktses; die mittlere lebendige Kraft eines Elektrons soll gleich derjenigen sein, welche einem Gktsmole- küle bei der gleichen Temperatur zukommt; Wir bezeichnen mit a die mittiere lebendige Kraft eines Moleküles oder Elek- trons bei der absoluten Temperatur %'^\ (Boltzmann- Drudesche Konstante) und setzen Die Elektronen sollen Zickzackbahnen beschreiben; der Stoß, durch den die Bewegungsrichtung geändert wird, kann entweder zwischen den Elektronen selbst erfolgen, oder an den neutralen Molekülen, welche gewissermaßen das feste Ge- rüst des Metalles bilden. Welches wird nun der Einfluß eines elektrischen Feldes sein? Es wird die unregelmäßige Wärmebewegung der Elek- tronen ein wenig abgeändert werden, so daß im Mittel die- jenige Bewegungsrichtung überwiegt, nach der die Elektronen durch das Feld getrieben werden. Es sei H^ die mittlere Ge- schwindigkeit der betreffenden Elektronengruppe, \ die mittlere freie Wegginge; beim Durchlaufen der freien Weglänge l^ wird 1) E. Biecke, Ann. d. Phys. 66, S. 353, 546 n. 1199. 1898. 2) P. Drude, Ann. d. Phys. 1, S. 666. 3, S. 369. 1900. Erstes Kapitel. Buhende Körper. 285 das elektrische Feld (S einem Elektron Ton der Geschwindig- keit Hj die znsätzliche Geschwindigkeit erteilen Der Mittelwert dieser Geschwindigkeit ist Die Multiplikation mit der Ladung e^ und der auf die Yolumeinheit bezogenen Zahl N^ ergibt als Anteil der Elektronen der betreffenden Gruppe zur Stromdichte: wenn man von den strengen, das Marwellsche Geschwindigkeits- verteilungsgesetz berücksichtigenden Methoden der Mittelwerts- bildung absieht. Durch Summierung der Anteile der ver- schiedenen Gruppen folgt die Stromdichte Dieselbe ist der Feldstarke proportional, d. h. es gilt das Ohmsche Gesetz, so lange als die zusätzliche, durch da» elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit der Elektronen klein gegen die mittlere Geschwindigkeit der Wärmebewegung ist; unter dieser der obigen Ableitung zugrunde Uegenden Voraus- setzung erhält Drude fOr die Leitfähigkeit den konstanten Wert Die einf&chste Annahme wäre die, daß in den Metallen nur eine Sorte freier, und zwar negativer Elektronen den Strom transportiert. Doch fragt es sich, ob auf Grund dieser An- nahme die thermoelektrischen und sonstigen Eigenschaften der Metalle sich befriedigend erklären lassen. Für die Elektronentheorie der metallischen Leitung spricht es, daß H. A. Lorentz imstande war (vgl. § 41), aus den so- eben dargelegten Vorstellungen über die Bewegung der Elek- 286 Zweiter Abschniit. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. tronen das Emissionsvennögen der Metalle fär Wärmestrahlen großer Wellenlänge herzuleiten« In Oasen sind die Vorgänge^ welche die elektrische Leitung begleiten, weit verwickelter, als in Metallen. Die freie Weg- lange der Elektronen ist hier größer, so daß die durch das elektrische Feld erteilte Geschwindigkeit keineswegs immer klein gegen diejenige der regellosen Wärmebewegnng ist. So erklaren sich die Abweichungen yom Ohmschen Gesetze, welche bei GtBsen oft in recht augenfälliger Weise hervortreten. Auch lagern sich den freien Elektronen neutrale Moleküle in wech- selnder Anzahl an, wie in § 1 erwähnt wurde. Dort haben wir die für die allgemeine Theorie der Elektrizität bedeutungs- vollen Ergebnisse der neueren Untersuchungen über Ghisionen bereits kennen gelernt. § 33. Das elektromagnetisohe Feld hochfrequenter Ströme in linearen Leitern« Wir hatten bereits in dem einleitenden Kapitel dieses Bandes (§ 8) allgemeine Sätze über die Fortpflanzung elektro- magnetischer Störungen kennen gelernt Wir waren dabei aus- gegangen von den Feldgleichungen (I bis lY) der Elektronen- theorie, und hatten diese mit Hilfe der elektromagnetischen Potentiale, und noch übersichtlicher mit Hilfe des Hertzschen Vektors 8, gelöst. War die Dichte 1 = — des Eonvektions- Stromes der Elektronen gegeben, so ließ sich auf Grund von (47, 48, 48 c, d) das elektromagnetische Feld der bewegten Elektronen ermitteln. In der Bezeichnungsweise, deren wir uns jetzt bedienen, werden die elektromagnetischen Vektoren der von den einzelnen Elektronen erregten Felder durch e, ]| vorgestellt. Aus den Feld- gleichungen (I bis IV) der Elektronentheorie haben wir in § 28 durch Mittelwertsbildung die Differentialgleichungen (la bis IVa) abgeleitet; dieselben verknüpfen die Mittelwerte e, ]| mit den Mittelwerten der Dichten der Elektrizität und des Eonvektions- stromes genau so, wie durch die ursprünglichen Gleichungen Erstes Kapitel. Buhende Körper. 287 (I bis TV) die Vektoren e und ]| mit den Dichten selbst ver- knüpft waren. Wir können also dasjenige^ was wir aus diesen Feldgleichungen ableiteten^ ahne weiteres auf die durch Mittel- wertsbildung entstandenen Oleichungen (la bis lYa) über- tragen. Erinnern wir uns femer, daß wir durch (166) und (166 a) e mit (B, 1^ mit 8 identifiziert haben, so erhalten wir (180) »«curl||; l=-cl (180a) « - «^ = F div 8 - ^. Dabei ist &q die beobachtbare Feldstärke des anzüglichen elektrostatischen Feldes. Es bestimmen sich die elektrische Feldstarke S und die magnetische Induktion 8 zu einer be- liebigen Zeit; wenn der Hertzsche Vektor bekannt ist. Dieser aber berechnet sich aus den (47) und (48) bzw. (51c) ent- sprechenden Beziehungen i t (180b) q ==fidl ^föidt, 0 0 'Sxdkjü (180c) 8 (ö, T) = / XdkJ d(o q (A, ? - X), 0 Als Mittelwert der elektrischen Stromdichte in ruhenden Körpern ist dabei der in (165b) angegebene Ausdruck ein- zutragen: (180d) p = i -f ^-f c. curl a», der zusammengesetzt ist aus den von den Leitungselektronen, den Polarisationselektronen und den Magnetisierungselektronen herrührenden Stromanteilen. Von jedem Volumelemente des BaumeS; in welchem das Zeitintegral (180 b) dieses Vektors von Null yerschieden ist, wird ein Beitrag zum Hertzschen Vektor beigesteuert; derselbe eilt mit Lichtgeschwindigkeit nach dem Aufpunkte hin, wobei sein Betrag sich in einem, dem zurück- gelegten Latenswege umgekehrt proportionalen Maße verringert. 288 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Es ist zweckmäßig/ den Hertzschen Vektor in derselben Weise zu scbreiben, in welcher durch (50 b^ 51b) die elektro- nn^etischen Potentiale ausgedrückt wurden, nämlich: (180e) S^J'^Iq},^^- Die Integration ist hier über die Ton Elektrizität durch- strömten Yolumelemente des ganzen Baumes auszudehnen. Es braucht kaum bemerkt zu werden, daß die Beziehungen (180) bis (180e)sich auch aus den Hauptgleichungen (Ib bis lYb) der Mazwellschen Theorie hätten herleiten lassen, Ton deren Identität mit den Gleichungen (la bis lYa) wir uns ja in § 28 überzeugt haben. In der Tat sind die physikalischen Voraus- setzungen, auf denen die Entwickelungen dieses Paragraphen und des nächstfolgenden beruhen^ diejenigen der Maxwell^chen Theorie. Die Hypothesen der Elektronentheorie kommen dabei nicht ins Spiel. Wir waren bei der Darlegung der Theorie der elektrischen Schwingungen im ersten Bande dieses Werkes auf die Strahlung eines Stromsystemes nicht eingegangen; wir hatten yersprochen, im zweiten Bande diese Lücke auszufüllen. Die allgemeinen Sätze über die Ausbreitung elektromi^etischer Störungen, die uns in der Mechanik der Elektronen von so großem Nutzen waren, gestatten es uns, jenes Versprechen zu erfüllen imd nunmehr jene für die drahtlose Telegraphie fandamentalen Fragen zu erledigen. Wir' denken uns ein System elektrischer Schwingungs- kreise; dasselbe sei von beliebigen, polarisierbaren und magneti- sierbaren Körpern umgeben. Es werde, etwa durch den elek- trischen Funken, plötzlich ein SchwingnngSTorgang ausgelöst. Welches elektromagnetische Feld wird erregt? Die Gleichungen (180) bis (180e) bestimmen die Vektoren ($ und 8 des gesuchten Feldes. Freilich bedürfen wir zur Berechnung von q der Kenntnis nicht nur des Leitungs- stromes, sondern auch der Magnetisierung und des an der Materie haftenden Anteiles des Verschiebungsstromes. Meist werden wir die Stromverteilung in den Leiterkreisen und die Erstes Kapitel. Bähende Körper. 289 elektrische Polarisation nnd die Magnetisierang der umgebendeii Isolatoren nicht von Tomherein kennen; wir werden yielmehr meist diese selbst als Unbekannte anzusehen haben^ die sich erst nachtraglich ans der Kenntnis des Feldes ergeben. Unter diesen Umstanden reichen jene Gleichungen zur Lösung der gestellten Aufgabe nicht aus. Wir können indessen die Gleichungen (180) bis (180e) verwerten^ wenn wir die Problemstellung passend spezialisieren. Wir wollen annehmen , 4aß die Schwingungskreise sich im leeren Baume befinden, oder, was praktisch auf dasselbe herauskommt; im Lufträume; alsdann fallen die Ton der Polari- sation und der Magnetisierung der Körper herrührenden Strom- anteile fort; es bleibt nur der Leitungsstrom übrig. Dieser soll nun in linearen Leitern fließen, d. h. in Drähten, deren Querschnittsabmessungen klein sind, sowohl gegen die Länge der Drahte, als auch gegen die Wellenlänge der in den Baum entsandten elektromagnetischen Wellen. Handelt es sich dann um die Bestimmung des elektromagnetischen Feldes in Auf- punkten, deren Entfernung yon den Leitern groß gegen deren Querschnittsabmessungen ist, so kommt es auf die Verteilung des Stromes J über den Querschnitt des Leiters nicht an. Es kann, wenn dv das Volumen eines zylindrischen Leiterstückes und (2S ein Element seiner Leitlinie bezeichnet, gemäß (180 b, d) gesetzt werden t t ^dv =jidvdt =^di I Jdt 0 0 oder qdt; ==^qdi] dabei ist (181) q ^Jjdt die seit Beginn des S^hwingungsvorganges durch den be- treffenden Querschnitt hindurchgeströmte Elektrizitätsmenge. Es folgt aus (180 e) Abraham, Theorie der Elektrlzitftt. IL 19 300 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Demnach erhalten wir als Wert der Hertzschen Funk- tion des Sendedrahtes in der Wellenzone: (vi vrA (nn \ COB I ^ ) ^ ^ cos ( -— • w I (185b) 8, a.-, s^^Vl")-- l-u« I Dieser Ansdruck entspricht der Hertzschen Funktion eines der jgr- Achse parallelen Dipoles (vgl. 53), doch ist fär die rer- schiedenen, durch t« bestimmten Richtungen ein yerschiedenes Moment des Dipoles in Rechnung zu setzen. Das ist das Ergebnis der Superposition der yon den Stromelementen des Drahtes herrührenden Wirkungen, welche in yerschiedenen Phasen im Aufpunkte eintreffen. Bei der Berechnung der Feldstärken aus (184b, c) braucht nur das Argument des von l und r^ abhangigen Kosinus differenziert zu werden, da in großen Entfernungen die übrigen durch Differentiation nach den Koordinaten entstehenden Tenne fortfallen. Man erhalt eine Orientierung der Vektoren <$ und % in der Wellenzone, welche ganz derjenigen des Dipoles entspricht. Konstruiert man auf der KugeLQäche, welche die Lage der Welle angibt, das System der Langen- und Breiten- kreise, indem man die Schnittpunkte der yerlängerten Draht- achse mit der Kugel als Pole wählt, so findet man den elek- trischen Vektor überall den Meridianen, den magnetischen den Breitenkreisen parallel weisend. Die Beträge der beiden Vek- toren sind cos \vt ^) cos (-— • u\ (185c) |«H|fH?iL._^ --^=4' über die Verteilung der Feldstärken längs der Meridiane ist folgendes auszusagen: Ihren maximalen Betrag haben die Feldstärken am Äquator der Kugel (wo, gemäß 185, te = 0, -Ö-Q = Y ^^^' ^^^ ^^® Grundschwingung (n =» 1) nehmen sie allmählich nach den Polen hin ab, um dort zu yerschwinden. Die Oberschwingungen hin- gegen haben die durch Erstes Kapitel. Bullende Körper. 301 (185d) w = ± — (m ^n eine ungerade ganze Zahl) gegebenen Breitenkreise als Enotenlinien. Hier zer- stören sich durch Interferenz die von den einzelnen Strom- elementen des Sendedrahtes ausgehenden Wellen. Es fallt auf^ daß die Amplitude (185 c) der Ton den Eigen- schwingungen des Sendedrahtes erregten Wellen die Länge des Drahtes nicht enthalt. Man könnte zunächst versucht sein, dieses Ergebnis für irrig zu halten ^ da ja die Amplitude der entsandten Wellen der Länge des stromführenden Drahtes pro- portional sein muß; dabei würde man aber übersehen, daß mit der Länge des Drahtes auch die WeUenlänge gesteigert wird. Da die Amplitude der entsandten Wellen nicht der Stromstärke selbst, sondern deren zeitlicher Änderung proportional ist, so kompensiert die Abnahme der Femwirkung infolge der Verringerung der Frequenz die Zunahme infolge der Vergrößerung der wirk- samen Drahtlänge. Von der Antennenlänge ist die Fern- wirkung unabhängig. Es ist, wenn man möglichst intensive Wellen zu erregen wünscht, die maximale Strömamplitude a im Sendedrahte möglichst zu steigern. Für eine gegebene Antenne geht nun- zwar die Stromamplitude der Spannungsamplitude parallel Doch kann man, wenn die Spannungsamplitude vorgeschrieben ist, die Stromamplitude steigern, indem man Antennen von möglichst großer Kapazität pro Längeneinheit (d.h. mögUchst dicke Drähte) wählt; auf demselben .Prinzip beruht die Steigerung der Femwirkung, die man in der drahtlosen Telegraphie durch Eäfigantennen erzielt Durch Vergrößerung der Antennenlänge aber werden die Wellenamplituden nicht vergrößert. Wir schreiten zur Berechnung der pro Sekunde entsandten öesamtstrahlung. Aus dem Poyntingschen Satze folgt Die Mittelwertsbildung über eine Reihe von Schwingungen und die Integration über die ganze Eugel vom Radius r^ er- gibt als Energieverlust durch Strahlung 302 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. + 1 dW -1 fäu cos' (^yi-u')- dt — 1 + 1 rc/HiT^ + 1^)(^ + ^^' ^**^) — 1 a^ I du ,^ . X 2iJ TT^O- + coB nn^i). — 1 Da n eine ungerade ganze Zahl ist^ können wir schreiben wo abkürznngsweise gesetzt ist (186a) Gn =/ iq~ (l - cos äw(1 + w)) ^ f^O- - cos a?). — 1 0 Es handelt sich noch um die Berechnung dieses trans- zendenten Integrales. Wir zerlegen dasselbe in Tier Integrale: n f dx f dx . / , f 1 coBÄl ^_ f dxcoBX ^""^J 1+^ J x{l + x)'^J ^^\x{l + x) i"J "^Z S~ 0 S^n 0 8^n und berechnen jedes derselben. Die Summe der beiden ersten ist %nn 0 2^n Für das dritte Integral schreiben wir 00 oo (186c) y^{i^-co8»)=y^(e-«-co8a;) 0 0 00 -/f(«— ifj 0 Erstes Kapitel. Bnhende EOrper. 30$ Nun folgt ans OO 00 / — (e-*— cosrrW j dx j dy[e — '^^-^y^^ cosicc-*^} 0 0 0 durch Vertanschung der Integrationsfolge 00 0 0 wenn die bekannte FormeP) berücksichtigt wird. 00 0 dajc~**'cos X Es ergibt sich demnach 00 0 Der zweite Bestandteil von (186 c) aber ^t sich auf Grund einer von Dirichlet herrührenden PormeP) OO (186e) -ßi{e-'- rTi)= " T^ = 0^77216 . . . 0 mit der F- Funktion und mit der sogenannten Eulerschen Eon- stanten in Verbindung bringen. Der vierte Term im Ausdruck von Cn endlich laßt sick durch partielle Integration auf die Form einer halbkonvergenten Beihe bringen 00 (186f) Je , cos rc __ 1 8! , 6! X (2«n)* (2jr«)* ' (2nn 1) Vgl. z. B. Bdemann -Weber, Partielle Differentialgleicliimgeii. I § 19. Gl. 2. S. 48. 2) G.L. Dirichlet, Journal f. reine n. angew. Mathem. 16, S. 260. 1886. 304 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. In dieser Reihe ist der Best stets kleiner als das letzte beibehaltene Glieds sie ist demnach , wenn man möglichst genan zu rechnen wünscht; mit dem kleinsten Gliede abzubrechen. Ans (186 b, c, d, e, f) folgt jetzt (187) a= ln(2nn)+ 0,577 + ^. - ^, +... Durch (186) und (187) bestimmt sich die mittlere sekundliche Gesamtstrahlung der Eigenschwingungen des Drahtes. Dieselbe wächst bei gegebener maximaler Stromamplitude mit der Ordnungszahl der Schwingung; je großer die Ordnungszahl, desto rascher konvergiert die Reihe (187). Für die Grundschwingung findet, man den numerischen Wert (187a) g.C,- 1,224 der mittleren sekundlichen Gesamtstrahlung. Die maximale Stromamplitude a ist dabei elektrostatisch zu messen. Die hier gegebene Berechnung der Strahlung eines Wellen- erregers beruht auf der Annahme^ daß die aus der Theorie der stehenden Drahtwellen gelaufigen Vorstellungen sich ohne weiteres auf den Erreger übertragen lassen. Es kann be- zweifelt werden^ ob diese Übertragung von yomherein be- rechtigt ist. In der Tat^ die Frage nach dem zeitlichen Ver- laufe der Eigenschwingungen eines Hertzschen Erregers war yiele Jahre hindurch eine strittige. Während H. Hertz und V. Bjerknes die Vorstellung vertraten^ daß der Erreger nur eine einzige hauptsächlich durch Strahlung gedämpfte Schwingung aussende^ schlössen sich andere Forscher einer von Sarasin und de la Rive aufgestellten Hypothese an^ indem sie die Strahlung des Hertzschen Erregers als ein kontinuierliches Spektrum ungedämpfter Schwingungen ansahen. In Anbetracht dieser Sachlage meinte ich, als ich die Behandlung des Problemes in Angriff nahm^); auf die Analogie der Drahtwellen 1) M. Abraham , Die elektrischen Schwingungen um einen . stab- förmigen Leiter. Ann. d. Phjs. (8) 66, S. 436. 1898. Erstes Kapitel. Buhende Körper. 305 nicht bauen zu dürfen. Ich zog es vor, auf die Maxwellschen Gleichungen zurückzageheU; und durch Integration derselben gleichzeitig das Feld und die Perioden und Dämpfnngs- dekremente der Eigenschwingungen zu ermitteln. Das gelang fOr einen stabformigen Leiter, d. h. für ein sehr gestrecktes Rotationsellipsoid. Es ergab sich die theoretische Möglichkeit einer unendlichen Beihe gedämpfter Eigenschwingungen; ihre Wellenlangen fanden sich in erster Annäherung in Überein- stimmung mit der oben dargelegten elementaren Theorie (Glei- chung 183 d), während die durch Strahlung bedingten logarith- mischen Dekremente der Amplituden durch die Formel dargestellt wurden (187b) *""^^^^' dabei ist h der Radius des äquatorialen LeiterquerschnitteS; Cn die durch (186a) definierte imd in (187) ausgewertete Kon- stante; man 'bemerkt; daß mit wachsender Ordnungszahl die Amplitudenabnahme während einer Schwingung geringer wird. Jede einzelne der Eigenschwingungen ist gekennzeichnet durch die Knotenflächen des magnetischen Feldes. Dieses sind konfokale Rotationshyperboloide^ deren Brennpunkte in den Enden des Leiters liegen; dieselben schneiden den Leiter in den Stromknoten (für ungerades n werden diese durch [183 b] bestimmt); während ihre Asymptotenkegel die Richtungen an- geben; in denen die Strahlung verschwindet (185d für un- gerades n). Für alle geradzahligen Eigenschwingungen ist die Äquatorebene eine Knotenebene des magnetischen Feldes; für sie ist die Mitte des Leiters ein Stromknoten und Spannungs- bauch; hingegen ist für die oben behandelten ungeradzahligen Eigenschwingungen der äquatoriale Querschnitt ein Strombauch und ein Spannungsknoten. Die theoretischen Gesetze derKnotenflächen und Bauchflächen des magnetischen Feldes wurden durch die sorgfältigen experi- mentellen Untersuchungen von F. Eaebitz^) bestätigt (fürn===3). 1) F. Kiebitz, Ann. d. Phys. (4) 6, S. 872. 1901. Abraham, Theorie der Elektrizität. IL 20 306 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Derselbe steUte das Vorhandensein der ungeiadzahUgen Ober- schwingnngen bis n » 17 fest, es fehlten hingegen die gerad- zahligen Eigenschwingungen des Sendedrahtes; entsprechend der angewandten Erregongsweise (Fnnkenstrecke in der Mitte), bei welcher im Anfange die Spannung in zwei symmetrisch liegenden Punkten des Erregers entgegengesetzt gleich ist, bildeten sich nur diejenigen Eigenschwingungen aus, welche in der Mitte des Drahtes einen Spannungsknoten besitzen. Wir müssen uns hier ein genaueres Eingehen auf die strenge Theorie des stabformigen Senders versagen, und uns mit einem Hinweise auf die Originalarbeit und auf die von F. Hack^) gegebene zeichnerische Darstellung der elektrischen Kraftlinien der Eigenschwingungen und ihrer Bewegung begnügen. Die obige mehr elementare Abteilung der Strahlung eines Sende- drahtes habe ich später*) veröffentlicht, als diese Dinge fiir die drahtlose Telegraphie von aktueller Bedeutung wurden. Bei der ursprünglichen Marconischen Senderanordnung wird der eine Pol einer Funkenstrecke mit der Antenne, der andere mit der Erde verbunden. Man hat es also hier nicht mit einem frei im Räume schwingenden Draht zu tun, es ist viel- mehr die Erde in Betracht zu ziehen. Das kann aber in sehr einfacher Weise geschehen, wenn man mit Rücksicht auf die Wahrnehmung, daß die Wellen nicht merklich in die Erde eindringen, die Erde als gut leitend betrachtet, oder optisch gesprochen, als spiegelnd. Die an der Oberfläche eines voll- kommenen Leiters geltende Orenzbedingung, daß die elek- trischen Kraftlinien senkrecht stehen, wird, wie die Theorie ergibt, von allen ungeradzahligen Eigenschwingimgen des freien Sendedrahtes an der Äquatorebene erfüllt. Spiegelt man die von der Erde senkrecht bis zur Höhe h aufsteigende Sende- antenne an der ebenen Erdoberfläche und zieht die ungerad- zahligen Eigenschwingungen des entstandenen geraden Drahtes von der Länge 2h m Betracht, so erhält man ein elektro- 1) F. Hack, Ann. d. Phys. (4) 14, S. 589. 1904. 2) M. Abraham, Physik. Zeitschrift 2, S. 329. 1901. Erstes Kapitel. Bnhende Körper. 307 xnagnetischea Feld, welches an der Erdoberfläche der gestellten Grenzbedingung Genüge leistet; dasselbe ist oberhalb der Erd- oberfläche mit demjenigen der wirklichen Sendeantenne identisch. Für die drahtlose Telegraphie kommt nnn hauptsächlich die Grundschwingung in Beträcht. Aus unserem Spiegelungs- yerfahren und aus Gleichung (183c) können wir schließen: Die Wellenlänge der Grundschwingung einer Sende^ «intenne ist gleich ihrer vierfachen Höhe. Die Höhe ist dabei von der Erde an zu rechnen, entsprechend dem üm^ stände, daß die Spannung des untersten, der Erdoberfläche zugehörigen Punktes der Leitung gleich Null ist. Das Dämpfungsdekrement der Grundschwingung ist nach (187a, b) '»(") "Q Diese Formel bezieht sich allerdings zunächst auf eine Antenne, deren Querschnitt nach der Spitze hin allmählich abnimmt. Immerhin wird man sie auch auf zylindrische Drähte anwenden können, wie es ja überhaupt auf den genauen Zahlwert des als Argument des Logarithmus auftretenden Quotienten kaum ankommt. Man erhält z. B. für b » 0,1 cm, ui^d für A = 25 Meter, A^ = 100 Meter : ^^ = 0,23, für Ä = 250 Meter, X^ = 1000 Meter : 6^ = 0,19. Meist wird man, bei der Verwendung eines ein- zelnen Sendedrahtes, mit dem Werte (^^=»0,2 des Strahlungsdekrementes rechnen können. Ihm entspricht ein Herabsinken der Wellenamplituden auf den e*®^ Teil nach fünf ganzen Schwingungen. Dieser immerhin beträchtliche Wert der Dämpfung stimmt mit der allgemeinen Erfahrung überein, wonach die Resonanzkurve (vgl. I, § 67) einer solchen einfachen Antenne eine ziemlich flache, der Bereich des An- sprechens mithin ein ziemlich weiter ist. Die Bedingungen für eine abgestimmte Telegraphie sind bei dieser einfachsten 20* 308 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Anordnung recht ungünstige. Übrigens kommt neben der Dämpfdng dnrch Strahlung diejenige durch Joulesche Wärme in Fn^e; ihr Betn^ ist allerdings yerMItnismäBig gering; die Wärmeentwickelong in der metallischen Leitung ist gegen die Ausstrahlung ganz zu vemachlassigen; höchstens könnte die in der Funkenstrecke entwickelte Wärme in Bechnxuig zu ziehen sein. Bei den neueren Braun- Slabyschen Senderanordnungen hat man es meistens mit zwei Leitungen zu tun. In der ersten nahezu geschlossenen Leitung befinden sich Kondensatoren^ in denen die Energie aufgespeichert ist. Mit ihm induktiv verkoppelt^ oder an ihn direkt angeschlossen ist die Sendeantenne^ welche die Wellen in den Baum hinaus sendet. Die Literatur über diese Anordnungen ist eine sehr umfangreiche. Viele der Autoren jedoch begnügen sich entweder damit^ den Strom in der Antenne als quasistationär zu behandeln^ indem sie die in Bd. I, § 68 dargelegten, zunächst auf den Tesla-Transformator bezüglichen Entwickelungen ohne weiteres auf den vorliegenden Fall über- tragen^ andere wiederum beschränken sich darauf, die Verteilung von Strom und Spannung längs der Antenne zu bestimmen, ohne von den entsandten Wellen zu reden. Gerade auf die ent- sandten Wellen aber kommt es bei der drahtlosen Telegraphie an, und auch ihre Bückwirkung auf die Senderschwingungen darf nicht außer acht gelassen werden. Daß man unter Berück- sichtigung dieser Umstände das direkt gekoppelte Gebersystem approximativ behandeln kann, habe ich kürzlich gezeigt.^) Es ei^eben sich, auch wenn die beiden Leitungen vor der Koppe- lung in Besonanz waren, zwei verschiedene Grundschwingungen des gekoppelten Systemes; diese geben zu Schwebungen Anlaß (vgl. I, § 68), in deren Verlaufe die Energie vom Primärkreis der Antenne zugeführt und so zur Ausstrahlung gebracht wird« Auch wexm man es mit mehreren parallelen Sendedrahten zu tun hat, kann man aus der Stromverteilung auf Ghrund der Entwickelungen der beiden letzten Paragraphen unschwer die 1) M. Abraham, Phys. Zeitschrift (6), S. 174. 1904. Erstes Kapitel. Bnlieiide Körper. 309 entsandten Wellen ermitteln. Sind die Abstände der Diuhte von der Ordnung der Wellenlänge^ so werden sich Interferenzen der entsandten Wellen ergeben. Sind hingegen die Absi&ide der Drahte klein gegen die Wellenlänge^ so werden sich die entsandten Wellen in allen Aufpunkten verstärken^ wenn die Ströme in den Diuhten alle in der gleichen Phase schwingen^ z. B. bei den Eäfigantennen der drahtlosen Telegraphie; sie werden sich durch Interferenz aufheben^ wenn sie in entgegen- gesetzten Phasen schwingen. Ein Beispiel der letzteren Art haben wir in Bd. I; § 76 kennen gelernt: eine Leitung von endlicher Länge^ die aus zwei parallelen^ jeweils in gegenüber- liegenden Querschnitten von entgegengesetzt gleichen Strömen durchflossenen DnLhten besteht; man sieht jetzt ohne weiteres die Richtigkeit der dort aufgestellten Behauptung eiu; daß ein solches System nicht strahlt. Man verwendet bei Laboratoriums- versuchen mit elektrischen Wellen gerade darum parallele Drähte zur Fortleitung, weil diese die Energie in ihrer un- mittelbaren Umgebung halten^ und sie nicht zur Ausstrahlung gelangen lassen. Wir haben im ersten Bande dieses Werkes (§ 73) die Fortpflanzung elektrischer Wellen längs einer unendlichen Lei- tung unter gewissen vereinfachenden Voraussetzungen behandelt. Wir haben die Leiter als vollkommene angesehen und gefunden, daß in diesem Falle die Geschwindigkeit, mit welcher die Wellen längs der Leitung forteilen, der Geschwindigkeit der elektromagnetischen Störungen in dem betreffenden Isolator gleich ist. Wir haben betont, daß Wellen, die längs eines Einzeldrahtes sich fortpflanzen, nicht in den Gültigkeitsbereich der dort angewandten Methode fallen. Diese Lücke füllt die Arbeit von A. Sommerfeld^) in willkommener Weise aus; die- selbe behandelt die Fortpflanzung längs eines Einzeldrahtes vom Standpunkte der Mazwellschen Theorie aus; sie zeigt, daß bei Berücksichtigung der endlichen Leitfähigkeit des Drahtes die erwähnten Schwierigkeiten fortfallen, ohne daß in prak- 1) A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. (3) 67, S. 288. 1899. 310 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. tischen Fallen der Wert der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen sich merklich änderte. An diese üntersnchung schließt sich diejenige Ton G. Mie^) an^ welche Wellen behandelt^ die an zwei parallelen DiUhten von endlicher Leitföhigkeit fort- schreiten. Wie Kapazität und Selbstinduktion der Leitung in diesen Fällen zu definieren sind; hat der Verfasser dieses Werkes dargelegt.«) Leider müsBen wir uns hier mit einem kurzen Hinweis auf diese Probleme begnügen ^ der den Leser zum Studium der Originalabhandlungen anregen mag. Zweites Kapitel. Bewegte Korper, § 36. Die erste Hauptgleichnng. Wir haben im vorigen Kapitel (§ 28) die Hauptgleichungen der Elektrodynamik ruhender Körper aus der Elektronentheorie abgeleitet; wir sind dabei ausgegangen von den Gleichungen (la bis IVa), welche sich durch Mittelwertsbildung über die Felder der einzelnen Elektronen ergeben hatten. Die auftretenden Mittelwerte ^, e haben wir mit der magnetischen Liduktion 8 und der elektrischen Feldstärke @ identifiziert (Ol. 166^ 166 a) und die Vektoren ® und § durch (166b, c) definiert. Für ruhende Körper ergaben sich die Gleichungen (Ib bis IVb) der Maxwellschen Theorie. Dabei ist der ersten Hauptgleichung (Ib) die dritte (Hlb) zuzuordnen, die aufs engste mit ihr verknüpft ist; bildet man nämlich die Divergenz von Ib, und differenziert nib nach der Zeit, so gelangt man zur Kontinuitätsbedingung der wahren (an den Leitungselektronen haftenden) Elektrizität. Anderseits ist die zweite Hauptgleichung (Hb) mit der vierten (IVb) verknüpft; IVb spricht das Verschwinden der Dichte des wahren Magnetismus aus, deren zeitliche Änderung nach Hb ohnedies verschwinden muß. 1) G. Mie, Ann. d. Phys. (4) 2, S. 201. 1900. 2) M. Abraham, Ann. d. Phys. (4) 6, S. 217. 1901. Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 311 Wir wollen nun für den allgemeinen Fall eines be- wegten Körpers in diesem Paragraplien die erste Haupt- gleichung und im nächsten Paragraphen die zweite aus den Grundhypothesen der Elektronentheorie ableiten. Dabei bilden wiederum die Differentialgleichungen (la bis IVa) den Ausgangs- punkt. Unter H ist aber jetzt nicht die Geschwindigkeit der Elektronen relativ zur Materie zu verstehen, sondern die abso- lute Geschwindigkeit der Elektronen im Räume, d. h. die Ge- schwindigkeit in dem universellen Bezugssystem (§ 4), in welchem die Isotropie der Lichtfortpflanzung statthat. Ob und wie dieses Bezugssystem empirisch festzulegen ist, mag hier nicht erörtert werden. Seine Existenz wird schon durch die Mazwellschen Gleichungen gefordert^ welche in dem von Materie und Elektrizität leeren Räume (im Äther) gelten. Nach den Grundvorstellungen der Lorentzschen Theorie sind es Zustände des Raumes, welche durch die elektromagnetischen Vektoren @ und 8 beschrieben werden. In der Hertzschen Elektrodynamik bewegter Körper dagegen sind es stets die elektromagnetischen Zustände der Materie, welche durch die elektromagnetischen Vektoren gekennzeichnet werden. Hierin liegt der prinzipielle Gegensatz der Hertzschen und der Lorentzschen Theorie; wie wir bereits im ersten Bande dieses Werkes andeuteten, befindet sich gerade in der Elektrodynamik bewegter Körper die Lorentzsche Theorie in besserer Übereinstimmung mit der Er- fahrung, als die Hertzsche. Im folgenden wird das ausführ- licher zu zeigen sein. Wir bezeichnen mit m die Geschwindigkeit der Materie, mit li' die Relativgeschwindigkeit der Elektronen gegen die Materie. Es wird dann die absolute Geschwindigkeit der Elektronen n = m + n'. Diese ist es, welche in der ersten Hauptgleichung auftritt. Die Form (la) der ersten Hauptgleichung enthält Größen, die durch Mittelwertsbildung über, einen physikalisch unendlich kleinen Bereich entstanden sind. Die Moleküle, welche in diesem Bereiche enthalten sind, können ganz verschiedene Ge- 312 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. schwindigkeiten besitzen; unter tu jedoch ist die sichtbare Ge- schwindigkeit der Materie^ d. h. der Mittelwert der Molektdar- geschwindigkeiten für einen physikalisch unendlich kleinen Be- reich ^ zu verstehen. Es wird demnach der Mittelwert des Eonvektionsstromes der Elektronen (188) pH-pttH- pH'. Der erste Bestandteil enthält den Mittelwert der Dichte der Elektrizität, der nach (165) nichts anderes ist; als die Dichte Q* der freien Elektrizität. Es ist also (188a) ^10 « p'm der Konvektionsstrom der freien Elektrizität. Falls die Elektronen relativ zur Materie ruhen^ kommt nur dieser erste Bestandteil des gesamten Stromes (188) in Betracht. Bewegen sie sich dagegen relativ zur Materie^ so ist der zweite Bestandteil in Bechnung zu ziehen. Das kann nun in ähnUcher Weise für bewegte Körper geschehen, wie es in § 28 für ruhende Korper geschah. Man hat wiederum die Anteile zu sondern, welche von den Leitungselektronen, Polari- sationselektronen und Magnetisierungselektronen herrühren. Die relative Bewegung der Leitungselektronen gegen den Körper macht sich als ein Leitungsstrom bemerkbar, dessen Dichte ist (188b) {^}. = i. Bei der Herstellung des durch ^ gekennzeichneten elek- trischen Momentes der Yolumeinheit ist durch ein Flachen- element df die Elektrizitatsmenge ^t^df in dem durch die Nor- male V angegebenen Sinne hindurchgetreten; das wurde in § 28 nachgewiesen und gilt für einen bewegten Körper genau so, wie für einen ruhenden. Es soll nun der Strom bestimmt werden, der von den Polarisationselektronen durch eine un- geschlossene Fläche f des Kö/pers transportiert wird. War zur Zeit t die mit den Polarisationselektronen durch f geschobene Elektrizität gleich Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 313 /' 80 ist sie zur Zeit t + dt gleich fv.df+dt'§-^f%df. Es ist also der Polarisationsstrom durch die Flache f des Körpers • Jäf[^%-TtJ%df^Jdf^-^^ wo nach der Formel I, 122 (S. 121) gilt (188c) ^ = W + ^^IC*»»] + tndivip. Der Polarisationsstrom durch die Flächeneinheit des bewegten Körpers ist folglich gegeben durch den Vektor (188d) {^L=^- Hierdurch bestimmt sich auch der zweite^ von der relativen Bewegung H' der Polarisationselektronen gegen den Korper her- rührende Anteil des Stromes (188)^ welcher durch eine im Baume feste Flache fließt; der erste^ von der Bewegung tu der Polarisationselektronen mit der Materie herrührende Strom- anteil dagegen ist bereits in (188 a) berücksichtigt worden, indem ja, gemäß (165)^ zur Dichte q^ der freien Elektrizität auch die Polarisationselektronen einen Beitrag liefern. Für die Magnetisierung des bew^ten Körpers ist selbst- verständlich die relative Bewegung der umlaufenden Magneti- sierungselektronen gegen den Körper maßgebend, so daß an Stelle von (164c) jetzt (188e) {^'}^=c curia den von der Magnetisierung herrührenden Strom- anteil bestimmt. Aus (188 b, d, e) folgt 314 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern (188f) ^'«i + ^ + ocurl« für den gesamten von der relativen Bewegung der Elektronen gegen die Materie herrührenden Strom. Ans (188) und (188 a; f) erhält man schließlich als gesamten Mittelwert des Eon- yektionsstromes der Elektronen: (188^) pS = p'to + i + ^ + c curl SR. Dieser Ausdruck; der als Erweiterung des auf ruhende Körper bezüglichen Ausdruckes (165b) sich ergibt, ist nun in die erste Hauptgleichung (la) einzufuhren. An Stelle von i, ^ ist, wie in § 28 (Gleichungen 166, 166a) @ bzw. 8 zu setzen; auch sind die Definitionen (166b; c) von S und § zu be- rücksichtigen. Dann folgt als erste Hauptgleichung für bewegte Körper (189) curl§ = i^^ + ^^{i + ,'l. + ^;. Zum Wirbel des Vektors § liefern hiemach Beiträge: Der Verschiebungsstrom im Äther, der Leitungs- strom, der Konvektionsstrom der freien Elektrizität und der Polarisationsstrom im bewegten Körper. Man kann an Stelle der Dichte qi der freien Elektrizität auch durch (165) die Dichte q der wahren Elektrizität ein- führen. Auf Grund von (166 b) und (188 c) wird dann (189a) curl § =. ^[i + ^ + pto 4- curl [fptd]}. Diese Form der ersten Hauptgleichung wollen wir der ersten Hauptgleichung der Theorie von H. Hertz (I, Gleichung 252, S. 425) gegenüberstellen: curl g-^ji + ^ + ptm- curl[2)m]|. Wie nach der Hertzschen Theorie, so werden auch nach der Lorentzschen durch den Leitungsstrom, den Verschiebungs- strom und den Konvektionsstrom der wahren Elektrizität Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 315 magnetische Wirkungen erregt; nur hinsichtlich des vierten Termes der rechten Seite der ersten Hauptgleichnng^ welcher (vgl. I, § 90) den sogenannten „Röntgenstrom^' bestimmt, weicht die Lorentzsche Theorie von der Hertzschen ab. Nach der Lorentzschen Theorie bestimmt curl [$p m] die Dichte des Böntgenstromes. Gerade diese Forderung war es, welche durch die Versuche von A. Eichenwald ihre experimentelle Bestätigung gefunden hat. Die Diskussion dieser Experimente ist am besten an die Form (189) der ersten Hauptgleichung anzuknüpfen. Es waren (I, S. 427) die geladenen Eondensatorplatten zusammen mit dem zwischen ihnen befindlichen Dielektrikum in gleich- formiger Rotation begriffen. Hier ist der Zustand ein statio- närer auch dann, wenn man ein mitrotierendes Bezugssystem zugrunde legt; die von einem solchen Bezugssystem aus be- urteilte zeitliche Änderung -^ ist folglich Null. Da ein Leitungsstrom nicht fließt und da -^ gleichfalls NuU ist, so folgt aus (189) curl§ «- — p'to. c ^ Für das bei Eichenwalds Versuchen erregte mag- netische Feld ist also nach der Elektronentheorie die Bewegung der freien Elektrizität maßgebend. Dieses war eben die Feststellung Eichenwalds. Nach der Hertzschen Theorie dagegen wäre der allgemeine Ausdruck der ersten Hauptgleichung da nun in dem vorliegenden Falle die von dem bewegten Körper aus beurteilte zeitliche Änderung von S ebenso wie i verschwindet, so würde sich nach H. Hertz überhaupt keine magnetische Wirkung ergeben. Die Versuche von Eichen- wald zeigen demnach, daß nicht die Hertzsche, wohl 316 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. aber die Lorentzsche Elektrodynamik bewegter Körper die erste Hanptgleichang für die hier in Frage kommenden langsamen Bewegungen richtig formuliert. Wir erhalten eine dritte, mit (189) und (189a) gleich- wertige Form der ersten Hauptgleichung, wenn wir den neuen Vektor einführen: (189b) §' = §-^[to«]. Setzen wir dann noch ^ - ^ + curl [2) tt] + tt div 2), und berücksichtigen, daß nach (166b) gilt curl [Ätd] = — curl [taOt] + 4ä curl [ipio], und daß man allgemein hat div ® =■ (>, so können wir (189 a) schreiben (190) curir=^{i + dt Der Unterschied der Lorentzschen Theorie Ton der Hertzschen gibt sich hier dadurch kund, daß der „wahre^^, aus Leitungsstrom und Yerschiebungsstrom im bewegten Körper zusammengesetzte Strom bei Hertz curl $, bei Lorentz dagegen curl §' bestimmt. Was die aus der ersten Hauptgleichung fließende Gfrenz- bedingung au der Trennungsfläche zweier bewegter Körper anbelangt, so ergibt sich diese in sehr einfacher Weise. Schreibt man den Körpern eine endliche Leitfähigkeit und eine endliche Polarisationsfahigkeit zu, so muß nach (190) an der Trennungsfläche der Flächenwirbel von §* verschwinden, d. h. die tangentiellen Komponenten von $' durchsetzen stetig die Trennungsfläche. Für den idealen Ghrenzfall des vollkommenen Leiters (I, § 72) hingegen, wo ein endlicher Flächenstrom j als zulässig betrachtet wird, ist dieser Flächenstrom mit dem. ._j Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 317 Flächenwirbel von ^' verknüpft. Da nun ins Innere des voll- kommenen Leiters das elektromagnetische Feld nicht eindringt, so bestimmt sich die Dichte des F^chenstromes durch den an der Oberfläche herrschenden Wert von §' folgendermaßen (190a) vi = t^'"]- Dabei ist tt ein Einheitsvektor^ welcher die nach dem Inneren des Leiters weisende Normalenrichtung anzeigt. Zu der ersten Hauptgleichung steht die dritte (191) div 2) = p in enger Beziehung. Schließt man eine endliche Flächendichte aus, so muß die Flächendivergenz von 3) verschwinden, d. h. die Normalkomponente von S muß stetig die betreffende Trennungsfläche durchsetzen. Läßt man hingegen eine end- liche Flächendichte o zu, nämlich bei Körpern, welche das Feld nicht in ihr Lmeres eindringen kssen, so wird (191a) c) = -(2)n). Es ist 6) durch die an der Oberfläche herrschende Normal- komponente von S bestimmt. An der Oberfläche geladener bewegter Leiter kommt die Gleichung (191a) und an der Oberfläche bewegter idealer Spiegel außerdem die Gleichung (190a) in Betracht. Die tangentiellen Komponenten von $' sind hier mit der Flächendichte des Leitungs- stromes, die Normalkomponente von S ist mit der Flächendichte der wahren Elektrizität verknüpft. § 36. Die zweite Hauptgleioliung. Die zweite Hauptgleichung der Elektronentheorie (IIa) enthält überhaupt kein von der Bewegung der Materie oder der Elektrizität direkt ablmngiges Glied. Es gilt demnach im Falle der Bewegung ebenso wie im Falle der Buhe die Glei* chung IIb (192) curl« i-^. 318 zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. • Diese Form der zweiten Hauptgleichimg ist nichts anderes als das Induktionsgesetz; ausgesprochen für ein im Baume festes Flachenelement; denn es stellt 6 die Kraft auf einen ruhenden, mit der Einheit der Ladung versehenen Probekorper dar; während die auf der rechten Seite von (192) auftretende zeitliche Änderung von 8 auf einen festen Baumpunkt sich bezieht. Es entsteht nun aber die Frage , ob auch für bewegte Körper das Faradaysche Induktionsgesetz (vgl. I, S. 390), welches ja von der Erfahrung durchweg bestätigt wird, aus den Grundvorstellungen der Elektronentheorie sich ableiten läßt, um dies zu zeigen, müssen wir auf die Gbund- gleichung (Y) des § 4 zurückgehen, welche die elektromagne- tische Kraft f^ bestimmt; es ist in der jetzt angewandten Be- zeichnungsweke die auf die Eiaheit der Lwlnng wirkende Kraft Wir betrachten eine Gruppe von Elektronen, welche sich mit der gemeinsamen Geschwindigkeit li bewegen. Die Mittel- wertsbildung über ein physikalisch unendlich kleines Gebiet ergibt dann für diese Elektronengruppe die elektromagnetische Kraft (193) » = e + 4-M]«« + f[l»»]. Wir setzen wieder wie im vorigen Paragraphen indem wir unter ID die Geschwindigkeit der Materie, unter ti' die Geschwindigkeit der Elektronen relativ zur Materie ver- stehen. Dann wird (193a) 5 = «' + y[t>'«], wo (193b) «' = «+y[l»»] die Eraft auf eine relativ zur Materie mhende Einheits- ladung ißt. Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 319 Der zweite Term in (193 a) ergibt als Kraft auf die in der Yolumeuilieit enthaltenen Elektronen der betreffenden Gruppe: y[^,«]. HierdurcH bestimmt sich; falls nur Leitungselektronen in Betracht kommen^ auf Grund von (188 f) die am Leiter an- greifende ponderomotorische Kraft des magnetischen Feldes in Übereinstimmung mit I, Gleichung 245c, S. 411. Auch kann man, durch Unterscheidung verschiedener Arten von Elektronen, die in starken magnetischen Feldern auf- tretende, zur Stromrichtung senkrechte elektromotorische Kraft des Hall-Effektes (I, S. 242) ableiten. Das geschieht in den von E. Riecke und P. Drude entwickelten Elektronentheorien der Metalle (vgl. II, § 32). Für magnetisierte Körper tritt im Ausdrucke der ponderomotorischen KJraft curl SR an Stelle von — ; wodurch sich die Äquivalenz von Magneten und elek- trischen Strömen kundgibt, die in I, § 81 unter besonderer Berücksichtigung der ponderomotorischen Kräfte abgeleitet wurde. Für einen ruhenden Körper von wechselnder elek- trischer Polarisation endlich ergibt (188f) die ponderomotorische Kraft pro Volumeinheit Der Vergleich mit der entsprechenden ponderomotorischen Kraft der Hertzschen Theorie (I, Gleichung 250a, S. 421) zeigt, daß bei Hertz der gesamte Verschiebungsstrom, bei Lorentz nur der an der Materie haftende Bestandteil desselben, von einer ponderomotorischen Kraft angegriffen wird. Das hängt damit zusammen, daß nach Lorentz elektromagnetische Kräfte überhaupt nur an den Elektronen und nicht an den von Elektronen leeren Gebieten des Baumes angreifen (vgl. II, § 5). Uns interessiert hier vorzugsweise der erste Bestandteil des Vektors f^, den wir mit @' bezeichneten; die Gleichung (193 b), die ihn bestimmt, berücksichtigt die Bewegung der Materie und formuliert das Gesetz der durch Bewegung 320 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. I I I 1 a:^ xr««Ä I induzierten elektromotorischen Kraft. In der Tat; nach den Yorstellnngen der Elektronentheorie ist (S' die Kraft; welche an der Einheit der mit dem Körper bewegten Elek- trizität angreift; und durch diesen Vektor bestimmt sich der Bewegungsantrieb auf die Elektronen, wie er sich für ruhende Korper durch ü bestimmt. An Stelle der fdr ruhende isotrope Leiter geltenden Beziehung i = öQi wird demnach fdr bewegte Leiter (193c) i = 69' zu setzen sein; es ist eine plausible Annahme , daß die Leit- fähigkeit 6, wenigstens was Größen erster Ordnung (in dem Quotienten - — ^j anbelangt; durch die Bewegung des Leiters nicht geändert wird. Aus (192) und (193b) folgt (194) curl«' = .i{^ + curl[»lD]}==-.-i^. Die rechte Seite bestimmt die zeitliche Änderung des Liduktionsfiusses durch eine bewegte Fläche; aus der all- gemeinen Yektorformel (I; Gleichung 122; S. 121) folgt nämlich mit Rücksicht auf die Ghnmdgleichung (IVb); welche das Verschwinden des wahren Magnetismus fordert: Dem Differentialgesetze (194) entspricht demnach das Litegralgesetz der induzierten elektromotorischen Kraft (194a) JiB' d» = - y rtßf^v. Das Linienintegral der im bewegten Leiter wirk- samen elektrischen Kraft V ist gleich der durch c geteilten zeitlichen Abnahme des umschlungenen Induktionsflusses. Die Hertzsche Theorie drückt die zweite Hauptgleichnng etwas anders aus. Sie setzt (I; § 86) bei fehlenden ein- geprägten Kräften: Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 321 curl ft = c dt oder ß^^-'-TJißf»- In der Hertzschen Theorie stellt indessen der Vektor d nicht den elektrischen Zustand des Raumes^ sondern denjenigen der Materie dar; es wird^ auch für einen bewegten Leiter, der Leitnngsstrom dem Vektor (S proportional gesetzt, also geschrieben. Wie wir sehen, weicht die zweite Haupt- gleichung der Lorentzschen Theorie yon derjenigen der Hertzschen in ähnlicher Weise ab, wie die erste. Wie dort $' an Stelle yon $, so tritt hier d' an die Stelle Yon tf. Während aber bei Hertz (S den Leitungs- strom im bewegten Körper bestimmt, bestimmt bei Lorentz d' den Leitungsstrom. Hinsichtlich der in bewegten Leitern induzierten Ströme stimmt also die Lorentzsche Theorie mit der Hertzschen überein. Die im ersten Bande (§ 84 bis 87) dargelegten Gesetze der Induktion in Leitern^ welche durch Messung der induzierten Ströme ihre experimentelle Prüfung und Besi^tigung gefunden haben, er- geben sich auch aus den Grundhypothesen der Elektronen- theorie. Wie liegt nun die Sache, wenn nicht ein Leiter, sondern ein Isolator es ist; der sich im magnetischen Felde bewegt? Nach Hertz ist auch für den bewegten Isolator zu setzen, wobei das Hertzsche d mit dem Lorentzschen d' identisch isi Die Lorentzsche Theorie würde mit der Hertzschen hinsichtlich der erregten elektrischen Verschiebung überein- stimmen, wenn sie dieselbe proportional zu d' setzen würde. Das tut sie indessen keineswegs. Sie unterscheidet vielmehr den vom Baume und den yon der Materie beigesteuerten Abraham, Theorie der Elektrlxitftt. II. 21 4»jp = (f-l) tritt für bewegte Isolatoren 4«f = («-!) «', so daß gemäß (193b) die gesamte elektrischeVerschiebnng in einem bewegten Dielektrikum gegeben wird dnrcli (194b) 4«a> = ««+^^^[tt8]. Die experimentelle Prüfang dieser von der Elektronen- iheorie geforderten Beziehung bildete den Gegenstand einer Arbeit von H. A. Wilson.^) Dieser Forscher ließ einen dielek- trischen hohlen Zylinder in einem der Achse parallelen ms^e- tischen Felde rotieren. Die metallischen Belegungen der inneren und äußeren Begrenzungsflächen waren durch Gleitkontakte mit den Quadranten eines Elektrometers verbunden; die innere Belegung war gleichzeitig geerdet. Die infolge der Rotation sich herstellende radiale elektrische Verschiebung gibt zu einer wahren Ladung der Zylinderbelegungen Veranlassung; dieselbe bestimmt sich auf Grund von (194b) folgendermaßen: tf , die Ejraft auf die ruhende Einheit der Ladung^ leitet s\ch aus dem elektrostatischen Potentiale der freien Elektrizität ab. An Stelle von 8 kann, da man es bei den Versuchen mit Körpern zu tun hatte y deren magnetische Permeabilität nicht merklich von 1 verschieden war; § gesetzt werden. Femer ist m senk- recht zu ^ gerichtet; sein Betrag ist gleich u^r, wo u die Winkelgeschwindigkeit; r der Abstand von der Achse ist. 1) H.A.Wilson. London Royal Soc. Trans. Vol. 204 A, S. 121, 1904. 322 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Anteil der elektrischen Verschiebung, entsprechend der Glei- chung ' Nur der an der Materie haftende Teil der elektrischen Verschiebung, d. h. die Verschiebung der Polarisationselektronen des Körpers wird durch den Vektor tf ' bestimmt. An Stelle der für ruhende isotrope Körper geltenden Beziehung Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 323 Mithin ist (194c) 4«»^ ,|^ + (,_1).!^.|^|. Das zweite Glied wechselt bei Umkehrung des magnetischen Feldes das Vorzeichen. Ist h die Höhe des Zylinders und e die Ladung seiner inneren Belegung; a und b die Qnerschnitts- radien der äußeren und inneren Belegung; so ist r hr Da nun konzentrische Zylinder des Dielektrikums von derselben Verschiebung e durchsetzt werden, so ergibt die Integration von (194c) zwischen den Grenzen b und a: oder (194d) |=9,-9,±i;', wo K die Kapazität des dielektrischen Zylinders ist und (194e) JB'=(l-i.).fj§|(a^_6«). Die Ladung der Innenseite des äußeren Zylinders ist — e; folglich ist + e die Ladung seiner Außenseite, des mit ihr ver- bundenen Quadranten des Elektrometers und des Leitungs- drahtes zusammen; der andere Quadrant ist zur Erde ab- geleitet. Ist K* die Kapazität dieses ganzen Systems, so hat man ^ = 92 — 9l- Hieraus und aus (194d) folgt (194f) ±E*={,).^^, SO daß aus der gemessenen Potentialdifferenz der Quadranten und den Konstanten des Apparates die Grröße E* sich ermitteln und so die experimentelle Prüfung der von der Elektronentheorie ge- forderten Beziehung (194 e) sich durchführen läßt. 21* 324 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Die messenden Versuche H. A. Wilsons bestätigen nun dorcliaus die Gültigkeit dieser Beziehung; mit der Hertzschen Theorie hii^egen sind sie nicht zu vereinbaren (diese setzt in (194b) s an Stelle von ß — 1; mithin in (194e) 1 an Stelle von 1 ]• Wir können also aus den Versuchen von H. A. Wilson schließen, daß zwar die Lorentzsche, nicht aber die Hertzsche Elektrodynamik bewegter Körper die Beziehung zwischen den Feldstärken und der elektrischen Verschiebung für die hier in Frage kommenden langsamen Bewegungen richtig wiedergibt. Ob eine der Gleichung (194b) entsprechende Beziehung die magnetische Induktion bewegter, magnetisch weicher Körper bestimmt, darüber scheint weder 'theoretisch noch experimentell etwas bekannt zu sein. Beschränken wir uns auf nicht mi^- netisierbare Körper, wo 8 mit ^ identisch ist, so lauten die in den beiden letzten Paragraphen aus der Elektronen- theorie abgeleiteten Grundgleichungen der Elektro- dynamik: (Ic) curl«'= ^{l + ^-^f (Hc) curl«' i-^, (mc) dir » = Q, (IVc) div ^ - 0. Dabei sind für beliebige Geschwindigkeit lll die Vektoren C^' nud ^' definiert durch (195) «' = « + -J- [»»§], (195a) §' = §_i.[to6]. Ferner sollen i und 3) sich folgendermaßen bestimmen: (195b) i - tf «', (195c) 4»S> = « + («- l)«'-e6'-i[to§]. Zweites KapiteL Bewegte^ Körper« 325 Dabei werden 6 und b als Materialkonstanten betrachtet. I In I welche, soweit nur Größen erster Ordnung in - — ■ in Frage kommen, yon der Geschwindigkeit unabhängig sind.'' Auf solche ,, langsame Bewegungen'^ allein beziehen sich die Beobachtungen, Yon denen bisher die Bede war. Sie haben das soeben zu- sammengestellte System der Peldgleichungen durchaus be- stätigt. Die Hauptgleichungen (Ic) bis (IVc) und die Definitionen (195, 195 a) sollen den Vorstellungen der Elektronentheorie gemäß für eine beliebige Geschwindigkeit ID der Materie zutreffen. Aus (Uc) und (IVc) ergibt sich als Grenzbedingung an der Trennungsfläche zweier bewegter Körper: Der Flächen- wirbel von tf' und die Flächendivergenz von ^ sind gleich Null; d. h. die tangentiellen Komponenten von @' und die Normalkomponente yon $ durchsetzen stetig die Trennungsfiäche der beiden Körper. Diese Grenzbedingungen sind, ebenso wie die entsprechenden für ruhende Körper geltenden, auch dann noch aufrechtzuerhalten, wenn der eine der beiden Körper ein vollkommener Leiter ist. Denn auch an der Oberfläche eines solchen ist eine endliche Dichte des „magnetischen Stromes^' und des Magnetismus nicht an- zunehmen (ygL I, S. 329, 330). Da nun in das Innere eines idealen Leiters das elektromagnetische Feld nicht eindringt, so gelten an seiner Oberfläche die Grenzbedingungen: Es yer- schwindet der Flächenwirbel yon (S' und die Flächen- diyergenz yon §: (196) ' [«'n] = 0, (196a) (§tt)==0. Das sind die an der Oberfläche eines bewegten yollkommenen Spiegels yorzuschreibenden Grenz- bedingungen. Es bilden sich an dieser Oberfläche die durch (190a) und (191a) gegebenen Belegungen yon elektrischem Leittmgsstrome und Ton elektrischer Ladung. Sie sind es, welche das elektromagnetische Feld abschirmen. 326 Zweiter Abschrntt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. § 37. Der Versuoli von Fizeau. Über die Fortpflanzung des Lichtes in strömendem Wasser ist von Fizeau ein Versuch angestellt worden; von Michelson und Morley wiederholt, stellt dieser Versuch ein Ezperimentum crucis dar, welches für die Lorentzsche und gegen die Hertzsche Optik bewegter Körper entscheidet. Wir wollen nicht ver- säumen, die Theorie dieses Versuches von dem Standpunkte der Elektronentheorie aus darzulegen. Bei den Versuchen gelangten zwei Lichtbündel zur Inter- ferenz, welche zwei parallele Röhren durchsetzt hatten. Wurde das in den beiden Röhren enthaltene Wasser in entgegen- gesetzten Richtungen in Strömung versetzt, so erfolgte eine Verschiebung der Interferenzstreifen; aus dem Betrage der Ver- schiebung konnte die Veränderung der Fortpflanzungs- geschwindigkeit des Lichtes infolge der Bewegung des Wassers ermittelt und mit der Theorie verglichen werden. Es handelt sich also hier um Lichtwellen, welche parallel der Geschwindigkeitsrichtung, oder in dem entgegengesetzten Sinne sich fortpflanzen. Wir legen die £? -Achse in die Be- In wegungsrichtung des Wassers, setzen - — ^ = ß und betrachten zunächst einen geradlinig polarisierten Lichtstrahl, in dem die elektrischen Schwingungen der ^ -Achse, die magnetischen der 2/- Achse parallel erfolgen, dessen Strahlrichtung mithin in die ^- Achse fäUt. Man hat nach (195) und (195a) (197) «;=«.-/j^y, ^;=^.-/j«.. Handelt es sich um ein dispersionsfreies Medium, dessen Brechungsindex sich aus der Maxwellschen Relation bestimmt, so kann die elektrische Verschiebung ® auf Grund von (195 c) berechnet werden. Zieht man aber die Dispersion des Wassers in Betracht, so hat man die Polarisation $P auf Grund der Ansätze des § 29 zu berechnen. Die Verschiebung der Polarisations- elektronen bestimmt sich natürlich hier mit Rücksicht auf die Bewegung nicht durch ft, sondern durch 6'; dementsprechend gilt (197a) 4ä2) - « - 4;rip = (n!'- 1) «'. Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 327 Dabei ist vi der Brechungsindex in dem ruhenden Körper, genommen für die Schwingungszahl v\ in welcher die Elek- tronen des bewegten Mediums wirklich schwingen; aus der von einem ruhenden Beobachter wahrgenommenen Schwingungs- zahl V bestimmt sich diese auf Grund des Dopplerschen Prin- zipes, bei Vernachlässigung von Größen der Ordnung /J^, zu: (197b) ^'==^(l_^). Dabei ist w?' die Geschwindigkeit der Wellen in dem be- wegten Wasser, welche wir suchen. Die beiden Hauptgleichungen (Ic) und (11 c) des vorigen Paragraphen ergeben ^ ^ Zz c dt ' dz ^ c dt Die hier auftretenden Differentialquotienten nach der Zeit sind die von einem mitbewegten Punkte aus beurteilten. Die Fort- pflanzung der Wellen, relativ zum bewegten Wasser, mag nun durch den komplexen Faktor zur Darstellung gebracht werden: Wird dann noch die mit Bücksicht auf die Dispersion verallgemeinerte Beziehung für die elektrische Verschiebung eingeführt, welche aus (197 a) folgt: (198a) 4ä2) = ß + (w'^- 1) ß', so erhalten wir aus (198) und (197) 10 oder ^\9x-ߧy] = ~§„ (199) { , 328 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Die Elimination von 6« und ^y ergibt fOr tc?' die quadra- tische Gleichnng aus der sicli die gesuchte Belatiygeschwindigkeit der Licht- wellen gegen das stromende Wasser folgendermaßen bestimmt: Da es sich um Stromungsgeschwindigkeiten des Wassers handelt; die klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind^ so kann man zweite und höhere Potenzen von ß streichen. Alsdann wird (200) w^^l ß^ c W n'" die Belatiygeschwindigkeit der Lichtwellen gegen das strömende Wasser. Die Geschwindigkeit der Lichtwellen^ welche ein ruhender Beobachter wahrnimmt^ ist demnach w'\ wo (200.) !f_S.' + ^_i,+ (,(l-i,). Nach der Hertzschen Theorie würde die Belatiygeschwindig- keit der Wellen gegen das strömende Wasser dieselbe sein^ wie gegen ruhendes Wasser. Die Wellen würden bei der Be- wegung einfach mitgeführt werden. Nach der Lorentzschen Theorie ist daa nicht der Fall; infolge der Bewegung des Wassers wird die Geschwindigkeit des parallel sich fort- pflanzenden Lichtes nicht um |Id|; sondern nur um einen Bruchteil yon |lo| yermehrt. Der F^tor (1 rt) üi Glei- chung (200a); der dieses anzeigt, wird der ^^Fresnelsche Fortführungskoeffizient** genannt. Fresnel war es, der zuerst die Annahme ruhenden Äthers yertrat, welche dann yon H. A. Lorentz der elektromagnetischen Optik bewegter Körper zugrunde gelegt wurde. Nach Lorentz entspricht der Fortführungskoeffizient durchaus dem Faktor (l j in der Formel (194 e), welche der Theorie der Versuche yon H. A. Wil- Zweites Kapitel. Bewegte Köiper. 329 son zugnmde liegt; er rührt ^ wie wir geBehen haben^ daher^ daß nur der an der Materie haftende Brachteil der elektrischen Verschiebung durch die Bewegung der Materie im magnetischen Felde beeinflußt wird. Die Versuche von Fizeau^ Michelson und Morlej; welche die Gültigkeit jenes Ausdruckes für den Fortführungskoefßzienten bewiesen haben ^ zeigen ^ Tom elektro* magnetischen Standpunkte aus gedeutet; daß auch in den rasch wechselnden Feldern der Lichtwellen jene durch (198 a) formu- lierte Beziehung für die elektrische Verschiebung zutrifft. Sie legen dafür Zeugnis ab^ daß die Grundgleichungen der Elektro- dynamik; zu denen die Elektronentheorie führt, auch die Optik bewegter Körper um&ssen. Unter n' ist^ wie erwähnt, für ein dispergierendes Medium der Brechungsindex zu verstehen, welcher der Frequenz v' entspricht. Aus (197 b) erhalten wir daher 1 1 1 dn vßc wo n der Brechungsindex des Wassers ist, welcher der von einem ruhenden Beobachter wahrgenommenen Farbe zukommt. Da es bei der gewählten Näherung erlaubt ist, in den mit dem Faktor /3 behafteten GHedem n' und A durch n zu ersetzen, so wird Gleichung (200 a) (200b) «," = |+^(i_J, + ^|^). Diese Formel rührt von H. A. Lorentz her.^) Bewegt sich das Medium den Lichtwellen entgegen, so ist selbst- verständlich hier -- /3 statt /} zu setzen. § 38. Der Druck der Strahlung auf bewegte Fläohen. Wir haben bereits in § 5 dieses Bandes von dem elektro- magnetischen Lichtdruck gesprochen. Die Gesetze des Licht- druckes sind von grundlegender Bedeutung für die thermo- dynamische Theorie der Wellenstrahlung. Wir dürfen daher 1) H. A. Lorentz. Theorie d. elektr. n. opt. Ersch. in bewegten Körpern. Leiden 1896, S. 102. 330 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. niclit yersäumen, diese Gesetze hier zu entwickeln; auch dürfen wir uns nicht auf ruhende Flachen beschränken^ sondern wir müssen die Betrachtungen auf bewegte Flächen ausdehnen. Zwei Arten yon Flächen sind es^ die in der Strahlungs- theorie eine Bolle spielen: Die yollkommen schwarzen und die yollkommen spiegelnden Flächen. Beide Arten yon Flächen lassen die Lichtwellen nicht in ihr Inneres eindringen. Die schwarze Fläche gibt nicht zur Bildung reflektierter Wellen Veranlassung; sie yer- wandelt die Energie der auffallenden Strahlung yollständig in Wärme oder in Arbeit des StrahlungsdruckeS; die Bewegungsgröße der auffallenden Strahlung in mechanische Bewegungsgröße des eingeschlossenen Körpers. Die yollkommen spiegelnde oder yollkommen ^^blanke'^ Fläche hingegen yerwandelt nicht den geringsten Bruchteil der auffallenden Strah- lung in Wärme. Die Energie des einfallenden Lichtes findet sich, soweit sie nicht in Arbeit des Strahlungsdruckes an der spie- gelnden Fläche yerwandelt ist; in dem reflektierten Lichte wieder; die Bewegungsgrößen des einfallenden und des reflektierten Lich- tes bestimmen den Betrag des Strahlungsdruckes. Flächen yon solchen Eigenschaften finden sich als Oberflächen wirklicher Körper in der Natur nur angenähert realisiert. Auch die besten Spiegel sind nicht yollkommen blank^ und die im auffallenden Lichte schwärzesten Flächen sind nicht absolut schwarz. Lnmer- hin ist die Idealisierung^ welche sich die Theorie erlaubt; in- dem sie yon yollkommen blanken oder yollkommen schwarzen Flächen spricht; nicht bedenklicher , als die Annahme starrer Körper in der Mechanik, idealer Gase oder idealer yerdünnter Lösungen in der Thermodynamik. Diese Idealisierung ermög- licht eS; sich bei der Ableitung der Strahlungsgesetze yon den indiyiduellen Eigenschaften der Körper unabhängig zu machen. In der Tat sind die Entwickelungen der folgenden Paragraphen unabhängig yon jeder besonderen Hypothese über die Zahl und die Eigenschaften der Moleküle und der Elektronen. Sie beruhen allein auf den Ghrundhypothesen der Elektronentheorie; welche in den Grundgleichungen (I bis V) ihre mathematische Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 331 Formulierung gewonnen haben. Die Grenzbedingungen an der Oberfläche des vollkommenen Spiegels , welche wir am Schlüsse des § 36 aufgestellt hatten^ gelten für beliebige Geschwindigkeiten des Spiegels ; wenn anders jene Grund- gleichungen die Einwirkung der Leitungselektronen des Spiegels auf die elektromagnetischen Vor^mge im Baume richtig for- mulieren. Wie bereits in § 5 erwähnt wurde, bestimmt sich gerade für vollkommen schwarze und vollkommen spiegelnde Flächen die ponderomotorische Kraft des Feldes vollständig durch den in Gleichung (17) angegebenen Vektor Z =^ {2««. + 2§§, - tt(«« + §0) { n ist ein der äußeren Normalen v paralleler Einheitsvektor } . Diese Flächenkraft ist nichts anderes, als die auf die Flächeneinheit bezogene Resultierende der Maxwellschen Span- nungen. Würde es sich um einen Körper handeln, in dessen Inneres das elektromagnetische Feld eindringt, so würde, wie in § 5 dargelegt wurde, bei der Berechnung der resultierenden elektromagnetischen Kraft noch die zeitliche Änderung der im Körper enthaltenen elektromagnetischen Bewegungsgröße in Rechnung zu setzen sein. Für solche Körper jedoch, die von absolut schwarzen oder blanken Flächen umschlossen sind, fällt dieses Glied der resultierenden Kraft fort. Die resultierende Kraft des elektromagnetischen Feldes ergibt sich durch Inte- gration der Flächenkraft X über die Oberfläche des ruhenden Körpers. Wie ändert sich nun der Wert der Flächenkraft, wenn der Körper in Bewegung begriffen ist? Dann erhält die Flächen- kraft einen Zuwachs, da Bewegungsgröße infolge der Bewegung aufgefangen wird. Ist ID die Geschwindigkeit des betreffenden Punktes der schwarzen oder blanken Fläche, so ist die von dem Flächenelemente df bei seiner Bewegung in der Sekunde aufgefangene elektromagnetische Bewegungsgröße 332 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Diesen Zuwachs erföhrt die an df angreifende elektro- magnetische Kraft durch die Bewegung des Flächenelenientes. Es folgt für die auf die bewegte Flächeneinheit be* zogene Kraft des Strahlungsdruckes (201) 2'=9D + tti.9. Aus (17) und (18) erhalten wir den Ausdruck des Vek- tors S' durch die elektromagnetischen Vektoren (201a) 8ä2'- 2«.«. + 2§'§, - tt(«* + §*) + ^ [«§]. Für einen bewegten Körper, der yon einer absolut schwarzen oder blanken Flache begrenzt ist, ergibt sich die resultierende Kraft der Strahlung durch Integration yon S' über die Ober- fläche. Wir wollen den erhaltenen Ausdruck noch etwas um- formen. Wir gehen dabei aus von der Identität (202) ttl, • [«§] + «.[^tti] + §.[»!«] = tt(tti[«§]). Diese beweist man, indem man die Komponente nach irgendeiner Richtung nimmt^ die man mit der ^-Achse zu- sammenfallen lassen kann. Es ist ».[«§]:. + «.[§»]:. + §.[»!«]:. - Diese Determinante jedoch ist gleich iOy in« in« ^v ^y ^M COS {yx) X^x ttit/ tOj ^x ^y §t = tt.(ttl[«§]), d. h. gleick der a;- Komponente der rechten Seite von (202). Drückt man nun den letzten Term in (201a) in der durch (202) angezeigten Weise aus, so erhält man (202a) 83r2'= 2«'«, + 2§'§, - tlj«« + §« ~f (»[«§])). Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 333 wo & nnd ff die in den Hauptgleiclumgen (Ic und II c) des § 36 für bewegte Korper auftretendea Vektoren sind: (203) «'=« + 7[to§], ff-^-^it^m- Da nun gut (203a) ««» - r - -5- (»[«#]), (203b}. S#' = ^*-f (»[«§]), 80 erhalten wir (204) SäX'» 2«'«. + 2ff^, - n{(S&+§ff] als allgemeinen Ausdruck der elektromagnetischen Flächenkraft durch die elektromagnetischen Vek- toren. Handelt es sich um eine bewegte schwarze Fläche^ so sind für Qt und ^ die Feldstärken der einfallenden Wellen zu setzen; denn reflektierte Wellen sind hier definitionsgemäß ausgeschlossen. Anders bei dem bewegten Spiegel. Hier erfolgt die Reflexion so^ daß an allen Punkten der spiegelnden Fläche die Ghrenz- bedingungen (196) und (196a) erfüllt sind, welche das Ver- schwinden der tangentiellen Komponenten von & und der Normalkomponente von § yerlangen. Aus §y = 0 und (vgl. Formel S in Bd, I, S. 437) 0 - [«[«'tt]] = (Sf(Sy - tt(««') folgt nun (204a) 8ÄaD' = tt{««'-M'} oder auch; mit Rücksicht auf (203a; b) (204b) 87cT^n[(St^-§'}- Diese beiden letzten Formeln bestimmen die ^Flächenkraft des elektromagnetischen Feldes auf einen beliebig bewegten Spiegel Da n ein der äußeren Normalen paralleler Einheitsvektor ist; so ist die Flächenkraft X' stets senkrecht zur spiegelnden Fläche gerichtet. Es übt 334 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. der Strahlungsdruck keine tangentiellen Kräfte auf die Yollkommen spiegelnde Fläche aus. Die Formel (204b) ist insofern bemerkenswert^ als in derselben die Bewegung des Spiegels explizite nicht auftritt. Für einen ruhenden Spiegel erhält man jene Formel; indem man den Faradayschen Längszug der zur leitenden Fläche normalen elektrischen Kraftlinien und den Querdruck der tan- gentiellen magnetischen Kraftlinien (I^ § 89) zusammenfügt. Für einen bewegten Spiegel ist diese Deutung nicht zulässig; hier tritt S' an Stelle von X, auch ist nicht d, sondern 6' der Vektor, welcher die Kraft auf die Einheit der am Leiter haftenden Elektrizität anzeigt, und der daher senkrecht zur yollkommen leitenden Fläche gerichtet sein muß. Dennoch ist der formale Zusammenhang des Lichtdruckes mit den Feld- stärken nach (204b) für den bewegten Spiegel der gleiche, wie für den ruhenden. Natürlich sind die Werte der Feldstärken an der Spiegeloberfläche ihrerseits Yon der Bewegung des Spiegels abhängig. Wir betrachten zunächst ebene Wellen, die senkrecht auf einen ruhenden ebenen Spiegel fallen. Die Spiegelebene werde als (yisy^hene gewählt. Die Feldstärken ^, §^ der einfallenden Welle seien parallel der (—y)- Achse bzw. der jSf-Achse, diejenigen der reflektierten Welle Sj; $2 P^'i^el der y-Achse bzw. der jSf-Achse. Da für diese ebenen Wellen (205) -(Siy=-§iz, (&2tr=§^» ist, und da an der spiegelnden Fläche die Grenzbedingung vorgeschrieben ist SO folgt §z== §lz+ §2z=2§i^, und daher Es findet sich demnach der normale Lichtdruck auf den ruhenden Spiegel bei senkrechter Inzidenz des Lichtes Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 335 (206) p = ±Jl = ±1^1+^1] gleich der doppelten Energiedichte der einfallenden Welle. Wir gehen jetzt zum bewegten Spiegel über; die Be- wegung erfolgt parallel der äußeren Normalen tl; die jetzt mit der x-Achse zusammenfallt^ d. h. entgegen den einfallenden Wellen. Die Beziehungen (205) gelten auch jetzt noch^ aber die Ghrenzbedingung ist eine andere; es soll die tangentielle Komponente des durch (203) definierten Vektors C ver- tu schwinden. Setzen wir — = jJ, so folgt aus 0 = e;= «y- ߧ,^ «ly- ß^u+ «By- ߧ2» mit Rücksicht auf (205) (207) §,,= §,,. i±|. ferner wird (204 b) (207a) SäX' - - tt§,«(l - ß^). Da nun, gemäß (207), gut SO folgt ^ (207b) 8«r=~tt.4§J,ii|. Der Druck des senkrecht einfallenden Lichtes auf den ihm entgegen bewegten Spiegel wird hiernach (208) p'^f.-^i/j^r^-i^ß Er wird durch die Bewegung des Spiegels im Verhältnis 1 + iS • 1 — i^ gesteigert und wird unendlich, wenn der Spiegel sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Eine Bewegung des Spiegels mit Lichtgeschwindigkeit der auf- fallenden Strahlung entgegen erfordert unendliche Arbeitsleistung und ist daher physikalisch nicht realisierbar. Die Arbeitsleistung gegen den Druck der Strahlung bringt eine Steigerung der Amplituden des reflektierten Lichtes 336 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet« Vorgänge in wägbaren Körpern. mit sich^ welche dorcli (207) gegeben ist. Man überzeugt sich unschwer davon, daß die erhaltenen Ergebnisse mit dem Energiesatze und dem Impulssatze in Übereinstimmung sind« Wir wollen indessen hierauf an dieser Stelle nicht eingehen. Weiter unten (§ 40) werden wir das Problem der Licht- reflexion durch einen bewegten Spiegel für den allgemeineren Fall schiefer Inzidenz behandeln, und gerade die Impuls- gleichungen und die Energiegleichung werden dort all die Spitze gestellt werden. Abb. 5. § 39. Der relatlTe Strahl« In der elementaren Theorie der Aberration bestimmt man die Richtung des relativen Strahles bekanntlich folgender- maßen. Man denkt sich den Strahl durch eine Öffiiung 0 tretend; und, nach Durch- laufong der Strecke OP, im Aufpunkte P eintreffend. Der in P befindliche Beobachter imd der Schirm, dessen Öff- nung 0 ist, mögen die ge- meinsame konstante Trans- ^P lationsgeschwindigkeit 10 be- sitzen. Dann ist die Öffiiung zu der Zeit, wo das Licht in P eintrifft, bereits nach 0' ge- langt (ygL Abb. 5), und der Beobachter, der yon der Bewegung keine Kenntnis besitzt, wird O'P als Strahlrichtung bezeichnen. Die Richtung des relativen Strahles ist hiernach die- jenige des Vektors (209) r' = c - m, der die Relatiygeschwindigkeit yon Licht und Be- obachter darstellt Schon Bradley erklärte durch diese yom Standpunkt der Emissionstheorie des Lichtes ohne weiteres einleuchtende Konstruktion die Aberration des Fix* stemlichtes infolge der XJmlaufsbewegung der Erde; der diese Umlaufsbeweguug darstellende periodische Teil der Erd- Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 337 geschwindigkeit m gibt zu einem periodischen Wechsel der Richtung des relativen Strahles^ und damit zu einer jährlichen Periode der scheinbaren Örter der Fixsterne Veranlassung. Zunächst wollen wir einige Beziehungen ableiten^ die sich aus dem Dreieck der Vektoren t, m^ (' ohne weiteres ergeben. Der Betrag von r' ist (209a) c'^cyi + ß^-2ßco8(p, iJ = ^- Auch hat man (209 b) - « cos X - iJ cos ^, c (209c) ^1^ = 1 -^cosy. Ist (o der räumliche Öffiiungswinkel eines in P sich yer- einigenden Strahlenbündels, so entspricht ihm im relativen Strahlen- gange der Öffiiungswinkel to', der sich folgendermaßen bestimmt /'01A^ ® dcoücp sing) dq> Das leuchtet sofort ein, wenn man P als Anfangspunkt eines Systemes von Polarkoordinaten betrachtet, dessen Achse durch die Richtung von t$ gegeben ist. Der Strahlenkegel der relativen Strahlen liegt dann zwischen denselben Meridian- ebenen, wie derjenige der absoluten Strahlen, er erscheint nur zwischen zwei andere Breitenkreise verlegt. Aus dem Dreieck der Abb. 5 folgt nun folglich Da ferner sin

zw- 8%ifh - ßx) und die Vektoren der auffallenden bzw. entsandten Bewegungs- größe ^ K + ß.) bzw. ^ («, - ß,). Die am Spiegel angreifende Flächenkraft des Strah- lungsdruckes ist gleich der vektoriellen Differenz der in der Sekunde einfallenden und reflektierten Bewegui^größe (215) at'-^K+^.)-^(«,-^.). Da eine Wärmeentwickelung nach der Definition des voll- kommenen Spiegels ausgeschlossen ist; so kann Energie an den Spiegel nur in Form von Arbeitsleistung des Strah- lungsdruckes abgegeben werden. Man erhält demnach (215a) (tti atO - iS, («1 + ß:) -S^if^- ß^). Nach (215) ist aber (ttiaD') « Si/J cos qPi («1 + ß:c) -S^ß cos 92 («, - ß^). Man erhält also (215b) S^{a, + ß^) (1-ß cos qpi) - S^ (cc^- ßx) (1-/3 cos (p^). Es treten hier wieder die auch in den Ausdruck des Dopplerschen Prinzipes (214 b) eingehenden Gfrößen auf; deren Bedentung uns bekannt isi Es sind c (1 — /J cos qpi) bzw. c{l— ß cos qp^) die Geschwindigkeiten^ mit denen ein Punkt des bewegten Spiegels sich senkrecht gegen die Lichtwellen bewegt^ oder^ 346 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yor^^ge in wägbaren Körpern. anders ausgedrückt, die -Geschwindigkeiten, mit denen die Lichtwellen über einen im Spiegel festen Punkt fortstreichen. Es sind femer >/l— «1* bzw. t/1— «3* die Sinus der Winkel, welche die absoluten Strahlrichtungen mit der Spiegelnormalen einschließen. Demnach sind die Ge- schwindigkeiten, mit denen die Schnittgeraden der Wellenebenen längs der spiegelnden Ebene forteilen: c(l — ^coBq)i) ■ c(l — /5cos9,) . — bzw. '« 1 — * Das Huyghenssche Prinzip^) verlangt nun, daß diese beiden Geschwindigkeiten, mit denen die Spuren der ein- fallenden und der gespiegelten Wellen längs der Spiegelebene forteilen, einander gleich seien. Es bestimmt die Richtung des reflektierten Strahles aus dieser Forderung rgjgN 1 — /3 COB y^ ^ 1 — /3 cofl y, _ ^ ^ i/TT^ yi^^« ' es yerlangt femer, daß der reflektierte absolute Strahl in der Einfallsebene Uegt. Aus der Beziehung (216) und der aus der Energie- gleichung und der Impulsgleichung gewonnenen (215 b) folgt nun: (216a) 0 « Sj («, + /J,) yT^ITi^-- S, (a, -- iJ,) yr:^. Hier steht rechts nichts anderes, als die mit c multi- plizierte, in die Spiegelebene fallende Komponente der Mächen- krafb S' des Strahlungsdruckes (vgl. 215). Wir haben damit aus dem Huyghensschen Prinzip abgeleitet, daß der Strahlungs- druck senkrecht zur Ebene des idealen Spiegels wirkt. Wir hätten umgekehrt auch yon der Forderung ausgehen können, daß der Strahlungsdruck keine scherende Komponente besitzt; wir hatten dies ja im § 38 aus der Elektronentheorie abgeleitet. Da alsdann die tangentiellen Komponenten der 1) Vgl. hierzu: F. Haeenöhrl. Wien. Ber. 118, S. 488, 1904; Ann. d. Phys. (4) 16, S. 844, 1904. Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 347 aoffallendeiL und reflektierten Bewegnngsgröße einander gleich sein müssen y so folgt ohne weiteres^ daß der gespiegelte absolute Strahl in einer Ebene mit dem einfallenden Strahl und der Spiegelnormale liegt und daß die Differenz (216 a) der in die Spiegelebene fallenden Komponenten der aufbllenden bzw. entsandten Bewegnngsgröße gleich Null ist; hieraus und aus (215b) folgt alsdann die Beziehung (216), welche das Huyghenssche Prinzip formuliert. Wir sehen also: Das Huyghenssche Prinzip und die Forderung, daß die Kraft des Strahlungsdruckes auf die Spiegelebene keine tangentielle Komponente besitzt, sind einander voll- kommen äquivalent. Es ist 1 - /J cos 91= 1 + /Ja^OiiVl-«!* • Vß7Tß7y 1 - /5 cos y, = 1 - /5, a, ± yT=^* . Yß,^ + ß/ . ffieraus und aus (216) folgt (216 b) ii^^iz^. ^ ^ yr^' 1/1-«,' Man sieht^ daß die Richtung des reflektierten Strahles nur von der normalen Komponente der Spiegel- geschwindigkeit abhängt. Bewegt sich der Spiegel in seiner Ebene, so erfolgt die Reflexion des Lichtes genau so, wie am ruhenden Spiegel. Mit Rücksicht auf (216) und (216b) können wir jetzt die Formel (214b), welche das Dopplersche Prinzip enthält, folgendermaßen schreiben: Auch die Schwingungszahl des reflektierten Lichtes hängt nur von der normalen Komponente der Spiegelgeschwindigkeit ab. Was den normalen Lichtdruck anbelangt, so folgt aus (215) (218) y=-r. = |(s,a,(i.,+ /5.) + S,a,(a,-/5.)j. 848 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern, Er ist bestimmt, wemi man die Biclitung und den Betrag der reflektierten Strahlung kennt Letzterer aber bestimmt sieb ans dem Dopplerscben Prinzip (214b) und der durcli Vereinigung der Enei^iegleicbung und Impulsgleichung ge- wonnenen Beziehung (215b) folgendermaßen: Die in der Sekunde auf den Spiegel fallenden und die von ihm im reflektierten Lichte entsandten Energiemengen verhalten sich wie die entsprechenden Schwingungszahlen. Wie aus (216b) folgt, liegen die Kosinus a^, cc^ der Wellennormalen gegen die Spiegelnormale in den einander zugeordneten Interyallen Die 6renzen entsprechen dem im relativen Strahlengange streifenden, bzw. dem senkrecht einfallenden und reflektierten Strahle. Sieht man von dem ersteren Grenzfalle, wo na>ch (218) der Strahlungsdruck Null ist, ab, so gilt cfi + «3 > 0. Infolgedessen gestattet es die Identität (1 + ß.a,y (1 - «,») - (1 - ß,a,)' (1 - a,«) = («1 + «s) {2/J«- 2/}, «108+ (1 + ß/) («1- Oj)}, aus (216 b) die &leichimg abzuleiten (220) 2/5. _ 2^. «, «j + (1 + ß,*) («1 - «,) = 0; Ans dieser Beziehung ergeben sich zwei nene FormeLi, die beide znr Bestimmung des Beflexionswinkels dienen können: (220a) T^ - ^ + ^J (220 b) wo f eine mllkürliclie Funktion ist. Wir können dafSr ancli schreiben (228a) S-»'-g{^y Damit haben wir das thermodynamische Gesetz der Wellenstrahlung erhalten. Die beiden Relationen (227 a) und (227 b); aus denen das Gesetz sich ergibt; mögen als Yerschiebungsgesetz und Verstarknngsgesetz bezeichnet werfen. Da« Verschiebnngs- gesetz (227 a) ordnet bei der Yergleichung der Helligkeiten; die zwei verschiedenen Temperaturen entsprechen; zwei ver- schiedene Farben einander zU; deren Schwingungszahlen im Verhältnis der Temperataren stehen. Das Verstärkungsgesetz (227 b) besagt sodanU; daß die Helligkeiten der einander so zugeordneten Farben sich verhalten; wie die dritten Potenzen der absoluten Temperaturen. Ist für eine gegebene Temperatur empirisch die Helligkeit in ihrer Abhängigkeit von der Schwingungszahl gegeben; so ist diese Abhängigkeit durch das thermodynamische Strahlungsgesetz (228 a) für jede andere Temperatur bestimmt. Das Yerstärkungsgesetz hat zuerst L. Boltzmann^) ab- geleitet; indem er einen von Bartoli angegebenen Kreisprozeß verwandte und den Maxwellschen Lichtdruck einführte. Er erhielt es nicht in der Form (227 b); sondern in derjenigen FonU; die aus (227 c) hervorgeht; wenn man zwei Lichtbündel 1) L. Boltzmann. Ann. d. Fhjs. 22, S. 291, 1884. 358 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. betrachtet; in denen alle Farben die gleiclie Temperatur d'^ bzw. d"^ besitzen. Es wird gestattet sein, solches Licht, in welchem alle Farben vertreten sind, und zwar mit der gleichen Temperatur, als „weißes Licht'' zu bezeichnen. Vergleicht man die Gesamthelligkeiten zweier weißer Lichtbündel, so wird 00. 00 (228 b) /jTi d i/i : fH^ dv^^ d'^^ : d'^\ I H^ dv^ij j Die gesamten Helligkeiten zweier Bündel weißen Lichtes verhalten sich wie die vierten Potenzen ihrer absoluten Temperaturen. Das ist das Gesetz, welches zuerst von Stefan als empirisches Gesetz aufgestellt und dann, wie erwähnt, von Boltzmann theoretisch begründet wurde. Die Gleichung (227 c) überträgt das Stefan-Boltzmannsche Gesetz auf zwei monochromatische LichtbündeL Das Yerschiebungsgesetz wurde zuerst von W.Wien angegeben.^) Doch vermochte dieser Autor es nicht, den Zu- sammenhani? desselben mit dem Dopplerschen Prinzip und dem gelingt in der Tat nur dann, wenn man von einer prilzisen Lösung des Problemes der Lichtreflexion durch einen bewegten Spiegel ausgeht. Auf dem hier verfolgten, zuerst vom Ver- fasser dieses Werkes eingeschlagenen Wege erhält man das Verschiebungsgesetz und das Verstärkungsgesetz mit einem Schlage; ihr Zusammenhang mit den Prinzipien der elektro- magnetischen Mechanik tritt bei dem gegebenen Beweise deutlich hervor. Wir durften uns nicht mit der Lösung des Reflexionsproblemes für den Fall senkrechter Inzidenz ebener Wellen begnügen, weil die Kenntnis des VerMltnisses der Öffhungswinkel der beiden Lichtbündel zur Ermittelung des Verhältnisses der Helligkeiten erforderlich war und das Ver- hältnis der Ö£&iimgswinkel (221) durch Differentiation von a^ nach Uj^ erhalten wird, um diese Differentiation ausführen zu 1) W. Wien. Berliner Sitzungsber. 1898, S. 55. Ann, d. Phys. 52, S. 182, 1894. Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 359 können^ ipuß das Beflexionsproblem für den Fall schiefer Inzidenz gelöst sein. Wie man sieht; ergibt sich das thermodynämische Gesetz der natürlichen Strahlung aus den allgemeinen Eigenschaften der elektromagnetischen Strahlung auf 6rund des themio- dynamischen Temperaturbegriffes. Das Gesetz ist auf jede be- liebige natürliche Licht- imd Wärmestrahlung anzuwenden, wie sie auch immer entstanden sein mag. Die so bestimmte Temperatur der Strahlung ist aber im allgemeinen durchaus nicht mit der Temperatur des strahlenden Körpers identisch. Wir müssen die Beziehungen, die zwischen der Temperatur des emittierenden Körpers und der Temperatur der entsandten Strahlung bestehen, hier kurz erlautem, da auf ihnen die Ver- gleichung der strahlungstheoretischen und der gewöhnlichen gastheoretischen Temperaturskala beruht. Natürliches Licht kann auf zwei wesentlich rerschiedene Weisen entstehen: Durch reine Temperaturstrahlung imd durch Luminiszenz. Die reine Temperaturstrahlung ist ein rein thermischer Vorgang. Die Energie der Wellen entstammt dem Wärmevorrat des emittierenden Körpers und ist durch seine Temperatur bestimmt; chemische und elektrische Vor- gänge spielen bei dieser Art der Emission nicht mit. Bei der Luminiszenz hingegen spielen Vorgange nicht thermischer Natur mit, und demgemäß ist die entsandte Strahlung nicht aus- schließlich durch die Temperatur der Lichtquelle bedingt. Daher kann bei den Vorgängen der Luminiszenz von einer allgemeingültigen Beziehung zwischen den Temperaturen der Lichtquelle und der Strahlung keine Bede sein. Man hat ge- funden, daß zu den auf Luminiszenz beruhenden Vor^mgen die Emission der Linienspektra gehört. Die Temperatur des Lichtes der Spektrallinien gestattet daher durchaus keinen Bückschluß auf die Temperatur des entsendenden Körpers. Für die reine Temperaturstrahlung lassen sich Be- ziehungen zur Temperatur des leuchtenden Körpers aus der Thermodynamik ableiten. Man denke sich einen Hohlraum, dessen Wände reine Temperaturstrahler sind; diese Wände 3g0 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. seien auf einer gegebenen Temperatur &• gehalten. Nach dem Glansiusschen Axiome müssen sich in diesem Systeme^ da andere als rein thermische Vorgänge aasgeschlossen sind, die Temperaturen ausgleichen; es muß sich schließlich ein ther- mischer Gleichgewichtszustand herstellen, bei welchem alle Teile des Systemes die gleiche Temperatur ^ besitzen. Das gilt nicht nur von der Temperatur der materiellen Körper, die man etwa in den Hohlraum bringen mag, sondern auch von der Temperatur der den Hohlraum erfüllenden Strahlung selbst. Die Temperatur der Hohlraumstrahlung ist gleich der Temperatur der Wände. Ein im Innern des Hohlraumes befindlicher Beobachter würde von allen Seiten Licht der gleichen Helligkeit und der gleichen spektralen Zusammen- setzung empfangen. Die Helligkeit muß sich der Temperatur des Hohlraumes so zuordnen, wie es das thermodynamische Strahlungsgesetz (228 a) fordert. Die Temperatur aller Farben muß die gleiche sein, so daß das Licht als „weiß^^ in dem oben angegebenen Sinne zu bezeichnen ist. Könnte man sich in das Innere eines Hohlraumes begeben, dessen Wände so stark erhitzt sind, daß sie infolge ihrer Temperatur leuchten, so könnte man das thermodynamische Strahlungsgesetz experi- mentell prüfen, wenigstens in demjenigen Temperaturbereiche, in welchem eine auf der gastheoretischen Skala beruhende Temperaturmessung mögHch ist. Da es nun aus naheliegenden Gründen unmöglich ist^ sich in einen derartig erhitzten Hohbimm hineinzubegeben, so hat man einen Kunstgriff angewandt; derselbe war nicht so selbstverständlich, wie er uns jetzt erscheinen mag; er besteht darin, daß man in die Wand des Hohlraumes ein kleines Loch bohrt und durch dieses hineinbHckt. Dieser Gedanke ist zuerst von L. Boltzmann^) ausgesprochen und später von 0. Lummer und W.Wien^) durchgeführt worden. Ist die Öff- nung des Hohlraumes hinreichend Mein, so stört sie die Her- 1) L. Boltzmann. Ann. d. Phys. 22, S. S5, 1884. 2) 0. Lnmmer und W.Wien. Ann. d. Phys. 56, S. 461, 1895. Zweiiefl EapiteL Bewegte Körper. 361 stellang des thermischen Gleichgewichtes im Hohlräume nicht; die entsandte Strahlung ist dann diejenige „weiße Strahltmg« welche der Temperatur des Hohlraumes entspricht. Die experimentelle üntersuchnng der Hohlranmstrahlung durch 0. Lummer und E. Pringsheim^) hat sowohl das auf die Gesamtstrahlung bezügliche Stefan-Boltz- mannsche Yerstärkungsgesetz^ als auch das Yer- schiebungsgesetz durchaus bestätigt Yon einer Be- statifininff kann natürlich nur so weit die Bede sein, als die auf dVaasgeset^en beruhende Temperai^rskala sich realisieren laßt. Bei Temperaturen oberhalb 1150« C stößt die Anwendung der gastheoretischen Skala auf Schwierigkeiten. Hier ist diese Skala durch die strahlungstheoretische Temperatur- skala zu ersetzen^ welche sich auf das thermodynamische Strahlungsgesetz gründet. Die experimentelle Untersuchung der aus dem Hohlräume heraustretenden Strahlung hat nicht nur zur Bestätigung des thermodynamischen Strahlungsgesetzes (228 a) geführt, sondern auch zur Bestimmung der dort noch willkürlich gelassenen Funktion der Yariabeln f— V Die Messungen , an denen haupt- sächKch 0. Lummer und E. Pringsheim, H. Rubens und F. Kurl- baum^ sowie F. Paschen Anteil haben, sind von M. Planck*) durch die Formel zur Darstellung gebracht worden: (229) -ff=^' ^ mit den Werten der Eonstanten h und %: (229 a) Ä = 1,346. 10-'*-^ (229 b) Ä = 6,55 • 10 "" ^^ erg • sec. Die theoretische Begründung, welche Planck seiner Formel gegeben hat, stützt sich auf diejenigen Hypothesen über die 1) 0. Lummer und E. Pringsheim. Ann. d. Phys. 68, S. 395, 1897. 3, S. 169. 1900. Vgl. auch 0. Lummer, Congr^s international de physique. n. S. 41. Paris 1900. . 2) M. Planck. Ann. d. Phys. 4, S. 653, 1901. 362 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Wärmebewegung der Moleküle^ die in der kinetischen Gras- iheorie ihren Ansdmck finden; sie verknüpft die universelle Konstante Tc anfs engste mit der sogenannten Boltzmann- Drndeschen Konstanten a^ d. h. der mittleren lebendigen Kraft eines Moleküles bei der absoluten Temperatur 1. Planck findet^ (229c) a«|j = 2,02.10-^«^. Für sehr hohe Temperaturen und sehr lange Wellen, d. h. für kleine v und große ^'j geht (229) über in (229 d) E^2h^'~ Diese Formel hat H. A. Lorentz^) gewonnen, indem er von der Elektronentheorie der Metalle (§ 32) ausging imd für eine dünne Schicht eines Metalles die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch die in Zickzackbahnen sich bewegenden Elektronen bestimmte; indem er anderseits die Absorption langer WeUen in der Metallschicht aus der elektrischen Leitfähigkeit berechnete, was nach den Ergebnissen von E. Hi^en imd H. Bu- bens (vgL I, § 71) gestattet ist, komite er den Quotienten aus Emissionsvermögen und Absorptionsvermögen ermitteln, der nach dem Kirchhoffschen Gesetze für alle reinen Temperaturstrahler den gleichen Wert besitzt und eben durch die Helligkeit R be- stimmt ist (vgl. unten). Bei der Lorentzschen Ableitimg hat also a direkt die Bedeutung der mittleren lebendigen Kraft eines freien Elektrons im Metalle. Mit der Boltzmann-Drudeschen Konstanten ist der Wert der Masse eines Wasserstofibtomes eng verknüpft, und dieser wieder hängt mit dem elektrischen Elementar- quantum zusammen (vgl. § 1). So kann denn aus der Kon- stante Je der Strahlungsformel der Wert des elektrischen Elementarquantums ermittelt werden. Es ergibt sich nach Planck 1) M. Planck. Ann. d. Phys. 4, 664, 1901. 2) H.A.Lorentz. Akad. van Wetensch. de Amsterdam 11. 1903,8.787. Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 363 (230) c = 4,69.10"^^ elektrostatische Einheiten^ was nicht so sehr von dem in § 1 angegebenen^ anf ganz verschiedenem Wege gefundenen Werte (2) abweicht. Wie U, so muß auch die Konstante h der Strahlungsformel eine universelle Bedeutung haben; da die einzige elektro- magnetische Konstante des Äthers die Lichtgeschwindigkeit c ist^ so muß es sich um eine Konstante handeln^ welche von den Eigenschaften der ponderablen Materie oder der Elektronen abhangt; es muß aber eine von den individuellen Eigenschaften des Körpers unabhängige Größe sein. Wie man sieht; dringt das vollständige Strahlungsgesetz (229) tief in die molekularen Eigenschaften der Materie ein. Sein Beweis beruht auf Voraussetzungen^ deren Darlegung uns hier zu weit führen würde. Wir wollen nur noch in Kürze das Kirchhoffsche Gesetz formulieren^ welches für die Emission und Absorption der reinen Temperaturstrahler gili Bildet der Körper^ um den es sich handelt^ einen Teil der Wand eines Hohlraumes^ so sendet er einer im Innern be- findlichen Fläche diejenige Strahlung zu, die sich aus seiner Temperatur gemäß dem Strahlungsgesetze (229) berechnet. Diese Strahlung dringt aber nur zum Teil aus dem Innern des Körpers hervor, zum anderen Teil ist es reflektierte Strah- Itmg. Leuchtet der Körper nur mit eigenem Lichte, ohne daß Licht aus anderen Lichtquellen auf ihn Wli^ so ist seine Emission eine geringere. Auf diese Eigenstrahlung bezieht sich nun das Kirchhoffsche Gesetz. Ein kleines ebenes Flächen- stück f^ der Oberfläche des Körpers sendet einem Punkte P des Baumes Eigenstrahlung der Schwingungszahl v in der Hellig- keit jBT' zu. Anderseits wird von der Energie einer Lichtwelle der gleichen Schwingungszahl; die von P aus nach f^ geht, durch den Körper bei der betreffenden Temperatur der Bruchteil A absorbiert. Wir können dann das Kirchhoffsche Gesetz folgendermaßen aussprechen: Der Quotient aus Hellig- keit E^ und Absorptionsvermögen A für Strahlen be- 364 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. stimmter Farbe nnd Bichtnng hat für alle Temperatur- Strahler bei gegebener Temperatur den gleichen Wert (231) H'iÄ^H. Er ist gleich der Helligkeit weißer Strahlung von der betreffenden Temperatur. G. Kirchhoff hat sein Gesetz etwas anders formuliert^ indem er unter ^^ Emissionsvermögen^^ diejenige Strahlimg ver- steht; welche die Fläche f^ einer anderen ^2 zusendet^ und die Strahlung nicht nach der Skala der Schwingungszahlen^ sondern nach derjenigen der Wellenlangen zerlegt denkt. Auch unter- scheidet er neben der Farbe und Richtung die Polarisations- richtung, wovon wir hier abgesehen haben. Der Kirchhoffsche Beweis ist ein recht umständlicher. Einen übersichtlichen Beweis des Gesetzes findet man bei E. Pringsheim.^) Dieser Forscher faßt das Kirchhoffsche Gesetz als Bedingung dafür auf, daß jeder nur infolge seiner Temperatur leuchtende Körper, in die Wand eines Hohlraumes eingefügt, in der Helligkeit des weißen Lichtes leuchtet, indem zu der Eigenstrahlung gerade so viel reflektierte (oder geborgte) Strahlung kommt, daß jET' zu H er^nzt wird. Hier wird also der Satz von der Hohlraumstrahlung zum Fundament der Strahlungstheorie ge- macht, während Kirchhoff diesen Satz aus seinem auf anderem Wege bewiesenen Gesetze herleitet. Die Gültigkeit des Kirchhoffschen Gesetzes ist, wie hervor- gehoben wurde, auf die Vorgänge der reinen Temperatur- strahlung beschränkt. Luminiszenzerscheinungen, wie Fluores- zenz und Phosphoreszenz fallen nicht in seinen Gültigkeits- bereich. Würde man luminiszierende Körper in den Hohlraum bringen, so würden die chemischen oder elektrischen Prozesse, welche die Emission begleiten, imstande sein, die Herstellung des Temperaturgleichgewichtes zu verhindern. Daher ist auch die Anwendung auf die Spektrallinien, in der man früher die wesentliche Bedeutung des Kirchhoffschen Gesetzes meinte er- 1) E. Pringsheim. Verh. der deutschen physik. Gesellschaft 3, S. 81 , 1901. J Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 365 blicken zu sollen^ nicht berechtigt. Die dort festgestellten Beziehungen zwischen Emission und Absorption beruhen, wie wir erwähnten; nicht auf den Gesetzen der Thermodynamik, sondern auf den aUgemeinen Prinzipien der Schwingungslehre. Die festen Körper sind meist reine Temperaturstrahler. Da die neuere Forschung das vollständige Strahlungsgesetz kennen gelehrt hat, so kennen wir H, Wir sind also imstande, aus der beobachteten HeUigkeit der Eigenstrahlung das Ab- sorptionsvermögen, und umgekehrt aus dem bekannten Ab- sorptionsvermögen die Helligkeit der Eigenstrahlung auf Gb*und des Kirchhoffschen Gesetzes zu berechnen. Da, allgemein . zu reden, das Absorptionsvermögen eines Körpers ein echter Bruch ist, so ist Es ist die Helligkeit des Lichtes, welches ein Körper ge- gebener Temperatur d* entsendet, kleiner als die Helligkeit weißen Lichtes der gleichen Temperatur ^, Ordnen wir der Helligkeit W des vom Körper entsandten Lichtes die Tempe- ratur ^^ durch die Strahlungsformel (229) zu, so ergibt sich Die Temperatur der entsandten Strahlung ist ge- ringer als die Temperatur des entsendenden Körpers. Das gilt im allgemeinen, wenn es sich um reine Temperatur- strahlung handelt. Da nun der Vorgang der Emission durch einen ruhenden Körper ohne Arbeitsleistung verläuft, so folgt aus der Thermodynamik: Die Emission des Lichtes ist ein irreversibler Prozeß. Eine Ausnahme findet nur statt, wenn JL » 1 ist. Das würde bedeuten, daß der Kx)rper im auffallenden Lichte schwarz erscheint, indem er alles Licht verschluckt. Aus (231) folgt: Ein im auffallenden Lichte schwarzer Körper sendet weißes Eigenlicht aus, dessen Helligkeit der Temperatur des Körpers entspricht. Man hat daher diejenige Strahlung, die wir „ weiße '^ genannt haben, auch als „Strahlung des voll- kommen schwarzen Körpers'^ bezeichnet, und hat die universelle 366 Zweiter AbBchnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Strahlongsformel darch Beobachtung der Eigenstrahlnng möglichst 9^ schwarzer ^^ Körper zn bestimmen gesucht. Doch ist die Realisierung des schwarzen Körpers auf diese Weise nicht möglich gewesen. Die „schwarze" oder „weiße" Strah- lung ist erst durch Konstruktion des Hohlraumes yerwirklicht worden. Die Emission des Lichtes durch einen Hohl- raum^ die ja als besonderer Fall der Lichtfortpflanzung im Baume aufgefaßt werden kann^ ist ein reversibler Prozeß. Denn die strahlende Wärme behält hier ihre Temperatur bei. § 42. Die Iiichtzeit in einem gleichförmig bewegten System. Wir hatten in § 39 die Aberration des Fixstemlichtes erklärt; indem wir zeigten, daß nach der Lorentzschen Theorie die Richtung des von einem mit der Geschwindigkeit to be- wegten Beobachter wahrgenommenen relativen Strahles durch den Vektor bestimmt ist (Gleichung 209) (232) c'=c-la, d. h. durch den Vektor der Relativgeschwindigkeit von Licht und Beobachter. Unter to war dabei die Geschwindigkeit der Erde zu verstehen. Berücksichtigt man nur die Umlaufs- bewegung um die Sonne, indem man eine gemeinsame Be- wegung des gesamten Sonnensystemes zunächst außer acht läßt, so ist |to| nahezu konstant; es ist (232a) /3« 1^ = 10 *• Welchen Einfluß hat nun die Erdbewegung auf dasjenige Licht, welches von irdischen Lichtquellen entsandt wird? Läßt sich nicht durch Beobachtung dieses Lichtes , also durch optische Versuche im Laboratorium, die Bewegung der Erde feststellen? Diese Frage führt uns dazu, die Lichtfortpflanzung in einem gleichförmig bewegten Systeme zu behandehi. Die Richtung des absoluten, zur Zeit t in einem Auf- punkte P eintreffenden Strahles ist durch den Radiusvektor r bestimmt (Abb. 2 S. 87), der vom Orte E' des Entsendens aus nach dem Aufpunkte hin gezogen ist. Li E' befand sich die Licht- Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 367 r qnelle zu einer nm die Latenszeit r =» — zurückliegenden Zeit t — r. Zur Zeit t, wo das Licht in P anlangt^ befindet sich die Lichtquelle im Punkte E] sie hat die Strecke to • — zurück- gelegt. Der nach dem Aui^unkte P hin von dem gleich- zeitigen Orte der Lichtquelle aus gezogene Fahrstrahl EP mag jetzt mit t' (statt mit W) bezeichnet werden. Es ist (232 b) r'-t-iu.^. Da r die absolute Strahlrichtung anzeigt; so ist t c r c es folgt mithin aus (232) und (232 b) (232c) l'«i:il!L=,f:. ^ ^ r c c Es wird demnach die Richtung des relativen Strahles durch den von der gleichzeitigen Lage der Lichtquelle aus gezogenen Fahrstrahl angezeigt, d. h. in einem gleichförmig bewegten Systeme sieht man die Lichtquelle dort, wo sie sich gerade befindet. Die gemeinsame Bewegung von Lichtquelle und Beobachter ist demnach durch Beobachtung der Strahlrichtung durchaus nicht festzustellen. Ahnlich wie mit der Richtung verhalt es sich mit der Farbe des Lichtes. Hatten wir doch bereits in § 14 gezeigt, daß bei einer gemeinsamen gleichförmigen Translation der Lichtquelle und des Beobachters die Dopplersche Korrektion fortfallt. Die Schwingungen irdischer Lichtquellen werden von einem mit der Erde bewegten Beobachter richtig gezählt. Auf die wahrgenommene Farbe ist demnach die Erdbewegung gleichfalls ohne Einfluß. Dagegen sollte man vermuten^ daß die Erdbewegung durch Messung der Lichtzeit sich feststellen ließe. Denn die seit dem Augenblicke des Entsendens verstrichene Zeit ist konstant auf Kugeln, die um den Ort E' des Entsenders (Abb. 2) ge- zogen sind. Der gleichzeitige Ort E der Lichtquelle liegt 368 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet« Vorgänge in wägbaren KOrpem. exzentrisch zu diesen Wellenflächen. Es maß demnach die Latenszeit eine andere in dem bewegten Systeme sein als in dem ruhenden^ und es fragt sich^ ob nicht hier die Beobachtung einsetzen und einen wahrnehmbaren Einfloß der Erdbewegung feststellen könnte. Diese Frage bedarf der genaueren Unter- suchung. Aus dem Dreieck der Vektoren t, t' und to • — folgt r^^r'^+r^ß^+ 2rWß cos ^, oder y«x«- 2r r^ß cos f = r'^ x»« 1 - /}«. Die Auflosung dieser quadratischen Gleichung ergibt als Wert des (stets positiven) r (233) r = x''^r'ß cos f + l/r'*x»+ r'»/}»cos»^}- Wir führen an Stelle des Fahrstrahles r' mit den Kom- ponenten a:' = r' cos 1/;, y', is^ den Vektor to ein, mit den Komponenten (233a) ^0^^' Vo^y'y ^o""^'- Diesen Zusammenhang zwischen dem Fahrstrahl t' im bewegten Systeme 2' und dem eingeführten Hilfsvektor to wollen wir symbolisch darstellen durch (234) t' = (x,l,l)to. Deutet man Xq y^ z^ als Koordinaten eines Systemes Sq^ so entsteht dieses System aus dem betrachteten bewegten Systeme 27' durch eine Streckung parallel der Bewegungsrichtung im Ver- hältnis ^c""^. Die Einführung eines solchen ruhenden Hilfs- systemes hat uns schon früher (§ 18 S. 163, Gleichung 105), bei der Behandlung der gleichförmigen Translation elektrischer Ladungen, gute Dienste geleistet. Jetzt können wir (233) schreiben Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 369 Division durch c ergibt für die Lichtzeit t die Gleichung (235) xr = To+^. C Dabei ist Tn=— die Lichtzeit in dem ruhenden Hilfs- ^ c Systeme 2^, aus welchem das bewegte System durch eine Kontraktion parallel der Bewegungsrichtung^ im Verhältnis x, herrorgeht. Wir wollen zunächst nur Größen erster Ordnung in ß berücksichtigen^ Größen der Ordnung ß^ jedoch streichen. Be- gnügen wir uns mit dieser Annäherung, so haben wir x durch 1 zu ersetzen. Es wird dann das System 2q identisch mit 2?'. Wir können daher (235) schreiben (235a) r = T'+^. Dabei ist t' die Lichtzeit; die in dem ruhenden Systeme zur Durchlaufung einer gewissen Strecke erforderlich ist. Wird nun das System in Bewegung gesetzt und die gleiche Strecke im relativen Strahlengang im System durchlaufen; so entspricht dem zugehörigen absoluten Strahlengang im Baume die Licht- zeit T. Wie wir sehen, ist v größer oder kleiner als t', je nachdem der relative Strahl einen spitzen oder stumpfen Winkel mit der Bewegnngsrichtung einschließt. Die Differenz der Licht- zeiten im bewegten und im ruhenden Systeme ist von der ersten Ordnung in ß] man sollte meinen, daß sie der Messung zugänglich wäre. Sie wäre es auch, wenn es möglich wäre, die an zwei verschiedenen Punkten des bewegten Systemes ge- messenen Zeiten mit beliebiger Genauigkeit aufeinander zu be- ziehen; das ist indessen nicht möglich. Am genauesten ist die Zeit durch optische oder elektrische Signale festzulegen. Wir denken uns ein ruhendes System; einen Punkt 0 desselben wählen wir als Bezugspunkt. Li dem Momente, den wir als Anfang der Zeitrechnung festlegen, geben wir von 0 aus ein Lichtzeichen. Ein in P befindlicher Be- obachter wird zur Zeit des Eintreffens des Signales die Zeit t notieren, die sich als Quotient aus dem Lichtwege OP und Abraham, Theorie der Elektrisitttt. IL 24 370 Zweiter Abscbnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. der uniyersellen Konstanten c der Orundgleichungen berechnet. Zwei in 0 und P befindliche Beobachter können so dnrch Lichtzeichen; oder allgemeiner durch elektrische Zeichen, ihre Chronometer vergleichen. Diese Vergleichung bemht auf der Isotropie der Lichtfortpflanznng^ welche f&r ein ruhendes System von unseren Ghnndgleichungen gefordert wird. Die Zeit i, die an so verglichenen und gleichlaufenden Uhren ab- gelesen wird; ist es, die in den Grundgleichungen auftritt. Ihre Definition setzt die Existenz eines absolut ruhenden Bezugssystemes voraus. Nun beziehen sich aber unsere Zeitmessungen in Wirklich- keit auf ein bewegtes System, in welchem die Lichtfortpflanzung nicht mehr nach aUen Richtungen mit derselben Geschwindig- keit vor sich geht. Dennoch wollen wir uns die Vergleichung der in 0 und P befindlichen Chronometer in der oben an- gegebenen Weise ausgeführt denken, indem wir die Bewegung des Systemes unberücksichtigt lassen und so verfahren, als ob die relative Geschwindigkeit des Lichtes auch jetzt noch un- abhängig von der Richtung, und zwar gleich c, wäre. Die so für die Punkte des gleichförmig bewegten Systemes festgelegte Zeit t' woUen wir mit H. A. Lorentz die „Ortszeit'^ des be- treffenden Punktes nennen. Offenbar besteht zwischen der Orts- zeit t' und der allgemeinen Zeit t eben diejenige Beziehung; die oben für r' und r abgeleitet wurde, (236) t^t' + ^- Kontrollieren wir die Chronometer, indem wir ein Licht- zeichen umgekehrt von P nach 0 übermitteln und den im relativen Strahlengange zurückgelegten Lichtweg in Rechnung ziehen, so finden wir ihre Angaben bestätigt. Die Gang- differenz (— ) zweier die allgemeine Zeit t und die Ortszeit f anzeigender Uhren, die in P stattfindet, verschwindet nämlich wieder, wenn man zu 0 zurückkehrt. Die Differenz zwischen Orts- zeit und allgemeiner Zeit ist eben nur eine Funktion des Ortes im gleichförmig bewegten Systeme; sie verschwindet daher beim Zweitei Kapitel. Bewegte Körper. 371 Durchlanfen eines im bewegten System geschlossenen Weges. Gibt man die Lichtzeichen nicht direkt von 0 nach P, sondern schaltet eine Beihe von Zwischenstationen ein^ so gelangt man zn demselben Werte der Ortszeit; es kommt nur die Differenz der parallel der Bewegongsrichtnng des Systemes gemessenen Koordinaten von Endpunkt und Anfangspimkt des im relativen Strahlengang durchlaufenen Lichtweges in Frage; diese gibt^ mit (— ) multipliziert, die Abweichung der Ortszeit von der allgemeinen Zeit an. Aus der Definition der Ortszeit fließt nun die selbst- ' verständliche Folgerung: Die zur Durchlaufung einer ge- gebenen Strecke t' im bewegten System erforderliche Lichtzeit ist von der Geschwindigkeit des Systemes unabhängig (was Größen erster Ordnung in ß anbelangt); wenn sie durch die Differenz der Ortszeiten gemessen wird; die dem Entsenden und dem Eintreffen des Lichtes entsprechen. Die so gemessene Lichtzeit ist eben nicht T, sondern r'; r' jedoch ist der durch c geteilte im relativen Strahlengange durchlaufene Lichtweg. Dieser Licht- weg ist für eine Strecke von gegebener Länge von deren Orientierung gegen die Bewegungsrichtung des Systemes un- abhängig. Wir sind jetzt in der Lage, zu beurteilen, inwieweit die Beobachtung den Einfluß der Erdbewegung auf die Lichtzeit feststellen könnte. Wird die Lichtzeit mit Hilfe von rotierenden Spiegeln, Zahnrädern oder dergleichen gemessen, so kommt es darauf an, durch welche Mittel die Stellung derselben regu- liert wird. Wird sie durch optische oder elektromagnetische Mittel reguliert, so kommt das auf dasselbe heraus, als wenn die Zeitmessung nach Ortszeit geschieht. Alsdann fällt jeder Einfluß der Erdbewegung fort, es ergibt sich dieselbe Licht- zeit, ob nun der Strahl parallel oder entgegen der Bewegungs- richtung der Erde sich fortpflanzt. Um den Einfluß der Erd- bewegung festzustellen, bedarf es einer nicht elektromagne- tischen Eontrolle der Apparate. Dabei müßte die Stellung der 24* 372 Zweiter Abflchnitfc. Elektromagnet. Vorgänge in w&gbaren Körpern. t rotierenden Spiegel oder Zahnrader so genau reguliert sein, ßx' daß Abweichungen in ihrer Stellung, wie sie in der Zeit ^-— vorkommen, mit Sicherheit yermieden sind; diese Zeit ist aber höchstens gleich dem Brachteil 10 ~' der Lichtzeit. Eine so genaue mechanische Eontrolle des Gbnges der Apparate dürfte kaum durchfOhrbar sein. Steht man auf dem Standpunkte der elektromagnetischen Weltanschauung, welche die mechanischen Kräfte auf elektromagnetische zurückzufahren strebt, so würde man auch eine solche mechanische B^ulienmg als eine Regulie- rung nach Ortszeit anzusehen haben; man müßte dann erwarten, daß der Versuch, den Einfluß der Erdbew^ung auf die Licht- zeit zu entdecken, unter allen Umstanden ein negatives Er- gebnis hätte. Wir haben uns hier darauf beschrankt, die Fortpflanzung des Lichtes im leeren Baume zu behandeln, von der Mit- Wirkung dielektrischer Körper haben wir abgesehen. Das er- haltene Ergebnis jedoch gilt auch in allgemeineren I^en, wie von H. A. Lorentz auf Grand der Feldgleichungen des § 36 bewiesen worden ist^); beschrankt man sich auf Größen erster Ordnung in ß und auf unmagnetisierbare Nichtleiter, so gilt folgender Satz: Die Vektoren tt' und^' hängen im gleich- förmig bewegten Systeme in derselben Weise von der Ortszeit t' und den relativen Koordinaten {x* y* 0^ ab, wie im ruhenden Systeme tt und^ von der allgemeinen Zeit t und den Koordinaten (xya) abhängen. In der- selben Weise entsprechen einander die von der Verschiebung der Fokrisationselektronen herrührenden elektrischen Momente f im bewegten und im ruhenden System. Dabei ist angenommen, daß die quasielastischen Kräfte, welche die Elektronen in die Gleichgewichtslage ziehen, keine Änderung erster Ordnung durch die Bewegung erfahren; von der elektromagnetischen Masse, die bei dispergierenden Körpern ins Spiel kommt, folgt dies aus unseren früheren Entwickelungen. Das Fehlen eines 1) H. A. Lorentz. Yersnch einer Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. Leiden 1895. Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 373 bemerkbaren Einflasses erster Ordnung der Erdbewegung auf das von irdischen Lichtquellen herrührende Licht ist auch bei Mitwirkung wägbarer durchsichtiger Körper mit der Elektronen- theorie sehr wohl vereinbar. Es erklärt sich ebenso wie das n^ative Ergebnis zahlreicher auf die Entdeckung eines Ein* flusses der Erdbewegung hinzielender rein elektromagnetischer Versuche auf Grund dieser Theorie^ ohne daß es notwendig wäre, zu neuen Hypothesen seine Zuflucht zu nehmen« § 43. Der Versnch von Hiohelson. Wir wollen uns jetzt nicht mehr auf Gh'ößen erster Ordnung in ß beschränken, sondern den exakten Ausdruck (235) der Lichtzeit t zugrujide legen. Es stellt dabei Tq die Lichtzeit in dem ruhenden Hilfssystem 2q yot, das aus dem bewegten System 2]' durch eine Streckung parallel der Bewegungs- richtung, im Verhältnis x" , entstanden ist. Zwei Fahr- strahlen t' in S* bzw. Xq in 2^ sind durch (234) aufeinander bezogen. Es werde nun der Fahrstrahl r' des bewegten Systemes im' relativen Strahlengange zweimal durchlaufen, einmal in hinläufigem, das andere Mal in rückläufigem Sinne. Es seien T , und T_ die entsprechenden Lichtzeiten. Nach (235) ist dann (237) T^+T_=2x--i.To die gesamte, für den Hinweg und Rückweg erforder- liche Lichtzeit. Der gesamte, im absoluten Strahlengang zurückgelegte Lichtweg ist (237a) ?=»2x~'.ro=x"'io- Wir denken uns mm in 27' diejenigen Punkte P, die auf einer um 0 als Mittelpunkt geschlagenen Engel vom Radius r' liegen. Würde das System ruhen, so wäre der gesamte Lichtweg OP 0 für alle diese Punkte P der gleiche, nämlich 2r\ Die Bewegung des Systemes bringt es nun, wie Gleichung (237 a) besagt, mit 374 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. sichy daß der Lichtweg l ein anderer ist, je nach dem Winkel, den der relative Strahl OP mit der Bichtnng der Bewegung einschließt. Denn einer Kugel in 27' entspricht in 2^ ein parallel der o; -Achse im Verhältnis x" gestrecktes Rotations- ellipsoid; derjenige Badiusvektor r^ dieses Rotationsellipsoides, welcher dem betreffenden Fahrstrahl OP entspricht, ist nach (237 a) für die Länge des absoluten Lichtweges maßgebend. Vergleicht man insbesondere zwei Fahrstrahlen gleicher Länge in U^, von denen der erste parallel, der zweite senkrecht zur Bewegungsrichtung weist, so verhalten sich die entsprechenden B>adienvektoren in 2?^ nach (234) wie x :1; in demselben Verhältnis müssen nach (237 a) die Längen der beiden, im absoluten Strahlengange durchlaufenen Lichtwege stehen. Die Differenz ^l derselben ist demnach (237b) Jl = (x~'- 1) i = j(l - ßT^- l) l --^ß% wenn Größen vierter und höherer Ordnung in ß gestrichen werden. Auf die Entdeckung dieser zuerst von Marwell aus der Annahme ruhenden Äthers abgeleiteten Differenz der Licht- wege, welche zwei parallel bzw. senkrecht zur Erdbewegung gerichteten relativen Strahlen entsprechen, zielte der Versuch von A. Michelson^) hin. Es wurden zwei Lichtstrahlen zur Literferenz gebracht, welche, von derselben Lichtquelle aus- gehend, längs zweier zueinander senkrechter Arme OP und OQ sich fortgepflanzt hatten und dort durch Spiegel zurück- reflektiert waren. Indem jedes Lichtbündel mehrmals hin und her reflektiert wurde, konnte die Länge Z des Lichtweges auf 22 m gebracht werden. Es wurde nun zuerst der Arm OF in Richtung der Erdbewegung gestellt und dann durch Drehung des Apparates um einen rechten Winkel der Arm 0 Q in diese Lage gebracht. Dabei wäre eine Verschiebung der Literferenz- 1) A. Michelson. American Journal of Science (3) 22, 8. 120, 1881. Michelson nnd Morley. American Journal of Science (3) 34, S. 388, 1887. Phü. Mag. (ö) 24, S. 449, 1887. Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 375 streifen zu erwarten gewesen. In Brnchteilen der Wellen- lange des verwandten Natriumlichtes gemessen^ beträgt die f&r die Yerschiebnng maßgebende doppelte Differenz der beiden Lichtwege 2Jl _ jS*Z _ 10""^- 22 • 10* 5,9 . 10 (237c) Hf' = Ef = ÜL_^lli!?: = 0,37. Die erhaltenen Verschiebungen der Interferenzstreifen aber waren kleiner als 0,02 des Streifenabstandes. Das negative Ergebnis des Michelsonschen Interferenz- versuches spricht gegen die Annahme ruhenden Äthers, mithin auch gegen die Lorentzsche Theorie, falls die bei der Ab- leitung von (237 b) stillschweigend gemachte Voraussetzung zutrifft, daß die Abmessungen der festen Körper auf der be- wegten Erde die gleichen sind, die sie auf der ruhenden Erde wären. Läßt man die Möglichkeit einer Dimensionsänderung infolge der Erdbewegung zu, so sind die Betrachtungen ent- sprechend abzuändern. In der Tat haben Fitzgerald und H. A. Lorentz das negative Ergebnis des Michelsonschen Ver- suches erklärt, indem sie zur Hypothese der Eontraktion der Materie infolge der Erdbewegung ihre Zuflucht nahmen: Es sollen die Körper infolge der Erdbewegung eine Kontraktion im Verhältnis x paraUel der Bewegungsrichtung erfahren, derart, daß die Punkte, die auf der ruhenden Erde auf einer Kugel liegen würden, auf der bewegten Erde auf einem Heaviside-Ellipsoid liegen. Betrachtet man in dem gleichförmig bewegten Systeme 21^ die Punkte P, die auf einem Heaviside-Ellipsoide um 0 liegen, und vergleicht die Lichtwege, welche nach (237 a) dem rela- tiven Strahlengang OPO entsprechen, so findet man, daß sie alle den gleichen Wert haben. Denn geht man hier in der durch (234) angezeigten Weise zu dem ruhenden Hilfssysteme 2^ über, so stellt sich heraus, daß dem Heaviside-Ellipsoide in 2^ eine Kugel in 21 ^ entspricht, daß demnach allen Badien- vektoren OP des Heaviside-EUipsoides derselbe Wert von r^ und folglich, nach (237 a), derselbe absolute Lichtweg zukommt. 376 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yor^jige in wägbaren Körpern. Nach der Fitzgerald- Lorentzschen Hypothese ist demnach ein positives Ergebnis des Interferenzyersnches ausgeschlossen^ nicht nnr^ was Größen zweiter Ordnung, sondern anch, was Größen beliebiger Ordnung anbelangt. Wird der Arm OQ statt OP beim Michelsonschen Versuch der Richtung der Erdbewegung paraUel gesteUt, so wird 0^ im Verhötnis x verkürzt, OP im Verhältnis x~"^ verlängert und die hierdurch bedingte Ver- ändenmg der Lichtwege kompensiert gerade die infolge der Bewegung der Erde stattfindende, so daß keine Verschiebung der Interferenzstreifen zu erwarten isi Man könnte nun einwenden, daß die Dimensionsänderungen fester Körper, wenn sie auch sehr klein sind, der Messung zu^mglich sein müßten. Das wäre aber nur dann möglich, wenn man die Abmessungen der Körper durch „absolut ruhende^' Maßstäbe messen könnte. Wir sind aber auf solche Maßstäbe angewiesen, die sich mit der Erde bewegen; diese erfahren nach der Kontraktionshypoihese bei der Bewegung der Erde dieselbe Längenändemng, wie die zu messenden Körper; eine Kugel des irdischen Maßstabes ist der Kon- traktionshypothese zufolge ein Heaviside-EUipsoid des „absolut ruhenden'^ Maßstabes. Mit irdischen Maßsiäben kann man diese Behauptung weder bestätigen noch widerlegen. Auch wenn man zur Längenmessung optische Methoden verwendet, ist es selbstverständlich unmöglich, die behauptete Kontraktion der Materie festzustellen. Man würde dann die Länge eines Stabes durch den Lichtweg messen, während beim Michelson- schen Versuch der Lichtweg durch die Länge eines festen Stabes gemessen wird. Der Einfluß der Erdbewegung auf Lichtweg einerseits und Lauge des Stabes anderseits kompen- siert sich aber gerade so, daß sie auf der bewegten Erde gleich erscheinen, wenn sie auf der ruhenden gleich wären; eine optische oder elektrische Messung kann also niemals die be- hauptete Anisotropie der Körper auf der bewegten Erde fest- stellen. Ein Einfluß der Erdbewegung bleibt jedoch nach (237 a) bestehen. Während in dem ruhenden Systeme Uq, in welches Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 377 die Erde, zur Rnhe gebracht, übergehen würde, der Lichtweg OPO gleich ^0 wäre, ist der wahre Lichtweg auf der be- wegten Erde im Verhältnis x~^ vergrößert. Da nun unsere Zeiteinheit unabhängig von optischen Messungen festgelegt ist, so mnß die Lichtgeschwindigkeit, gemessen auf der bewegten Erde, im Verhältnis x^^ großer sein als die Lichtgeschwindig- keit, gemessen in einem absolnt ruhenden Systeme; letztere ist identisch mit der Konstante c der Grundgleichungen. Es müßte demnach die universeUe Konstante c im Verhältnis x kleiner sein als die durch irdische Messungen bestimmte Licht- geschwindigkeit. Die Abweichung beträgt allerdings nur C'-^ß^^ 1,5 m pro Sekunde, sie liegt also durchaus innerhalb der Grenzen der Beobachtungsfehler. Der soeben erörterte umstand läßt es als zweckmäßig er- scheinen, bei der Abbildung des bewegten Systemes 27' auf das ruhende Hilfssystem 2^ gleichzeitig eine neue Zeiteinheit zugrunde zu legen. In der Tat ist die „Ortszeit'^ t^ bei Berücksichtigung von Größen zweiter und höherer Ordnung in j3 zu definieren durch (238) x«==<„ + ^. Wird /J' gestrichen, so geht die so definierte Ortszeit t^ in die im vorigen Paragraphen eingeführte V über (Gleichung 236). Wie die in Strenge gültige Gleichung (235) lehrt, ist die durch die Differenz der Ortszeiten t^ gemessene Lichtzeit im bewegten System 27' für jeden, im relativen Strahlengang durchlaufenen Weg r' die gleiche wie für den entsprechenden Lichtweg to des ruhenden Hilfssystemes 27^. Trifft die Be- hauptung der Kontraktionshypothese zu, daß ein ruhendes System 27^, in Bewegung gesetzt, in das durch (239) r'-(x,l,l)ro dargestellte System 27' übergeht, so ist jeder Einfiuß der Erd- bewegung auf die Lichtzeit ausgeschlossen (auch ein Einfluß zweiter und höherer Ordnung), fedls die zur Messung ver- wandten Apparate optisch oder elektrisch reguliert werden. 378 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Die zur Erklärung des Michelsouschen Yersnches ein- geführte Kontraktionshypothese erscheint zuiuLchst bedenklich. H. A. Lorentz hat indessen versucht^ sie plausibel zu machen, indem er 'von der VorsteUung ausging, daß die Molekular- krafte^ welche die Form fester Körper bestimmen^ elektrischer Natur sind. An jedem Moleküle des ruhenden Körpers halten sich^ dieser Vorstellung zufolge^ die von den übrigen Molekülen herrührenden elektrostatischen Kräfte das Gleichgewicht. Wird nun der Körper in eine gleichförmige Translationsbewegung versetzt^ so werden die Molekularkräfte abgeändert, indem zu dem elektrischen Felde ein magnetisches tritt. Wie in § 18 dargelegt wurde, entspricht dem Gleichgewichte der elektro- statischen Kräfte &q im ruhenden Systeme 2Jq ein Gleich- gewicht der elektromagnetischen Kräfte f^ (hierfür ist jetzt &' zu schreiben) in einem bewegten Systeme, welches aus 27q durch eine Kontraktion im Verhältnis x parallel der Be- wegungsrichtung hervorgeht. Dieses bewegte System ist nach (239) kein anderes, als das von der Kontraktionshypothese angenommene System 2J\ In 2J^ würde also an jedem Mole- küle Gleichgewicht der Molekularkräfte bestehen, wenn es in dem ruhenden Systeme 2Jq bestand; allgemein stehen die elektrostatische Kraft @o auf die ruhende und die elektro- maguetische Kraft 6' auf die mitbewegte Einheit der Ladmig, die in zwei einander entsprechenden Punkten von 2q bzw. 27' herrschen, in dem durch (106c, S. 165) ausgedrückten Zu- sammenhange; wir wollen diese Beziehungen symbolisch dar- stellen durch (240) e'-(i,x,x)eo- Betrachtet man die Molekularkräfte in ruhenden Körpern als elektrostatische Kräfte und läßt man die Wirkungen der regellosen Molekularbewegungen außer acht, so erscheint es hiernach plausibel, daß ein fester Körper, in Bewegung ge- setzt, sich der Bewegungsrichtung parallel im Verhältnis x kontrahiert. Allerdings dürfen wir uns nicht verhehlen, daß wir noch weit davon entfernt sind, die Molekularkräfte in I I J Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 379 nüieuden Körpern auf Grund der elektrischen Auffassung in befriedigender Weise deuten zu können. Akzeptiert man jene elektrische Deutung der Molekular- kräfte, so ist eine mechanische Regulierung der Stellung von Zahnrädern oder rotierenden Spiegeln zum Zwecke der Messung der Lichtzeit (§ 42) als elektromagnetische Regulierung an- zusehen; es erscheint alsdann ausgeschlossen^ daß die Trans- lationsbewegung der Erde auf die Lichtzeit, die Abmessungen fester Körper oder auf Interferenzversuche nach Art des Michelsonschen irgendwelchen Einfluß beliebiger Ordnung besitzt, der sich einem irdischen Beobachter kundgeben könnte. Dieses folgt aus den bisherigen Erörterungen, soweit nur die Lichtfortpflanzung im leeren Räume in Betracht kommt. § 44. Die Lorentzsohe nnd die Cohnsohe Optik bewegter Körper. Läßt die Elektronentheorie ein negatives Ergebnis des Michelsonschen Interferenz Versuches auch dann erwarten, wenn die Lichtfortpflanzung nicht im leeren Räume, sondern in einem beliebigen dielektrischen Körper geschieht? Von dieser Frage ausgehend, hat H. A. Lorentz in zwei neueren Arbeiten^) seine Untersuchungen auf gleichförmig bewegte Systeme aus- gedehnt, deren Geschwindigkeit zwar kleiner als die Licht- geschwindigkeit, aber nicht klein gegen die Lichtgeschwindig- keit ist. Er hat Hypothesen über die Eigenschafben der Elek- tronen und Moleküle aufgestellt, welche, kombiniert mit der Kontraktionshypothese, geeignet sind, von allen negativen Versuchsergebnissen über den Einfluß der Erdbewegung auf die elektrischen und optischen Erscheinungen Rechenschaft zu geben. Er nimmt an, daß die Verschiebungen der Polarisations- elektronen aus ihrer Gleichgewichtslage, welche die Licht- fortpflanzung in durchsichtigen Körpern begleiten, infolge der 1) H. A. Lorentz. Acad. van Wetensch. de Amsterdam 7, S. 607, 1899, und 12, S. 986, 1904. « 380 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Bewegung der Körper in derselben Weise abgeändert werden, wie die nach entsprechenden materiellen Punkten gezogenen Fahrstrahlen (vgl. 239) der Kontraktionshypothese gemäß sich ändern. Da die elektrische Polarisation ^ anf die Yolum- einheit berechnet ist, so würde i (241) jp = (l,x-Sx-i)fP„ den Znsammenhang angeben, in welchem die Polarisationen aix entsprechenden Punkten des ruhenden Systemes U^ und des bewegten Systemes 2' stehen. Dabei sind die relativen Geschwindigkeiten der Elektronen gegen die Materie, die in 2' bzw. in 27q stattfinden, auszudrücken durch dieselben sind demnach, mit Rücksicht auf (238) und (239), verknüpft durch (241a) l>'=«(x',x,x)l>o. Die Beschleunigungen der Elektronen in ent- sprechenden Punkten von 27' und 2Jq sind mithin aufeinander bezogen durch (241b) i = (x^ X«, X«) »0. Die Grundgleichungen (Ic bis IVc, S. 324) gelten nach der Elektronentheorie für beliebig rasch bewegte unmagnetisierbare Körper. Nimmt man die Definitionsgleichungen (195) und (195a) von @' und ^' hinzu und setzt: 4Ä2>«e + 43r^; i = 0, so gelangt man zu einem für durchsichtige, unmagnetisierbare Körper gültigen Gleichungssysteme, in welchem die wahren Koordinaten und die allgemeine Zeit i die unabhängigen Ver- änderlichen sind. Führt man nun statt dieser die Koordinaten Xq Pq Zq des Hilfssystemes 2q ein und gleichzeitig die Ortszeit t^, die durch (238) definiert ist, so gelangt man für gleichförmig bewegte Systeme zu einer neuen Form der Grrundgleichungen. H. A. Lorentz hat nun gezeigt, daß man dieselbe auf die Form j Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 381 der Grandgleichmigen fQr ruhende Körper reduzieren kann, wenn man statt ^ den durch (241) definierten Vektor ^^ und gleichzeitig durch (242) r-(l,x,x)«„, (243) #' = (l,x,x)^, zwei neue Vektoren S^ und ^^ einfährt. Kennt man för das ruhende Hilfssystem Z^ den Verlauf eines elektromagnetischen Vorganges und der mit ihm yerbundenen Elektronenbewegung, so geben (242) und (243) die Werte der elektromagnetischen Vektoren @' und ^' in dem bewegten Systeme 27' an, welche sich der durch (241a, b) dargestellten Elektronenbewegung zuordnen. Durch (244) @' = (x«,x,x)©o ist dann der relative Strahl in 2' (vgl. 213b; S. 341) dem absoluten Strahle des ruhenden Hilfssystemes U^ zugeordnet. Dieser Satz von H. A. Lorentz, auf dessen Beweis wir hier verzichten, beruht allein auf den allgemeinen Ghrund- hypothesen der Elektronentheorie, welche in den Grund- gleichungen (I bis V) ihren Ausdruck finden. Er gestattet es^ die Lösung eines Problemes der Optik des gleichförmig be- wegten Systemes 2J' zurückzuführen auf die Losung des ent* sprechenden Problemes für das ruhende System 2Jq. Diese Zurückführung ist auch dann möglich, wenn man die be- sonderen Hypothesen von H. A. Lorentz fallen läßt. Gibt man die Kontraktionshypothese auf, so ist das ruhende Hilfs- system 2Jq eben nicht mehr dasjenige, in welches der bewegte Körper, zur Buhe gebracht, übergehen würde. Gibt man die Lorentzsche Hypothese betreffs der Bewegung der Elektronen auf, so sind H^ und i^ nicht mehr die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, welche die Elektronen in dem bewegten Körper, wenn er zur Buhe gebracht wäre, bei dem betreffenden Strahlungsvorgange wirklich annehmen würden. Alsdann wird eben ein Einfluß der Bewegung auf die Erscheinungen im Prinzip nicht ansgeBchlossen sein. Die Kontraktionshypothese besagt nun gerade, daß das bewegte System, zur Buhe ge- 382 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Yor^Uige in wägbaren Körpern. bracht; von selbst in Uq übergeht. Die Loreutzsche Hypothese über die Bewegung der Elektronen besagt ferner^ daß t^ nnd b^ gerade diejenigen Geschwindigkeiten nnd Beschlennigongen sind; welche die Elektronen bei dem betreffenden Strahlnngsvorgange in dem znr ßnhe gebrachten Körper besitzen würden. Für die relative Strahlung durch entsprechende Flachenelemente in 2Jq und 2' folgt aus (239) und (244) alsdann (244a) ^ldf-^^®o^df^. Nach H. A. Lorentz ist die relative Strahlung^ welche zur Ortszeit t^ auf ein gegebenes Flächenelement von 27' fällt, nur durch den Faktor x* von der absoluten Strahlung verschieden, welche zur allgemeinen Zeit t^ auf das entsprechende Flächenelement in U^ fallt. Hier- durch ist ausgesprochen, daß nach den Lorentzschen Hypothesen ein Einfluß der Erdbewegung auf die Richtung des relativen Strahles, sowie auf Interferenzerscheinungen auch bei Verwen- dung lichtbrechender Körper ausgeschlossen ist. Auch eine Doppelbrechung der Körper infolge der Erdbewegung kann dann nicht stattfinden, so daß das negative Ergebnis der auf die Ent- deckung einer Doppelbrechung der Ordnung ß^ hinzielenden Versuche von Rayleigh^) und Brace*) mit dem Lorentzschen Hypothesensystem vereinbar ist. Die Verringerung der Intensität der relativen Strahlung, welche durch (244a) angezeigt wird, würde sich völlig der Beobachtung entziehen. Wir wollen die Lorentzschen Sätze zu einem Probleme der Optik bewegter Körper in Beziehung bringen, welches wir gelöst haben (§ 14), nämlich dem Probleme des bewegten leuchtenden Punktes. Wir haben dort hauptsächlich die ab- solute Strahlung zum Gegenstand der Betrachtungen gemacht, welche sowohl für die ausgestrahlte Energie, wie für die aus- gestrahlte Bewegungsgröße maßgebend ist. Wir wollen jetzt einige Bemerkungen über die relative Strahlung und über den 1) Rayleigb. Phil. Mag. 4, S. 678, 1902. 2) D. B. Brace. Phil. Mag. 7, S. 317, 1904. Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 383 Lichtdruck anknüpfen, welche ein mit der Lichtquelle mit- bewegter Beobachter wahrnehmen würde. Wir betrachten die Strahlung, welche der mit der Erde bewegte leuchtende Punkt seiner Bewegungsrichtung parallel entsendet; für diese kommen nur die transversalen Schwin- gungen des emittierenden Elektrons in Betracht, so daß die Strahlung proportional dem Ausdruck (79) auf S. 112 ist; setzen wir 9, den Winkel zwischen Strahlrichtung und Bewegungs- richtung des Dipols, gleich null, und beachten, daß r der Ab- stand des Aufpunktes von der Lage des leuchtenden Punktes zur Zeit des Entsendens ist, während der Abstand von der gleichzeitigen Lage des leuchtenden Punktes nach (233) ist r' = r(l-/3), SO finden wir als Verhältnis der absoluten Strahlungen im bewegten und im ruhenden Systeme Nach (239) und (241b) ist die parallel der a;- Achse ge- messene Entfernung r' in 2J' im Verhältnis x kleiner als die- jenige in dem ruhenden Hilfssysteme 27q, während die trans- versale Beschleunigung des schwingenden Elektrons im Ver- hältnis x^ größer ist. Demnach wird (245) ®-=@o«-^- Die absolute Strahlung der Lichtquelle erfährt durch die Bewegung der Lichtquelle Änderungen erster Ordnung in /3. Durch den absoluten Strahl @ ist die Dichte der elektro- magnetischen Bewegungsgröße bestimmt und somit der Licht- druck auf eine ruhende schwarze Fläche. Der Druck auf eine mitbewegte, senkrecht zur Bewegungsrichtung gestellte schwarze Fläche ist 384 Zweiter Abschnitt. iElektroxnagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. Ans (245) folgt daher (245a) i>'=l>o-(l + i3)- Der Strahlnngsdrnck auf mitbewegte schwarze Flächen erfährt Änderungen erster Ordnung infolge der Erdbewegung; der Druck muß größer sein^ wenn die Strahlung parallel^ als wenn sie entgegen der Bewegungs- richtung der Erde sich fortpflanzt. Bei der Schwierigkeit^ welche die Beobachtung des Lichtdruckes bietet^ dürfbe es indessen kaum möglich sein, diese geringfQgige Änderung festzustellen. Ist es dagegen eine spiegelnde Fläche, welche yor dem auffallenden Lichte zurückweicht, so ist nach (GL 208, S. 335), nach ümkehrung des Vorzeichens yon ß, zu setzen t p == 2«a 1-ß e 1 + ß Aus (245) folgt mithin (245 b) p'^p,. Der Strahlungsdruck auf mitbewegte Spiegel erfährt keine Änderung infolge der Erdbewegung. Die relative Strahlung irdischer Lichtquellen, welche bolo- metrisch durch schwarze Flächen zu messen ist, ergibt sich aus (211a, S. 338) S;«@,X* = S,. (1-/5)1 Aus (245) folgt somit (245c) @; = x«©o^. Diese mit (244) übereinstimmende Beziehung besagt: Die von der Strahlung irdischer Lichtquellen her- rührende Wärmeentwickelung in zwei senkrecht zur Richtung der Erdbewegung gestellten schwarzen Flächen ist die gleiche, sei es, daß die Strahlung parallel oder entgegen der Bewegungsrichtung der Erde sich fortgepflanzt hat. Zweites Kapitel. Bewegte £öiper. 385 Wir wollen endlich die relative Gesamtstrahlung des be- wegten leuchtenden Punktes ermitteln^ d. h. die gesamte Wärme- entwickelung in einer mitbewegten^ den leuchtenden Punkt einhüllenden schwarzen Fläche. Nimmt man das Mittel über eine Schwingung, so muß im stationären Schwingungszustande die von der Lichtquelle entsandte elektromagnetische Energie der auf die mitbewegte Fläche fallenden gleich sein und die entsandte Bewegungsgröße der auffallenden. Es gibt also der Ausdruck (82) auf S. 118 den relativen Energiestrom durch die bewegte Fläche an. Der im Verhältnis — kleinere Ausdruck (83) stellt die resultierende Kraft dar^ welche die Strahlung auf die auffangende Fläche ausübt; dies ist die Gegenkraft, welche der Beaktionskraft (83 a) der Strahlung auf die Lichtquelle im Sinne des dritten Newtonschen Axiomes entspricht. Im stationären Zustande gilt dieses Axiom, da die elektromagnetische Bewegungs- größe des von der schwarzen Fläche umschlossenen Feldes im Mittel konstant ist; es wird mithin derjenige Teil der aus- gestrahlten Energie, welcher mechanischer Arbeit entstammt, wieder in mechanische Arbeit zurückverwandelt. Zieht man diesen Bruchteil ß^ vom relativen Energiestrom ab, so erhält man die relative Gesamtstrahlung, welche die Wärmeentwicke- lung in der schwarzen Fläche angibt. Es wird also derjenige Teil der emittierten Energie, welcher der thermischen und chemischen Energie der Lichtquelle entstammt, an der auf- fangenden schwarzen Fläche in Wärme verwandelt. Dies ist der Bruchteil x* der entsandten Energie (vgl. 83 c). Wir er- halten schließlich für die relative Gesamtstrahlung Nach (241b) wird dies (246) /®Ur==|^;xnj = x«J@o,d/o, was vollkommen mit (244 a) übereinstimmt. Treffen die Lorentzschen Annahmen über die Eontraktion der Körper und über die Bewegung der Elektronen zu, so Abraham, Theorie der Elektrizität. IL 26 386 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. sind @0 und p^ die wirkliclien Werte des Strahlvektors und des Lichtdruckes auf der zur Buhe gebrachten Erde. Es ist dabei zu betonen, daß die Lorentzschen Annahmen nur insofern hypothetisch sind, als sie Größen zweiter und höherer Ordnung in ß betreffen. Bis auf Größen erster Ordnung folgen sie aus den allgemeinen Grundgleichungen der Elektronentheorie, falls Änderungen erster Ordnung infolge der Erdbewegung in den Abmessungen der Körper, den Massen der Elektronen und den quasielastischen Kräften, welche sie in die Gleichgewichtslage ziehen, ausgeschlossen sind. Sollen die Lorentzschen Hypothesen über die Bewegung der Elektronen auch in betreff der Größen zweiter und höherer Ordnung der Wirklichkeit entsprechen, so müssen die quasi- elastischen Kräfte und die Trägheitskräfte der Elektronen ge- wissen Bedingungen genügen. Um diese Bedingungen ab- zuleiten, denken wir uns zunächst einen Körper, welcher keine erhebliche Dispersion zeigt. Hier ist die Lichtfortpflanzung durch die quasielastischen Kräfte allein bestimmt, indem die Verschiebung der Elektronen dem Gleichgewichte der quasi- elastischen Kraft und der äußeren elektrischen Kraft entspricht. Die Verschiebung der Elektronen aus der Gleichgewichtslage wird für den bewegten Körper gerade dann die von Lorentz angenommene sein, wenn die quasielastischen Kräfte infolge der Erdbewegung die gleiche Änderung erfahren wie die elektrischen Kräfte gemäß Gl. 242. Man kann diese Hypo- these in derselben Weise plausibel machen wie die entsprechende Hypothese über die Änderung der Molekularkräfte, indem man nämlich die quasielastischen Ejräfte in ruhenden Körpern als elektrostatische Kräfte deutet. Diese Annahme über die quasielastischen Kräfte reicht indessen nur dann aus, wenn bei der Lichtbrechung die Träg- heit der Elektronen nicht ins Spiel kommi Nach der Elek- tronentheorie ist gerade die Trägheit der Elektronen für die Dispersion maßgebend (vgl. § 29). Handelt es sich um die Lichtfortpflanzung in einem dispergiependen Körper, so hat die Lorentzsche Annahme über die Bewegung der Elektronen Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 387» gewisse Konsequenzen hinsichtlich der longitadinalen und der transversalen Masse im Gefolge. Es müssen nämlich, wenn anders die Schwingungsgleichung der Elektronen erfüllt sein soll, die Tragheitskräfte in derselben Weise durch die Erd- bewegung beeinflußt werden wie die äußeren elektrischen Kräfte und die quasielastischen Ejräfte, d. h. in der durch (242) angegebenen Weise. Sollen gleichzeitig die Beschleunigungen der Elektronen in dem bewegten Systeme 27' und in dem ruhenden 2]q in dem durch (241b) angegebenen Zusammen- hange stehen, so muß für die Masse als Quotient von Kraft und Beschleimigung die Beziehung gelten (247) m = (x-», x-S x-i) m^. Diese Beziehung drückt in der hier benutzten Symbolik dasselbe aus wie die Gleichungen (125) und (125 a) auf S. 203, die für die elektromagnetische Masse des Lorentzschen Elektrons gelten. In der Tat hat H. A. Lorentz jene Annahme über die Form des Elektrons gerade im Hinblick auf die Optik bewegter Körper gemacht. Infolge der Erdbewegung sollen die Elek- tronen, deren Schwingungen die Geschwindigkeit der Licht- fortpflanzung in den Körpern bestimmen, sich in der gleichen Weise kontrahieren wie die materiellen Körper. Im Ruhe- zustande Kugeln, sollen sie infolge der Bewegung Heaviside- Ellipsoide werden. Diese Hypothese über die Gestaltsänderung der Elektronen, im Verein mit den übrigen Lorentzschen Hypothesen, verbürgt das Fehlen eines bemerkbaren Ein- flusses der Erdbewegung auf die Lichtfortpflanzung in festen Körpern. Für flüssige und gasförmige Körper fügt Lorentz noch die Hypothese hinzu, daß die Massen der Moleküle in derselben Weise durch die Erdbewegung abgeändert werden, wie die elektromagnetischen Massen der Elektronen. Alle diese Hypothesen setzen die Durchführbarkeit der elektro- magnetischen Weltanschauung voraus. Wir haben in § 22 auf die Bedenken auJ^erksam gemacht, welche der Lorentzschen Hypothese des deformierbaren Elek* trons gerade vom Standpunkte des elektromagnetischen Welt- 26* 388 Zweiter Abschnitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Eörpem. bildes aus erwachsen. Von diesem Standpunkte aus mußten wir dem starren Elektron den Vorzug geben. Die Formebi, die wir fOr dessen elektromagnetische Massen aufgestellt haben (S. 193, Gl. 118b, c), weichen, was Größen der Ordnung /J' an- belangt, von den Lorentzschen durch die Faktoren (l ~" tä i^*) ^zw. f 1 — Yq ß^) ab. Demnach würden sich für die Eigenschwingungen der Elektronen auf der bewegten Erde andere Werte ergeben, wenn man unsere Formeln an Stelle der Lorentzschen setzte und die Hypothese über die quasielastischen Kräfte beibehielte; die Quadrate der Wellenlängen der Eigenschwingungen würden dann in demselben Verhältnisse sich ändern, wie die Werte der Massen. Es würde also die Dauer der longitudinalen und der transyersalen Eigenschwingungen der Elektronen infolge der Erd- bewegung um Größen der Ordnung — /S* =10""* voneinander ab- weichen. Diese Abweichung sollte sich f&r dispergierende Körper durch eine Doppelbrechung kundgeben; senkrecht zur Richtung der Erdbewegung sollte sich monochromatisches Licht mit ver- schiedener Geschwindigkeit fortpflanzen, je nachdem es parallel oder senkrecht zur Bewegungsrichtung der Erde polarisiert ist. Eine Doppelbrechung der Körper von dieser Ordnung haben Bayleigh und Brace bei den oben erwähnten Ver- suchen nicht entdecken können, obgleich die Genauigkeit nach den Angäben der Experimentatoren eine hinreichende gewesen wäre. Das Lorentzsche Hypothesensystem ist, weim auch viel- leicht nicht das einzige, so doch wohl das einfachste, welches jeden bemerkbaren Einfluß der Erdbewegung auf die elek- trischen und optischen Eigenschaften der Körper ausschließt. Die Möglichkeit eines solchen auf der Elektronentheorie fußenden Hypothesensystemes zeigt, daß aus dem Fehlen eines solchen Einflusses kein prinzipieUer Einwand gegen die Grund- hypothesen der Elektronentheorie hergeleitet werden kann. Diese allgemeinen Grundhypothesen lassen sich vielmehr mit speziellen Annahmen über die Elektronen und Moleküle derart vereinigen, daß die elektromagnetischen Vor^mge auf der be- Zweites Kapitel. Bewegte Körper. 389 wagten Erde merklich mit denjenigen identisch sind, die auf der rahenden Erde beobachtet werden würden. Auch wenn man sich auf den Standpunkt der allgemeinen Elektronentheorie stellt, so braucht man doch keineswegs jede einzelne der speziellen Hypothesen Ton H. A. Lorentz zu akzeptieren. Durfte doch das elektromagnetische Weltbild, dem diese Hypothesen angepaßt sind, nur als ein Programm bezeichnet werden. Und gerade die Lorentzsche Annahme über die Form des Elektrons ist keineswegs mit diesem Pro- gramm in Einklang zu bringen. Was femer die „quasi- elastischen Krafbe^' anbelangt, welche im Verein mit der Träg- heit die Eigenschwingungen der Elektronen bestimmen sollen, so ist deren Natur uns ganzlich unbekannt. Erst wenn wir die Linienspektra eines ruhenden Körpers auf Grund der Elek- tronentheorie befriedigend werden deuten können, wird es möglich sein, die Optik bewegter Körper sicher zu begründen. Bis dahin sind alle theoretischen Ansätze, welche man der Diskussion des Einflusses der Erdbewegung zugrunde legt, nur Ton proyisorischer Bedeutung und der Abänderung sehr wohl fähig. In Anbetracht der zahlreichen und vielfach bedenklichen Hypothesen, zu welchen die Lorentzsche Elektrodynamik be- wegter Körper ihre Zuflucht nimmt, verdient die von E. Cohn*) aufgestellte Elektrodynamik bewegter Körper Interesse. Diese Theorie sieht von atomistischen Vorstellungen ab. Sie stellt, der rein phänomenologischen Methode getreu, ein System von Feldgleichungen an die Spitze: (248) c.rl#'=^{i + ^), (248a) curir=-|^, (248b) 4«» ==««'- -[»#'], 1) E. Cohn. GKittinger Nachrichten 1901, Heft 1. Ann. d. PhjB. 7, S. 29, 1902. Berliner Sitzongsber. 1904, S. 1294 und 1404. 390 Zweiter Absclinitt. Elektromagnet. Vorgänge in wägbaren Körpern. (248c) { = ?) («•) I. Feld und Bewegung einzelner Elektronen. Losung mit Hilfe des Hertzschen Vektors: 393 8= 1 XdXJ dm^iX, l-X) 0 I ^™ f \Utv • . (Gl. 48 S. 56) i| . (61. 47 S. 54) (Gl. 48 c, d S. 56") (Sg ist das aafänglidie elektrostatische Feld. Bewegte Ptinktladang e: k Geschwindigkeit, ß — —> C X =» f/l — j8*, ^' Zeit des Entsendens, ^ Zeit des Eintreffens im Anfpnnkte^ t, t^ Fahrstrahl vom Orte des Entsendens zum Anfpunkte bzw. entsprechender Einheitsvektor e e^d£ '^ r dt 0 i'-'i) « e» (.4) rc dt rc • • . (Gl. 63, 64, 65, § 11) # = [?!«] (GL 72, 73, S. 97) Ausgestrahlte Energie und BewegnngsgrSße: i . (Gl. 82, 83,8.118) Reaktionskraft der Strahlung: «• = l^:{f. + 4^ + ^ + ^1 (G1.85,S.123) 394 FormelzTuammenstelliing. Elektromagnetische Massen des Elektrons. All- gemeine Formeln: (0 w (f*) m, =» -jLJ- longitudinale Masse l^l } (Gl. 115, 115a, S. 186) m^ = 44 transversale Masse Starres kugelförmiges Elektron (m^ Masse bei lang- samer Bewegung): f) -P'l P *" u- -ßj' 1- -ß' mr = »»o- ^tiß), r/^^ -M ß+^^l. ß+ß] 1 _ ,1l Lorentzsches Elektron: (Gl. 125, 125a, S. 203) »»Q- X~' n. Büektromagnetisehe Tori^ge In wlgrbaren Körpern. Ortmdgleichungen der Lorentzscben Elektro- dynamik für bewegte nnmagnetisierbare Körper (§§ 35 und 36): (I C) curl ^' - V { ^ + W ) • • (^^- 1^' ^- ^1^) (Hc) curl «' y^ . . . . (Gl. 194, S 320) (IHc) div » = Q, (IVc) div #. = 0. i = tf«'=- ff I« + -f [»§]) (GL 195 u.l95b, S.324) 4«2) = e«'--[l«i$] (GL 195c, S.324) C $ = ^'+— [»«] (GL 195 a, S.324) n. Elektromagnetische Vorgänge in wägbaren Körpern. 395 {tu ist die Geschwindigkeit der Materie^ jj bezieht sich auf einen mitbewegten Punkt; (B, $ sind die Mittelwerte der elektromagnetischen Vektoren, welche die im Baume von den Elektronen erregten Felder kennzeichnen; & ist die elektromagnetische Kraft auf die Einheit der mit- bewegten Ladung; b und tf sind Materialkonstanten, die von der Bewegung unabhängig sind, wenn Größen zweiter Ordnung in - — ^ nicht in Frage kommen}. Relativer Strahl: (v) «' = A[gf§'] (GL213b,S.341) Flächenkraft für die Flacheneinheit einer im Räume bewegten Fläche: (Gl. 204, S. 333) Thermodynamisches Gesetz der Wellenstrah" lung: (o) fi"=-^».^(^) (GL228a,S.357) bestimmt die Helligkeit H der Strahlung von der Tempe- ratur d" und der Schwingungszahl v. Plancksche Formel: («) fl = ^.^ (Gl. 229, S. 361) [h und h sind oniTerselle EonBtaaten}. Begister. Die BeiftLgnuig der Paragraphenangabe besagt, daß der ganse Paragraph den betreffenden Gegenstand behandelt. a- Strahlung II 14. Abbildnng, hydrodynamische I 4S (§ 16). Aberration des Fixstemlichtes n 886, 842. Abklingnngskoeffizient n 70. Ablenkbarkeit der ß- Strahlen n 194 (§ 21), 211. Abraham, M., 11 26, 119, 189, 172, 201, 804, 806, 808, 810, 848. absolute Bewegung I 480 (§ 91); n 18. absolute Energieströmung oder Strahlung 11 107, 888. absolutes Maßsystem I 4, 207 (§ 58), 249 (§ 61). Absorption elektrischerWellen 1816; n 276. Absorptionsvermögen I 828; II 868. Achsensysteme I 10 (§ 4). actio und reactio I 886, 898, 417, 421, 428; 11 81. Addition von Vektoren I 6 (§ 2). Äquipotentialflächen I ISO. Äquivalenz von Doppelschicht und Wirbellinie I 108 (§ 29). — von Magneten und elektrischen Strömen I 878 (§ 81). Äther I 142, 218, 866, 422, 480, 486. Ampere I 879; II 260, 282. Amp^resche Schwimmregel I 106, 240. Analogie der elektrischen und mag- netischen Größen I 211 (§ 64), 917, 480; II 264, 890. anomale Dispersion n 278. anomaler Zeemaneffekt II 78. Antenne vgl. Sendedraht. Aschkinaß, E., 11 7. associatives Gesetz der Vektor- addition I 7. atomistische Konstitution der Elek- trizität n 1 (§ 1), 16, 21, 189. ausgestrahlte Energie und Be- wegungsgröße n 128, 282. äußeres Produkt I 16 (§ 6). axialer Vektor I 22 (§ 8), 248. Axiom, erstes Newtons 11 171, 178. — zweites Newtons 11 181, 182. — drittes Newtons 11 28 (§ 6). /}- Strahlung 11 14, 194 (§ 21). Balmer n 79. Bartoli n 867. Becquerel, H., 11 282. Becquerelstrahlen vgl. /?- Strahlen. Beltrami, E., n 69. Beschleunigungsvektor I 9. Betrag eines Vektors I 6. Bewegung, absolute und relative I 480 (§ 91), n 18. Bewegungsgleichungen des starren Körpers I 89. — einer Flüssigkeit I 118 (§ 81). — des Elektrons II 147 (§ 17), 210. Beii^gungsgröße I 82. — elektromagnetische n 27. — des Elektrons n 170 (§ 19), 208. Bezugssysteme, bewegte I 84 (§ 13), 112 (§ 81). Register. 397 Bilder, elektrische I 139, 140, 150. Biot-Sayartscbes Gesetz I 106, 220. Bizykel I 268. Bjerknes, Y., I 289; 11 804. blanke Fläche n 380. Vgl. auch Spiegel. Boltzmann, L., 1 309 ; IE 367, 858, 860. Boltzmann-Dradesche Konstante 11 284, 862. Brace, D.B., n 882, 388. Bradley n 886. Braun - Slabysche Senderanordnung I 296; II 808. Brechung der Eraffclinien 1 146 (§ 89), 226. Brechnngsindez I 808, 814; 11 272, 279. Burckhardt, H., E 127. }'- Strahlung II 16. Clausius, B., II 861, 860. Cohn, E., I 211, 817; II 889. Cohnsche Elektrodynamik bewegter Körper 11 389. Coulombsches Gesetz I 178 (§ 46), 877. Crookes, W., II 6. curl I 78 (§ 24), 87, 96. D'Alemberts Prinzip I 81 (§ 12). Dämpfong durch Strahlung I 288, 298; II 66, 806. De la Bive vgl. Sarasin. Diamagnetismus I 218; II 288. Dichte der wahren und freien Elek- trizität I 146 (§ 39); n 263. — des wahren und freien Magne- tismus I 211 (§ 64). — des wahren Stromes I 184, 188, 190, n 264. — des freien Stromes I 281, 878 (§ 81); n 264. Dielektrika I Abschnitt 2 Kap. 2: 141 — 163. Dielektrizitätskonstante 1 141 (§ 38), 203, 808. Differentiation nach einer skalaren ^ Variabelen I 8 (§ 8), 16, 18. Dimensionen 1 4, 207 (§ 63), 249 (§ 61). Dimensionstafel I 252. Dipol, elektrischer 11 67, 108. Dirichlet, G. L., H 239, 308. Dispersion 11 267 (§ 29). Dispersionsformel II 272, 279. dissipative Kraft U 71, 128. distributives Gesetz der Multipli- kation I 14, 17. Divergenz, div., I 51 (§ 19), 66, 74. Doppelquelle I 69 (§ 21). Doppelschicht I 70 (§ 28), 97, 103 (§ 29). — elektrische I 199. drahtlose Telegraphie I 292, 296, 308 ; n 286 (§ 33), 297 (§ 34). Drahtwellen I 831 (§ 73), 347 (§ 76), 360 (§ 76). Drehimpuls s. Impulsmoment. Drude, P., I 206, 803; E 268, 271, 274, 276, 276, 283, 284, 819. Duplet, Zeemansches, E 76. Dynamik des Elektrons, Grund- hypothesen E 186 (§ 16). Eichenwald, A., I 426, 427, 429; E 816. Eigenschwingungen, elektrische, I 279 (§ 66), 294 (§ 68), 864; E 306. — des Elektrons E 67, 214, 274. eingeprägte elektrische Kräfte I 194 (§ 60); E 266. — magnetische Kräfte 1 388 (§ 88). Einheitsvektor I 7. elektrische Energie I 163 (§ 48). elektrisches Feld I Abschnitt 2: 123—210. elektrische Feldstärke oder Kraft; I 128 (§ 33), 141, 182; E 264. elektrischeVerschiebungl 141(§ 38); II 266. Elektrizität I 124, 128. Elektrodynamik bewegter Körper I Abschnitt 4, Kap. 2: 390—436; E Abschnitt 2, Kap. 2: 310—891. elektrodynamisches Potential I 272. Elektrolyte I 190, 203, 316; E 1. ) 398 Begister. elektiomagnetisclie Bewegnngs- größe n 27. — Energie I 246; n 20. elektromagnetischer Energiestrom I 311, 344, 866 (§ 77), 363 (§ 78). elektromagnetisches Feld I Ab- schnitt 3: 211 — 867. elektromagnetische Lichttheorie I 308. — Kraft n 19. — Masse n 187, lö2, 181 (§ 20), 203. elektromagnetisches Maßsystem I 261. elektromagnetische Potentiale 11 89. — Wellen I Abschnitt 3, Kap. 3: 308 — 366. elektromagnetisches Weltbild 1 273, 368; n 136 (§ 16), 208, 381. elektromotorische Kräfte 1 194 (§ 60), 198 (§ 61), 208 (§ 62). Elektron II 8, 140. Elektronen, ihr Feld nnd ihre Be- wegung II Abschnitt 1 : 1 — 249. Elektronenladnng, spezifische n 9, 11, 77, 200, 276, 282. Elektronentheorie, Grondgleichnn- gen der n 17 (§ 4). elektrostatisches Feld I Abschnitt 2 : 123 — 182. — Maßsystem I 209, 261. elementare elektrodynamische Kraft n 98. ElementarqTiantnm, elektrisches n 1 (§ 1), 368. Emission des Lichtes n 67, 366, 366. Emissionshypothese der Kathoden- strahlen n 6. Emissionsvermögen I 328; 11 864. Energie eines Strömungsfeldes 1 101. — elektrische I 168 (§ 43). — magnetische 1 212, 223, 876, 884. — elektromagnetische 1 246; 11 20. — des Elektrons 11 170 (§ 19), 208. Energieprinzip I 246; 11 20, 29. Energiestrom I 811, 344, 366 (§ 77), 363 (§ 78); II 12, 20. — absoluter n 107. — relativer n 108, 339. Erdbewegung 1 404, 433; 11 336, 342, 866 (§42), 373 (§43), 879 (§44). Eulersche Bewegungsgleichungen des starren Körpers I 39. — in der Hydrodynamik I 118. ExtinktionskoeMzient I 814. Faraday I 1, 141, 237, 890; 11 1. Farbenzerstreuung s. Dispersion. Feld eines Vektors I Abschnitt 1, Kap. 2: 43—122. Feldgleichungen I 243 (§ 60). Feldstärke, elektrische I 123 (§ 38), 141, 182; n 264. — magnetische I 211, 217 (§ 66); n 266. Femwirkungstheorie I 1, 167, 223, 272, 848, 868, 878; 11 16, 99. Ferromagnetismus I 218, 868—390; n 283. Fitzgerald 11 876. Fizeaus Versuch I 486; 11 326 (§ 37). Flächendichte, elektrische 1 132,146. Flächendivergenz I 74. Flächenkraft, elektromagnetische I 416, 418; n 26, 831, 333. Flächenwirbel I 96. Fortpflanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Störungen und Wellen I 807, 822; 11 62. &eie Elektrizität 1 146 (§ 89), 11 263^ 812, 316. freier Magnetismus I 212, 224 (§67)^ 373 (§ 80). — Strom I 229 (§ 68), 378 (§ 81) ; II 264. Frequenz I 276. Fresnel, A., 11 828, 842. Fresnelscher Fortfnhrungskoeffizient n 828. y- Strahlen 11 16. Gaußisches Maßsystem I 264. Gaußischer Satz I 64, 66. Geometrie, nichteuklidische, I 435. Geschwindigkeitsvektor I 9. gleichförmige Bewegung elek- trischer Ladungen 11 168 (§ 18). Register. 399 Gleichgewicht, stabiles, labiles, in- differentes I 80 (§ 11). Gleitfläche I 402. Goldstein, E., 11 6, 14. Graßmann I 3, 14, 16. Greenscher Satz I 58. Grenzbedingongen I 146, 226, 819, 880; n 816, 825. Grondgleichnngen s. anch Hanptgl. and Feldgl. Grondgleichnngen der Elektronen- theorie n 17 (§ 4), 252, 824. — dynamische n 140 — kinematische n 141. Hack, F., n 806. Haga, U., n 16, 120. Hagen, E. s. Bnbens. Halbleiter, WeUen in I 812 (§ 70). Halbraum, dielektrischer I 150 (§ 40). Hall-Effekt I 242, H 819. Hamiltonscher Operator F I 49, 58, 62, 81. Härte, magnetische 1 872, 878 (§ 80). Hasenöhrl, F. H 846. Hanptgleichung, erste I 221, 285, (§ 59), 424 (§ 90); E 17, 265, 810 (§ 85). — zweite I 288, 898 (§ 86); H 17, 265, 817 (§ 86). Heaviside; 0., I 8, 200, 211, 244; n 90, 119, 188, 181. Heaviside-EUipBoYd II 91, 165, 201 (§ 22), 875. Hell^keit E 852. Helmholtz, H., 1 47, 119, 199; E 267. Herglotz, G., E 214. Hertz, H., I 1, 211, 254, 286, 288, 400, 486; E 6, 62, 142, 804. Hertz -Heavisidesche Analogie 1 211, 225, 289, 480; E 264, 890. Hertzsche Elektrodynamik bewegter Körper I 898 (§ 86), 421, 424 (§90), 480 (§91); E 810 (§85), 817 (§ 86), 826 (§ 87), 842. Hertzscher Erreger I 287; E 804. Eertzsche Funktion E 56, 62, 298. Hertzsche Mechanik I 212; E 142. HertzBcher Resonator E 296. Hertzsche Schwingungen I 286. Hertzscher Vektor E 56, 59, 287, 288. Hertz, P., E 222, 280, 284. Hittorf, W., E 6. Hohlraum, Hohlraumstrahlung E 859. Hüll, G.P., E 88. Huyghenssches Prinzip E 844, 846. hydrodynamische Ghrundgleichun- gen I 112 (§ 81). Hysteresis, magnetische 1 868 (§ 79). Impedanz I 276. Impuls I 82. — elektromagnetischer E 29. Impulsmoment I 82. — elektromagnetisches E 85. Impulssätze I 82; E 80, 36. Induktion, magnetische, als Vektor I 211, 214 (§ 55), 277; E 264. — in Stromkreisen I 258 (§ 68), 390 (§ 84), 894 (§ 85). — unipolare I 405 (§ 87). Induktionsgesetz I 287, 390; E 820. Induktionsfluß I 255, 259. Induktionskoeffizient I 259. Induktionslinien I 216, 407. induktive Kuppelung I 294 (§ 68). Influenz, elektrische I 140. innere Kraft eines Elektrons E 140, 209, 214, 236 (§ 26). inneres Produkt I 18 (§ 5). Ionen I 191; E 1, 2, 4. Joulesche Wärme I 185. Isolatoren I 180, 816. Kabelwellen I 845 (§ 74). Kanalstrahlen E 14. Kapazität des Kugelkondensators I 184, 141. — des gestreckten Botationsellip- soides I 188. — der Längeneinheit einer Leitung I 836, 346, 849. Kathodenstrahlen I 191; E 5 (§ 2), 194 (§ 21). 400 Begister. Kanfmann, W., I 192; n 7, 11, 139, 198, 218. Eayser, H., n 79. Xetteler 11 267, 274. Kiebitz, F., 11 806. Eirchhoff, G., I 856; 11 862, 364. EirchhoffscheB Gesetz I 828; n 868. kommentatiyes Gesetz I 6, 14, 17. Komponenten einesYektors 1 10 (§4). Kondensator I 184, 141. — am Ende einer Leitnng I 860 (§ 76). Kondensatorentladung I 279 (§66); n 291. Kontaktkraft, elektrische, I 198 (§ 51). Kontinnitätsbedingong der Elektri- zität n 89. Kontraktionshypothese 11 876. Konvektionspotential 11 91, 161. Konvektionsstrahlnng IE 18. Konvektionsstrom I 189 (§49), 426; n 814. Koppelung I 294 (§ 68); 11 808. Kraft, elektrische, magnetische s. Feldstärke. — vgl. dissipative, eingeprägte, elektromagnetische, elemen- tare, ponderomotorische, quasi- elastische. Kraftfluß I 126 (§ 84). Kräftefunktion 11 168, 162, 179. Kraftlinien I 128. Kreisel I 88. Kugel, gleichförmig mit Quellen erfüllte 1 69. — homogen polarisierte I 169 (§ 42). Kurlbaum, F., IT 861. Ladung eines Ions 11 1, 4. — spezifische, des Elektrons 11 9, 11, 77, 200, 276, 282. Lagrangesche Funktion 11 166, 174, 176, 179, 202. — Gleichungen I 40 (§ 16), 266 (§ 64); n 189. Langevin, P., 11 8, 288. Laplacesche Gleichung I 68. Lapjacescher Operator I 68, 89. ■ Latensweg, Latenszeit 11 62. Lebedew, P., n 88. Leiter der Elektrizität 1 180 (§ 86), 816. — vollkommene oder ideale, 1 829, vgl. auch Spiegel. Leitfähigkeit I 186; H 286. Leitungselektronen 11 261, 288 (§ 82). Leitungsstrom I 182 (§ 47), 186; II 266, 288 (§ 82). — in Gasen 11 2, 286. — in Elektrolyten I 190; 11 1. — in Metallen I 192; 11 284. Lenard, Ph., 11 6, 7, 18. Lenzsches Gesetz I 240. leuchtender Punkt 11 69 (§ 9), 102 (§ 14), 888. Levi-Civitä n 69. Lichtdruck 11 82, 829 (§ 38), 351, 884. Lichtgeschwindigkeit I 307. — Bewegung mit 11 286, 335, 851. Lichtzeit in gleichförmig bewegtem Systeme 11 366 (§ 42). Liänard, A., H 85. lineare Yektorfanktion I 87. Linienintegral eines Vektors I 49, 86, 115. longitudinale Masse n 162, 181 (§ 20), 208. Lorentz, H. A., I 198, 428, 428, 484; n 28, 26, 59, 72, 119, 262, 268, 271, 274, 277, 286, 828, 329, 842, 862, 872, 875, 879. Lorentzsches Elektron 11 201 (§ 22). Lorentz -Lorenzsches Gesetz 11 272. Loschmidtsche Zahl 11 6. Luminiszenz IE 869, 364. Lummer, 0., 11 7, 860, 861. Macdonald, H. M., 11 296. magnetische Drehung der Polari- sationsebene n 276 (§ 30). — Energie I 212, 228, 376, 884. — Feldstärke I 211, 217 (§ 66); II 266. J Register. 401 magnetische Härte oder Remanenz I 213, 872. — Hysteresis I 368 (§ 79). — Induktion (als Vektor) I 211, 214 (§ 66), 277; II 264. magnetischer Strom I 240. Magnetisierung I 227; n 262, 282 (§ 81). Magnetisierongselektronen n 261, 260, 282. Magnetismus, wahrer und freier I 212, 216, 248, 878 (§ 80). Marconi- Sender I 294; II 806. Masse, elektromagnetische oder scheinbare n 187, 162, 181 (§ 20), 203. Maßeinheiten, Maßsysteme I 207 (§ 63), 249 (§ 61). Materie, Materialismus I 367. Maxwell, J. GL, I 1, 48, 44, 267, 308, 416; II 38, 874. Mazwellsche Relation I 808; 11 268. — Spannungen I 418 (§ 89); 11 26. Metalle 1 180, 189, 208, 318, 823, 826. — Elektronentheorie der I 192, 206 ; U 284, 819, 862. Michelson, A., n 70, 826, 874. Michelsonscher Versuch 11 878 (§ 48), 890. Mie, G., n 810. Minimalprinzip in der Elektrostatik I 168 (§ 44). Mittelwertsbildung 11 268. Moment einer Doppelquelle I 68. — einer Doppelschicht I 76. — eines Wirbelfadens I 89. — elektrisches n 67, 266. — magnetisches n 260. Monozykel I 268. Morley n 826, 874. Morton, W., n 167, 168. Multiplikation I 18 (§ 6>, 16 (§ 6). Nahewirkungstheorie I 1, 164, 228, 868, 866, 878. Nemst, W., Nemstlampe I 180, 204. Neumann, F. E., I 272. Nichols, E. F., 11 88. Abraham, Theorie der Blektrizit&t. IL Ohmsches Gesetz I 188, 186; 11 286, 286. Optik bewegter Körper n 379 (§ 44). Ortszeit 11 870, 877. Faralleldrähte I 847 (§ 76). Paramagnetismus I 218; n 288. Paschen, F., n 77, 78, 861. physikalisch unendlich kleine Strecken und Zeiten 11 268, 266. Peltiersches Phänomen I 206. permanente Magnete I 218, 878 (§ 80), 878 (§ 81). Permeabilität, magnetische I 212. Piezoelektrizität I 207. Planck, M., II 78, 268, 271, 276, 862, 864, 861, 862. Plücker, J., 11 6. Poincarä, H., 11 81, .69. polare Vektoren I 22 (§ 8). Polarisation, elektrische 1 164 (§ 41); H 268. Polarisationselektronen 11 261, 269, 276. Polarisationsstrom 1 198 ; n 268, 812. ponderomotorische Kräfte im elek- trischen Felde I, Abschnitt 2, Kap. 8 : 168—182. — zwischen Magneten I 877, 884. — an Stromelementen 1 409 (§ 88). — zwischen Stromleitern I 271. — zwischen Magneten u. Strömen I 886 (§ 82). — im elektromagnetischen Felde I 421, 422; II 28 (§ 6), 819, 829 (§ 88). Potential (skalares) I 60, 61, 68, 68. — eines Dielektrikums I 166. — elektrodynamisches I 272, 886. — elektromagnetisches II 89. — elektrostatisches 1 180 (§ 36). — eines magnetisierten Körpers I 224 (§ 67). — retardiertes U 69. VgL auch elektromagnetisches. — yektorielles,ygl.VektorpotentiaL potentielle Energie I 80, 172, 376; n 142, 207. 26 402 BegiBter. Poyntingscher Satz 1 361; II 107, 108. Pringsheim, E., 11 361, 364. Probekörper, elektrischer I 123, 146, 177, 182; 11 22. Probespule I 214, 276. Produkt, skalares (inneres) 1 13 (§ 6). — yektorielles (äußeres) 1 16 (§ 6). — dreier Vektoren I 19 (§ 7). Pseudoskalar I 22. Punktladung, Wellenstrahlung einer n Abschnitt 1, Eap. 2 : 59—136. — Feld einer gleichförmig t)eweg- ten n 87 (§ 12). — Feld einer ungleichförmig be- wegten, n 92 (§ 13). Pyroelektiizität I 207. quasielastische Kraft 11 68, 267, 386. quasistationäre Bewegung des Elek- trons n 183, 208 (§ 23). quasistationärer Strom I Abschnitt 3, Eap. 2: 264 — 803; 11 291. Quelle I 61. Quellenfeld I 61 (§ 19), 64 (§ 22). queUenfreies Feld 1 89 (§ 26), 94 (§ 27). QueUpunkt I 69 (§ 21). Radium -Strahlen vgl. a-, /?-, y- Strahlen. Radius des Elektrons 11 193. Rayleigh 11 382. Baum, leerer I 142, 213, 367, 423, 436; n 18. Beaktionskraft; s. Bückwirkung. Beflexion des Lichtes durch beweg- ten Spiegel II 343 (§ 40), 364. Beflexionsyermögen der Metalle I 318 (§ 71). Belativbewegung I 398, 404, 430, (§ 91). relativer Energiestrom n 108, 339. relativer Strahl IE 336 (§ 39). Belaxationszeit I 189, 312. Besonanz, Besonanzkurve I 288 (§ 67). Biecke, E., I 206; U 284, 319. Bitz, W., n 79. Böntgen, W.C, I 426; 11 7. Böntgenstrahlen IL 7, 16, 81, 102, 120^ 230. Böntgensirom I 426, 428; 11 316. Rotation eines Vektors, rot I 81 s. curl. Botationsellipsoid, leitendes I 136. Rotationsgeschwindigkeit I 24, 47, 81. Rotationskonstante 11 281. rotierendes Bezugssystem 1 34 (§ 13). Rowland, H.A., I 426; II 138. Rubens, H., I 318, 321; II 361. Rückwirkung der Strahlung 11 71, 72, 121 (§ 16), 211, 213, 276. Runge, C, n 77, 78, 79, 199. Rutherford, E., 11 14. Rydberg 11 79. Sarasin, E., und De la Rive 11 304. Schirmwirkung der Metalle I 131, 327. Schraubenlinie als Elektronenbahn II 11, 113. Schuster, A., n 6. schwarze Fläche 11 32, 330. schwarzer Körper 11.866. schwarze Strahlung s. weißes Licht. Schwarzschild, K., 11 97, 98. Schwebungen I 300, 11 308. Schwingungen, elektrische, in Leiter- kreisen I 279 (§ 66), 288 (§ 67), 294 (§ 68); II 286 (§ 33), 297 (§ 84). Schwingungsgleichung eines Dipols II 68, 72, 269. Searle , G. F. C, n 168, 181. Selbstinduktion I 260, 263. — der Längeneinheit einer Leitung I 338, 346, 349. Seilmeier II 267. Sender, Sendedraht I 293, 296, 303; n 296, 297 (§ 34). Siertsema, L.H., H 282. Simon, S., 11 11. Skalar I 4, 23. skalares Potential, Produkt s. Poten- tial, Produkt. Slaby s. Braun. BegiBter. 403 Sommerfeld, A., II 120, 222, 236. 24S, 244, 309. Spaminng bei Drahtwellen I 836. Spamiimgen, Mazwellsche I 418 (§ 89); n 26. Spektrallinien 11 67, 70, 77, 79, 214, 869, 864. Spiegel, vollkommener oder idealer I 828, 880; II 880. — bewegter, IE 888, 886, 848 (§ 40). Stabilität des Gleichgewichts I 30 (§ 11). — der Bewegong des Elektrons n 172. Starke, H., n 200. starrer Körper I 28 (§ 9). Stef an-Boltzmannsches Gesetz 11 368. Stokes, G. G., H 16, 102, 842. Stokesscher Satz I 82 (§ 26). Stoney II 8. Strahl, absoluter I 811, 361, 867; n 864. — relativer 11 886 (§ 89). Strahlung, absolute, I 811; 11 888. — relative II 388. — linearer Leiter II 286 (§ 88). — natürliche n 864. — einer Punktladxmg n 66, 111. — eines Sendedrahtes II 297 (§ 34). Strahlungen, Klassifikation der n 12 (§8). Strahlungsdruck s. Lichtdruck. Strahlungsformel, Plancksche n 361. Strahlungsgesetz, thermodynami- sches II 867. Strom, elektrischer I Abschnitt 2, Kap. 4: 182—210. — magnetischer I 240. Subtraktion von Vektoren I 6 (§ 2). Susceptibilität, magnetische I 227. Telegraphengleichung I 318. Telegraphie, drahtlose I 298, 296, 308; n286 (§ 83), 297 (§84). Temperatur der Strahlung n 361 (§ 41). Temperaturstrahlung, reine 11 869, 863. Tensor, Tensortripel I 89. Teslatransformater I 294 (§ 68). thermodynamisches Strahlungs* gesetz n 867. Thermoelektrizität I 204. Thomson, J. J., I 208; 11 37, 121, 137, 230. Thomson, W., I 140, 168, 206. Thomsonsche Formel I 288, 364. Townsend, J. S., 11 3, 6. Trägheitsmomente I 86 (§ 14). transversale Masse 11 161^, 181 (§ 20), 208. — Wellen I 308, 832. Triplet, Zeemansches n 78. Überlichtgeschwindigkeit II 246 (§ 27). ündulationshypothese d. Kathoden- strahlen n 6. unipolare Induktion I 406 (§ 87). unstetige Beweg^ung des Elektrons n 222 (§ 26). ünstetigkeitsflächen in Yekter^ feldem I 70 (§ 28), 94 (§ 27). Tekteren I Abschnitt 1, Kap. 1: 4—43. Vektorfelder I Abschnitt 1, Kap. 2 : 43—122. Vektorfunktion, lineare I 87, 46 (§ 17). Vektorpotential I 90, 96. — elektromagnetisches 11 89, 290. — magnetisches .1 217, 220, 222, 264 (§ 62). — magnetisierter Körper I 229 (§ 68). Vektorprodukt, vektorielles Produkt 1 16 (§ 6). Verschiebung, elektrische 1 141 (§ 88). Verschiebungsgesetz n 367, 868. Verschiebungsstrom I 186 (§ 48); n266. Verstärkungsgesetz n 367. Vertauschungsgesetz 11 230. virtueUe Arbeit I 27 (§ 10). Voigt, W., n 277, 282, 288. Volterra, V., 11 69. 404 I; n26t. walirer Ifa^i^iietuiiEiifl I SIS, 816. — Strom 1 188. Warbing, E., I 371. weißes Lieht n 368, 360, 364, 366. Welleii, dekttomafflietiicJie I Ab- •dmitt 3, Kap. 3: 303<-366. Wellenstnlilaiig n 13. Welleiizoiie n 64, 101, »7, 300. Weltbüd, elektromagiietifelies 1 873, 368; n 136 (§ 16), 808, 387. Widentaad 1 183, 186, 876. Wiechert, E., n 7, 18, 16, 86, 108. Wien, M., I 896. — W., n 368, 360. Wilson, H. A., n 3, 388. Wind, C. H., 11 16, 120. Wirbel, Wirbelsförke 1 80, 88. Vgl. anch corL ; WizbelfiiaeB, WirbelHnie I 89, 103 i (5 89), 801. I WirbeUeld I 79, 89 (§ 86). wiibdfieiesFcldl 48 (§18X 64(§88), 70 (§ 83). ' WirbebafcB 1 116 (§ 38). I I X-Strahlen s. Röntgenstrahlen. Zeeman-Effekt n 16, 73 (§ 10). — anomaler 11 78. — inverser n 877. Zeitkonstante I 876. Zerl^rnng derFlnssigkeitsbewegnng 147. — eines Vektorfeldes I 98 (§ 88). Zyklische Bewegung, Systeme 1866 (§W). r Berichtigungen zu Band I. S. 9, Z. 18 y. u. Hes: ^ . (^V statt ^ • ^. de \dt/ da dt S. 19, Z. 10 V. 0. lies: «li + aji + ag! statt «li + fti + yil S. 72, Z. 16 V. 0. nnd S. 73, Z. 6 v. o. lies: /dflld^ ^f) statt /dflldtp. ^7 I7ä7"''ä7) y I7ä7+^ä7 S. 111, Z. 2 y. 0. lies: Arbeit statt Kraft. S. 164, Z. 9 V. 11. lies: —^{tp — -r,*)» statt (ri*-rj)«. S. 821, Gl. (209 f) lies: -^a statt a. S. 842, Gl. (217 a) Hes: -J^ statt J^- S. 868, Gl. (226) lies: i^' + y =-| -f m«. S. 403, Z. 4 y. 0. lies: (242 e) statt (242c). S. 438, Z. 10 y. o., Formel q lies: curlcnrltt statt curltt. Berichtigungen zu Band IL S. 117, Z. 2 y. 0. ist 2 als Faktor beizufügen. S. 163, Z. 3 y. u. Hes: « = - jdv^t^, -||1. S. 164, Z. 40 y. o. Ues: -[H^©]-^ statt [»0®] + ^- S. 167, Z. 8 y. u. lies : (I) statt (II). S. 272, Z. 13 y. n. lies: X statt r. Abraham, Theorie der Elektrizität. II. 26' Dmck von B. Q-. Teubner in Bregden. Pi Verlag von S. G. Teubner in Leipzig. [: i'öppl, Dr. A«9 Professor in München, Vorlesungen über technische ! Mechanik. 4Bände. gr. 8. InLeinw. geb. I. Einführung in die I Mechanik. 8. Aufl. Mit 103 Figuren im Text. [XVI u. 428 S.] li*Ö5.' n.JKlO.— IL Graphische Statik. 2. Aufl. Mit 176 Figuren im Text. E:ilu. 471 S.] 1903. n. JL 10.— III. Festigkeitslehre. 2.Atifl. it. 79 Figuren im Text. [XVIII u. 612 S.] 1900. n. JL 12.— ! IV. Dynfrmik. 2. Aufl. Mit «9 Figuren im Text. [XV u. 506 S.l \ 1901. n. .^ 12 — l)ie Geometrie der Wirbelfelder. In Anlehnung an da^) I Buch des Verfassers über die Maxwellsche Theorie der Elektrizität [ uüd zu dessen Ergänzung. [X u. 108 S.] gr. 8. 1897. geh. n. o^ 3 . 60, F in Leinw. geb. n. ./^ 4.40. \ ' Q-ans^ Dr. ^ohard^ Privatdozent an der Universität Tübingen, Ein- I ^ führung in die Vektoranalysis. . Mit Anwendungen auf die. 'i mathematische Physik. Mit 31 Figuren im Texi fX u. 98 S.'J |} gr. 8. 1906. geb. n. ^iC 2.80. Ctleiohen. Dr. A.^ Oberlehrer in Berlin, Lehrbuch der geometrischen Optik, Mit 251 Figuren im Text [XIV u. 611 §.] gr. 8. 1902., geb. n. JC 20,— QraetB. Dr. L., Professor in München, Das Licht und die Farben. Secns Vorlesungen, gehalten im Volkshochschulverein München. 2. Auflage. Mit 116 Abbildungen. [VI u. 163 S.] 8. 1900. geh. JC l. — , geb. n. JC 1.25. Jahnkey Dr. Bugen^ Professor an der Bergakademie zu Berlin, Vor- lesungen über die Vektorenrechnung mit Anwendungen avf Geometrie, Mechanik und mathematische Physik. Mit 32 Figuren im Text. [XII u. 236 S.] gr. 8. 1906. g«b. UK 6.60. Janusohke^ Hans^ k. k. Direktor der Staats-Oberrealschule in Teschen, das Prinzip der Erhaltung der Energie und seine Anwen- dung in der Naturlehre. Ein Hilfsbuch für den höheren Unter- richt. Mit 96 Figuren im Text. [X u. 456 S.] gr. 8. 1897. In Leinw. geb. n. *: 6.— Koendgeberger, G^^mrat Dr. Leo, Professor in Heidelberg, Die PrincipienderMechanik. Mathem. Untersuchungen. [XIIu. 228S.] gr. 8. 1901. In Leinw. geb. n. JC 9. — Iiamby H*^ Professor an der üniTersit^t London ,Lehrbuchdei:AkuBtik. gt. 8. [IfirsQbeint im Frtthjahx 1906.] LorentB^ H. A,, ProfesBOr an der Universität Leiden, Wissenschaft- liche Abhandinngen über theoretische Physik. In 2 Bänden. I. Band. [Vnclieint im Januar 1006.] . Iiove, A. B. H^ Professof in Oxford, Mathematische Theorie der Elastizität. Deutsche Ausgabe von Dr. A. Timpe in Göttingen. gr. 8. 1905. [Unter der Prease] Meyerhoffer, Dr. W., Professor an der Universität Berlin, Gleich- gewicht der Stexeomeren. gr. 8. 1905. [U&ter der Freue.] Mie, Dr. Q.. Professor a. d. Univ. Greifswald, Moleküle — Atom« —7 Weltäther. Mit 27 Fig. im Text. [IVu.lSSS.] 8. 1904. geh.^1.— , geb. JC 1.25. MuflÜy Dr. A., Professor an der k. k. Deutschen Technischen Hochschule in Brunn, Bau der Dampfturbinen. Mit zahlreichen Abbildungen im Text. [VI u. 233 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. JC S.— Grundlagen der Theorie und des Baues der Wärme- ^jaftnlaschinen. Zugleich autorisierte, erweiterte deutsche Aus- gabe des Werkes The steam-engine and other heat-engines von ISwingy J. A., Prof. an der Universität in Cambridge. Mit 802 Figuren im Text. [X u. 794 S.] gr. »i 1902. In Leinw. geb. n. JC 20.— Mn^iiTTiftiiTi y Dr. Franz, Professor in Königsberg, Vorlesungen^ über mathematische Physik, geh alten an der Universität Königsberg. Herausgegeben von seinen Schülern in zwanglosen Heften. 8 Hefte: L Magnetismus. [VIIIu. 116S.J 1881. n.*/Ä:3.60. H. Theoretische Physik. [X u. 291 S.] 1883. n.JfcS.— IE. Elektrische Ströme. [X u.Sy088.] 1884. n.JCQ.60. IV.Optik. [VHIu.SlOS.] 1885. n. JK9.60. V: filastiaität. ^m u. 874 S.] 1885. n. JC 11.60. VI PotentiaL [XVI u. 364 S.] , 1887. • n. Mn%— VE. Kapillarität. [X u. 284 S.] 1894. n. JK 8.— VIIL Heft, [in Vorbereitong.] _i_ Gesammelte Werjte. Herausgegeben von Carl Neumann. 8 Bände, gr. 4. geh. II: Band. [Unter der Fresse.] Pfeiffer, Dr. B., Professor in München, Physikalisches Praktikum für Anfänger. Dargesiellt in 25 Arbeiten. Mit 47 Abbildungen im Text. [Vm u. 150 S.] gr. 8. 1903. geb. n. c^ 3.60. Pl^ck, Dr. Max, Professor in Berlin, Das Prinzip der Erhaltungder Energie. Von der philosophischen Fakultät Göttingen preisgekrönt. [Xin u. 247 S[ gr. 8. 1887. geh. n. J^ 6.— Flüoker. Julius. G;esammelte wissenschaftliche Abhandlungen. Im Auftrag der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen herausgegeben von A. Schoen flies und Fr. Po ekel s. In 2 Bänden. I. Band. * Mathematische Abhandlungen, herausgegeben ?on A. Schoen flies. Mit dem Bildnis Plückers und 73 Figurei im Text. [XXXV u. 620 S.l gr. 8. 1895. n. JC. 20.— II.'Bänd. Physikalische Abhandlungen, herausgegeben von Fr. Po^kels. Mit 78 Figuren im Text und a lithogr. Tafeln. [XVHI vi. 834 S.] gr. 8. 1896. geh. n. JK 30.— Pockelsj Dr. Friedrich, Professor an d. Universität Heidelberg, Lehr- buch der Kristalloptik. Mit zahlreichen Textabbildungen, gr. 8. [Erscheiut im Herbst 1905.3 Ci >'■ This book p' 4^%- •t 3 2044 020 536 629 TW BOMKMMII WILL 18 CHAIIQEO AN OVERDUK RE IF THIS MOK ü NOT RCTURN80 TO THI UMUÜIY ON OR BEFORE THI LAST »ATE STAMPIO ■ELOW. NON-RECfilPT OP OVBRDUE NÖTIGES DOES NOT EXEMFT THE BORROWEil FROM OVEROUE FEES. WIDEN AUR ' 0 ? (_CANCEL mmmfmim